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• Fernando de Leon

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Segunda Unidad Introducción a la probabilidad II unidad Mariebelia Elías

Experimento  Es el proceso por medio del cual se hace una observación.

Existen dos tipos de experimentos: determinístico y aleatorio. Experimento Aleatorio:  En el experimento no se puede generar un resultado específico, pero si se pueden conocer los posibles resultados.  El proceso puede repetirse indefinidamente, bajo condiciones invariables.  En cada repetición no pueden predecirse los resultados.

Suceso aleatorio:  Son los que se pueden dar a lugar a varios resultados, sin que puede ser predecible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Conceptos básicos 

Conceptos básicos 

Métodos de numeración (diagrama de árbol)  En algunos experimentos es útil listar los elementos del

espacio muestral de forma sistemática mediante el diagrama de árbol o técnicas de conteo.  Ejemplo 1: Se arroja al aire tres monedas. Determine el espacio muestral.  Ejemplo 2: Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. ¿De cuántas maneras puede ser ganado este torneo?

Ejemplo 3:  Se lanza un moneda y los resultados posibles son

cara o escudo. Si se obtiene cara, la moneda es lanzada por segunda vez. Si en el primer lanzamiento se obtiene escudo, se lanza un dado. Obtenga el espacio muestral.

Ejemplo 4:  Determinar el valor de la suma que se obtiene al lanzar

dos dados legales. Obtenga el espacio muestral.  Determine:  Sea el evento A: la suma que se obtiene en el lanzamiento de los dos dados es seis.  Sea el evento B: la suma que se obtiene en el lanzamiento de los dos dados es impar.

Ejemplo 5:  Una caja contiene tres fichas de póker (una roja,

una azul y una blanca), y dos se extraen con reemplazamiento. Las fichas son revueltas antes de extraer una segunda ficha y observar su color. Determine el espacio muestral con reemplazo y sin reemplazo.

Ejemplo 6: La biblioteca de una universidad dispone de cinco ejemplares de cierto texto en reserva. Dos ejemplares (1 y 2) son primeras impresiones y los otros tres (3,4, y 5) son segundas impresiones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio y se detiene sólo cuando una segunda impresión ha sido seleccionada.  Ponga en lista los resultados del espacio muestral.  Sea A el evento en que exactamente un libro debe ser

examinado. ¿Qué resultados están en A?  Sea B el evento en que el libro 5 es seleccionado. ¿Qué resultados están en B?

Ejemplo 7:  Tres componentes están conectados para formar un sistema como se

muestra. Como los componentes del subsistema 2-3 están conectados en paralelo, dicho subsistema funcionará si por lo menos uno de los dos componentes individuales funcionan. Para que todo el sistema funcione, el componente 1 debe funcionar y por lo tanto el subsistema 2 2-3 debe hacerlo. 1 3

El experimento consiste en determinar la condición de cada componente (S) éxito para un componente que funciona y F (falla) para un componente que no funciona. 1.

¿Qué resultados están contenidos en el evento A en que exactamente dos de los

tres componentes funcionan? 2. ¿Qué resultados están contenidos en el evento B en que por lo menos dos de los componentes funcionan? 3. ¿Qué resultados están contenidos en el evento C en que el sistema funciona?

Teoría de subconjuntos (operaciones entre eventos)  Un evento es simplemente un conjunto, así que las relaciones

y resultados de la teoría elemental de conjuntos pueden ser utilizados para estudiar eventos.  La unión de dos eventos A o B o ambos

 La intersección de dos eventos A y B  El complemento de un evento

Eventos mutuamente excluyentes  Existen ciertos eventos que nunca se presentan

simultáneamente, es decir, son mutuamente excluyentes sino tienen resultados en común.  Sacar un carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey .  Lanzar una moneda y que salga cara y cruz al mismo tiempo.

Probabilidad  Es una medida cuantitativa de qué tan probable es que ocurra

un evento. El objetivo de la probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A) llamado la probabilidad del evento A, el cual dará una medida de la oportunidad de que A ocurrirá.  Probabilidad= Número de veces de ocurrencias del evento/Número total de observaciones.

Axiomas de la probabilidad:  P(A) ≤1 (la frecuencia siempre estará entre un valor de 0 y 1)  P(S)=1 (el resultado de un experimento siempre estará en el

espacio muestral)

Reglas aditivas:  Eventos no mutuamente excluyentes: 

  

P(A∪B) =P(A)+P(B)-P(A∩B) Eventos mutuamente excluyentes: P(A∪B) =P(A)+P(B) Eventos independientes: eventos donde se da un reemplazo: P(A∩B)=P(A)*P(B) Evento dependiente: eventos donde no se da un reemplazo: P(A∩B)=P(A)*P(B/A) Para tres eventos: P(A ∪B ∪C)

Eventos no mutuamente excluyentes:  P(A∪B) =P(A)+P(B)-P(A∩B)  Ejemplo 8:  Se tienen en una tómbola 36 bolas numeradas del 1 al 36 y se

extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte un número par o un número menor que 10?

