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GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

12

ESO

Figuras planas

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 12

Figuras planas

En esta nueva unidad se van a afianzar y ampliar los conocimientos adquiridos en la etapa anterior con un estudio general de los polígonos y en particular del triángulo. Este se va a constituir en la figura plana más sencilla que permite simplificar el estudio de las demás, dado que cualquier polígono se puede descomponer en triángulos contiguos y consecutivos cuyos vértices coincidan con los del polígono. Los alumnos deben comprender y aprender que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, puesto que es la base para el estudio de la suma de los ángulos interiores de cualquier otro polígono. Es importante que utilicen con soltura los instrumentos de dibujo para poder realizar construcciones de polígonos regulares, ya sea conociendo el radio de la circunferencia circunscrita o el lado del polígono. Asimismo deben manejar los criterios de igualdad de triángulos para identificar de forma rápida si dos triángulos son iguales o para construir un triángulo igual a otro. Y por último, estudiarán las rectas notables del triángulo: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas, y sus puntos de corte, y utilizarán sus propiedades para construir circunferencias inscritas y circunscritas.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Reconocer, dibujar y describir las figuras planas en ejercicios y en su entorno inmediato distinguiendo sus elementos característicos. 1. Identificar las figuras planas que se presentan en la realidad analizando sus características.

1.2 Clasificar polígonos. 1.3 Utilizar la suma de los ángulos interiores de un triángulo para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico

1.4 Identificar ejes de simetría en figuras planas.

• Cultural y artística

2. Reconocer el triángulo como el polígono más sencillo a partir del cual se pueden obtener relaciones geométricas en las demás figuras planas.

2.1 Identificar y construir triángulos iguales, usando los criterios de igualdad de forma adecuada.

• Autonomía e iniciativa personal

3. Distinguir las rectas y puntos notables de un triángulo, y usar sus propiedades para resolver problemas geométricos.

3.1 Trazar y obtener las rectas y los puntos notables de un triángulo cualquiera y utilizarlos para resolver problemas geométricos sencillos.

• Tratamiento de la información y competencia digital

CONTENIDOS • Polígonos y polígonos regulares: descripción de sus elementos y clasificación • Suma de los ángulos interiores de un triángulo • Suma de los ángulos interiores de un polígono • Clasificación de triángulos y cuadriláteros según sus ángulos y según sus lados • Criterios de igualdad de triángulos • Utilización diestra de instrumentos de dibujo habituales

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Unidad 12

Figuras planas

• Construcción de polígonos regulares conociendo el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del polígono. • Trazado de las rectas notables de un triángulo: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas • Obtención de los puntos notables de un triángulo: circuncentro, incentro, ortocentro y baricentro • Propiedades de los puntos notables de un triángulo • Ejes de simetría de una figura plana

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos En esta unidad se repasan conceptos ya trabajados en cursos anteriores. Para afianzarlos y asimilar los nuevos es preciso que los alumnos dominen la terminología utilizada en geometría, distingan los diversos tipos de ángulos y estén familiarizados con los instrumentos de dibujo.

2. Previsión de dificultades Las mayores dificultades se pueden encontrar en que los alumnos sean capaces de representar mentalmente una situación geométrica planteada y de traducirla, por sí solos, a la representación sobre el papel por medio del dibujo. Para resolver estas dificultades es importante aprovechar los dibujos que aparecen a lo largo de toda la unidad, para apoyar las explicaciones.

3. Vinculación con otras áreas Los contenidos de esta unidad, al igual que los del resto de las unidades de geometría, están íntimamente relacionados con el estudio de las figuras planas, que se realiza en Educación Plástica y Visual.

4. Esquema general de la unidad En esta nueva unidad de geometría plana se van a afianzar los conocimientos adquiridos en la etapa anterior y se van a ampliar con un estudio general de los polígonos y en particular del triángulo. Se empieza recordando qué son los polígonos y cuáles son los elementos de los polígonos regulares, y se calcula la suma de los ángulos interiores de un triángulo y de un polígono en general.

