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Dra. Samira Abdel Masih

UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGIA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II

TRABAJO PRACTICO N° 1: REPASO GENERAL 1) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones o inecuaciones: a) 2 x2 – 3 x +1 = 0 b) 2 x4 – 9x2 – 4 = 0  7 - 2x  3 2 c)  3  2 x − 7 x − 3x = 0 4   d) 2 (x+7) – 3 (x-2) = 4 (2- x) + 5 (1- x)

(

)

 2x - 3y = 1 e)   4x − 6y = 2  3x + y = 1  x+z=2

f) 

(sistema 2 x 3)

 2x - 3y = 1 g)   5x + 4y = 2 2

h) 2 x − 3 − 11 x - 3 + 5 = 0 i) 3 x – 5 ≤ 4- 2 x ≤ x+1 j) 2 x-1 – 4 x-1 = 0 k) 0.3 2x-1 > 0.3 1-x l) log(x+3) + log(x+4) = 2 log(2) + log(3) m) log(x-1) + log(2x-4) = 3 log(2) + log(5)

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2) Para cada una de las siguientes ecuaciones, aplique el Método de completar cuadrados para identificar la curva asociada a cada ecuación. a) x2 + y2 + 2x+ 4y +4= 0 b) x2 - y2 + 4x- 4y + 4=0 c) x2 + y2 - x+ 2y -5= 0 3) Escribir las ecuaciones de cada una de las curvas que aparecen en los gráficos: a)

b)

4) Dibujar los siguientes conjuntos de la recta real o del espacio: b) {x ∈ ℜ / x − 3 = 5}

a) {x ∈ ℜ / x + 2 ≤ 3}

c) {x ∈ ℜ / x = 5}

{ g) {( x, y ) ∈ ℜ

e) ( x, y ) ∈ ℜ / y ≤ 2 ∧ y ≥ x 2

2

2

}

{ f) {( x, y ) ∈ ℜ

}

d) ( x, y ) ∈ ℜ 2 / x = 5

}

2

}

/x≥ y ∧ y≥x−2 2

/ 4 ≤ x + y ≤ 16 2

2

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5) Hallar las primitivas de las siguientes funciones: a) y= x-3 + x2/3 + x-5/7 + πe b) y= x ex c) y=x sen(x) d) y=

1 1 . x ln(x)

e) y= ex cos(x)

6) Por medio de una función conveniente, plantear el modelo matemático que responda a cada una de las situaciones planteadas. Indicar además el tipo de función ( función vectorial, campo escalar o campo vectorial) a) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Exprese el área de ella en función de sus dimensiones.

y

x

b) Se desea construir una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones que muestra la figura. Exprese el volumen de la caja en función de sus dimensiones. z

z z y

z

z z

z x

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c) Se fabricará un envase de lata. El costo del material para la base es de $6 el m2, mientras que para el resto del envase es de $2. i) Expresar el área del envase en función de su radio y altura. ii) Expresar el costo del envase en función de su radio y altura. 2πr r

h

r

d) Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que tiene x km. de ancho y desea llegar hasta un punto B, situado a 8 km. debajo de la ribera opuesta. Podría remar en su bote, cruzar directamente el río hasta el punto C y correr hasta B. Podría también remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y B, y luego correr hasta B. Además, puede remar a 6 km/h y correr a 8 km./h

x A

C y D

8km

B i) Exprese la distancia recorrida por el hombre en función de ¨x¨ e ¨ y¨. ii) Exprese el tiempo que tarda la persona en llegar al punto B como función de ¨x¨ e ¨ y¨. iii) Si el ancho del río es de 3 km. (x= 3 km.), exprese el tiempo que tarda en llagar a B como función de ¨y¨ . iv) Represente gráficamente la función obtenida en iii) v) Con las hipótesis indicadas en iii), ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como sea posible? ________________________________________________________________________________ Cálculo Infinitesimal II

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 2 : SUPERFICIES Y FUNCIONES DE DOS VARIABLES 1) Dibuje las siguientes superficies: a) b) c) d) e) f) g)

