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MATRICES Y DETERMINANTES 1. DEFINICIÓN: Una matriz es una tabla de números reales dispuestos en filas y columnas. Se nombra con una letra mayúscula, en nuestro caso A, o bien 𝑎 . A cada uno de los elementos de la matriz los notaremos por 𝑎 , dónde el subíndice 𝑖 denota el número de fila dónde se encuentra el elemento y el subíndice 𝑗 la columna.

2. DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ: Es el número de filas y de columnas que tiene una matriz. En nuestro caso, la matriz tendrá dimensión 𝑚 × 𝑛. Si 𝑚 = 𝑛, igual número de filas que de columnas, se dice que la matriz es de orden n. El número total de elementos que forman una matriz es 𝑚 ∙ 𝑛.

3. IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices son iguales.

4. TIPOS DE MATRICES MATRIZ FILA: Es aquella que tiene una sola fila. 𝐴 = (𝑎

𝑎

𝑎

⋯𝑎

𝑎 )

𝑎 𝑎 MATRIZ COLUMNA: Es aquella que tiene una sola columna. 𝐴 = ⋮ 𝑎 MATRIZ CUADRADA: es aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas. En caso contrario se llama rectangular. 𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐴= 𝑎 ⋯ 𝑎 A los elementos de la forma 𝑎 , se les denomina diagonal principal. Y al conjunto de elementos 𝑎 que cumplen que 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1, se les denomina diagonal secundaria. MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por 𝑨𝒕 , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. 1 −1 1 −2 3 𝐴= 𝐴 = −2 1 −1 1 6 3 6

ESTHER GARCÍA-LIGERO RAMÍREZ

Página 1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA:  

(𝐴 ) = 𝐴 (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 𝐵

 

(𝑘𝐴) = 𝑘 ∙ 𝐴 (𝐴 ∙ 𝐵) = 𝐵 ∙ 𝐴

MATRIZ SIMÉTRICA: Es toda matriz cuadrada que cumple que 𝑎 = 𝑎 . (Al doblar por la diagonal principal coinciden sus elementos). 1 2 −1 𝐴= 2 3 −6 −1 −6 1 MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Es toda matriz cuadrada que cumple que 𝑎 = −𝑎 , y como consecuencia la diagonal principal está formada por ceros. 0 2 5 𝐴 = −2 0 −4 −5 4 0 MATRIZ NULA: Se llama así a toda matriz cuyos elementos son todos ceros. Se representa por 0 y también se llama matriz cero. (No tiene por qué ser cuadrada, puede ser también rectangular). 0 0 0= 0 0 MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada, en la que todos sus elementos son cero salvo los de la diagonal principal. 2 0 0 𝐴 = 0 −1 0 0 0 3 MATRIZ ESCALAR: Es una matriz diagonal con todos sus elementos de la diagonal principal iguales. 2 0 0 𝐴= 0 2 0 0 0 2 MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se denota por la letra 𝐼 , dónde n indica el orden de la matriz. 1 0 0 1 0 𝐼 = 0 1 0 𝐼 = 0 1 0 0 1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos. 2 7 −1 𝐴 = 0 −1 2 0 0 3 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos. 2 0 0 𝐴 = 5 −1 0 −2 7 3

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Esther García-Ligero Ramírez

5. OPERACIONES CON MATRICES 5.1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES La suma, diferencia, de dos matrices 𝐴 = 𝑎

y𝐵= 𝑏

otra nueva matriz de la misma dimensión, 𝑆 = 𝑠

, de igual dimensión, es

y cuyo término genérico es 𝑠 =

𝑎 ± 𝑏 . (Nota: si la dimensión no es la misma no se pueden sumar ni restar).

