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• Rodrigo Vallejos Vergara

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GUIA N° 3 DE EJERCICIOS INVESTIGACION OPERATIVA METODO SIMPLEX EJERCICIO 1 Utilice el método simplex para resolver el siguiente problema: Maximizar Z = 4x1 + 3x2 + 6x3 Sujeta a: 3x1 + x2 + 3x3  30 2x1 + 2x2 + 3x3  40 y x1  0, x2  0, x3  0 EJERCICIO 2 Utilice el método simplex para resolver el siguiente problema: Maximizar Z = x1 + 2x2 + 4x3 Sujeta a: 3x1 + x2 + 5x3  10 x1 + 4x2 + x3  8 2x1 + 2x3  7 y x1  0, x2  0, x3  0 EJERCICIO 3 Utilice el método simplex para resolver el siguiente problema: Maximizar Z = x1 + 2x2 + 2x3 Sujeta a: 5x1 + 2x2 + 3x3  15 x1 + 4x2 + 2x3  12 2x1 + x3  8 y x1  0, x2  0, x3  0 EJERCICIO 4 Considere el siguiente problema: Maximizar Z = 2x1 + 4x2 + 3x3 Sujeta a: 3x1 + 4x2 + 2x3  60 2x1 + x2 + 2x3  40 x1 + 3x2 + 2x3  80 y x1  0, x2  0, x3  0 EJERCICIO 5 Utilice el método simplex para resolver el siguiente problema: Maximizar Z = 2x1 - x2 + x3 Sujeta a: 3x1 + x2 + x3  6 x1 - x2 + 2x3  1 x1 + x2 - x3  2 y x1  0, x2  0, x3  0

EJERCICIO 6 Utilice el método simplex para resolver el siguiente problema: Maximizar Z = -x1 + x2 + 2x3 Sujeta a: x1 + 2x2 - x3  20 -2x1 + 4x2 + 2x3  60 2x1 + 3x2 + x3  50 y x1  0, x2  0, x3  0 EJERCICIO 7 Considere el siguiente problema: Maximizar Z = x 1 + x2 + x 3 + x4 Sujeta a: x1 + x2  3 x3 + x4  2 y xj  0, para j = 1, 2, 3, 4 Utilice el método simplex para encontrar todas las soluciones BF óptimas. EJERCICIO 8 Considere el siguiente problema: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 Sujeta a: x1 + 2x2 x1 + x2 y x1  0, x2  0

 4 = 3

a) Resuelva este problema gráficamente. b) Use el método de la M para construir la primera tabla simplex para el método simplex e identificar la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifique la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. c) Resuelva por el método simplex. EJERCICIO 9 Considere el siguiente problema: Minimizar Z = 3x1 + 2x2 Sujeta a: 2x1 + x2 -3x1 + 2x2 x1 + x2 y x1  0, x2  0

 10  6  6

a) Resuelva este problema gráficamente. b) Use el método de la M para construir la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifique la solución inicial BF (artificial) correspondiente. Identifique también la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. c) Resuelva por el método simplex.

EJERCICIO 10 Considere el siguiente problema: Minimizar Z = 2x1 + 5x2 + 3x3 Sujeta a: x1 - 2x2 + x3  20 2x1 + 4x2 + x3 = 50 y x1  0, x2  0, x3  0 a) Use el método de la M para construir la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifique la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifique la variable básica entrante y la variable básica que sale. b) Resuelva por el método simplex. EJERCICIO 11 Considere el siguiente PL: Maximizar Sujeta a:

a) b) c) d) e)

Z = 2x1 + 3x2 x1 + 3x2  6 3x1 + 2x2  6 y x1, x2  0 Exprese el problema en forma estándar. Determine todas las soluciones básicas del problema y clasifíquelas como factibles y no factibles. Emplee la sustitución directa en la función objetivo para determinar la mejor solución básica factible. Verifique gráficamente que la solución obtenida en c) sea la solución óptima de PL y, por lo tanto, concluya que la solución óptima se puede determinar algebraicamente, considerando sólo las soluciones factibles básicas. Muestre cómo la solución básica no factible está representada en el espacio de la solución gráfica.

EJERCICIO 12 Determine la solución óptima para cada una de las siguientes PL., enumerando todas las soluciones básicas: a) Maximizar Z = 2x1 - 4x2 + 5x3 + 6x4 Sujeta a: x1 + 4x2 - 2x3 + 8x4  2 -x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4  1 y x1, x2, x3, x4  0 b) Minimizar Z = x1 + 2x2 - 3x3 - 2x4 Sujeta a: x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 4 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 4 y x1, x2, x3, x4  0

EJERCICIO 13 Muestre que todas las soluciones básicas de las siguientes PL. son no factibles: Maximizar Z = x1 + x2 sujeta a x1 + 2x2  6 2x1 + x2  16 y x1, x2  0 EJERCICIO 14 Considere la siguiente PL.: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + 5x3 Sujeta a: -6x1 + 7x2 - 9x3  4 x1 + x2 + 4x3 = 10 y x1, x3  0 x2 no restringida La conversión a la forma estándar implica utilizar la sustitución x 2 = x2+ - x2-. Muestre que ninguna de las soluciones básicas del problema puede incluir tanto x2+ y x2- simultáneamente. EJERCICIO 15 Considere la siguiente PL.: Maximizar Z = x1 + 3x2 Sujeta a: x1 + x2  2 -x1 + x2  4 y x1 no restringida x2  0 a) Determine todas las soluciones básicas factibles del problema. b) Utilice la sustitución directa en la función objetivo para determinar la mejor solución básica. c) Resuelva gráficamente el problema y verifique que la solución obtenida en c) es la óptima. EJERCICIO 16 Considere la siguiente serie de restricciones: x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4  2x1 - x2 + x3 + 2x4  4x1 - 2x2 + x3 - x4  y x1, x2, x3, x4  0

