• Author / Uploaded
• cynthia

Citation preview

NIVELACION DE MATEMATICA –PAU TALLER N°1

El El uso uso de de las las letras letras en en lugar lugar de de números números es es necesario necesario para para generalizar generalizar expresiones expresiones oo propiedades. propiedades.

MONOMIOS MONOMIOSYYPOLINOMIOS POLINOMIOS MONOMIO Término algebraico cuyas variables tienen exponentes naturales e incluidos el cero. 5 4

-3

-51xy z

2x y

POLINOMIOS Suma limitada de monomios no semejantes. 3x 4 y  7 x3 y 4  2xz  z 5            

Normalmente Normalmente aa los los polinomios polinomios se se les les representa representa de de la la forma: forma: PP ;; Q R ;… (x) Q(x); R(x) ; … (x)

(x);

(x)

CARACTERÍSTICAS DE LAS MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. VALOR NUMÉRICO (VN) Al cambiar las variables por números en un monomio o polinomio éstos se convertirán en VN. 2 3

Ejm.: Valor numérico de M = 4x y Para x = 2; y = 3 2

3

VN(M) = 4( ) ( ) = Hallar el VN de las siguientes expresiones para x = 1; y = 2; z = 3 3

=

___________

2 2

=

___________

P = 3x + 2y =

___________

M = 2x y N = 5x y z 3

2. NOTACIÓN El El valor valor numérico numérico de de un un polinomio P para x = polinomio P(x) para x = aa (x)

se se representa representa por por PP(a)

(a)

Las variables en un monomio o polinomio pueden ser expresadas en forma explícita mediante una cierta notación. M(x, y)



Monomio de variables “x” e “y”

P(x, y, z)



Polinomio de variables “x, y, z”

P(x - 4)



Polinomio de variable (x – 4)

P(5)



Valor numérico



Ejm 1: Calcular el VN de: 2

P(x) = x + 10x – 1 Se está pidiendo: P(-2) P(-2) = P(-2) = 2

2

2

2

2

2

2 2 2 (a (a ++ b) b) == aa ++ 2ab 2ab ++ bb



2

Ejm. 2: Si: P(x-4) = x – x + 10 Hallar: P(3)

2 2 2 (a (a -- b) b) == aa -- 2ab 2ab ++ bb

P(3) = P(3) = 

Ejm. 3: Si: P(x) = 3x + 1

NIVELACION DE MATEMATICA –PAU TALLER N°1

Hallar: P(x+7) Colocamos (x + 7) en vez de “x” P(x+7) = P(x+7) = 

Ejm. 4: Si: P(x) = 4x + 10 Hallar: P[ P( x) ] P[P

 4P( x)  10

P[P

 4(4 x  10)  10

P[P

 16x  50

( x) ] ( x) ]

( x) ]

Ahora Tú: 

2

Si: P(x) = 5x – 2x + 3 Hallar: P(-3)



2

Si: P(x+5) = 2x + 7 Hallar: P(2)



Si: P(x) = 2x – 3 Hallar: P(5x + 4)



Si: P(x) = 2x + 3 Hallar: P[ P( x) ]

3. GRADO

NIVELACION DE MATEMATICA –PAU TALLER N°1

El grado es una característica exclusiva de los monomios y polinomios referida a los exponentes de sus variables. El grado puede ser: Absoluto: Cuando se refiere a todas sus variables. Relativo: Cuando se refiere a una variable en particular. El El grado grado de de toda toda constante constante es es siempre siempre cero. cero.

PARA EL MONOMIO: 

El GA estará definido por la suma de los exponentes de las variables.



El GR de un monomio se refiere al exponente de una variable en particular. Ejm.:

GA  2  5  7

 M( x, y)  43 x2 y 5 GRx  2 GR  5  y

GA 

 M( x, y)  25 x3 y 7 GRx  GR   y

GA  3  7  10 GR  3  x 3 7 5 M( x, y)  9x y z  GRy  7 GRz  0

GA  GR   x M( x, y)  7 x8 y 4z10  GRy  GRz 

PARA EL POLINOMIO: 

El GA está definido por el monomio de mayor grado.



El GR de un polinomio está definido por el mayor exponente que afecta a dicha variable.

