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• Liz Ameli Acosta Yaranga

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA Facultad de Ciencias de Ingenier´ıa Escuela Profesional de Ingenier´ıa Civil - Hvca

´ NUMERICA ´ SOLUCION DE FLUJOS TRANSITORIOS EN ´ CONDUCTOS CERRADOS POR EL METODO DE LAS ´ CARACTERISTICAS

Curso: ABASTECIMIENTO DE AGUA Y ALCANTARILLADO

Docente: Ing. Anderson Lincol Condori Paytan

Huancavelica, 10 de marzo de 2016

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

´Indice general ´ INTRODUCCION

3

1. FLUJOS TRANSITORIOS EN CONDUCTOS CERRADOS 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Lenguaje de Programaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Golpe de Ariete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ecuaciones Gobernantes de flujo no permanente en conductos cerrados 1.5. Velocidad o Celeridad de Onda (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4 4 5 5

. . . . .

. . . . .

´ NUMERICA ´ ´ 2. SOLUCION POR EL METODO DE LAS CARACTER´ISTICAS 7 2.1. Ecuaciones Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Soluci´on M´etodo de las Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ 3. APLICACION 12 3.1. Datos y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

15

ANEXOS

16

1

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

´Indice de figuras 2.1. Curva Caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Grilla Caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Grilla Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Comparaci´on de la Soluci´on Anal´ıtica y la Soluci´on Num´erica . . . . Variaci´on de Presiones para un cierre instant´aneo sin fricci´on . . . . . Variaci´on de Caudales para un cierre instant´aneo sin fricci´on . . . . . con fricci´on Variaci´on de Presiones para un tiempo de cierre TC = 2L a 2L Variaci´on de Caudales para un tiempo de cierre TC = a con fricci´on

2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

12 13 13 14 14

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

Introducci´ on El golpe de Ariete es un fen´omeno f´ısico muy conocido y que aparece en las tuber´ıas cuando se modifica el r´egimen de circulaci´on. Las ecuaciones que transmiten esta perturbaci´on constituyen un sistema en derivadas parciales, lineal, de tipo hiperb´olico, que resulta muy laborioso de integrar por m´etodos anal´ıticos cl´asicos. Con la aparici´on del calculador digital, y el subsiguiente auge del c´alculo num´erico, el problema se ha simplificado extraordinariamente. El m´etodo de integraci´on m´as adecuado, para el referido sistema es el conocido por el M´ etodo de las Caracter´ısticas y cuya aplicaci´on al Golpe de Ariete ha sido estudiada y difundida fundamentalmente por Streeter y Wylie.

3

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

Cap´ıtulo 1 FLUJOS TRANSITORIOS EN CONDUCTOS CERRADOS 1.1.

Objetivos

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios en conductos cerrados por el m´etodo de las Caracter´ısticas.

1.2.

Lenguaje de Programaci´ on

Python

1.3.

Golpe de Ariete

Se denomina Golpe de Ariete al choque violento que se produce sobre las paredes de una tuber´ıa cuando el movimiento del l´ıquido es modificado bruscamente. En otras palabras, consiste en la sobrepresi´on o subpresi´on que las tuber´ıas reciben al cerrarse o abrirse bruscamente una v´alvula o al ponerse en marcha o detenerse una m´aquina hidr´aulica (bomba). Los siguientes Son Algunos Casos en que se puede presentar el Golpe de Ariete. Cambios de abertura de la v´alvula, accidental o planeado. Partida o parada de bombas. Cambios en la demanda de potencia de turbinas. Vibraci´on de impulsores en bombas, ventiladores o turbinas. Vibraci´on de accesorios deformables tales como v´alvulas. Cambios en la elevaci´on del embalse. Ondas en el embalse 4

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios Etc.

1.4.

Ecuaciones Gobernantes de flujo no permanente en conductos cerrados

Ecuaci´on de Cantidad de Movimiento:

Ecuaci´on de Continuidad:

∂Q ∂H f + gA + Q|Q| = 0 ∂t ∂x 2DA

(1.1)

∂H a2 ∂Q + =0 ∂t gA ∂x

(1.2)

Ambas ecuaciones forman un juego de ecuaciones diferenciales parciales, cuando los t´erminos advectivos son insignificantes se puede expresar como:       f    0 gA Q Q 0 Q|Q| 2DA   +   +  =  (1.3) a2 0 H t H 0 0 gA s Donde: Q : Caudal del Fluido H : Altura piezom´etrica g : Aceleraci´on gravitacional a : Velocidad o celeridad de Onda f : Factor de fricci´on (Darcy - Weisbach) D : Di´ametro de la tuber´ıa ´ A : Area de la secci´on transversal t,s : Derivada parcial respecto del tiempo y la posici´on.

