• Author / Uploaded
• Jona Barreto

Citation preview

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

(GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS)

q

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA (UNEFA) ARAGUA – MARACAY

GUIA DE RESISTENCIA DE MATERIALES (EJERCICIOS RESUELTOS)

PROFESOR: Ing. Félix Silveira

INTEGRANTES: José Isquiel ci: 26055446 Edgar Corniel ci: 2592254io7 Emmanuel Alvarado ci: 25922561 Keivin Lamon ci: 23785890:

CONCEPTOS BASICOS ESTRUCTURALES

Sistemas de Vinculación Vinculo: Condición Geométrica que limita o restringe el movimiento de los cuerpos (Vinculo Real). Clasificación de los Sistemas de Vinculación 1. Vínculos Internos. 2. Vínculos Externos. 1. Vínculos Internos: Limitan la Capacidad de Movimiento de un cuerpo con respecto a otro. Estos a su vez se clasifican en:  Primera especie  Segunda especie  Tercera especie Estos restringen 1,2 y 3 grados de libertad, respectivamente EJEMPLO: El Rodillo interno solo restringe una translación, permitiendo la otra translación relativa, así como que haya rotación relativa entre las láminas que conecta.

PRIMERA ESPECIE

La Rotula o articulación solo permite rotación relativa entre las láminas que vincula.

SEGUNDA ESPECIE

El empotramiento no permite que haya desplazamiento relativo. Es equivalente considerar ambas láminas como una.

TERCERA ESPECIE

Tratemos a continuación otros Ejemplos de Vínculos Internos. 

Consideremos el caso de un vínculo que permita solo una translación relativa entre dos laminas.

Este Vínculo el cual es de segunda especie porque restringe dos desplazamientos, recibe el nombre de empotramiento móvil.

Veamos ahora el caso de un Empotramiento Libre, vinculo este que permite toda translación relativa, restringiendo solo la rotación relativa de las chapas, por lo que es un vínculo de primera especie.

2. Vínculos Externos: Restringen el movimiento de un cuerpo con la lámina tierra. Comprendidos todos los aspectos tratados en los vínculos internos, se hace sumamente sencillo el conocer el comportamiento de estos, solo basta con hacer fija una de las láminas (i o j), la cual llamaremos lámina tierra. Se clasifican:  Primera Especie  Segunda Especie  Tercera Especie Los cuales restringen 1,2y 3 desplazamientos respectivamente. Ejemplos: Rodillo o Articulación Móvil (Primera Especie):

Posibilidad de movimiento horizontal.

Articulación Plana o Simplemente Articulación (Segunda Especie)

Solo permite rotación la cual se da alrededor del punto *0*

Empotramiento Móvil (Segunda Especie)

Solo permite una translación

Empotramiento Fijo o Simplemente Empotramiento (Tercera Especie)

Restringe todo desplazamiento

Empotramiento Libre (Primera Especie)

Su Rotación con respecto a la lámina tierra es nula, pudiéndoselo trasladarse en cualquier dirección, pero sin rotar

Vínculos Aparentes: Aquel que no introduce restricciones adicionales a las existentes dentro de un mecanismo cinemático.

Vínculos Superabundantes o Superfluos: Vínculos adicionales al número mínimo que se requiere para llevar a condiciones de equilibrio un mecanismo cinemático.

Grados de Libertad: Numero de coordenadas generalizadas , libres o independientes, necesarias para definir la configuración de un sistema. La definición anterior se deduce que un punto material en el plano tiene dos grados de libertad; una lámina plana en su plano posee tres grados de libertad, mientras que un punto material en el espacio y un cuerpo en el espacio poseen tres grados de libertad, respectivamente.  

Una lámina Posee, según hemos visto, 3 grados de libertad ; luego, un sistema formado por “n” chapas tiene 3.n grados de libertad. Si inducimos en el sistema un numero v de unidades de vinculación, el número de grados de libertad será:

GL=3. n- v Donde v representa la suma de las unidades de vinculación, tanto interna como externa:

v = Vint + Vext Si bajo la aplicación de esta fórmula obtenemos que son nulos los grados de libertad, habremos cumplido con una condición necesaria para que se encuentre en este estado, pero en ningún caso con la suficiencia, que solo se obtiene con la no existencia de centros instantáneos de rotación (Polos). Tal como veremos más adelante Los Grados de Libertad de un sistema vienen dados por el número mínimo de unidades de vinculación que se le debe adicionar para llevarlo a condiciones de equilibrio estático.