Ejemplo 9  Se lanza un dado no cargado. Usted gana Q5.00 si el

resultado es par o divisible por 3. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

Ejemplo 10  Para obtener una licencia de conducir, es necesario aprobar tanto

   

el examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe la parte teórica es 0.68, que no apruebe la parte práctica 0.28 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0.82. Si se elige un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia? ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes? ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguno? ¿Cuál es la probabilidad de que gane solo uno de ellos?

Eventos mutuamente excluyentes:  P(A∪B) =P(A)+P(B)  Ejemplo 11:  Se tienen 4 tipos de chocolates: Chocolate con leche,

chocolate negro, chocolate con frutos secos y chocolate fondant. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que este sea negro o con frutos secos?

Eventos dependientes e independientes  Ejemplo 12:  Con reemplazo:

P(A∩B)=P(A)*P(B)

 El dueño de un hotel ha modernizado sus instalaciones.

Observó que el 20% de los autos que pasan por ahí, se detienen a alquilar un cuarto.  ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos dos carros se detengan?  ¿Cuál es la probabilidad de que el primer auto pare y el segundo no lo haga?  ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de dos automóviles se detenga?

Ejemplo 13  En una ciudad se realizó una encuesta y a cada encuestado se

le hicieron sólo dos preguntas:  a. ¿Es el último dígito de su número de seguro social un número impar?  b.¿Ha mentido alguna vez en su solicitud de empleo?  La segunda pregunta es delicada y es de suponer que las personas no dirán la verdad por diversas razones, sobre todo si la respuesta es sí. Para eliminar ese posible sesgo, se pidió a los encuestados que lanzaran una moneda al aire y respondieran a la pregunta (a) si el resultado es escudo y a la pregunta (b) si el resultado era cara. El 37 por ciento de las personas respondieron que si.

…continuación  ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado haya

respondido a la pregunta delicada (b)afirmativamente?

Ejemplo 14  Se sacan dos cartas sin sustitución de una baraja de 52 cartas.

A. ¿Cuál es la probabilidad que las dos sean corazones? B. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea un as?  Ejemplo 15:

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?

Ejemplo 16:  Las estadísticas han demostrado que entre los dos equipos

históricamente rivales “Cremas y Rojos” un 25% de las veces lo ha ganado el equipo de los Rojos; un 45% el equipo de los Cremas y 30% han empatado. En el próximo campeonato van enfrentarse en 3 ocasiones.  a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el equipo de los Rojos los 3 partidos?  b) ¿Cuál es la probabilidad de que los Cremas ganen al menos un partido?

Ejemplo 17  Para encontrar defectos se inspeccionan las partes hidráulicas

    

del tren de aterrizaje que provienen de una instalación de reparación de aviones. Los antecedentes muestran que el 8% tienen defectos solo en los ejes, 6% tienen defectos solo en los bujes, y que el 2% tienen defectos tanto en los ejes como en los bujes. Si se selecciona al azar las partes hidráulicas que se usarán en una aeronave, determinar la probabilidad de que tengan: Un defecto en los bujes. Solamente defecto en los ejes. Un defecto en un eje o en un buje. Solo uno de los dos tipos de defectos. Ningún defecto en los ejes o en los bujes.

Ejemplo 18:  Un tirador acierta el 80% de sus disparos y otro (en las

mismas condiciones de tiro), el 70%. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco cuando ambos tiradores disparan sobre el simultáneamente? Se considera que se ha dado en el blanco cuando por lo menos, una de las 2 balas ha hecho impacto en el.

Ejemplo 19:  Una compañía de seguros ofrece cuatro niveles diferentes de

deducibles: ninguno, bajo, medio y alto para asegurados propietarios de casa; y tres niveles diferentes de deducibles: alto, medio y bajo para asegurados propietarios de automóvil. La siguiente tabla da las proporciones para las diversas categorías de asegurados que tienen ambos tipos de seguro. Propietario de casa. Propietario de Ninguno auto. Bajo 0.04 Medio 0.07 Alto 0.02

Bajo

0.06 0.10 0.03

Medio

0.05 0.20 0.15

Alto

0.03 0.10 0.15

Continuación…  Suponga que un individuo que tiene ambos tipos de pólizas  

  

de seguro se selecciona al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga un deducible medio de automóvil y un deducible alto de casa? ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga un deducible bajo de automóvil? ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo esté en la misma categoría de deducible de casa y de automóvil? ¿Cuál es la probabilidad de que las dos categorías sean diferentes? ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga al menos un nivel bajo de deducible?

Ejemplo 20:  Un sistema consta de cuatro componentes, como se ilustra en

la figura. Todo el sistema funcionará si el subsistema 1-2 funciona o el subsistema 3-4 funciona (porque los subsistemas están conectados en paralelo). Como los dos componentes de cada subsistema están conectados en serie, un subsistema funcionará sólo si ambos componentes funcionan. Si los componentes funcionan o fallan de modo independiente uno del otro y si cada uno de ellos funciona con una probabilidad de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que todo el sistema funcione (coeficiente de confiabilidad del sistema)?

