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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

GUÍA PARA PRÁCTICA

Lic. Adm. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

HUARAZ – PERÚ - 2 003

FCEAC - UNASAM

-1-

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA 1.

GENERALIDADES

Una cola de espera se presenta: -

Cuando un vehículo está esperando pasar con el semáforo en rojo.

-

Para pagar un recibo en un banco.

-

Para pagar en un supermercado.

-

En una fábrica esperando turno para utilizar una máquina.

Las fórmulas que se utilizan sirven para analizar una situación dada, más no generan una optimización de la situación, el analista de la cola deberá simular varias situaciones y de acuerdo a la evaluación que efectúe podrá determinar lo mejor. El administrador debe balancear los costos de la espera con respecto a los costos de un servicio más rápido o eficiente. Supongamos que nos enfrentamos al problema de establecer el número de muelles de carga y descarga que necesita el departamento de embarque y recibo de la planta. Para su análisis, las siguientes definiciones son útiles: Cliente.- Es la persona o cosa que requiere un servicio. Ejemplo, los camiones que llegan a la planta. Servicio.- Es la acción necesitada por el cliente; para los camiones el servicio será la carga y/o descarga. Instalación de Servicio.- En ocasiones llamada estación o canal, es el personal y equipo necesario para proporcionar el servicio; en el departamento de embarque y recibo, la instalación de servicio es el muelle, el equipo para el manejo de materiales y el personal de embarque y recibo. 2.

NATURALEZA DE LOS SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA

Para entender los modelos de líneas de espera, el que la analiza debe examinar primero la naturaleza de los sistemas que la contienen. Existen cinco componentes principales en un sistema de líneas de espera: La disciplina de línea, la facilidad de servicio, el patrón de llegadas, y otros factores. 2.1.

DISCIPLINA DE LA LÍNEA

La disciplina de la línea se refiere al orden en el cual son aceptados los componentes de la cola para darles servicio.

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La situación más típica para una disciplina de espera es el que llega primero sale primero (PEPS). No obstante, existen otros patrones. En algunos casos, un sistema puede seleccionar al componente de la línea que tenga el servicio esperado más corto, de manera que sea el primero en salir. Cuando tiene lugar este tipo de prioridad, se hace referencia a la disciplina de líneas como la "operación inminente más corta". Este tipo de disciplina puede ser encontrado en el modelo de un taller de reparaciones. Si se aceptan antes las unidades que necesitan reparaciones menores se está en efecto en una disciplina de una operación inminente más corta. Al analizar un hospital, un modelo adecuado será una disciplina de línea que permita que los casos de emergencia sean atendidos antes que los regulares. 2.2. FACILIDAD DE SERVICIO La forma cómo se prestará el servicio puede tener múltiples variantes, los casos más generales son: a. Un solo Servidor

El sistema de un solo Servidor, sólo hay una instalación de servicio; la línea, si se presenta, se forma en ese punto. Un ejemplo típico es la taquilla en el cine. En este sistema generalmente se tiene una sola taquilla en la cual se compran los boletos. b. Servidor en Paralelo

El servicio en Paralelo existe cuando se tienen múltiples instalaciones dando el mismo tipo de servicio. Ejemplo: Las cajas registradoras de los supermercados.

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c.

Servidor en Serie

En este sistema de servicio, el cliente debe pasar a través de una serie de instalaciones de servicio. Ejemplo: Un taller mecánico, primero se repara luego se pinta. d. Servidor en Paralelo con una sola Línea INSTALACIONES DE SERVICIO LLEGADAS

