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UNIVERSIDAD ARTURO PRAT – IQUIQUE CHILE

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Lo que usted necesita saber 1) ALGEBRA DE SUCESOS: Si A y B son dos sucesos

𝑨 = 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨 𝑩 = 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑩 𝑨𝒄 = 𝒏𝒐 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨 𝑩𝒄 = 𝒏𝒐 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑩 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝒖𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐𝒔 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐𝒔 𝑨 𝒚 𝑩 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆𝒏 𝒂 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒛 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩𝒄 = 𝒔ó𝒍𝒐 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨 𝑩 − 𝑨 = 𝑩 ∩ 𝑨𝒄 = 𝒔ó𝒍𝒐 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑩 (𝑨 ∩ 𝑩𝒄 ) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄 ) = 𝒔ó𝒍𝒐 𝒖𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝑨 = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑩𝒄 ) 𝑩 = (𝑩 ∩ 𝑨) ∪ (𝑩 ∩ 𝑨𝒄 ) (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 = 𝑨𝒄 ∪ 𝑩𝒄 𝑳𝒆𝒚𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒓𝒈𝒂𝒏 { (𝑨 ∪ 𝑩)𝒄 = 𝑨𝒄 ∩ 𝑩𝒄 2)

Si dos sucesos A y B son incompatibles (o disjuntos), entonces: 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅

3)

𝑃(∅) = 0 ; 𝑃(Ω) = 1; ∅ = 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒; Ω = espacio muestral (suceso seguro)

4)

Si A y B son sucesos incompatibles (o sea 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅); entonces la unión 𝐴 ∪ 𝐵 la expresamos como 𝐴 + 𝐵.

5)

Si A, B y C son sucesos disjuntos, entonces:

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑪) − 𝑷(𝑩 ∩ 𝑪) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)

6)

{

7)

𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑨𝒄 ) = 𝟏

8)

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

𝑷(𝑨⁄𝑩) =

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑩)

Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B. Del cual se deduce:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨) = 𝑷(𝑩)𝑷(𝑨⁄𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩⁄𝑨) 9)

REGLA DE MULTIPLICACIÓN:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩⁄𝑨)𝑷(𝑪⁄𝑨 ∩ 𝑩) 10) Si A y B son disjuntos, entonces

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩⁄𝑪) = 𝑷(𝑨⁄𝑪) + 𝑷(𝑩⁄𝑪) 11) Si A, B y C son sucesos independientes, entonces:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩)𝑷(𝑪) 12) TEOREMA DE BAYES

𝑷(𝑨𝒊 )𝑷 (𝑩⁄𝑨 ) 𝑷(𝑨𝒊 ∩ 𝑩) 𝑨𝒊⁄ 𝒊 𝑷 ( 𝑩) = = 𝑷(𝑩) ∑ 𝑷(𝑨𝒊 )𝑷 (𝑩⁄𝑨 ) 𝒊

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EJERCICIOS 1) Para cada uno de los experimentos aleatorios dados describa su espacio muestral. E1 Extraer una ficha de una caja que contiene 5 fichas blancas y 3 fichas rojas E2: Lanzar un dado dos veces y observar el número que resulta en la cara superior E3: Medir la resistencia a la tensión de una barra de acero. E4: Lanzar un dado al cual se le han eliminado los números y dos de sus caras han sido pintadas de negro, dos de rojo» uno de amarillo y la otra de verde y observar la cara superior. E5: De un grupo de transistores producidos bajo condiciones similares, escoger una unidad, colocarla bajo prueba en un ambiente similar a su uso diseñado y luego probar hasta que falle. E6: Idem, a E5, pero escoger dos de los transistores. E7: Un termógrafo anota la temperatura, continuamente, en un período de 24 horas. En un sitio y en una fecha señalados 'leer" dicho termógrafo y anotar las temperaturas mínima (x) y máxima (y) del período de 24 horas considerado. 2) Cuatro profesores de la UNAP se distribuyen al azar en 4 oficinas numeradas con 1, 2, 3 y 4. Si los 4 profesores pueden estar en la misma oficina, describir el espacio muestral Ω. 3) Lance una moneda y un dado a) Construya el espacio muestral asociado a este experimento. Resp.   C,1, C,2, C,3, C,4, C,5, C,6, S ,1, S ,2, S ,3, S ,4, S ,5, S ,6 b) Liste los elementos de los sucesos A: Sale sello en la moneda y un número par en el dado B: Sale cara en la moneda y un número impar en el dado C: El número en el dado es múltiplo de 3 Resp. C  C,3, C,6, S ,3, S ,6 c) Liste los elementos de los sucesos A  B

a) A c 4)