FIGURAS PLANAS

En el epígrafe 2 se hace una clasificación de los triángulos y los cuadriláteros.

Cuadriláteros

Triángulos

Polígonos

A continuación se describen dos métodos para la construcción de polígonos regulares: conociendo el radio de la circunferencia circunscrita y conociendo el lado.

Clasificación

Clasificación

Suma de ángulos

Igualdad de triángulos

Después se establece la relación de igualdad entre triángulos, simplificando su estudio con la utilización de los tres criterios de igualdad.

Elementos notables

Se completa el estudio del triángulo con la definición y el trazado de sus rectas notables: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas, y con la obtención de los puntos notables y el estudio de sus propiedades. Para finalizar la unidad, se define el eje de simetría de una figura plana.

Construcción de polígonos regulares

Ejes de simetría de figuras planas

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Polígonos. Triángulos y cuadriláteros 2.ª Construcción de polígonos regulares 3.ª Criterios de igualdad de triángulos 4.ª Mediatrices y bisectrices de triángulos. Circuncentro e incentro 5.ª Alturas y medianas de triángulos. Ortocentro y baricentro 6.ª Simetrías de figuras planas 7.ª Actividades de repaso y consolidación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Figuras planas

Unidad 12

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Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. Además, en esta unidad se repasa e introduce la terminología para describir con precisión polígonos, triángulos, cuadriláteros y elementos notables del triángulo, que servirá a los alumnos para detallar la presencia de la geometría plana en la vida cotidiana. En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias reflexión sobre el lenguaje y comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.

Competencia para la interacción con el mundo físico Al tratar esta unidad sobre las figuras planas elementales y sus propiedades métricas, aparecen varias referencias a situaciones y problemas de la vida diaria. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompetencia conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artística La geometría está presente en numerosas manifestaciones artísticas de diferentes culturas. En esta unidad en particular se describe brevemente el arte de los mosaicos, tan presente en la cultura árabe, lo que va a permitir desarrollar la subcompetencia sensibilidad artística. La construcción de diversos elementos geométricos permitirá el desarrollo de algunos de los indicadores de la subcompetencia expresión artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender Las actividades en grupo y las que implican debate permiten trabajar la subcompetencia liderazgo.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

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Unidad 12

Figuras planas

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae información matemática de un texto y aplicarlo a la resolución de problemas. Desarrolla tus competencias

Reflexión sobre el lenguaje.

Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis para conocer su funcionamiento y sus normas de uso.

– Identifica la utilización de prefijos en la terminología matemática. Epígrafes 1 y 2

Resolución de problemas.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

– Aplica propiedades métricas a la resolución de problemas. – Identifica formas geométricas. En toda la unidad

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica…).

– Reconoce triángulos iguales. – Identifica los elementos notables de un triángulo. – Clasifica polígonos. – Identifica ejes de simetría en figuras planas. En toda la unidad

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

– Aplica las propiedades métricas de los triángulos para optimizar situaciones relacionadas con la distancia. Actividades 16 y 72

Sensibilidad artística.

Adquirir sensibilidad y sentido estético para comprender, apreciar, emocionarse y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales.

– Aprecia y comprende el arte de los mosaicos. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Expresión artística.

Poner en funcionamiento la iniciativa, la imaginación y la creatividad para expresar de forma personal ideas, experiencias o sentimientos mediante códigos artísticos. Realizar representaciones artísticas de forma individual y cooperativa.

– Decora habitaciones. – Construye polígonos regulares. Actividades 9, 10, 52, 53 y 54 Pon a prueba tus competencias: Dibuja y resuelve

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red Pon a prueba tus competencias: Experimenta y reflexiona, aprende a pensar – Visita la página librosvivos.net Actividades 4, 8 y 36, organiza tus ideas, autoevaluación

Liderazgo.

Desarrollar las habilidades para el diálogo y la cooperación, resolver conflictos y llegar a acuerdos a través de la negociación.

