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• Luis Angel Cangalaya Aquino

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M = [aij]  R2x4 / aij = 2i – j. Solución:

MATRICES

Formamos la matriz:

Matriz Es un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas, que tienen la siguiente forma:  a11 

a12

L

a1j

L

 a21 a22 L  M M   ai1 ai2 L

a2 j L

 M M a  m1 am2 L

M amj L



M aij L

a1n  a2n M ain  M amn

Se denota por una letra mayúscula (A,B,C, etc); sus elementos son los números aij, donde i representa la fila donde se encuentra y j la columna. Abreviadamente se representa por: A=(a ij)mxn , A es la matriz de m filas y n columnas. Nota -

Los elementos de una matriz no necesariamente son números, pueden ser: funciones, vectores, etc. La matriz no tiene valor numérico; es decir, no puede identificarse con un número. El conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en k, se denotara como Kmxa , es decir:

-



K mxn  A / A   aij mxn

 a11 a12 a13 a14   a21 a22 a23 a24

M

….(α) 2 4

Damos valor en el operador matemático: aij = 2i – j a11 = 2(1) – 1 = 1 a12 = 2(1) – 2 = 0 a13 = 2(1) – 3 = -1 a14j = 2(1) – 4 = -2

a21 = 2(2) – 1 = 3 a22 = 2(2) – 2 = 2 a23 = 2(2) – 3 = 1 a24 = 2(2) – 4 = 0

Reemplazamos en la matriz (α):  1 0 -1 -2   3 2 1 0

M

2 4

Igualdad de Matrices Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus componentes correspondientes son iguales, es decir, las matrices son idénticas: Sea:

A  (aij )mxn



B  (bij )mxn

Orden y Dimensión de una Matriz Es aquella multiplicación indicada que representa al número de filas por el número de columnas. Ejemplos:  1  2    5

A  B  aij  bij ;  i, j Ejemplo: Determinar x e y de modo que se tenga:

Matriz de orden 3x1,  2x 3y  3 4  

3x1

 a 3  9 b  

 4  1   0

Matriz de orden 2x2, 2x2

2 0 

Matriz de orden ______, _____

 4 3 2  1 0 4  

Matriz de orden ______ ______

Ejercicio: Escribir en forma explicita la matriz:

2x2

 x  1 2y   3 y  4 

2x2

Por definición se cumple que: x=1 e y=0

c)

Matriz Identidad

MATRICES ESPECIALES Matriz Cuadrada  5 7  ,  1  2x2  0 2  respectivamente.

0  3

 3 1  2 4  

5

son matrices de orden 2 y 3 3x3

d)

1. Matriz

Rectangular: Es aquella matriz donde el numero de columnas es diferente al numero de filas, m ≠ n  2 2 2 Z   1 1 1 23

2. Matriz Fila o vector fila: Es aquella matriz de orden 1xn Z   3 3 3 3 3  15

3. Matriz Columna o vector columna: Es aquella matriz de orden mx1.  4 Z   3  2

e)

f)

Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas, m=n. Diagonal Secundaria

 0 3  3 0  

Diagonal Principal

NOTA: La notación de una matriz cuadrada es: A=[aij]n  A=[aij]  Rn. Tipos de Matriz Cuadrada a)

 3 0  0 4   b)

2x2

 7  0   0   0

, 3x3

Matriz Escalar

 k 0 0  0 k 0    0 0 k

 , 3x3



2 

 0  0

 16 0 0  1 16 0    3 2 

Matriz Nula

2x3

 0 0 B  0 0  

2

Matriz Simétrica  1 0 3   ,  0 2 7  3 7 5 Matriz Antisimetrica

,

 0 4 2  4 0 1    2 1 0

MATRIZ PERIODICA: Es aquella matriz cuadrada que elevada a una cierta potencia “k” nos da una matriz identidad, es decir: Si Ak = 1; k  Z+  A es una matriz periódica. Donde “k” es el periodo de la matriz. Ejemplo: Ak+1 = A; Ak+2 = A2: Ak+3 = A3.

