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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

CEPRU – UNSAAC

CICLO ORDINARIO 2020 – I

COMPETENCIA COMUNICATIVA TEMA 1. LA COMUNICACIÓN HUMANA 1. CONCEPTO. La comunicación es un acto, hecho, fenómeno o proceso a través del cual dos o más personas interactúan para intercambiar información, ideas, necesidades, etc. 2. ELEMENTOS 2.1. Emisor. Es la persona que siente la necesidad de comunicar algo a otra, para lo cual codifica el mensaje mentalmente y lo transmite a su interlocutor, fundamentalmente en forma oral o escrita. 2.2. Receptor. Es la persona que percibe el mensaje, básicamente por medio de la audición o la lectura, para luego decodificarlo y comprender plenamente lo que el emisor quiso comunicar. 2.3. Canal. Es el medio físico a través del cual se transporta y difunde el mensaje. Este puede ser el aire, papel impreso, línea telefónica, Internet, etc. 2.4. Mensaje. Es la información o contenido que el emisor quiere dar a conocer al receptor o viceversa. 2.5. Referente. Es el conjunto de objetos, seres o fenómenos de la realidad o la imaginación a los cuales se hace referencia o mención en el acto comunicativo. Por ejemplo: gato, lluvia, trabajo, amor, amigo, fútbol, sirena, paz, unicornio, Zeus, etc. 2.6. Código. Es el sistema de signos convencionales, básicamente de una lengua, que conocen y utilizan el emisor y el receptor para construir o codificar el mensaje y luego decodificar y comprender el mismo. 2.7. Situación. Está constituida por el lugar y momento en los cuales se desarrolla el acto comunicativo, por los acontecimientos o hechos que motivan la comunicación, y finalmente por la identidad o concepción filosófica, ideológica, política, social y económica de los interlocutores. También se la conoce con las denominaciones de circunstancia o contexto.

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3. FASES 3.1. Fase psíquica. Constituida por la codificación que elabora el emisor y la decodificación propia del receptor. Estos dos momentos son eminentemente mentales, donde ambos interlocutores utilizan la lengua u otro código para codificar y decodificar el discurso o mensaje. 3.2. Fase fisiológica. Es aquella que se refiere al funcionamiento adecuado de los órganos de producción (aparato fonador) y percepción (audición o escucha) del sonido articulado por parte del emisor y del receptor respectivamente, en el caso de que la comunicación sea oral. 3.3. Fase física. Abarca el desplazamiento de la información o mensaje a través de diversos canales, tanto naturales como artificiales. Aquí, el mensaje puede ser expresado en forma oral y transportarse a través de las ondas sonoras, o en forma escrita, a través de un texto impreso, etc. 4. CLASES DE COMUNICACIÓN 4.1. Por el código: a) Comunicación lingüística. Es aquella que utiliza la lengua para codificar el mensaje, esta puede ser oral o escrita. b) Comunicación no lingüística. Es la que utiliza íconos, símbolos, representaciones, colores, señales de tránsito y signos donde no aparece la palabra. 4.2. Por el espacio: a) Comunicación directa (próxima). Es cuando el emisor y el receptor están presentes en un mismo espacio o lugar. Por ejemplo, la conversación de dos compañeros en el aula. b) Comunicación indirecta (a distancia). Es cuando el emisor y receptor se hallan en distintos lugares o épocas. Por ejemplo, la comunicación telefónica o la lectura de Cien años de soledad. 4.3. Por la relación entre emisor y receptor: CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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a) Comunicación intrapersonal. Es una comunicación especial que se produce en una misma persona, Ejemplos de esta clase de comunicación se aprecian en el monólogo interior, el soliloquio y en las reflexiones personales. b) Comunicación interpersonal. Es aquella que se produce entre dos o más personas. Puede ser grupal o social (de masas). 4.4. Por la dirección del mensaje: a) Comunicación unidireccional. Se da en un solo sentido, es decir va de emisor a receptor y no a la inversa, no hay respuesta. Por ejemplo, la audición y visionado de las noticias en la televisión, la lectura de un libro, etc. b) Comunicación bidireccional. Es cuando el emisor y el receptor pueden intercambiar funciones, o sea es una comunicación interactiva. Por ejemplos, el diálogo entre padre e hijo, el debate académico entre profesores y alumnos, etc. 4.5. Por el tipo de emisor: a) Comunicación de difusión. Cuando el emisor es una persona natural y tiene nombre y apellido propios. Por ejemplo, cuando el Presidente de la República da un mensaje a la nación. b) Comunicación de medios o de masas. Cuando el emisor es una institución, una empresa, un ministerio, una ONG, una organización, etc., por ejemplo, la UNSAAC convoca a examen de admisión. 5. RUIDO. Es todo fenómeno que se interpone entre los interlocutores del acto comunicativo y dificultan, obstaculizan o a veces impiden la adecuada comunicación. 5.1. Ruido físico. Presente en el canal; es cuando el mensaje no puede ser comprendido debido, por ejemplo, a la bulla cuando la comunicación es oral o a que el texto escrito presenta borrones o manchas que dificultan su adecuada lectura. 5.2. Ruido fisiológico. Presente en el emisor o el receptor; aparece cuando alguno de los interlocutores presenta limitaciones o problemas en la fonación, pronunciación, audición o lectura de los mensajes. Por ejemplo, la tartamudez, afonía, sordera, miopía, etc. 5.3. Ruido psicológico. Presente en el emisor o en el receptor; se manifiesta, por ejemplo, cuando hay distracción, preocupación, problemas de distinto tipo, que impiden la adecuada concentración y existe, por ende, dificultad en la expresión o comprensión de los mensajes. 5.4. Ruido semántico. Presente en el receptor; se da cuando el lector u oyente desconoce el significado de algunas palabras o expresiones y no puede deducir a partir del contexto lingüístico. 5.5. Ruido técnico. Llamado también ruido blanco. Se presenta en el canal; es cuando intencionalmente se omite una parte o todo el mensaje, por razones de diverso tipo. Este ruido es intencional o deliberado. Ejemplo de este tipo de ruido es cuando en la televisión se utiliza una especie se pitillo o sonido que impide la audición de ciertas palabras o expresiones groseras o malsonantes. … PRÁCTICA 1 CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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1. La comunicación entendida como sistema, utiliza generalmente la palabra: a) Acto b) Fenómeno c) Proceso d) Hecho e) Acontecimiento 2. El elemento de la comunicación donde se codifica el mensaje, se denomina: a) Emisor b) Receptor c) Canal d) Código e) Referente

3.

El factor que obstaculiza la adecuada comunicación, se llama: a) Retroalimentación b) Ruido c) Molestia d) Contexto e) Cansancio

4.

La comunicación que se da a través de gestos, movimientos corporales, se denomina: a) Lingüística b) Interpersonal c) Directa d) No lingüística e) De difusión

5.

La comunicación cuyo emisor es una persona con nombre propio, se llama: a) Interpersonal b) De medios c) Intrapersonal d) De difusión e) Indirecta

6. Cuando no entendemos el significado de una palabra o expresión, se presenta el ruido: a) Lingüístico b) Gramatical c) Morfológico d) Semántico e) Fonético 7.

El código es: a) El medio por donde se difunde el mensaje b) El conjunto de seres que se menciona en el acto comunicativo c) El sistema de signos convencionales que los interlocutores utilizan

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d) El lugar en el que se desarrolla el acto comunicativo e) La información que percibe el receptor 8.

Es un ejemplo de ruido fisiológico: a) El sonido del timbre b) Dolor de cabeza c) Preocupación d) Música en alto volumen e) Desconocimiento de las palabras

9. La Alcaldesa del Cusco expone sobre los planes de lucha contra la COVID-19, por el tipo de emisor, la comunicación es: a) Directa b) Lingüística c) De medios d) De difusión e) Interpersonal 10. La codificación y la decodificación se producen en la fase de la comunicación denominada: a) Lingüística b) Fisiológica c) Psíquica d) Física e) No lingüística 11. El medio físico por donde se difunde el mensaje es: a) Código b) Referente c) Información d) Canal e) Circunstancia 12. Rosita reflexiona todas las noches, antes de acostarse, sobre las actividades que ha realizado durante el día; por la relación entre emisor y receptor, esta es una comunicación: a) Lingüística b) Interpersonal c) Indirecta d) Intrapersonal e) Directa 13. Cuando se realiza la lectura de un periódico nacional se aprecia el tipo de comunicación: a) Directa b) No lingüística c) Intrapersonal d) Auditiva e) Interpersonal

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14. Es un ejemplo de comunicación indirecta: a) Una conversación entre dos amigas en el salón b) Los colores del semáforo c) Un diálogo entre la madre y su hija mientras cocinan d) El sonido del celular al recibir un mensaje e) Una conversación a través del WhatsApp 15. Cuando un estudiante escucha atentamente una noticia mediante la radio, por la dirección del mensaje, la comunicación se denomina: a) Lingüística b) Bidireccional c) Interpersonal d) Unidireccional e) Indirecta 16. Juan percibe la siguiente información, La ONG Tupanchikkama se sumará a la campaña de prevención de la diabetes, por el emisor, es una comunicación: a) No lingüística b) Lingüística c) Indirecta d) De difusión e) De medios 17. Jaimito presenta su exposición en el salón, y al cabo de un par de minutos dice: …el peyo me modrió…, se aprecia una interferencia de tipo: a) Físico b) Semántico c) Fisiológico d) Psíquico e) Auditivo 18. La expresión que presenta el elemento canal natural es: a) María escucha atentamente una notica por televisión b) Los jóvenes se comunican por WhatsApp todos los días c) Dos enfermeras conversan en la sala de recepción del hospital d) Los estudiantes del CEPRU participan activamente en sus clases virtuales e) Ella lee la obra Los cachorros de Mario Vagas Llosa 19. Mariano es referente en la oración: a) El amigo de Mariano juega fútbol b) Este libro es para Mariano c) Mariana viajará pronto con Mariano d) Aquel abuelo le dará un premio a su nieto Mariano e) Mariano abrazó fuertemente a su abuelo 20. Cuando un padre le muestra un croquis a su hijo, y este observa minuciosamente; la acción realizada por el hijo corresponde a la fase de la comunicación: CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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a) b) c) d) e)

Psicológica Auditiva Física Fisiológica visual

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TEMA 2. LA SÍLABA 2. Concepto. Es la primera unidad segmental superior al fonema que se produce en una sola emisión de voz. La sílaba es cada fonema o aquel conjunto de fonemas que pronunciamos en una sola emisión o golpe de voz cuando decimos una palabra. Puede estar conformada por uno o por varios fonemas, que representamos con las vocales y las consonantes. Las vocales solas pueden constituir sílabas. Ejemplos: ✓ Amor (a – mor) ✓ Idea (i – de – a) ✓ Oro (o – ro) ✓ Único (ú – ni – co) ✓ Pánico (pá – ni – co) 3.

CLASES 3.1. POR EL ACENTO: a) Sílabas tónicas. Es la que lleva mayor fuerza de voz. Aquí se encuentra el acento prosódico u ortográfico). Ejemplo: ✓ LÁ - piz ✓ Es – pon – TÁ – ne – o ✓ De – bi – li – DAD ✓ Can – SA – do ✓ Com – pe – TEN – cia (*) ojo: Las sílabas subrayadas y en negrita son tónicas. b) Sílabas átonas. Presenta el sonido de menor intensidad (no tiene acento). Ejemplo: ✓ RE – loj ✓ VEN – ta – NA ✓ A – ni – LLO ✓ Plá – TA – NO ✓ Mó – VIL (*) ojo: Las sílabas subrayadas y en negrita son átonas. 3.2. POR LA GRAFÍA O LETRA FINAL (por la terminación o coda) a) SÍLABAS ABIERTAS. También llamada sílaba libre, se trata de aquella que finaliza en una vocal, es decir, que carece de coda. (CCV, CV, V). Ejemplo: ✓ Pri – ma – ve – ra ✓ Ca – mi – sa ✓ Pi – za – rra ✓ Cáus – ti – co ✓ Sai – ne – te b) SÍLABAS CERRADAS. También llamada sílaba trabada, es aquella que termina en consonante o que tiene coda. (VCC, VC, CVC, CCVC, CCVCC, CVVC, CVCC, VVC) Ejemplo: ✓ Cris – tal ✓ Pas – tel

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✓ Pin – tar ✓ Cons – tar ✓ Trans – por – tar 3.3. POR LA CANTIDAD DE GRAFÍAS Y LETRAS MONOLÍTERAS Constituida por una sola letra EJEMPLO: A - mor A – ves – truz O–í–a A–é–re–o I – ma – gi – nar

BILÍTERAS

TRILÍTERAS TETRALÍTERAS

Constituida por Constituida Constituida por dos letras. por tres letras. cuatro letras. EJEMPLO:

EJEMPLO:

EJEMPLO:

Tre – ce U - va A – ba – ni – co Te - ner Pa – no – ra – ma

Li – ber – tad Dei – dad

Tram – pa Fre – cuen – cia

Pu – dor Tra – mo

Vien – to Cuén – ta – me

Pro - sa

Bi – blio – te – ca

PENTALÍTERAS Constituida por cinco letras EJEMPLO: Trans – por – tar

4. EL SILABEO. Llamada también división silábica consiste en pronunciar o escribir en forma separada las sílabas de una palabra. Ejemplo: ✓ Mantel = man – tel ✓ Carpeta = car – pe – ta ✓ Cubrecama = cu – bre – ca – ma 5. REGLAS DE SEGMENTACIÓN 5.1.Cuando en una palabra se encuentra dos vocales abiertas, estas se separan para formar sílabas diferentes. Ejemplo: ✓ Oasis ✓ Coetáneo ✓ Caoba

= o – a –sis = co – e – tá – ne – o = ca – o – ba

5.2. Cuando en una palabra se encuentra dos vocales cerradas, estas se mantienen unidas en una sola sílaba. Ejemplo: ✓ Ciudad ✓ Cuidado

= ciu – dad = cui – da – do

5.3. Cuando en una palabra se encuentran una vocal abierta y una vocal cerrada o viceversa, la vocal abierta es la tónica, y se mantienen unidas. Ejemplo: ✓ Auge ✓ Peine ✓ Cuadro

= au – ge = pei – ne = cua – dro

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5.4. Cuando en una palabra se encuentran una vocal abierta y una vocal cerrada pero esta última lleva tilde, automáticamente se separan en silabas diferentes. Ejemplo: ✓ Tía ✓ Baúl ✓ Maíz

= tí – a = ba – úl = ma – íz

5.5. Los grupos pr, br, tr, dr, cr, kr, gr, fr, así como pl, bl, cl, kl, gl, fl, son inseparables y siempre van acompañadas de una vocal o forman sílaba con la vocal siguiente. Ejemplo: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

A – pre - tar Ha – bló Ci – clo A – le – gró La – drón Co – fre

5.6. El grafema x, en ocasiones intervocálica se une a la segunda vocal. Ejemplo: ✓ Taxi ✓ Examen

= ta – xi = e – xa – men

5.7. En relación con el caso de palabras estructurales con morfemas prefijos, se optará por separar al prefijo o someter la palabra a las reglas formales del silabeo. Ejemplo: ✓ Suboficial ✓ Desatar

= sub- o – fi – cial / su – bo –fi –cial = des – a – tar / de – sa- tar

5.8. A cada vocal le corresponde la consonante anterior a ella. Ejemplo: ✓ Cariño ✓ Género ✓ Deidad

= ca- ri – ño = gé- ne – ro = dei – dad

6. LA CONCURRENCIA VOCÁLICA 6.1.DIPTONGOS Un diptongo son dos vocales que forman una sola sílaba. Puede conformar una sílaba una vocal abierta y otra cerrada, o viceversa. Asimismo, dos vocales cerradas. Ejemplo: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Pien – sa Rei – no Pues – to Pau – sa Piu – ra

6.2. TIPOS DE DIPTONGO Existen tres tipos de diptongos: 6.2.1. Crecientes. Cuando inicia la vocal débil y luego va la fuerte (VC + CA). Ejemplo: CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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✓ Pues ✓ Prieto 6.2.2. Decrecientes. Cuando inicia la vocal fuerte y luego va la débil (VA + VC). Ejemplo: ✓ Paisaje ✓ Zeus 6.2.3. Homogéneos. Cuando consisten en dos vocales débiles (VC +VC). Ejemplo: ✓ Cuidar ✓ Viuda 6.3. TRIPTONGO En lengua española, se conoce como triptongo a cualquier grupo de tres vocales operando como una misma sílaba, y que para ello debe constar de dos vocales cerradas (débiles) y una abierta (fuerte), organizadas de acuerdo al esquema: VD-VF-VD Es decir: vocal cerrada, vocal abierta y vocal cerrada. Las vocales de los triptongos se pronuncian de manera conjunta, como una sola sílaba o unidad sonora, y no pueden bajo ninguna circunstancia separarse. Ejemplo: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Buey (en estos casos la “y” opera fonéticamente como una “i”). Guau Miau Cuaima Dioico Evidenciéis

6.4. HIATO. Son dos vocales seguidas que forman dos sílabas. 6.4.1. Cuando hay dos vocales fuertes juntas siempre hablamos de hiato, porque esas dos vocales pertenecen a dos sílabas distintas. Ejemplo: ✓ ✓ ✓ ✓

Pe – ón Lo – ar Ca – os Ra – le – a

6.4.2. En el caso de que haya una vocal débil, pero esta sea tónica (lleve tilde), se deshace el diptongo, se convierte en hiato y ya tenemos dos sílabas. Ejemplo: ✓ ✓ ✓ ✓

Pí – o Ca – í – da Ga – rú – a A – ú – na

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PRÁCTICA 2 1. Los pueblos bien organizados combaten no solo los fenómenos meteorológicos, sino también las acciones delincuenciales. ¿Cuántas secuencias vocálicas presenta la proposición anterior? a) Cinco b) Seis c) Siete d) Ocho e) Nueve 2. Señale el enunciado que presenta más diptongos. a) Raúl salió muy apurado del aula b) Vieron que ella no podía ahorrar c) Quienes leen más escriben mejor d) La huida del reo causó malestar e) Ya no trabajará en el aeropuerto 3. Indique la serie que contiene solo diptongos decrecientes. a) Averígualo, huida, muy, poetisa b) Automóvil, peino, oigo, aceite c) Paisano, continúa, tenía, sueldo d) Ciencia, neutro, pauta, piola e) Coima, baile, rey, puerto 4. Reconozca el enunciado que presenta un caso de hiato. a) La gente salió rápido de sus casas b) En esa sala hay un exótico bonsái c) Se encontraron en el aeropuerto d) Hoy no pienso salir de mi cuarto e) Tiene un trato fluido con sus alumnos 5. Señale la proposición que presenta un caso de triptongo. a) Compré ese ungüento en la botica b) San Martín llegó a Huaura c) Jugaremos en el parque Cahuide d) Vosotros sentíais la poesía e) El uruguayo trabaja aquí 6. ¿Qué serie de palabras está correctamente silabeada? a) Ex - a – men  /  si - lue - ta b) Co - o - pe – rar  /  di - lu - i - do c) Cri - an – za  /  pe - ón d) Trein – ta  /  po - e - sí – a e) Cuén - ta – le  /  hu – ir 7.

Las palabras parihuela, huaico y realidad presentan, respectivamente,

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a) b) c) d) e)

Diptongo, triptongo y hiato Hiato, diptongo y triptongo Triptongo, diptongo y hiato Hiato, triptongo y diptongo Diptongo, hiato y hiato

8. Relacione correctamente. I. La lingüística es una disciplina. II. El huaino es una especie lírica. III. Raúl cocinó guiso de res. IV. Ese dictador pronto caerá. V. Cumplió veintiséis años. a. hiato acentual b. diptongo decreciente c. hiato simple d. triptongo e. diptongo creciente a) Id, IIa, IIIc, IVb, Ve b) Ie, IId, IIIa, IVc, Vb c) Ib, IId, IIIe, IVc, Va d) Ie, IId, IIIa, IVb, Vc e) Id, IIa, IIIb, IVc Ve 9. Los cuestionarios de ortografía los resuelve todos los días en el aula contigua del local de Iquique. Ahora mismo está coordinando con otros alumnos. En el texto anterior, encontramos .............. diptongos y .............. hiatos. a) Seis – cinco b) Siete – cinco c) Seis – cuatro d) Seis - seis e) Siete – tres 10. Indique la serie que contiene solo hiatos. a) Fluido, deshuesar, obstruí b) Cuídalo, oír, oyente c) Leído, truhan, aéreo d) Véanlo, ahíto, caos e) Rehúsas, veo, boina 11. Señale el enunciado que presenta más casos de diptongo. a) En nuestro país, el pueblo es muy luchador b) Le gusta el guiso que prepara su suegra c) A nadie le agrada esta política económica d) Hasta ahora no sabe qué hará en el verano e) Raquel estudiará Geografía en la universidad 12. Reconozca la oración que presenta un caso de hiato simple. a) Las ruinas las visitaremos próximamente b) No sé si mañana traerá las copias que pedí CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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c) Ese huaico arrasó con todos los sembríos d) Viéndose cansado, decidió salir temprano e) Fui con mis hermanos a ese gran concierto 13. Marque el enunciado que presenta un caso de hiato acentual. a) En el aeródromo, me encontré con Aurora b) La huida de ese reo causó mucha zozobra c) Me regaló un bonsái y lo dejé en la sala d) Reunió a todos los estudiantes en el aula e) Todos especulan de la caída del dólar 14. Señale la proposición que presenta más secuencias vocálicas. a) Me dijo que hoy quiere comer guisos huamanguinos en la feria. b) El aguerrido soldado peruano realizó una gran proeza heroica c) El movimiento que promueve la ruptura con el pasado fue la vanguardista d) A Daniel siempre le gusta leer los textos del Realismo europeo e) El equipo de vóley brinda más lauros al país 15. Lei que la poesia de Dario tiene como raices al Romanticismo, de ahi su referencia al paisaje ¿Cuántos casos de hiato acentual presenta el enunciado anterior? a) Tres b) Cuatro c) Cinco d) Seis e) Siete 16. Indique la serie que contiene solo diptongos. a) Averígualo, cielo, doy, poetisa b) Automóvil, peino, oigo, aceite c) País, continúa, caos, duelo d) Había, neutro, pauta, hielo e) Aguacero, baile, reo, airoso 17. Su más grandiosa proeza la realizó cuando cruzó a nado hasta la bahía. ¿Cuántos casos de hiato presenta la proposición anterior? a) Tres b) Cuatro c) Cinco d) Seis e) Siete 18. Marque la alternativa que presenta una adecuada segmentación silábica. a) E - xhaus - to / ac - ci - den - te / a - or – ta b) Ca - os / reu - ni - do / co - e - tá – neo c) Fre - ír / au - sen - te / sub - es - ta – ción d) E - xa - men / a - hu - yen - tar / a - ho – ra e) Des - ar - mar / op - ción / di - lu - i – do 19. Identifique el enunciado que presenta más diptongos. a) En el aeropuerto, encontré a los estudiantes provincianos. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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b) c) d) e)

Seamos el cambio que queremos ver en el mundo. El martes salió las normas en una nueva edición. La enciclopedia es una serie perteneciente a todas las ciencias. Necesita los driver para la última versión del sistema operativo.