Para el Polinomio: P( x, y )  10x3 y 9  7 x 4 y 6  4 x 5 y 8  y 7 







12º

10º

13º

7º

GA  13  GRx  5 GR  9  y

NIVELACION DE MATEMATICA –PAU TALLER N°1

GA   GRx  GR   y

P( x, y)  2x 5 y 8  12x10 y 4  x 9 y 7  y 4 







Si el polinomio fuese de una sola variable su grado estará determinado por el máximo exponente de dicha variable. Así:

2

5

6

P(x) = 4x – x + 7x + 2x – x 7

3

P(x) = 5x + 2x – 4x

10

4

G=6



2

+ x – 9x



OPERACIONES CON GRADOS: 1. En la suma o resta colocamos el grado del mayor. ( x 7  x  1)  (x 5  x  1)  (x2  1)              Grado = 7 7º

5º

2º

2. En la multiplicación los grados se suman.

(7 x2  1) ( x2  x  3) (x10  x  1)                 Grado = 2 + 2 + 10 = 14 2º

2º

10º

3. En la división los grados se restas.

x15  7 x 4  x2  1 x 9  x2  x  9

 

15º 9º

Grado = 15 – 9 = 6

4. En la potencia los grados se multiplican.

(x 5  10 x  7) 4       

Grado = 5 x 4 = 20

5º

5. En la radicación los grados se dividen. 12

Grado =

x36  x2  x  7

36º

36 3 12

Ejm.: Calcular el valor de “n” si la expresión se reduce a una de primer grado. 7

xn 2 x3n M( x, y)  3 7 n 1 y

Por teoría: Grado =

n  2 3n n  1   1 3 21 21 7n  14  3n  n  1 1 21 9n – 15 = 21 9n = 36 n=4

NIVELACION DE MATEMATICA –PAU TALLER N°1

¡Ahora tú! Hallar el valor de k en cada caso: 3

k

5

k



(x + x - 3)



(x + x)(2x - 1)(x + 3)

 

4

(x 4  3)(x 6  1) (xk  2)(x3  4) 4

xk  x2  3



Grado = 21



Grado = 20



Grado = 5



Grado = 6

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

1.

2a+1 7

9x

9 5b-3

y ; -2x y

; son semejantes.

a) 3 d) 9

2.

b) 6 e) 14

c) 7

Hallar: M = P(3) + P(1) – P(-1)

b) 151 e) 154

c) 152

c) 0

Dado el monomio: M(x, y) = (a + b)x

y

b) 7 e) 42

a) 5 d) 11

c) 12

b) -1 e) 10

e) 10

c) 15

y

+x

b) 12 e) 15

b) 23

d) 32

e) 34

a) 2x + 1

c) 8

2k-3 2k

a) 20

c) 28

b) 3x + 5

c) 2x +

10 d) 6x + 5

e) 9x + 5

15. En el polinomio: P(2x + 1) = P(2x - 1) + x + 1 Además: P(3) = 1

k-3 3k

Calcular: P(7)

y

c) 13

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

3

c) 3

SIGAMOS

Si: P(x) = 2x + 5 Determinar: A  P[ P(m) ]  P[P( 0) ]  P(2m) a) 5 d) 20

9.

b) -27

d) -15

P(0) = 5; P(13) = 4P(2)?

Determinar el mayor grado relativo de una de sus variables.

a) 11 d) 14

a) 27

14. ¿Cuál es el polinomio de 1er grado “P” tal que:

c) 7

Si: P(3x-2) = 12x – 5. Hallar: M = P(x+1) – P(x-1)

3k-1 k

e) 8x

Calcular: P(2)

a+2 b-3 a+b

P(x, y) = x y – 2x Donde: GA(P) = 15

d) 3x

c) x

13. Si: P(3x + 4) = 2(3x + 4)4 – 9x2 – 24x – 16

b) 6 e) 12

a) 7 d) 1

b) 2x

Hallar: A = P(a+2) – P(a+5) + 6a

En el siguiente polinomio: a+3 b-2 6-a

a) 1

12. Si: P(x) = x2 + 2x – 3

2a-2 3b

P(x, y) = 7x y z +5x y z Donde: GR(x) – GR(y) = 3; GA(P) = 13 Calcular: “a + b”

8.

e) 32

Hallar: P[ P( x) ]

b) -1 e) 2

a) 5 d) 35

7.

d) 30

c) 28

x3

Donde: Coef (M) = GR(x); GA(M) = 27 Determinar: “ab”

6.

b) 20

11. Si: P( x)  2x  1

Si: P(x) = 2x + m, P(4) = 11. Hallar: P(-2) a) -2 d) 1

5.

a) 5

(5)

a) 150 d) 153

4.

e) 8

10. Si: P(x) = 3x47 – 81x44 + 5x – 3

Si: P(x) = 5x + 3 y Q(x) = 2x + 2 Hallar: P[ P  Q ] (3)

3.

d) 5

Hallar “a + b” si los términos:

b) 10 e) 25

1.