2x+3y+z=4 z = y2 y = x2 y=|x| z=3y x2 + y2 = 1 z = x2 + y2 (Dar valores a z: 0, 1 ,4 ,9. Luego intersecar con el plano x = 0)

h) z = x 2 + y 2 (Dar valores a z: 0, 1 ,2, 3. Luego intersecar con el plano x = 0) i) x2+ y2 + z2=1 (Dar valores a z:-1, -1/2,0 ,1/2,1. Luego intersecar con el plano x =0) j) y = | x - 1| k) y2 – x2 = 1 l) x = y2 m) x = y2 + z2 (Dar valores a x: 0, 1 ,4 ,9. Luego intersecar con el plano y =0) n) y2 = x2 + z2 (Dar valores a y: -2, -1, 0, 1 ,2. Luego intersecar con el plano x =0) o) x 2 + y 2 − z 2 = 1 (Dar valores a z: -2, -1, 0, 1 ,2. Luego intersecar con el plano x =0) p) x2 – y2 + z2 = 1 (Dar valores a y: -2, -1, 0, 1 ,2. Luego intersecar con el plano x =0) 2) Relacione cada ecuación con su gráfica. Justifique su elección. a) x2 + 4 y2 + 9 z2 = 1 b) x2 – y2 + z2 = 1 c) y = x2 + z2 d) x2 + 2 z2 = 1 e) 9 x2 + 4 y2 + z2 = 1 f) – x2+ y2 -z2 = 1 g) y2 = x2 + 2 z2 h) z = cos(x) ________________________________________________________________________________ Cálculo Infinitesimal II

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I)

II)

III)

IV)

VI)

V)

VII)

VIII)

3) Determinar y dibujar el dominio de las siguientes funciones: 3x+2 a) f(x, y) = x - y b) f(x, y)= 2 x + y2 −1

c) f(x, y) =

ln(x) 1- x 2 − y 2

d) f(x, y)=

16 - x 2 − y 2 - 4 + x2 + y2

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e) f(x, y) =

x+2 x2 + y2

g) f(x, y) =

f) f(x, y) =

(x - 1) (y - 2)

ln(2 x - y) 4 - x2

h) f(x, y) = ln(x y)

4) En regiones con un clima muy frío en invierno, la velocidad del viento se emplea con frecuencia para describir la severidad del frío que se siente. Esta es la llamada sensación térmica o “temperatura subjetiva”, que depende de la temperatura real T y de la velocidad del viento v. Entonces la sensación térmica es una función de T y de v, y la llamaremos f(T, v). La siguiente tabla registra valores de sensación térmica compilados por la Nacional Oceanic and Atmospheric Administration y el Nacional Weather Service: Velocidad del viento (km/ h) v

6

20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20

20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20

Temperatura real (° C)

T

10 18 14 9 5 0 -4 -8 -13 -17 -22 -26

20 16 11 5 0 -5 -10 -15 -21 -26 -31 -36

30 14 9 3 -3 -8 -14 -20 -25 -31 -37 -43

40 13 7 1 -5 -11 -17 -23 -29 -35 -41 -47

50 13 7 0 -6 -12 -18 -25 -31 -37 -43 -49

60 12 6 0 -7 -13 -19 -26 -32 -39 -45 -51

70 12 6 -1 -7 -14 -20 -27 -33 -40 -46 -52

80 12 5 -1 -8 -14 -21 -27 -34 -40 -47 -53

90

100

12 5 -1 -8 -14 -21 -27 -34 -40 -47 -53

12 5 -1 -8 -14 -21 -27 -34 -40 -47 -53

Por ejemplo, la tabla muestra que si la temperatura es de 4 °C y la velocidad del viento es de 40 km/h, entonces se siente tanto frío como si la temperatura fuera de – 11 °C. Por lo tanto, f(4, 40) = - 11. a) ¿Cuál es el valor de f(8,60)? b) ¿Para qué valor de v es f(-12,v) = -26 ? Describa verbalmente el significado de esta pregunta. c) ¿Para qué valor de T es f(T,80) = - 14 ? Describa verbalmente el significado de esta pregunta. d) ¿Cuál es el significado de la función f(- 4,v)? e) ¿Cuál es el significado de la función f(T,50)?

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Respuestas Trabajo Práctico N°2 1) a)

b) -1

-0.5

0

0.5

1

1

0.75

0.5 -1 0.25

-0.5 0

0

0.5

c) 0

d)

Y 0.25

0.5

0.75

1 1-1 0.75 -0.5 0.5 0.25 0

1

0

0.5

1 2

1

1 0.5 Z

0

0 -1

-0.5

-0.5 0

-1

-1

X

0.5

-2

1

e)

f) -1 1

5

0.5 0

-0.5

0

0.5

1

-0.5 -1 2

1

0

0

-1

-5 -2 -1

-2

0 1 22 1

-2 0 -1

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5-5

g)

2.5

-2.5

0

h)