20. Relacione correctamente. I. Me fui con ellos. II. Veo mucha gente. III. La caída es libre. IV. No averigüéis eso. a. hiato acentual b. hiato simple c. diptongo d. triptongo a) Ia, IIb, IIIc, IVd b) Ib, IIc, IIId, IVa c) Ic, IIb, IIIa, IVd d) Ia, IIb, IIId, IVc e) Ic, IIa, IIIb, IVd

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TEMA 3. REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA O TILDACIÓN 3.1.CONCEPTO. El acento es la mayor fuerza, intensidad o inflexión de voz con que se pronuncia determinada sílaba de una palabra, consiste en la prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno. Ejemplos: Cons – truc – ción

cán – ta – ro

ca – ba – llo

3.2. REGLAS GENERALES DE ACENTUACIÓN GRÁFICA LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS MONOSILÁBICAS. Las palabras de una sola sílaba nunca se acentúan gráficamente, salvo en los casos de tilde diacrítica. Así, estos monosílabos no tienen tilde: mes, bien, sol, ve, ya, son, fe, fue, etc. LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS POLISÍLABAS. Se aplican en función de, si son agudas, llanas, esdrújulas o sobresdrújulas. 3.2.1. ACENTUACIÓN GENERAL a) ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS AGUDAS (OXÍTONAS). Son aquellas palabras cuya última sílaba es tónica. - Las palabras agudas llevan tilde cuando terminan en los grafemas consonantes “n” o “s” o en cualquier vocal. Ejemplos: razón, compás, comité, iglú, además, mirarán - No llevan tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en grafema consonante distinto de “n”, “s” o en vocal. Ejemplos: amistad, trigal, escribir, actriz, bondad, considerar - Cuando terminan en consonantes dobles. Ejemplos: zigzags, mamuts, confort - Cuando terminan en el grafema “y”. Ejemplos: virrey, convoy, Paraguay, estoy b) ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS GRAVES O LLANAS (PAROXÍTONAS). Son aquellas palabras cuya penúltima sílaba es tónica. - Las palabras llanas se escriben con tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en un grafema consonántico distinto de “n”, “s” o vocal: Ángel, tórax, lápiz, tóner, inútil, azúcar, Tíbet, referéndum - Cuando terminan en consonantes dobles o triples: Bíceps, fórceps, récords - Cuando terminan en el grafema “y”: Yóquey, yérsey No lleva tilde: compost - Las palabras graves no llevan tilde cuando terminan en las consonantes “n”, “s” o en vocal. Por ejemplo: margen, crisis, lata, libro, tribu, resta, callejeros, hacen, parque

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c) ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS ESDRÚJULAS (PROPAROXÍTONAS). Son aquellas palabras cuya antepenúltima sílaba lleva tilde. Ejemplos: Análisis, rápido, tónica, pacífico, génesis, válvula, cóselo, hábitat d) ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS SOBRESDRÚJULAS (SUPERPROPAROXÍTONAS): Son aquellas palabras cuya que llevan tilde antes de la antepenúltima sílaba. Por ejemplo: Recítaselo, recógemelo, leyéndosela, propóngaseme, imagíneselas 3.2.2. LA ACENTUACIÓN ESPECIAL LA TILDE DIACRÍTICA EN PALABRAS MONOSÍLABAS La regla de acentuación gráfica de las palabras monosílabas prescribe que estas se escriban sin tilde. Constituyen una excepción a esta regla general en un grupo de palabras monosílabas tónicas de uso frecuente que se oponen a otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona. Tienen la misma escritura, pero cumplen distinta función gramatical y poseen significados distintos y son:

TÚ= Pronombre personal (2da P.G.) Tú eres mi mejor amigo TU= Adjetivo posesivo Tu casa es bonita Él= Pronombre personal (3° P. G.) Él es el alumno que ganó el premio EL= Artículo determinante. El profesor no vino hoy MÍ= Pronombre personal (1° P.G) A mí me gusta el orden MI= Adjetivo posesivo. Sustantivo. (nota musical). Mi mochila está rota Empieza en mi menor SÍ= Adverbio de afirmación, Pronombre personal (3° P.G). Adverbio sustantivado. Sí, comprendí todo Volvió en sí después de un minuto SI= Conjunción condicional. Sustantivo (nota musical) Si estudias ingresarás

TÉ = Sustantivo El té se enfría, apúrate TE = Pronombre personal (2da P. G.) Te invito al teatro, querida amiga DÉ = Forma del verbo dar. Dile que te dé el libro DE = Preposición. Sustantivo (letra) Ella es de Arequipa Borra la letra “de” SÉ= Forma del verbo ser - saber. Sé bueno con los demás Sé que puedo mejorar en todo SE = Pronombre personal (3° P.G) Se retiró de la reunión. MÁS= Cuantificador (adverbio) Él quiere más dinero. MAS= Conjunción adversativa equivalente a la palabra pero. Fuimos al estadio, mas no ingresamos.

3.2.3. ACENTUACIÓN GRÁFICA DE PALABRAS CON HIATO. Las palabras con hiato se acentúan gráficamente según las siguientes pautas: CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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a) Las palabras con hiato llevan siempre tilde en la vocal cerrada, con independencia de las reglas generales de acentuación. Ejemplos: serías, sabías, mío, actúe, búhos, oído, sabíais, desvíen, cacatúa, reído (llevan tilde a pesar de ser llanas terminadas en -n, -s o vocal) Raíz, oír, baúl, Raúl, maíz, reír, oír, laúd, tahúr (se tildan aun siendo agudas terminadas en consonantes distintas de -n, -s) b) Las palabras que incluyen cualquier otro tipo de hiato se someten a las reglas generales de acentuación. Así: Jaén, traerás, acordeón, peleó, Noé, rehén o chií (lleva tilde por ser voces agudas terminadas en -n, -s o vocales). caer, soez o alcohol (no llevan tilde por ser agudas terminadas en consonante distinta de n o s). paella, vean, ahora, anchoa, museo, poetas o chiitas (se escribe sin tilde por terminar en n, -s o vocal) Aéreo, línea, océano, caótico, coágulo, teórico, héroe o zoólogo (llevan tilde por ser esdrújulas). 3.2.4. ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS CON DIPTONGO Las palabras que contienen diptongos ortográficos se acentúan gráficamente según las reglas generales de acentuación. Así: Pie, soy, dio, truhan, dual, fue, cruel, guion (no llevan tilde por ser monosílabas) Nupcial, bailar, Javier, posterior, autor, deshuesar, feudal, rehuir, ciudad, virrey o estoy (no lleva tilde por ser agudas terminadas en consonantes distintas de -n, -s, en más de un grafema consonántico o en -y) Rufián, bonsái, habláis, recién estéis, desvió, averigüé, licuó, derruí o interviú (lleva acento gráfico por ser agudas terminadas en -n,-s o vocal) Reinan, aguantan, clientas, contabais, peinasteis, huerto, ingenuas, inocuo, fortuito, incluido o diurno. (no lleva tilde por ser llanas terminadas en -n, -s o vocal) Estiércol, huésped, médiums o yóquey (lleva tilde por terminar en consonante distinta de -n, -s, en más de un grafema consonántico o en -y) Diálogo, ciénaga, casuística o lingüística (se acentúan gráficamente por ser esdrújulas) 3.2.5. TILDE DIACRÍTICA EN QUÉ, CUÁL, QUIÉN, CÓMO, CUÁN, CUÁNTO, CUÁNDO, DÓNDE, y ADÓNDE Las palabras tónicas qué, cuál, quién, cómo, cuán, cuánto, cuándo, dónde y adónde se escriben con tilde diacrítica para diferenciarlas de sus homónimas átonas. Como ocurre en todos los casos de tilde diacrítica, estas formas tónicas son palabras que no deberían tildarse según las reglas generales de acentuación; la función de la tilde no es identificar la posición de la sílaba tónica, sino prevenir su confusión con aquellas otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona y distinto valor y función.

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ESCRITURA CON TILDE. Estas palabras se escriben con tilde cuando pertenecen a la clase de los interrogativos o exclamativos. ¿Qué animal es aquel? ¡Qué calor! ¿Cuál es tu nombre? ¿Quién te ha hecho esto? ¡Quién pudiera volver a ser joven! ¿Cómo te olvidaste? ¿Cuán firme es tu determinación? NOTA: Los interrogativos y los exclamativos pueden ir precedidos por una preposición sin dejar de ser tónicos ni de escribirse con tilde. ¿Por qué ha dicho eso? ¡Con qué poco te conformas! ¿Hasta cuándo estás dispuesto a seguir? Así mismo, existen interrogativas y exclamativas indirectas: Preguntó qué tenía que hacer para ir al centro. Aún no ha decidido con quién asociarse. Dime cuánto vas a tardar. Me preocupa cómo encontrar financiación. Mira qué fácil. Hay que ver cuánto has crecido. Es indignante cómo lo tratan. 3.2.6. ACENTUACIÓN GRÁFICA DE FORMAS O EXPRESIONES COMPLEJAS a) PALABRAS COMPUESTAS. Escritas en una sola palabra se someten a las reglas de acentuación como si fueran voces simples: Hinca + pie = hincapié (con tilde por ser palabra aguda terminada en vocal) Veinte + dos = veintidós (con tilde por ser palabra aguda terminada en -s) Balón + cesto = baloncesto (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal) Arco + iris = arcoíris (con tilde por contener un hiato) b) ADVERBIOS TERMINADOS EN EL SUFIJO –MENTE. Los adverbios de este tipo se forman por la adición a un adjetivo del elemento compositivo -mente. Estas palabras presentan de manera excepcional dos sílabas tónicas, la del adjetivo base y la de la terminación. cortés + mente = cortésmente fácil + mente = fácilmente rápida + mente = rápidamente íntegra + mente = íntegramente normal + mente = normalmente breve + mente = brevemente tranquila + mente = tranquilamente

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PRÁCTICA 3 1. La palabra monosílaba que se tilde en algunos casos es: a) Me b) Vio c) Fue d) Mas e) Le 2. En la oración, Sé más soñador, piensa en mí, las palabras con tilde diacrítica son respectivamente: a) Pronombre - conjunción – sustantivo b) Artículo - adverbio – pronombre c) Pronombre - adverbio – preposición d) Artículo - conjunción – preposición e) Verbo- adverbio – pronombre 3. En la expresión, Ella preparó una taza de té, la palabra con tilde diacrítica funciona como: a) Pronombre b) Sustantivo c) Conjunción d) Adverbio e) Adjetivo 4. La palabra el lleva tilde cuando es: a) Conjunción b) Pronombre c) Artículo d) Adverbio e) Preposición 5. Las palabras corazón, árbol, índice y prémiesele presentan acentuación: a) Distintiva b) Especial c) Diacrítica d) Diagráfica e) General 6. La palabra que debe presentar tilde es: a) Gracias b) Virtudes c) Vergel d) Grave e) Cancer 7. Son palabras paroxítonas: a) Entrégaselo, dígamelo, llévenselo CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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b) c) d) e)

Brújula, árboles, máxima, espíritu Profesor, malestar, cantidad, veloz Dios, tren, fe, paz, dio, vio, fue Cráter, cárcel, baile, trampa

8. Las palabras canal, mamut, tapiz y verdad son: a) Paroxítonas b) Llanas c) Oxítonas d) Proparoxítonas e) Graves 9. La oración que requiere de dos tildes es: a) Ramiro retiro la basura de aqui hoy b) El encontro sus calcetines en el cajon c) Soñe con la pelicula de accion d) El viernes vendran los supervisores e) Revisaran las fallas del motor

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TEMA 04: USO DE LAS LETRAS O GRAFÍAS 4. Las letras o grafías. Definición y función 4.1. Definición. Las letras, llamadas también grafías o grafemas, son los signos gráficos mínimos, sucesivos y distintivos que componen la secuencia escrita o palabra. • Es unidad mínima. Porque es indivisible, una letra no puede descomponerse en unidades más pequeñas. Ejemplo: En la palabra ‘Perú’ que está compuesto de 4 letras: P – e – r – ú : cada letra es imposible de dividir en unidades más pequeñas • Es distintiva. Debido a que las letras o grafías nos permiten diferenciar en la escritura una palabra de otra. Ejemplo: - Pasta - Basta - Hasta En los casos anteriormente referidos, se puede comprobar que es gracias a las letras p, b y h que nos encontramos ante palabras distintas y con significados muy diferentes entre sí. 4.2. Función. Las letras o grafías tienen como función representar gráficamente a los fonemas. 4.2.1. Los fonemas del español El español cuenta, en total, con veinticuatro fonemas, cinco vocálicos y diecinueve consonánticos: a) Vocales: /a/, /e/, /i/, /o/, /u/ b) Consonantes: /b/, /ch/, /d/, /f/, /g/, /j/, /k/, /l/ , /ll/, /m/ , /n/ , /ñ/. /p/, /r/, /rr/, /s/, /t/, /y/, /z/ 4.2.2. El abecedario del español El abecedario es la serie ordenada de las letras que se utilizan para representar gráficamente una lengua de escritura alfabética. En el español está formado por veintisiete letras. A continuación, se ofrecen las formas minúscula y mayúscula de cada una de ellas, y, debajo, su nombre recomendado: aA a jJ jota rR

bB be kK ka sS

cC ce lL ele tT

dD de mM eme uU

eE e nN ene vV

ene

ese

te

u

uve

fF efe ñÑ eñe wW Uve doble

gG g oO o xX

hH hache pP pe yY

iI i qQ Cu zZ

equis

ye

zeta

4.2.3. Letras y dígrafos: el estatus de ch y ll Además de las veintisiete letras que componen el abecedario, el sistema gráfico del español cuenta con cinco dígrafos (combinaciones de dos letras para representar un solo fonema): a) El dígrafo ch representa el fonema /ch/: chapa, abochornar. b) El dígrafo ll representa el fonema /ll/ o, en hablantes yeístas, el fonema /y/: lluvia, rollo. c) El dígrafo gu representa el fonema /g/ ante e, i: pliegue, guiño. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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d) El dígrafo qu representa el fonema /k/ ante e, i: queso, esquina. e) El dígrafo rr representa el fonema /rr/: arroz, tierra. 5. USO DE: M, N, B, V, G, J, Z, S, C, H, X 5.1.1. Uso de la letra M. Se escribe con m: a) Delante de b y p: ambos, cambio, campo, empezar. 5.1.2. Uso de la letra N. Se escribe con n: a) Delante de v. Ejemplos: convencer, enviar, invasión, invento, envidia, invocar. 5.1.3. Uso de la letra B. Se escribe con b: a) Las palabras en que el fonema /b/ precede a otra consonante o está en posición final: abdicación, absolver, amable, brazo, obtener, obvio, baobab, club, esnob. Excepciones: ovni, molotov y ciertos nombres propios eslavos, como Kiev, Prokófiev, Romanov. b) Las palabras en que el fonema /b/ sigue a la sílaba tur: disturbio, perturbar, turbina, turbulento. c) Las que empiezan por las sílabas bu-, bur- y bus-: bula, burla, buscar. Excepción: vudú y sus derivados. d) Las terminaciones -aba, -abas, -abamos, -abais, -aban del pretérito imperfecto (o copretérito) de indicativo de los verbos de la primera conjugación: amaba, bajabas, cantábamos, saludabais, trabajaban. También las formas de ese mismo tiempo del verbo ir. iba, ibas, íbamos, ibais, iban. e) Los verbos terminados en –bir: escribir, prohibir, recibir, sucumbir. Excepciones: hervir, servir, vivir y sus derivados. f) Los verbos terminados en -buir. atribuir, contribuir, retribuir. g) Las palabras acabadas en -bilidad: amabilidad, habilidad, posibilidad. Excepciones: civilidad y movilidad. h) Las acabadas en -bundo o -bunda: tremebundo, vagabundo, abunda. i) Las que contienen los siguientes prefijos o elementos compositivos: • bi-, bis-, biz- ('dos' o 'dos veces'): bilingüe, bisnieto, bizcocho; • bibli(o)- ('libro'): biblia, bibliobús, biblioteca; • bio-, -bio ('vida'): biodiversidad, biografía, microbio; • sub- ('bajo o debajo de'): subacuático, subíndice, subinspector. j) Las palabras compuestas cuyo primer elemento es bien o las palabras que empiezan por su forma latina ben (e): bienestar, bienvenido, bendecir, beneficio. k) Las palabras compuestas cuyo último elemento es fobia ('aversión o temor') o: fobo/a ('que siente aversión o temor'): agorafobia, claustrofobia, homófobo, xenófoba. l) Los verbos beber, caber, deber, haber, saber y sorber (y sus derivados), así como todas las voces de sus familias léxicas: bebí, bebedor, cabemos, cabida, deben, débito, hubiera, haberes, sabemos, sabio, sorbió, sorbete, absorbe, absorbente. 5.1.4. Uso de la letra V. Se escribe con v:

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a) Las palabras en que las letras b o d preceden al fonema /b/: adverbio, animadversión, inadvertido, obvio, subvención. Se exceptúan aquella en las que el prefijo sub- se antepone a una palabra que comienza por b: subbloque. b) Las palabras en que la secuencia olvidar, polvo, solvencia ol precede al fonema /b/: disolver, olvidar, polvo, solvencia. c) Las que empiezan por eva-, eve- evi- y evo-: evasión, eventual, evitar, evolución. Excepción: ébano y sus derivados ebanista y ebanistería. d) Las que empiezan por la sílaba di- : diva, divergencia, dividir. Excepción: dibujo y sus derivados. e) Las que empiezan por las sílabas lla-, lle-, llo-, llu- : llave, llevar, llovizna, lluvia. f) Las que empiezan por el prefijo vice-, viz- o vi- (que hace las veces de): vicealmirante, vizconde, virrey. g) Los adjetivos llanos terminados –ave, - avo /a, -ivo /a : grave, esclavo, octava, leve, longevo, nueva, decisivo, activa. h) Las palabras terminadas en -ívoro/a, como carnívoro, herbívoro, insectívoro. Excepción: víbora. i) Las terminadas en -valencia y –valente (de valer): equivalencia, polivalente. j) Las formas verbales que tienen el fonema /b/ de los verbos andar, estar, tener e ir y sus derivados, salvo las de pretérito imperfecto (o copretérito) de indicativo: anduviste, desanduvo, tuvieron, tuvo, mantuviere, vaya, ve, voy (pero andaba, estábamos, iba). k) Los verbos mover, valer, ver y volar (y sus derivados), así como todas las voces de sus familias léxicas: muevo, movimiento, valgo, valioso, vendremos, venidero, vería, vidente, prever, vuelo, volante. 5.1.5. Uso de la letra G. Se escribe con g ante e, i: a) Las palabras que contienen la secuencia inge: esfinge, faringe, ingeniero, ingenuo, ingerir ('introducir algo por la boca para llevarlo al estómago'). Excepciones: injerir(se) ('introducir una cosa en otra' y 'entrometerse, inmiscuirse) y su derivado injerencia, e injerto y sus derivados (injertar, etc.). b) Las palabras que contienen la sílaba gen en cualquier posición, incluidas todas las que acaban en -gencia o -gente: aborigen, agencia, contingente, engendrar, gentil. Excepciones: ajenjo, jején, jengibre y ojén, y las formas de los verbos terminados en -jar, -jer, -jir (bajen, tejen, crujen, etc.). c) Las que contienen la secuencia gest: congestión, digestivo, gesta, gestor, sugestión. Excepciones: majestad (y sus derivados) y vejestorio. d) Las que contienen las secuencias gia, gio (con tilde o sin ella): alergia, apología, orgía, artilugio, litigio, plagio. Excepciones: bujía, canonjía, crujía, herejía y lejía, y las terminadas en -plejia o -plejía (apoplejía, paraplejia o paraplejía, etc.). e) Las que empiezan por gene-, geni-, geno-, genu-: generoso, genio, genocidio, genuino. f) Las que empiezan por legi-: legible, legión, legislar, legítimo. Excepción: lejía y lejísimos, lejitos (derivados de lejos). g) Las que acaban en -gésimo/a y -gesimal: cuadragésimo, vigésima, sexagesimal. h) Las que acaban en -ginoso/a: cartilaginoso, ferruginosa. i) Todas las formas de los verbos terminados en -ger (coger, emerger, proteger, etc.) y -gir (dirigir, fingir, regir, etc.), salvo aquellas en que el fonema /j/ CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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antecede a las vocales a, o, que se escriben con j: emergemos, protege, fingía, regimos, pero emerjo, proteja, finjo, rijamos. Excepciones: tejer, crujir y sus derivados. j) Las palabras que contienen los siguientes prefijos o elementos compositivos: • geo-, -geo ('tierra'): geógrafo, geometría, hipogeo; • ger(onto)- ('vejez', 'viejo'): geriatría, gerontocracia; • giga- ('mil millones de veces'): gigahercio, gigavatio; • gine(co)- ('mujer'): gineceo, ginecólogo. k) Las que acaban en los siguientes elementos compositivos: • -algia ('dolor'): lumbalgia, neuralgia; • -fagia ('acción de comer o tragar'): aerofagia, antropofagia; • los derivados de la raíz grecolatina gen ('generar, producir'), como -génesis ('origen o principio'), -genia ('origen o formación'), -génito/a ('nacido, engendrado') o 'geno/a ('que produce o es producido'): orogénesis, criogenia, congénito, primogénita, alérgeno, cancerígena; • -gero/a ('que lleva o produce'): alígero, flamígera; • -logía ('estudio, disciplina científica') y su derivado -lógico/a: ecología, biológico, filológica; • -rragia ('flujo o derramamiento'): blenorragia, hemorragia. 5.1.6. Uso de la letra J. Se escriben con j ante e, i: a) Las palabras que empiezan por eje-: ejecutar, ejemplo, ejército. Se exceptúan algunos topónimos y antropónimos, como Egeo o Egeria. b) Las que acaban en -aje, -eje: coraje, garaje, esqueje, hereje. Excepción: el plural ambages ('rodeos'). c) Las que acaban en -jería: cerrajería, consejería, extranjería, relojería. d) Las palabras llanas terminadas en -jero/a: cajero, extranjero, lisonjera, viajera. Excepción: ligero/a. e) Los verbos terminados en -jear: chantajear, cojear, homenajear. f) Todas las formas verbales que contienen el fonema /j/ y corresponden a verbos cuyo infinitivo carece de él. Esta regla afecta a formas de los verbos decir y traer (y sus derivados), así como a los terminados en -ducir: dije, dijera (de decir); predijéramos, predijere (de predecir); produjiste, produjesen (de producir); trajiste, trajerais (de traer). 5.1.7. Reglas de la letra Z. Se escriben con z: a) Las palabras agudas que terminan en -triz: actriz, cicatriz, emperatriz, matriz. b) Los adjetivos terminados en -az que designan cualidades: audaz, capaz, voraz. En ambos casos, en el plural, la z del singular se transforma en c por ir seguida de e: actrices, audaces, etc. c) Las palabras que terminan en los siguientes sufijos: • -anza (forma, a partir de verbos, sustantivos que denotan 'acción y efecto' y, también, 'agente, medio o instrumento de la acción: confianza, enseñanza, ordenanza, semejanza; • -azgo (forma sustantivos que denotan 'cargo o dignidad', 'condición o estado' y 'acción y efecto'): almirantazgo, hallazgo, noviazgo; • -azo/a (normalmente forma sustantivos con valor aumentativo o despectivo, o que denotan 'golpe, daño o herida causados con lo designado por la palabra base' o 'acción repentina o contundente'): balonazo, cambiazo, flechazo, madraza, manaza; CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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-ez, -eza (forman, a partir de adjetivos, sustantivos abstractos de cualidad): madurez, pesadez, belleza, sutileza; • -izar (forma verbos que denotan acciones cuyo resultado implica el significado del sustantivo o adjetivo base): alfabetizar (de alfabeto), aterrizar (de tierra), impermeabilizar (de impermeable); • -izo/a (forma adjetivos que denotan 'semejanza', 'propensión' o 'pertenencia'; también aparece en ciertos sustantivos que denotan 'lugar'): asustadizo, caliza, cobertizo, fronteriza; • -zón (forma, a partir de verbos de la primera conjugación, sustantivos que denotan 'acción y efecto'): cerrazón (de cerrar), hinchazón (de hinchar), ligazón (de ligar). d) Las palabras que contienen los interfijos -z-, -az-, -ez- o -iz- antepuestos a sufijos que empiezan por a, o, u, como -al, -ote/a, -ucho/a o -uelo/a: barrizal, favorzote, tiendezucha, ladronzuelo. •

5.1.8. Reglas de la letra S. Se escriben con s: a) Las palabras que empiezan por las silabas (h)as-, (h)es-, (h)is-, (h)os-: aspirar, hasta, estudiar, hespérides, isla, hispano, oscuro, hostil. Excepciones: azteca, hazmerreír, izquierdo -da (y sus derivados), y algunos nombres propios, como Azcona o Ezcaray. b) Las que empiezan por la secuencia (h) us-: usted, usufructo, husmear. Excepciones: uci ('unidad de cuidados intensivos'), Uzbekistán y uzbeko -ka. c) Las que empiezan por las sílabas des- o dis-, sean o no prefijos: descolocar, destino, discapacitado, díscolo. Excepción: dizque (Am. 'al parecer, supuestamente', 'presunto, supuesto'). d) Las que empiezan por la secuencia pos-: posible, posguerra, posterior. Excepciones: pozo y pozol(e). e) Las que empiezan por semi-: semidiós, semilla, semiótico. f) Los sustantivos y adjetivos terminados en -asco/a, -esco/a, -osco/a: atasco, borrasca, dantesco, muesca, tosco, mosca. g) Los verbos terminados en -ascar: atascar, mascar, rascar. h) Las palabras terminadas en -astro/a: alabastro, madrastra, rastro. i) Los verbos terminados en -ersar: conversar, dispersar, tergiversar. j) Los adjetivos terminados en -oso/a: afectuoso, deliciosa. Excepción: mozo -za. k) Las palabras terminadas en -sis: análisis, crisis, génesis, neurosis, tesis. l) Excepciones: glacis ('talud o pendiente'), macis ('corteza que cubre la semilla de la nuez moscada'), piscis y viacrucis. m) Las terminadas en -sivo/a: abusivo, efusiva, persuasivo, subversiva. Excepciones: lascivo -va, nocivo -va y policivo -va (Col., Ven. y Pan., 'policial'). n) Las terminadas en -sor/a: confesor, divisor, emisora, precursora. Excepciones: avizor, azor, dulzor y escozor. o) Las terminadas en -sura: basura, clausura, mesura. Excepciones: dulzura y sinvergüenzura. p) Todas las desinencias verbales en las que está presente el fonema /s/, sea en medio o al final: abr-isteis, cant-as o cant-ás, sub-iesen. q) El fonema /s/ que aparece en la raíz de algunas formas verbales de verbos cuyo infinitivo no tiene ni c (ante e, i) ni z ni s: puso, pusiese, pusieron (de poner); quiso, quisiera, quisiesen (de querer); visto (de ver). r) Las palabras que terminan en los siguientes sufijos:

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• •

•

•

-ense (en gentilicios y otras voces que expresan relación o pertenencia): canadiense, castrense. Excepción: vascuence; -esa (en gentilicios y otras voces que expresan relación o pertenencia): aragonés, burgués, camerunesa, montañesa; -ésimo/a (en numerales ordinales y fraccionarios): vigésimo, sexagésimo, centésima, cienmilésima. No se escriben con s décimo -ma ni sus derivados undécimo -ma, duodécimo -ma; -ísimo /a (en adjetivos superlativos): altísimo, listísima; –ismo (en tecnicismos y voces que denotan doctrinas, sistemas o movimientos, actividades deportivas, actitudes): alpinismo, cateterismo, compañerismo, vanguardismo; -ista (en voces que designan a la persona que tiene determinada ideología, profesión, inclinación o afición): coleccionista, ecologista, futbolista, humanista; -ístico/a (en adjetivos que expresan relación o pertenencia; también forma sustantivos, en especial femeninos): característica, humorístico, lingüística, turístico.