5)

6)

7)

8)

9)

b) A  B c ) B  C

d ) A  B

c

d) Cuál de los sucesos A, B y C son mutuamente excluyentes? Determinar si los siguientes experimentos son aleatorios o no, en caso que sean aleatorios, describir el espacio muestral asociado a ese experimento. a) Se arroja tres veces una moneda b) Se arrojan 3 monedas c) Se retira una bola de una urna que contiene 5 bolas negras idénticas y 7 blancas también idénticas d) Un jugador de baloncesto tira un tiro libre e) Se saca una carta de una baraja de 52 cartas f) Elegimos un Arquitecto que vive en la ciudad, para construir nuestra casa g) La UNAP elige rector h) Chile elige sus senadores Una moneda es lanzada 4 veces y el resultado es registrado para cada lanzamiento. a) Liste los elementos del espacio muestral asociado a este experimento. b) Sea el suceso A: en los 4 lanzamientos se obtienen 3 caras. Liste los elementos del suceso A. Los pacientes que llegan al hospital pueden seleccionar cualquiera de los 3 consultorios médicos para su atención. Supongamos que los médicos son asignados aleatoriamente a los consultorios y por lo tanto los pacientes no tienen preferencia especial por ninguno de los consultorios. Tres pacientes llegan al hospital y se registra el consultorio que escogen. a) Liste los elementos del espacio muestral asociado a este experimento. Resp. El espacio muestral tiene 27 elementos b) Sea el suceso A: cada consultorio recibe un paciente. Liste los elementos del suceso A. Resp. El suceso A tiene 6 elementos. Al planificar una familia de 4 niños, una pareja está interesada en los siguientes sucesos: a) todos del mismo sexo b) exactamente un varón c) por lo menos dos varones Liste los elementos de los sucesos A, B y C Cinco trabajadores, de los cuales 3 pertenecen a un grupo minoritario se asignan a 5 empleos netamente distintos. a) Defina el experimento b) Haga una lista de los elementos del espacio muestral Ω Un número es seleccionado al azar entre los números 1 al 20. Sean los sucesos: A: el número elegido es par B: el número elegido es primo C: el número elegido es múltiplo de 5 Liste los elementos de los siguientes sucesos: 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴𝑐 ∩ 𝐶 𝑦 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 𝑐

