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MATRICES 1. Indique el orden de cada una de las siguientes matrices:

a)

d)

3  2 

4 −7

(− 8

5  6 

9 1

4

b)

)

 7  − 5  3 

−8   4 2 

e)

 2 0 3    1 − 2 5  3  −1 0  4 

c)

2. Respecto a la matriz:

1 −7  3  5 −2 2 8 A=  1 0 4 − 5    7 −2 6 −7  3 5 

a) b)

Indicar el orden Identificar a22 = a13 = a24 =

3. Dadas las matrices:

2 −1  4 1  2 3 4 A= 3 − 4 −1 2 5  

 3 2 −1   5 3 4  B= 4 −5 6 − 2 5 1   2  7 6

Calcular el valor de: a12 + b12 + a 23 + b23 a 21 + b21 + a 23 + b32

a)

x=

b)

y = (b33 + b31 )( a 24 − a14 )

c)

z=

d)

w = (b22 − a 24 ) 2

a 22 ⋅ b22 − b31 ⋅ a13 b11 ⋅ b13 − a13 ⋅ a11

(1)

4    7  3   

f)

(8)

4. Calcular el valor de las variables x, y, z para que las matrices dadas, en cada caso sean iguales: a)

 4x + 3 y − 2z A =  13 

 43 5 x − y + z   B =  61 13 

b)

47 − 2   5  C=  7x − 3y − 9 2  3 

 5 3x + 2 y − 2   D= 2   102 −9 3 

c)

 4 x − 5 y 50   E=  5x + 4 y − 3  5 

 7 5x + 7 z   F=  19 − 3  5  

d)

7x + 5 y H =   9

19 I = 9 

e)

 3 2 −3  5 J= 4 3 − 2 1 1   3 5 8

 3 3x − 3   5 5 K= 4  − 2 1 7 y  4  3 5

f)

 6 3x − 5 y   L=1  11   2 

34   6  M =1  7x + 2 y   2 

  6 x + y − 4 z  49

4 y + 8z   − x + 3 z 

84   28  

5. Calcular las siguientes sumas de matrices: 7  − 5 +  −9   9

a)

 4  − 6 

b)

 3 − 5  −1 2   4 8 +  5 3 = 7 4   3 7   6 7   4 6

c)

 7  − 4 

5 8

−8 −15

9  16  +  4   8

7 −4

−14 − 20

−8 = 19  

12   4 +  −15    −18

(2)

−9 19

−17  = − 21 

d)

 0,6 3   3 − 2   − 3 0,4   = 5 + 4 3 +  7  − 2 0,25   0,75 1   − 0,6 2  3 4   3  

6. Determinar en cada caso los valores de x e y, de modo que se cumpla la igualdad. a)

3x  5

4   15 + 2 y   − 7

8   27 = − 24   − 2

b)

3   2 7   3 − 2   7x 4  =  3 20   4 5 +  5  1 − 2   2 − 9 y   13 3  3  7 21 5  3  4

c)

( 3x − y

d)

 3 x 2 y   18 48   6 x 6 y    5  + − 7 2  =  − 3 7   4     0,2 − 0,5   3 2  19 1     4 3   20 6

2x + 7 y) + (5 y

12   − 6 

− 18 x ) = (18 − 11)

7. Restar las siguientes matrices: −5  2  −  8   −8

a)

 4  − 7 

6  = −9 

b)

3  2 −1  2  3 4 = 4 − 5 −1 −1  3 −1  2  4 5  5

c)

0,7  0,4 

d)

− 3 2  − 5 

− 0, 5   0,3  −  − 0,42   0, 2

0,5  = 0,2  

3   5 32 − 7   − 3 20

− 75  = − 28 

8. Resolver las siguientes ecuaciones:

(3)

a)

 3 x +  − 2

5  4 = 7   − 3

b)

3 2  2 1   0 1  x +  4 5  =  3 4  +  1 1   1 2 4 2    2 4  2  

c)

 9 x +  −8

d)

6  2

7  6 = 5   8

− 8  4  − − 3   − 7

8   − 6 

− 6  − 7 

4   2  − − 3   − 8 − 5  7 = 8   − 4

3 − 3  + x +  5   8

4   − 9 

9. Determine en cada caso los valores reales de x, y, z, w de modo que se cumpla la igualdad: y  2  −  5  7

− 6  11 −15   −   − 2 w   z 

a)

x  4 

3 5  =  8  9

b)

 2 0, 2   0 1   − 3 7   x y     −   =   −  1   2  0,02 2   1 0   z w   9 

10. Multiplique las siguientes matrices: a)

b)

2  4 

3  1 ⋅  1  0

0 1   −1 3 

0 4

4

5

0

1

−1

2

4  2   −1 ⋅ 5  0 2 

7 = 3  1   0  = 0   −5 

11. Dadas las matrices:  3 A =    − 1

B = (1 − 2 )

 3 1 0  C =   −1 2 5

Calcular: a)

A⋅ B =

b)

B⋅ A =

(4)

3 2    D =  1 − 1 0 5   

c)

C⋅D =

d)

D ⋅C =

12)

Dadas las matrices:

 1 4 0 5  P =   2 0 0 1

Calcular:

1  −1 Q= 0  1 

0  1 0  0 

1 0   R =   0 − 1

a)