5.1.9. Reglas de la letra C. Se escriben con c ante e, i: a) Las palabras que empiezan por cerc- o circ-: cerca, cercenar, circuito, circunferencia. b) Las terminadas en -ansia, -ancio, -encia, -encio: abundancia, cansancio, insistencia, silencio. Excepciones: ansia y hortensia. c) Los verbos terminados en -ceder, -cender y -cibir: conceder, encender, recibir. d) Las palabras terminadas en artificial, comercial, superficial. Excepciones: controversial y eclesial. e) Las terminadas en -ciencia, -cente y -ciente: ciencia, paciencia, adolescente, inocente, aliciente, coeficiente. Excepciones: ausente, presente y rusiente ('candente o rojo por la acción del fuego'). f) Las terminadas en -cimiento: acontecimiento, conocimiento, padecimiento. Excepciones: (des)asimiento, derivados de asir. g) Las terminadas en -cioso/a: avaricioso, deliciosa, gracioso, ociosa. Excepciones: ansioso -sa y fantasioso -sa. h) Las terminadas en -icia, -icie, -icio: avaricia, caricia, calvicie, superficie, alimenticio, beneficio. Excepciones: anafrodisia ('disminución o falta del deseo sexual'), artemisia (planta), fisio ('fisioterapeuta'), frisio -sia ('de Frisia') y el antropónimo Dionisio -sia. i) Las esdrújulas terminadas en: ice, cito/a, apéndice, explícito, solícita. j) Las que empiezan por los siguientes prefijos o elementos compositivos: • centi- ('centésima parte'): centígrado, centilitro; • deci-('décima parte'): decibelio, decímetro; • décimo- (en los ordinales del 11 al 19): decimoprimero, decimocuarto, decimoséptimo, etc. (también los cultismos undécimo y duodécimo); • vice- ('que hace las veces de'): vicecónsul, vicepresidente. k) Las que contienen los interfijos -c - o -ec- antepuestos a sufijos que empiezan por e o i, como -ejo/a, -ete/a, -ito/a, -illo/a, -ico/a, -ín, -ino/a, iño/a, -ísimo/a: milloncejo, amorcete, pan (e)cito, flor(e)cilla, pececico, Ramoncín, nubecinas, corazonciño, mayorcísimo. l) Los derivados de palabras que terminan en -co, -ca: circense (de circo), clasicista (de clásico), costarricense (de Costa Rica). CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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m) Las palabras que terminan en los siguientes sufijos o elementos compositivos: • -aceo/a ('semejante a' o 'perteneciente a'): grisáceo, herbácea; • -cida ('que mata') o -cidio ('acción de matar'): bactericida, fratricida, homicidio, suicidio; • -cracia ('gobierno o poder'): democracia, teocracia. 5.1.10. Reglas de la letra H. Se escribe h en los casos siguientes: a) Delante de los diptongos /ua/, /ue, /ui/ , tanto a principio de palabra como en posición interior a comienzo de sílaba: huacal, huérfano, huipil; alcahuete, parihuela. Excepciones: los topónimos Uagadugú (capital de Burkina Faso) y Malaui; algunos arabismos, como alauí y saharaui, y el valencianismo .fideuá ('paella hecha con fideos'). b) Delante de las secuencias /ia/, /ie/ en posición inicial de palabra: hiato, hiedra, hiel, hierático. Excepciones: las voces formadas con la raíz de origen griego iatro- (del gr. iatrós 'médico'). como iatrogenia. c) En las palabras que empiezan por las secuencias herm-, histo·, hog-, holg-, horm-, horr- y hosp-: hermético, historia, hogar, holganza, hormona, horrible, hospicio. Excepciones en voces de uso frecuente: ermita, ogro y sus derivados. d) En las palabras que empiezan por la secuencia hum- seguida de vocal: humano, húmero, humildad, humor, humus. e) En las palabras que comienza n por los siguientes elementos compositivos o raíces de origen griego: hect(o)· ('cien'): hectárea, hectolitro; distinto de ecto- ('por fuera'): ectoplasma; helico- ('espiral'): helicoidal, helicóptero; helio- ('sol') : heliocéntrico, heliotropo; hema-, hemat(o)-, hemo- ('sangre'): hematoma, hemoglobina, hemorragia; hemi- ('medio, mitad '): hemiciclo, hemisferio; hepat(o)- ('hígado'): hepatitis; hepta- ('siete'): heptasílabo; hetera- ('otro, distinto'): heterogéneo, heterosexual; hex(a)- ('seis'): hexágono, hexasílabo, hexosa; hidr(o)- ('agua'): hidráulico, hidroavión; higro- ('humedad'): higrómetro, higroscópico; hiper- ('superioridad' o 'exceso'): hiperactividad, hipermercado; hipo 1- ('inferioridad' o 'escasez'): hipodérmico, hipoglucemia; hip(o) 2- ('caballo'): hípica, hipódromo, hipopótamo; hol(o)- ('todo'): holístico, holografía; homeo- ('semejante, parecido'): homeopatía, homeotermo; homo- ('igual'): homogéneo, homosexual. f) En todas las formas de los verbos haber, habitar, hablar, hacer, hallar, hartar, helar, herir, hervir, hinchar y hundir, y sus derivados. g) En ciertas interjecciones, sea en posición inicial: hala, hale, hola, hurra, huy; o en posición final: ah, bah, eh, oh, uh. Algunas de las que se escriben con h inicial pueden escribirse también sin ella, como ale, uy. Tras la secuencia inicial ex- en las voces exhalar, exhausto, exhibir, exhortar y exhumar, y en sus derivados. Las palabras exuberancia y exuberante se escriben sin h intercalada. 5.1.11. Reglas de la letra X. Se escribe con x:

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a) Las palabras que empiezan por la sílaba ex- seguida de -pl - o -pr-: explanada, explicar, explotar, expresar, exprimir, expropiar. Excepciones: esplendor (y sus derivados), espliego y algunos extranjerismos adaptados como espray o esprínter. b) Las que empiezan por los siguientes prefijos o elementos compositivos: • ex- ('que fue y ya no es', 'fuera, más allá' o 'privación'): exalumno, excéntrico, exculpar; • exo- ('fuera'): exoesqueleto, exogamia; • extra- ('fuera de' o 'sumamente'): extraordinario, extraplano; • hex(a)- ('seis'): hexágono, hexámetro; • maxi- ('muy grande o muy largo'): maxicrisis, maxifalda; • xeno- ('extraño, extranjero'): xenofobia, xenófobo; • xero- ('seco, árido'): xerocopia, xerófilo; • xilo- ('madera'): xilófago, xilófono. c) Las que contienen las siguientes raíces griegas o latinas: • flex- (del lat. flexus 'curvatura, pliegue'): flexible, flexo, papiroflexia; • lex(i)- (del gr. léxis 'pa labra'): lexema, léxico, lexicografía; • oxi- (del gr. oxys 'ácido' o 'agudo'): óxido, oxítono; • sex1 -(del lat. sexus 'sexo'): sexismo, sexo, transexual; • sex2- (del lat. sex 'seis'): sexenio, sexteto, sexto; • tax(i)- (del gr. táxis 'ordenación, tasa'): sintaxis, taxi, taxonomía; • tox(i)- (del gr. toxikón 'veneno'): intoxicar, tóxico, toxicología. 5.2. Consideraciones generales a) Las palabras terminadas en -ción y derivadas de verbos (cuando mantienen su raíz). Ejemplos: publicación, comunicación, edición. b) Las palabras que tienen el sufijo -sión y derivan de verbos que terminan en – der, –ter y –tir. Ejemplos: extensión, invasión, promisión, diversión c) La raíz es importante para usar adecuadamente las letras: escaso / escasez ; Escocia / escocés ; punzar / punción. d) Si un nombre propio termina en s, esta se mantiene: Inés / Inesita, Luis / Luisito, ciprés / cipreses. e) Las palabras terminadas con ger y gir, se conjugan con j solo ante la a u o. Ejemplos: recogí, dirige, corrige, protegí / recojo, dirija, corrijo proteja. f) La palabra atravesar siempre se escribirá con s al igual que quiso. g) La letra y al interior de una palabra conserva su sonido consonántico, por ello debe permitirse su uso como vocal. Ejemplos: reina, virreinato, reinado, aimara. h) Las palabras que terminan con y se pluralizan con es. Ejemplo: Ley – leyes; buey – bueyes; pacay – pacayes. i) Se escribe con rr con sonido fuerte en el interior de las palabras y entre vocales. Ejemplos: ahorrar, prerrenacimiento, arremeter, contrarreforma. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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j) En el uso de la x y la h se debe considerar la raíz. Ejemplos: exhalar, exhumar, exorbitante, etc. 5.3. Palabras de escritura dudosa Son palabras que presentan varias opciones a la hora de escribirlas y cuyo significado varía según aparezcan juntas o separadas. aparte / a parte

APARTE: adverbio de lugar / sustantivo. Déjalo ahí aparte. A PARTE: preposición + sustantivo. Lo dijo a parte de sus amigos. acerca de / a cerca ACERCA DE: locución prepositiva. Hablamos acerca de todo de lo suyo. A CERCA DE: preposición + adverbio. Ascendió a cerca de mil euros. con que / conque / CON QUE: preposición + pron. relativo / conjunción. ¡Mira la con qué cara con que viene! CONQUE: conjunción. Estoy cansada, con que mejor nos vamos. CON QUÉ: preposición + pron. interrogativo. ¡Con qué pena me miró! demás / de más DEMÁS: pronombre indefinido. Lo demás ya no me importa. DE MÁS: preposición + adv. cantidad. Trajo cinco fotocopias de más. por que / por qué POR QUE: preposición + pron. relativo / conjunción. La causa por que luchó es… POR QUÉ: preposición + pron. interrogativo/exclamativo ¿Por qué no llamas? porque / porqué PORQUE: conjunción causal. Nos fuimos porque nos aburríamos. PORQUÉ: sustantivo. Nunca supe el porqué de su actitud. sino / si no SINO: conjunción adversativa / sustantivo. No quiero esto sino aquello. SI NO: conjunción condicional + adverbio. No voy si no me llama. también / tan bien TAMBIÉN: adverbio de afirmación / inclusión. Vino también Bruno. TAN BIEN: cuantificador + adverbio. Estábamos tan bien allí… tampoco / tan TAMPOCO: adverbio de negación / exclusión. Tampoco a mí me poco gusta esto. TAN POCO: cuantificador + adverbio. Duró tan poco que ni lo pensé. A sí mismo / A SÍ MISMO: la 1ª persona se refiere a ella misma. Solo se asimismo / así consultó a sí mismo. mismo ASIMISMO: “de esta forma”. Asimismo, sus conclusiones fueron… ASÍ MISMO: adverbio + refuerzo pronominal. Así mismo está bien hecho. sobretodo / sobre SOBRETODO: prenda de vestir que se lleva sobre la ropa. Se todo puso el sobretodo porque tenía frío. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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en torno / entorno

SOBRE TODO: locución adverbial. Había mucha gente, sobre todo, niños. EN TORNO: alrededor. Miró en torno a él y no encontró a nadie conocido. ENTORNO: ambiente (lugar, personas). El entorno no era favorable para su trabajo.

5.4. Barbarismos Los barbarismos son los vicios mediante los cual se atenta contra la correcta pronunciación y/o escritura de las palabras. Esta pronunciación y/o escritura defectuosa se origina por el uso de vocablos no aceptados por la Academia, la mala escritura, una deficiente articulación, o porque se sustituye una palabra por otra con distinta acepción. Se incurre en este vicio: 5.4.1. Cuando a una palabra se le agrega uno o más sonidos innecesarios. INCORRECTO CORRECTO Empalideció palideció Volantín volatín Nadies nadie Fuistes fuiste Honrra honra Pieses pies Reinvindicar reivindicar Confesionario confesonario Apuñalear apuñalar Desaveniencia desavenencia Lamber lamer Trompezar tropezar Desvastar devastar 5.4.2. Cuando a una palabra se le suprime uno o más sonidos INCORRECTO CORRECTO Mataperro mataperros Fraticida fratricida Padrasto padrastro Copilar compilar Cuñao cuñado Flagante flagrante Trasportar transportar Pacencia paciencia Anque aunque Convenencia conveniencia Ta bien está bien Va pa Chincha va para Chincha Asola asuela Conciencia consciencia 5.4.3. Cuando se permutan los sonidos en una palabra INCORRECTO CORRECTO CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Grabiel Artitris Dentrífico Enjaguar Pachotada Povadera Jeringoza Aplopegía Sastifecho Humadera Idelfonso Empaderar Sintáxico

Gabriel artritis Dentífrico enjuagar patochada polvareda jerigonza apoplejía satisfecho Humareda Ildefonso emparedar sintáctico

5.4.4. Cuando se modifican en la pronunciación de la palabra uno o más sonidos INCORRECTO CORRECTO Hayga haya Academismo academicismo Adució adujo Antihumano inhumano Lagrimógena lacrimógena Doldrá dolerá Gruesor grosor Extinguidor extintor Autentizar autenticar Rememoranza remembranza Plagea plagia Satisfació satisfizo Costipado constipado 5.4.5. Cuando se acentúa de manera incorrecta o donde no corresponde INCORRECTO CORRECTO Ávaro avaro Erúdito erudito Sútil sutil Régimenes regímenes Sientensé siéntense Boína boina Carácteres caracteres Sindrome síndrome Pidelé pídele Omnibús ómnibus Balónmano balonmano Élite elite Méndigo mendigo Tíovivo tiovivo Alíneo alineo Intérvalo intervalo

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5.4.6. Cuando se escriben mal las palabras, independientemente de cómo se pronuncien INCORRECTO CORRECTO Exhuberante exuberante Exhorbitante exorbitante Q’ que Virreynato virreinato Enrroque enroque Coibido cohibido Espoliar expoliar Cojiste cogiste Cigueña cigüeña Paradógico paradójico Jesuíta jesuita Garage garaje 5.4.7. Cuando se usa una palabra atribuyéndole significados que no corresponden SIGNIFICADO SIGNIFICADO INCORRECTO CORRECTO Latente evidente, obvio escondido, oculto Send(o) (a)s intenso, fuerte uno para cada uno Detentar mostrar, ostentar usurpar una función o poder Evento suceso planificado suceso imprevisto o inusual Nominar proponer poner nombre Ignorar desairar, despreciar desconocer Quinceavo número de orden idea de fracción Desapercibido inadvertido desprovisto de lo necesario para algo decimosegundo el ordinal correspondiente el ordinal correspondiente a a doce a doce es duodécimo o dodécimo decimoprimero el ordinal correspondiente el ordinal correspondiente a once a once es undécimo inculpado acusado, culpable inocente, carece de culpa obsoleto no sirve, estropeado poco usado, anticuado 6. BARBARIMOS POR MODIFICACIÓN EN LA PRONUNCIACIÓN DE LOS SONIDOS El barbarismo puede afectar a la articulación de las consonantes y, en consecuencia, ocasionar los vicios siguientes: - Ceceo: pronunciación viciosa consistente en articular con /-z/, /-s/ y la /-d/ final. Azto por acto Zeñor por señor Madriz por Madrid Pazar por pasar - Lalación: falta consistente en pronunciar el sonido /l/ en vez de /r/, al decir mujel por mujer, por ejemplo o sustituir cualquier otro por /l/: Almatoste por armatoste Celebro por cerebro CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Espelma por esperma Almilar por admirar Pelegrino por peregrino Rública por rúbrica - Rotacismo: pronunciación exagerada del sonido vibrante múltiple (grafía rr): rredondo por redondo, o la sustitución de cualquier otro sonido por /r/, como, por ejemplo: orfato por olfato arma en vez de alma arfil por alfil arquilar por alquilar arfalfal por alfalfar - Taucismo: uso vicioso del sonido /t/ en vez de /d/, como, por ejemplo: verdat por verdad comunidat por comunidad generalitat por generalidad - Yeísmo: pronunciación del sonido /y/ en vez de /ll/: Siya por silla Eyos por ellos Yanta por llanta Cabayo por caballo - Gargueo: sustitución de la h u otra consonante por /g/ o /j/: Jolgorio por holgorio Mojosear por mohosear Güevo por huevo Vigüeta por vihuela Agüero por abuela Gomitivo por vomitivo

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PRÁCTICA 4 1. El enunciado verdadero es: a) El español o castellano tiene 24 sonidos o fonemas que están representados por la misma cantidad de grafías o letras b) El español está formado por cinco sonidos o fonemas vocálicos, diecinueve consonánticos, los cuales en su totalidad están representados por el alfabeto que tiene veintisiete letras c) En nuestro idioma las letras, llamadas también grafías o grafemas, son los signos gráficos no distintivos que componen la secuencia escrita o palabra d) Exclusivamente, en nuestro idioma, todos los fonemas o sonidos del habla tienen una única representación gráfica. e) Particularmente, en el idioma español el número de fonemas es igual al número de grafías o letras del abecedario. 2. En las siguientes expresiones falta una letra: Salimos al ca_po a dar un paseo. Los bo_beros vinieron a apagar el incendio. La bo_billa ilumina la sala. Marca la regla que le corresponde para su correcta escritura: a) Se escribe m antes de n b) Se escribe m al inicio de palabras c) Se escribe m antes de v d) Se escribe m antes de p y b se escribe m e) Se escribe b después de m 3. Para la correcta escritura de las palabras: convencer, enviar, invasión, invento se debe tomar en cuenta una de las siguientes reglas: a) Se escribe n antes de v b) Se escribe n al inicio de palabras como: trans-, c) Nunca debe ir n al final de los verbos reflexivos d) Se escribe b después de m e) Se escribe m antes de n 4. Para la correcta escritura de las palabras: escribir, describir, inscribir se debemos considerar una de las siguientes reglas: a) Cuando una sílaba termina con el sonido “b” b) Se escriben con b todos los verbos conjugados en pasado perfecto c) Se escribe b después de las sílabas ca-, ced) Se escriben con b los verbos terminados en –bir e) Se escribe con b después de las sílabas sa-, si-, so-, su5. Una de las siguientes reglas corresponde a la correcta escritura de: anduve, tuviéramos, estuvo. a) Los adjetivos que tienen las siguientes terminaciones se escriben con v: -ave, -avo, -eva, -evo, -eve, -iva, -ivo b) Generalmente se escriben con v las palabras que comienzan con el sonido vi seguido de vocal c) Se escriben con v los verbos andar, tener, estar, en los siguientes tiempos: Pretérito Indefinido del Modo Indicativo, Imperfecto del Modo Subjuntivo. d) Se escriben con v las palabras que comienzan con las consonantes n y ll e) Las palabras que empiezan con las voces villa-, vice- se escriben con v CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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6. Para la correcta escritura de: recogemos de recoger, dirigimos de dirigir, es necesario tomar en cuenta una de las siguientes normas: a) Las palabras terminadas en gésimo se escriben con g b) Los compuestos y derivados de las palabras que se escriben con g, también se escriben con esta letra c) Se escribe con g la sílaba geo- inicial d) Las palabras terminadas en (-gía), se escriben con g e) Los sonidos ge, gi, de los verbos cuyos infinitivos terminan en -ger, -gir, se escriben con g 7. La alternativa que tiene ejemplos de la siguiente regla: “Las palabras que tienen las siguientes combinaciones se escriben con j. aje, eje, ije, oje, uje”, es: a) Elegir, coger, proteger, estratagema b) Proteger, protejo, dirigir, dirijo c) Dirija, dirijas, dirija, dirijamos, dirijan d) Ajeno, ejecutivo, dije, ojeras, cuje e) Protegido, protervo, dirigido, dirijido. 8. La siguiente regla del uso de grafías o letras: “Se escriben con z los sustantivos derivados que terminan en las voces: -anza, -eza, -ez.” Se ejemplifica en una de las siguientes series: a) Alférez, cáliz, lápiz b) Pedazo, terraza c) Esperanza, grandeza, honradez d) Cabezón, panzón, portón e) Grandazo, pedazo, trancazo 9. La alternativa que contenga ejemplos de la siguiente regla: Se escribe s al final de las palabras llanas, es: a) Pesar, pesado, sensible b) Perezoso, difuso, sagaz c) Altísimo, grandísima, bellísimo d) Francés, danés, irlandés e) Telas, andamos, penas 10. “Se escribe con c la terminación -ción, siempre que el sustantivo concreto al que se relacione la palabra termine en -tor y no en –sor”. Los ejemplos para esta regla son: a) Destructor, destrucción, director, dirección. b) Luz, luces, cruz, cruces, lápiz, lápices c) Manecilla, pececillo, lucecilla d) Cebolla, encebollado, ceja e) Cocer, conceder, decir, recibir 11. Cuando entre dos sílabas de una palabra, la primera termina con consonante y la segunda empieza en vocal, se escribe con h. Ejemplos: a) Hidroeléctrica, hiperactivo, hipódromo b) Anhelo, exhibición, exhortar, inherente, inhalación c) Hielo, hueco d) Ahuecar, rehuir e) Humanidad, húmero, humillante CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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12. Se escriben con x las palabras que comienzan con hexa cuando equivale a seis. Un ejemplo de esta regla está en: a) Exesposo b) Examen c) Hexágono d) Hexonerar e) Hexagerado 13. La oración en que se ha cometido barbarismos es: a) La zona VIP estuvo desierta ante los altos costos b) En el hall principal de ese hotel fue entrevistado el poeta c) La teoría del big-bang es mayoritariamente aceptada d) Miss, quiero preguntarle algo, por favor e) “Allez, les bleu” es el grito de apoyo a la selección de Francia 14. La oración incorrecta es: a) Hubo mucha agitación tras sus declaraciones b) Hubieran sido más cautos, muchachos; pudieron salir heridos c) Ese año, hubo una terrible epidemia de cólera d) Hubieron muchos invitados que llegaron a destiempo e) ¡Hay tantos jóvenes que quieren estudiar y tú desaprovechas! 15. La oración en la que se ha cometido errores es: a) Dame medio limón para mi té y una pizca de miel de abeja b) De puro miedosa no fue de viaje a la selva c) Anda media alterada desde que la dieron la responsabilidad d) Parece que no tiene inconvenientes e) Entrégasela pronto que la necesita 16. El error que cometen los conductores al colocar en la parte posterior de sus vehículos la expresión “ya fuistes” es: a) Solecismo b) Redundancia c) Barbarismo d) Cacofonía e) Muletilla 17. La palabra con error es: a) Caracteres b) Síndrome c) Pídele d) Omnibus e) Balonmano 18. La oración que se encuentra correctamente escrita, es: a) Aquel niño es muy coibido b) La clase de hoy trató del virreynato c) La cigüeña blanca es una especie de ave Ciconiiforme de gran tamaño d) La dama de dorado se viste de manera exhuberante CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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e) Los productos de primera necesidad son muy exhorbitantes 19. La oración en la que se ha cometido errores es: a) El avaro es obra de Moliere b) Carlos Augusto es erudito en su materia c) El kepí del soldado se rompió d) La boina de esa dama es muy elegante e) El mendigo durmió en la calle

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CICLO ORDINARIO 2020 – I

COMPETENCIA COMUNICATIVA BALOTA 5. USO DE LAS MAYÚSCULAS Las letras de nuestro abecedario pueden adoptar dos configuraciones distintas: minúscula y mayúscula. Las mayúsculas se diferencian de las minúsculas por su tamaño y, a veces, también por su trazo. Las palabras pueden escribirse en minúsculas, con mayúscula inicial o enteramente en mayúsculas. En la escritura ordinaria se utiliza como letra base la minúscula. Cuando la norma prescribe el uso de la mayúscula, se aplica solamente a la letra inicial de la palabra o palabras afectadas: Acaba de regresar de Santiago don Juan Martínez. La escritura enteramente en mayúsculas es propia de las siglas, los números romanos y textos cortos de carácter informativo. El uso combinado de minúsculas y mayúsculas en el interior de una misma palabra debe evitarse en la escritura normal, aunque sea un procedimiento cada vez más extendido en la formación de siglas y acrónimos. 5.1. MAYÚSCULA INICIAL DENOMINATIVAS