Matriz diagonal   0 0   ,  0 1 0  0 0 1

 1 4  4 5   h)

3 3

,

 0 0 0 A   0 0 0

31

4. Matriz

,

 3 5 0  0 3 0    0 0 0

Matriz Triangular Inferior

 5 0 0  1 2 0    0 1 3

g)

a13  a23  a33 

Matriz Triangular Superior

 1 1 4  0 2 0    0 0 5

TIPOS DE MATRICES:

 a11 a12 Z   a21 a22  a31 a32

 1 0 0 I3   0 1 0  0 0 1

 1 0 I2     0 1

0 2 0

0 

0

 2

4x4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0  0

CASOS ESPECIALES DE MATRICES PERIODICAS

4x4

CASO 1: Si: A2 = A  A es una matriz independiente. Ademas, si: A2 = A  An = A;  n  Z+; n ≥2 CASO 2: SI: Ap = 0; p  Z+  A es una matriz nilpotente. Hay que tener en cuenta que “p” es el menor numero entero positivo que verifica la condicion dada, entonces “A” es una matriz nilpotente de indice “p”. CASO 3: Si: A2 = 1  A es una matriz involutiva.

Ademas si: A2 = 1  An = 1 si “n” es par. TRAZA DE MATRIZ: Se denomina así a la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada. La traza de la matriz cuadrada de orden 3x3 seria: Tr(A) = a11 + a22 + a33 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Dada la matriz “B” de orden m x n , se llama matriz transpuesta de “B” a la matriz de orden n x m cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por columnas. Ejemplo. Si  8 9  8 5 2   t B B     5 5  9 5  1    2 1   PROPIEDADES

 

t t

1) A

 7 5   Solución:  2 2  5 11

3 2

 3  4     1 7  2 9



10  1   1  5   7  20 3 2 

3 2

Propiedades 1.- A + B = B + A 2.- (A + B) + C = A + (B + C) 3.- k(A + B) = kA + kB (k es escalar) 4.- (k+r)A = kA + rA; (k y r escalares) 5.- (k r)A = k(rA); (k y r escalares) 6.- -A = (-1)A b)

Multiplicación de Matrices

b1.- Multiplicación de un escalar por una matriz Dada una matriz y un numero real k, el producto de k por A se define por: KA = k[aij]mxn = [kaij]mxn Cada componente de A se multiplica por el escalar k. Ejemplo:  4 3 Sea: A =    5A =  2 1

3)  A  B   At  B t t

A

2)  kA  KAt

4)  AB   B t At

t

t

 5(4) 5(3)  5(2) 5(1)  

 20 15  5A =    10 5

OBSERVACIONES: 1. La transpuesta de una matriz simétrica es igual a la Misma matriz B t  B 2. La transpuesta de una matriz antisimetrica, es el opuesto de la matriz original At   A









b2.- Multiplicación de una Matriz Fila por una Matriz Columna  7   Sea: A =  1 3 5 ; B =  2  4  A . B = [1(7)+3(-2)+5(4)] = 21

OPERACIONES

CON

MATRICES

a) Adición y Sustracción de Matrices Para sumar y restar dos matrices solo tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas; en otras palabras el mismo orden (mxn). Ejemplos:  2 4  5 7 1.- Sean: A =  ; B=     3 1  9 16

entonces: A + B es:

 2 4  5 7 A+B=  +    =  3 1  9 16  2  5 4  7 =    3  9 1  16 7

5

 5 11 

3 2

 3  4  S  1  7   2 9

b3.- Multiplicación de dos Matrices Para multiplicar dos matrices A y B se debe tener en cuenta que el numero de columnas de la primera matriz tiene que ser igual al numero de filas de la segunda matriz. PROCEDIMIENTO: Se cogen las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda matriz, y luego se procede a multiplicar fila por columnas, es decir:

 a b  c d  

 7 11 =    6 15

  2.- Hallar: R   2 2

 A . B = 21.



3 2

 x y     z w

2 2

 x   a b    z L    x   c d     z

  y b     w  y  c d      w 

a

2 2

2 2

 ax  bz ay  bw L    cx  dz cy  dw

4.- Dada la matriz: A = [aij]2x3 tal que: 2 2

 i  j; si i  j  i  j; si i  j

aij  

Ejemplo:  1 2 3 Si A =    6 10 14

2x3

 8 2   y B =  3 1  4 0

Hallar la suma de elementos de A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3x2

Calcula: AxB. 1( 2)  2(1)  3(0)   1(8)  2(3)  3(4) AxB =    6(8)  10(3)  14(4) 6( 2)  10(1)  14(0)  26 0 AxB =    134 2

5.- Sea la matriz: A = [aij] de orden 4, tal que: 2x2

 ij  1; si i  j ;  ij  2; si i  j

aij  

Hallar la suma de los elementos de A a) 96 b) 98 c) 100 d) 112 e) 105

2x2

Propiedades 6.- Obtener la matriz A=[a ij] 3x2 tal que aij = 2i-2j y Hallar la suma de los elementos de la segunda columna. a) 4 b) –4 c) 5 d) 2 e) 10

1.- A(BC)=(AB)C 2.- (A ± B)C = AC ± BC 3.- AI = A , IA = A 4.- No es conmutativa: AB ≠ BA.