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10) En la Universidad Austral, hay 5 kioskos (numerados 1, 2, 3, 4, 5). Siete alumnos de la universidad seleccionan al azar, y en forma independiente, un kiosko para hacer sus compras. Liste los elementos del espacio muestral Ω asociado a este experimento. 11) Un experimento consiste en tirar 2 dados, uno verde y otro rojo, y anotar los resultados. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω asociado a este experimento. b) Liste los elementos del suceso: A: la suma de los números es menor que 7 c) Liste los elementos del suceso: B: ocurre 4 en cualquier dado 12) Un experimento consiste en tirar una moneda y si sale sello tirarla una segunda vez. Si sale cara en el primer lanzamiento, se tira una vez un dado. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω asociado a este experimento. b) Liste los elementos del suceso: A: ocurre un número menor que 3 en el dado c) Liste los elementos del suceso: B: ocurren dos caras Resp.∅ 13) El experimento consiste en preguntar a 3 electores elegidos al azar si votan por un partido político X a) Liste los elementos del espacio muestral Ω, utilizando las letras S para “si” y N para “no”. b) Liste los elementos del suceso: A: cuando menos dos de los electores votan por el partido X c) Defina en apalabras el suceso que tiene por elementos los puntos SSS , NSS , SSN , NSN 14) Para el puesto de jefatura de práctica en Operativa I, se colocan en un mismo expediente los antecedentes de 4 estudiantes, 2 hombres y 2 mujeres que lo solicitan. Como ahora hay puestos vacantes, el primero, de jefe de práctica se cubre seleccionando un solicitante al azar. El segundo puesto, el de ayudante estudiante, también se cubre seleccionando al azar uno de los 3 restantes. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω, asociado a este experimento b) Liste los elementos de los sucesos siguientes: A: el puesto de jefe de práctica es cubierto por un hombre B: uno de los dos puestos es cubierto por una mujer C: ningún puesto es cubierto por hombre c) Construya el diagrama de Venn que muestre la relación entre los sucesos A, B y C. 15) En una clase de Operativa II se selecciona al azar 6 estudiantes y se clasifican en hombre o mujer. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω1 , utilizando las letras H para hombre y M para mujer. b) Defina un segundo espacio muestral Ω2 en donde los elementos representen el número de hombres seleccionados 16) Supongamos que 10 tarjetas están numeradas del 1 hasta 10. De las 10 tarjetas, se retira al azar una cada vez y sin reposición, hasta retirar la primera tarjeta numerada con número par. Luego se cuenta el número de retiradas necesarias. Liste los elementos del espacio muestral asociado con este experimento. 17) Para los sucesos del ejercicio 14, liste los elementos de los sucesos siguientes: a) 𝐴∩𝐵 b) 𝐴∪𝐵 (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 c) (∅ ∩ 𝐶)𝑐 d) e) 𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵𝑐 (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)𝑐 f) (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)𝑐 g) 18) Supongamos que un número x es seleccionado de la recta real Ω, y sean A, B y C los sucesos representados por los siguientes subconjuntos de Ω: 𝐴 = {𝑥 ∈ Ω/1 ≤ 𝑥 ≤ 5} 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω/3 < 𝑥 ≤ 7} 𝐶 = {𝑥 ∈ Ω/𝑥 ≤ 0} Describa cada uno de los sucesos siguientes como un conjunto de números reales. a) 𝐴∪𝐵 b) 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 c) 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ∩ 𝐶 𝑐 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 d)

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Más ejercicios 19) Si P A  1/ 2;

PB  1/ 4 y si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, calcular: a) PA ; b) P A  B ; c) P A  B ; b) PAc  B c . Resp.: a) ½; b) 0; c) ¾; d) ¼ c

20) Determine la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes. a) Un número par aparece en el lanzamiento de un dado. R. 1/2 b) Por lo menos una cara aparece en el lanzamiento de 3 monedas. 21) Se lanza un par de dados correctos simultáneamente. Encontrar la probabilidad de que: a) La suma sea menor que 4 R. 1/12 b) La suma sea 9 R. 1/9 c) El resultado del primer dado sea mayor que el segundo. R. 5/12 22) Es usted periodista en una reunión del jurado Nacional de elecciones. Hay 302 electores que favorecen a ZUTANO, 191 electores que favorecen a MENGANO y 45 electores que favorecen a FULANO. Se fija usted en un lector que está de pie en el vestíbulo. Cuál es la probabilidad de que favorezca a MENGANO? R. 0,355 23) En una urna son mezcladas diez bolas numeradas del 1 al 10. Dos bolas (a,b) son retiradas sin reposición. Cuál es la probabilidad de que a+b=10. 24) Se pintan los números del 1 al 15 sobre 15 bolas idénticas, un número por bola. Si se extrae una de las bolas al azar: a) Cuál es la probabilidad de que el número pintado en él sea divisible por 5? b) Cuál es la probabilidad de que el número pintado en él sea un cuadrado perfecto? 25) Un lote contiene 10 piezas buenas, 4 con defectos y 2 con defectos graves. Se extraen 2 piezas al azar. Calcule la probabilidad de que: a) ambas sean perfectas R. 3/8 b) por lo menos una sea perfecta R. 7/8 c) ninguna tenga defecto grave R. 91/120 c) ninguna sea perfecta R. 1/8 26) Una bolsa contiene 5 veces más monedas de $10 que de $1. Se extrae una moneda al azar. Cuál es la probabilidad de que sea moneda de $1. 27) Supongamos que el 50% de los estudiantes graduados en cierta Universidad son propietarios de automóviles, mientras que sólo lo son el 30% de alumnos de cursos superiores y el 15% de alumnos de cursos inferiores. Si la universidad tiene 30 graduados, 210 alumnos de cursos superiores y 260 de cursos inferiores, cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar sea propietario de un automóvil? R. 0,234 28) En una clase hay 5 alumnos del 4to año, 4 del 2do año y 3 del 3er año, cuál es la probabilidad de que sean sorteados 2 alumnos del 2do año, 3 del 4to año y 2 del 3er año?. R. 5/22 29) Sean A, B y C tres sucesos disjuntos 2 a 2 y 3 a 3, tal que: P A  0,5; PB  0,25; PC   0,166 Calcular las siguientes probabilidades:









a) P Ac  B c  C c ; b) P Ac  B c  C ; c) PB  A

R. a) 0,084 b) 0,166 c) 0,25 30) Sea un dado, tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellos. Hallar la probabilidad de obtener, con este dado, un número par. R. 4/7 31) Considere 2 sucesos A y B tal que: P A  1 / 3; PB  1/ 2 .