EN

NOMBRES

PROPIOS

Y

EXPRESIONES

GENERALIDADES ➢ Cuando los dígrafos (ch, ll, o gu y qu) y que se emplea en mayúscula al inicio de una palabra escrita con minúsculas, solo adopta forma de mayúscula el primero de sus componentes: Chávez, Guinea, Llosa, China, Llobregat, Guerrero, Guillermo, Quevedo, Quilmes. ➢ La forma mayúscula de las letras “i” y “j” carece del punto que llevan en su grafía minúscula: Inés, Javier, Juvenal, JIRAFAS. ➢ El empleo de mayúsculas no exime de ponerles tilde cuando así lo exigen las reglas: África, MÉXICO. FUNCIONES DE LAS MAYÚSCULAS Desde el punto de vista estrictamente lingüístico, la mayúscula cumple en español las siguientes funciones: A) La mayúscula inicial • Marca el inicio de enunciados, párrafos y otras unidades del texto. • Marca y delimita los nombres propios (Pilar Torres, Buenos Aires), así como las expresiones pluriverbales que se comportan como nombres propios. La mayúscula inicial puede aparecer en todas las palabras significativas (Ministerio de Desarrollo e Inclusión Social – MIDIS) o solo en la primera palabra, en combinación con la cursiva o las comillas: El mejor poema del Romancero gitano es el Romance de la pena negra. B) La escritura enteramente en mayúsculas • Mejora la legibilidad de textos cortos informativos (NO APARCAR) • Sirve para formar e identificar las siglas (RAE, MINEDU) • Sirve para formar e identificar los números romanos (XXI) LA MAYÚSCULA CONDICIONADA POR LA PUNTUACIÓN CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Se escriben con mayúscula inicial exigida por la puntuación las palabras siguientes: a) La primera palabra de un escrito y la que va después de un punto: Salieron a dar un breve paseo. La mañana era espléndida. b) La palabra que sigue a los puntos suspensivos (…) cuando estos cierran un enunciado: Vamos a comprar un pastel… Pronto llegarán los invitados. c) Cuando no cierra un enunciado porque queda en suspenso, pero se cambia de tema: ¡Si Raúl no viene en 15 minutos!... ¿Qué le pasaría? d) Si los puntos suspensivos no cierran un enunciado, la primera palabra después de estos se escribe con minúscula: No sé… qué hacer. Tengo que… decidirme. e) Después de dos puntos (:) cuando estos anuncian el comienzo de una unidad con independencia de sentido, como sucede en los casos siguientes: • Tras la fórmula de encabezamiento o saludo de una carta, se trate de un envío postal, un fax o un correo electrónico Muy señor mío: Le agradezco… • Tras los dos puntos que siguen a verbos como certificar, exponer, solicitar, etc. Cuando escritos enteramente en mayúsculas, presentan el objetivo fundamental de determinados documentos jurídicos o administrativos: CERTIFICA: Que D. José García ha trabajado para esta empresa durante tres años a plena satisfacción de sus superiores. • Tras dos puntos que anuncian la reproducción de una cita o palabras textuales: Juan dijo: “Me tengo que ir ahora mismo”. CASOS EN QUE DEBE UTILIZARSE LA MAYÚSCULA INICIAL Se escribe con mayúscula inicial: ➢ Nombres propios de persona, animal o cosa singularizada: José, Chita, Olifante. También los hipocorísticos (variantes familiares del nombre de pila): Tina, Chana, Lucho, Pili, Luismi. La mayúscula se mantiene en los usos en plural: Las Anas suelen ser muy traviesas; No conozco muchos Pérez. Cuando el apellido lleva preposición, o p o r preposición y artículo, estos van con minúscula, a menos que no se escriba el nombre de pila: La preposición debe escribirse con mayúscula: Señor Carlos de la Garza; Juan de Ávalos; Señor De la Garza; Sr. De Ávalos. Cuando no lleva preposición, solo artículo, se escribe siempre con mayúscula: Señor La Plata; Carlos La Orden, Antonio La Merced, señor La Merced. ➢ Nombres de dinastías derivadas de apellidos: los Borbones, los Capuleto, los Borgia, salvo que se utilicen como adjetivo: … los reyes borbones. ➢ Los sobrenombres, apodos y seudónimos: Manuel Benítez, el Cordobés, el Greco, el Libertador, el Benemérito de las Américas. ➢ Nombres abstractos personificados utilizados alegóricamente: la Muerte, la Esperanza, el Mal. ➢ Nombres y accidentes geográficos: América, España, el Orinoco, el Ebro, los Andes, océano Pacífico, mar Mediterráneo, volcán Misti. ➢ Espacios urbanos: avenida Perú, plaza de Armas, el puente de los Suspiros. ➢ Cuando el artículo forma parte del nombre, también se escribe con mayúscula: La Mancha, La Habana. ➢ Sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre de determinadas zonas geográficas, que generalmente abarcan distintos países, pero que se conciben como CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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áreas geopolíticas con características comunes: Occidente, Oriente Medio, Lejano Oriente, Cono Sur, Hispanoamérica. Sin embargo, en otros casos se escribe con minúscula. Ejemplos: Mi casa está al oriente de la ciudad. Nombres propios de los cuerpos celestes y otros entes astronómicos: Marte, la Osa Mayor, la Vía Láctea, el cometa Halley, la Tierra gira en torno al Sol; la Tierra oscureció totalmente a la Luna; La Osa Mayor está formada por siete estrellas. Nombres de signos del Zodiaco también los nombres alternativos que aluden a la representación iconográfica de cada signo: Tauro (Toro). Se escriben con minúscula, en cambio, cuando dejan de ser nombres propios por designar, genéricamente, a las personas nacidas bajo cada signo: Panchito es sagitario; Los géminis son muy volubles. Los sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre de publicaciones periódicas o colecciones: La Vanguardia, El Norte, Revista de Medicina Interna. Los nombres propios de regiones naturales y comarcas, pero no el artículo que los acompaña: la Patagonia, la Amazonía (o Amazonía), la Alcarria, los Monegros. Los nombres propios de continentes, países, ciudades, ya sean reales o imaginarios: América, Suecia, Córdoba, La Habana, el País de nunca jamás; También las denominaciones antonomásticas usadas como alternativas estilísticas: el Nuevo Mundo [= América], la Santa Sede [= Vaticano], la Ciudad Eterna [Roma]. Los sustantivos y adjetivos que componen el nombre de entidades, organismos, departamentos o divisiones administrativas, monumentos, locales o establecimientos públicos, partidos políticos, etcétera: Ministerio de Hacienda, la Facultad de Medicina, la Torre de Pisa, el Partido del Trabajo, Universidad de Lima. Los nombres propios de barrios, urbanizaciones, calles, espacios urbanos y vías de comunicación, pero no el nombre común genérico que los precede: el barrio de las Letras, la calle (de) Alcalá, la plaza Mayor, el paseo (de) Martí, la carretera Panamericana. Los sustantivos y adjetivos que forman parte del título de los textos sagrados y de los libros que las componen, así como sus denominaciones antonomásticas, pero no el artículo que los antecede: la Biblia, el Corán, el Libro de los Muertos, el Nuevo Testamento, el Génesis, las Sagradas Escrituras. Además de la primera palabra, los sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre de publicaciones periódicas o de colecciones: La Vanguardia, El Comercio, Crecer Feliz, Biblioteca Romántica Hispánica. Las palabras significativas que forman parte de la denominación de eventos culturales o deportivos (congresos, exposiciones, ferias, torneos deportivos, etc.): Jornadas de Arte Flamenco, IV Congreso de Cirugía Vascular, Copa Libertadores de América. Los sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre de festividades civiles, militares y religiosas, de los periodos litúrgicos: Navidad, Año Nuevo, Día Internacional de la Mujer.

La primera palabra del título de cualquier obra de creación (libros, películas, cuadros, esculturas, piezas musicales, programas de radio o televisión, etcétera; el resto de las palabras que lo componen, salvo que se trate de nombres propios, deben escribirse con minúscula: Las mil y una noches, Sueño de una noche de verano, El manantial, El coleccionista de huesos. Salvo que se trate de abreviar títulos de determinados textos literarios: el Quijote, la Celestina. CASOS PARTICULARES DEL USO DE LAS MAYÚSCULA • Las advocaciones de la Virgen: …la Virgen de Guadalupe, la Virgen del Rosario. • Nombres de órdenes religiosas: …el Carmelo, el Temple, la Compañía de Jesús.

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• También va con mayúscula la palabra “Orden”: Orden de la Anunciación, Orden de los Franciscanos. • Nombres de marcas comerciales, ya que son nombres propios: Coca-Cola, Seat. Me gusta el Vodka; Luis compró un Mercedes Benz. • Cuando estos nombres no están haciendo alusión a un objeto de la marca en cuestión, sino a cualquier otro con características similares. En este caso se escriben con minúscula: Necesito un “jeep” (cualquier vehículo ‘todo terreno’); Juan no puede dormir si antes no toma un “martini seco”. • Palabras que forman parte de la denominación oficial de premios, distinciones, certámenes y grandes acontecimientos culturales o deportivos: …el Premio Cervantes; los Juegos Olímpicos; la Feria del Libro. • En lo que se refiere a los premios, cuando nos referimos al objeto material que los representa o a la persona que los ha recibido, se emplea la minúscula: A Julia Roberts le robaron su “óscar”. Esa aristócrata ya tiene dos goyas; Ayer entrevistaron al nobel de literatura de este año. • Fuera de los anteriores contextos, deben escribirse con minúscula: La medicina ha experimentado grandes avances en los últimos años. La psicología de los niños es complicada. La ortodoncia es muy rentable. • También se escriben con mayúscula los sustantivos y adjetivos que dan nombre a cursos, congresos, seminarios, etcétera: Primer Curso de Crítica Literaria Congreso de la Lengua Española. 5.2. CASOS EN QUE NO DEBE USARSE MAYÚSCULA INICIAL No pertenecen a la categoría de nombres propios y, por tanto, no deben escribirse con mayúscula inicial, aunque así aparezcan a veces en los textos, las palabras que se relacionan a continuación: ❖ Los nombres de los días de la semana. ❖ Los nombres de las estaciones del año. ❖ Los nombres de los meses del año. ❖ Las notas musicales. ❖ Los nombres de vientos, salvo que estén personificados en poemas o relatos mitológicos: austro, bóreas, tramontana. ❖ Se escribe con minúscula dios, precedido de determinante cuando se usa referido al ser supremo de modo genérico o a divinidades de religiones politeísta: Jehová es el nombre hebreo del dios de judíos y cristianos; Júpiter es un dios colérico. Lo mismo ocurre en los usos metafóricos: Se cree un dios. ❖ Los nombres de religiones: budismo, catolicismo. ❖ Los gentilicios: mexicano, salvadoreño, ruso, español. ❖ Los tratamientos: usted, señor, don, fray, san, santo, sor, reverendo, salvo que se escriban en abreviatura, en cuyo caso se escriben con mayúscula: Ud., Sr., D., Fr., Sto., Rvdo. ❖ Los títulos, cargos y nombres de dignidad como rey, papa, duque, presidente, ministro, alcalde, etc. 5.3. MAYÚSCULA EN SIGLAS Y ACRÓNIMOS Las mayúsculas se emplean para formar siglas. La escritura de las siglas enteramente en mayúsculas, con independencia de cómo se escriba la expresión a la que se reemplazan,

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permite distinguirlas con claridad del léxico común: AVE (sigla de alta velocidad española) frente a ave (animal con pico y plumas). Aquellas siglas que tienen que leerse, en todo o en parte, deletreando sus componentes deben mantener siempre su escritura en mayúsculas: FBI [éfe –bé – í], DDT [dé – dé- té], PSOE [pe- sóe]. En cambio, los acrónimos, esto es, aquellas siglas cuya grafía permite leerlas secuencialmente (OTAN, UNESCO, UCI, IVA, etc.), pasan a convertirse en muchas ocasiones en palabras a todos los efectos, ya sea como nombres propios, caso en el que mantienen la mayúscula en la inicial (Mercosur, Unesco, Unicef), ya sea como nombres comunes, caso en el que pasan a escribirse enteramente en minúsculas (uci, mir, ovni, radar, láser). Las expresiones desarrolladas de siglas y acrónimos llevarán las mayúsculas y minúsculas que les correspondan por su naturaleza: Banco Central Europeo (BCE), con mayúscula iniciales por ser el nombre de una institución, frente a documento nacional de identidad (DNI) o tecnologías de la información y la comunicación (TIC), con minúsculas por tratarse de expresiones comunes. El uso combinado de mayúsculas y minúsculas es plenamente admisible cuando se añaden especificaciones a siglas ya constituidas: ARNm (de ácido ribonucleico mensajero), PCEr (de Partido Comunista de España reconstituido). Asimismo, en la actualidad es cada vez más frecuente escribir con mayúscula únicamente la inicial de los componentes de la sigla y mantener en minúscula las letras no iniciales o los conectores gramaticales (preposiciones o conjunciones): DGTel (de Dirección General de Telecomunicación), JpD (de Jueces para la Democracia), UNMdP (Universidad Nacional de Mar de Plata), UdelaR (Universidad de la República). ➢ Cuando un dígrafo forma parte de una sigla, solo se escribe en mayúscula la primera de sus letras: PCCh (Partido Comunista de China). Esto permite identificar el dígrafo como una unidad, y no como letras iniciales de dos palabras distintas: CDCH (Centro de Desarrollo Científico y humanístico) ➢ Solo se exceptúan las siglas escritas íntegramente en mayúsculas, que nunca llevan tilde: CIA (y no CÍA, por Central Intelligence Agency). En cambio, los acrónimos que se escriben enteramente en minúsculas (por ser ya nombres comunes) o solo con mayúscula inicial) por ser nombres propios) llevarán tilde si así les corresponde según las reglas de acentuación: módem, euríbor, Enagás, Codicén.

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PRÁCTICA 5 1. La oración que presenta adecuadamente el uso de las mayúsculas, es: a) El Corán y la Biblia son libros sagrados b) La Primavera es la mejor estación del año c) Pedro páramo es una Obra de Juan Rulfo d) Juana estuvo en el museo de Bellas artes e) Todo está en el capítulo x de la obra 2. ¿Cuál de las alternativas presenta uso correcto de las letras mayúsculas? a) Estudió en el Colegio Nacional “La Virgen De la Concepción” b) Fernando Emilio vive hace veintiséis años en CHiclayo c) Cervantes era conocido como El Manco De Lepanto d) Jorge Mario Pedro Vargas Llosa vive en Madrid, España e) Es enrique quien más sabe sobre los caballos de paso 3. Elija la alternativa que denota el correcto empleo de mayúsculas: a) La OMS y la OIT son organismos que trabajan a nivel mundial b) La Acb (Asociación de Clubes de Baloncesto) ha organizado una nueva junta c) La Fifa es la Organización más importante de Fútbol d) A mis padres y hermanos les encanta ver los videos de H.T.V e) El nombre propio ONG, se desarrolla como Organización no Gubernamental 4. El enunciado que presenta uso adecuado de las letras mayúsculas, es: a) La táctica del Entrenador de la San Martín siempre desconcertó al otro equipo b) Alfredo Bryce al publicar su novela Un mundo para Julius causó sorpresa c) Cuando el Papa Francisco I bendijo al Mundo, deseó a todos la paz de Cristo d) El Sol es una estrella enana amarilla ubicada en el Centro del Sistema Solar e) Llegaron al lugar donde el Policía Mendieta había dejado sus pertenencias 5. Mi amigo Ramiro visitó La Habana y El Río Amazonas en Agosto, pero se quedó con ganas de conocer Los Andes y la tierra de los Incas; En fin, ya será para el otro Verano. En el texto anterior, ¿cuántas palabras no debieron empezar con mayúsculas? a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 5 6. La alternativa que presenta el uso adecuado de las mayúsculas, es: a) El avión aterrizará, durante la noche, en la isla de pascua b) Sandra afirmó: “Me encanta viajar por el Océano Atlántico” c) La familia aru está constituida por el Aimara y el Cauqui d) Su cumpleaños es en Agosto; Manuel Alejandro es Leo e) No deben repetirse los hechos de la Segunda Guerra Mundial 7. La expresión con uso correcto de mayúscula es: a) El Presidente viajó a Quillabamba b) Escribe en el Diario El Comercio c) Jauja es la Tierra de mis padres CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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d) Me besó en la noche de Luna Nueva e) Aquí hay Libertad de expresión 8. ¿En qué opción hay uso correcto de las mayúsculas? a) Vamos al festival de saylla b) Viva el Rey Felipe iii c) Cuándo privatizaron sedapal d) María victoria es Escorpio e) Ella ha estudiado Filosofía 9. Señale la alternativa de correcta escritura de las mayúsculas: a) La Psicología de los niños es complicada b) En Octubre, viajaremos todos a Arequipa c) La Osa Mayor está formada por siete estrellas d) Acabo de graduarme de Bachiller en lingüística e) La Primavera empieza el 23 de septiembre 10. Se escriben con mayúscula cada uno los términos que la conforman: a) Siglas b) Acrónimos c) Nombres de meses d) Nombres propios e) Fonemas 11. La expresión con uso correcto de mayúsculas, es: a) Cusco, 09 de Mayo de 2020 b) Me gustan las matemáticas c) Elías nació al Norte de lima d) Él compró un Mercedes Benz e) Visitó la Iglesia del pueblo 12. La oración que presenta escritura correcta de mayúsculas, es: a) El Jefe de Estado Chileno vendrá al Perú b) La noticia fue publicada en la República c) Cristo, el Hijo de Dios, murió en la cruz d) San Martín, El Libertador, nació en Argentina e) Marie Curie ganó el premio nobel de Física (1903) 13. ¿Después de cuál de los siguientes signos de puntuación nunca se pone mayúscula? a) Punto (.) b) Dos puntos (:) c) Puntos y coma (;) d) Puntos suspensivos (…) e) Signo de interrogación (?) 14. ¿Cuál de las alternativas presenta uso correcto de mayúsculas? a) Ayer, Nosotros hicimos toda la tarea de lenguaje b) Mi tío trabaja en el ministerio de Educación c) El día Miércoles se iniciará un nuevo ciclo d) La capital de la Libertad es la ciudad de Trujillo CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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e) Mi hermana Marianela se fue a tomar el Sol 15. La ONU es: a) Acrónimo b) Sigla y abreviatura c) Prefijo y sufijo d) Sigla y acrónimo e) Prefijo y morfema 16. ¿Cuál es correcta con relación a mayúsculas? a) Los nombres de las estaciones del año b) Nombres de marcas comerciales c) Los meses del año y los días de la semana d) Después de un punto y coma e) Luego de los dos puntos, necesariamente 17. ¿En qué opción hay uso correcto de mayúsculas? a) Mis padres nos recomendaron leer la Biblia b) Con su mejor hijo, visitó la Ciudad de Piura c) El joven no supo qué Responder al Presidente d) En los siglos XViii, XiX y XX la ciencia se aumentó e) Jesús es Rey de Reyes y Señor de señores 18. Marca la opción en que estén bien usadas las mayúsculas: a) Mi pueblo quedaba a orillas del Océano Atlántico b) El techo de la Iglesia se agrietó en el último sismo c) El mar Mediterráneo y el océano Pacífico son muy comerciales d) Muchos jóvenes lograron ingresar en estudios Generales letras e) Mis hermanos vendieron la Tierra de mis padres muy barato 19. Los términos que se han creado con prefijos y sufijos a través del tiempo, se denominan: a) Abreviaturas b) Siglas c) Fonemas d) Acrónimos e) Temas 20. La alternativa que denota el correcto empleo de las mayúsculas, es: a) La Uci es un área indispensable en un establecimiento de salud b) Muchos niños vieron un Ovni, pero nadie les cree c) El Sida es un Síndrome de Inmunodeficiencia Adquirida d) La Unesco promueve la educación y el desarrollo sostenible e) La Unsaac es una institución al servicio de la educación

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BALOTA 6. LOS SIGNOS DE PUNTUACION 6.1. LA COMA (,) Usos de la coma a) Coma incidental - La última película de Almodóvar, como todas, ha tenido muy buena crítica. - La iniciativa, como se ha explicado, es muy importante. - La mansión, abandonada, se convirtió rápidamente en refugio de vagabundos. - Su hermano, al parecer, es piloto. - Cuando llegó Adrián, el marido de mi hermana, todo se aclaró. b) Coma vocativa - Eduardo, no quiero que salgas tan tarde. - Recuerda, Susana, coger el paraguas antes de salir. - Usted, espéreme en la oficina del director. c) Coma hiperbática (coma de complementos del verbo) - Dinero, ya no le queda. - De acuerdo con la decisión del grupo, usted no participará del campeonato. - Un gran maestro, era José Carlos Mariátegui. - En el Perú, hace ya mucho tiempo que en la prensa especializada se trata este asunto. - En mayo de 1990, Arequipa se convirtió en tierra de nadie. d) Coma en miembros yuxtapuestos - Caía la noche, llegaba el silencio. - Salieron a la calle apresuradamente, cerraron la puerta con doble seguro. - Corrían de un lado a otro, tropezaban con mucha gente, atropellaban a los caídos. e) Coma enumerativa - Todas las mañanas tomo un té, tostadas, un yogur y una pieza de fruta. - Es un muchacho delgado, introvertido, estudioso, responsable y muy educado. - Las manzanas, las peras, las naranjas, las fresas, los plátanos y los mangos son mis frutas favoritas. f) Coma conjuntiva coordinada y subordinada - Iré a la fiesta, pero no sé la hora. - Quisieron que hable todo lo que sabía. No lo hice, así que me forzaron. - Era famoso por su expresión, así como por sus ideales. - Tengo que estudiar biología, así como competencia comunicativa. - Ella siempre llega tarde a clases, es decir, no escucha toda la explicación de la maestra. - No ha dicho la verdad, porque me ha guiñado el ojo. - Salió con ropa impermeable, porque llovía bastante. - Algo le pasa, pues tiene mala cara. - Terminé la tarea, entonces me voy a jugar. - Llegaron a tal grado de confianza, que no necesitaban hablarse. - Son bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente. g) Coma con conectores en un enunciado - Volvió todo cansado, es decir, trabajó demasiado. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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No estaba preparada para ese ritmo de trabajo, así pues, tuvo que renunciar. Mi nombre es Orlando. Nadie, sin embargo, me llama así. Cristina adora la calle; su marido, en cambio, no puede soportarlo. Estuvo gravemente enferma, pero, con todo y con eso, logró ingresar a la universidad. Sí, en el fondo, le da igual no haber ingresado a la universidad, ¿por qué muestra tanta apatía?

h) Coma elíptica - Su hija mayor es moreno; el pequeño, rubio. - Javier estudia Economía; Juvenal, Biología. i) Coma en datación de cartas y documentos (entre el lugar y la fecha) - Quillabamba, 12 de septiembre de 2020 - En Perú, a 30 de octubre de 2019 6.2. PUNTO Y COMA a) Punto y coma en oraciones yuxtapuestas - El padre sufrió un accidente; los hijos lo llevaron al hospital. - Daniel estudia Ciencias de la Comunicación; su hermana, Odontología. - Lo hizo por el bien de su familia; no se le puede reprochar nada. b) Punto y coma enumerativo - Cada grupo irá por un lado diferente: el primero, por la izquierda; el segundo, por la derecha; el tercero, de frente; el cuarto se quedará aquí. c) Punto y coma conjuntivo coordinado y subordinado - Recorrió diversos países, conoció a mucha gente; pero jamás habló de ello. - Permanentemente dialogamos de cosas muy interesantes, a veces, aburridas; pero siempre hablábamos. - No vivió mucho tiempo en aquella ciudad tan lejana; pero mientras estuvo allí, disfrutó de todo lo que le ofrecía. - Los hijos, nietos y sobrinos no lo hacen por capricho; sino que es una necesidad para ellos. d) Punto y coma ante conectores - Trajeron los cuadernos, cartulinas, lápices y borradores; sin embargo, falta que nos entreguen los plumones, los lapiceros y las reglas. - Mercedes con mucho esfuerzo, logró reunir ciento cincuenta dólares; sin embargo, esta cantidad es insuficiente para comprar la batidora. - Se había trasladado a una ciudad en la que no conocía a nadie; así pues, tuvo que esforzarse por establecer nuevas relaciones. - Todas las mercancías que llegaban tenían que pasar un estricto control; por tanto, se distribuían con mucho retraso. 6.3. PUNTO Uso del punto en: a) Abreviaturas Sra., pág., etc., EE.UU., ej. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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b) Fechas y horas 23.09.20 (23 de septiembre de 2020) 17.30 (Cinco y media de la tarde) NUNCA SE ESCRIBE PUNTO AL FINAL DE: a) Títulos y subtítulos de libros, artículos, capítulos, obras de arte, etc. - Nueva gramática de la lengua española - El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha - Cien años de soledad b) Nombres de autor en cubiertas, portadas, prólogos, firmas de documentos, etc. - “¿Había despertado o seguía soñando? Aquel calorcito en su empeine derecho estaba siempre allí, una sensación insólita que le erizaba todo el cuerpo y le revelaba que no estaba sola en esa cama”. Gabriel García Márquez c) Dedicatorias Para William Con amor y gratitud, a los autores de mis días A mis padres, a mi esposo, a mis hijos d) Pies de imagen, cabecera de cuadros y tablas