Los clientes hacen una sola cola pero son atendidos por varias unidades de servicio. Muchos bancos utilizan esta estructura debido a que el análisis matemático ha mostrado que se acortará el promedio de tiempo de espera. Reduce el impacto frustrante de estar en una línea que se mueve despacio observando a la línea siguiente moverse rápidamente. 2.3. PATRÓN DE LLEGADAS La forma como llegan los clientes determinan un patrón. Por ejemplo, se puede saber por la experiencia pasada que pueden llegar cada hora a un taller de reparaciones 0, 1, 2, 3 máquinas, con probabilidades respectivas de 0,35, 0,30, 0,20 ó 0,15. Una distribución teórica que con frecuencia es la adecuada para describir el patrón de llegadas es la distribución de Poisson, que supone que el número de llegadas puede ser cualquier entero de cero o más, pero que grandes cantidades de llegadas son relativamente improbables. Se usa el símbolo λ (Lambda) para denotar la media (promedio de llegadas por unidad de servicio). 2.4. PATRÓN DE SERVICIO El patrón es fijado por la forma como se presta el servicio, igualmente se puede utilizar la experiencia pasada para describirla. El patrón puede ser modelado con la distribución teórica exponencial, que supone que el tiempo de servicio puede ser cualquier tiempo de cero a más y siendo de

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una cierta longitud se decrementa continuamente conforme se incrementa la longitud del tiempo. Se usa el símbolo µ (mu) para denotar la cantidad media de unidades que pueden ser servidas por unidad de tiempo. Por ejemplo, si el tiempo requerido para pagar en un supermercado sigue una distribución exponencial con un tiempo medio por pago de 1/10 de hora (6 minutos). Entonces la cantidad media de clientes que pueden ser atendidos por hora es µ = 10. 2.5. OTROS FACTORES En la mayoría de las formulaciones de los problemas de línea de espera, se supone que las llegadas entran a la cola y son servidas de acuerdo a la disciplina de cola. Se sabe por experiencia sin embargo, que hay ocasiones en que una llegada no siempre sigue este patrón típico. Una situación que puede ocurrir consiste en que una llegada puede no entrar en la línea de espera porque ésta es demasiado larga. Se conoce a este caso como frustración. Las llegadas también pueden escoger dejar la línea antes de que reciban el servicio, condición a la que se hace referencia como renuncia. Otra contingencia posible es que el componente de la cola se mueva de una línea de espera a otra en los sistemas con líneas múltiples. A menos que estos factores ocurran en el problema a un nivel significativo, usualmente se modelará el problema de manera que refleje las llegadas de modo que simplemente entren en la línea y esperen a ser servidos. 3.

ANÁLISIS DE LOS COSTOS ESPERADOS

El principal motivo para analizar los modelos de línea de espera consiste en el estudio de los costos esperados de operación para diferentes sistemas. Lo que se debe buscar es lograr niveles aceptables (mínimos) en la capacidad de servicio y en lo referente a costos de tiempo de espera de los clientes. Al aumentar la capacidad de servicio, hay una reducción en el costo de la cola. En una fábrica, se podrá medir el costo que implica el poner una instalación de servicio. Por ejemplo una máquina fotocopiadora, si existen trabajadores esperando por sacar fotocopias, se podrá deducir el costo de la cola mediante una valorización del tiempo de la espera vía costo de los sueldos o salarios. El decidir por una reducción del costo puede pasar por la opción de adquirir otra fotocopiadora, con lo cual se reduciría el costo de la espera. Si el costo de nueva fotocopiadora es menor que el costo de la espera se procederá a su compra. En un banco tendría que hacerse un análisis especial para medir el costo de la espera. En un hospital sería difícil el valorar dicho costo, sabiendo que puede estar involucrado el tratar de medir el valor de la vida. En todo caso se asume que existe un Costo de Oportunidad, es decir el Cliente podría asignar un costo al tiempo que permanece dentro del sistema ya que dicho tiempo lo podría dedicar a otra actividad económica. No se debe confundir este costo con el pago por el servicio. Un análisis completo podría implicar el considera el costo promedio para el cliente, involucrado en la espera y en recibir el servicio.

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COSTO DE LA COLA a) Cq = Wq x λ x c b) Si se tiene que: Lq = Wq x λ c) En a) y b)

SIMBOLOGÍA Cq= Costo Total de la Espera en una Unidad de Tiempo. Wq= Tiempo Esperado que un elemento gasta en la línea. λ = Tasa media de clientes que llegan por unidad de tiempo. c = Costo de Oportunidad Unitario del Cliente. Lq= Cantidad esperada de Elementos en la cola.

