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• David Andres Adones Michea

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“Clama a mí, y yo te responderé, y te enseñaré cosas grandes y ocultas que tú no conoces”. Jeremías 33:3

GUÍA DE APRENDIZAJE N° 3 FUNCIONES Y PROCESOS INFINITOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Contenidos / Habilidades a tratar: - Factoriales - Variaciones - Permutaciones - Combinatoria Instrucciones Generales: - Adjuntar guía en su cuaderno de la asignatura - En caso de pérdida no se entregara otra - Prohibido el uso de calculadora o celular

Repaso: 1. Factorial de un número natural: Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

2. Variaciones ordinarias:

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:  No entran todos los elementos.  Sí importa el orden.  No se repiten los elementos.

3. Varaciones con repeteción:

Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:  No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n  Sí importa el orden.  Sí se repiten los elementos.

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4. Permutaciones: Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:  Sí entran todos los elementos.  Sí importa el orden.  No se repiten los elementos.

5. Permutaciones circulares: Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

6. Permutaciones con repetición: Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ... n = a + b + c + ... Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :  Sí entran todos los elementos.  Sí importa el orden.  Sí se repiten los elementos.

7. Combinaciones:

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:  No entran todos los elementos.  No importa el orden.  No se repiten los elementos. También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

8. Combiaciones con repetición:

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:  No entran todos los elementos.  No importa el orden.  Sí se repiten los elementos.

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9. Regla de Laplace Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

Ejercicios 1. El curso de jorge hace una rifa con 50 numeros del 1 al 50 y solo hay 1 premio si Jorge compra todos los números cuyas cifras suman 7. ¿Cuál es la probabilidad de ganar la rifa? A) 2/20 B) 1/50 C) 4/50 D) 1/20 E) No se puede determinar 2. En una bolsa hay 3 fichas blancas y 2 fichas negras. Se saca una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca? A) 1/2 B) 6/9 C) 12/28 D) 3/5 E) 16/28 3. Un alumno decide presentar 3 de las 5 evaluaciones que tienen pendiente en el colegio. ¿De cuantas maneras diferentes puede elegir esas evaluaciones? A) 10 B) 30 C) 5 D) 20 E) 11 4. Roberto tienen en su ropero 3 camisas, 4 pantalones y 6 pares de zapatos. ¿De cuantas maneras puede vestirse? A) 9300 B) 8580 C) 7850 D) 8508 E) 973 5. ¿Cuántos numeros de 5 cifras diferentes se pueden formar con los digitos 1,2,3,4,5? A) 5 B) 25 C) 120 D) 125 E) 225 6. En una bodega hay 5 tipos diferentes de botellas. ¿De cuantas formas se pueden elegir 4 botellas? A) 4 B) 5 C) 16 D) 20 E) 70

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7. Se quiere saber cuantas combinaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar? A) 3 B) 5 C) 15 D) 25 E) 35 8. ¿De cuanta formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol teniendo en cuentas de que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la porteria? A) 121 B) 100 C) 1000 D) 3628800 E) 39916800 9. El formato utilizado por las actuales matriculas vehiculares consta de 4 letras y 2 números. Por un lado, se considera solo 18 letras (con repetición), las cuales pueden ser B,C,D,F,G, H J, K, L, P, R, S, T ,V, W, X, Y, Z. Por otro lados los numeros van desde el 10 al 99. Carla adquiere un vehiculo cuya matricula le gustaria que terminara en 24, por ser su fecha de cumpleaños. Considerando que las matriculas se asignan aleatoriamente. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral asociado al problema? A) 4 B) 184 C) 18*4 D) 184*90 E) 18*17*16*15 10. Si se lanzan 4 monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo menos 1 sello? A) 1/16 B) 4/16 C) 1/2 D) 12/16 E) 15/16 11. ¿De cuantas maneras se puede seleccionar un equipo de 5 integrantes de un grupo de 9 personas? A) 200 B) 144 C) 126 D) 666 E) 420 12. Lanzan 3 monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos? A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8 D) 1/2 E) 3/4 13. Se lanzan 2 dados simultaneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sume un numero menor que 5? A) 1/12 B) 1/9 C) 1/6 D) 10/36 E) N.A Visión Institucional: “Ser y mantener un ideal de referencia educativa para trascender en la Segunda Región”

14. ¿Cuántas banderas tricolor se pueden confeccionar con 8 colores? A) 59 B) 56 C) 45 D) 64 E) 69 15. Si eliges al azar entre 5 mascotas (una tortuga, un perro, un gato, un loro y un pez) . ¿Cuál es la probabilidad de que te quedes con un perro o un gato? A) B) C) D) E)

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

16. Si tengo 5 pelotas, de las 3 son rojas y 2 negras. ¿ De cuantas maneras puedo llevarlas a entrenamiento? A) B) C) D) E)

10 8 5 9 50

17. Con las letras de la palabra “libro”, ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen con vocal? A) B) C) D) E)