2.5

0

5-5 2.5

5

-2.5

-2.5

0

2.5

0

5

-2.5

-5

-5 20

4

10

2

0

0

i)

j)

1

0.5

0

-1 -0.5

-0.5 0 -1 1

0.5 0.5 0 -0.5

1 -1

-1

-2

k)

Y -0.5

l)

0 2

2

0

0.5

1

1

0

0.5

-2

Z

0 0

-2

-0.5

0.25

0 2

m)

0.75

n)

50 2.5 0

10

-5 5 2.5

20

0

-2.5 -5 5

0.5 X

-1

-2.5

1

0

2.5

5

-2.5 -5 5

2.5

2.5 0

0 -2.5

-2.5 -5

-5

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o)

p)

5 5

2.5 2.5

0

-5

0

-5

-2.5

-2.5

-2.5

-2.5

0

0

-5 5

-5

2.5

5

2.5

2.5

2.5

0

0

-2.5

5

-2.5

5

-5

-5

2) a) VI) b) II) c) V d) VII) e) IV) f) III) g) I) h) VIII) 3) a)

c)

b)

d)

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e) ℜ 2 − {(0,0)}

g)

f)

h)

4) a) – 7 °C. b) v = 20 km/h. Si la temperatura real es de – 12 °C y la sensación térmica es de – 26°C ¿Cuál es la velocidad del viento? c) T = 4 °C. Si la velocidad del viento es de 80 km /h y la sensación térmica es de – 14 °C ¿Cuál es la temperatura real? d) Es la sensación térmica en función de la velocidad del viento, cuando la temperatura real es de – 4 °C. e) Es la sensación térmica en función de la temperatura real, cuando la velocidad del viento es de 50 km/h.

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRÁCTICO N° 3: LÍMITES DOBLES Y CONTINUIDAD 1) Probar que los siguientes límites dobles existen: a)

3x -4 y x+y

lim

b) lim

(x,y) ->(1,2)

c) lim

(x - 1)4 − y 4

d) lim

(x - 1) 2 − y 2

x tg(y - 3) y2 − 9

(x,y) ->(1,3)

ln(x) sen(y 2 + 2π )

f) lim

(x - 1) 2 y 2

(x,y) ->(1,0)

g) lim

x2

(x,y) ->(1,0)

(x,y) ->(0,0)

e) lim

e y ( x + 1)

sen(x 2 ) y 3 + 3 y 2 + 3x sen(y)

(x,y) ->(0,0)

sen(x + y)

h) lim

ex + y-2

(x,y) ->(0,0)

(9 x 2 − y 2 ) sen(2y) y (3x - y)

(x,y) ->(0,0)

2) Probar que los siguientes límites dobles no existen: a) lim

x- y x+y

(x,y) ->(0,0)

b) lim

x2 + x y - 2 1- x y

(x,y) ->(1,1)

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π cos(x 2 + 3 y 3 + ) 2 2 2 3x + y

c) lim (x,y) ->(0,0)

f) lim

(x,y) ->(0,0)

x2 + y2

x +y

(x 6 + y 2 ) 2

(x,y) ->(0,0)

x 3 - x 2y + x y2 + y3 3

x9y

h) lim

2 x 6 + y3 (x,y) ->(0,0)

i) lim

x2 - y2

(x,y) ->(0,0)

3 x4 y

g) lim

(y 2 + x 2 ) (x 2 - 3 x + 2) (y - x) (2 x - 2)

(x,y) ->(1,1)

3x-2y x−2y

e) lim

d) lim

3

(x,y) ->(0,0)

j) lim

(x - 1) y (x − 1)2 + y 2

(x,y) ->(1,0)

3) Analizar la continuidad de las siguientes funciones, en los puntos indicados:  2x 2 sen( 4 y )   log( x 2 + 1)y a) f ( x, y ) =   3   

 ( x − 1)4 − y 4   ( x − 1)2 + y 2 b) f ( x, y ) =   0   

si (x, y) ≠ (0,0)

en el punto (0,0) si (x, y) = (0,0)

si (x, y) ≠ (1,0)

en el punto (1,0) si (x, y) = (1,0)

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   c) f ( x, y ) =     

2 y x2 x 4 + y2

si (x, y) ≠ (0,0)

en el punto (0,0) 0

si (x, y) = (0,0)

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 4 : DERIVADAS PARCIALES. APROXIMACIONES MEDIANTE EL POLINOMIO DE TAYLOR 1) Calcular las derivadas parciales primeras por definición, en los puntos indicados: a) f(x,y) = x2 + y2 – xy b) f(x,y) = x2 – 4 y