Clasificación de los Sistemas Según sus Grados de Libertad

a) Sistemas Inestables b) Sistemas Estables a) Sistemas Inestables: Constituyen Mecanismos cinemáticos o hipostáticos. En ellos cumple que: b) Sistemas Estables: b.1) Sistemas Isostático: Aquellos en los cuales se cumple que los grados de libertad son Nulos, son sistemas que permiten la aplicación de las ecuaciones de equilibrio para b.2) Sistemas Hiperestáticos: Aquellos sistemas en los cuales existen vínculos superabundantes Son sistemas que siendo estables no permiten la aplicación de las ecuaciones de equilibrio para el cálculo de las fuerzas en los miembros, existe un mayor número de incógnitas que de ecuaciones, en ellos se aplican métodos especiales. Cadenas Cinemáticas: Conjunto de chapas rígidas conectadas por vínculos de segunda especie, Reales o Ficticios.

:

CAPITULO I: ESFUERZOS SIMPLES

ESFUERZOS

Suponiendo que este elemento circular es cortado a la mitad si observamos internamente podemos ver que se forman unos esfuerzos normales y tangenciales, estos esfuerzos se producen para equilibrar la parte que fue cortada.

 

Para que el Esfuerzo sea Constante Se debe cumplir una condicion, la cual dice que si la carga es aplicada en el centro de gravedad el Esfuerzo es Constante.

C

CAPITULO II: CIRCULO DE MOHR

Circulo de mohr: los esfuerzos establecidos en la se3cckion anterior se pueden utilizar en cualquier caso de un estado de esfuerzos bidimensional, pero existe una interpretación grafica de estas fórmulas denomina al ingeniero alemán Otto Mohr (1882) que evita tener que recordarlas. *en esta interpretación se utiliza un circulo, por lo que se ha llamado Circulo de mohr Realizando el dibujo a escala se pueden obtener los resultados gráficamente, aunque en general solo se suele utilizar como esquema, y los resultados se obtienen analíticamente como se verá más adelante.

EJEMPLO:

ç

CAPITULO III: LEY DE HOOKE

LEY HOOKE: En el principio, HOOKE solo anuncio la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Fue Thomas Young, en el año 1807, quien introdujo la expresión matemática con una constante de proporcionalidad que se llamó módulo de Young. Finalmente, este nombre se sustituyó por el módulo de elasticidad o modulo elástico que, aunque da la impresión de que se trata de una medida de las propiedades elásticas del material, es una medida de su rigidez. Un nombre más apropiado hubiera sido quizá el de *módulo de rigidez*

E = Deformación Unitaria (Unidad Adimensional) Deformación: El valor de la deformación (unitaria) es el cociente del alargamiento (Deformación total) y *L* en la que se ha producido. Sin embargo, de este modo solo se obtiene el valor medio de la deformación. 𝜖=

𝛿 𝐿

Sin embargo, de este modo solo se obtiene el valor medio de la deformación. La expresión correcta de la deformación en cualquier punto es: 𝜖=

𝑑𝛿 𝑑𝐿

Que determina el valor de la deformación en una longitud tan pequeña (dL) que puede considerarse constante en dicha longitud. No obstante, en ciertas condiciones se puede suponer que la deformación es constante y aplicar la expresión (2-1) Estas Condiciones son: 1. El elemento sometido a torsión debe tener una sección transversal o una recta constante. 2. El Material debe ser homogéneo. 3. La fuerza o carga debe ser Axial, es decir, producir un esfuerzo uniforme. 4.

EJEMPLOS:

CAPITULO IV: METODO DE DOBLE INTEGRACION

Flexión Simple y método de doble integración: la vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada. En e3sta sección se d3duce la ecuación de dicha curva, y como calcular el desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa X. Tomemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de una longitud deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan ѳ = dy/dx. Este caso es para cuando X es mayor se altera la ecuación, al alterarse no funciona. “se toma una carga ficticia”. La ecuación de M será si uno la pone se debe quitar y colocarse debajo.

EJEMPLOS:

CAPITULO V: METODO DE CROSS

Método de Cross: las técnicas modernas del cálculo y diseño de estructuras se basan en un método de aproximaciones sucesivas popularizado por Hardy Cross, este método, que se conoce con el nombre de método de distribución de momentos o método de Cross, se aplica al cálculo de todo tipo de estructuras de nodos rígidos, su aplicación a las vigas continuas sirve iniciar el lector en el estudio de esta poderosa herramienta del ingeniero de estructuras.