Cq = Lq x c EN EL SISTEMA d) Cs = Ws x λ x c e) Con similar criterio que para c): Cs = Ls x c

Cs= Costo Total en el Sistema en una Unidad de Tiempo. Ws= Tiempo Esperado que un elemento gasta en el Sistema. λ = Tasa media de clientes que llegan por unidad de tiempo. c = Costo de Oportunidad Unitario del Cliente.

SIMBOLOGÍA

AHORROS EN LA COLA

Aq =

Aq = Cq1 − Cq 2

C q1 =

Costo de la Cola sin nuevos recursos.

Cq2 =

Costo de la Cola con nuevos recursos.

EN LA LÍNEA DE ESPERA As = C s1 + C s 2

N° de Elementos en la Cola.

As = Ahorro en el Sistema. C s1 = Costo del sistema sin nuevos recursos. C s 2 = Costo del sistema con nuevos recursos.

CRITERIO DE DECISIÓN Se decidirá por inversión de nuevos recursos si: Aq > Nueva Inversión. As > Nueva Inversión. Evaluativamente es mejor la segunda relación, por perseguirse una minimización de los costos totales.

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FÓRMULAS BÁSICAS SOBRE TEORÍA DE COLAS MODELO DE UN SOLO SERVIDOR

DESCRIPCIÓN Factor de Utilización del Servidor (

ρ ).-Período de

tiempo que el servidor está ocupado Factor de No Utilización del Servidor ( P0 ).Período de tiempo que no habrá clientes en el sistema ni en cola ni siendo atendidos.

λ ρ= Rµ

λ P0 = 1 − µ

P0 =

µ=

1 R −1

1 λ 

∑ η!  µ 

η

+

Rµ 1 λ    R!  µ  Rµ − λ

λ µ −λ

Cantidad Esperada de Elementos en la Cola E(Xq).- Promedio de clientes en la línea de espera.

λ2 Lq = µ (µ − λ )

Tiempo Esperado que un Elemento gasta en el Sistema E(Ts).- Promedio de tiempo que el cliente pasa en el sistema (cola y servicio).

Ws =

Tiempo Esperado que un Elemento gasta en la Línea Wq.- Promedio de tiempo que el cliente pasa en espera antes de recibir el servicio.

λ Wq = µ (µ − λ )

Probabilidad de n clientes en el Sistema (Pn).Probabilidad de que haya n clientes en el sistema en cualquier momento.

λ  Pn = P0   µ 

1 µ −λ

Lq = Ls − Ws =

n

λ µ

λ

[

η=

Valor que señala a

η

servidores. n=

Número de (clientes).

Elementos

R=

Número Total Servidores.

de

Cliente: Persona o cosa que requiere un servicio. Ejemplo: Los camiones que llegan a una planta y requieren ser descargados.

1

µ

]

Pn = P0 (λ / µ ) / n!

[

Tasa media de Elementos

NOTA:

Ls

Wq = Ws −

Tasa media de elementos

(clientes) atendidos por el servidor.

R

R   λ    λµ     µ  (P ) + λ Ls =  2  0 µ  (R − 1)!(Rµ − λ )     

Ls =

SÍMBOLOGÍA

λ=

η =0

Cantidad Esperada de Elementos en el Sistema E(Xs) .- Promedio (media) de clientes tanto en la línea de espera como recibiendo servicio.

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MODELO DE SERVICIO EN PARALELO

λ ρ= µ

n

(

1 Nueva Inversión. nuevos

NOTA: Ver Ahorro en el Sistema (As), que mejora el criterio de decisión.

recursos.

Cq 2 =

Costo de la Cola con nuevos recursos.

C s = Ls * c Costo del Sistema (Cs).- Que puede ser sin la integración de nuevos recursos o con los nuevos recursos que buscan mejorar el servicio y cuya conveniencia se determinará a través de la comparación de los costos (con y sin).

Cs =

Costo del Sistema.

Ls =

N° de Elementos en el Sistema.

c

As = C s1 + C s 2

=

Costo de Oportunidad del Cliente.

As =

Ahorro en el Sistema.

