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INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES 6 de abril del 2015

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Analizar los factores, a tener en cuenta, para determinar el valor experimental de una magnitud física. OBJETIVOS ESPECIFICOS Determinar el número adecuado de cifras signicativas en diferentes mediciones. Calcular el error experimental en las medidas realizadas

MARCO TEORICO La incertidumbre de una medición está asociada generalmente a su calidad. La incertidumbre de una medición es la duda que existe respecto al resultado de dicha medición. Se puede pensar que las reglas graduadas están bien hechas, que los relojes y los termómetros deben ser veraces y dar resultados correctos. Sin embargo, en toda medición, aún en las más cuidadosas, existe siempre un margen de duda. En lenguaje común, esto se puede expresar como más o menos, por ejemplo, al comprar o vender un tramo de una tela de dos metros, más o menos un centímetro. Expresión de la Incertidumbre de una Medición: Dado que siempre existe un margen de duda en cualquier medición, necesitamos conocer ¾cuán grande es ese margen? Por esto se necesitan dos números para cuanticar una incertidumbre.

Uno es el ancho de este margen, llamado intervalo, el otro es

el nivel de conanza, el cual establece qué tan seguros estamos del valor verdadero dentro de ese margen. Por ejemplo: Si decimos que la longitud de cierta barra mide 20 cm, más o menos

± 1 cm, con un 95% de conanza decimos:20 1

cm

± 1 cm, con un nivel de conanza del 95%.

Esto signica que en 95 de

cada 100 mediciones la longitud de la barra está comprendida entre 19 y 21 centímetros. Error Vs Incertidumbre: Es importante diferenciar los términos error e incertidumbre.

Error:

Es la diferencia entre un valor medido y el valor convencionalmente

verdadero, del objeto que se está midiendo.

Incertidumbre:

Es la cuanticación de la duda que se tiene sobre el re-

sultado de una medición. Cuando sea posible, se trata de corregir los errores conocidos por ejemplo, aplicando las correcciones indicadas en los certicados de calibración.

Pero cualquier error del cual no se conozca su valor, es una

fuente de incertidumbre.

EJERCICIOS 1. Con un calibrador, se ha medido 10 veces la longitud de una pieza obteniendo los siguientes valores: 12,60 mm; 12,20 mm; 12,75 mm; 12,85 mm; 12,55 mm; 12,45 mm; 12,70 mm; 12,60 mm; 12,85 mm y 12,65 mm. Expresar el resultado de la medición con su correspondiente incertidumbre. 12,60 mm

12,60 mm

12,45 mm

12,85 mm

12,20 mm

12,85 mm

12,70 mm

12,55 mm

12,75 mm

12,65 mm

X=

x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 +x8 +x9 +x1 0 10

X = 12,60+12,20+12,75+12,85+12,55+12,45+12,70+12,60+12,85+12,65 10 X = 12.62mm

4X = |xi − x| 4X = |12.60mm − 12.62mm| = 0.02mm 4X = |12, 20mm − 12.62mm| = 0.42mm

2

4X = |12.75mm − 12.62mm| = 0.15mm 4X = |12.85mm − 12.62mm| = 0.23mm 4X = |12.55mm − 12.62mm| = 0.07mm 4X = |12.45mm − 12.62mm| = 0.17mm 4X = |12.70mm − 12.62mm| = 0.12mm 4X = |12.60mm − 12.62mm| = 0.02mm 4X = |12.85mm − 12.62mm| = 0.23mm 4X = |12.65mm − 12.62mm| = 0.03mm

4X =

P

4X =

0.02+0.42+0.15+0.23+0.07+0.17+0.12+0.02+0.23+0.03 10

4Xi 10

4X = 0.146 RESP U EST A : 12.62 ± 0.146mm

2. Dadas las siguientes magnitudes:

t1 = 12.5 ± 0.2s t2 = 7.3 ± 0.1s t3 = 3.4 ± 0.1s

Determinar:

t = t1 − t2 + t3

SOLUCION:

t1 = 12.5 ± 0.2s t2 = 7.3 ± 0.1s

3

t1 − t2 = (12.5 ± 0.2) − (7.3 ± 0.1) = 5.2 ± 0.1 t1 − t2 + t3 = (5.2 ± 0.1) + (3.4 ± 0.1)

t = 8.6 ± 0.2s

3. Si el lado de un cuadrado es de 7.2

±0.1mm, encontrar:

a. Su perímetro b. Su área a.

P = x ± 4x = a(b ± 4b) P = 4(7.2 ± 0.1) P = 28.8 ± 0.4mm b.