Perro y gato e) Eslóganes Madre de Dios, paraíso natural Turismo en Cusco, vívelo en directo f) Enumeraciones en forma de lista La capital del Perú es: a. Lima b. Cusco c. Trujillo d. Arequipa e. Tacna g) Direcciones electrónicas www.minedu.gob.pe 6.4. DOS PUNTOS. a) Dos puntos en enumeraciones - Ayer compré dos libros: uno de José María Arguedas y otro de Mario Vargas Llosa. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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- Las regiones del Imperio Incaico fueron cuatro: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo. b) Dos puntos en discurso directo - Cerró los ojos y pronunció: "La verdad, no debí mentir” - Una noche, cuando me disponía a acostarme, Juana me preguntó: - ¿Por qué te casaste conmigo, Danilo? c) Dos puntos en oraciones yuxtapuestas • Causa-efecto o viceversa - Se ha quedado sin trabajo: no podrá ir de vacaciones este verano. - Se encontraba muy agotado: había jugado demasiado. • Conclusión, consecuencia o resumen de la oración anterior - El arbitraje fue injusto y se cometieron demasiados errores: al final se perdió el partido. - Se sacó la suerte, montó una buena empresa, fue presidente de la Sociedad Internacional: era todo un hombre afortunado. • Verificación o explicación de la oración anterior, que suele tener un sentido más general - El chiriuchu es un plato típico del Cusco: contiene cuy, gallina, queso, torreja, tostado, entre otros. • Oposición - Pepe no es una persona: es mi gato. d) Dos puntos en conectores discursivos - ¿Recuerdas lo que te conté de Nancy? Pues bien: ha vuelto a las andadas. - Nunca me ha molestado colaborar. Dicho de otro modo: me gusta ayudar a los demás. - La voz carbunclo se emplea con dos sentidos, a saber: ‘piedra preciosa’ y ‘enfermedad del ganado’. - Ha dicho que se iba. Más aún: ha amenazado con no volver jamás. - No se preocupe. Ahora bien: si sigue doliéndole, vaya al médico. e) Dos puntos en escritos específicos: cartas y documentos administrativos (en vocativo) - Estimado amigo: - Querido hermano: - Muy señor mío: f) Dos puntos en textos jurídicos y administrativos, como decretos, sentencias, bandos, edictos, certificados, etc.; va escrito enteramente en mayúsculas. CERTIFICA: Que la señorita María del Carmen Pérez Canal ha seguido estudios de… CONSIDERANDO: Que el artículo 27 de la Constitución Política del Perú... 6.5. LOS PUNTOS SUSPENSIVOS. a) Para indicar la suspensión u omisión en el discurso El caso es que si lloviese… Mejor no pensar en esa posibilidad. Estoy pensando que… aceptaré; en esta ocasión debo arriesgarme. b) Para indicar la suspensión del discurso con fines expresivos (duda o temor) El niño dice que él no ha roto el jarrón… CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Te llaman del hospital… espero que... Quería preguntarte…, bueno…, que si quieres ir conmigo a la fiesta. c) Para señalar la omisión de una parte del texto (interrupción voluntaria porque se sobrentiende lo omitido) Más sabe el diablo por viejo que... A quien madruga…, así que dense prisa. Carlos comenzó a recitar: “¡Cómo has cambiado pelona…”. d) Para insinuar, evitando su reproducción, de expresiones o palabras malsonantes o inconvenientes ¡Qué hijo de … ! Vete al … no aguanto más. e) Se emplea al final de enumeraciones en lugar de etcétera Puedes hacer lo que quieras: leer, ver televisión, oír música… f) Entre corchetes o entre paréntesis, para indicar la supresión de una palabra o un fragmento en medio de una cita textual “Hay golpes en la vida (…) golpes como el odio de Dios…” César Vallejo 6.6. PARÉNTESIS. a) Paréntesis para aislar incisos - Las asambleas (todas) se celebran en el salón de actos. - Alguien (y no quiero señalar) ha hecho trampa. b) Paréntesis para aislar otros elementos intercalados - El año de su nacimiento (1616) es el mismo en que murió Cervantes. - Toda su familia nació en Cusipata (Cusco). c) Paréntesis en obras teatrales (para encerrar acotaciones del personaje) JORGE. (Golpeando con el bastón en el suelo). ¡No te hagas ilusiones de que vas a poder conmigo! PEDRO. No, no; si estás inmutado. (Ya preso en la red está) ¿Se te pasa?» LAURO. (Con voz enojada). ¿¡Quién es, a estas horas!? ROSA. Soy yo; abre. (Como imaginaba, le sorprende mi visita) d) En la reproducción de citas textuales - “El día en que lo iban a matar, Santiago Nasar se levantó a las 5.30 de la mañana (…) Había soñado que atravesaba un bosque de higuerones…” 6.7. COMILLAS. a) Comillas en citas textuales - “Y el más trágico problema de la filosofía es el de conciliar las necesidades intelectuales con las necesidades afectivas y con las volitivas”. Miguel de Unamuno - “Sobreviven los que se adaptan mejor al cambio”. Charles Darwin b) Comillas en reproducción de pensamientos

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- “Si es deshonroso no defenderse con el cuerpo, más lo es no valerse de la razón y de la palabra, específicas del hombre”. Aristóteles - “Cuando estés en Roma compórtate como los romanos”. San Agustín c) Comillas en el marcado del carácter especial de una palabra o expresión - Siempre dice que las «tortas» de esa pastelería están riquísimas. - Parece que últimamente le va muy bien en sus «negocios». d) Comillas en usos metalingüísticos - La palabra «cándida» lleva tilde por ser esdrújula. - En la oración «Me gusta tu vestido» el sujeto es «tu vestido». e) Comillas en expresiones denominativas (títulos) - Su artículo «Importancia del lenguaje en la comunicación humana» se publicó en el diario El Comercio el día 28 de octubre. - Escribió el artículo “El léxico de hoy” para el libro El lenguaje en los medios de comunicación, obra en la que participaron varios autores. • Suelen escribirse entre comillas los apodos y alias que se intercalan entre el nombre de pila y el apellido: - Ernesto “El Che” Guevara es recordado por muchos. Lionel “La Pulga” Messi dejo de pertenecer al Barcelona.

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PRÁCTICA 6 1. La expresión Los niños, que estaban en el patio, se echaron a correr. La coma que se utiliza es: a) Yuxtapuesta b) Enumerativa c) Conjuntiva d) Incidental e) Apositiva 2. La expresión que presenta coma incidental es: a) Este fin de semana no tuvimos tiempo para ir al parque, y yo estaba enferma b) Los soldados, cansados, volvieron al campamento con dos horas de retraso c) Nos damos prisa, o perderemos el tren d) Si vas al supermercado, compra leche e) La raíz cuadrada de nueve, tres 3. La expresión donde el signo de puntuación indica omisión de una parte del enunciado, es: a) A Dios rogando y con el mazo… b) Nueva Gramática c) Manuel trabaja en el Banco de d) Ella lee, baila, juega y canta un pasi… e) Comía…castañas y muchos frutos secos 4. En la expresión En el estadio Maracaná, jugaremos nosotros el fin de semana, la coma es: a) Vocativa b) Enumerativa c) Hiperbática d) Incidental e) Elíptica 5. La coma enumerativa no aparece en: a) Brasil fue humillado, maltratado, derrotado… b) Perú, Argentina, Ecuador y Chile son amigos c) Niños, jóvenes, adultos y ancianos rieron d) Siéntese, señorita, en ese mueble antiguo e) Rojo, amarillo y azul son colores primarios 6. En la expresión De su comportamiento, se arrepentirá ese muchacho alocado. Se aprecia a) Coma enumerativa b) Coma yuxtapuesta c) Coma incidental d) Coma vocativa e) Coma hiperbatica 7. Los dos puntos están mal utilizados en: a) Querida tía: b) Ella habla: inglés, francés, alemán y griego c) El Cusco: es mi tierra natal d) Solicito: certificado de estudios CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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e) Certifica: 8. En la expresión: Has de saber, prima querida, que tu padre era un gran amigo mío. Se utiliza: a) Coma hiperbatica b) Coma conjuntiva c) Coma apositiva d) Coma conjuntiva e) Coma subjuntiva 9. El punto y coma en oraciones compuestas yuxtapuestas se presenta en: a) El perrito está enfermo; su dueño lo llevó al veterinario b) Mi patria está de fiesta, julio es su mes c) Soy peruano; tengo dignidad d) La vecina vende ropa; víveres; artefactos y cosméticos e) Lima; 20 de agosto de 2016 10. Los dos puntos en oraciones yuxtapuestas se presentan en: a) Me pagaron la gratificación: podré comprarte un hermoso regalo b) A caballo regalado: no se le miran los dientes c) Miguel de Cervantes Saavedra: el manco de Lepanto escribió El Quijote d) Esa mujer: la que viste de rojo, es mi mejor amiga e) Arequipa: ciudad blanca, festeja su aniversario en agosto 11. El paréntesis en acotación de obras teatrales está en: a) Nació en Áncash (Perú) b) (Hamlet): Ser o no ser c) Romeo: (Tomando a Julieta de la cintura) Te amo, vida mía d) Los periodistas (varones y mujeres) fueron desalojados del local e) Internet (red mundial de ordenadores) está siendo mal usada 12. La expresión que debe escribirse con puntos suspensivos, es: a) Márchate de inmediato b) Oh, vida cruel c) ¡Ay! d) Más sabe el diablo por viejo que e) Pedro, ¿me amas?

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TEMA 7. EL SUSTANTIVO 7. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. El sustantivo es la palabra (categoría gramatical) con el que designamos a los seres y objetos de la realidad, tengan existencia independiente (concreta) o existencia dependiente (abstracta). Ej.: Mujer, perro, silla, división, caridad, amor, fiesta, garúa, velocidad, pecado, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El sustantivo es una palabra variable porque presenta accidentes gramaticales de género (masculino y femenino) y número (singular y plural) Ej.: vecino, vecina, vecinos, vecinas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. El sustantivo es la palabra que desempeña la función privativa del núcleo del sujeto o sintagma nominal. Ej.: Los jóvenes están muy emocionados. 7.1 FUNCIONES DEL SUSTANTIVO • Como núcleo del sujeto La primavera comenzó hace poco. • Como núcleo del modificador indirecto (MI) El hermano de Juana llegó de Caracas. • Como núcleo de la aposición Miguel Grau, el Caballero de los Mares, comandaba el Huáscar. • Como núcleo del vocativo Jóvenes, estudien bastante. • Como núcleo del complemento directo (CD) Martha consiguió una revista literaria. • Como núcleo del complemento indirecto (CI) Daniel compró libros para Julieta. • Como núcleo del complemento circunstancial (CC) Mis amigos viven en Tacna. • Como núcleo del atributo Ese hombre es un buen deportista. • Como núcleo del predicado nominal Aquella mujer, una buena madre. • Como núcleo del complemento de régimen (CR) Ellos aspiran a ese trabajo. Las charlas versaron sobre salud y nutrición. 7.2. CLASIFICACIÓN DEL SUSTANTIVO 7.2.1. POR SU NATURALEZA a. SUSTANTIVOS CONCRETOS CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Son palabras que nombran a seres que pueden ser percibidos por medio de nuestros sentidos. Señalan a seres que tienen existencia independiente. Ejemplos: Vidrio, poste, humo, mujer, aire, libro, águila, casa, flor, nube, fuego, etc. b. SUSTANTIVOS ABSTRACTOS Son palabras que nombran a seres que no pueden ser percibidos por ninguno de nuestros sentidos; los conocemos solamente a través de un proceso mental denominado abstracción. Son palabras que designan a seres que poseen existencia dependiente. Ejemplos: Paz, justicia, lentitud, amor, hermosura, pasión, dulzura, generosidad, grandeza, pequeñez, pecado, ternura, locura, ambición, etc. 7.2.2. POR SU EXTENSIÓN a. SUSTANTIVOS PROPIOS Son palabras que nombran a los seres diferenciándolos de los demás de su misma clase o especie, es decir, nombran seres, los cuales poseen características propias que no pueden ser compartidas por otros. Los sustantivos propios particularizan al ser frente a los de su especie. Ortográficamente, se escriben con mayúscula inicial. Ejemplos: Santa Rosa de Lima, Cusco, Misti, Ciencias, Antonio Pérez Ocampo, Ausangate, Saturno, Nilo, Francia, Zeus, etc. b. SUSTANTIVOS COMUNES Son palabras que nombran a todos los seres de una determinada clase o especie, o sea, a los seres cuyas características son similares. Ortográficamente, los sustantivos comunes se escriben con minúscula inicial. Ejemplos: Santa, ciudad, volcán, colegio, poeta, montaña, planeta, río, país, equipo, etc. Los sustantivos comunes se dividen a su vez en individuales y colectivos: SUSTANTIVOS INDIVIDUALES SUSTANTIVOS COLECTIVOS Son aquellos que nombran o Son aquellos que en número SINGULAR mencionan a un solo ser. Ejemplos: designan conjunto de seres. Ejemplos: Árbol, gato, flor, mula, abeja, mujer, estrella, literato, pez, soldado, lobo, alumno, perro, uva, oveja, sacerdote, piedra, etc.

Arboleda, gatería, ramo, recua, enjambre, mujerío, constelación, cenáculo, cardumen, soldadesca, manada, alumnado, jauría, racimo, rebaño, clero, pedregal, etc.

7.3.GÉNERO DEL SUSTANTIVO a. SUSTANTIVOS HETERÓNIMOS Expresa la diferencia gramatical masculino/femenino y, simultáneamente, la oposición de sexo ‘varón’/‘mujer’ (personas) o ‘macho’/ ‘hembra’ (animales) a través de términos con diferente raíz. Padre / madre Hombre / mujer CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Padrino / madrina caballo / yegua toro / vaca El género se manifiesta en sus combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Nuestro querido padre / Nuestra querida madre. b. SUSTANTIVOS DE TERMINACIÓN VARIABLE Manifiestan Las diferencias de género y de sexo por medio de morfemas en palabras de la misma raíz: Niño / niña gato / gata actor / actriz barón / baronesa zar / zarina En estos nombres, el género se refleja a sí mismo en las combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Algunos niños arequipeños Varias niñas cusqueñas La desinencia más común del femenino es la –a: Muchacho/ muchacha Lobo / loba León / leona Pero existen otros morfemas que marcan el género, generalmente en los nombres de personas: -esa: alcalde/alcaldesa, duque/duquesa, príncipe/princesa -isa: papa/papisa, profeta/profetisa, sacerdote/sacerdotisa -triz: actor/actriz, emperador/emperatriz -ina: héroe/heroína, zar/zarina c. SUSTANTIVOS COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO Pueden ser masculinos o femeninos sin que su forma se vea modificada. Su género (y, por consiguiente, el sexo del referente) puede manifestarse a través de la concordancia con adjetivo y determinantes: el cónyuge / la cónyuge el pianista / la pianista este testigo / esta testigo el artista / la artista el profesional / la profesional estudiante aplicado/estudiante aplicada A. GRUPOS DE NOMBRES COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO A.1. ACABADOS EN –A: Astronauta, autodidacta (autodidacto), burócrata, cabecilla, centinela, demócrata, guardia, homicida, jerarca, políglota (polígloto), psicópata, turista, vigía, artista, automovilista, dentista, pianista, taxista, violinista. Nota. El sustantivo modista generó la forma -anómala morfológicamente, pero ya extendida-modisto (varón).

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A.2. TERMINADOS EN –E: Conserje, cónyuge, detective, extraterrestre, hereje, intérprete, partícipe, pobre, amante, cantante, cliente, delincuente, estudiante, gerente, informante, intendente, manifestante, narcotraficante, penitente, presidente, representante, traficante, viajante. Pueden ser comunes: Cacique, jefe, sastre (masculino) Cacica, jefa, sastra (femenino) A.3. LOS QUE ACABAN EN -I (tónica o átona) O EN –Y: Ceutí, maniquí, marroquí, pelotari, yóquey. Algunos terminados en -o: Contralto, modelo, sabelotodo, soprano, testigo. A.4. QUE TERMINAN EN CONSONANTE –R, -S, -T: Mártir, prócer, lavacoches, papanatas, pelagatos, pívot, auxiliar, titular, bachiller, canciller, mercader. A.5. LOS PROCEDENTES DE ADJETIVOS QUE TERMINAN EN -AL Comensal, corresponsal, heterosexual, homosexual, industrial, profesional, colegial, zagal, concejal, fiscal y otros. B. CAMBIOS DE CLASE: profesiones, títulos y actividades B.1. Muchos sustantivos de persona con masculino en -o que designan cargos, títulos, empleos, profesiones y actividades diversas presentan el femenino en -a: Abogada, arquitecta, bióloga, candidata, catedrática, diputada, física, ginecóloga, ingeniera, licenciada, matemática, ministra, música, odontóloga, torera, bedela, edila, fiscala, jueza o médica. B.2. Se consideran comunes en cuanto al género los sustantivos que designan grados de la escala militar, cualquiera que sea su terminación: el soldado / la soldado un teniente / una teniente el cabo / la cabo el sargento / la sargento el comandante / la comandante NOTA: en muchos países se emplea capitana para designar al femenino de este grupo militar. B.3. Otros tratamientos, admiten los dos géneros, según haga referencia a un hombre o a una mujer: Su Alteza llegó muy preocupado. (varón o mujer) Su Excelencia ha sido muy (generoso/generosa) conmigo Su Majestad era partidario de abandonar Marruecos a su suerte d. LOS SUSTANTIVOS AMBIGUOS EN CUANTO AL GÉNERO Son nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, pero sin experimentar cambios de significado. Esta ambigüedad de género se da sobre todo en singular y, a menudo, es propia de algunas variedades geográficas, así como de ciertos registros y niveles de lengua. el mar / la mar CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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el vodka / la vodka el azúcar / la azúcar el dote / la dote el linde / la linde el estambre /la estambre el interrogante/ la interrogante e. SUSTANTIVOS POLISÉMICOS, HOMÓNIMOS Y DIFERENCIA DE GÉNERO Varios términos homos o polisémicos se diferencian en su significado y también en su género: el capital - la capital el clave - la clave el cólera - la cólera el frente - la frente el coma - la coma el corte - la corte el cura - la cura el pendiente - la pendiente el cometa - la cometa el editorial - la editorial el final - la final el mañana - la mañana el orden - la orden el parte - la parte el margen - la margen f. SUSTANTIVOS EPICENOS a. Los sustantivos epicenos son nombres de animales (en su mayoría): Búho, camaleón, cebra, culebra, hiena, hormiga, jirafa, liebre, mosca, perdiz, rata, sapo, tiburón, víbora, rinoceronte, lechuza, etc. Ej.: La avispa (macho-hembra) El hipopótamo (macho-hembra) Un tiburón (macho-hembra) La ardilla macho (macho-hembra) El tiburón hembra es muy peligroso El tiburón hembra es muy peligrosa (incorrecto) b. Los sustantivos epicenos son nombres de plantas (macho y hembra): Acebo, ruda, datilera, espárrago, mamón, ombú, palmera, plátano, sauce, etc. Ej.: Ombú macho/ ombú hembra c. Los sustantivos epicenos son nombres de personas (varón y mujer/ masculino y femenino): Víctima, criatura, rehén y vástago, personajes, etc. Personajes (femeninos o mujer) Víctima (masculino o varón) En enunciados: Personaje varón de la comedia/ personaje mujer de la comedia Personaje masculino de la comedia/ personaje femenino de la comedia CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Nota: Es incorrecto decir La víctima (macho-hembra) El personaje (macho- hembra) 7.4. EL NÚMERO DEL SUSTANTIVO Se representa en dos formas: SINGULAR (árbol, casa, puerta, ventana) PLURAL (árboles, casas, puertas, ventanas) ✓ REGLAS GENERALES PARA LA FORMACIÓN DEL PLURAL a) Los nombres terminados en vocal átona y en -á, -é, -ó tónicas hacen el plural en -s: Casas, mamás, papás, calles, yanquis, libros, tribus, sofás, cafés b) Las terminadas en -í, -ú tónicas tienden a admitir las dos variantes de plural: Al(h) elíes o al(h) elís, bisturíes o bisturís, esquíes o esquís, jabalíes o jabalís, maniquíes o maniquís, rubíes o rubís; bambúes o bambús, gurúes o gurús, tabúes o tabús, manís o maníes. c) Los nombres acabados en las consonantes -L, -N, -R, -D, -Z, -J hacen el plural en es: Cónsules, mieles, leones, caracteres, tutores, paredes, peces, relojes, especímenes, regímenes. d) Los nombres terminados en -S, -X que son agudos o monosílabos hacen también el plural en –es: Autobuses, compases, reveses, toses, boxes, faxes. Permanecen invariables los restantes: Las dosis, las síntesis, las tesis, los lunes, los tórax, los clímax, los bíceps, los fórceps. e) El plural los nombres terminados en -Y se añade -es: Ayes, bueyes, convoyes, leyes, reyes, con la excepción de algunos sustantivos no totalmente castellanizados: jerséis (o yerseis). f) Los sustantivos acabados en otras consonantes añaden -s para formar el plural: Acimut/acimuts o azímut/azimuts; cenit/cenits o zenit/zenits; mamut/mamuts; tic/tics; tictac/tictacs; zigurat/zigurats, clubs (clubes), albums (álbumes) ✓ EL PLURAL DE LOS COMPUESTOS a) Los compuestos (sustantivo+sustantivo, sustantivo+adjetivo, verbo+sustantivo) que constituyen una sola palabra hacen el plural como si se tratara de palabras simples, lo que equivale a decir que se pluraliza solamente el segundo elemento. Bocacalles (incorrecto = bocascalles) Casatiendas, cumulonimbos, Aguafuertes, cañabravas, caraduras, cubalibres, tiovivos; buenaventuras, cortometrajes, purasangres, quintaesencias un rapapolvo/varios rapapolvos un ganapán/unos ganapanes un tragaluz/ unos tragaluces Nota: • No se dice, pues, carasduras ni tiosvivos. • Se registran ciertas vacilaciones a la hora de tomar como base el singular o el plural. La RAE recoge, por ejemplo, los singulares el guardabosque, el marcapaso o el pararrayo, junto con el guardabosques, el marcapasos, el pararrayos.

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b) Cuando los dos sustantivos se escriben separados pero constituyen una unidad léxica en la que el segundo elemento aporta información determinativa, solo se marca el plural en el primero: Años luz, buques escuela, cafés teatro, ciudades dormitorio, globos sonda, hombres rana, muebles bar, niños prodigio, operaciones retorno, peces espada, sofás cama. c) Los sustantivos macho y hembra no se pluralizan tampoco cuando modifican a otro sustantivo: Las panteras macho, las avestruces hembra. d) Se pluraliza solo el segundo elemento en los compuestos formados por dos adjetivos, se escriban separados por guion o unidos en una sola palabra, como: Conversaciones árabe-israelíes Factores político-económicos Condiciones espacio-temporales Consecuencias político-económicas ✓ EL PLURAL DE LOS NOMBRES PROPIOS a) Los nombres propios no tienen plural; sin embargo, cuando se asimilan (en mayor o menor medida) a los comunes, siguen entonces las reglas de estos, como: Las celestinas, los donjuanes, las magdalenas, los quijotes. Nunca más volverá a haber en Nicaragua Adolfos Díaz, Emilianos Chamorro, José Marías Moncada, Anastasios Somoza en el poder (Ramírez, Alba) b) Se emplean solo en plural los nombres propios de ciertas (os): CORDILLERAS: Los Alpes, los Andes, los Apeninos, los Pirineos ARCHIPIÉLAGOS: Las Antillas, las Azores, las Baleares, las Canarias, las Cíes, las Filipinas, los Galápagos PAÍSES: Emiratos Árabes Unidos, Estados Unidos, Países Bajos CIUDADES: Aguascalientes, Buenos Aires, Ciempozuelos, Iquitos

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PRÁCTICA 7 1. Los sustantivos virtud, amabilidad, velocidad, son: a) Propios b) Compuestos c) Colectivos d) Abstractos e) Concretos 2. La relación que presenta solo sustantivos propios, es: a) Lobo, democracia, Perú b) Fernanda, Sol, calle c) Cusco, flor, florero d) Silencio, luz, Vizcarra e) Cali, Ramírez, América 3. La relación de sustantivos concretos, es: a) Perdón, lentitud, odio b) Música, hospital, fiesta c) Poste, pecado, hermosura d) Agua, computadora, paz e) Casa, niño, viento 4. Los sustantivos libro, sauce y tarántula, por su naturaleza, son: a) Propios b) Comunes c) Individuales d) Colectivos e) Concretos 5. Por su extensión, los sustantivos magisterio, tropa, recua, rebaño, son: a) Colectivos b) Comunes c) Individuales d) Propios e) Impropios 6. El sustantivo el coma – la coma, son: a) Polisémicos b) Epiceno c) Común de dos d) Ambiguo e) Heterónimo 7. Marca la oración que presente el sustantivo común en cuanto al género: a) Él es el padrino b) El artista es muy detallista c) Los niños acamparon el fin de semana d) La abuela irá de visita e) El capital es necesario CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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8. ¿Cuántos sustantivos colectivos hay en el siguiente texto? En la arboleda se posan las bandadas, donde el tigre y el coyote asechan a sus presas, entre los peñascales y correntías de aguas cristalinas. Se internó la jauría de cazadores buscando su presa. a) Dos b) Tres c) Cuatro d) Cinco e) Ninguno 9. El clima empieza a cambiar paulatinamente. Debemos estar acercándonos ya a las estribaciones de la cordillera. ¿Cuántos sustantivos hay en el texto anterior? a) Uno b) Dos c) Tres d) Cuatro e) Cinco 10. La oración que lleva sustantivo como núcleo del complemento circunstancial, es: a) Ellos estudian demasiados b) Tus colegas están felices c) Mariana trabaja en el hospital d) El rancho de mi amigo es amplio e) El alcalde llegó a la hora 11. La oración que lleva sustantivo como núcleo del vocativo, es: a) Los gatos negros de Fernanda son muy inquietos b) Aquella dama, una buena deportista c) Los jóvenes están en el mercado d) Señores, trabajen con esmero e) Mi mamá compró unos libros 12. El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Capulíes b) Reyes c) Acimuts d) Bocacalles e) Cañasbravas 13. Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Estambre, mar, dote b) Azúcar, cólera, c) Margen, vodka, majestad d) Interrogante, linde, pendiente e) Frente, orden, joven 14. Los sustantivos jinete / amazona son: a) Polisémicos b) Ambiguos CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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c) Epiceno d) Heterónimos e) Homónimos 15. El sustantivo es núcleo del predicado nominal, en: a) Carlos, Pedro y Armando estudian todo el día b) Cusco, ombligo del mundo, es fascinante c) María compró torta y Martha, tamales d) Ella, una buena arqueóloga e) Amigos, cuídense mucho 16. Identifica la serie que contiene solo sustantivos abstractos. a) Ecuanimidad, organización, eclipse, ámbar b) Sombra, dulzura, amor, expansión c) Altruismo, constancia, fuerza, auge d) Resplandor, elogio, fama, espejismo e) Alegría, aire, pensamiento, logro 17. ¿Cuántos sustantivos colectivos hay en el siguiente texto? Los cazadores novatos fueron perseguidos por la jauría hasta que un providencial enjambre espantó a sus acosadores. a) Uno b) Dos c) Tres d) Cuatro e) Ninguno 18. Lee con atención los siguientes versos y elige la respuesta correcta con relación al sustantivo aurora. Desde la aurora combaten dos reyes rojos con lanza de oro. a) b) c) d) e)