40 8 10

Para cada una de las siguientes funciones objetivo, resuelva el problema utilizando SOLVER. Maximizar: Z = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4 a)

b) c) d) e)

Maximizar: Maximizar: Minimizar: Minimizar:

Z = 8x1 + 6x2 + 3x3 - 2x4 Z = 3x1 - x2 + 3x3 + 4x4 Z = 5x1 - 4x2 + 6x3 - 8x4 Z = -4x1 + 6x2 - 2x3 + 4x4

EJERCICIO 17 La siguiente tabla simplex representa una iteración simplex específica. Todas las variables son no negativas: Sólución básica factible z x6 x3 x1

x1 0 0 0 1

x2 -5 3 1 -1

x3 0 0 1 0

x4 4 -2 3 0

x5 -1 -3 1 6

x6 -10 -1 0 -4

x7 0 5 3 0

x8 0 1 0 0

620 12 6 0

a) Determine la variable de salida si la variable de entrada es (i) x 2, (ii) x4, (iii) x5, (iv) x6, (v) x7. b) Para cada caso en a) y sin utilizar las operaciones de Gauss-Jordan, determine el valor de la variable de entrada y el incremento correspondiente en el valor del objetivo z. EJERCICIO 18 a) Resuelva la siguiente PL. por inspección y justifique la respuesta en términos de las soluciones básicas del método simplex: Maximizar Z = x1 Sujeta a: 5x1 + x2 = 4 6x1 + x3 = 8 3x1 + x4 = 8 y x1, x2, x3, x4  0 b) Repìta a) suponiendo que la función objetivo requiere la minimización de z = x1. EJERCICIO 19 Considere la siguiente serie de restricciones: -2x1 + 3x2 = 3 (1) 4x1 + 5x2  10 (2) x1 + 2x2  5 (3) 6x1 + 7x2  3 (4) 4x1 + 8x2  5 (5) y x1, x2  0 Para cada uno de los siguientes problemas, desarrolle el renglón –z después de sustituir las variables artificiales:: a) Maximizar: Z = 5x1 + 6x2 sujeta a (1), (3) y (4). b) Maximizar: Z = 2x1 - 7x2 sujeta a (1), (2), (4) y (5). c) Minimizar: Z = 3x1 + 6x2 sujeta a (3), (4) y (5).

d) Minimizar: e) Minimizar: EJERCICIO 20 Considere el problema: Maximizar Sujeta a: y

Z = 4x1 + 6x2 sujeta a (1), (2) y (5). Z = 3x1 + 2x2 sujeta a (1) y (5).

Z = 2x1 + 4x2 + 4x3 - 3x4 x1 + x2 + x3 = x1 + 4x2 + x4 = x1, x2, x3, x4  0

4 8

Resuelva el problema utilizando x3 y x4 para la solución básica factible. No utilice ninguna variable artificial. EJERCICIO 21 Resuelva el problema utilizando x3 y x4 como las variables básicas factibles. No utilice ninguna variable artificial. Minimizar Z = 3x1 + 2x2 + 3x3 Sujeta a: x1 + 4x2 + x3  7 2x1 + x2 + x4  10 y x1, x2, x3, x4  0 EJERCICIO 22 Considere el problema: Maximizar Sujeta a:

Z = x1 + 5x2 + 3x3 x1 + 2x2 + x3 = 3 2x1 - x2 = 4 y x1, x2, x3  0 La variable x3 desempeña el papel de una holgura; por tanto, no necesitamos una variable artificial en la primera restricción. Sin embargo, en la segunda restricción se necesita una variable artificial. Utilice esta solución inicial (es decir, x 3, en la primera restricción y R2 en la segunda restricción) para resolver este problema. EJERCICIO 23 Para la siguiente PL., encuentre tres soluciones básicas óptimas alternativas y después escriba una expresión general para todos los óptimos alternativos no básicos que constituyen estas tres soluciones: Maximizar Z = x1 + 2x2 + 3x3 Sujeta a: x1 + 2x2 + 3x3  3 x1 + x2  5 x1  1 y x1, x2, x3  0

EJERCICIO 24 Muestre que todos los óptimos alternativos de la siguiente PL son no básicos. Proporcione una demostración gráfica bidimensional del tipo de espacio de la solución y de la función objetivo que producirá este resultado: Maximizar Z = 2x1 - x2 + 3x3 Sujeta a: x1 - x2 + 5x3  10 2x1 - x2 + 3x3  40 y x1, x2, x3  0 EJERCICIO 25 Para la siguiente PL., muestre que la solución óptima es degenerada y que existen soluciones alternativas que son todas no básicas: Maximizar Z = 3x1 + x2 Sujeta a: x1 + 2x2  5 x1 + x2 - x3  2 7x1 + 3x2 - 5x3  20 y x1, x2, x3  0 EJERCICIO 26 Considere la PL.: Maximizar Sujeta a:

y

Z = 20x1 + 10x2 + x3 3x1 - 3x2 + 5x3  50 x1 + x3  10 x1 - x2 + 4x3  20 x1, x2, x3  0

a) Al inspeccionar las restricciones, determine la dirección (x1, x2 o x3) en la cual el espacio de la solución es no acotado. b) Sin hacer cálculos adicionales, ¿puede usted concluir cuál es el valor objetivo óptimo? EJERCICIO 27 Considere el modelo de PL.: Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 3x3 Sujeta a: 2x1 + x2 + x3  2 3x1 + 4x2 + 2x3  8 y x1, x2, x3  0 Muestre, con la técnica de la M, que la solución óptima incluye una variable básica artificial. Sin embargo, debido a que su valor es cero, el problema tiene una solución óptima factible.