– Realiza de forma consensuada el diseño más óptimo. Pon a prueba tus competencias: Dibuja y resuelve

Lingüística

Matemática

Interacción con el mundo físico

Cultural y artística

Tratamiento de la información y competencia digital

Autonomía e iniciativa personal

Figuras planas

Unidad 12

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Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación vial: actividad 71. • Educación intercultural: Pon a prueba tus competencias. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas básicas. – Unidad 5. Polígonos y círculos. Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO. SM

– Unidad 5. Geometría. • Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”. – Unidad I: Elementos geométricos del plano. – Unidad II: Polígonos. • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.° de ESO. – Los mil y un centros del triángulo.

Otros

• ALSINA, C., y FORTUNY, J. M.ª: Miralandia. Un viaje a través de los espejos. Granada, Proyecto Sur, 1992. • CASADO, M.ª J.: Geometría dinámica con papel. Granada, Proyecto Sur, 1997. www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes sobre la geometría del triángulo: www.e-sm.net/1esomatprd23

Otros

Página de los docentes de Navarra donde pueden encontrarse construcciones con GeoGebra de los elementos notables del triángulo:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatprd24

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Unidad 12

• Instrumentos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás. • El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones geométricas.

Figuras planas

Sugerencias didácticas Entrada Podemos aprovechar la foto de la entrada para averiguar la visión espacial que tienen nuestros alumnos, pidiéndoles que identifiquen en el plano puntos que les marcaremos en el edificio. Con la representación en el plano de objetos de tres dimensiones potenciaremos la competencia de interacción con el mundo físico, ya que los alumnos apreciarán lo útiles que son las figuras planas y sus propiedades métricas para representar situaciones del mundo que nos rodea. Para que se familiaricen con los planos de viviendas ya amuebladas, podríamos indicarles que pueden encontrar gran variedad de ellos en los portales inmobiliarios. A menudo, los anuncios de venta y alquiler de pisos, además de describir las características del inmueble, suelen venir acompañados del plano de la vivienda y de fotos de las diferentes habitaciones. Si el piso en concreto es de nueva construcción, estos planos vienen ya con los dibujos esquemáticos de los muebles. Sería interesante llevar uno de estos planos al aula y pedir a los alumnos que identifiquen las figuras planas que aparecen en él, asociándolas con los muebles que representan.

Desarrolla tus competencias I. En esta actividad debemos hacer notar a los alumnos que la vivienda ha de tener al menos un baño y una cocina, aunque esta pueda ser americana. II y III. Estas actividades no les costarán mucho si previamente han realizado la búsqueda de planos de viviendas en los portales inmobiliarios.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1, 2 y 40

Medio

3, 6 y 48

Alto

74

2. Triángulos y cuadriláteros • Es un epígrafe de repaso, y todos los conceptos que aparecen en el mismo ya los han visto los alumnos en cursos anteriores, pero conviene mostrarles que pueden combinarse las clasificaciones, usando ejemplos muy claros: triángulo isósceles rectángulo, trapecio rectángulo, trapecio isósceles… • Para reforzar las ideas conviene que los alumnos describan las características que los triángulos (cuadriláteros) tienen en común y las que tienen diferentes. • También es importante que se den cuenta de que una figura continúa siendo la misma aunque se cambie de posición (giros, traslaciones, simetrías…); así, si giramos un cuadrado 45°, sigue siendo un cuadrado, y no un rombo como a menudo piensan la mayoría de los alumnos. • Otro aspecto importante es considerar que el cuadrado es un caso especial de los rectángulos, ya que cualquier cuadrado cumple todas las propiedades de los rectángulos y además se le añade una: que sus lados sean iguales.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