(x0,y0) = (2,1) (x0,y0) = (3,-1)

2 ) Hallar las derivadas parciales aplicando las Reglas de Derivación: a) f(x,y) = x2 + y2 – xy b) f(x,y) = xy c) f(x,y,z) = x y z + ln(xy) ex d) f(x,y) = y e) f(x,y) = x sen(xy) f) f(x,y) = ln(x y2) g) f(x,y) =ln(x) ln(y) h) f(x,y,z) = x2 y3 + z6 x2 y i) f(x,y,z) = 1+ x2 + y2

(

)

3) La altura de una región en un punto (x, y) del mapa (x e y expresados en metros) se expresa a través de la función f(x,y) = 10 – x2 – y2/4 a) Grafique la función, la cual representa el relieve de la región. b) Un explorador se encuentra ubicado en la posición (1,1) y desea moverse en la dirección del eje x. ¿Asciende o desciende y con qué rapidez? Represente gráficamente el camino que seguiría el explorador. c) Idem que en b), pero si se mueve en la dirección del eje y. d) ¿En cuál de estas dos direcciones el explorador ascendería o descendería más rápido? 4) Dada f(x,y) = 20 − x 2 − 7 y 2 aplique el polinomio de Taylor de grado 1 para hallar el valor aproximado de f(1.95, 1.08).

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5) Utilice el polinomio de Taylor de grado 1 para estimar f(6.9, 1.08) ,donde f(x ,y)= ln(x – 3 y) 6) Dada f(x,y) = x y aplique el polinomio de Taylor de grado 1 para hallar el valor aproximado de 2.05 3.01 .

7) Estime el valor de 9.1 − 0.9 en base a la función f(x,y) =

x− y

8) La altura (en metros) de una montaña en un punto (x, y) del mapa (“x” e “y” expresados en km) se representa mediante cierta función f(x, y). Un montañista se encuentra ubicado en la posición P = (2, 3), a 400 m. de altura. Tiene la información de que, si se mueve en la dirección del semieje “x” positivo, la altura crece a una rapidez de 2 m/ km, mientras que si se desplaza en la dirección del semieje “y” positivo, la altura decrece a una rapidez de 4 m/ km. Aplique el polinomio de Taylor para estimar la altura de la montaña en el punto (2.5, 3.2)

Aplicaciones de las derivadas parciales: Ejemplos adicionales. Ejemplo 1: Un fabricante elabora x unidades de un producto X e y unidades de un producto Y. En este caso, el costo total c de estas unidades es función de x e y y se la conoce como función de costos conjuntos. Si esa función es c= f(x,y) , entonces

∂c recibe el nombre de costo marginal ∂ x

(parcial) con respecto a x. Es la tasa de variación de c con respecto a x, cuando se mantiene y fijo. De manera similar,

∂c es el costo marginal (parcial) con respecto a y. Es la tasa de ∂ y

variación de c con respecto a y cuando se mantiene x fijo. Por ejemplo, si c se expresa en dólares y

∂c = 2 , entonces el costo de fabricar una unidad ∂ y

extra de Y cuando el nivel de producción de X es fijo es de aproximadamente 2 dólares. Ejercicio: Una compañía fabrica dos tipos de esquíes: los modelos Relámpago y Alpino. Si la función de costos conjuntos de fabricar x pares del modelo Relámpago e y pares del modelo Alpino a la semana es: c = f(x,y) = 0.06 x2 + 65x +75y + 1000 en donde c se expresa en dólares. Calcular los costos marginales

∂c ∂ c cuando x=100 e , ∂ x ∂ y

y=50. Interpretar los resultados. ________________________________________________________________________________ Cálculo Infinitesimal II

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Solución: Los costos marginales son: ∂c = 0.12x + 65 , ∂ x ∂ c (100,50) = 77 ∂ x ∂ c (100,50) = 75 ∂ y

∂ c = 75 . ∂ y

Así,

(I) ( II )

La ecuación (I) significa que aumentando la producción del modelo Relámpago de 100 a 101 al tiempo que se mantiene en 50 la producción del modelo Alpino, produce un aumento de costos de aproximadamente 77 $ . La ecuación (II) significa que aumentar la producción del modelo Alpino de 50 a 51 y manteniendo en 100 la producción del modelo Relámpago, produce un aumento de costos de aproximadamente 75 $. De hecho, como