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES:  ASOCIATIVA: 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶  CONMUTATIVA: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴  ELEMENTO NEUTRO: 𝐴 + 0 = 𝐴  ELEMENTO OPUESTO: 𝐴 + (−𝐴) = 0  SIMPLIFICATIVA: 𝐴 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐵

5.2.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO El producto de un número real 𝑘 por una matriz, 𝐴 = 𝑎 es otra matriz de igual dimensión que A y en la que cada elemento se obtiene multiplicando los elementos de A por el número 𝑘.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ:  DISTRIBUTIVA 1ª: 𝑘 ∙ (𝐴 + 𝐵) = 𝑘 ∙ 𝐴 + 𝑘 ∙ 𝐵  DISTRIBUTIVA 2ª: (𝑘 + ℎ) ∙ 𝐴 = 𝑘𝐴 + ℎ𝐴  ASOCIATIVA MIXTA: 𝑘 ∙ (ℎ ∙ 𝐴) = (𝑘 ∙ ℎ) ∙ 𝐴  ELEMENTO NEUTRO: 1 ∙ 𝐴 = 𝐴  SIMPLIFICATIVAS: 𝑘𝐴 = 𝑘𝐵 ⟹ 𝐴 = 𝐵 𝑘𝐴 = ℎ𝐴 ⟹ 𝑘 = ℎ

5.3.

PRODUCTO DE MATRICES

No todas las matrices se van a poder multiplicar, tienen que cumplir la condición que se da a continuación en la definición. El producto de una matriz 𝐴 = 𝑎 de dimensión 𝑚 × 𝑛 por la matriz 𝐵 = 𝑏 de dimensión 𝑛 × 𝑞, es otra matriz 𝐶 = 𝑐 de dimensión 𝑚 × 𝑞, tal

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que cada elemento de la matriz producto, 𝑐 , se obtiene multiplicando escalarmente la fila 𝑖 de la primera matriz por la columna j de la segunda.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES:  ASOCIATIVA: 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) = (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶  DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA: 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶  NO ES CONMUTATIVO: 𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴  ELEMENTO NEUTRO: 𝐴 ∙ 𝐼 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴  POR NO SER CONMUTATIVO NO SE VAN A CUMPLIR: 𝐴∙𝐵 =0 ⇏ 𝐴 =0ó𝐵 =0 𝐴∙𝐵 =𝐴∙𝐶 ⇏ 𝐵 =𝐶 (𝐴 ± 𝐵) ≠ 𝐴 ± 2𝐴𝐵 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵) ∙ (𝐴 + 𝐵) ≠ 𝐴 − 𝐵

5.4.

POTENCIA DE UNA MATRIZ La potencia de una matriz, 𝐴 = 𝑎 , es otra matriz de igual dimensión que A y que se obtiene multiplicando A por sí misma, tantas veces como indique el exponente. 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴⋯𝐴 “n- veces”

5.5. MATRIZ INVERSA Dada una matriz 𝐴 de orden n, no siempre va a existir otra matriz B que cumpla 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐼 . En el caso de que esto suceda, decimos que la matriz B es la inversa de la matriz A y se designa por 𝐴 . Si una matriz tiene inversa, ésta es única. Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz identidad de orden n. Si una matriz tiene inversa, se dice que es inversible o regular, en caso contrario se llama singular. Para que una matriz tenga inversa es necesario: Que sea una matriz cuadrada. Que su rango sea igual al orden de la matriz. Para calcular la inversa de una matriz se pueden utilizar tres procedimientos: Por la definición de inversa.

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Por el método de Gauss.

Por determinantes.

6. RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes que posee una matriz. Dada una matriz 𝐴 de orden n, a lo sumo podrá tener rango n. El valor máximo que puede tener el rango de una matriz rectangular es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión 3 × 5, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es 3 (pues 3 = mínimo {3, 5}). El rango de una matriz se puede calcular: Por Gauss. Por determinantes.

7. APLICACIONES DE LAS MATRICES Las matrices tienen muchas aplicaciones en todas las disciplinas y en problemas de la vida cotidiana. 7.1. GRAFOS Un grafo es una forma de representar, de una manera gráfica y cómoda, las posibles relaciones entre objetos.