5 y 41 a 44

Medio

6, 7 y 45 a 47

Alto

49 a 51, 62, 75 y 77

1. Puntos y rectas • Los alumnos ya conocen las clasificaciones de los polígonos, pero suelen estar acostumbrados a trabajar con polígonos regulares. Por eso es importante mostrarles otros tipos de polígonos y propiciar que trabajen con ellos. • Aunque conocen que los ángulos de un triángulo suman 180°, es necesario recordárselo. Para que lo comprendan resulta muy útil que dibujen en una cartulina un triángulo cualquiera, pinten los 3 ángulos interiores de distintos colores y recorten el triángulo en tres trozos de forma que en cada uno de ellos quede el vértice de uno de los ángulos. Posteriormente se juntan los ángulos formando ángulos consecutivos y se obtiene que entre los tres sumen un ángulo llano. • Una vez trabajada la suma de los ángulos interiores de un triángulo, es necesario pararse para conseguir que comprendan también (y no solo memoricen la fórmula) cómo obtener la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Para ello se puede proponer como actividad que descompongan en triángulos un cuadrilátero, un pentágono, un hexágono… Junto a cada figura deben escribir el número de triángulos que contiene y la suma de los ángulos de todos ellos. De esta forma se puede llegar a generalizar la fórmula para un polígono de n lados. • Es conveniente insistir en los elementos de los polígonos regulares, sobre todo en la apotema, porque aparece en el cálculo de áreas y en la obtención de la medida del lado de polígonos regulares.

Tras haber visto todos los conceptos que aparecen en estos dos epígrafes, podremos hacer una reflexión con los alumnos sobre el significado de los prefijos de algunas de estas palabras, tales como: – Poli-: muchos. – Equi-: igual en latín. – Iso-: igual en griego. – Los diferentes prefijos numéricos para nombrar un polígono según el número de lados. Podemos pedir a los alumnos que realicen un trabajo de investigación buscando el significado etimológico de equilátero (lados iguales), isósceles (piernas iguales), polígono (muchos ángulos), cateto (lado perpendicular)…

3. Construcción de polígonos regulares • Los métodos de construcción que aparecen en el epígrafe solo son exactos para el hexágono regular, pero dan buenas aproximaciones para otros polígonos regulares. En Educación Plástica y Visual los alumnos ven los métodos de construcción de polígonos que sí son exactos. • Una vez conocidos los polígonos regulares y sus características, resulta interesante para los alumnos el poder construir ellos mismos dichos polígonos. • Hay que resaltar la importancia en el manejo del compás en la construcción de la mediatriz, así como trasladar una misma medida con el compás. Figuras planas

Unidad 12

7

Sugerencias didácticas

• Recordar que para dividir un segmento en partes iguales hay que utilizar el método de Tales. Para ello es importante que los alumnos trabajen con escuadra y cartabón para trazar paralelas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

9 y 52 a 54

Medio

10 y 67

9, 10, 52 a 54. Aún teniendo en cuenta que los métodos de construcción propuestos son aproximados excepto para el caso del hexágono regular, estos ejercicios son muy interesantes porque fomentan la disciplina en el método de trabajo y estimulan la creación propia en el alumnado.

4. Criterios de igualdad de triángulos

6. Bisectrices de un triángulo • Como ya conocen el concepto y el trazado de la bisectriz de un ángulo, se puede comenzar pidiéndoles que dibujen las bisectrices de los tres ángulos del triángulo. Así comprobarán por sí mismos que se cortan en un punto. • Recordando la propiedad de la bisectriz de que todos sus puntos están a la misma distancia de los lados del ángulo, podemos hacer preguntas que les lleven a la conclusión de que el incentro está a la misma distancia de los tres lados del triángulo y que es posible dibujar una circunferencia con centro en él y radio la distancia a un lado cualquiera del triángulo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

22 a 25 y 60

72 Alto • Intentar que los alumnos deduzcan por sí mismos los criterios proponiéndoles la construcción de un triángulo conocidos sus lados. Una vez hecho, pedirles que midan 72. Al igual que hicimos con la actividad resuelta 16, conviene hacer ver a los alumnos cómo las propiedades métricas los ángulos, y así comprobarán que todos los triángulos de los triángulos permiten solucionar problemas del obtenidos son iguales. mundo cotidiano. Es importante indicarles que en este • De la misma forma, se les pedirá que construyan un triáncaso se trata de buscar el punto donde el radio de acción gulo conociendo dos lados y el ángulo que forman. Desdel caballo no traspase las lindes del campo. pués medirán el tercer lado y los otros dos ángulos, y comprobarán que son iguales.