∂ c es una función constante, ∂ y

el costo marginal con respecto a y es de 75 $ a cualquier nivel de producción. Ejemplo 2: En un día gélido, una persona puede sentir más frío cuando hay viento que cuando no lo hay, porque la tasa de pérdida de calor es función tanto de la temperatura como de la velocidad del viento. La ecuación H = (10.45 + 10 w - w) (33 - t ) señala la tasa de pérdida de calor H ( en kilocalorías por metro cuadrado y por hora) cuando la temperatura del aire es t (en grados Celcius) y la velocidad del aire es w (en m/seg). Para H=2000, la carne se congelaría en un minuto. a) Calcular

∂ H ∂ H cuando t=0 y w=4. Interpretar los resultados. , ∂ w ∂ t

b) Cuando t=0 y w=4, ¿qué ocasiona un mayor efecto sobre H: un cambio en la velocidad del viento de 1 m/seg, o un cambio en la temperatura de 1°C? Solución: a)

∂ H ∂ H (0,4) = 49.5 , (0,4) = - 26.45 ∂ w ∂ t

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Esto significa que cuando t=0 y w=4 , al aumentar w en una cantidad pequeña, al tiempo que se mantiene t fija, hace que H crezca en aproximadamente 49.5 . Incrementando t en una cantidad pequeña, al tiempo que se mantiene w fija, hace que H disminuya aproximadamente en 26.45 . b) Como la derivada parcial de H respecto de w es de mayor magnitud que la derivada parcial con respecto a t cuando t=0 y w=4, un cambio en la velocidad del viento de 1 m/seg tiene un mayor efecto sobre H. Ejemplo 3: La elaboración de un artículo depende de muchos factores de producción. Entre éstos se encuentra la mano de obra, el capital, el terreno, las maquinarias, etc. Supondremos, por sencillez, que la producción depende sólo de la mano de obra y del capital. Si la función P = f(l,k) da la producción P cuando el fabricante utiliza l unidades de mano de obra y k unidades de capital, entonces a esta función se la denomina función de producción. Se define la productividad marginal con respecto a l como

∂ P . Esta es la tasa de variación de P con ∂ l

respecto a l cuando se conserva k fija. De la misma manera, la productividad marginal con respecto a k es

∂ P . Esta es la tasa de variación de P con respecto a k cuando l se mantiene ∂ k

fija. Ejercicio: El fabricante de un juguete popular ha establecido que su función de producción es P= lk , donde l = es el número de horas de mano de obra por semana. K= es el capital (espresado en centenares de dólares por semana) que se requiere para producir semanalmente P gruesas del juguete ( 1 gruesa=144 unidades) Hallar las funciones de productividad marginal cuando l=400 y k=16. Interpretar los resultados. Solución: 1 5 ∂ P ∂ P (400,16) = , (400,16) = 10 2 ∂ l ∂ k

En consecuencia, si l=400 y k=16, aumentar l a 401 y mantener k en 16 origina un aumento en la producción de alrededor 1/10 de gruesa. Pero si k aumenta en 17, al tiempo que se mantiene l en 400, la producción aumenta aproximadamente 5/2 de gruesa.

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 5 : DERIVADAS DIRECCIONALES 1) Calcular la derivada direccional de f en la dirección dada v, en el punto P : a) f(x,y) =1+2x y

v = (3,4)

P=(1,1)

b) f(x,y) = x/y

v = (-1,3)

P=(6,-2)

c) f(x,y) = x 2 + y 2 v = (

-1 2 , ) 5 5

P=(0,-1)

2) Si f(x,y) = 2x + 4y/x , calcular la derivada direccional de f en (1,-1) en la dirección del vector (2,3). ¿Para cuál dirección v es

∂ f ( 1,-1) = 0 ? ∂ v

Ejercicios de aplicación 1) Si la temperatura en cada punto de una placa rectangular es T(x,y) = 5 + 2x2 + y2 , partiendo de (4,2) y moviéndose en la dirección del vector (1,2). ¿crece o decrece la temperatura? 2) La profundidad ( en dm) de un lago en un punto (x,y) de su superficie ( x e y expresadas en metros) se expresa a través de la función f ( x, y ) =

4 1+ x + 2y 2 2

Un niño se encuentra en la posición (1,0), ¿en qué dirección deberá moverse para que la temperatura decrezca a una rapidez de 2 dm/m ? 3) Una montaña tiene forma de paraboloide elíptico z = 100 - x2 - y2, donde z= altitud sobre el nivel del mar.