1.5.

Velocidad o Celeridad de Onda (a)

El estudio del golpe de ariete tiene su fundamento en la ”teor´ıa de la onda el´astica”, la cual implica el desplazamiento a una velocidad dada de las variaciones de presi´on a lo largo de una tuber´ıa. Con esta teor´ıa se deja de lado la idealizaci´on de la tuber´ıa de conducci´on como cuerpo r´ıgido. La velocidad recibe el nombre de celeridad de la onda, y se refiere a la velocidad del sonido dentro del sistema considerado, estando condicionada por el di´ametro, el espesor y la elasticidad de la tuber´ıa, as´ı como por la densidad y comprensibilidad del l´ıquido.

5

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

s a=

K ρ(1 + De K ) E

(1.4)

Donde: K : M´odulo de elasticidad del fluido ρ : Densidad del Agua E : M´odulo de elasticidad del material del tubo e : Espesor del tubo D : Di´ametro de Tuber´ıa

6

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

Cap´ıtulo 2 ´ NUMERICA ´ SOLUCION POR EL ´ METODO DE LAS CARACTER´ISTICAS El m´etodo de las caracter´ısticas fue originalmente un m´etodo gr´afico desarrollado por Monge en 1989 para la integraci´on de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Este m´etodo fue usado con posteriodad por muchos autores, para el estudio de problemas de flujo permanente, tales como propagaci´on de frentes de onda. En el m´etodo de las caracter´ısticas (MC), las ecuaciones diferenciales parciales se transforman en ecuaciones diferenciales ordinarias, a trav´es de aproximaciones de diferencias finitas, algoritmos expl´ıcitos que reducen el espacio previamente para otros sub espacios representados por l´ıneas caracter´ısticas. El m´etodo de las Caracter´ısticas ha sido un m´etodo num´erico expl´ıcito m´as utilizado para el modelo de fen´omenos de propagaci´on de ondas en las redes de tuber´ıa, debido a su facilidad para introducir diferentes dispositivos y condiciones l´ımite (bombas, v´alvulas, tanques, etc). Por esta raz´on, conducto cerrado, canal abierto y las corrientes de aguas subterr´aneas se han analizado utilizando esta t´ecnica.

2.1.

Ecuaciones Caracter´ısticas

Las ecuaciones simplificadas de movimiento y continuidad: L1 = g

f V |V | ∂H ∂V + + =0 ∂x ∂t 2D

(2.1)

∂H a2 ∂V + =0 ∂t g ∂x

(2.2)

L2 =

Considerando una combinaci´on local de las dos ecuaciones de la forma L = L1 + λL2 y considerando las derivadas totales de Q y H.

7

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

dH ∂H ∂H dx = + dt ∂t ∂x dt dV ∂V ∂V dx = + dt ∂t ∂x dt Resolviendo las ecuaciones tenemos: dx g λa2 = = dt λ g f V |V | dH dV + + =0 dt dt 2D La ecuaci´on ?? es una ecuaci´on diferencial Ordinaria. λ

(2.3) (2.4)

(2.5) (2.6)

De la ecuaci´on ?? tenemos: λ = ± ag dx = ±a dt

Figura 2.1: Curva Caracter´ıstica Reemplazando λ en ?? g dH dV f V |V | + + =0 a dt dt 2D

(2.7)

dx = +a dt

(2.8)

−

g dH dV f V |V | + + =0 a dt dt 2D dx = −a dt 8

(2.9) (2.10) Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

2.2.

Soluci´ on M´ etodo de las Caracter´ısticas

Dividimos la tuber´ıa en N partes iguales con longitud ∆x.