( P ⋅ Q) ⋅ R =

b)

( R ⋅ P) ⋅ Q =

c)

( R ⋅ Q) ⋅ P =

13)

Calcular las siguientes potencias de A = 

a)

A2

14)

Determinar los valores de x e y, de modo que se cumpla la igualdad:

a)

2  4

3   0 1   3x ⋅ = 5   −1 0   − 5

b)

5  4

−7 x ⋅ − 2   0

c)

 6 8   x − 6   1 0   0 0   +   ⋅   =     4 5   − 3 y   0 0   1 0 

15)

Obtener la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:

a)

 5  − 2 

4  7 

d)

6  12 

b)

 4  − 4 

2   −5 

e)

1 1   2 4  8 6  

2 3

b)

5   −1 

A3

y  5 = 1   4

2   2 y  3  6 

(5)

8  16  

−3  7  

 − 6 10    1  2  5 6

c)

− 2   5 

16)

Calcular el valor de x, y, z, w, de modo que se cumpla la igualdad:

a)

5  8

b)

− 3 0   x x + z   0 1 + 5x    −   = − w ⋅  5 ⋅  1   1 y − 2 − 1 y 0      2

f)

− 6 − 2 y  = 7 ⋅  x   3z

4w   5 

3 4

 7 1  B =   − 2 0

17)

 Dadas las matrices: A =  5 6 Calcular:

a)

det( A) + det( B ) =

f)

1 = det( B )

b)

det( A + B ) =

g)

det(3B ) =

c)

det( A) ⋅ det( B ) =

h)

det( B 2 ) =

d)

det( A ⋅ B ) =

i)

det( AT ) =

e)

det( B −1 ) =

j)

det( A ⋅ AT ) =

18)

Calcular el valor de las variables x e y, para que se cumpla en cada caso la igualdad indicada:

a)

3

0

0

3 x −5

2x

b)

c)

x −5 6

−5

3

2y

=0

8 3x + 5 = 3 x =

4

−2

y

−6

(6)

19) a)

Resolver los siguientes determinantes: 4 −5 −6

1 2 3

−7 10 = 11

b)

−3 1 0

0 2 4

−4 3 = 0

20)

Aplicar “Regla de Cramer” para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

5x - 8y = 42 3x + 2y = 32

b)

3x + 5y = 11 5x – 8y = 2

c)

d)

x + y + z = 7 2x – y + 3z = 13 x + 3y – z = 1

e)

2x + 3y – 5z = -11 x– y+ z= 5 3x + y – z = 3

2x + 5y = 0 3x – 7y = 29

(7)

RESPUESTAS 1) a) b) c) d) e) f) 2) a) b)

3) a) b) c)

2x3 3x2 3x1 1x3 3x3 1x1 3x4 a22 = 0 a13 = ½ a24 = -5

1   129  140 3  d)  − 31 7  60 6   6) a) x = 4 y=9 b) x = -5_ 84 y = -76 135 c) x = 2 y=3 d) x = 6 y = 12

209 x= 229 27 y= 56 8480 z= 1183 w = 49

d) 4) a) x = 10 y=1 z=0 b) x = 15 y=1 c) x = 3 y=1 z=5 d) x = 2 y=1 z = 10 e) x = 10 9 y = 1_ 14 f) x = 3 y = -5

−1 12 4  3

5) a)  

b) c)

b)

c)

2  4 

−1  10  

11)a)

 4 1   15  − 19 −3  20 10    2 − 19   5 18  8 − 28  45   45

1   11  20 24   23 73   12 42 

 − 1 17  x =  12 20   4 1   4  − 5  24

c) x = 

− 2  5

d) x = 

9) a) x = -4 y = 12 z = 12

(8)

7

6

17

19

2

3   −1 

−10   −7  

b) c) d) 12)a)

23   31 

−10   − 26   −6  3   −1 2    (5) 5 10  −1 21    7 10   7   −1 −5   4 −5 10 25    2 − 4    3 0    3 3

 − 23 2 6 3   d)  3 7  5 5  1 3    8) a) x =   − 1 − 13  

b)

11

b)  

−11  17  

2 7) a)  1 

b) x = -5 y = 70 9 z = -13 15 w=4 10)a)

 2 − 3

4  0 

19 3

5  16  

53 54

90   −1 

b)  

c) ∃ 13)a)  

b)  

14)a) x = -1 y=2 b) x = 1 y=2 c) x = -6 y= ∃

w=1 15)

−4  7  43 43  a) 2 5   43 43  1  5  12 6 b) −1 −1  3  3  7 − 5

c)  d) e)

f)

∃

3   −2 

 6 −1   4 − 8 1  2  −1   30 2  2 6   25 5 

16) a) x = 35 y=-5 14 z= 8 21 w=-3 14 b) x = 6 y=0 z= 1 5 w = 10

17)a) 0 b) 45 c) –4 d) –4 e) ½ f) ½ g) 18 h) 4 i) –2 j) 4 18)a) x = 5 3 b) x = 47 2 c) y = -39 10 19) a) -16 b) 489 c) 20 d) 0 20) a) x = 10 y=1 b) x= 2 y=1 c) x = 5 y = -2 d) x = 0 y=2 z=5 e) x = 2 y=0 z=3

(9)