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MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Concepto de matriz Se

denomina MATRIZ a

todo

conjunto

de

números

o

expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina ELEMENTO . Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la FILA y la COLUMNA a la que pertenece. El

número

de

filas

y

columnas

de

una

matriz

se

denomina DIMENSIÓN de una matriz. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota 6por A m x n o (a i j ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a i j . Dos MATRICES son IGUALES cuando

tienen

la

misma

dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. Tipos de matrices Matriz fila: Es una matriz constituida por una sola fila. Matriz columna: Es una matriz con una sola columna. Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

UNSCH

1

MATRICES Y DETERMINANTES Matriz cuadrada: La que tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a i i constituyen la DIAGONAL PRINCIPAL .

La DIAGONAL

SECUNDARIA

la

forman

los

elementos

con i+j=n+1. Matriz nula: Todos los elementos son nulos. Matriz triangular superior: Los

elementos

situados

por

debajo

de

la

diagonal

encima

de

la

diagonal

principal son 0. Matriz triangular inferior: Los

elementos

situados

por

principal son 0. Matriz diagonal: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz identidad o unidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Matriz traspuesta: UNSCH

2

MATRICES Y DETERMINANTES Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (α · A) t = α· A t (A · B) t = B t · A t Matriz regular: Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular: Es aquella que no tiene matriz inversa. Matriz idempotente: Si A 2 = A. Matriz involutiva: Si A 2 = I. Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=A t . Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=-A t . Matriz ortogonal: Si verifica: A·A t = I Suma de matrices Dadas

dos

matrices

dimensión, A=(a i j ) y B=(b i j ), como: A+B=(a i j +b i j ).

Es

se

decir,

de define

la la

aquella

matriz matriz

misma suma cuyos

elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

UNSCH

3

MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades 

Interna:



Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C



Elemento neutro: A + 0 = A



Elemento opuesto:A + (-A) = O



Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un número real por una matriz Dada

una

matriz A=(a i j ) y

un

número

real k

R,

se

define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k a i j ) Propiedades 

a · (b · A) = (a · b) · A A

M m x n , a, b



a · (A+B) = a · A + a · B A,B



(a+b) · A = a · A+b · A A



1 · A = A A

M m xn , a

M m x n , a, b

Mmxn

Producto de matrices Dos MATRICES A

y

B

se

dicen MULTIPLICABLES si

el

número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm El

elemento

c i j de

la

x n

matriz

x Mn

x p

= M

producto

m x p

se

obtiene

multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

UNSCH

4

MATRICES Y DETERMINANTES

Propiedades Asociativa:



A · (B · C) = (A · B) · C Elemento



neutro:

A · I = A No



es

Conmutativa:

A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma:



A · (B + C) = A · B + A · C Matriz inversa A · A-1 = A-1 · A = I Propiedades (A · B) - 1 = B - 1 · A - 1 (A - 1 )

-1

= A

(k · A) - 1 = k - 1 · A - 1 (A t )

-1

= (A

-1

)

t

Cálculo por el método de Gauss. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A - 1 , seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. 2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado d erecho será la matriz inversa: A - 1 UNSCH

5

MATRICES Y DETERMINANTES

Rango de una matriz R ANGO DE UNA MATRIZ : es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una línea es LINEALMENTE DEPENDIENTE de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Una línea es LINEALMENTE INDEPENDIENTE de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A). Cálculo por el método de Gauss. Podemos descartar una línea si: 

Todos los coeficientes son ceros.



Hay dos líneas iguales.



Una línea es proporcional a otra.



Una línea es combinación lineal de otras.

UNSCH

6

MATRICES Y DETERMINANTES

EJERCICIO I PREGUNTAS 1 Dadas

las matrices:

Calcular:

A + B;

A - B;

A x B;

B x A;

At.

SOLUCION:

UNSCH

7

MATRICES Y DETERMINANTES

2 Demostrar

que: A 2 - A- 2 I = 0, siendo:

SOLUCION

3

Sea A la matriz

. H allar A n , para n

SOLUCION

UNSCH

8

MATRICES Y DETERMINANTES

4 Por

qué

matriz

hay

que

para que resulte la matriz

premultiplicar

la

matriz

.

SOLUCION

5 Calcular

la matriz inversa de:

SOLUCION

A Construir una matriz del tipo M = (A | I)

B Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A - 1 .

