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• Javier A Gonzalez

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Teoría y ejercicios de Algebra y operaciones básicas: CONCEPTOS BÁSICOS: 1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal. 2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal. Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado: Ejercicio – 5,9a2b3c

Signo menos

C. numérico 5,9

F. literal a2b3c

Grado 2+3+1=6

3 − √ h4 k 5 3 abc

xy 2 4 – 8a4c2d3 3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos. Ejemplo:

2 ab 2 −5 ab+6 c 3

4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina: Monomio : Un término algebraico : a 2bc4 ; –35z Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x 2 5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

mayor grado de alguno de

Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas: Expresión algebraica 2x – 5y3

Grado de la expresión 1; 3 = 3

Número de términos 2: binomio

x2 y3 4 a – b + c – 2d m2 + mn + n2 x + y2 + z3 – xy2z3

Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Ejemplos:  En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

2 5

2 5

 En la expresión x2y3 – 8xy2 + x2y3 , x2y3 es semejante con x2y3 Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común.

Ejemplos: –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

1)

3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2 x y− x y + x y + x y= 4 2 3 3

2)

3 1 9+4 13 + = = 4 3 12 12

13 3 2 1 2 3 x y+ x y 12 6

1 2 −3+4 1 − + = = 2 3 6 6

Ejercicios: 1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

4,5 a−7 b−1,4 b+0,6 a+5,3 b+b = 3 2 1 1 m −2mn+ m2 − mn+2 mn−2 m 2 = 5 10 3 2 2 3 3 2 1 1 x y+31+ xy 2 − y 3 − x 2 y− xy 2 + y 3 −6= 5 8 5 5 5 4

2)

3)

4)

Multiplicación en álgebra Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos: 1.º 2.º 3.º

Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación, signos iguales +, signos diferentes - ) Multiplicar los coeficientes numéricos. Multiplicar las letras (letras diferentes solo se copian, letras iguales se copia la letra y se suman exponentes). Ejemplos:

monomios por monomios 5 4

2

6 6

( -4a b )•( 12ab )= –48 a b

monomios por polinomios

polinomios por polinomios

7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=

( 2 a−3 b )( 3 a−7 b ) =

14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

6a2–14ab –9ab +21b2 = 6a2 –23ab +21b2

( a x + b y – c z ) • (- x y )= 5 -3 -4

-1 2

( 6 m n p ) • ( 5 mn p )=

(

30 m6n–4p–2 3 4 2 1 a b ⋅ ab 3 = a5 b 4 4 3 2

)( )

( x−2 ) ( x 2 +2 x + 4 ) =

– ax2y – bxy2 + cxyz

(− 25 m )⋅(− 54 m 2 a−3

1 3 a−4 7 a−3 m −m 2

a−1

5 + m 5a 2

)

x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8 = 2 ( m −2mn−8 n2 ) ( m3 −3 m2 +2 ) =

¡ hazlo tú !

Ejercicios: Multiplicar los siguientes monomios por monomios

1) 2) 3)

( 4 x ) (6 x2) =

( 5 ab 2 ) ( 6a3 b )= (−xy 2) (−3 x 2 y ) =

4 (−3 x 3 y 4 ) xy z =

7) 8)

( a m) ( am+1 )=

9)

( 4 x a+2 ) (−5 x a+5 ba+1 )=

2 ( b3 ) −b c =

4)

(5)

5)

(−4 a2 b ) ( ab 2 )=

6)

( 37 m n)(− 147 a m)= 2

2

(6)

5 x2 y3 3 x m y n+1 − = 6 10

10)

(

11)

(−2 xyz ) ( 3 x 2 yz 3 ) ( 5 x 2 yz 4 )=

12)

( a 2 c3 ) (−3 b 2 c ) (−5 a2 b )=

−

)(

13)

)

(−0 . 2abc ) (−0 .3 a2 b 2 c 2 ) (−0. 4 c ) ( 0 . 1b 2 c )= m 2 x 14) (−a ) (−2 ab ) (−3 a b )= 15)

( 23 a )( 34 a b ) (−3 a b m

2 4

4 x +1

)=

Multiplicar Monomio por polinomio

1) 2) 3) 4)

7 ( 2 x+5 ) = ( 3 x−7 ) 4 x= 2

2 ab (−9 a +5 ab−4 b ) = 5 ( x−2 y ) =

6)

−2 x ( 3 x 3−x 2 )= (−3 m−5 ) ( 5 m )=

7)

3 rs 2 ( r−2 s+5 r 2 s 3 ) =

5)

8)

2 2 1 2 a a− b = 5 2 3

9)

−2 a ( am−am−1 +a m−2 )=

2

Multiplicar Polinomio por polinomio

(

)

3 5 −2 x 2 x a+5− x a+4 + x a+3 − x a+1 = 4 8 10)

(

)

Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes. 1)

( a+3 ) ( a−1 )=

2)

( x+5 ) ( x−4 )=

3)

( x+ 3 ) ( x +2 ) =

4)

( 2 x +3 ) ( 3 x+5 )=

5)

( 2 x+1 ) ( 5 x−3 )=

6)

( x+7 ) ( x−4 )=

7)

( x+3 ) (2 x +5 )=

8)

( x−5 ) ( x+5 )=

9)

( 5 x 2 y+6 ) ( 5 x 2 y−6 )=

10)

( x−2 ) ( x 2 +2 x+4 ) =

11)

( a−b ) ( a 2−2 ab+ b2 ) =

12)

( x+3 ) ( x3 −3 x 2 +1 ) =

13)

( 2 x +3 ) ( x 3 −2 x 2 +3 x −1 )=

14)

( 4 a−5 b ) ( 3 a2 −5 ab+2 b2 )=