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• Marko Riofrio

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INVESTIGACION OPERATIVA METODO SIMPLEX INTRODUCCIÓN Su nombre está ligado, en estudios más avanzados, a un objeto geométrico al que se denomina simple (simplex). El método simplex se fundamenta en el álgebra y se lo aplica para resolver problemas de programación lineal tanto de maximización como de minimización. Empieza con una solución factible y la pone a prueba para descubrir si es óptima o no. si no lo es, se procede a obtener una mejor solución. Se dice “mejor” en el sentido de que la nueva solución este más cerca de la optimización de la función objetivo .si no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En algún momento el método conduce a una solución óptima, si es que existe. Además de ser eficiente, el método simplex tiene otras ventajas. Es completamente mecánico (se usan matrices, operaciones elementales), permite resolver problemas de programación lineal con cualquier número de restricciones y variables. Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas). Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex.   

Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. Todas las variables están restringidas a valores no negativos.

PROCEDIMIENTO Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que sea sujeto de solución. El sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente es el caso más frecuente de los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+) variables de holgura en los casos de expresión ≤ (igual o menor), restar (-) variables de holgura e introducir variables artificiales en los casos de ≥ (mayor o igual) y en los casos de = se introduce variables artificiales con signo más.

≤

+ Variables de Holgura.

+S ≥

- Variables de Holgura + Variable Artificial.

–S

+m =

+ Variable Artificial.

+m

MAXIMIZACION MEDIANTE EL SIMPLEX PLANTEAMENTO 1. variables

Producto I

X1

Producto II

X2

Producto III

X3

Producto IV

X4

Identificacion de

2. Función objetivo

Z ( MAX )=C 1 X 1+C 2 X 2 +C3 X 3 +… … …+ Cn X n

3. Limitaciones o restricciones

A 11 X 1+ A 12 X 2+ A 13 X 3+ A 1nXn ≤ b 1

A 21 X 1+ A 22 X 2+ A 23 X 3+ A 2nXn ≤ b 2 A 31 X 1+ A 32 X 2+ A 33 X 3+ A 3 nXn ≤ b 3 4. No negatividad

x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0

RESOLUCION

Cuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe solución única, si no que implica muchas posibilidades, razón por la cual, el método simplex va generando soluciones básicas.

INTRODUCION DE VARIABLES DE HOLGURA Como el primer miembro de la inecuación es inferior a otro, es necesario introducir una variable denominada de Holgura que cubra imaginariamente el valor faltante, para convertirlo en igualdad.

S 1, S 2, S 3, … . , Sn=variables de holgura A 11 X 1+ A 12 X 2+ A 13 X 3+ A 1nX + S 1=b 1

A 21 X 1+ A 22 X 2+ A 23 X 3+ A 2nXn+ S 2=b 2 A 31 X 1+ A 32 X 2+ A 33 X 3+ A 3 nXn+ S 3=b 3 A m 1 X 1 + A m 2 X 2 + A m 3 X 3 +… …+ A mn X n+ … …+ Sn=bn

Al convertir el sistema de desigualdades en un sistema de ecuaciones mediante la introducción de variables, se ha logrado un importante punto de partida.

Z ( MAX )=C 1 X 1+C 2 X 2 +C3 X 3 +… … …+ Cn X n +0 S 1+0 S 2+ 0 Sn

MINIMIZACION MEDIANTE EL SIMPLEX

En problemas de minimizacion se introduce variables de holgura con signo negativo y las variables artificials con signo positivo.  

Sj= variables de holgura mj= variables artificiales

cuando hay variables de hlgura y artificiales , priero se eliminan las artificiales ,luego las de holgura.si la restricion es una igualdad, entonces se introduce solamente variabes artificiales con signo positivo.

1. Función objetivo

Z ( Min )=? X 1+? X 2 +…+ 0 S 1+OS 2+ …+ Mn 1+ Mn 2−Mm 1

2. Limitaciones o restricciones

A 11 X 1+ A 12 X 2−S 1+m 1=b 1

A 21 X 1+ A 22 X 2−S 2+m2=b 2 A 31 X 1+ A 32 X 2−S 3+m 3=b 3

Xj ≥ 0

EJERCICIO DE APLICACIÓN se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por 3 máquinas M1,M2,M3 que disponen de 130 ,190 , 200 horas semanales menos , la M1 procesa 1 unidad de A y 1 de B , M2 procesa 2 de A y 1 de B , M3 procesa 1 de A y 4 de B . el costo de procesar es de 2 dólares por cada unidad de A y B se deben procesar para que el costo sea mínimo.

FUNCION OBJETIVO

Z ( Min )=2 X 1 +3 X 2 +0 S 1+ 0 S 2+ Mn 1+ Mn 2+ Mn 3

 

X1=articulo A X2=articulo B

RESTRICCIONES

X 1+ X 2≥ 130 capacidad de procesar de M 1 2 X 1+ X 2 ≥ 190 capacidad de procesar de M 2 X 1+4 X 2 ≥ 200 capacidad de procesar de M 3

VARIABLES DE HOLGURA Y ARTIFICIALES

X 1+ X 2−S 1+m1=130 2 X 1+ X 2−S 2+ m2=190 X 1+4 X 2−S 3+m3=200

SOLUCION CON PROGRAMA COMPUTACIONAL

INTERPRETACION DE RESULTADOS Z (min) X1 X2 S1 S2 S3



283.33 DOLARES 106.66 23.33 0 DE M1 46.66 0 DE M3

UNIDADES DEL ARTICULO A UNIDADES DEL ARTICULO B SE UTILIZO TODA LA CAPACIDAD CAPACIDAD NO UTILIZADA DE M2 SE UTILIZO TODA LA CAPACIDAD

Para obtener una mayor producción de los artículos Ay B y que el costo de operación sea un valor mínimo de $283.33 se debe producir 106. 66 unidades del articulo A y 23.33 del artículo B, dejándonos una capacidad sin utilizar de 46.66 de M2.

BIBLIOGRAFIA:

Erazo J. (2007).Investigación Operativa 1, método simplex, pp (146-163) Haeusseler E. (2008) Matemática para la administración y economía, método simplex, pp (296-306) .Editorial Pearson, 2da edición.