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Un grafo, G = (V, A), consiste en dos conjuntos finitos: V cuyos elementos se llaman vértices o nodos y A cuyos elementos llamaremos aristas o arcos. El número de vértices se denomina orden del grafo. El número de aristas se denomina tamaño del grafo. Cada arista conecta dos vértices. Bucle o lazo: es la arista que une un vértice consigo mismo. Aristas múltiples: cuando más de una arista conecta los mismos vértices. Vértices aislados: no están unidos a otro vértice. Vértices adyacentes: son aquellos que están unidos por una arista. Dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común. Un grafo es simple si no tiene bucles ni aristas múltiples. El camino a una sucesión de aristas adyacentes (que pueden repetirse). Si un camino recorre n vértices se dice que tiene longitud (n-1).

7.2.

TIPOS DE GRAFOS

Grafos dirigidos o digrafo: las aristas están dirigidas entre los vértices. Ejemplo: el grafo de relaciones sentimentales.

Grafos no dirigidos: las aristas no están dirigidas. Ejemplo: la red de aguas de una ciudad.

7.3.

MATRIZ DE ADYACENCIA

Es una matriz cuadrada que se utiliza para representar un grafo, de forma que sus filas y columnas representan, ordenadamente, los vértices del grafo, y cada elemento 𝑎 de la matriz indica el número de aristas entre el vértice i y el j. Notas:  La matriz de adyacencia es única para cada grafo.  Se llama de adyacencia porque indica cómo es la relación entre vértices adyacentes.

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  

La matriz es simétrica si el grafo es no dirigido. Si un vértice es aislado, la correspondiente fila está compuesta por ceros. Si el grafo es simple, la matriz está formada por ceros y unos, y la diagonal solo por ceros.

7.4.

EJEMPLOS

Los precios de tres artículos, A, B y C, son 12 €, 15€ y 8€, respectivamente. Durante la última semana se han vendido 100 unidades del artículo A, 110 unidades del artículo B y 45 del artículo C. Representa las matrices que recogen la información aportada por el enunciado. ¿Qué operación matricial permite obtener la ganancia total? ¿A cuánto asciende? ¿Qué operación matricial ofrece la ganancia en función del producto vendido? ¿Cuál es para cada producto? Un grafo es una forma de representar, de una manera gráfica y cómoda, las posibles relaciones entre objetos. El grafo siguiente representa las conexiones ferroviarias existentes entre cuatro importantes ciudades españolas. a) Obtener la matriz de adyacencia asociada al grafo. b) ¿Qué indicaría el producto de la matriz anterior por ella misma?

8. CÁLCULO DE DETERMINANTES 8.1. DETERMINANTES DE ORDEN 2

𝑎 Dada una matriz cuadrada de orden dos 𝐴 = 𝑎

𝑎 𝑎

, se llama determinante de A al 𝑎 𝑎 número real que se obtiene de la siguiente forma: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝐴| = 𝑎 𝑎 =𝑎 ∙𝑎 − 𝑎 ∙𝑎 Es decir, el producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

8.2.

DETERMINANTES DE ORDEN 3

𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Dada una matriz cuadrada de orden tres 𝐴 = , se llama determinante de A al 𝑎 𝑎 𝑎 número real que se obtiene de la siguiente forma: 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝐴| = = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

∙𝑎

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∙𝑎

+𝑎

∙𝑎

∙𝑎

+𝑎

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∙𝑎

∙𝑎

−𝑎

∙𝑎

∙𝑎

−𝑎

∙𝑎

∙𝑎

−𝑎

∙𝑎

∙𝑎

9. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 9.1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila o columna el primero y segundo sumando, respectivamente, y las demás los mismos elementos que el determinante inicial. 𝑎 + 𝑎´ 𝑏 + 𝑏´ 𝑐 + 𝑐´ 𝑎 𝑑 𝑑 𝑒 𝑓 = 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔

𝑐 𝑎´ 𝑏´ 𝑐´ 𝑓 + 𝑑 𝑒 𝑓 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖

9.2.

Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 𝑘∙𝑎 𝑘∙𝑏 𝑘∙𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 =𝑘∙ 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖

9.3.