• Como en los otros criterios, se pedirá a los alumnos que 7. Alturas de un triángulo dibujen un triángulo conociendo un lado y los ángulos • Hay que definir la altura porque es un nuevo concepto. contiguos. Luego medirán los otros dos lados y el ánguDespués se les puede pedir que tracen las alturas de lo que forman, y comprobarán que son iguales. triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos de distintos tamaños y en posiciones diferentes.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

12, 65 y 66

Medio

13, 14, 55 y 56 15 y 57

Alto

• La dificultad al dibujar las alturas es que los alumnos tienden a pensar que deben ir al centro de cada lado (por similitud a las mediatrices). Para que ganen confianza en su trazado, conviene empezar por los triángulos acutángulos, continuar con los rectángulos y finalizar con los obtusángulos.

• Además hay que ayudarles a construirlas cuando se trata de estos últimos, puesto que alguna de las alturas no • En la unidad anterior se estudió el concepto de mediaqueda dentro del triángulo. triz y su trazado. Por tanto, es suficiente recordar su • Desde el primer ejercicio comprobarán por sí mismos definición y la propiedad de que todos sus puntos están que, como en los demás casos, las alturas se cortan en a la misma distancia de los extremos del segmento. De un punto, el ortocentro, aunque este no cumple ninguna modo que ellos solos pueden trazar las tres mediatripropiedad. ces de los lados del triángulo y observar que se cortan en un punto. ACTIVIDADES POR NIVEL

5. Mediatrices de un triángulo

• Intentar, mediante preguntas, que deduzcan que el circuncentro se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, y pedirles que adivinen la figura que se podría trazar teniendo en cuenta esa propiedad.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

17 a 20 y 68

Medio

76

Medio

27 a 31

8. Medianas de un triángulo • También es nuevo el concepto y trazado de las medianas. Pero una vez definido, no presenta ninguna dificultad, y ellos solos pueden dibujar las tres medianas de un triángulo cualquiera, comprobando una vez más que se cortan en un punto.

16. Conviene detenerse en esta actividad resuelta para que los alumnos vean la utilidad de las propiedades métri- • Se les puede hacer notar con las distintas actividades que el baricentro siempre queda dentro del triángulo. cas de los triángulos, para solucionar problemas tales como el abastecimiento de agua, o para que el sumi- • Una vez estudiadas las rectas notables de un triángulo, nistro de electricidad sea lo más óptimo posible. y comprobando que se cortan siempre en un punto, les

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Unidad 12

Figuras planas

Sugerencias didácticas

indicaremos que para localizar cada uno de los puntos notables del triángulo bastará con trazar dos de las rectas notables asociadas, ya que la tercera obligatoriamente pasará por el punto de corte de las dos primeras. • Como contenido de ampliación. se puede pedir a aquellos alumnos aventajados que dibujen las rectas notables en un triángulo equilátero y vean qué sucede. También se les puede pedir que hagan un estudio particular de las rectas y puntos notables cuando el triángulo es rectángulo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

58

Medio

33 a 34, 59, 61 y 70

Alto

73

9. Simetrías en las figuras planas • Intentar que los alumnos puedan ver en los objetos cotidianos los ejes de simetría que los dividen en dos partes iguales. • Proponer figuras más complejas en las que aparezcan varios ejes de simetría. Estas figuras suelen aparecer en logotipos de algunas marcas. • Para que los alumnos reconozcan con facilidad los ejes de simetría de las figuras elementales, lo más adecuado es que recorten rectángulos, cuadrados, rombos… y que los vayan doblando por sus ejes de simetría para que vean que se obtienen figuras iguales.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