Determine el valor de P B  A c para cada una de las siguientes condiciones: a) A y B son disjuntos b) A c B c) P A  B  1 / 8 R. a) 1/2 b) 1/6 c) 3/8 32) Considere dos sucesos A y B tal que P A  0,4; PB  0,7 . Determine los posibles valores de

máximo y mínimo de P A  B y las condiciones bajo las cuales cada uno de estos valores es

alcanzado. R. 0,4 si A c B y 0,1 si P A  B  1 33) Supongamos que un comité de 12 personas es seleccionado al azar de un grupo de 100 personas. Determine la probabilidad de que 2 personas A y B en particular sean seleccionadas. 98 C 10 / 100 C 12 34) Una caja contiene 24 focos de luz de los cuales 4 son defectuosos. Si una persona extrae 10 focos de la caja al azar, y una segunda persona toma el resto de los 14 focos, cuál es la probabilidad de que los 4 focos defectuosos sean obtenidos por la misma persona? 35) Supongamos que una caja de 25 tarjetas contiene 12 tarjetas rojas. Supongamos también que las 25 tarjetas son distribuidas al azar a 3 jugadores A, B y C de tal manera que el jugador A reciba 10 tarjetas, el jugador B 8 tarjetas, y el jugador C 7 tarjetas. Determine la probabilidad de que el jugador A reciba 6 tarjetas rojas, el jugador B reciba 2 tarjetas rojas y el jugador C reciba 4 tarjetas rojas.

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36) En una cierta ciudad se publican 3 diarios A, B y C. Supongamos que 60% de las familias de la ciudad lee A, el 40% lee B, y el 30% lee C. Supongamos también que 20% de las familias de la ciudad lee A y B, el 10% lee A y C, el 20% lee B y C, y el 5% lee A, B y C. a) Qué porcentaje de familias leen por lo menos uno de los 3 diarios? b) Qué porcentaje de familias leen exactamente uno de los 3 diarios? 37) Tres mujeres compiten por un puesto de secretaria ejecutiva. Las candidatas A y B tienen la misma oportunidad de ganar, pero la candidata C tiene doble oportunidad que las candidatas A y B. a) Cuál es la probabilidad de que gane C. b) Cuál es la probabilidad de que A no gane? R. P(C) = ½ ; P(A’)=3/4 38) Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 negras. Dos jugadores A y B retiran las bolas de la urna en forma consecutiva hasta extraer una bola roja. Encontrar la probabilidad de que A seleccione primero la bola roja. 39) Una urna A contiene 3 bolas rojas y 3 negras, mientras que la urna B contiene 4 bolas rojas y 6 negras. Si una bola es extraída aleatoriamente de cada urna, cuál es la probabilidad de que las bolas sean del mismo color?. R. ½ 40) Dado 20 personas, cuál es la probabilidad de que entre los 12 meses del año hay 4 meses que contienen cada uno 2 cumpleaños y 4 meses que contienen cada uno 3 cumpleaños? 41) Un grupo de 6 hombres y 6 mujeres es dividido aleatoriamente en dos grupos de tamaño 6 cada uno. Cuál es la probabilidad de que ambos grupos tengan el mismo número de hombres? R. 0,4329 42) Un closet contiene 10 pares de zapatos. Si 8 zapatos son seleccionados aleatoriamente. a) Cuál es la probabilidad de que no hay ningún par completo en este grupo? b) Cuál es la probabilidad de que hay exactamente un par completo? 43) En una bolsa hay 3 tarros de peras en conserva, 6 de duraznos, 4 de damascos y 2 de ciruelas. Cuál es la probabilidad de que al elegir 3 tarros al azar, resulten de la misma fruta? R. 0,0549

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