Figura 2.2: Grilla Caracter´ıstica El paso del Tiempo: ∆t =

∆x a

Integrando en t´erminos del Caudal tenemos: C+ :

HP = HA − B(QP − QA ) − RQA |QA |

(2.11)

C− :

HP = HB + B(QP − QB ) + RQB |QB |

(2.12)

En donde: a gA f ∆x R= 2gDA2 B=

En t´erminos generales en funci´on de i: C+ :

HPi = CP − BQPi

(2.13)

C− :

HPi = CM + BQPi

(2.14)

En donde: 9

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

CP = Hi−1 + BQi−1 − RQi−1 |Qi−1 | CM = Hi+1 − BQi+1 + RQi+1 |Qi+1 | Resolviendo las ecuaciones ?? y ?? Tenemos: CP + CM 2 CP − CM = 2B

HPi = QPi

2.3.

Condiciones de Contorno

Figura 2.3: Grilla Condiciones de Contorno Para i = 1: Para un reservorio bastante grande, la elevaci´on de la l´ınea de gradiente hidr´aulica puede ser asumida como constante durante una duraci´on del fen´omeno transitorio corto. HP1 = HR QP1 =

HP1 − CM B

Para i = N: Condici´on teniendo una v´alvula al final: √ Q0 = (Cd Ag )0 2gH0

10

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios Donde: Q0 : Caudal en estado Permanente H0 : Altura de P´erdida en estado permanente de la v´alvula. Cd Ag : Coeficiente de descarga de la v´alvula y Abertura m´axima de la v´alvula. √ QP = (Cd Ag ) 2g∆H Donde: ∆H: Altura de ca´ıda instant´anea de la l´ınea de gradiente hidr´aulica a trav´es de la v´alvula. τ=

(Cd Ag ) (Cd Ag )0

Q0 √ QPN = √ τ ∆H H0 Tambi´en τ considerado como ley de cierre: τ = (1 −

T Em ) TC

Donde: T : Intervalo de tiempo (s) TC : Tiempo de cierre de la v´alvula (s) Em : Coeficiente de cierre de la v´alvula

QPN = −BCv +

p (BCv )2 + 2Cv CP

HPN = CP − BQPN Donde: Cv =

(Q0 τ )2 2H0

11

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

Cap´ıtulo 3 ´ APLICACION Se desarroll´o el programa WaterHammer.py en Python para la soluci´on de las ecuaciones de flujo transitorio en conductos cerrados.

3.1.

Datos y Resultados

La aplicaci´on se desarroll´o para un sistema simple, teniendo los siguientes datos de entrada:

Figura 3.1: Comparaci´on de la Soluci´on Anal´ıtica y la Soluci´on Num´erica

L = 6000 m D = 0,50 m e = 0,028 m K = 2,2x109 P a E = 2,207x109 P a d = 1000 Kg/m3 g = 9,81 m/s2 HR = 5,0 m Em = 1,5 Cd = 0,125 m2 Ag = 0,82 m N = 10

Longitud de la tuber´ıa Di´ametro de la tuber´ıa Espesor de la pared de la tuber´ıa M´odulo de elasticidad del fluido M´odulo de elasticidad de la tuber´ıa Densidad del Agua Aceleraci´on de la gravedad Nivel est´atico del agua Coeficiente de cierre de la v´alvula Abertura m´axima de la v´alvula Coeficiente de Descarga de la v´alvula N´ umero de secciones de c´alculo 12

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

a) Variaci´ on de Presiones para un cierre instant´ aneo sin fricci´ on Datos: Tc = 0 s Tiempo de Cierre de la V´alvula f =0 Factor de Rugosidad

4.9 4.8

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 5 H(m)

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

0

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 9 H(m)

H(m)

H(m)

4.7

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

Sec = 2

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 6

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

V ariacion de P resion (H) Sec = 3 H(m)

5.0

V ariacion de P resion (H)

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 7 H(m)

H(m)

H(m)

5.1

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

H(m)

Sec = 1

5.2

H(m)

V ariacion de P resion (H)

5.3

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800

V ariacion de P resion (H) Sec = 4

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 8

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 10

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

Figura 3.2: Variaci´on de Presiones para un cierre instant´aneo sin fricci´on

−1.0

−1.0 0

20

40

0.0 −0.5 −1.0

40

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q)

0.0 −0.5

V ariacion de Caudal (Q)

0.0 −0.5 −1.0

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

40

−1.5

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q)

0.5 0.0 −0.5

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q)