Si A y B son matrices cuadradas de igual dimensión, el determinante de su producto es igual al producto de los determinantes. |𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵|

9.4.

Si cambiamos entre sí dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo respecto al inicial. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑓 =− 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖

9.5.

Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna con todos sus elementos nulos, su determinante es cero. 0 0 0 𝑑 𝑒 𝑓 =0 𝑔 ℎ 𝑖

9.6.

Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 =0 𝑔 ℎ 𝑖 Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante es cero.

9.7.

𝑎 𝑘∙𝑎 𝑔

8

𝑏 𝑒 ℎ

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𝑏 𝑘∙𝑏 ℎ

𝑐 𝑎 𝑘∙𝑐 =𝑘∙ 𝑎 𝑖 𝑔

𝑏 𝑏 ℎ

𝑐 𝑐 =0 𝑖

9.8.

𝑘∙𝑔+𝜆∙𝑑 𝑑 𝑔

9.9.

Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

𝑘∙ℎ+𝜆∙𝑒 𝑒 ℎ

𝑘∙𝑖+𝜆∙𝑓 𝑔 𝑓 =𝑘∙ 𝑑 𝑖 𝑔

ℎ 𝑒 ℎ

𝑖 𝑑 𝑓 +𝜆∙ 𝑑 𝑖 𝑔

𝑒 𝑒 ℎ

𝑓 𝑓 =0 𝑖

Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía. 𝑎+𝑑 𝑑 𝑔

𝑏+𝑒 𝑒 ℎ

𝑐+𝑓 𝑎 𝑓 = 𝑑 𝑔 𝑖

𝑑 𝑐 𝑓 + 𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑒 𝑒 ℎ

𝑓 𝑎 𝑓 = 𝑑 𝑔 𝑖

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓 𝑖

9.10. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada de le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía. 𝑎+𝑘∙𝑑 𝑑 𝑔

9.11.

𝑏+𝑘∙𝑒 𝑒 ℎ

|𝐴| = |𝐴 |

𝑐+𝑘∙𝑓 𝑎 𝑓 = 𝑑 𝑔 𝑖

y

|𝐴 | =

𝑏 𝑒 ℎ

𝑑 𝑐 𝑓 +𝑘 𝑑 𝑖 𝑔

𝑒 𝑒 ℎ

𝑓 𝑎 𝑓 = 𝑑 𝑔 𝑖

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓 𝑖

| |

10. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Si las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su determinante es cero. (Propiedad 8 de determinantes). Por lo que, si el determinante de una matriz cuadrada es cero, las filas o columnas de la matriz serán linealmente dependientes. En caso contrario serán independientes. Sea A una matriz de dimensión 𝑚 × 𝑛, y sea h un número natural tal que 1 ≤ h ≤ mínimo {m, n}. Se llama menor de orden h de la matriz A al determinante de la matriz cuadrada de orden h que se obtiene al suprimir m - h filas y n - h columnas de la matriz A. 2 5 7 0 Por ejemplo, en la matriz 𝐴 = 3 1 4 −2 de orden 3 x 4 hay: 6 1 2 8 12 posibles menores de orden 1 (porque tiene 12 elementos)

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18 posibles menores de orden 2 (puesto que se pueden elegir 18 determinantes distintos de orden 2) 4 posibles menores de orden 3 (puesto que se pueden escoger 4 determinantes distintos de orden 3) Menores de orden 3:

Menores de orden 2:

El rango de una matriz A es h, cuando A tiene un menor de orden h distinto de cero y todos los menores de orden h + 1 son nulos. El procedimiento para calcular el rango de una matriz A cualquiera, de dimensión 𝑚 × 𝑛, empleando determinantes, es el siguiente: Si algún elemento de la matriz es distinto de cero, entonces su rango es mayor o igual que 1. En caso contrario (matriz nula) el rango sería 0.