37 y 63

Medio

38, 39, 64 y 71

Organiza tus ideas Es conveniente acostumbrar a los alumnos a elaborar sus propios esquemas de la unidad. Como no resulta fácil, se pueden dar unas orientaciones a seguir: 1. Anotar los epígrafes de la unidad. 2. Dividirlos en dos grupos: polígonos y triángulos. 3. Seleccionar en los epígrafes de polígonos lo más importante y escribirlo en forma abreviada ayudándose de un dibujo si lo consideran necesario. 4. Hacer lo mismo con los epígrafes referidos a los triángulos. 5. Presentar todo lo anterior en una sola hoja. Una vez realizados, es importante revisarlos uno a uno, indicando las mejoras que se pueden hacer, bien porque haya que añadir algún detalle olvidado o bien porque hayan seleccionado conceptos que no son tan importantes.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias DIBUJA Y RESUELVE: AMUEBLANDO LA BUHARDILLA Esta actividad está relacionada con las actividades de la entrada de la unidad. Podemos dividir la clase en grupos de tres o cuatro alumnos y pedir a cada uno de ellos que realicen un diseño con la colocación de las estanterías sobre la pared. Con la realización de estos diseños estaremos fomentando la competencia artística, ya que los alumnos tendrán que pensar que además de obtener un diseño óptimo, máxima capacidad y mínimo coste, debe ser estético. Una vez que tengan el diseño elaborado les pediremos que lo plasmen en una cartulina, aplicando una escala de 1 : 10. En la misma cartulina deberán elaborar el presupuesto del diseño. Un representante de cada grupo explicará el diseño sobre la cartulina y marcará el presupuesto. El resto de los alumnos tendrá que averiguar si el diseño elaborado es posible o no, es decir, si se respetan las dimensiones. Aquellos diseños que no cumplan con las dimensiones de la buhardilla serán descartados. Los componentes del grupo cuyo diseño haya sido descartado deberán aceptarlo deportivamente. EXPERIMENTA Y REFLEXIONA: CONSTRUIMOS UN MÓVIL Para realizar esta actividad indicaremos a los alumnos que traigan cartulinas de diferentes colores, y a la hora de realizar los móviles cortaremos los hilos a diferentes alturas. Para construir el móvil con todos los triángulos y rectángulos, utilizaremos dos listones de madera que uniremos con cuerda formando una cruz, e iremos atando los móviles en los brazos de la cruz. APRENDE A PENSAR: CUBRIENDO EL SUELDO Al introducir esta actividad hablaremos a los alumnos de la cultura musulmana y les haremos ver, que además de legado matemático, también nos han dejado un legado artístico de incalculable valor. Dividiremos la clase en grupos de cuatro y repartiremos a cada grupo plantillas con triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos y octógonos regulares, todos ellos con el lado de igual longitud, para poder formar los mosaicos. Podemos llevar al aula una cámara fotográfica e ir fotografiando los diferentes mosaicos que vayan construyendo los alumnos, para luego montar un collage con todas las imágenes. Una vez que hayamos realizado el collage con los diferentes mosaicos, visionaremos en el aula las construcciones sobre la formación del hueso nazarí, la pajarita y el pétalo, aprovechando para ver también diferentes mosaicos que pueden encontrarse en la Alhambra. Para finalizar, realizaremos un pequeño debate en clase sobre el enriquecimiento de las diferentes culturas.

Figuras planas

Unidad 12

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Actividades de refuerzo Unidad 12

Figuras planas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es importante que los alumnos reconozcan los distintos tipos de polígonos y sus elementos, así como que distingan, clasifiquen y dibujen los distintos tipos de triángulos y cuadriláteros. También deben conocer los criterios de igualdad de triángulos y aplicarlos en la construcción de los mismos. Y trazar y reconocer las rectas y puntos notables del triángulo. • Realizar los ejercicios usando siempre los instrumentos de medida y el compás, y después comprobar las soluciones. • Dibujar sobre un mismo triángulo y sobre un mismo lado las rectas notables para describir las diferencias entre ellas y lo que tienen en común. • Emplear materiales alternativos para estudiar propiedades de las figuras planas: transparencias, figuras recortadas, libros de espejos… • Utilizar herramientas informáticas (que tanto motivan a los alumnos) para realizar construcciones geométricas y visualizar los contenidos estudiados. Cabe destacar los programas CABRI Géomètre II y GeoGebra.