A = x ± 4x = ab ±



0.1 7.2

A = (7.2)(7.2) ±

4a a

+

+

0.1 7.2




4b b



ab

(7.2)(7.2)

A = 51.84 ± (0.013 + 0.013)(51.84) A = 51.84 ± (0.026)(51.84) A = 51.84 ± 1.34

±

4. 10 objetos idénticos tienen una masa M=730 5g de ¾Cuál es la masa m de uno de los objetos?

x ± 4x = =

730 10

+



b a

+

4b a



5 10

= 73 ± 0.5

5. El volumen de un cubo viene dado por V=a^3. Si a=185.0 calcular el volumen del cubo y el error porcentual.

4

±0.5mm,

x ± 4x = ab ±



4a a

= (185.0)(185.0) ±

+

4b b

0.5 185.0



ab 0.5 185.0

+




(185.0)(185.0)

= 34225 ± (0.0027 + 0.0027)(34225) = 34225 ± (0.0054)(34225) = 34225 ± 184.8

x ± 4x = ab ±



4a a

= (185.0)(34225) ±

+

4b b

0.5 185.0



ab

+

184.8 34225




(185.0)(34225)

= 6331625 ± (0.0027 + 0.0053)(6331625) = 6331625 ± (0.008)(6331625) = 6331625 ± 50653

6. Los siguientes valores corresponden a una serie de medidas del volumen de un cubo: 12.3cm3 ; 12.8cm3 ; 12.5cm3 ; 12.0cm3 ; 12.4cm3 ; 12.0cm3 ; 12.6cm3 ; 11.9cm3 ; 12.9cm3 y 12.6cm3 . Determine el volumen del cubo con su correspondiente incertidumbre.

X=

x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 +x8 +x9 +x1 0 10

X=

12.3+12.8+12.5+12.0+12.4+12.0+12.6+11.9+12.9+12.6 10

4X = |xi − x| 4X = |12.3cm3 − 12.4cm3 | = 0.1cm3 4X = |12, 8cm3 − 12.4cm3 | = 0.4cm3 4X = |12.5cm3 − 12.4cm3 | = 0.1cm3 4X = |12.0cm3 − 12.4cm3 | = 0.4cm3 4X = |12.4cm3 − 12.4cm3 | = 0cm3

5

4X = |12.0cm3 − 12.4cm3 | = 0.4cm3 4X = |12.6cm3 − 12.4cm3 | = 0.2cm3 4X = |11.9cm3 − 12.4cm3 | = 0.5cm3 4X = |12.9cm3 − 12.4cm3 | = 0.5cm3 4X = |12.6cm3 − 12.4cm3 | = 0.2cm3

4X =

P

4X =

0.1+0.4+0.1+0.4+0+0.4+0.2+0.5+0.5+0.2 10

4Xi 10

Respuesta : 12.4 ± 0.25cm3

7. La posición de un móvil en función del tiempo viene dada por la expresión x(t)=xo+vt. Si para t=0 se tiene que xo=0, encontrar x y el error porcentual para t=15.0 0.2s, sabiendo que v=25.6 0.5ms−1

±

x ± 4x = ab ±



= (25.6)(15.0) ±

4a a

+

0.5 25.6

4b b

+



±

ab

0.2 15.0




(25.6)(15.0)

= 384 ± (0.019 + 0.013)(384) = 384 ± (0.032)(384) = 384 ± 12.28

x ± ∆x = (a ± 4a) + (b ± 4b) = (15.0 ± 0.2) + (384 ± 12.28) = 399 ± 12.48

8. Calcular la densidad de un cuerpo y el error porcentual, sabiendo que su masa M=423 2g y su volumen V=210 4cm3

±

D=

±

M V

6

x ± ∆x = =

423 210

±

a b

±

2 423



+

4a a

4 210

+

4b b



a b


423 210

= 2.014 ± (0.004 + 0.019)(2.014) = 2.014 ± (0.023)(2.014) g = 2.014 ± 0.04 cm 3

9. Una galleta, tiene la forma de un disco, con un diámetro de 8.50 0.02cm y espesor de 0.050 0.005cm. Calcule el volumen promedio de la galleta y la incertidumbre del volumen

±

±

V = πr2 h h = espesor = 0.050 ± 0.005 V = (0.050 ± 0.005cm)x(8.5 ± 0.02cm) V = (0.050 ± 0.005cmxπ)x

±


8.50 0.02cm 2 7

V = ((πx0.050) ± (πx0.005))x

8.50 2

±


0.02 2 2

V = (0.16 ± 0.016)x((4.25)2 ±

0.01 4.25

+

0.01 4.25




2

(4.25)

V = (0.16 ± 0.016)x(18.06 ± 0.085) V = (0.16)(18.06) ±

0.016 0.16

+

0.085 18.06




)(0.16)(18.06)

V = 2.9 ± 0, 3cm3

±

10. El área de un rectángulo se reporta como 45.8 0.1cm2 y una de sus dimensiones se reporta como 10.0 0.1cm. ¾Cuál será el valor y la incertidumbre de la otra dimensión del rectángulo?

±

A=a∗b b=

A a

x ± ∆x =

a b

±



4a a

+

4b b



a b

7

=

45.8 10.0

±

0.1 45.8

+

0.1 10.0


45.8 10.0

= 4.58 ± (0.002 + 0.01)45.8 = 4.58 ± (0.012)(4.58) = 4.58 ± 0.05cm

CONCLUSIONES Se logro comprender la importancia de llevar a cabo en cualquier medición varias repeticiones para obtener una medida más precisa. Con la realizacion de estos laboratorios, entendimos que la medición de cualquier magnitud nunca va a ser totalmente precisa y siempre va a tener una incertidumbre o algun margen de error.

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