UNSCH

9

MATRICES Y DETERMINANTES

6

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

SOLUCION: Multiplicamos la segunda ecuación por -2

Sumamos miembro a miembro

Si

multiplicamos

la

primera

ecuación

por

3

y

sumamos

miembro

a

miembro obtenemos:

UNSCH

1 0

MATRICES Y DETERMINANTES

7

Una

fábrica

terminaciones:

N,

produce L

y

S.

dos

modelos

Produce

del

de

lavadoras,

modelo

A:

A

400

y

B,

en

unidades

tres

en la

terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades

en la termin ación

L

y

30

unidades

en

la

terminación

S.

La

terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administració n.

1. Representar la información en dos matrices. 2. Hallar

una

matriz

que

exprese

las

horas

de

taller

y

de

administración empleadas para cada uno de los modelos.

SOLUCION: Matriz de producción:

Filas:

Modelos A y B

Columnas: Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas:

Filas: Terminaciones N, L, S

Columnas: Coste en horas: T, A

Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos:

UNSCH

1 1

MATRICES Y DETERMINANTES

8

Calcular el rango de la matriz siguiente:

SOLUCION:

F1 - 2 F2

F3 - 3 F2

F3 + 2 F1

Por tanto r(A) =2.

9

Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

UNSCH

1 2

MATRICES Y DETERMINANTES

SOLUCION:

UNSCH

1 3

MATRICES Y DETERMINANTES

10 Resolver;

en forma matricial, el sistema:

SOLUCION:

UNSCH

1 4

MATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIO II

1 Sean

las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)

2

;

(A - B)

2

;

(B)

3

;

A · B

t

· C.

Solución:

UNSCH

1 5

MATRICES Y DETERMINANTES 2 Sean

las matrices:

a.- Justificar si son posibles los siguientes productos: 1 (A t · B ) · C 2 (B · C t ) · A t b.- Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

c.- Determina la dimensión de M para que C

t

· M sea una matriz cuadrada.

Solución:

a.- Justificar si son posibles los siguientes productos: - (A t · B ) · C (A

t

3 x 2

· B

2 x 2

) · C

3 x 2

= (A

t

· B )

3 x 2

· C

3 x 2

No se puede efectuar el producto porque el número de columnas de (A

t

· B ) no coincide con el nº de filas de C.

-

(B · C t ) · A t

· C

t

=(B · C

t

(B 2

x 2

2 x 3

· A

) · A

t

)

t

3 x 2

= (B · C ) 2

x 3

· A

t

3 x 2

=

2 x 2

UNSCH

1 6

MATRICES Y DETERMINANTES b.- Determinar

la

dimensión

de M para

que

pueda

efectuarse

el

producto A · M · C

A2

c.- Determina

la

dimensión

x 3

· M

m x n

de M para

· C3

m = 3

x 2

que C

t

·

M sea

una

n = 3

matriz

cuadrada.

C

3 Hallar

t

2 x 3

· Mm

x n

m = 3

n = 3

todas las matrices que conmuten con la matriz:

Solución:

4 Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

A X + 2 B = 3 C

UNSCH

1 7

MATRICES Y DETERMINANTES

Solución:

5 Una

empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En

cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquier a de los tres modelos.

1 Representar esta información en dos matrices. 2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

Solución: 1 Representar esta información en dos matrices. UNSCH

1 8

MATRICES Y DETERMINANTES

Filas:

Modelos A, B, C

Columnas: Tipos G, P

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas: Tipos G, P

Columnas: T, S

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillo s y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

OTROS EJERCICIOS DE ECUACIONES MATRICIALES

1 Dadas

las matrices:

Resolver la ecuación:

A · X = B

SOLUCION:

Resolver la ecuación:

UNSCH

1 9

MATRICES Y DETERMINANTES

A · X = B

|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A - 1 .

A - 1 (A · X) = A - 1 · B

( A - 1 · A) · X = A - 1 · B

I · X = A-1 · B

X = A-1 · B

2 Dadas

las matrices:

Resolver la ecuación:

X · A + B = C

SOLUCION:

Resolver la ecuación:

X · A + B = C

|A| = 1 ≠ 0

(X · A + B) - B = C - B

UNSCH

2 0

MATRICES Y DETERMINANTES

X · A + (B - B) = C - B

X · A + 0 = C - B

X · A = C - B

X · A · A - 1 = ( C - B) · A - 1

X (A · A - 1 ) = ( C - B) · A - 1

X · I = ( C - B) · A - 1

X = ( C - B) · A - 1

3

Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

1

2

UNSCH

2 1

MATRICES Y DETERMINANTES SOLUCION Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

1

2

EJERCICIOS DE MATRIS INVERSA

1 Calcular

por el método de Gauss la matriz inversa de:

SOLUCION:

a. Construir una matriz del tipo M = (A | I)

UNSCH

2 2

MATRICES Y DETERMINANTES

b. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A - 1 .