120 100 60 48 6

18. En una pasteleria hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuantas formas se pueden elegir 4 pasteles? A) 36 B) 24 C) 16 D) 132 E) 180 19. Se tiene el conjunto de letras ABC, ¿De cuantas formas distintass se pueden ordenar las letras? A) 12 B) 9 C) 6 D) 4 E) 2 20. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. ¿Cuántos numeros de nueve cifras se pueden formar? A) 576 B) 288 C) 1260 D) 630 E) 420

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21. ¿De cuantas formas se pueden combinar con repetición 5 elementos de 7 en total? A) 462 B) 5544 C) 66 D) 132 E) 460 22. ¿De cuantas formas se pueden combinar con repetición 3 elementos de 5 en total? A) 7 B) 56 C) 35 D) 280 E) 14 23. En una caja hay 4 fichas blancas, 2 fichas verdes y 5 fichas rojas. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar? A) 930 B) 9639 C) 6932 D) 6930 E) 3690

24. Si se tienen 3 cajas verdes, 10 azules y 20 moradas. ¿De cuantas maneras se pueden combinar? A) 89616220 B) 108196 C) 9200000 D) 819 E) 81962800920 25. En un juego se lanzan 2 dados y se gana si la suma de los puntos obtenidos es 6. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? A) 1/36 B) 4/36 C) 5/36 D) 6/36 E) 7/36 26. Si eliges al azar un numero entre los primeros 20 numeros naturales. ¿Cuál es la probabilidad de que el numero sea divisor de 24? A) 1/5 B) 7/20 C) 1/4 D) 2/5 E) 3/10 27. Se dispone de 12 bebidas distintas para formar combinados. ¿Cuántos combinados distintos se pueden preparar utilizando cada vez 4 de las 12 bebidas? A) 500 B) 419 C) 495 D) 600 E) 320

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28. Se tienen los 4 ases de una baraja y se quieren tomar al azar dos cartas. ¿Cuántas y cuales son las combinaciones que pueden resaltar? A) 4 B) 6 C) 2 D) 12 E) 7 29. Se lanza un dado no cargado, la probabilidad de obtener un numero mayor que 4 es? A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 3/4 E) 5/6 30. En una urna hay solo fichas de color rojo, verde y amarillo, todos del mismo tipo. Si se saca una ficha al azar de la urna, se puede determinar la probabilidad de que esta sea negra, si se sabe que: (1) En la urna hay 45 fichas. (2) La razon entre la cantidad de fichas verdes y el total de fichas de la urna es 2:5 A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por si sola. E) Se necesita informacion adicional 31. En una junta de vecinos de 10 personas se debe elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. ¿De cuantas maneras puedo formar este comité con repeticion? A) 1000 B) 100 C) 90 D) 900 E) 10 32. En una heladeria hay 5 variedades de sabores para escoger: Chocolate, vainilla, lucuma, frutilla y naranja. Para un cono se pueden escoger tres de estos sabores sin orden y con repetición. ¿Cuántas combianciones distintos de sabores se pueden escoger? A) 5 B) 10 C) 25 D) 125 E) 105 33. ¿De cuantas maneras se pueden combinar con repetición 7 elementos de un total de 5? A) 66 B) 330 C) 3960 D) 792 E) 462 34. ¿De cuantas maneras se pueden combinar con repetición 6 elementos de un total de 10? A) 1001 B) 3003 C) 5005 D) 2002 E) 4004

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35. Una caja contiene 6 fichas rojas, 8 negras y 10 verdes la probabilidad de que salga una ficha negra es: A) 1/2 B) 1/3 C) 1/8 D) 1/6 E) 1/24 36. Un grupo de 20 personas se reunen a comer en un restaurant. 12 comieron mariscos y 8 comieron carne. Al día siguiente, 13 de ellos amanecieron enfermos, de los cuales 9 consumieron mariscos. Si de los enfermos se elige una persona al azar. ¿Cial es la probabilidad de que hubiese consumido carne? A) 4/13 B) 13/9 C) 13/4 D) 9/4 E) 9/13 37. Una madre decide llamar a cenar 4 de sus 7 hijos. ¿De cuantas maneras diferentes puede llamarlos? A) 53 B) 30 C) 45 D) 35 E) 60 38. Una chica tiene en su armario 10 vestidos y quiere elegir 6 para un viaje. ¿De cuantas maneras puede hacerlo? A) 50 B) 210 C) 300 D) 3000 E) 256 39. ¿De cuantas formas diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda? A) 40320 B) 5040 C) 512 D) 64 E) 56 40. De un grupo de 6 estudiantes quiere elegirse una comision de 3 para que cada uno visite un parque distinto. ¿Cuántos grupos se pueden formar? A) 120 B) 360 C) 216 D) 36 E) 18 41. Paulina tiene que elegir dos colores para hacer tarjetas de presentación. Los colores disponibles son rojo, blanco, azul, negro, amarillo, verde y burdeo. ¿Cuántas combinaciones diferentes de colores puede elegir? A) 7 B) 14 C) 21 D) 42 E) 49 Visión Institucional: “Ser y mantener un ideal de referencia educativa para trascender en la Segunda Región”