ACTIVIDAD DE GRUPO Busca simetrías Formaremos grupos de un máximo de cuatro alumnos. Cada grupo deberá fabricar un tablero como el que se propone a continuación. Reglas del juego • Cada grupo necesitará un dado, un libro de espejos y una ficha de distinto color para cada jugador. • Se sitúan todas las fichas en la primera casilla. Comenzará el jugador que obtenga mayor puntuación al lanzar el dado. • En cada turno se avanza la ficha tantas casillas como indica la puntuación obtenida en el lanzamiento del dado. • Cuando un jugador caiga en una casilla en la que haya dibujada una figura, deberá localizar, con ayuda del libro de espejos, los ejes de simetría que tiene la figura y avanzar tantas casillas como ejes encuentre en ella.

M E T A

• Gana la partida el primer jugador que llega a la meta.1

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

B

I

A

A

R

N

I

A

C

I

E

D

N

E

T

M

S

E

C

T

R

I

b) En A han resultado dos triángulos isósceles, y en B, un rectángulo y otro pentágono irregular cóncavo.

Z

3. a con III N

S

C

R

I

T

A

4. a)

c) e

A

R

U

T

L

T

O

C

E

N

T

R

e

A b)

R

c con II

I

R O

b con I

e

d)

e

O

2. a) A es un cuadrado, y B, un pentágono irregular cóncavo.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 12

Figuras planas

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ACTIVIDADES de REFUERZO

Figuras planas

Unidad 12

1. Busca en la siguiente sopa de letras los nombres de los elementos relacionados con las rectas y puntos notables de un triángulo que aparecen en los dibujos. a

b

c

B

I

S

E

C

T

R

I

Z

X

A

A

V

D

E

R

O

I

M

E

R

N

R

A

N

O

S

A

I

N

I

A

I

I

J

M

U

O

M

T

C

I

N

S

C

R

I

T

A

G

E

D

T

O

N

E

H

U

C

S

N

E

P

J

G

U

N

O

A

T

T

M

Y

N

A

R

U

T

L

A

R

M

U

O

A

T

S

L

R

P

O

R

T

O

C

E

N

T

R

O

d

2. Observa las señales siguientes: A es una señal de peligro de mercancías, y B es una bandera marítima.

RADIOACTIVIDAD

A

a) Clasifica los polígonos que las forman. b) Las zonas sombreadas han formado dos nuevos polígonos en cada una de ellas. Clasifícalos.

3. Une con flechas los triángulos de la primera fila con los de la segunda que sean iguales. a) 3 cm 63°

b)

5 cm

7 cm

9 cm

I)

7 cm

II)

5 cm

c)

5 cm

55°

III)

10 cm 42° 83°

9 cm

42° 5 cm

3 cm

80°

37°

4. Completa las siguientes figuras en las que aparecen sus ejes de simetría. a)

b)

e

c)

d)

e

e

Página fotocopiable

e

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Actividades de ampliación Unidad 12

Figuras planas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos manejan los conceptos y elementos de los polígonos. Por tanto, deben ser capaces de manejar con soltura los criterios de igualdad de triángulos para estudiar si dos triángulos son iguales y utilizar las propiedades de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos. • Utilizar los elementos de los polígonos para intentar buscar otras características comunes a ellos. • Siempre que sea posible, trabajar con el entorno para plantear y resolver ejercicios en los que intervengan los conceptos de la unidad. • Hacer un dibujo aproximado con los datos del problema y lo que se pretende calcular. • Aplicar las propiedades de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos.