Es un sustantivo común, concreto, individual, simple, femenino y singular Es un sustantivo común, abstracto, derivado, simple, derivado y singular Es un sustantivo propio, concreto, individual, simple, femenino y singular Es un sustantivo común, concreto, individual, derivado, femenino y singular Es un sustantivo propio, abstracto, colectivo, derivado, femenino y singular

19. En la siguiente oración el género de los sustantivos respectivamente, son: Mi yerno, el cantante, cantaba lindas historias. a) Heterónimos – común en cuanto al género b) Terminación variable – común en cuanto al género c) Ambiguos – polisémicos d) Epicenos – heterónimos e) Polisémico – ambiguos 20. El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes

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TEMA 8. EL ADJETIVO Y ARTÍCULO 8.1. EL ADJETIVO

8.1.1. CRITERIO SEMÁNTICO Los adjetivos aportan contenidos que se predican de un nombre o de un grupo nominal. El adjetivo agrega información a los sustantivos. Dicha información puede referirse a cualidades, características, tipos, relaciones, cantidad, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones. Por ejemplo: Perro hermoso, este perro, mi perro, muchos perros, algún perro, cinco perros, perro peruano, primer perro, etc. 8.1.2. CRITERIO MORFOLÓGICO El adjetivo se caracteriza por presentar flexión de género y número. En este sentido son palabras variables. En ellas el género y número no son inherentes, ya que no poseen significado propio. Por el contrario, su finalidad es mostrar la concordancia con el nombre. Por ejemplo: Este, esta, estos, estas. 8.1.3. CRITERIO SINTÁCTICO El adjetivo funciona principalmente como modificador directo del sustantivo, también como predicativo o atributo del verbo copulativo, y como núcleo del predicado nominal. Ejemplos: Los alumnos atentos comprendieron la lectura Esa niña es educada Mis vecinas, amables 8.1.4. CLASES DE ADJETIVOS 8.1.4.1. ADJETIVOS CALIFICATIVOS Los adjetivos calificativos son palabras que expresan cualidades o estados del sustantivo al cual modifican. Ejemplo: Mañana lluviosa. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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Los adjetivos calificativos tienen los siguientes casos: a) Adjetivo calificativo especificativo. Es el adjetivo que modifica al sustantivo indicando una cualidad; sirve para precisar de qué sustantivo se trata, para especificarlo. Ejemplos: Hombre bueno, alumno grande. En algunos casos, dependiendo de la posición del sustantivo y/o adjetivo varía el significado. Ej. mujer pobre / pobre mujer noticia cierta / cierta noticia b) Adjetivo calificativo explicativo. En las construcciones explicativas, el adjetivo calificativo aparece entre pausas concordando con un sustantivo. Suelen aportar una explicación y justificación. Ejemplos: Los jugadores, contentos con el resultado, lo celebraron juntos. Contentos con el resultado, los jugadores lo celebraron juntos. Las nubes, grises y espesas, amenazaban lluvia. Grises y espesas, las nubes amenazaban lluvia. Los estudiantes, que no eran tontos, advirtieron el engaño. c) Adjetivo calificativo epíteto. Es el adjetivo que señala una cualidad propia del sustantivo y sirve para dar énfasis a la expresión, tiene la intención estética y poética. Ejemplos: duro mármol, blanca nieve, árido desierto, verde prado, ardoroso estío, roja sangre, negro carbón, frío hielo, verde hierba 8.1.4.2. ADJETIVOS DETERMINANTES Los adjetivos determinativos precisan la extensión o relación respecto al sustantivo. Los adjetivos determinativos se consideran en la actualidad como determinantes. Son de las siguientes clases: a) Adjetivos demostrativos: Modifican al sustantivo indicando la distancia de los seres en general en relación al hablante y son: 1ra. PG 2da. PG 3ra. PG

este, esta, estos, estas ese, esa, esos, esas aquel, aquella, aquellos, aquellas

Ejemplos: Pamela analizó esa obra Ricardo compró aquel ramo Aquellos momentos nunca volverán Ese diente de oro b) Adjetivos posesivos. Modifican al sustantivo indicando posesión o pertenencia. PERSONA 1ra. P.G. 2da. P.G. 3ra. P.G.

PARA UN SOLO POSEEDOR Mío (s) Tuyo (s) Suyo (s)

Mía (s) Tuya (s) suya (s)

Mi (s) Tu (s) Su (s)

PARA VARIOS POSEEDORES Nuestro (s) Nuestra (s) Vuestro (s) Vuestra (s) Suyos Suyas

Ejemplos: Mi barrio, tu ideal, nuestros orígenes, su madre, vuestras ilusiones. CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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c) Adjetivos numerales. Modifican al sustantivo indicando cantidad y número exactos. Comprende: Cardinales. Expresan cantidad exacta: cinco delincuentes, tres soles. Ordinales. Expresan orden o sucesión: segundo nivel, sexto grado, undécimo lugar. Múltiplos. Indican multiplicación, repetición: doble baile, triple vacuna. Partitivos. Indican división o fracción de la unidad (estos adjetivos van acompañados del sustantivo “parte” a excepción de medio, mitad y tercio): media manzana, cuarta parte, novena parte. En algunos casos, se forma añadiendo el sufijo “avo”: onceavo u onzavo, doceavo o dozavo, etc. Distributivos. Indican distribución. Los adjetivos distributivos son: sendos, sendas, cada, ambos. Ella escribió sendas cartas a sus amigos El auxiliar dio sendos comunicados a los alumnos Cada loco con su tema d) Adjetivos indefinidos. Modifican al sustantivo señalando número indeterminado, manera vaga e imprecisa. Los principales son: Ejemplos: alguno (s), varios, ningún (o), cierto, unos, pocos, mucho (s), cuantos, etc. Algunos alumnos aprobaron el examen. Cierto día llegaron al Perú hombres barbudos. e) Adjetivos relativos. Se refieren a un sustantivo ya mencionado en la oración. El adjetivo relativo es “cuyo” y sus variantes cuya, cuyos, cuyas. Ejemplos: El nuevo congresista, cuyo rostro apenas había visto, pronunció un discurso. La alumna cuya nota es la más alta estudia con métodos modernos. f) Adjetivos exclamativos. Modifican al sustantivo al expresar admiración o asombro. Ejemplos: ¡Qué belleza! ¡Cuánta fruta! ¡Cuánto tiempo perdiste! g) Adjetivos interrogativos. Modifican al sustantivo en preguntas directas e indirectas. Preguntas directas: (con signos de interrogación) ¿Qué libro estudias? ¿Cuántos años tienes? ¿Cuál dirección buscas? Preguntas indirectas: (sin los signos de interrogación) Quisiera conocer qué problema tienes No sé qué producto compró h) Adjetivos gentilicios. Indican origen o procedencia. Ejemplos: Danza cusqueña Automóvil francés Jugador chalaco CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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8.1.5. GRADOS DE SIGNIFICACIÓN DE ADJETIVO CALIFICATIVO Los adjetivos calificativos pueden expresar las cualidades o estados en distintos grados de intensidad. Los grados son: A. GRADO POSITIVO. Expresa una cualidad que se atribuye a un ser o a un objeto (sustantivo) tal cual es. Ejemplo. Mujer hermosa B. GRADO COMPARATIVO. Nombra la cualidad del sustantivo estableciendo una comparación. Presenta tres formas: Comparativo de superioridad Esta mujer es más hermosa que aquella Comparativo de inferioridad Esta mujer es menos hermosa que aquella Comparativo de igualdad Esta mujer es tan hermosa como aquella C. GRADO SUPERLATIVO. Nombra a la cualidad en su grado máximo. Puede ser de dos formas: • Superlativo Absoluto. Dimensiona la cualidad en sumo grado, sin establecer ninguna comparación. El grado superlativo absoluto puede ser de dos tipos: a) Grado superlativo absoluto perifrástico. El adjetivo en grado positivo “es modificado por adverbios como: muy, extremadamente, sumamente, extraordinariamente, notablemente, excesivamente, etc., o por expresiones adverbiales como: en grado sumo, en extremo, en alto grado, etc.” Mujer muy hermosa Mujer extremadamente hermosa Mujer sumamente hermosa Mujer excesivamente hermosa b) Grado superlativo absoluto sintético. Tiene dos formas: 1ra. Forma. Si el adjetivo termina en re o ro, se le añade “érrimo (a)”. Ejemplos: Pobre paupérrimo salubre salubérrimo libre libérrimo íntegro integérrimo pulcro pulquérrimo mísero misérrimo áspero aspérrimo acre acérrimo Se exceptúan: ilustre y diestro que añaden el sufijo “ísimo”. 2da. Forma. Si el adjetivo tiene otras terminaciones, se le añade el sufijo “ísimo(a)”. Ejemplos: Mujer hermosísima. amable sagrado grave loable noble valiente benévolo fiel

amabilísimo sacratísimo gravísimo loabilísimo nobilísimo valentísimo benevolentísimo fidelísimo

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nuevo bueno fuerte sabio pequeño magnífico frío

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novísimo bonísimo fortísimo sapientísimo pequeñísimo magnificentísimo frigidísimo

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•

Superlativo Relativo. Maximiza o minimiza la cualidad en relación a todos de una misma clase o especie. Ejemplos: a) G.S.R. de superioridad. Ejemplo: Esta mujer es la más hermosa del Cusco. b) G.S.R. de inferioridad. Ejemplo: Esta mujer es la menos hermosa del Cusco. D. COMPARATIVOS Y SUPERLATIVOS IRREGULARES EN ESPAÑOL Existen en español unos cuantos adjetivos que forman el comparativo y el superlativo en forma irregular, es decir, cambiando de radical. FORMAS ESPECIALES O IRREGULARES ADJETIVOS SINCRÉTICOS POSITIVO COMPARATIVO SUPERLATIVO (superioridad) (absoluto) Bueno (a) Mejor óptimo (a) Malo (a) peor pésimo (a) Alto (a) (superior) supremo(a) Bajo (a) (inferior) sumo (a) Grande mayor ínfimo (a) Pequeño (a) menor máximo (a) mínimo (a) Podemos decir que estas son formas sintéticas, en general propias del lenguaje culto, para expresar los grados. Sin embargo, se puede dar a entender lo mismo también en forma analítica, así: Este arbusto es mayor que ese (Forma sintética) sustantivo adjetivo Este arbusto es más alto que ese. (Forma analítica) sustantivo adv. adjetivo Ejemplos: Este libro es mejor que el otro. La película Hombre araña 3 es peor que Hombre araña 2. La selección peruana es superior a la chilena. Los jugadores chilenos fueron inferiores a los argentinos. Esta sílaba tiene mayor fuerza de voz que la otra. Juana es menor que Andrea.

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PRÁCTICA 8 1. Semánticamente el adjetivo: a) Es modificador directo o predicativo b) Varía en género y número c) Solo califica cualidades de un sustantivo d) Determina procedencia, cualidad, origen, tipo de un sustantivo e) Aporta contenido que se predica de un nombre 2. En la oración Es un buen tipo mi viejo, el adjetivo calificativo funciona como: a) Predicativo del verbo copulativo b) Modificador directo del sustantivo viejo c) Modificador directo del sustantivo tipo d) Grupo adjetival e) Determinante 3. La oración Mi jefe es flexible, comprensivo con sus trabajadores, presenta el grado: a) Comparativo b) Superlativo absoluto c) Superlativo relativo d) Positivo e) Comparativo 4. En la expresión Lo que quiero decir es que hay enunciados cuyo sentido principal es ofrecer información, el término subrayado es: a) Adjetivo relativo b) Adjetivo numeral c) Adjetivo indefinido d) Pronombre relativo sustantivado e) Adjetivo demostrativo 5. La opción con adjetivo numeral es: a) De todos los pastelillos, me comí dos b) Para no engordar solo como la mitad c) Tú sube en el ascensor, nos vemos en el quinto d) Estaba muy irritado, rompió dos vasos e) A ti te dio mucho; a mí, solo el doble de mi sueldo 6. La oración que presenta grado superlativo del adjetivo, es: a) Los países europeos celebraron un acuerdo supranacional b) La liebre es más ágil que el zorro c) El alcalde de aquel pueblo es integérrimo d) Juan es menos estudioso que su hermano e) El profesor de filosofía enunció proposiciones apodícticas 7. En la expresión La roja sangre de sus héroes, inspira la peruanidad, el término subrayado corresponde a un adjetivo: a) Demostrativo b) Posesivo c) Epíteto CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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d) Indefinido e) Explicativo 8. La afirmación adecuada respecto al adjetivo, es: a) Posee accidente gramatical de persona b) Posee accidente gramatical de tiempo c) Solo califica a los seres o sustantivos propios d) Determina de vez en cuando e) Modifica al nombre o sustantivo 9. La alternativa que presenta adjetivo indefinido es: a) Los alumnos son estudiosos b) Algunos estudiantes aprobaron el año c) Ella juega en el campo d) Ocupó el primer puesto e) Les dieron sendos premios 10. El enunciado con adjetivo superlativo perifrástico, es: a) Esas manzanas son deliciosas b) Laura es más inteligente que Mery c) Rosa es sumamente estudiosa d) Ella es tan buena como Luisa e) Ese lobo es ferocísimo 11. La oración Este perro es más hermoso que aquel, presenta el grado: a) Comparativo de inferioridad b) Superlativo absoluto c) Superlativo relativo d) Positivo e) Comparativo de superioridad 12. La oración con adjetivo interrogativo es: a) Me preguntó qué haríamos hoy b) Cuánto cobras, le preguntó el cliente c) Para quién trabaja ese guardián d) No sé cuándo volverás a mi lado e) Pregúntale, en qué lugar se enamoró de ti 13. La oración que presenta adjetivo comparativo de igualdad es: a) Estos árboles son más altos que aquellos b) La liebre es más ágil que el zorro c) El alcalde de aquel pueblo es mejor que nuestro alcalde d) Aquellas personas son tan agradables como la nuestra e) Juan es menos estudioso que su hermano 14. La expresión que presenta adjetivo en grado superlativo absoluto sintético en forma adecuada, es: a) El libro de Rubén es extremadamente interesante b) Mi tío Ismael es muy sapientísimo c) María Esther es la menos agraciada del grupo CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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d) Miguel es excesivamente pulquérrimo e) Los abuelos de Inés son benevolentísimos 15. El enunciado con adjetivo numeral distributivo, es: a) Debe tomar media cuchara de jarabe b) Laura compartió media manzana con su compañera c) Martha fue incapaz de decidirse y compró ambos pares de zapatos d) Ella ocupó el décimo tercer lugar e) Pepe comió la cuarta parte de la pizza 16. El enunciado que presenta adjetivo gentilicio, es: a) El estadounidense cayó al abismo b) Tenía amistad con los colombianos c) Mi hermano viajó a Chile en vacaciones d) Esa teoría británica es interesante e) Esos muchachos trabajan con los chalacos 17. En la oración Esa hermosa mujer busca a mi amigo Néstor, el adjetivo calificativo hermosa funciona como: a) Núcleo del sujeto b) Modificador directo c) Modificador Indirecto d) Aposición e) Vocativo 18. El adjetivo numeral múltiplo se aprecia en: a) Cinco muchachas llegaron por la tarde b) Media naranja es suficiente para él c) La empresa pagará el quíntuple del sueldo base d) Los niños traerán sendas loncheras e) El segundo alumno expondrá ese tema 19. La oración con adjetivo calificativo en grado superlativo relativo es: a) Tu automóvil es muy grande b) Los adolescentes se pusieron contentos por el viaje c) Amelia es las más cariñosa de su familia d) ese niño estudia bastante e) Juan compró una laptop buenísima 20. Los adjetivos relativos son: a) Qué, cómo, dónde b) Cuanto, cual, que c) Sendos, ambos, muchos d) Fría, calculadora, mala e) Cuyos, cuyas, cuya, cuyo

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8.2. EL ARTÍCULO 8.2.1. CRITERIO SEMÁNTICO El artículo es una clase de palabra de naturaleza gramatical que permite delimitar la denotación del grupo nominal del que forma parte, así como informar de su referencia. Así mismo, es una palabra que carece de significado propio; no tiene significado ni contenido pues siempre va antes del sustantivo. Ejemplos: El estudiante Un amigo Los estudiantes Unos amigos La cámara Las cámaras 8.2.2. CRITERIO MORFOLÓGICO Es una palabra variable, ya que tiene morfemas flexivos o accidentes de género y número, los cuales deben concordar con el sustantivo. Ejemplos: El artista Un artista La artista Una artista Los artistas Unos artistas Las artistas Unas artistas NÚMERO SINGULAR PLURAL

GÉNERO: MASC. el los

GÉNERO: FEMEN. la las

GÉNERO: NEUTRO lo -

8.2.3. CRITERIO SINTÁCTICO Es un determinante que funciona como modificador directo del sustantivo, el artículo siempre antecede al sustantivo. La casa Los árboles fem/sing masc/pl Los amigos de Inés compraron unos muebles ayer. La casa y el colegio están cerca de un grifo junto a los manantiales. Hoy he recibido la carta enviada por mi prima desde Suecia. 8.2.4. CLASES DE ARTÍCULOS 8.2.4.1. Artículo determinado Llamado también determinante o definido, hace referencia a un sustantivo conocido por el hablante y el oyente. MASCULINO FEMENINO NEUTRO El la lo Los las -

Singular Plural

Ejemplos: La casa tiene el techo rojo y las ventanas grandes. Las rosas están en el rosal. La RAE dice: En Hoy he recibido la carta, el grupo nominal está introducido por el artículo determinado o definido. Se expresa de este modo que la carta de la que se habla se supone identificable por el oyente.

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8.2.4.2. Artículo indeterminado Llamado también indeterminado o indefinido, hace referencia a un ser no conocido o entidades no mencionadas previamente. MASCULINO Un unos

FEMENINO Una Unas

Singular Plural

Ejemplos: Un día les contaré una historia fantástica. Unos admiradores de unas bellas damas, conquistaron sus corazones. En un rincón había un violín. 8.2.4.3. Artículo neutro “LO” Llamado también genérico, sirve para sustantivar a los adjetivos convirtiéndolos en sustantivos abstractos. Ejemplos: Lo bueno supervive Lo importante es primero Lo malo se acaba Lo justo es un valor Nota: Gramaticalmente se considera al artículo neutro como masculino singular, para efectos de concordancia. Ejemplos: -Lo bello es admirado. masc./sing. -Lo bueno debe ser imitado. masc./sing. 8.2.5. CONTRACCIÓN GRAMATICAL DEL ARTÍCULO El único artículo que se puede contraer es El, esto solo ocurre cuando se une o se amalgama a las preposiciones “a” y “de”, es decir, se llama contracción gramatical, a la fusión de dos vocales en una sola sílaba. PREPOSICIÓN + ARTÍCULO = CONTRACCIÓN USO a + el = al Él va al campo de + el = del Él viene del sur Según la RAE, las formas contractas o amalgamadas del artículo son llamadas también CONGLOMERADOS. Las contracciones se usan solo ante sustantivos comunes. Nota: Si el artículo es parte integrante de la expresión denominativa, no debe contraerse, ejemplo: La soledad de El Escorial La pintura de El Greco Una página de El Quijote Nota: Cuando el artículo no está integrado al topónimo se usa la contracción, ejemplos: Un viaje al Río de la Plata (Topónimo) La provincia del Chaco (Topónimo) Nota: Si el artículo forma parte del topónimo entonces no procede la contracción, ejemplos: Ellos vienen de El Salvador. Viajaremos a El Cairo.

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OBSERVACIONES DEL ARTÍCULO 1. El artículo determinado actúa como presentador del sustantivo. Ejemplos: Historia del hombre abunda en hechos heroicos. (poco viva) La historia del hombre abunda en los hechos heroicos. (más viva, más concreta) 2. El artículo indeterminado “un” y sus variantes sirven para destacar la calidad y el valor, para dar mayor énfasis a la expresión. Ejemplos: Eres amor (frase fría) Eres un amor (frase enfática) Ese amigo tuyo es idiota (Frase fría) Ese amigo tuyo es un idiota (frase enfática) 3. El artículo funciona como desambiguador de género y número de algunos sustantivos. Ejemplos: El dentista (masculino) La tesis (singular) La dentista (femenino) Las tesis (plural) 4. Cuando dos o más adjetivos calificativos modifican a un sustantivo, entonces el artículo debe preceder solo al primer adjetivo. Ejemplos: El débil y el triste mendigo durmió en el piso (incorrecto) El débil y triste mendigo durmió en el piso (correcto) 5. Es opcional el uso del artículo en ciertos nombres de países o ciudades. Ejemplos: Perú / El Perú Japón / El Japón Cusco / El Cusco Argentina/ La Argentina *No acepta artículo: Bolivia, Chile, Colombia, Panamá.

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PRÁCTICA 8 B 1. En la oración Un amigo es el que está en todo momento, el que te anima cuando estás decaído, se aprecia: a) Un artículo indeterminado b) Un artículo neutro c) Dos artículos indeterminados d) Un pronombre indefinido e) Un adjetivo indefinido 2. La contracción del artículo es incorrecta en: a) La delegación se va a El Cairo mañana b) La entrada al templo fue clausurada c) No podía encontrar el párrafo de El Quijote d) La noticia proviene del Comercio e) Viajaremos al norte del Perú 3. El artículo determinado se aprecia en: a) Tú me lo pediste y te lo traje b) El tío de Carlos llegó de Urubamba c) Ellos quieren que lo haga d) Las dejé de amar poco a poco e) No los dejes partir hoy 4. Sintácticamente, el artículo desempeña la función privativa de: a) Núcleo del modificador directo b) Núcleo del modificador indirecto c) Modificador directo d) Modificador indirecto e) Presentador del sustantivo 5.

El uso incorrecto del artículo se ve en: a) La diabetes b) El ángel c) La césped d) El hacha e) Las arañas

6.

El artículo neutro “LO”, sirve para: a) Sustantivar al adjetivo y verbo b) Sustantivar al pronombre y adjetivo c) Sustantivar al adverbio solamente d) Sustantivar al verbo y sustantivo e) Sustantivar al adjetivo

7. En la expresión Entonces lo seguí con la mirada. Las palabras subrayadas son respectivamente: a) Adjetivo - artículo b) Pronombre – adjetivo c) Artículo – artículo CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

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d) Pronombre – artículo e) Pronombre – pronombre 8.

La cantidad de artículos de la lengua española, es: a) Dos b) Tres c) Seis d) Nueve e) Diez

9.