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Un ingeniero desea construir un ferrocarril que suba la montaña. Subir directo la montaña es demasiado empinado para la fuerza de las máquinas. En el punto (1,1), ¿en qué direcciones se puede colocar la vía de modo que la rapidez de crecimiento de la altura sea igual a 0.03 ?

z

(1,1)

y

x

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 6 : EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 1) Hallar los puntos críticos de las siguientes funciones y determine cuáles son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de ensilladura a) f(x,y) = x2 – y2 + xy b) f(x,y) = x2 + xy + y2 + 3x – 3y + 4 c) f(x,y) = e1+ x

2

−y2

d) f(x,y) = 7 x2 – y2 + 3 x- 6 y + 2 e) f(x,y) = ex cos(y) f) f(x,y) = x4 + (x- y)4 g) f(x,y) = x3 + y3 + 3 y2 – 3x – 9 y + 2 h) f(x,y) = 2 x3 – 6 x2+ y3 – y2 + 7 i) f(x,y) = 2 x4 + y2 – x2 – 2 y 2) La altura de una montaña en la posición (x,y) se expresa a través de la función f(x,y) = 2

2

2 e - x + e -3 y . Hallar la altura máxima de la montaña.

3) En un cierto proceso automatizado de manufactura, se utilizan las máquinas A y B durante ¨x¨ e ¨y¨ horas. Si la producción diaria Q es función de ¨x¨ e ¨y¨, es decir, Q(x,y) = 4.5 x + 5 y – 0.5 x2 – y2 – 0.25 xy Hallar los valores de ¨x¨e ¨y¨que maximizan Q. ________________________________________________________________________________ Cálculo Infinitesimal II

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4) (Para matemáticos) Hallar la distancia más corta entre las rectas L1 y L2, siendo: y z  L1=  (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x = =  2 3 

{

L2= (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x = y - 3 = z

}

5) Una fábrica produce 2 tipos de maquinarias: A y B. El costo, el precio de venta y la demanda del mercado de cada uno de ellos se indican en la siguiente tabla:

Tipo de maquinaria

Costo unitario

Precio de Venta Unitario

Cantidad a vender

A

40 $

X

3200- 50 x + 25 y

B

50 $

Y

25 x – 25 y

Determinar los precios de venta a fin de obtener la máxima ganancia. Ayuda: Exprese la función Ganancia = Precio Venta – Precio Costo en términos de ¨x¨ e ¨y¨

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 7 : EXTREMOS RESTRINGIDOS O VINCULADOS 1) Para cada una de las siguientes funciones, aplique el Método de los Multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos críticos y determinar si son máximos o mínimos. Represente gráficamente, sobre el conjunto restricción, los puntos críticos hallados. a) f(x,y) = 25 – x2 – y2

con la restricción x2 + y2 – 4y = 0

b) f(x,y) = x2 + y

con la restricción x2 + y2 = 9

c) f(x,y) = x

con la restricción x2 + 2 y2 = 3

d) f(x,y) = x2 + 2 y2

con la restricción x2 + y2 = 1

2) Un alambre tiene la forma de una circunferencia de ecuación x2 + y2 = 1. La temperatura en cualquier punto (x,y) del alambre se expresa a través de la función f(x,y) = 2 x2 + y2 – y. Determine los puntos más calientes y más fríos del alambre y muéstrelos gráficamente. Para Matemáticos: 3) Hallar el extremo de f(x,y)= x z – y z sobre la curva intersección de las superficies x 2 + z 2 = 2  y z = 2

Respuesta: (1 , 2 , 1 ) , (1, -2 , -1 ) , (-1 , -2 , -1 ) , (-1 , 2 , 1 ) 4) Encuentre los puntos de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 4 que están más cerca y más lejos del punto (3 , 1, -1 ) ________________________________________________________________________________ Cálculo Infinitesimal II

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2 -2   6 2 2   6 , , ,, Respuesta:   , −  11 11 11   11 11 11  

5) Encuentre el máximo valor de la función f(x,y,z) = x + 2 y + 3 z en la curva intersección del plano de ecuación x – y + z = 1 con el cilindro x2 + y2 = 1. Respuesta: 3 +

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6) Un envase cilíndrico debe tener 1 litro de capacidad. ¿Cómo debe diseñarse el envase para minimizar el costo? Respuesta: radio =

3

1 , altura = 2 2π

3

1 2π

7) Mostrar que la caja rectangular de volumen dado tiene superficie mínima cuando la caja es un cubo 8) Escribir el número 120 como suma de 3 números, de modo que la suma de los productos tomados de 2 en 2 sea mínima. Respuesta: x = y = z= 40.