7x

Dado el polinomio: m n-1

P(x, y) = 2x y

m+1 n

+ 3x

m-2 n+2

y + 7x

y

Si: GRx = 12; GA = 18

a) 7

y

2.

¿Cuál es el GRy?

y

5 x2 y

;

a) 3 d) 0

m+3 n+1

+ 6x

Hallar “m + n” si los términos: m+3 n-5

c) 15

b) 7 e) 2

Si: f(x) = 21x – 7 2

g(x) = 3x - 2 b) 9

c) 12

; son semejantes.

Hallar: f(-2) + g(4)

c) 5

a) -3 d) -9

3.

b) 3 e) 49

c) 9

b) -15 e) N.A.

c) -20

b 2a+3b 5b-a

y

Donde: GA(M) = 10; GR(x) = 7 Señale su coeficiente:

5.

6.

c) 8

a+2 b-1

y

+x

a+6 b

y +x

y

b) 6 e) 1

c) 4

c) 5

b) -143 e) -66

c) -72

b)

x x 1

e) x

Hallar: M = P(m+1) – P(m-2) – 6m a) 0 d) 3

b) 15 e) 18

c) 16

Determinar el menor grado relativo de una de sus variables: 5a+4 2a

P(x, y) = x y – 2x Donde el GA(P) = 18 a) 11 d) 19

4a-2 3a+5

y

–x

b) 12 e) 20

2

+

6a+1 a-1

y

c) 17

2x

–

5.

Calcular:

E  P(2)  P[ P

(1) ]

a) 6 d) 16

y

12. Si: P(x) = x2 + x + 1

Si: P(x) = 4x – 3

3x

a+3 b+1

b) 4 e) 7

c x 1

c) c d) 1

=

+x

xc

Calcular: GR(y)

P(x)

y

; x  1; c  1 11. Si: F( x)  x 1

a)

Si:

a-2 b+2

Calcular: E = P(2) + P(-1) + P(1)

Donde: GA(P) = 16; GR(x) = 10

a) 14 d) 17

8.

a) 3 d) 6

a+4 b+4

Hallar: M = P(x+2) – P(x-2)

7.

y –x

El valor de F[F( x) ] será:

Dado el polinomio:

a) 8 d) 2

a+1 b

a) -141 d) -75

b) 4 e) 64

P(x, y) = x

+x

10. Si: P(x) = 2x99 – 64x94 + x – 5

Dado el monomio: M(x, y) = 4a x

a) 2 d) 16

a b-1

P(x, y) = x y

Calcular: GR(y)

Hallar: P(-4)

4.

En el siguiente polinomio: Donde: GR(x) = 10; GA(P) = 13

Si: P(x) = 5x – a; P(6) = 26

a) -10 d) -24

9.

b) 11 e) 21

b) 1 e) 4

c) 2

13. Si: P(x+2) = 2(x+2)3 + x2 + 4x + 4 Calcular: P(3) a) 54 d) 63

b) 58 e) 64

c) 62

14. ¿Cuál es el polinomio de primer grado “P” tal que: P(2) = 3; P(3) = 2P(4)? a) P(x) = -2x+1 5

b) P(x) = -x + 4

d) P(x) = -x + 5

e) P(x) = x + 4

c) P(x) = x +

15. Dado el polinomio: P(x) = P(x - 1) + P(x - 2) c) 15

Además: P(1) = 3; P(2) = 4 P Calcular: (P(P( 0) ) )

a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

16. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 2 a+7 a b b+4 P(x, y) = a x – bx y + aby Sabiendo que es homogéneo: a) 35 d) 38

b) 36 e) 39

siguiente polinomio homogéneo: a b c b a 8 4 6 3 P(x,y,z) = 2ax y z + 2bx y z + 7cx y z

polinomio: m+2 n n+1 2 2p q q-1 5 P(x, y) = 15x y – 6x y – 3x y + x y

c) 8

polinomio: m-10 m-n+15 p-n+6 P(x) = x + 3x + 2x Es completo y ordenado descendentemente. b) 30 e) 12