C s1 =

Costo

del

sin

nuevos

sistema

con

nuevos

recursos.

Cs2 =

Costo

del

recursos.

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sistema

Ahorro en el Sistema, conviene: Si As > Nueva Inversión. Es preferible utilizar el criterio integral de los Costos en el Sistema (Cs) que los Costos en la Cola

1

PROBLEMAS ( ) I.

COMPONENTES DE UNA LÍNEA DE ESPERA

1.

Para cada uno de los siguientes problemas identificar la disciplina de línea, facilidad de servicio, patrón de llegadas y patrón de servicio.

a.

Un paseo popular en un parque, es el paseo en bote. Se ha obtenido los siguientes datos acerca del mismo: Excepto por un tosco patrón ocasional, a los clientes se les admite en el orden en el que llegan. El patrón de llegadas de los clientes puede ser descrito por una distribución de probabilidades con una media de 75 clientes por hora. Los clientes deben de esperar en una cola grande. Conforme alcanzan el área de abordaje, los clientes son embarcados en el siguiente bote que llega. El paseo tarda exactamente 6,5 minutos.

b.

Los puestos de refrescos presentan sistemas de líneas de espera muy interesantes durante el tiempo de descanso en los partidos de fútbol. En uno de tales puestos, se sabe que los espectadores llegan a una tasa constante de 150 por minuto. Hay siete líneas que conducen al puesto, y el espectador está en libertad de entrar en cualquiera de estas líneas. Una vez que el cliente llega al mostrador, se da el servicio por varios empleados en un orden aleatorio (dependiendo de quien primero vea el empleado). Se conoce que el tiempo que toma el colocar y recibir una orden sigue una distribución Exponencial. En promedio, toma 20 segundos al atender a un cliente.

c.

Otro problema de línea de espera interesante se da en los centros militares de exámenes médicos. Los reclutas que van a ser examinados en un centro llegan todos en camión a las 7:45 a.m. Entonces se alinean en orden alfabético para el examen. Cada recluta es llevado secuencialmente de una a otra de una docena de estaciones para hacerle varios exámenes. El examen tarda exactamente cuatro horas si no se encuentran problemas y cinco horas si son indicadas nuevas pruebas. El 10% de todos los examinados es retenido una hora más para pruebas adicionales.

II. MODELO DE UN SOLO SERVIDOR 2.

Las llegadas de los clientes a la peluquería “Cabel” sigue un patrón de Poisson con un promedio de 8 personas por hora. El tiempo que le lleva a su propietario hacer un corte de pelo sigue muy de cerca a la distribución Exponencial, pudiendo hacer un corte de pelo en un promedio de 10 clientes por hora. Suponiendo que los clientes sean atendidos conforme lleguen sobre una base PEPS, establecer: a)- El tiempo en el cual el servidor estará ocupado. b)- El tiempo en el cual no habrá clientes. c)- La cantidad esperada de elementos en el sistema. d)- Cantidad esperada de elementos en la cola. e)- Tiempo esperado que un elemento gasta en el sistema. f)- Tiempo

(1) Resulta práctico resolver los problemas utilizando el TORA.

esperado que un elemento gasta en la línea g)- La probabilidad de encontrar 2 clientes en cualquier momento. 3.

Los camiones llegan al lugar de carga y descarga de la fábrica Tansa con un promedio de 2 llegadas por hora. La cantidad promedio de camiones que pueden ser descargados en una hora es de 5. Suponiendo que el patrón de llegadas sigue una distribución de Poisson, los tiempos de servicio están exponencialmente distribuidos, y los camiones son atendidos sobre una base del primero que llega, primero atendido, calcular las siguientes estadísticas relativas a este sistema de línea de espera: a)- ρ. b)- P0. c)- Ls. d)- Lq. e)- Ws. f)- Wq. g)- P3.

4.