42. El rey Arturo, con sus nueve fieles caballeros, se sientan en la famosa mesa redonda. ¿De cuántas formas se puede sentar el rey con sus caballeros? A) 7! B) 8! C) 9! D) 10! E) 11! 43. Un coro de 5 personas se ubica de tal forma que quedan dos cantantes adelante y los 3 atrás. ¿De cuántas formas se pueden elegir a las 3 personas que se ubican atrás? A) 3 B) 5 C) 10 D) 15 E) 18 44. En un automóvil viajarán 5 personas. Si sólo uno de ellos sabe conducir, por lo que se ubicará en el asiento del chofer, ¿de cuántas formas distintas se pueden ubicar las cuatro personas restantes? A) 120 B) 24 C) 16 D) 12 E) 4 45. ¿Cuál es la probabilidad de NO obtener una suma de las caras igual a 8 , al lanzar dos dados de seis caras cada uno y no cargados? A) 1/12 B) 7/12 C) 5/36 D) 31/36 E) 33/36 46. Se lanzan dos dados no cargados, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor del segundo dado sea el doble del valor en el primero? A) 1/6 B) 1/8 C) 1/9 D) 1/12 E) 1/36 47. Marta tiene tres monedas y las lanza al aire todas a la vez. Si una de las monedas cae primero, indicando cara, ¿cuál es la probablilidad que en las otras dos también salga cara? A) 1/4 B) 1/7 C) 1/8 D) 1/2 E) 1/5 48. Entre los participantes de un taller de natación hay 6 hombres más que mujeres. Si en total son 36 participantes, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a una persona del grupo, ésta sea mujer? A) 1/6 B) 1/2 C) 5/6 D) 5/12 E) 7/12 Visión Institucional: “Ser y mantener un ideal de referencia educativa para trascender en la Segunda Región”

49. En una bolsa hay 5 bolas rojas y 3 bolas azules. La probabilidad de sacar una bola roja es: A) 5/3 B) 3/5 C) 3/8 D) 1/3 E) 5/8 50. Se tienen 4 llaves, las cuales se desea distribuir en dos llaveros, uno dorado y otro plateado, de tal forma que en el llavero dorado queden 3 llaves. ¿De cuántas formas se pueden elegir las que irán en el llavero dorado? A) 1 B) 3 C) 4 D) 9 E) 24 51. ¿Cuál de los siguientes sucesos tiene menor probabilidad de ocurrencia? A) Obtener un número par al lanzar un dado común. B) Obtener cara al lanzar una moneda. C) Obtener una moneda de una bolsa que contiene 1 moneda y 2 billetes. D) Contestar correctamente una pregunta de 5 alternativas, sin saber la respuesta. E) Adivinar un número de teléfono sin conocer el último dígito del número. 52. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzarse dos dados se obtenga una suma menor o igual a 10? A) 11/12 B) 7/15 C) 11/15 D) 9/17 E) 11/17 53. En un salón se reúne a todos los estudiantes que obtuvieron sólo un puntaje nacional en la PSU. Si 120 de ellos sacó puntaje nacional en Matemática, 60 en Ciencias, 10 en Lenguaje y 10 en Historia, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona al azar, ésta tenga puntaje nacional en Matemática o Ciencias? A) 7/50 B) 9/50 C) 9/65 D) 8/45 E) 9/10 54. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad que salga un número menor que 3 o un número par? A) 5/6 B) 3/2 C) 1/6 D) 2/3 E) 6/6 55. En una bolsa hay 15 candados, numerados cada uno del 1 al 15.¿cuál es la probabilidad de que al sacar un candado al azar, su número sea par y además múltiplo de 3? A) 6/15 B) 12/15 C) 7/15 D) 2/15 E) 5/15 Visión Institucional: “Ser y mantener un ideal de referencia educativa para trascender en la Segunda Región”

56. En un estante se tienen en total 13 libros de los cuales solo 8 son de matemática. Si la mitad de los libros de matemática son rojos, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un libro del estante, éste sea rojo y de matemática? A) 1/2 B) 1/13 C) 1/4 D) 4/13 E) 12/13 57. En un juego, se deben sacar al azar 4 bolas (al mismo tiempo) de una tómbola con números del 1 al 6. ¿Cuántos son los resultados posibles? A) 4 B) 6 C) 15 D) 21 E) 30 58. En un curso de 25 alumnos se deben escoger 2 representantes, dentro de los 10 con mejor comportamiento, para participar en un foro de educación. ¿De cuántas formas diferentes se pueden escoger los 2 representantes? A) 5 B) 30 C) 45 D) 80 E) 90 59. En una rifa se venden 180 números y Alejandra compra cierta cantidad de ellos. Se puede determinar cuántos números compró Alejandra si se sabe que: (1)La cantidad de números comprados por Alejandra es múltiplo de 5. (2) La probabilidad de ganar que tiene Alejandra es 1/9 A) (1) por si sola. B) (2) por si sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por si sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional. 60. Para saber si la muestra extraída de grupos de una población de 10,000 personas es representativa, necesitamos conocer: (1) La cantidad de personas que conformarán la muestra. (2) La cantidad de personas extraidas de cada grupo. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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