20. Si: P(x) = x

+ 2x

Es completo ascendentemente. Calcular: abcd a) -12 d) 6

c+d

y

+ (n-2)x

n-2

+ (2p+1)x

23. Si el polinomio: P(x) = 18x

a-8

a) 18 d) 68

+ 32x

a-b+15

+ 18x

b) 32 e) N.A

c-b+16

c) 36

4

a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

c) 3

25. En

cuanto excede la suma de coeficientes al grado del siguiente polinomio homogéneo: b

 by12x

a) 2 d) -10

d+4

b

aa b

a

 x3 y13  y b

b) -4 e) -12

c) -8

AHORA TÚ

ordenado

a-2b a+b

q-3

+ (q+1)x

p+1

b) 10 e) 8

c) 9

b 2b-a

P(x,y) = x y – 15x y + 2x Es un polinomio homogéneo.

c) -6

–1

Es completo y ordenado, la suma de sus coeficientes es: a) 13 d) 12

a-3

c) 10

16. Hallar “a2 + b” sabiendo que:

21. Dado el polinomio: P(x) = (n-1)x

+ 4x

b) 12 e) -3 n-1

b) 11 e) 8

P( x, y)  ax a

c) 39

+ 3x

a) 12 d) 9

8

19. Hallar (m + n + p) si se sabe que el

b+c

2

(m – n – 2)x + (m + n – 5)x + (p - 1)  0

b) 15 e) 7

a+b

y

24. Hallar: (m + n – 2p) en:

Es homogéneo de grado 7.

a) 10 d) 58

completo

Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular: “a + b + c”

c) 16

18. Determinar (m + n + p), sabiendo que el

a) 23 d) 18

polinomio

a

c) 37

b) 56 e) N.A.

siguiente ordenado:

P(x) = ax + (a + 2)x – (a – 1)x + (a + 3)x

17. Hallar la suma de coeficientes del

a) 66 d) 46

22. Calcular la suma de coeficientes del

a) 70 d) 200

b) 100 e) 240

a-b 8

y

c) 160

17. Calcular “a + b + c” si el polinomio: a+3 2

P(x, y) = x y + 5x Es homogéneo: a) 44 d) 41

b-5

b) 43 e) 40

8 c+4

y + 6x y

10 9

+x y

c) 42

18. Hallar el valor de “m” si el polinomio: 2m-5 4n

P(x,y) = 2x y Es homogéneo: a) 2 d) 7

+ 3x

2m-4n 3

b) 3 e) 12

19. Si el polinomio:

a+7

4 9

y +x y

2

c+b-4

P(x) = 2x – 5x + 3x Es completo y ordenado descendentemente, hallar: (a + b + c) a) 0 d) 2

b) 1 e) 7

c) -1

c) 18

2

3x – 2x – 4x + 8x – x Es completo y ordenado. Hallar el valor de “m - n” a) 3 d) 5

b) 2 e) N.A.

m-2n

c) 1

22. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: n+4

P(x) = x + ………….. + x Calcular: “a + n” a) 3 d) 16

a-1

+x

a-2

b) 9 e) 12

23. Si el polinomio:

3a-9

+x

a-3

c) -4

a+b-3

2 4b+a-c

P(x) = 3x +x + 6(x ) Es completo y ordenado crecientemente. Calcular: “a + b + c” a) 1 d) 10

b) 3 e) 15

c) 6

24. Hallar el valor de (I + V + A + N) Si los polinomios son idénticos: 2

a) 15 d) 4

b) 3 e) N.A.

c) 2

26. Hallar la suma de coeficientes de:  b2 y b

a

 abz a

a b

a-5

b) 8 e) N.A.

m+n

2

Si el polinomio es homogéneo. a+c

a + 2b – c + x + ax – x Esta ordenado. Entonces la suma de sus coeficientes será:

4

2

b

a+b

21. Si el polinomio:

c) 14

P(x, y) = mx y + nx y – 4x y + mxy – xy nxy Es idénticamente nulo. Hallar: 4mn

P( x, y, z)  a3x a

20. Si el polinomio completo:

a) 4 d) 19

b) 13 e) 18

25. El polinomio:

c) 5

2a-b+10

a) 12 d) 17

2

6x + 15x + 24  I(x + A) + 3(x + V + N)

a) 70 d) 73

b) 68 e) 74

c) 10