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FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 8 : INTEGRALES DOBLES 1) Describir las siguientes regiones del plano: a)

c)

e)

b)

d)

f)

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2) Dibujar las regiones determinadas por los límites de integración y evaluar las siguientes integrales: 1

1 x2

a) ∫ ∫ 1 dy dx

b)

0 0

1

1-

x

∫ ∫ xy

2

dy dx

0 - x2 x 2

c) ∫ ∫ (2 - x - 2y) dy dx 0

x 2

1

x

4

d) ∫

y +1

∫ x y dy dx

- 2 1 y 2 −3 2

e) ∫ ∫ 1 dy dx 0 -x2

3) Calcule el área de las siguientes regiones, aplicando integrales dobles: a) El círculo de centro (0,0) y radio R. b)

c)

4) Cambiar el orden de integración de las integrales del Ejercicio 2) ________________________________________________________________________________ Cálculo Infinitesimal II

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 9 : SERIES NUMÉRICAS 1) Hallar valor de las siguientes series: a)

∞

n

1- n

∑2 3

b)

n =1

∞

 1 c) ∑   n =1 2  e)

∞

∑8

-n

n =1

g)

∞

∑

(- 3) n - 1 4n

n =1

n

∞

n

∞

(4) n + 1

n=0

5n

 1 d) ∑ 5   n=0  3  1+ n

3

∞

∑ 3- 2 n 2 n + 3

f)

h)

n =1

∑

∞

∑ (3) 2 2 n + 3 (5)1 - n

n=0

2) Analizar si las siguientes series son o no convergentes, aplicando los criterios de convergencia adecuados: ∞

1 a) ∑ 2 n =1 n ∞

n2 c) ∑ n n =1 3 (2n + 3) 2 e) ∑ 2n n =0 ∞

∞

b)

n ∑ n n =1 4 ∞

4n d) ∑ 2 n =1 n ∞

n

6 2 f) ∑   n n =1 5 

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∞

∞

10n g) ∑ n =0 n!

h)

∞

∞

2 i) ∑ 3 n =1 (n + 1) ∞

k) ∑ ( −1)

n +1

n =0 ∞

j) ∑ ( −1)

1 n +1

n

n =0

n n4 + 3 n2 + 2 n2 +1

∞

s)

∑

n =0

∞

l) ∑ ( −1)

n +1

1 n 2

n =1 ∞

1 2 n = 0 (2n + 1)

n) ∑

∞

e2 n o) ∑ n n =1 n

∑

1 n

 2 n + 3 p) ∑   n =1 3 n + 2 

∞

q)

n +1

n =1

n m) ∑ ( −1) 2n + 1 n =1

∞

1 n =1 n (n + 1)

∑

n +3n +6n 5

3

∞

r)

∑

n =0

∞

t)

∑

n =0

n

2 + sen 2 (n + 1) n 2 + 2n (n + 1) 2 n!

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 10 : CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS 1) Aplicar el Criterio del Cociente para analizar la convergencia de las siguientes series: ∞

a)

∑3 n =1

∞

c)

∑ n =1 ∞

e)

∑ n =1 ∞

g)

∑ n =1

∞

n3

b)

n

2   3

∑ n =1

∞

n

d)

∑5 n =1 ∞

1 n!

f)

8   7

∑ n =1

n

3 n

n

6   n 5

n

6 2   n 5

2) Aplicar el Criterio de la Raíz para analizar la convergencia de las siguientes series: ∞

a)

∑ n =1 ∞

c)

∑ n =1

2n+3    3  e   n

∞

n

b)

∑ ∞

 n 4 + 2 n3   n2 + 1 

n =1

n

d)

n

 n2 + 1     2 n 2 + 1  

∑ n =1

   

n

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3) Aplicar el Criterio de Comparación por paso al Límite para analizar la convergencia de las siguientes series: ∞

a)

∑ 3n n =1 ∞

c)

∑ n =1 ∞

e)

∑ n =1

∞

1 2

+2

b)

n =1 ∞

1 n +1

d)

2

f)

n3 + 4

∑ ∑ n =1 ∞

∑ n =1

1 n+4 5 n3 + 4 n 2 + 6 6 n2 + 2 n 1 n (n + 1) (n + 2)

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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA FACULTAD DE TECNOLOGÍA INFORMATICA CALCULO INFINITESIMAL II TRABAJO PRACTICO N° 11 : SERIES DE FOURIER 1) Hallar la serie de Fourier de las siguientes funciones periódicas. Grafique la función dada, y la función a la cual converge su correspondiente Serie de Fourier. − 1, − π < x < 0, a) f ( x ) =  1, 0 < x < π,

f ( x ) = f ( x + 2 π)