1.5

Sec = 7

1.0

−1.5

0.0 −0.5

Sec = 8

1.0 0.5 0.0 −0.5 −1.0

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

−1.5

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q) Sec = 10

1.0 Q(m3/s)

0.5

20

1.2

Sec = 9

1.0

20

−1.0 0

Sec = 4

0.5

−1.0 0

1.5

Sec = 6

0.5

−1.5

0.0 −0.5 −1.5

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

−1.0 0

1.5

Q(m3/s)

20

1.0 Q(m3/s)

Q(m3/s)

0.5

0.5

1.0

−1.0 0

1.5

Sec = 5

1.0

−1.5

−1.5

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q)

1.5

−1.5

0.0 −0.5

Q(m3/s)

−1.5

0.5

V ariacion de Caudal (Q)

1.5

Sec = 3

1.0

Q(m3/s)

0.0 −0.5

V ariacion de Caudal (Q)

1.5

Sec = 2

1.0 Q(m3/s)

Q(m3/s)

0.5

V ariacion de Caudal (Q)

1.5

Sec = 1

1.0

Q(m3/s)

1.5

Q(m3/s)

V ariacion de Caudal (Q)

0.8 0.6 0.4 0.2

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

0.0

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

Figura 3.3: Variaci´on de Caudales para un cierre instant´aneo sin fricci´on

13

Anderson Lincol

Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios b) Variaci´ on de Presiones para tiempo de cierre τ = TR con fricci´ on Donde: TR Tiempo de Reflexi´on TR = TC = 2L a a Celeridad de Onda (m/s) f = 0,04 m Factor de Rugosidad

4.9 4.8 4.7

0

20

40

V ariacion de P resion (H)

150

0

−100

20

40

−100

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

−60

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H)

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H)

150

Sec = 6

50 0

0

20

40

−100

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H) Sec = 8

50 0 −50

0

20

40

−100

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

Sec = 10

0

−100 0

20

40

−150

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q) Sec = 5

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15

V ariacion de Caudal (Q)

0.25

0.10 0.05

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q) Sec = 6

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15

Sec = 3 Q(m3/s)

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15 −0.20

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

2L a

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15 −0.20

V ariacion de Caudal (Q)

con fricci´on V ariacion de Caudal (Q) Sec = 4

0

20

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q)

0.25

Sec = 7

40

Sec = 8

0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

−0.10

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de Caudal (Q) Sec = 10

0.20 Q(m3/s)

0.15

0

0.25

Sec = 9

0.20

Sec = 2

V ariacion de Caudal (Q)

Q(m3/s)

0

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15 −0.20

Q(m3/s)

Q(m3/s)

Sec = 1

V ariacion de Caudal (Q)

Q(m3/s)

V ariacion de Caudal (Q)

Q(m3/s)

Q(m3/s) Q(m3/s)

20

100

Figura 3.4: Variaci´on de Presiones para un tiempo de cierre TC =

Q(m3/s)

0

−50

−50

0.15 0.10 0.05

0.00 −0.05

Sec = 4

V ariacion de P resion (H)

100 H(m)

0

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15

V ariacion de P resion (H)

50

50

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 −0.05 −0.10 −0.15 −0.20

100 80 60 40 20 0 −20 −40 −60 −80

150

Sec = 7

100

−50

150

Sec = 9

100 H(m)

40

0

V ariacion de P resion (H)

150

−100

20

−50 0

0 −40

0

50

−50

20 −20

100 H(m)

50

Sec = 3

60 40

150

Sec = 5

100 H(m)

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

V ariacion de P resion (H)

80

Sec = 2

H(m)

5.0

V ariacion de P resion (H)

H(m)

H(m)

H(m)

5.1

50 40 30 20 10 0 −10 −20 −30

H(m)

Sec = 1

5.2

H(m)

V ariacion de P resion (H)

5.3

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

0.00

0

20

40

60 80 100 120 140 160 T (s) = 146.93

Figura 3.5: Variaci´on de Caudales para un tiempo de cierre TC =

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2L a

con fricci´on

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Soluci´on Num´erica de Flujos Transitorios

Referencias Bibliogr´ aficas [1] M. Hanif Chaudhry Applied Hydraulic Transients. 1979. [2] E. Benjamin Wylie, Victor L. Streeter Fluid Transients. 1978. [3] A. R. David Thorley Fluid Transients in Pipeline Systems. 2004. [4] Hans Petter Langtangen. A Primer on Scientific Programming with Python. May 2009.

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ANEXOS

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