7.- Sea D=[dij] 2x3 / dij = |i-j|! Calcular: E = d11 + d12 + d13 a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5

EJERCICIOS

EN

CLASE

1.- Escribir explícitamente las siguientes matrices: a) A=(aij)3x3 / aij = i – j b) B=(bij)2x3 / bij = i + j c) C=(cij)2x3 / cij = 2i – j d) D=(dij)3x2 / dij = i + 2j e) E=(eij)2x4 / eij = i2 + j f) F=(fij)3x3 / fij = 2i – j g) G=(gij)4x3 / gij = 2i – (-1)j h) H=(hij)3x3 / hij =



3;si:i  j 2;si:i  j

2.- Escribir explícitamente las siguientes matrices:

 aij  i  j

A   aij / 3x4  aij  i  2j 

si : i  j



j

C   cij  4x3 / c ij  2i  dij  min  i, j si : i  j D   dij / 3x2  dij  max  i, j si : i  j  3.- Sea la matriz cuadrada A = a ij 2x2; Tal que cada elemento aij = 2ij. Hallar la matriz A.

 2 c )  6

 4 6 b)   4 2

2 8

 2 2  c ) 6 8  

 

2i

si i  j

dij   i  j si i  j  2j  i si i  j  Hallar la suma de elementos de la matriz “D” a) 2 b) 0 c) 60 d) 8 e) 40 9.- Dadas las siguientes matrices: E = [eij] R2x1/eij = 2j B = [bij] R2x1/bij = j-i  cij  0, i  j

C = [cij] R2x1 Tq: 

 cij  1 i  j

si : i  j

B   bij / bij  2i  3j 2x3

 2 4 a)    4 6

8.- Sea la matriz D de orden 3x3 definida como sigue:

 24  d) 4 8  

 2 4 d)  4 8  

Hallar el valor: F = E+B+C  0 a)    0  1 d)    0

  1 b)     1   0 e)     1

  2  c)    2

10.- Siendo: A =[aij] una matriz de orden 4. Tal que:

aij 



ij; si: 2  i  j  5 ij  4; si: 6  i  j  8

Calcular la suma de los elementos de la diagonal principal y la última fila. a) 50 d) 53

b) 51 e) 55

c) 52

11.- Sea a) 1 d) -2

 i;i  j  i j  j

A  (aij )3x 2 / aij  

b) -1 e) 4

17.- Hallar el valor de x.y.u.v si las matrices:

 b1 b2   B   b3 b4 ; si : A  B  b5 b6 3x 2

 x  y u  v  x  y u  v  

5 1   0 -3 

A

a21=4

a22=-2

b) 40

c) 41

13.- Si en la matriz:  a   2  1 b  6 B   2a  3 b  1  2 

se verifica que: a11=-2; a22=4; entonces el

valor de E= a12+a21 es: a) 4 d) -1

b) -7 e) 0

3 4

c) -4

 0 3    6 4

Hallar “x - y” a) -3 d) 21

b) 3

c) -21

 8x  2y 0

3  3x  2y

 20 B   0

3  13 

Si: A = B Calcular el valor de “E” Si:

xy E= xy

a) 5 d) -6

b) 6 e) 0

16.- Si: A=[aij], 2x2 tal que:  xy  3x  y

Aij = 2i – (-1)j y B   Hallar: x.y Si A=B

A+B A+C G+H 2G-H 3A+B-C A.B

C.E B.F A.F C.F E.G E.H

-3 4 1- 0  1 2   -1

7) 8) 9) 10) 11) 12)

B.A A.C C.B B.C A.E B.E

13) 14) 15) 16) 17) 18)

19) 20) 21) 22) 23) 24)

J.H K.H A2 B2 C2 K2

19.- Dadas las matrices:  1 2  0 5  1 7 A=  , B =  7 6 , C =  5 2 2 3       Determine la matriz X, tal que: X + A = B – C

