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ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO, SEGUNDO GRADO Y POLINOMICAS ECUACIONES E INECUACIONES: PRIMER GRADO, SEGUNDO GRADO Y POLINÓMICAS

Blogger de ecuaciones de primer grado: https://goo.gl/HCkDiC Videos de ecuaciones de primer grado: https://goo.gl/gfEAWG

1. ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica o satisface para determinados valores de sus incógnitas. PROPIEDADES Estas propiedades se conocen con el nombre de teoremas nos servirán para resolver las ecuaciones. a) Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad la igualdad se mantiene.

b) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene. c) Si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma cantidad la igualdad se mantiene.

d) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene. Los cuatro teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una ecuación, es necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y multiplicación de los números reales y otros teoremas. 2.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: ax + b = 0

COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 1.- Se suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera, efectuando las operaciones que se presenten. 2.- Se efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, preferentemente en el primer miembro. Aplicando las reglas y/o axiomas. 3.- Las constantes se pasan al miembro donde no está la variable. Es decir, al segundo miembro. Aplicando las reglas ya mencionadas. 4.-Se reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego despejar la incógnita o variable. Ejemplo:

Solución Calculamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m.(3;4;2) = 12 Multiplicamos a todos los términos de la ecuación por el m.c.m., en este caso 12.

VÍDEO DE ECUACIÓN DE PRIMER GRADO EN YOU TUBE: https://www.youtube.com/watch?v=rF7O0oZpOI0

3. SISTEMA DE ECUACIONES SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES ax + by = c ....................Ecuación (1)

dx + ey = f .....................Ecuación (2) Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve por los métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan etc. Ejemplo:

Soluciones: A) MÉTODO DE REDUCCIÓN Multiplicamos a la ecuación (2) por (-2)

B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la variable “x” en la ecuación (2)

Solución: Multiplicar a los términos de la ecuación (1) por el m.c.m.(4;5) = 20 Multiplicar a los términos de la ecuación (2) por el m.c.m.(3;4) = 12 Se tiene:

VÍDEO RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR GAUSS JORDAN - YOU TUBE: https://www.youtube.com/watch?v=n7BrtcEQwSE 4.

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación que se puede reducir a la forma general:

Es necesario determinar el discriminante de una ecuación de segundo grado para determinar que tipo de raíces tiene, complejas o reales. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen varios métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos soluciones o dos raíces. A) MÉTODO DEL ASPA Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta, entonces, se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no es posible resolver por este método. Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada factor se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dos resultados obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.

B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA Cuando una ecuación de segundo grado no es posible resolver por el método del aspa, recurrimos a la fórmula general o fórmula cuadrática. Es decir cuando se obtiene

como discriminante un número diferente de 0 (cero) o cuando este número no tiene raíz cuadrada exacta.

Aplicando este método es posible resolver cualquier ecuación de segundo grado. Ejemplo:

C) COMPLETANDO CUADRADOS Para resolver por este método, el polinomio de segundo grado se transforma hasta convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, luego se despeja la variable “x”. Ejemplo:

VÍDEO DE ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO - YOU TUBE

https://www.youtube.com/watch?v=ZTd7QbR2zkM 5. ECUACIÓN POLINÓMICA NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Todo polinomio P(x) de grado mayor o igual que 1, tiene por lo menos una raíz, puede ser real o compleja. Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces Ejemplo: Resuelve la ecuación polinómica x3 + 6x2 + 3x -10 = 0 Solución: MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS Se utiliza para resolver ecuaciones polinómicas que aceptan como factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio de la división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor será (x – a). Ordenamos en forma decreciente y completamos el polinomio. Resolvemos como el método de Ruffini, probamos con los divisores del último término, es decir 10: ±1; ±2; ±5; ±10. En este caso cumple con el número -2

Se tiene un nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso anterior. Pero esta vez con los divisores de 5: ±1; ±5. Por ser el último coeficiente.

Ahora cumple con 1. Se continúa:

Los resultados: - 2; 1 y – 5 son los valores que toma “x” Es decir el conjunto solución es {- 2; 1; - 5} RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO TEOREMA DE GAUSS Dado un polinomio de grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces racionales se considera como “p” a los divisores del término independiente y como “q” a los divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se obtienen al dividir p entre q. Ejemplo:

DIRECCION ELECTRONICA DE VIDEOS EN YOU TUBE 1) Ecuación de segundo grado: http://www.youtube.com/watch?v=kN9as-S-C2E 2) Inecuación de segundo grado: http://www.youtube.com/watch?v=64GIX2BKRo0

3) Ecuación polinómica: http://www.youtube.com/watch?v=9TgWfxoRYOM

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Resuelve la ecuación:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Resuelve el sistema de ecuaciones:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Calcula el discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado, interpreta que tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces: Calcula los valores de “x” en:

Calcula las raíces de las ecuaciones completando cuadrados:

11) Calcula el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones reales: (m+5)x2 + 3mx - 4(m-5) = 0 12) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación x2+kx=2 tenga dos raíces, una de las cuales sea – 2. ECUACIÓN POLINÓMICA Calcula las raíces de las ecuaciones: 13) 6x3 + x2 - 5x - 2=0 14) 20x3 + 24x2 - 11x - 3=0 6.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Una inecuación de primer grado con una variable es aquella que tiene una sola variable (incógnita) con exponente 1. Estas inecuaciones son de la forma: ax + b >0 ; ax + b ó < , los puntos críticos son abiertos. Si la desigualdad o inecuación es ≤ ó ≥, los puntos críticos son cerrados. La recta real ha sido dividida en tres partes o intervalos, empezamos del lado derecho y anotamos en cada parte o intervalo los signos + y - en forma ordenada. Si el sentido de la desigualdad es < ó ≤ se elige el intervalo que lleva el signo (-). Si el sentido de la desigualdad es > ó ≥ se eligen los intervalos que llevan el signo (+). Ejemplo: Resuelve la inecuación: x2 + x – 6 ≥ 0 Solución Factorizando el polinomio se tiene (x + 3) (x – 2) ≥ 0 Se iguala cada factor a cero (0) y se despeja la variable “x” x+3=0 x–2=0 x=-3 x=2

Los valores obtenidos se llaman puntos críticos:

VÍDEO INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO - YOU TUBE https://www.youtube.com/watch?v=Gv-6fZQAEGU

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02 Resuelve las siguientes inecuaciones:

8. INECUACIONES POLINÓMICAS

a

Una inecuación polinómica se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces. Ejemplo: Determina el conjunto solución de (x+3)(x-1)2(x+5)≤0 Solución Se calcula los puntos críticos de cada factor, es decir, se iguala cada factor cero(0).

Los puntos críticos se ubican en la recta real: si la desigualdad es > ó < son abiertos y si la desigualdad es ≤ ó ≥ son cerrados.

Se trazan curvas, desde el lado derecho hacia la izquierda, tomando como referencia para estas los puntos críticos. El número uno (1) no es considerado para el trazo de la curva porque esta proviene de un factor que tiene exponente par. Concluimos que cuando el o los puntos

críticos provienen de un factor que tiene exponente par, estos no se toman en cuenta para el trazo de la curva. Luego, a partir del lado derecho se codifican con los símbolos + y – alternando hasta cubrir el último intervalo o curva. El resultado final puede estar conformado por los intervalos que tienen el código + o por los intervalos que tienen el código -. Esto depende del sentido de la desigualdad. Si la desigualdad es: > ó ≥ se eligen los intervalos que llevan el código + < ó ≤ se eligen los intervalos que llevan el código – En nuestro ejemplo el sentido de la desigualdad es ≤, por tanto, elegimos el intervalo con código – Pero no debemos olvidar, los puntos críticos que no se tomaron en cuenta para el trazo de las curvas al final, deben ser evaluados. Si el punto crítico es cerrado se toma en cuenta y si el punto crítico es abierto entonces no se toma en cuenta. C.S. =[-5; -3]U {1}

9. INECUACIÓN FRACCIONARIA

Solución: Se trabaja como en el caso de las inecuaciones polinómicas, pero esta vez, los puntos críticos que se obtengan del numerador pueden ser abiertos o cerrados y dependerán de la desigualdad, pero, los puntos críticos que provienen del denominador siempre serán abiertos. En nuestro ejemplo los puntos críticos son: x =-4 (cerrado), x =-3 (abierto) y x = 5 (cerrado) Después de procesar como en el caso anterior se obtienen el siguiente resultado: C.S. = - ; -4] U -3;+  ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03 Resuelve las siguientes inecuaciones:

Vídeo N° 1: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/pXPSXpCdYo8 Resuelve: 1) x - 5 = 2 2) - x + 1 = 3 Vídeo N° 2: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/huqlrQjX9Ek Resuelve: 1) 2 x - 1 = x - 2 2) 3 x - 3 = 4 x + 1 Vídeo N° 3: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/AsZAqOhFQZM Resuelve: 1) 5 x + 1 = 3 x - 4 2) 7 x - 3 = 9 x + 5 Vídeo N° 4: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/SgRpjfvFrIw Resuelve: 1) 2/3 x - 1/2 = x + 3/4 2) 4/5 x + 3/4 = 1/2 x - 1/3 Vídeo N° 5: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/g9PNPdDaRI0 Resuelve: -(3x+5)=(x+7)-2 Vídeo N° 6: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/g2NGBKBq5Tw Resuelve: ( 2 x - 6 ) - x = - ( - 4x + 1 ) + 5 Vídeo N° 7: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/emy5t8DFxzA Resuelve: 1) 3 ( 2 x - 1 ) = 2 ( 5x + 6 ) 2) - 5 ( 3 - 4 x ) = - 2 ( 3x + 1 )