2 Calcular

F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F 2

La matriz inversa es:

por el método de Gauss la matriz inversa de:

SOLUCION:

a. Construir una matriz del tipo M = (A | I)

UNSCH

2 3

MATRICES Y DETERMINANTES

b. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A - 1 .

3 Hallar

por determinantes la matriz inversa de:

SOLUCION:

UNSCH

2 4

MATRICES Y DETERMINANTES

4 ¿Para

qué valores de x la matriz

no admite

matriz inversa?

SOLUCION:

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A - 1

5 Para

qué

valores

de x la

matriz

no

admite

matriz inversa?

UNSCH

2 5

MATRICES Y DETERMINANTES SOLUCION:

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

EJERCICIOS RANGO DE UNA MATRIZ

1 Hallar

el rango de la matriz siguiente:

SOLUCION:

F 3 = 2F 1

F 4 es nula

F 5 = 2F 2 + F 1

r(A) = 2.

2 Calcular

por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente:

SOLUCION:

F1 - 2 F2

UNSCH

2 6

MATRICES Y DETERMINANTES

F3 - 3 F2

F3 + 2 F1

Por tanto r(A) =2.

3 Hallar

por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente:

SOLUCION:

F 2 = F 2 - 3F 1

F 3 = F 3 - 2F 1

Por tanto r(A) = 3.

UNSCH

2 7

MATRICES Y DETERMINANTES 4 Calcular

por determinantes el rango de la matriz:

SOLUCION: |2|=2 ≠0

r(A) = 2

5 Hallar

por determinantes el rango de la matriz:

SOLUCION:

UNSCH

2 8

MATRICES Y DETERMINANTES

r(B) = 4

6 Calcular

por determinantes el rango de la matriz:

SOLUCION:

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c 5 = -2 · c 1 + c 2

r(C) = 2

7 Determinar

por determinantes el rango de la matriz:

UNSCH

2 9

MATRICES Y DETERMINANTES

SOLUCION:

c3 = c1 + c2

|2|=2≠0

r(D) = 2

UNSCH

3 0

MATRICES Y DETERMINANTES

DETERMINANTES Definición de determinante A

cada matriz

escalar particular

cuadrada

A se

le

asigna un

denominado determinante

de

A ,

denotado por |A| o por det (A). Determinante de orden uno |a

11|

= a

11

Determinante de orden dos

= a

11

a

22

- a

a

12

21

Determinante de orden tres

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a

13

a22 a31 - a12 a21 a

33

- a11 a23 a32.

Regla de Sarrus Los

términos

con signo

+ están

formados

por

los

elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

UNSCH

3 1

MATRICES Y DETERMINANTES Los

términos

elementos

de

con signo

- están

la diagonal

las diagonales

paralelas con

formados

secundaria y su

por los

los de

correspondientevértice

opuesto.

Menor complementario Se llama menor complementario de un elemento a i j al valor del determinante

de orden n-1 que se obtiene al

suprimir en la matriz la fila i y la columna j . Adjunto Se

llama adjunto del

elemento

a i j al

menor

complementario anteponiendo: 

El signo es +



El signo es -

si i+j es par. si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos

de

los

elementos

de

una

línea

por

sus

las

líneas

del

adjuntos correspondientes: Determinante de orden superior a tres Consiste

en

conseguir

que

una

de

determinante esté formada por elementos nulos, menos un o: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 . Seguiremos los siguientes pasos:

UNSCH

3 2

MATRICES Y DETERMINANTES 1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos ). 2.En caso negativo: 1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número

posible

de

elementos

nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ). 2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos , por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos. 3.Tomando

como

referencia

el elemento

base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. 4.Tomamos

el adjunto

del

obtenemos

un determinante

elemento de

base ,

orden

con

lo

que

inferior en

una

unidad al original.