1 3



 2 0 X  Y  3A , en el que: A =   ,B= X  Y  2B  0 4

 1 5  3 0  

 1 1 2 3 4 n 21.- Siendo A =   , calcular: A , A , A yA siendo:  0 1 n≥1 y nN 22.- Calcule el producto ABC, dadas las matrices:  3 1  1 2  1 1 1   A=  , B =  3 2 1 , C =  1 0  5 1    2 1

15.- Dadas las matrices: A

-5 2 E  -4 0  1 -1  1 -1 K   0 0

20.- Resolver el sistema:

14.- Dada la igualdad de matrices:  4x  3y  2x  y 



1) 2) 3) 4) 5) 6)

Entonces el valor de E = a + b + c + d, es: a) 37 d) 42

G 

3 -1   -2  0  0 B  -1  2  C -1 0  D 1       -2  3  0 -5 -7   -1  -1 H J  1 -4 2       0 0 5 3  2

Hallar:

se verifica que

a12=3



 -2 F   4

12.- Si en la matriz:

a11=5

 5 3 =    3 1

18.- SEAN LAS MATRICES:

Hallar: P  b1  b2  b3  b 4  b5  b6

b  2  a  3 1 3   a  c  1 d  2    4 2 

c) 2

c) -5

23.- Resolver la ecuación matricial:  a b  3 1  5 7  c d x  2 2 =  5 9       24.- Cual es el valor natural que toma x en:  2x 9 7  2 6 si se sabe que la traza de la A=  3 x  0 4 3x matriz A es 6

 2 1 A   1 2  0 1

25.- Hallar los valores a, b y c en la matriz simétrica B.  1 a  b a  b  6 ab  B=  4  3 c 9  26.- Hallar el valor del polinomio f(A) de la matriz A si se conoce que:  1 2 f(x)= x2 – 3x +1 ; A =    1 3 27.- Dadas las matrices: 2 3 5 1 3

5

A

3

5

1 3

5

C

1 4

5

1

3

4

2

2 4

1 3

4

1

3

2

B 1

Hallar la traza de F = A.E a) 1 b) -1 d) -2 e) 3

33.- Sea D una matriz de orden (m m – 1) x n ; y B una matriz de orden Px3. Calcular m para que exista B.D a) 2 b) 4 c) 6 d) -4 e) 3

a) 4 d) -8

b) -1

c) 3 e)8  1 2 2 1  1 1 0

 35.- Sea la matriz: A   1 2

. Hallar A100, dar como

respuesta la suma de sus elementos. a) 3 b) 4 c) -4 d) -3 e) 0 36.- Hallar X+Y-Z de la siguiente matriz simétrica  1 x  y x  y R   4 2 xy   3 z 6 

28.- Con los resultados anteriores demuestre que: ACB=CBA A2-B2=(A-B)(A+B) (A+B)2 = A2+B2 a)  2 -1  4 8 1   29.- A=  -1 2 y B=    2 -1 3  0 1 Hallar : Traza(AB)

B) I y III E) sólo II

C) II y III

 1 31.- Considerando la matriz A=   0

0 1

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I.. An = I  n    n es par II. An =A  n    n es impar. III. AB=BA  A=B, donde B es de orden 2 A n  I =0

V.

A  I =0

b) 

7 2



1

ab

2  b  x

3 b

A  

c) 

7 4

d)

7 4

e) N.A.

1  a  x 4 

Es una matriz simétrica, calcular “a+b”.

30.- ¿Cuáles son verdaderas: Si A es involutiva: A51=I Si A es idempotente: A48 = A Si n  N  n  1 y An = I, entonces A es periódica.

IV.

7 2

37.- Si:

A)-2 B) –1 C) 0 D)1 E)2

n

c) 2

34.- Hallar la traza de la matriz B; SI B = A2. Donde:  1 2 4 A   1 3 4  1 2 3

Demostrar que: AB=BA=0 AC=A CA=C

A) I y II D) sólo I

 4 8 1   2 1 3

E

y

 n  n  n    n es impar es par

A) Ninguna B) 1 C) 2 D) 3 E)4 32.- Si se tiene las siguientes matrices:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