Se aprecia una contracción gramatical del artículo en: a) El día que nos conocimos fue hermoso b) De aquí a la eternidad, te amaré c) Ante lo dicho, no hay vuelta atrás d) Del otro lado del río, viene mi amada e) Les daré todo mi amor y comprensión

10. La alternativa que presenta un artículo neutro, es: a) El hombre nace bueno, la sociedad lo corrompe b) Sombríos pensamientos lo asaltaban con frecuencia c) Lo compré en el mercado d) Le expliqué todo con claridad e) Lo importante es comprender el texto 11. La oración que presenta contracción gramatical mal utilizada, es: a) Paco Yunque es un relato del poeta César Vallejo b) En la publicación de El Peruano leímos un Decreto Supremo c) En la novela Los miserables se aprecia la oposición entre el bien y el mal d) De una u otra manera los animales sirven al hombre e) Es el autor del Ingenioso hidalgo don Quijote de la mancha 12. La oración que presenta un artículo determinado, es: a) Vicente se lava rápidamente b) Recupera las llaves del portero c) Enrique y yo nos mirábamos d) Tú y yo haremos un gran negocio e) Nos la vendió a buen precio 13. En la expresión Lo bello es emocionante para nosotros, se aprecia artículo: a) Indeterminante b) Determinante c) Neutro d) Definidos e) Genéricos 14. El enunciado que presenta el artículo con función de modificador del sustantivo, es: a) Nos saludamos frecuentemente b) El juguete es muy barato c) Ustedes van a vestirse inmediatamente d) Ellos lucharon por la libertad CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

41

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

e) Los que me entrevistaron fueron amables 15. En la oración Deslizó una indirecta que motivó en el adversario un enfado que no pudo disimular. La cantidad de artículos que presenta la oración anterior, es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1 16. En la oración Un descanso reparador será necesario para el fatigado. La cantidad de artículos que presenta la oración, es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5 17. En una de las siguientes oraciones se aprecia artículo determinante: a) La saludaron con mucha cortesía b) El presidente Vizcarra llegó ayer c) Los premiarán por su gran labor d) Lo tengo presente en mis recuerdos e) Las asaltaron en Gamarra

CEPRU UNSAAC – COMPETENCIA COMUNICATIVA

42

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

CUSCO – PERÚ

ALGEBRA | 2

POTENCIACION

a

n

+

−  0 y n 

DEFINICIÓN: Sea a 

.La potencia n-ésima de “a” denotado por

n a , se define por:

= a.a. a.....a = P n − veces

PROPIEDADES:

−  0  y m, n 

Sea a, b  1) 2) 3)

m

a .a

a

m

a

n

n

=a

=a

+

, entonces:

m+ n

m−n

0

a =1

4) a

−n

1

=

n

a

m n

m.n

5)

(a ) = a

6)

(a .b) = a .b

7)

a a   = n b b

8)

a   b

n

m 9) a n

n

n

n

−n

b =  a

=

n

a

n

n

m

ECUACIONES EXPONENCIALES Es la ecuación trascendente donde la incógnita esta como exponente en unos casos, y en otros como exponente y base. PROPIEDADES: x

y

n

n

x

a

−  0,1

1)

a = a  x = y ; a 

2)

x = y  x = y ; x , y 

3)

x = a  x = a ; x ,a 

4)

x

x

n

=nx =

n

−  0  ;n 

+

−  0 +

n ; x  0 ;n 

EJERCICIOS 5. Hallar el valor de “k” si se sabe que 2n

1. Al simplificar la expresión

( −x ) . ( −x ) . ( x ) . ( x ) . ( −x ( 2 3

−3 2

3 2

−3 2

2

−3)

)

, resulata

 2 x +5 72x

− 2x +1 72x +1   2 x +3 72x +1 − 2 x +1 72x   

−2

E=

se obtiene:

Rpta. 9

A=

3n+1 + 22n+1 3n + 22n+3

Rpta: 1 7. Si X , Y

3. Al simplificar la expresión

3a + 4 9a + 2b 27a −1 81b +1

Simplificar se obtiene:

Rpta: 27 4. Si se verifica la igualdad: ab = 2, encuentre el valor de:

I=

5n +1

6. Si se cumple que: expresión siguiente:

2. Al simplificar la expresión

Q=

n −1

; n 1

Rpta. 12

x9

Rpta:

k=

2

5 n −1 + 35  5 n −1

3b . a 2 b

a a 2 b + a 3b + a 4 b + 4

Rpta:

 + I=

y

3n−1 = 22n

, es:

( y − x)  2 x+ y

x− y

x . y y + y x + y .x x x 2 y . y x + y 2 x .x y

x y

8. Al simplificar la expresión

, el valor de la

ALGEBRA | 3

 2 1 x −  y2  E=  2 1 y − 2 x 

x   y

Rpta:

x

y −x   1  x−    y  , resulta. y x−y   1  y+  x  

V = 2. 2. 2 19. Si se cumple que: siguiente:

x+y

n2

(25)

, es:

n2

20. Al reducir la expresión:

2 Rpta: 5

de

1 x

x =7, x

+

 E= 

. Hallar el valor

P

8(7 x ) + (23 x  x ) + ( x )2 P= 322 + 2 x 2 + 16(7 x )

2

2

2

2

  

2

2

+1

a 3b . a I = 2b , es: a + a 3b + a 4 b + 4

2

16n +8n 2 2 4n + 2n 2n +1

+n

8

E=

Rpta:128

, resulta:

22. Simplifique la expresión siguiente:

Rpta:4 12. Si se cumple

) (

4 3 8 8  3   8  8  8 8 8-1 8 87  8    E= 8 8          

)

+ 22x + 22x + ... + 22x − 4 x + 4 x + 4 x + ... + 4 x = 128 1778 sumandos

1776 sumandos

2

E = x − x , es: Rpta: E = 12 el valor de

Rplifiq

a b = 2 , el valor de 2b a 3b.a M = 2b , es: a + a 3b + a 4b + 4

13. Si

Rpta:2 23. Si se verifica que:

xx

Rpta: 128

14. Hallar el valor de : Siendo Rpta: 4

xx = 2

D=x

x

Rpta: 20 16. Simplifique la siguiente expresión:

D=

x2

+ 32x

90 x

2

2

+2

+1

x x +1 +1

x

Rpta: 16

+1

. ( ab )

.ba

Rpta: ab 25. Para “ b ” diferente de cero efectué

((b ) )

−1 −3 2

( )

b −3 b −3 .b (−3 ) 2

2



( )

2 3 .  b.b b 



− 2 −1

  

−4

Rpta: 1 26. Considerando

J = xx

Rpta: 1 17. Si se cumple que:

, encuentre el valor de:

Rpta:4

2

+2

=4

24. Si a y b son números positivos ; reducir ab −( ab ) abab .a ab −1 ba ba .bba −1

20a +1 5a −1 + 3a −1 a −1 + 4a +2 + 22a +2 51−a + 31−a

2

10 x 2

x +1

x

M = ab

9x

x

5 2

E=

x +1 1+ 2 x1+ x − x

15. Simplificar la Expresion:

xx



2

2

2b

n

a

2

3 2

21. Si se verifica la igualdad: ab = 2, encuentre el valor de:

11. Al simplificar la expresión:

2x

2

2+

Rpta:4

Rpta. 1/2

(2

2

2

Obtenemos como resultado: 1 x

n

el valor de la expresión

2

− (15)

10. Si se cumple que

3n −1 = 2 2 n

Rpta:1

10 n − 6 n

2

2 2

3n +1 + 22 n +1 I= n , es: 3 + 22 n +3

2

n

2

Rpta: 8

9. Hallar el valor de:

E=

2. 2. 2

xx = 2

hallar el valor de

x +1− x1+ x

x

x = 2 entonces, el valor de:

+1

, viene a ser:

Rpta: 8 27.

Resolver:

x2 −6

7

2 2 2 + 7x −7 + 7x −8 + 7x −9 = 400

Rpta: 3 18. Reducir: 28.

Hallar “x” en:

ALGEBRA | 4

8    27  Rpta:

29.

x −1

−

x

4x

4  9   81      = 9  4   16 

1 3

Hallar el valor de “2x” en:

−9− x−1 1 − 8 9 = 3

Rpta: 4 30. Resolver la siguiente ecuación

36 x −1 1 = x −1 144 64 Rpta. 4 31. Halle en la siguiente ecuación

1 1 1 1 + x +1 + x +2 + x +3 = 15 x 2 2 2 2 Rpta. -3 x 32. Si

x = 2 , entonces el valor de la 1+ 2 x1+ x

expresión Rpta: 216 33. El

valor

E = xx de

"𝑥"

que

, es:

satisface

la

ecuación

27 x + 33 x+1 = 12 , es: Rpta:

1 3

34. Luego de resolver la ecuación El valor de 𝐼 = Rpta:10

51−7𝑥 +32−7𝑥 7(5−1−7𝑥 )

, es:

25𝑥 + 9𝑥 = 2(15𝑥 )

3

DEFINICIÓN: Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, con una o más variables. Ejemplos:

1.

P(x) = √3ax 7

Es un monomio de una variable.

2.

P(x, y, z) = 4x 3 y 7 z10

Es un monomio de tres variables.

3.

P(x, y) = √3x 7 y 3 + y12 − xy 3

Es un trinomio de dos variables.

El polinomio en la variable x esta representado por:

𝐏(𝐱) = 𝐚𝐧 𝐱 𝐧 + 𝐚𝐧−𝟏 𝐱 𝐧−𝟏 + ⋯ + 𝐚𝟏 𝐱 + 𝐚𝟎 ,

𝐚𝐧 ≠ 𝟎

Donde:

xϵℝ n ϵ ℤ+ ∶ Es el grado del polinomio. n + 1 Es el número de términos de P(x) an : Coeficiente principal del polinomio. a0 : Término independiente del polinomio. an , an−1 , ⋯ , a1 , a0 ϵ ℝ : Coeficientes. Nota: Si an = 1, P(x) es un polinomio mónico. Ejemplo: P(x) = √2x 7 − x 6 + 5x 4 − 6x + 2 Es un polinomio de grado 7, cuyo coeficiente principal es √2 y el término independiente es 2. Observaciones:

1. P(x) = 0 Se llama polinomio nulo o idénticamente nulo, cuyo grado no esta definido. 2. P(x) = k , k ϵ ℝ − {0} Se llama polinomio constante, cuyo grado es cero. 3. P(x) = ax + b ; a ≠ 0 ; a, b ϵ ℝ Se llama polinomio lineal o de primer grado. GRADO DE UN POLINOMIO Definición: El grado es una característica en relación a los exponentes de las variables, el cual es un número entero mayor o igual que cero CLASES DE GRADOS: GRADO RELATIVO (𝐆𝐑)

a) De un Monomio: El grado relativo en un monomio, es el exponente de la variable indicada. Ejemplo: En el monomio

P(x, y, z) = √3x 5 y 9 z12

GR(x) = 5 ; GR(y) = 9 ; GR(z) = 12 b) De un Polinomio: El grado relativo en un polinomio es el mayor exponente de la variable indicada que se presenta en cualquier término. Ejemplo: En el polinomio P(x, y) = 3x 7 y − 7x 9 + 7xy18

GR(x) = 9 ; GR(y) = 18 GRADO ABSOLUTO (𝐆𝐀)

a) De un Monomio: El grado absoluto de un monomio, es la suma de exponentes de las variables. Ejemplo: En el monomio P(x, y) = 23 x 7 y13 GA(P) = 7 + 13 = 20

ALGEBRA | 4 b) De Un Polinomio: El grado absoluto de un polinomio, es el mayor grado absoluto entre sus términos. Ejemplo: En el polinomio

7

13

9

P(x, y) = 6x 5 y 2 + 7x 2 y11 + 2x 9 GA(P) = 2 + 11 = GRADOS DE POLINOMIOS CON OPERACIONES: Si P(x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectivamente, con m > 𝑛 entonces:

1. P(x) ± Q(x) , es de grado 𝐦 2. P(x) ∙ Q(x) , es de grado 𝐦 + 𝐧 3.

P(x) Q(x)

con Q(x) ≠ 0 , es de grado 𝐦 − 𝐧 ϵ ℤ+ 0 , siempre que

P(x) Q(x)

sea un polinomio.

4. [P(x)]k , es de grado 𝐦 ∙ 𝐤 , kϵ ℤ+ 0 5. √P(x) , es de grado k

𝐦 𝐤

ϵ ℤ+ 0 , siempre que √P(x) sea un polinomio

Ejemplo: Dado P(x) = (2x 2 + 6)3

k

y

Q(x) = x 3 − 3

➢ El grado de P(x) ± Q(x) es 6 ➢ El grado de P(x) ∙ Q(x) es 9 ➢ El grado de Q5 (x) es 15

VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere cuando se le asigna valores a sus variables.

Ejemplo 1: Dado

P(x) = (x − 3)2 + x − 3

Hallar P(5)

Solución: P(5) = (5 − 3)2 + 5 − 3 = 6 Ejemplo 2: Dado

P(x, y) = (2x + y)2 − xy 3 Hallar P(1, −2)

Solución: P(1, −2) = (2(1) − 2)2 − 1(−2)3 = 8 Propiedades: a) Si P(x) es un polinomio con una variable entonces:

1. Suma de coeficientes es P(1) 2. Término independiente es P(0) b) Si P(x, y) es un polinomio de dos variables entonces:

1. Suma de coeficientes es P( 1 , 1 ) 2. Término independiente es P( 0 , 0 ) Ejemplos

1. Si P(x) = (3x − 1)2 (x − 2)3 + x + 7 Suma de coeficientes es P(1) = 4 Término independiente es P(0) = −1

2. Si P(x, y) = (xy 2 + 2)(x + y − 4)3 + xy + 3 Suma de coeficientes es P( 1 , 1 ) = −20 Término independiente es P( 0 , 0 ) = −125

EJERCICIOS 1. Dados los polinomios P y Q; definido en la variable X indicar el valor de verdad y falsedad de las proposiciones sgtes. I. Si G.A(P)=5; GA(Q)=5 entonces G.A(P+Q)=5 II. Si G.A(P-Q)=5, entonces G.A(Q)1 y G.A(P3.Q2)=13, entonces G.A(P.Q)=6 Rpta. FFF

ALGEBRA | 3 2. Indicar los valores de verdad y falsedad de l a s proposiciones siguientes:

P(x) = x 4 + 4x 3 + 2x 2 + senx + 5x − 10

I. Si

entonces P es un polinomio. 1

II. Si

Q(x, y) = x 3 y 5 + 12y 5 + 8xy + 12

entonces

Q es un polinomio. III. Si R(x) = 12 x 7 − 6x 4 y 5 + 12y −5 + 4x + 6

10. En el monomio

entonces R es un polinomio Rpta: FFV 3.

M ( x, y ) =

En las siguientes proposiciones indicar con (v) si es verdadero y con (F) si es falso. I. El grado del polinomio 2

𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 3 𝑦 2 + 2)3 (𝑥 𝑛−7 + 𝑦) + 𝑦 93−10𝑛 ; es 17. II. El grado de 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧) = III.

(𝑥 2 𝑦 3 −𝑧 8 )9 𝑥−𝑦𝑧

, es 15.

El coeficiente principal del polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 4 + 𝑦 3 )3 (𝑥 4 + 3𝑦 5 )2 , es 72. La secuencia correcta es: Rpta. VFV.

𝟑

𝟐

𝑷(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙𝟒 + 𝒚𝟑 ) (𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝟓 ) es 72. IV. La suma de coeficientes del polinomio 𝑷(𝒙, 𝒚) = (𝒙 − 𝟐𝒚)𝟔𝟎 (𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟏) es 3. La secuencia correcta es: Rpta.: FFVV.

6. En las siguientes proposiciones, marcar con (𝑉) si es verdadera y (𝐹) si es falsa. I. El polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 3 𝑦 − (𝑎 − 1)𝑥 4 + 2𝑥𝑦 − 2 es de grado 4 II. El grado relativo del polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 3 𝑦 4 − 𝑏𝑥 2 𝑦 5 − 4𝑥 respecto a 𝑥 es 3. III. El grado del polinomio 2

)

2

5 3

(x y) (x y) 2

2

4

m

n

, grado

11. Hallar 𝑎 2 + 𝑏 2 si el grado del monomio 𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑎 + 𝑏)𝑥 2(𝑎−1) 𝑦 3𝑏 es 17 y su coeficiente tiene igual valor que el grado relativo a x. Rpta. 34. Si en el polinomio: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 𝑚+𝑛−2 + 𝑦 𝑚−3 + 8𝑥 𝑚+𝑛+5 𝑦 𝑚−4 + 7𝑥 𝑚+𝑛−6 𝑦 𝑚+2 se verifica que la diferencia entre grados relativos de “x” e “y” es 5 y además el menor exponente de y es 3. Hallar su grado absoluto. Rpta. 17.

13. En el siguiente monomio: 𝑀(𝑥, 𝑦) =

𝑥 𝑛 𝑦 𝑚 𝑧 5𝑛 𝑥 1−𝑚 𝑦 𝑛−3 𝑧 𝑚−2

el

GR(x)=12 y GR (y)=10. Calcular el GR (z). Rpta. 7. 14. Si el grado del monomio

3 P ( x ) = 3x 6 9x 4 x m 2x m es 8. Hallar el valor 5

de m . Rpta. 12

15. Hallar el valor de n para que el grado del monomio:

5. Dados los polinomios P y Q (definidos en la variable x) indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si GA (P)=5, GA (Q)=5, entonces GA (P+Q)=5. II. Si GA (P-Q)=5, entonces GA (Q)1 y 𝑮𝑨(𝑷𝟑 𝑸𝟐 ) = 𝟏𝟑; entonces GA (PQ)=6. Rpta: FFF

(

2

x x

relativo con respecto a x es 2 y grado relativo respecto a y es 5, entonces el valor de 𝑚 + 𝑛 es: Rpta: 6

12.

4. En las siguientes proposiciones, indicar con (V) si es verdadero o con (F) si es falsa: I. El grado de 𝑷(𝒙) = 𝟎𝒙𝟏𝟐 − 𝟐𝒙𝟔 + 𝟕 es 12. II. En todo polinomio, el grado absoluto siempre es igual al grado relativo con respecto a una de sus variables. III. El coeficiente principal del polinomio

P ( x, y ) = 2x − 3xy

9. Hallar a y b si el grado absoluto del monomio es igual a 17 y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo respecto a x. Siendo el monomio: 𝑀 = (𝑎 + 𝑏)𝑥 2(𝑎−1) 𝑦 3𝑏 . Rpta. 5 y 3.

3

( m + 2) x3 − y  ; m  2  

M(x) = 3

x n−1 6

4

xn

, sea 1.

x 5n−4

Rpta. n=8 16. Hallar el valor de n Si en el monomio 𝟑

𝟑

𝟑 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝟏𝟓−𝒏 𝒚𝟓−𝒏 √𝒙𝟓 √𝒙−𝟏 √𝒙−𝟑𝒏

El grado relativo a “𝒙” es 3, hallar el grado absoluto. Rpta.: 21 17. Si el monomio:

P(x) =

x 7 (x 2n+3 )5 (x 3n−1 )3  ( x 2n )7 .x13   

4

5

;

es de grado 8. Hallar el valor de “n”. Rpta.: 3.

IV. El termino independiente del polinomio 3 P ( x − 2 ) = ( x − 1 ) − 3 ( x − 1 ) + 5 es 16

V. La expresión algebraica

P ( x, y, z ) =

5x 4 y 3 2x1/3 y 2  8 −6 es − − y z −3 3 2z 3 x −2

irracional. Rpta: FFVFF

𝟔

√𝒙𝟓𝒂−𝟒

. Hallar

el valor de “a” para que dicho monomio sea de grado 16. Rpta: 118

√𝒎+𝟑

8. Hallar el coeficiente del monomio

M ( x ) = 2n x

𝟒

𝒙𝒂−𝟏 √𝒙𝒂

19. Hallar el grado absoluto del monomio

7. Determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. El grado absoluto de un polinomio puede coincidir con el grado relativo de una de sus variables II. Un polinomio homogéneo puede ser completo. III. Todo polinomio completo es ordenado. IV. Un polinomio en una sola variable, puede ser ordenado, completo y homogéneo. Rpta: VVFF

Rpta: 16

𝟑

18. En la siguiente expresión 𝑷(𝒙, 𝒚) = √

60n

. Si su grado es 240.

𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝟕𝟎𝒙√𝒎−𝟑 𝒚𝒎−𝟗√𝒎+𝟔 ; si con respecto a x es de segundo grado. Rpta: 8. 20. El polinomio: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒎+𝒏 𝒚𝒏+𝒑 𝒛𝒑+𝒛 ; es de grado 18 y los grados relativos a x, y, z son 3 números consecutivos en ese orden. Calcular m.n.p. Rpta.: 12. 21. El grado del monomio 𝑷(𝒙, 𝒚) = √𝟓

√𝒙√𝟓−𝟏 √𝟓√𝒙√𝟓+𝟏 −𝟓√𝟐−𝟏𝟎 𝒙−𝟗 es:

Rpta: 3

ALGEBRA | 4 1

22. Si en el monomio 𝑷(𝒙, 𝒚) = √

𝟒

√𝒙𝒏+𝟏

; el

grado relativo a x es 2.el grado relativo a y; es. Rpta: 4

2

35. Si 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑎 𝑥 𝑎 + 𝑎3 𝑥 −𝑎 + 𝑎2 𝑥 − 𝑎 es un polinomio real de grado 4, entonces su término independiente, es: Rpta: 2

23. Si el grado del monomio

36. Si 𝑃(𝑥) = 4𝑥 + 5 y 𝑃(𝑄(𝑥) + 3) = 8𝑥 + 5, entonces el valor de 𝑄(4), es: Rpta: 5

7

𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑛 𝑥 5 √(3𝑥)2𝑛 3√(𝑛𝑥)𝑛 es “2n”. Su coeficiente principal; es: Rpta: 24 24. Si 𝑀(𝑥, 𝑦) =

𝑎−𝑏

√𝑥 𝑎+𝑏 𝑦 3𝑎

𝑎+𝑏

√𝑥 𝑎−𝑏 𝑦 3𝑎

37. Sea 𝑃(𝑥 − 2) = 𝑛2 (2𝑥 − 3)2 − (𝑥 − 2)[(𝑥 − 2)2𝑛−3 + 61]. Si la suma de sus coeficientes excede en una unidad al duplo de su término independiente, entonces el grado de 𝑃(𝑥), es: Rpta: 4

; GR(x)=2. Hallar GR (y).

Rpta. 3. 25. Calcular el valor de “m” si el grado de la

38. El grado del polinomio 𝑃(𝑥) sabiendo que el grado de [𝑃(𝑥)]2 [𝑄(𝑥)]3 es igual a 21 y el grado [𝑃(𝑥)]4 [𝑄(𝑥)]2 es igual a 22, es: Rpta: 3

expresión es de sétimo grado: 3

M=

- 1 m- m m m

x m m x m x 3m m

4 m

(x . x )

39. Dado: P ( x, y ) = x q −1y q + p−1 + 2x q +4 y q −p−1 , hallar

1 8

Rpta:

grado relativo a y. Si grado relativo a x, es 6 y grado absoluto nueve. Rpta:

26. Si el grado absoluto del monomio

P(x, y, z) =

a + 3b + 7c

5x

y

es 120, entonces el valor de Rpta:

2a + 2b +5c

z

2a + 5b + 3c

,

27. Dados los polinomios

P(x, y) = 2x

2m + 6

m+2

+ 3x 3

2m

− 5x y

y+x

m +1

m+3 2

y

+ 2x y

41. Si el término independiente y el coeficiente principal del polinomio son iguales. Hallar el mayor valor de “n” siendo: P(x)=(x2 -3x+1)(3xn -x+n)(2x4 +x2 +n+1)(10xn-1 -xn -1)

m

m −1

Si se sabe que:

Rpta. 2

GA(P) 5 = . El GA(P) , es: GA(Q) 3 Rpta:

42. Calcular el coeficiente principal del polinomio P(x)=(2x4 -3)n (nx5 -1)n (2xn -x-n)3 Si su término

10

independiente es -72 Rpta. 128

28. S el grado del polinomio

P(x, y) = 6 x

m −2

y

n+2

+ 3x

m −2

n

y + 7x

m −1 n +1

y

,

es 17 y el grado relativo a x es 6, entonces el valor de E = m − n , es: Rpta: 2 29. Dado el polinomio: 4 m

P( x) = (2 x − 3) (mx 5 − 1)5 (2 x m − x − m)3

Indique el coeficiente principal, si el término independiente es Rpta: 1024

independiente, entonces el valor de “n”; es: Rpta. 4.

31. Si P y Q son dos polinomios de grados 4 y 5 respectivamente y el grado del polinomio Rpta:3

𝑄2 )3 +(𝑃2 𝑄3 )4 ]𝑛−2

44. Dado los polinomios: 𝑃(𝑥 − 3) = 4𝑥 − 7; 𝑃(𝑎(𝑥) + 5) = 52𝑥 − 55. El valor de a(x); es. Rpta.110.

𝑃(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 𝑛 + 2𝑥 𝑛−1 + 1)𝑛 (𝑛𝑥 3 − 5𝑥 + 3)3 (𝑥 2 + 7) su coeficiente principal es igual al término

𝑃(𝑥) = (10𝑛𝑥 8 − 7)(5𝑥 2 + 𝑥 3 − 2)𝑛 (𝑥 9 + 3) : Tiene grado 47. La raíz cuadrada del coeficiente principal de P, es: Rpta:10

[(𝑃2 𝑄)3 −(𝑃𝑄2 )4 ]2𝑛−3

2a+b 43. Si el grado absoluto del monomio, M(x,y)=5x a+2b es 15 i el grado relativo a x es al y grado relativo de y; como 2 es a 3. Hallar a+b. Rpta. 5

45. Si el polinomio:

72 .

30. El polinomio

𝑅 = [(𝑃3

8

40. Hallar un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente lineal y término independiente son iguales. Además P(1)=5 y P(2)=15 Rpta. 3x2 + x + 1

a + 2b + 3c ,es:

24

Q(x, y) = x

9

34. El grado de 𝑃(𝑦) = 2𝑎𝑦 𝑏−5 + 𝑦 6−𝑏 + 5𝑦 6−𝑏 , es: 4 Rpta. 9

𝟕

𝒏 𝒙𝒏−𝟐 √𝒙𝟑𝒏 𝒚𝒏+𝟐 √𝒚𝟐

𝟑

46. Sean P ( x ) =

2x + 1 , P ( P ( x ) ) = 6x − 15 , x −2

Rpta: 3 47. El grado absoluto del polinomio:

N(x) = (x16 + 1)(x18 + 2)(x 20 + 3)...

, es 76. El valor de n; es:

20

Factores

; es 100. La suma de coeficientes; es:

32. Si P es un polinomio sobre ℝ definido por: 1 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2𝑛+𝑚−15 + 𝑥 𝑚−𝑛 𝑦 5−𝑛 + 𝑥 6−𝑚

Rpta. 85

5−𝑚

Hallar E= 3m-4n.