0, 1 ≤ x < 2, b) f ( x ) =  2 ( x − 4) , 2 ≤ x < 5,

f(x) = f(x + 4)

c) f ( x ) = x − 1, 1 < x ≤ 3,

f ( x ) = f ( x + 2)

 41 − x, 0 < x < 21 , d) f ( x ) =  x − 34 , 21 < x < 1,

f ( x ) = f ( x + 1)

x 3 , − 1 < x < 0, e) f ( x ) =  0, 0 ≤ x < 1,

f ( x ) = f ( x + 2)

sin( πx ), 2 < x ≤ 3, f) f ( x ) =  0, 3 < x < 4,

f ( x ) = f ( x + 2)

g) f ( x ) = e

2 x +1

,

− 3 < x < −1,

f ( x ) = f ( x + 2)

2) Dada la función periódica

1, 0 < x < 1, f(x) =  2, 1 < x < 3,

f ( x ) = f ( x + 3)

a) Verificar que la Serie de Fourier de f está dada por

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S f ( x) =

5 1 ∞ 1  2nπ   2nπx    2nπ    2nπx  − ∑ sen  cos  + 1 − cos  sen  3 π n=1 n   3   3    3   3 

b) Evaluando la serie en x = 3, determine el valor de la siguiente suma: ∞

 2nπ  . 3 

1

∑ n sen n=1

3) a) Verificar que la serie de Fourier de la función periódica definida por f ( x ) = x en − 2 < x < 2,

f ( x ) = f ( x + 4), está dada por

S f ( x) = −

8 ∞ 1  (2n − 1)πx  cos   ∑ 2 π 2 n=1(2n − 1)2  

b) Evaluando la serie en x = 2, determine el valor de la siguiente suma: ∞

∑

1

n=1

(2n − 1)2

.

4) a) Verificar que la serie de Fourier de la función periódica definida por f ( x) = x 2 en − 1 < x < 1, f ( x ) = f ( x + 2), está dada por

S f (x) =

1 4 + 3 π2

∞

∑ n 1

( −1)n n2

=

cos(nπx )

b) Evaluando la serie x = 1 y en x = 0, determine el valor de las siguientes sumas: ∞ 1

∑n n=1

2

∞

( −1)n 2 n=1 n

∑

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Respuestas Trabajo Práctico N°11 Ejercicio 1 ∞

a) S f ( x ) =

∑n=1 n2π [1 − (−1)n ] sen(n x )

b) S f ( x ) =

3 4

∞

+ ∑n=1[a n cos( n2πx ) + b n sen( n2πx )]

i8 n π H−1Ln + 4 n π CosB 5 n π F + I− 8 + n2 π2 M SinB 5 n π Fy n3 π3 k 2 2 { 1 i 5 n π 5 n π 5nπ y bn = − I8 − 4 n2 π2 M H− 1Ln − 8CosB F + n2 π2 CosB F − 4 n π SinB F n3 π3 k 2 2 2 {

an =

1

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c) Sf ( x ) = 1 +

∞

∑n=1 n2π (−1)n+1sen(nπx)

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d) Sf ( x ) =

∞

∑n=1 n21π2 [1 − (−1)n ] cos(2nπx )

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1 e) Sf ( x ) = − 8 +

f) S( x ) =

−1 π

∞

2 2 )( −1)n

∑n=1[ −6−3( −2n+4nπ4π

∞

+ ∑n =2 [ 2(n−−11)π +

( −1)n −1 2(n −1) π

+

cos(nπx ) −

1 2( n +1)π

( −6 −n 2 π 2 )( −1)n n3 π 3

sin(nπx )]

( −1)n

− 2(n −1)π ] cos(nπx ) + 21 sin( πx )]

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g) Sf ( x ) =

−1 4

+

e4 4

∞

n

4

n

4

∑n=1[ 2( −1) ( −41++ne2π)2cos(nπx ) + nπ( −1) ( −41++n42eπ2) sin(nπx ) ]

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Ejercicio 2 b)

∑

∞

1 n =1 n

sen( 2 n3π ) = π6

Ejercicio 3

b)

∑

∞

1 n =1 ( 2 n −1) 2

= π8

2

Ejercicio 4 b)

∑

∞

1 n =1 n2

=

π2 6

,

∑

∞

( −1)n n =1 n 2

=−

π2 12

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