38.- Al multiplicar las matrices:  0 x  x 0    x x

 0 y y  y 0 y  

Se obtiene

a) Una matriz simétrica b) Una matriz triangular c) Una matriz diagonal d) Una matriz antisimétrica e) Una matriz triangular superior 39.- Sean las matrices A de orden m x n y B de orden p x q. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) El producto es de orden n x p siempre que m = q b) El producto AB = BA c) El producto AB es de orden m x q siempre que n = p d) El producto es de orden m x p e) A + B se puede efectuar sin interesar el orden 40.- Dada la matriz; B   b ij de orden 3, tal que:

b ij = min {i; j} entonces podemos afirmar que: a) B = I b) B = -BT c) B = BT d) Traz(B) = 5 e) B es una matriz diagonal 41.- Dada la matriz triangular inferior:  x  y 3x  y  11 5x  4y  5  2 2 0   3  0 3

A  

Calcular el valor de x + y a) 17 b) 18 d) 10 e) 7

c) 3

42.- Si la matriz B es simétrica: 

B   

1 3 x  y xy 3 0  7 0 5 

Calcular el valor de x - y a) 5 b) 2 d) 7 e) -3

c) 3

de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa). Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices. Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana.

 1 2  , además se cumple que:  0 1

43.- Dada A  

AUTOEVALUACIÓN

f(x) = x; g(x) = I, luego: 1  f(A)  g(A) es una matriz 2

a) Triangular inferior b) Diagonal c) Identidad d) Escalar e) Cuya primera fila es [1, 1]

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.2 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos

ab 3 b

A  

1  a  x 4 

Es una matriz simétrica, calcular “a+b”. a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

2.- Al multiplicar las matrices:

 0  x   x

Un Poco de Historia

1 2  b  x



1.- Si:

x

0  x 

 0  y 

y 0

y y 

Se obtiene

a) Una matriz simétrica b) Una matriz triangular c) Una matriz diagonal d) Una matriz antisimétrica e) Una matriz triangular superior  2 -1  4 8 1   3.- A=  -1 2 y B=    2 -1 3  0 1 Hallar : Traza(AB) A)-2 B) –1 C) 0 D)1 E)2  1 1 2 3 4 n 4.- Siendo A =   , calcular: A , A , A yA siendo: n≥1 y  0 1 nN

5.- Calcule el producto ABC, dadas las matrices:  3 1  1 2  1 1 1  1 0 A= , B = , C =   3 2 1    5 1    2 1 6.- Resolver la ecuación matricial:  a b  3 1  5 7  c d x  2 2 =  5 9      

2) AB  A B 3) Si dos líneas son proporcionales, su determinante es cero (0) 1 5

Ejemplo:

3 0 15

4) Si los elementos de una línea son “ceros” entonces u determinante es cero. 0 7 0 0 2

Ejemplo:

5) Para una matriz diagonal, triangular superior y triangular n

inferior su determinante es: A   aij i1

DETERMINANTES

Y

SUS PROPIEDADES

DEFINICION.- Es una función que aplicada a una matriz cuadrada nos proporciona un número real.

6) Si a una línea se le suma el múltiplo de otra línea; entonces el determinante no varia. 7) Al multiplicar una línea por un escalar (k  0) el determinante queda afectado por k.

Se denota: A . D(A), det(A) 

SI : A 

a b c d

 kA 

ka c

Matriz de orden 2

 a b A=   luego: A = ad – bc  c d

kb ka  d kc

b d

8) kA  kn A donde “n” es el orden de la matriz A.

Ejemplos  3 2 1.- Sea A =    1 4  A = 3x4 -2x1 = 10 

Matriz de orden 3

 a11 a12 a13   A =  a21 a21 a21 luego:  a31 a31 a31 A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) –

-(a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12) Ejemplo  1 2 3   1.- Sea A =  1 0 4 luego:  2 1 5 A = (1x0x5 + 2x4x(-2) + (-1)x1x3) – -((-2)x0x3 + (-1)x2x5 + 1x4x1) = -13 A = -13

EJERCICIOS

CLASE

1.- SEAN LAS MATRICES:  -2 0

A

0  6

D

5  -3 -5 -4

 -3  0 B    -1  2  2 -3  4 E    0 -1  0  3  0   -7 H  -1 J     2  -4

 -2 G   -1  5

3 -4  C   -1   0 F   -2 4 -5  -5 1 2

 1 K  1  0

-1 -1

 1 2 

0  -1

HALLAR: 1)

Det(A) =

6)

Det(JxE) =

10) Det(BxC) =

2)

Det(B) =

7)

Det(GxF) =

11) Det(AxC) =

3)

Det(C) =

8)