Continuación…

Probabilidad condicional  P(A/B)= la probabilidad condicional de A dado que el evento

B haya ocurrido, B es el “evento condicionante”.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐵)

Probabilidad Total y Teorema de Bayes  P(B)=P(B/A)P(A)+......P(B/Ak)P(Ak)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐵)  Donde : P(A∩B) = P(B/A)P(A) 

P(B)= P(B/A)P(A)+......P(B/Ak)P(Ak)

Ejemplo 21:  En una casa hay tres llaveros A, B y C. El primero con 5

llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y de él una llave para abrir el trastero. Encuentre:  ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?  ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?  Y si la llave escogida es la correcta, ¿Cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero?

Ejemplo 22  Una empresa industrial grande usa tres hoteles locales para

proporcionar hospedaje nocturno a sus clientes. Por experiencia pasada se sabe que el 20% de los clientes se les asignan habitaciones en el Ramada Inn, al 50% en el Sheraton y al 30% en el Radisson. Si hay alguna falla en la plomería en 5% de las habitaciones del Ramada, el 4% en las habitaciones del Sheraton y el 8% en las habitaciones del Radisson. ¿Cuál es la probabilidad de que  A un cliente se le asigne una habitación con fallas en la plomería?  A una persona con una habitación que tiene problemas de plomería se le haya asignado habitación en el Radisson?

Ejemplo 23:  Las estaciones de Enigma Service venden gasolina de 84, 90

y 95 octanos. Además el cliente de esta cadena de grifos puede elegir si a la gasolina que compra se le agrega aditivos de mejora. El siguiente cuadro resume los resultados de una muestra representativa de 1000 clientes de acuerdo a sus preferencias. Gasolina con aditivos. Gasolina sin aditivos.

84 octanos 90 octanos 95 octanos 50 100 50 150

400

250

Continuación…  ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de una estación de

servicios seleccionado al azar elija gasolina de 84 octanos o compre gasolina sin aditivos?  Si a la salida de la estación, al azar se selecciona un cliente y se le consulta sobre el tipo de gasolina comprada y responde que no ha sido de 84 octanos ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina de 95 octanos?  Si a la salida de la estación, al azar se selecciona un cliente y se le consulta sobre el tipo de gasolina comprada y responde que no ha sido de 84 octanos ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina con aditivos?

Ejemplo 24 

Los sujetadores que se utilizan en la fabricación de aviones tienen unas cuantas estrías para que queden seguros y no se aflojen por la vibración. Suponga que 95% de los sujetadores pasa una inspección inicial. Del 5% que falla, 20% están tan defectuosos que se desechan. Los demás sujetadores se mandan a estriar de nuevo, donde 40% no se pueden salvar y se eliminan. El otro 60% de estos sujetadores se corrige al hacerle nuevas estrías y después pasa la inspección.

Continuación  ¿Cuál

es la probabilidad de que un sujetador entrante seleccionado al azar pase la inspección, ya sea al inicio o después de volverlo a estriar?  Dado que un sujetador pasó la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que pase la inspección inicial y no requiera un nuevo estriado?

Ejemplo 25:  Una compañía de exploración petrolera en la actualidad tiene dos

proyectos activos, uno en Asia y el otro en Europa. Sea A el evento en que el proyecto asiático tiene éxito y B el evento en que el proyecto europeo tiene éxito. Suponga que A y B son eventos independientes con P(A)= 0.4 y P(B) = 0.7.  A. Si el proyecto asiático no tiene éxito, ¿Cuál es la probabilidad de que el europeo tampoco tenga éxito?  B. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los dos proyectos tenga éxito?  C. Dado que por lo menos uno de los dos proyectos tiene éxito, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo el proyecto asiático tenga éxito?

Ejemplo 26:  La siguiente tabla recoge las predicciones referentes a las ganancias

por acción de 1000 títulos distintos realizadas por un analista financiero junto con los resultados ocurridos clasificados en tres categorías: Predicción Resultado Crecimiento Aproximación igual Decrecimiento

Crecimiento

Aproximación igual

Decrecimiento

210 106

82 153

66 75

75 84 149  Calcular la probabilidad de que si la predicción prevé un decrecimiento de las ganancias se dé este resultado.

Ejemplo 27:  Un cierto modelo de automóvil viene en una versión de dos

puertas, cuatro puertas y cinco puertas (incluyendo una puerta trasera). Cada versión puede ser equipada ya sea con una transmisión automática o transmisión estándar. La siguiente tabla indica las proporciones relevantes de los modelos comprados por los compradores. Dos puertas Cuatro puertas Transmisión estándar Transmisión automática

0.32 0.08

0.27 0.04

Cinco puertas

0.18 0.11

Continuación…  Se selecciona al azar un cliente que ha comprado uno de estos

automóviles.  A. ¿Cuál es la probabilidad que haya comprado un auto con transmisión estándar o no sea de dos puertas?  B. Si el cliente no compró un automóvil de dos puertas, ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado un automóvil de cinco puertas?  C. Si el cliente no compró un automóvil de dos puertas, ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado un automóvil de transmisión automática?