EJEMPLOS:

CAPITULO VI: VIGAS CONJUGADA

Vigas conjugadas: Derivada cuatro veces la ecuación de la elástica se obtienen las siguientes relaciones: EIy : Deflexión (ordenada de la elástica) 𝑑𝑌

EI 𝑑𝑋 : Pendiente (𝜃) 𝑑2 𝑦

EI 𝑑2 𝑥 = Momento = M Resulta evidente que las relaciones entre deflexión, pendiente y momento son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que pueda aplicarse el método del área de momentos para determinar el momento flexionante, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado determinar para las deflexiones a partir del diagrama de momento.

CAPITULO VII: CIRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIONES

Circulo de Mohr para Deformaciones Construcción del cirulo de Mohr para deformaciones: 1- Dibuja un sistema de eje coordenadas con 𝝈𝒏 como abscisa, positivo hacia la derecha, 𝝈𝒙𝒚 como coordenada, positivo hacia abajo. 2- Localice el centro C del circulo en el punto con coordenadas 𝝈 𝒑𝒓𝒐𝒎 y 𝝈𝒙𝒚 = 𝟎

𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 =

𝝐𝒙 + 𝝐𝒚 𝟐

3- Localice el punto A que representa las condiciones de deformaciones sobre la cara x1, marcando sus coordenadas 𝝈𝒏 = 𝝈𝒙 y 𝝈𝒙𝒚. Note que el punto a 𝜽 = 𝟎. 4- Localice el punto B que representa las condiciones de deformación sobre la cara del elemento, trazando sus coordenadas 𝝈 = 𝝈𝒚 ; −𝝈𝒙𝒚. 5- Dibuje una línea del punto A al B. esta línea es un diámetro del circulo y pasa por el centro C. Los puntos A y B, que representan las deformaciones sobre los planos a 900 uno del otro, que están en extremos opuestos del diámetro y, por lo tanto, están a 1800 uno del otro sobre el círculo. 6- Con el punto C como centro, trace el circulo de Mohr por los puntos A y B. El circulo dibujado de esta manera tiene radio R.

𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐 𝑹 = √( ) + (𝟐𝒙𝒚)𝟐 𝟐 7- Calculo de las deformaciones principales y ubicación.

𝝈𝟏,𝟐 = 𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 ± 𝑹 8- Calculo del ángulo 𝜃

𝟐𝜽 = 𝒕𝒂𝒏 (

𝟐 − 𝝈𝒙𝒚 ) 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚

9- Calculo de la deformación cortante máxima, Ixy máx., y del ángulo 𝛽.

CAPITULO VIII: FLEXOCOMPRESION

FLEXO-COMPRESION En muchos casos los miembros estructurales se tratan como columnas con carga axial o vigas con carga de flexión, pero la mayoría de estos miembros están sometidos a flexión y carga axial. En muchos de los miembros estructurales habrá una cantidad importante de ambos efectos y se puede decir que dichos elementos están sometidos al efecto combinado de flexión y compresión (flexo compresión). La mayoría de las columnas en pórticos rígidos están sometidas a flexión y compresión, otro ejemplo de miembro sometido a flexión y compresión puede encontrarse en las armaduras de techo. Aunque el cordón superior es, por lo general, tratado como un miembro cargado axialmente a compresión, si se colocan las correas de techo entre los nodos, sus reacciones causaran flexión, y esta debe tomarse en cuenta.

CAPITULO IX: DISTORCION ANGULAR

DISTORCION ANGULAR Definimos como distorsión angular al cociente entre el asentamiento diferencial entre dos columnas vecinas y la distancia entre ejes. Se acepta que si la distorsión es menor a 1-500 no aparecen fisuras en los muros de cierre; que hasta 1-360, se produce solo una ligera fisuracion en los cerramientos; hasta 1-250 no es visible a simple vista; para 1-180 pueden aparecer lesiones en la estructuras de hormigón armado; y para 1-150 pueden dañarse las estructuras metálicas. Las estructuras metálicas admiten, en general, mayores deformaciones que las de hormigón, aunque las de hormigón armado tienen un mejor comportamiento frente a las deformaciones lentas debido a la fluencia del hormigón. Para evitar los asientos diferenciales debe procurarse que la tensión del terreno bajo las zapatas sea la misma. Sin embargo, como el terreno no es de calidad uniforme, hay inevitablemente asientos diferenciales que pueden alcanzar a2-3 del asiento total. Puede admitirse un asentamiento total entre 2 y 4cm para estructuras con mampostería, y entre 4y 7cm para estructuras con pórticos de hormigón armado o metálicos.