ACTIVIDAD DE GRUPO La recta de Euler Es un trabajo de investigación que debe ser orientado para que construyan la recta de Euler, estudien sus propiedades y traten de resolver alguna otra cuestión relacionada con todos los puntos notables. 1. Dibujar un triángulo escaleno cualquiera y señalar en él todos los puntos notables del triángulo. Conviene que las medidas que se pongan no coincidan para que más tarde comprueben que el ortocentro, O; el baricentro, B, y el circuncentro, C, siempre están alineados. 2. Trazar la recta que pasa por el circuncentro y el baricentro. ¿Pasa por algún otro punto notable? 3. Medir la distancia desde el baricentro a cada uno de los otros dos puntos y calcular la razón

BO . BC

4. Exponer las soluciones que han obtenido y observar que todas son iguales. 5. Dar el nombre de la recta o proponerles que investiguen el nombre dándoles las pistas oportunas para que encuentren al matemático descubridor de la misma. Se puede ampliar pidiéndoles que investiguen en qué tipo de triángulo el incentro es un punto de la recta de Euler.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) 40°

b) 20°

2. Los dos tienen las diagonales perpendiculares. 3. Hay seis trapecios rectángulos y dos isósceles. 4. Como es regular, cada ángulo agudo mide 60°, y cada ángulo obtuso, 240°. 5. T1 y T2 son iguales por tener iguales los lados y el ángulo comprendido entre ellos. 6. Al dibujar los segmentos que unen los puntos dos a dos, se obtiene un triángulo. La circunferencia circunscrita pasa por los tres puntos, A, B y C. 7. a) En el circuncentro, que es el punto que está a la misma distancia de los tres. b) El pozo estará a unos 250 m de cada casa.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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1. Determina el valor de x en los siguientes polígonos. a) x

b)

140° 100° 2x

6x

150° 160° 20°

2. Observa estos dos cuadriláteros y di qué tienen en común.

3. ¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura y de qué tipo son?

4. En el polígono de la figura, todos los lados son iguales. Calcula cuánto mide cada uno de sus ángulos.

5. En un pentágono se han dibujado dos de sus diagonales, d y D, como se ve en la figura. Demuestra que son iguales.

d

D T5

T1

6. Explica cómo se puede trazar una circunferencia que pase por los puntos A, B y C. B A C

7. Los vecinos quieren excavar un pozo de tal forma que todos recorran la misma distancia para ir a por agua. A

C

b) ¿A qué distancia del pozo se encuentra cada una de sus casas?

500 m

400 m

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300 m

a) ¿En qué punto deben situarlo?

B

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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 12

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APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Dibuja las siguientes figuras planas. a) Un paralelogramo regular. b) Un triángulo rectángulo isósceles. c) Un hexágono cóncavo. 2. Calcula la suma de los ángulos interiores de las figuras planas. a)

b)

c)

3. Utiliza los criterios de igualdad adecuados para estudiar si son iguales los triángulos. a)

b) 1,3 dm

35° 15 cm 40° 15 cm

55°

35° 13 cm

9 cm 70°

9 cm 70°

4. ¿Qué nombre reciben las rectas r, s y t que están dibujadas en el triángulo? t

r

s

5. Dibuja una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo ABC. A

B

C

6. Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 2 centímetros de radio. 7. Indica qué figuras son simétricas y dibuja sus ejes de simetría. b)

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a)

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c)

d)

Propuesta de evaluación Unidad 12

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SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a)

b)

c)

2. a) 180° ⋅ (9 − 2) = 1260° b) 180° ⋅ (4 − 2) = 360° c) 180° ⋅ (7 − 2) = 900°

3. a) El lado conocido mide lo mismo, y los ángulos adyacentes son iguales. Por tanto, son iguales. b) El segundo triángulo es isósceles, y los ángulos son iguales, pero los lados que forman el ángulo de 40° no miden lo mismo. Entonces son distintos.

4. r es una altura; s, una mediana, y t, una bisectriz.

5. Hay que dibujar la circunferencia circunscrita.

A

B

C

6.

2 cm

7. Son simétricas la a y la b. b)

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a)

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