La compañía Express embarca regularmente por contrato ladrillos para los clientes de Rex S.A. Los camiones llegan al sitio de carga a una tasa promedio de 20 diarios (supóngase un día hábil de 8 horas). Puede ser cargado un promedio de 25 camiones por día hábil. Dado que las distribuciones Exponencial y de Poisson son las adecuadas y que la disciplina de la línea es PEPS, responda a lo siguiente: a) Calcular ρ. Interpretar el significado de la medida. b) Calcular Ls. Explicar el significado de la medida. c) Calcular Lq. Explicar el significado de la medida. d) Calcular Ws. Transformar la respuesta a horas e interpretar su significado en relación con el problema. e) Calcular Wq. Transformar la respuesta a horas y explicar su significado. f) Calcular la diferencia entre Ws y Wq. ¿Qué representa esto?

5.

En el Problema 2, se halló que el tiempo promedio que una persona emplea esperando antes de que llegue realmente al sillón del peluquero es de 4/10 de hora (Wq = 0,4 horas). Viendo esto, su propietario siente que este valor es algo grande. Después de un análisis establece que el costo de la espera por hora es de $3,00. El propietario puede rentar nuevo equipo para mejorar el tiempo de servicio en un promedio de 13 clientes por hora. La renta de ese equipo es de $5,00 por hora. Establezca si la mejor inversión es rentar el nuevo equipo analizando los costos de espera totales con y sin el nuevo equipo.

6.

La administración de la ladrillera Rex S.A. (ver Problema 4), está considerando contratar otro empleado para trabajar en el lugar de carga, al cual se le pagará $20,00 por día. Añadiendo esta persona se puede incrementar la cantidad promedio de camiones cargados por día de 25 a 40. Cuesta un promedio de $40,00 diarios el tener parado (ya sea esperando o siendo cargado) un camión. Se solicita: a) Calcular Ls para el sistema con µ = 40. b) Calcular Ws para el sistema con µ = 40. c) Establecer si debe se ser contratado el empleado. Usar el objetivo de minimizar los costos en el sistema totales. d) ¿Qué diferencia encuentra con el análisis de costos efectuado en el Problema 5? ¿Qué es lo más adecuado?

III.

MODELO DE SERVICIO EN PARALELO

7.

Los vehículos automotores clasificados como "pesados", llegan a un peaje ubicado en la carretera Panamericana a un promedio de 60 por hora. Hay dos casetas de cobro y cada una puede atender a un promedio de 40 vehículos por hora. Suponiendo que es adecuada una distribución de Poisson/Exponencial, calcular las siguientes medidas estadísticas: a)- ρ. b)- P0. c)-Ls. d)- Lq. e)- Ws. f)- Wq. g)- P30.

8.

Los clientes para medicina general llegan a la clínica "San Francisco" a una tasa promedio de λ = 3 por hora. En la clínica para medicina general están asignados para la atención permanente dos médicos, cada uno puede atender a 4 clientes por hora. Suponiéndose que están cubiertas las condiciones necesarias para usar las fórmulas sobre líneas de espera, calcúlese las siguientes estadísticas: a)- Po. b)- Ls. c)- Lq d)- Ws. e)- Wq. f)- Comparar las respuestas de d)- y e)de esta pregunta. Explicar las diferencias entre las dos. ANÁLISIS DE LOS COSTOS ESPERADOS

9.

Supóngase que la peluquería “Cabel” (ver Problema 2), añade otro sillón de peluquero. Supóngase que la tasa de llegadas media no cambia (entonces λ = 8 por hora). Si cada uno de los servidores tiene una tasa de servicio media, µ de 10 clientes por hora y si las otras condiciones pertinentes a este problema permanecen constantes establecer: a)- Po. b)- Ls. c)- Lq d)- Ws. e)- Wq. f)- Elaborar un Cuadro que muestre comparativamente las estadísticas entre los sistemas de un solo servidor y de doble servidor.