Det(HxF) =

12) Det(CxD) =

4)

Det(D) =

9)

Det(AxB) =

13) Det(K) =

5)

Det(ExJ) =

PROPIEDADES Sea : A  (aij )n  B  (bij )n t 1) A  A

EN

2.- SEAN LAS MATRICES:

14) Det(KT ) =

 -2 3 5 0 2 -3  0 0 4 0 0  3 D   6 -4 0  1 8 7

 -3 -3  5 B  -1 2  7  -3 -3  4  2 -3  4  0 -1  0 E    4 -6  8

 -2 G   -1  -3

 3 H   -1  2

A  

9 -7  3 -5 9 15

3  C  -1  -4 -2  F  7  4

5 -4 0 -2 3  5 4 9 0

 -8  28   16

0 12 4 -4  -6 8 

2 4 1 7.- Calcular x en: 2 x 2  15 1 3 2

8.- Hallar x, si la matriz  x  0 

T

1)

Det(A)

5)

Det(E)

9)

Det(2C )

2)

Det(B)

6)

Det(F)

10) Det(3DT )

3)

Det(C)

7)

Det(G)

11) Det(-2AT)

4)

Det(D)

8)

Det(H)

12) Det(-3BT)

 -x

2 7 -2

4 5 x-2

no tiene inversa 7 ; 2 B. 0 ; 7 C. 0 ; -2 –2 ; 7 E. 0 ; 2

9.- Dada la matriz

para i  j  0  aij   i  j para i  j  j-i para i  j 

3.- Dada la matriz A tal que:  2  2 1  x A1 2 x    y x  2  5  

Se tiene que su traza es 1 y el producto de su diagonal secundario es -16. Halle el determinante de A. a) -14 b) -46 c) 12 d) -21 4.- Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: x2 2 x2 2-x 1 A. 2

B. O

calcular det(M) 48 B.12 C.16 D.96 E.8



1 -1 

10.- Siendo A=   -1 0   -1 -1 0  1 C.   1 1 

3

2x-2

E. 

 3 -2 es: 1

A. –1 b)X C)1 D)2-x E) 0 6.- Dadas las matrices A y B que cumplen.  5 2 A +2 B =    0 3 Halle A - B

 1  -1 B.    0  1  -1  -1 D.    0  -1

A. 

5.- El valor del determinante: -2 2x

0  , entonces su inversa es la matriz: 1

 -1 0   1 -1

C. –2 D. 1 E. 3

2 1

M   a ij  de orden 3, donde:

 5 11 , 2A-B =    5 4

1 1 

11.- Si A = 

 -x  2

2x -2 0

x 3 2

Hallar la suma de los valores de x que satisfacen la ecuación det A = 0 ¼ B.3/2 C.2 D.¾ E. ½ 12.- La suma de los elementos de la matriz inversa de A=  2 1  -1 3 es:   7 B.5/7 C.6 D.1/7 E.5  1 1 0 13.- Si: A     -1 0 0

 x 1   Y B   0 1 . Hallar el valor de x para que la matriz A.B sea  1 -x singular. A.1 B. –1 C. –2 D. 0 E. 2 14.- Hallar x si se sabe que el determinante de la siguiente matriz:

2x 1 2x 1 x 1 A)1

D)-2

15.- Sea la matriz:

1  2

 x -3 H    x 1



4  3 A)   5  3  7  3 C)   4  3

2 -6   16 -3 C)   2  -2  -4  1 2  -3 -4  4

16.- Hallar “k” si el determinante de la siguiente matriz: 0

7 3  8 -  3 5 3  8 -  3



8 5  3 3  B)   7 - 4  3 3 4  5  3 - 3  D)   7 - 8  3 3

21.- Que valor le corresponde a “x” en la ecuación: x2  2

8

2x

9log3 3 9

a) 3

= x+6

b) -2

c) 5

d) -4

8 4

2 ( 6

3 ; hallar B-1 4

20.- Si B= 

Tal que: det(H) = 4; luego: H2 es:

 B)   E) 

4 5  - 7 - 3  B)  3   2  7 7  4 3   - 7 7  D)  2  - 5 3 7 

E)3

2

 1 -3   1 1  4 -1 D)    4 -2



es cero.

C)-1

A) 

4 5  - 7 - 3  A)  2  3  7 7 5 4   - 3 - 7  C)  2  3  7 7 

E) No tiene inversa.