Propiedades de los determinantes 1.|A t |= |A| 2. |A|=0

Si:

Posee dos líneas iguales UNSCH

3 3

MATRICES Y DETERMINANTES Todos los elementos de una línea son nulos. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras. 3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. . 4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados

por

dos

sumandos,

dicho

determinante

se

descompone en la suma de dos determinantes. 8. |A·B| =|A|·|B| Matriz inversa

Rango de una matriz El

rango

es

el

orden

de

la

mayor

submatriz

cuadrada no nula.

UNSCH

3 4

MATRICES Y DETERMINANTES

EJERCICIO I

1 Demostrar,

sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

Solución:

Tiene dos líneas proporcionales.

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

2 Sabiendo

que |A|=5, calcula los otros determinantes.

UNSCH

3 5

MATRICES Y DETERMINANTES

SOLUCION:

3

Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4

respectivamente, sin desarrollarlos

SOLUCION:

4 Demostrar,

sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de

15:

SOLUCION:

UNSCH

3 6

MATRICES Y DETERMINANTES

5 Demuéstrese

las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar

los determinantes:

SOLUCION: Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

UNSCH

3 7

MATRICES Y DETERMINANTES

6

Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

SOLUCION: Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

UNSCH

3 8

MATRICES Y DETERMINANTES

7

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

SOLUCION:

UNSCH

3 9

MATRICES Y DETERMINANTES 8

Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

SOLUCION:

9 Calcular

los determinantes de Vandermonde:

SOLUCION:

Calcular los determinantes de Vandermonde:

UNSCH

4 0

MATRICES Y DETERMINANTES

10

Hallar la matriz inversa de:

UNSCH

4 1

MATRICES Y DETERMINANTES

SOLUCION:

11

Para

qué

valores

de x la

matriz

no

admite

matriz inversa?

SOLUCION:

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

12

Calcular el rango de las siguientes matrices:

SOLUCION:

UNSCH

4 2

MATRICES Y DETERMINANTES

Calcular el rango de las siguientes matrices:

|2|=2 ≠0

r(A) = 2

r(B) = 4

UNSCH

4 3

MATRICES Y DETERMINANTES

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c 5 = -2 · c 1 + c 2

r(C) = 2

13

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

a. A · X = B

b. X · A + B = C

SOLUCION: Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

UNSCH

4 4

MATRICES Y DETERMINANTES a.- A · X = B

|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A - 1 .

A - 1 (A · X) = A - 1 · B

( A - 1 · A) · X = A - 1 · B

I · X = A-1 · B

X = A-1 · B

b. X · A + B = C

|A| = 1 ≠ 0

(X · A + B) - B = C - B

X · A + (B - B) = C - B

X · A + 0 = C - B

X · A = C - B

X · A · A - 1 = ( C - B) · A - 1

X (A · A - 1 ) = ( C - B) · A - 1

UNSCH

4 5

MATRICES Y DETERMINANTES

X · I = ( C - B) · A - 1

X = ( C - B) · A - 1

EJERCICIO II

1 Si

el valor del determinante

. Calcular el valor de:

SOLUCION:

UNSCH

4 6

MATRICES Y DETERMINANTES 2 Demostrar

que el siguiente determinante es divisible por 21:

SOLUCION:

Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

3

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

SOLUCION:

UNSCH

4 7

MATRICES Y DETERMINANTES

4 Calcular

el valor de los siguientes determinantes:

SOLUCION:

UNSCH

4 8

MATRICES Y DETERMINANTES

5 ¿Para

qué

valores

de x la

matriz

no

admite

matriz inversa?

SOLUCION:

UNSCH

4 9

MATRICES Y DETERMINANTES

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A - 1

6 Resolver

las ecuación matricial:

A · X + 2 · B = 3 · C

SOLUCION. A · X + 2 · B = 3 · C

|A| = 1 ≠ 0

(A · X +2 · B) - 2 · B = 3 · C - 2B

A· X + ( 2 · B - 2 · B) = 3 · C - 2B

A· X + 0= 3 · C - 2B

A· X = 3 · C - 2B

( A - 1 · A) · X = A - 1 · (3 · C - 2B)

I · X = A - 1 · (3· C - 2B)

X = A - 1 · (3 · C - 2B)

UNSCH

5 0

MATRICES Y DETERMINANTES

http://www.vitutor.com/algebralineal.html

UNSCH

5 1