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Se elige, si existe, un menor de orden 2 distinto de cero. En este caso, el rango es mayor o igual que 2. Si no existiera ningún menor de orden 2 distinto de cero, el rango de la matriz sería 1. Al menor de orden 2 distinto de cero, obtenido en el paso anterior, se le añade otra fila y otra columna cualesquiera hasta encontrar, si existe, un menor de orden 3 distinto de cero. De esta forma, el rango de la matriz es mayor o igual que 3. Si todos los menores de orden 3 son nulos, el rango de la matriz sería 2. Al menor de orden 3 distinto de cero, obtenido en la etapa anterior, se le añade otra fila y otra columna cualesquiera hasta encontrar, si existe, un menor de orden 4 distinto de cero. De esta forma, el rango de la matriz es mayor o igual que 4. Si no existiera ningún menor de orden 4 distinto de cero, el rango de la matriz sería 3. Se repite este proceso hasta encontrar algún menor de orden h (1 ≤ h ≤ mínimo {m, n}) distinto de cero, y que todos los menores de orden h + 1 sean nulos.

11. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR UN ELEMENTO Y SU ADJUNTO Utilizando las propiedades 4, 9 y 10 del apartado anterior, dado un determinante, se puede transformar en otro determinante, que valga lo mismo, y tal que todos los elementos de una fila o columna determinada sean ceros excepto uno de ellos. A continuación, calcularíamos el valor del nuevo determinante aplicando la definición por recurrencia. 𝑎 𝑑 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑎𝐹 − 𝑑𝐹 𝑓 = 𝑎𝐹 − 𝑔𝐹 = 0 𝑖 0 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 = (−1)

∙𝑎∙

𝑏 𝑎∙𝑒−𝑑∙𝑏 𝑎∙ℎ−𝑔∙𝑏

𝑎∙𝑒−𝑑∙𝑏 𝑎∙ℎ−𝑔∙𝑏

𝑐 𝑎∙𝑓−𝑑∙𝑐 = 𝑎∙𝑖−𝑔∙𝑐

𝑎∙𝑓−𝑑∙𝑐 𝑎∙𝑖−𝑔∙𝑐

12. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Para que una matriz tenga inversa, es necesario que sea cuadrada y que su rango coincida con su orden, es decir, que el determinante de la matriz sea distinto de cero. La inversa de una matriz cuadrada vendrá dada por la siguiente fórmula:

𝐴

=

(𝐴𝑑𝑗(𝐴)) |𝐴|

Los pasos para calcular la inversa de una matriz cuadrada por determinantes son:

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1. Calculamos su determinante. Si el determinante es distinto de cero, la matriz será inversible o regular, mientras que, si su determinante es cero, la matriz será singular y por tanto no tendrá inversa. 2. Se calcula la matriz Adjunta de la matriz dada. Se llama matriz adjunta de una matriz A, a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento 𝑎 por su adjunto 𝐴 . Se llama adjunto de un elemento 𝑎 al determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila i columna j de la matriz A, multiplicado por (−1) . 3. Se traspone la matriz adjunta resultante. 4. Se dividen todos los elementos de la matriz obtenida por el determinante de la matriz A. 1 0 Ejemplo: Sea la matriz 𝐴 = 0 1 −1 1

1 1. 0 −1

0 1 1

obtener su inversa.

−1 −3 = 2 ≠ 0 ⟹ 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 ⟹ ∃𝐴 0

3 2. 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 3 1

3. 𝐴

−1 −3 0

−1 −1 −1

⎛ =⎜

⎞ ⎟

⎝

⎠

1 3 1

13. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Las ecuaciones, o sistemas, matriciales son ecuaciones en las que las incógnitas son matrices. También puede suceder que las incógnitas sean algunos de los elementos de una matriz. Para resolver las ecuaciones matriciales se procederá igual que con las ecuaciones numéricas, pero teniendo en cuenta la NO CONMUTATIVIDAD del producto de matrices. En el caso de los sistemas de ecuaciones matriciales, se puede utilizar cualquiera de los métodos que utilizamos para resolver sistemas de ecuaciones numéricos, es decir, sustitución, igualación o reducción. Siempre teniendo en cuenta la no conmutatividad del producto de matrices.

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