4x 2

B)2



9

22.- Hallar el determinante de la matriz:

5

k ) 10 k

es 16

A)6 B)-12 C)12 D)-6 E)8 17.- Hallar el det(A-B) Si: 1 0 1

7

1

A 3 5 3

B 3

3

2

2 1

3

2 1

2

 i  j ; si i  j  A   aij 3x3   2i  j ; si i  j  i  2j ; si i  j 

a) 84 b) 82 c) 80 d) 90 23.- Calcule el valor de los elementos x e y de la matriz que se da, si se sabe que la traza vale 9 y el valor del determinante es 15.

4

A)290 B)300 C)310 D)320 E)330 18.- El valor del determinante de la siguiente matriz:

 1 2 3 A   0 x y  0 0 y

x  1 x  2  x  x  3 x  4 x  5    x  6 x  7 x  8

, es:

a)  1;5 

A)0 B)1

D) x2

C)x

E)x3  2 -3   5 -4

19.- Hallar la inversa de: A= 

b)  5;1

 2  x x 3  x

24.- La matriz 

c)  3;5 

d)  3;0 

tienen por determinante al número

(x+b), luego el valor de “b” para que dicho número sea único. a) 0

b) 1

c) 7

d) 1/7

25.- Para que valores de “m” la matriz es singular:  2m  3  

a) b) c) d)

5

m 

 2m  1

1/2; 3 1/4; 3 1/2; 2 1/4; 3

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

26.- Dada la matriz A tal que:  2  2 1  x A1 2 x   y x  2  5    

Se tiene que su traza es 1 y el producto de su diagonal secundario es -16. Halle el determinante de A. a) -14 b) -46 c) 12 d) -21 27.Si A y B son matrices de orden 2 x 2 tal que det(A) = 5 y B  7 . Calcular: E  2A.B

a) b) c) d)

100 120 130 140

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz

28.- Si la matriz

1 A 2  b

ab 5 x

0 a  3

es simétrica su

determinante es: a)

-2

b) -6

c) -3

d) -1

29.- ¿Qué valor positivo de “X” soluciona la ecuación: x 3 2

a)

2

0 x 2

b) 6

1 4  10 1

c) 0

d) 8

La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente. Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

30.- Determine para que valores de “X” la matriz 8  x4  3 x  2 

a) b) c) d)

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

es singular

8 y -2 -2 y 6 8y1 6y2

Determinantes de cualquier dimensión

PRIMEROS

CÁLCULOS DE

DETERMINANTES

En 1748, un póstumo tratado de álgebra de MacLaurin recupera la teoría de los determinantes al contener la escritura correcta de la solución de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resolución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación. Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes. Gauss utiliza por primera vez el término « déterminante », en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto. Aparición de la noción moderna de determinante Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encargó de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula del determinante de un producto. Ese mismo año Binet ofreció una demostración para dicha fórmula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos. Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítmica. Del mismo modo, hace posible la evaluación del determinante de funciones con instauración del jacobiano. El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester. Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

d) 140

2.- Si

la

a) -2

b) -6

a) 2

simétrica

su

d) -1

1 4  10 1

0 x 2 b) 6

c) 0

d) 8  x4

4.- Determine para que valores de “X” la matriz  3  es singular a) 8 y -2 b) -2 y 6 c) 8 y 1 d) 6 y 2

8 x  2

5.- Para que valores de “m” la matriz es singular:  2m  3 

m 

 2m  1



5

a) b) c) d)

1/2; 3 1/4; 3 1/2; 2 1/4; 3 1  2

6.- Si B=  

4  3 A)   5  3  7  3 C)   4  3

3 ; hallar B-1 4 7 3  8 -  3 5 3  8 -  3

8 5  3 3  B)   7 - 4  3 3 4  5  3 - 3  D)   7 - 8  3 3

1 1

2x -2

 -x  2

a) 100 b) 120 c) 130

c) -3

x 3 2

7.- Si A = 

E  2A.B

es

3.- ¿Qué valor positivo de “X” soluciona la ecuación:



1.- Si A y B son matrices de orden 2 x 2 tal que det(A) = 5 y B  7 . Calcular:

0 a  3

determinante es:



AUTOEVALUACIÓN

ab 5 x

1 A 2  b

matriz



0

x 3 2

Hallar la suma de los valores de x que satisfacen la ecuación det A = 0 A. ¼

B.3/2

C.2

D.¾

E. ½