10. Nilton Aguirre, es el administrador de una tienda de alimentos que está siendo construida. El señor Aguirre está decidiendo si instalan dos o tres cajas registradoras. Su pasada experiencia en tiendas similares le muestra que el modelo del servidor en paralelo es el apropiado, dicho modelo tiene una cantidad media de llegadas de λ = 7 por minuto y una tasa media de servicio de µ = 4 clientes por minuto por caja. Se solicita: 11. Un cajero bancario puede atender un promedio de 10 clientes por hora ( µ = 10). Los clientes llegan a la ventanilla con un promedio de 7 por hora ( λ = 7). Se cree que las llegadas siguen una distribución de Poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución Exponencial. Si se añade un segundo cajero bancario ¿Qué tanto será mejorado el servicio? Calcular para los modelos de un solo servidor y de servidores múltiples: a)- ρ . b)- P0. c)-Ls. d)- Lq. e)- Ws. f)- Wq. g)- P4.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

En un pequeño grifo con una bomba de combustible, las llegadas siguen una distribución de Poisson con una tasa de 12 por hora. Los automóviles se abastecen de combustible a una tasa promedio de 20 por hora. a) ¿Qué porcentaje de tiempo estará ocupada la estación con ese servicio? b) ¿Cuántos vehículos se espera que estén en el sistema y en la línea de espera? c) ¿Qué tiempo se prevé que esté cada vehículo en el sistema y esperando?

2.

Si para el caso anterior se añade una bomba de combustible más, si las otras condiciones permanecen constantes, calcular lo siguiente: a)- ρ . b)- P0. c)-Ls. d)- Lq. e)- Ws. f)- Wq. g)- P3.

3.

Investigue otros modelos de líneas de espera que puedan diferenciarse a través de la notación de Kendall, que utiliza tres símbolos: A/B/s DONDE: A denota la distribución de probabilidad para el número de llegadas. B denota la distribución de probabilidad para el tiempo de servicio. s denota el número de canales.

4.

Resolver el modelo M/G/1 para una tienda que es atendida por un empleado, las llegadas de los clientes son aleatorias, y la tasa promedio de llegadas es de 21 clientes por hora o λ = 21/60 = 0,35 clientes por minuto. El tiempo promedio de servicio es de 2 minutos por cliente, con una desviación estándar de σ = 1,2 minutos. El tiempo promedio de 2 minutos por cliente muestra que el empleado tiene una tasa promedio de servicio de µ = 1 / 2 = 0,5 clientes por minuto. (Anderson: 559).

5.

El minimarket “Mili” sigue un patrón de Poisson con un promedio de 36 personas por hora. El tiempo que le lleva la cajera en atender a un cliente sigue muy de cerca a la distribución Exponencial, pudiendo ser en un promedio de 45 clientes por hora. Los clientes son atendidos conforme lleguen sobre una base PEPS, establecer: a)- El tiempo en el cual el servidor estará ocupado. b)- El tiempo en el cual no habrá clientes. c)- La cantidad esperada de elementos en el sistema. d)- Cantidad esperada de elementos en la cola. e)- Tiempo esperado que un elemento gasta en el sistema. f)Tiempo esperado que un elemento gasta en la línea g)- La probabilidad de encontrar 3 clientes en cualquier momento.

6.

Supóngase que el minimarket “Mili” (ver problema anterior), añade otra cajera. Supóngase que los datos para λ y µ problema permanecen constantes establecer: a) Po. b)- Ls. c)- Lq d)- Ws. e)- Wq. f)- Elaborar un Cuadro que muestre comparativamente las estadísticas entre los sistemas de un solo servidor y de doble servidor, comente sus resultados.

BIBLIOGRAFÍA ANDERSON, David y otros

Introducción a los modelos cuantitativos para administración. México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1 993.

GALLAGHER, Charles WARSON, Hugh

Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración. México, McGraw Hill, 1991.

HILLIER, Frederick LIEBERMAN, Gerald

Introducción a la Investigación de Operaciones. México, Mc Graw Hill, 1 997.

McKEOWN, Davis

Modelos Cuantitativos para Administración. México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1 995.

TAWFIK, L. CHAUVEL, A.M.

Administración de McGraw-Hil, 1 993.

THAJA Hamdy

Investigación de Omega, 1995.

ULLMANN, John E.

Métodos Cuantitativos en Colombia, McGraw-Hill, 1979.

FCEAC ENERO 2 003

la

Producción.

Operaciones

México,

México,

Alfa

Administración.