48. Si P y Q son dos polinomios de grados 4 y 5 respectivamente y el grado del polinomio

Rpta:-2 𝑛

𝑛

33. En el polinomio 𝑃(𝑥) = [(𝑛 − 2)𝑥 𝑛 − 1]𝑛 − 6𝑛 (𝑥 2 − 1) + 2𝑛, el término independiente es −15 y 𝑛 es un ℤ par. El coeficiente principal de 𝑃(𝑥), es: Rpta. 16

ALGEBRA | 5

(

) (

(

) (

2n −3

)

 2 3 2 4  P Q − PQ  , es 8. El valor de n; E= n −2  3 2 2 3 4  P Q + P Q 

)

es: Rpta. 5.

(

50.

62. Hallar la suma de coeficientes del polinomio homogéneo 𝒏

m+ 2

+x

m

+5

) (x

es 108. El valor de “m” , es; Rpta:

Rpta: 3

𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝒙−𝟐𝒏+𝟏 + 𝒚𝒏

49. Si el grado del polinomio

P(x) = x

es: si 𝑷(𝒙) = 𝒎𝒙𝒑−𝒏+𝟓 − (𝒑 + 𝒎)𝒙𝒏−𝒎+𝒑+𝟑 + (𝒎 − 𝒏 + 𝒑)𝒙𝒎−𝟔 ; el valor de m−𝒏 + 𝒑; es.

m

m+ 2

+x

m−1

+8

)

m −2

m0

+

Rpta: 2 63. El grado absoluto del polinomio:

7

𝑷(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟏𝟎 − 𝟖𝒙𝟓 𝒚𝟑 + 𝒚𝟗 − 𝟏𝟎)𝟔 (𝒙𝟓 𝒚𝟔 − 𝟑𝒙𝟑 𝒚𝟕 + 𝟖𝒚𝟖 )𝟓 ; es. Rpta: 115

Si P es un polinomio sobre ℝ definido por:

P ( x, y ) = x

2n + m −15

+x

m−n 5 −n

y

+

1 6 −m . x 5−m

Hallar 3m-4n. Rpta. -2. 51. Si el grado de 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2𝑎 𝑦 𝑏+5 − 3𝑥 𝑎 𝑦 𝑏+2 + 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 es igual a la mitad de la suma de exponentes de todas las variables. Hallar el grado relativo de y. Rpta. 8. 52. Determinar el valor de “m+p+b” para que el polinomio:𝑃(𝑥) = 5𝑥 𝑚−18 + 15𝑦 𝑚−𝑝+15 + 7𝑥 𝑏−𝑝+16 sea completo y ordenado en forma descendente. Rpta. 72. 2

53. Dado 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏, se sabe que la suma de los coeficientes de P es 7, además b es el doble de a. ¿Cuál es el valor de a.b? Rpta. 8. 54. Dados los polinomio P y F, donde el grado absoluto de P es 14 y el menor exponente de x en el polinomio F es 10. El Grado absoluto de F si: 2

𝑃 = 4𝑥 𝑚+4 𝑦 𝑚−4 − √2𝑥 𝑚+4 𝑦 𝑛−1 + 𝑥 𝑚+2 𝑦 𝑛+1 ; 5

𝐹=

𝟐 +𝟑𝒏+𝟏

𝟓 𝟐 𝟐 𝒏+𝟏 ( )𝒙𝟐𝒏 −𝟓 𝒚−𝒏 +𝟐𝒏+𝟐 . 6

4𝑥 3𝑚+7 𝑦 𝑛+1

+ 2𝑥 3𝑚+5 𝑦 𝑛+4

− √3𝑥

3𝑚+1 𝑦 𝑛+6 ;

es: Rpta. 26.

64.

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio: 𝑷(𝒙) = (𝟑𝒙𝟐 − 𝒏)𝒙𝟒−𝒏 𝒚𝒎 + (𝒏 − 𝟗𝒎)𝒙𝒎+𝟏 𝒚𝒎−𝟐 + 𝒎(𝒙𝒚)𝒎 siendo m un número impar. Rpta.: 3

65. Si el grado absoluto del polinomio

𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝒎+𝟓 𝒚𝒏−𝟑 + 𝟐𝒙𝟐𝒎−𝟏 𝒚𝒏 (𝒙𝟏−𝒎 + 𝒚𝟒 ) + 𝟑𝒙𝒎+𝟐 𝒚𝒏−𝟏 , es 22 y el grado respecto a la variable “𝒙” es 7, hallar: 𝒎 ∙ 𝒏 Rpta.: 15.

(

n

)

66. Dados los polinomios: P ( x ) = 2018x n 12x n + 1 nn

nn

2

; Q(x) = (14x − 5x + 8) ; R(x) = 7x + 4;el grado del producto de los tres polinomios es 25. Hallar el valor de n. Rpta: 2. n

67. El término independiente y coeficiente principal de:

P(x) = (x 2 + 3)(x + n + 2 + 8x n )(3x 4 + x 2 + n)(1 + 6x n ) Son iguales. Hallar grado de

P( x)

Rpta: 18.

68. Determinar el grado absoluto del polinomio: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝒏

𝒏

𝒏

𝒏

𝟕𝒙𝐧−𝟒 𝒚𝟐+𝟏 𝐳 𝟗−𝐧 − 𝐧𝒙𝒏−𝟓 𝒚𝟒+𝟏 − 𝟐𝟏𝟎−𝐧 𝒙𝒏+𝟐 𝒚𝟐+𝟑 𝐳 𝟐+𝟐 ;

55. El grado absoluto máximo del polinomio 𝑛

𝑃(𝑥, 𝑦) = 7𝑥 𝑛−2 𝑦 3 − 8𝑥 5 𝑦 7−𝑛 + 4𝑥 2 𝑦 5 , es:

tal que 𝟔 < 𝑮𝑹(𝒙) < 𝟏𝟐. Rpta: 23

Rpta. 8. 56. Hallar el grado del polinomio 𝑃(𝑥) , sabiendo que la suma de sus coeficientes excede en la unidad al duplo de su término independiente. Siendo

𝑝(𝑥 − 2) = 𝑛2 (2𝑥 − 3)2 − (𝑥 − 2)[(𝑥 − 2)2𝑛−3 + 61] Rpta. 4.

69. Si el grado absoluto del monomio: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟐𝒂+𝒃 𝐲𝒂+𝟐𝒃 es 15 y además el grado relativo a x es al grado relativo de y como 2 es 3. Hallar "𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ”. Rpta: 15 70. Hallar el grado absoluto del polinomio: 𝟕

𝑷(𝒙, 𝒚) = (𝒙 + 𝒚𝟐 )𝟕 (𝒙 + 𝒚𝟑 ) (𝒙 + 𝒚𝟒 )𝟕 … (𝒙 +

57. El valor de n en el siguiente polinomio

𝑃(𝑥) = 3𝑥

𝑛−5 3

+ n𝑥

15−𝑛 2

𝟕

+ 𝑥 𝑛−6 , es:

𝒚𝟐𝟎 ) .

Rpta: 11.

Rpta: 1463

58. Sabiendo que: 𝑷(𝒙) = (𝒙𝟕 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏)𝟓 ; 𝑸(𝒙) = 𝟑

𝟎

(𝒙𝟒 + 𝒙 + 𝟏𝟎)𝟔 . Calcular E=[𝑷𝟐 ]𝟎 + [√𝑸] . Rpta: 78

71. Hallar el grado absoluto del polinomio: 𝑃(𝑥) = (𝑥 7 + 1)(𝑥 9 + 2)(𝑥 11 + 3) …(20 factores). Rpta.: 520. 𝑥+2

𝑥

59. Determinar la suma de coeficientes de 𝑷(𝒙) a partir de: 𝑷(𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏. Rpta 55.

72. Si 𝑃(𝑥 + 1) =

60. Si el grado del polinomio:

73. Dado el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 − 14. Calcular el valor de 𝑃(𝑃(4)). Rpta.: -44.

𝒏

𝑷(𝒙) = (𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟕) (𝟏𝟎𝟎𝒙𝟑 − 𝟏) 𝑬=

𝒏−𝟏

(𝟐𝒙𝟓 − 𝟏) es 49

𝑥

𝑦 𝑃(𝐹(𝑥)) =

𝑥−2

; entonces

determinar el valor de 𝐹(𝐹(5)). Rpta: 3.

𝒄𝒐𝒆𝒇 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝟓𝟎𝟏𝟕

.

Rpta: 25 61. Sea 𝑷(𝒙) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio

74. Si el grado absoluto del monomio (𝑎 − 𝑏)𝑥 5𝑎 y 3𝑏−6 es 79 y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo a “y”. Hallar “a.b”. Rpta: 70.

ALGEBRA | 6 Rpta.: 49.

75. Si P(x) = 12 + 22 + 32 + ... + x 2 Determinar el valor de

E=

P(x − 1)P(x)(2x − 1)

84. ¿Cuántos factores se deben de tomar en el polinomio:

P(x) = (x 2 + 1)(x 6 + 2)(x12 + 3)(x 20 + 4)... Tal que P(x) sea de grado 572.

P(x 2 − 1)(4x 2 − 1)

Rpta.: 76. Si:

la siguiente expresión:

2

1 6

P(x) =

Rpta: 11

3x + 4

n

.Calcular:

85. En el polinomio

2x - 3 E = P(P(P(P(2010))))

P ( x, y ) = nx 7

−9

(

y 68 −n − x 2 y

)

n

.

Hallar la suma de sus coeficientes. Rpta. 62

Rpta:2010

86. El grado de la expresión

77. Si 𝑃(𝑥) = 4𝑥 + 5 y 𝑃(𝑄(𝑥) + 3) = 8𝑥 + 5, entonces el valor de 𝑄(4), es: Rpta: 5

(

)(

)(

)

E(x) = x 2 + 1 x 4(4) + 1 x 6(9) + 1 ... es: n factores

78. Sea 𝑃(𝑥 − 2) = 𝑛2 (2𝑥 − 3)2 − (𝑥 − 2)[(𝑥 − 2)2𝑛−3 + 61]. Si la suma de sus coeficientes excede en una unidad al duplo de su término independiente, entonces el grado de 𝑃(𝑥), es:

2

n

P(x) = x n+2 − 4x n+1 − 5x19−n + 3x 6 + 6 ;

f ( x + 2) = x + f ( x) + f ( x + 1);

Sea un polinomio. Rpta. 36.

f ( y ) = 2 f ( y − 1) f (−3) + f (4)

88.

de grado absoluto 22 y grado relativo “a” igual a 9. Hallar x − y

80. Calcular el valor de “m” si la suma de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio:

P(x − 1) = (3mx − 4m)2 + (3x − 4)2m − x 2 + 4,  m  Z

Rpta. -7

(P (P

81. El polinomio

n−2 n 8 2 3 P ( x ) = ( 9x − 7 ) ( 2x + 3x − 1 ) ( x9 + 3 )

es:

) )

+ Q5 + Q4

2n

n+3

es igual a 4.

Rpta:2 90.

Dado el polinomio:

P(x − 1) = (2x − 3)2n + (3x − 2)2n − 32(x − 2) si se

Rpta:9

cumple que el término independiente es 2 veces la

Si el grado del polinomio:

P(x, y) = (x n+2 + y n+1 )(7x 3n+4 + y n+3 )(x 2 + 6n + 3)5

suma de los coeficientes del polinomio P ( x ) , el

Es

valor de n, es: Rpta. n=1

36. Hallar el valor de “n” Rpta.: 5. 83. Si el grado del polinomio: m+2 m m+2

P(x) = (x

7

5

Tiene como grado 47, entonces se puede afirmar que:

82.

respecto a

89. Hallar el valor de n si GA(P)=3; GA(Q)=4 y se conoce que el grado absoluto de la expresión

Es el cuádruplo de su término independiente. Rpta:2

coef principal de P ( x )

Dado el polinomio:

Q(a,b) = 3a x +5b y −3 + 6a 2x −1b y (a1− x b4 ) + 8a x +2b y −1

Rpta: 1

5

2

87. Hallar la suma de todos los valore de n, para que:

79. Dado la siguiente expresión:

Halle

n2 ( n + 1)

Rpta:

+ x + 5)(x

2

91.

+x

108. Calcular el valor de “ m ”.

m−1

m −2

+ 8)

; Es

Calcular P(1,1) a partir de:

P(x, y) = a 2 x 2a +3 y 3b −1 + b2 x 2a y 3b + 4 + 2abx 2a +1y 3b +2 + x 2a +2 y 3b +3

ALGEBRA | 3

POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO: Todos sus términos poseen igual grado. Pero no semejantes. Ejemplo:

P(x, y) = 4x 5 y 8 − 7xy12 + x10 y 3 G=13

G=13

G=13

Se dice que: P(x,y) es homogéneo, cuyo grado de homogeneidad es 13. 2. POLINOIMIO ORDENADO: Presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables. Ejemplo: P(x,y) = x9 y2 – 4x7 y8 + 3x4 y10 + x2 y15 El polinomio está ordenado con respecto a “x” en forma decreciente y con respecto a “y” en forma creciente. 3. POLINOMIO COMPLETO: Con respecto a una variable, es aquel que tiene desde su máximo exponente, en forma consecutiva, hasta el grado cero (término independiente) Ejemplo: P(x) = 2x4 – 3x3 + 8x2 – x + 5 P(x,y) = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 OBSERVACIONES: ▪ En todo polinomio completo y ordenado de una sola variable se cumple que el número de términos estará determinado por el grado del polinomio aumentado en la unidad.

# Tér min os = Go + 1 ▪

En todo polinomio completo y ordenado (en general para todo polinomio) se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad.

suma de coeficientes = P (1) ▪

Análogamente el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la(s) variable(s) por cero.

T.I = P ( 0 ) 4. POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios, del mismo grado y con las mismas variables, serán idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes en ambos son iguales. Ejemplo:

ax5 + bx2 + c  3x5 − 7x2 + 9 Se cumple que: a = 3 ; b = -7 ; c = 9 5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Llamado también polinomio cero es cuando todo los coeficientes de sus términos son nulos o ceros.

EJERCICIOS 1. Dado el polinomio: P(x,y) = x3m+2ny4 + 3x2m-1y-3n + 5x2myn+7 Sí el polinomio P es homogéneo, el valor de E=(m – n), es: Rpta:7 2. El grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente: P(x) = x12 – 2a + x2a – 3 + x4 – 2a, es:

Rpta:8 3. Siendo el polinomio P(x,y,z) = 3axa+2yb+2 + 2bya+1zc+3 + 5cxb+4zc, un polinomio homogéneo de grado: 𝑛 + 2. Calcular el valor de:

E=

1− n

a n + bn + c n (a + b + c) n

Rpta:3 4. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio Homogéneo

𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑝𝑥 𝑛

2 −5

𝑦12 + 5(𝑝 − 𝑞)𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 + (13𝑞 +

2 4)𝑥 𝑛 𝑦 3𝑛−14

Rpta. 452 5. Si 𝑃(𝑥) = 2𝑎𝑥 𝑏+2 − 3𝑏𝑥 𝑏+𝑎+7 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 2𝑎+𝑐 es completo y ordenado creciente, el valor 𝑃(1), es: Rpta. -4

6. Si 𝑃(𝑥) = (𝑎 − 2)𝑥 3 + (2𝑎 − 𝑏 − 3)𝑥 + (2𝑐 − 3𝑏) y 𝑄(𝑥) = −4𝑥 3 − 5𝑥 + 6 son idénticos, entonces ¿−𝑎 + 𝑏 + 2𝑐? Es: Rpta. 0

ALGEBRA | 4 7. Hallar el número de términos del polinomio ordenado y completo.

P(x) = (n− 2) x Rpta: :

n −7

+ (n− 3) x

n −6

P ( x ) = x17 + x 3 n −1 + x 2 n +1 + x

+ ...

Es ordenado en forma descendente, halle la suma de los posibles valores de “n”

5

Rpta. 8

8. Dado el polinomio

P(x, y) = x

3m + 2n

4

y + 3x

2m −1 3n

y

+ 5x

2m

y

n +7

, si

18. Si el polinomio

el polinomio P es homogéneo, entonces el valor de E = m − n es: Rpta: :7

P( x ) = m2nx m +n +

Es completo y ordenado en forma decreciente, halle el número de términos del polinomio.

+ (n− 3) x

n −2

Rpta. 11

p n −2 x + (3 − m) x 7 4 m

Q(x) = Hallar

2n −1

2

n +p 1 Rpta: 8

19. Si los polinomios p(x) y q(x) son idénticos y completos n

p ( x ) = ( a − 1) x 2 + (1 − b ) x n −3 + 2c

2

n

92. Hallar el número de términos del polinomio ordenado y completo.

P(x) = (n− 2) x Rpta: :

n −7

+ (n− 3) x

n −6

+ ...

Determine la suma de coeficientes de a

m−n

m

P(x, y, z) = (2m + b)x m + (m − n)y n − (m + b)x m Rpta. 6

es:

20. Si

n

m−n

m

21. ¿Cuánto hay que agregar al polinomio:

Q( x, y ) = 3x 4 + 5 xy 3 − 2 x 2 y 2 Para que sea un polinomio homogéneo además

Rpta: 3 13. Hallar la suma de coeficientes del polinomio homogéneo 𝟓

𝒏+𝟏

+(

6

)𝒙𝟐𝒏

P ( x, y )

y

completo respecto a “x” y la suma de coeficientes es 21

12. Sea 𝑷(𝒙) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: si 𝑷(𝒙) = 𝒎𝒙𝒑−𝒏+𝟓 − (𝒑 + 𝒎)𝒙𝒏−𝒎+𝒑+𝟑 + (𝒎 − 𝒏 + 𝒑)𝒙𝒎−𝟔 ; el valor de m−𝒏 + 𝒑; es.

𝟐 +𝟑𝒏+𝟏

es

es:

11. Determinar el valor de “m+p+b” para que el polinomio:𝑃(𝑥) = 5𝑥 𝑚−18 + 15𝑦 𝑚−𝑝+15 + 7𝑥 𝑏−𝑝+16 sea completo y ordenado en forma descendente. Rpta. 72.

𝒏

2 2 P ( x ) = x n −5n + x c+4 + + 2x d+2 + x 2d + + x a +a +1

un polinomio completo y ordenado de 3n - 1 términos, halle el menor valor de a + d + c + n. Rpta: 1

10. La suma de coeficientes del polinomio homogéneo:

P(x, y, z) = (2m + b)x m + (m − n)y n − (m + b)x m Rpta. 6

n

Rpta: -27

93. La suma de coeficientes del polinomio homogéneo: n

−1

q ( x ) = ax 2 + ( b + 4 ) x m +3 + n − 1 − c

r ( x ) = ( bx + m ) ( cx + b )

5

𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝒙−𝟐𝒏+𝟏 + 𝒚𝒏

+ (n − m)x 2n −1 + mx m−3

2

9. Dados los polinomios idénticos

P(x) = (m− 5) x

n +1 2

Rpta:

P(2,1) = 114 ?

7 x3 y + 8 y 4 2

𝑏2

𝑏2 +20

22. Dado el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑎 +𝑥+𝑚 − 2𝑥 5 𝑦 𝑎+1 + 3𝑦 5 Homogéneo, además 𝑎 < 𝑏 < 9, el valor de 𝑚, es: Rpta. -3 23. Si el polinomio homogéneo:

𝟐 −𝟓

𝒚−𝒏

𝟐 +𝟐𝒏+𝟐

.

Rpta: 2 14. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: 𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎3 𝑥 𝑎 − 𝑏2 𝑦 𝑏 + 𝑎𝑏𝑧 𝑎 , es:

P ( x, y ) = x m +5 y n −3 + x m + 4 y n − 2 + ... Es ordenado y completo con respecto a “x”. Calcular (m+n) si el grado relativo a x es 10 y el grado relativo a y es 15. Rpta:13

Rpta: 68 15. Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎(3𝑥 2 − 𝑥 + 2) + 𝑏(2𝑥 − 1) − 𝑐(𝑥 2 − 𝑥) − 6𝑥 es idénticamente nulo. El valor de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐), es: Rpta: 6

2 m +1

− 3x

3− m

+ (m + 2) x

m−2

ordenado en forma decreciente, la suma de sus coeficientes, es: Rpta: 3 17. Si el polinomio:

E = a 33 +

es idénticamente nulo.

16. Dado el polinomio

P ( x) = mx

2 , si el polinomio: a 99 6 9 P( x) = (a3 + b − c − 10) x a + (c − b + 9) x a

24. Hallar el valor de:

Rpta:3

,

ALGEBRA | 5

ADICIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P(x) = am x m + am−1 x m−1 + ⋯ + a2 x 2 + a1 x + a0 , m

Q(x) = bn x + bn−1 x

m−1

am ≠ 0

2

+ ⋯ + b2 x + b1 x + b0 ,

bn ≠ 0

El polinomio suma, está definido por:

(P + Q)(x) = P(x) + Q(x) = (am +bn )x m + (an−1 +bn−1 )x m−1 + ⋯ + (a1 +b1 )x + (a0 +b0 ), (am +bn ) ≠ 0 SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P(x) = am x m + am−1 x m−1 + ⋯ + a2 x 2 + a1 x + a0 , Q(x) = bn

xm

+ bn−1

x m−1

+ ⋯ + b2

x2

am ≠ 0

+ b1 x + b0 ,

bn ≠ 0

El polinomio diferencia, está definido por:

(P − Q)(x) = P(x) − Q(x) = (a𝑚 −bn )x m + (an−1 −bn−1 )x m−1 + ⋯ + (a1 −b1 )x + (a0 −b0 ), (am +bn ) ≠ 0 MULTIPLICACION DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P(x) = am x m + am−1 x m−1 + ⋯ + a2 x 2 + a1 x + a0 ,

am ≠ 0

Q(x) = bn x n + bn−1 x n−1 + ⋯ + b2 x 2 + b1 x + b0 ,

bn ≠ 0

El polinomio producto, está definido por:

(P ∙ Q)(x) = P(x) ∙ Q(x) = am bn x m+n + ⋯ + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x 2 + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0 Ejemplo:

Dado los polinomios: n

P(x) = (2x n − 5x n + 3)

nn

;

2

n

Q(x) = (7x n + 6x n − 4) y R(x) = 9x − 4 Si el grado del producto de los tres polinomios

es 25, el valor de n es: Solución: n

nn

2

n

P(x) ∙ Q(x) ∙ R(x) = (2x n − 5x n + 3) ∙ (7x n + 6x n − 4) ∙ (9x − 4) GA(P) = nn ∙ nn = [nn ]2 ; GA(Q) = 2nn ; GA(R) = 1 Entonces: GA(P ∙ Q ∙ R) = [nn ]2 + 2nn + 1 = 25

[nn ]2 + 2nn − 24 = 0 ≡ (nn + 6)( nn − 4) = 0 ⟹ nn = 4 y n = 2

PRODUCTOS NOTABLES Son casos especiales de la multiplicación de polinomios, con los cuales se obtiene el polinomio producto en forma directa sin efectuar la operación de la multiplicación. Sean a, b, c, d, e y f expresiones algebraicas, entonces: 1. Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 2.

Producto de la suma por su diferencia

(a + b)(a − b) = a2 − b2 3.

Producto de binomios que tienen termino común

(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab 4.

Producto de la diferencia de un binomio por un trinomio

(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3

ALGEBRA | 6 5.

Producto de la suma de un binomio por un trinomio

(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 6.

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b) 7.

Trinomio al cuadrado

(a + b ± c)2 = a2 + b2 + c 2 + 2ab ± 2ac ± 2bc 8.

Trinomio al cubo

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) 9.

Identidad de Argand

(𝑎2 + 𝑎 + 1)(a2 − a + 1) = a4 + a2 + 1 (a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2 b2 + b4 (a2n + 𝑎𝑛 𝑏 𝑚 + b2m )(a2n − 𝑎𝑛 𝑏 𝑚 + b2m ) = a4n + a2n b2m + b4m 10. Identidad de Legendre (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab (a + b)4 − (a − b)4 = 8ab(a2 + b2 ) 11. Identidad de Lagrange (a2 + b2 )(c 2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 (a2 + b2 + c 2 )(d2 + e2 + f 2 ) = (ad + be + cf)2 + (ae − bd)2 + (af − cd)2 +(bf − ce)2 Ejemplo: Simplificar la expresión

E = √16a2 +

(a + b)4 − (a − b)4 + b2 a2 + b 2

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: E = √16a2 +

E = √16a2 +

[(a + b)2 − (a − b)2 ][(a + b)2 + (a − b)2 ] + b2 a2 + b 2

2(a2 + b 2 )4ab + b 2 = √16a2 + 8ab + b 2 = √(4a + b)2 = 4a + b a2 + b 2

Ejemplo: Simplificar la expresión

M = (x 2 − x + 1)(x 2 + x + 1)(x 4 − x 2 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1) 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: M = (x 4 + x 2 + 1)(x 4 − x 2 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1) M = (x 8 + x 4 + 1)(x 4 − 1) = x12 − 1

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

ALGEBRA | 7 Dados dos polinomios reales P(x) de grado m ≥ 1 y D(x) de grado n ≥ 1, con m ≥ n ≥ 1; existen dos polinomios únicos Q(x) y R(x), tales que:

𝐏(𝐱) = 𝐃(𝐱) ∙ 𝐐(𝐱) + 𝐑(𝐱) Observación: 1. 2. 3. 4. 5.

Grado del dividendo ≥ grado del divisor Grado del divisor > grado del resto Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor Grado máximo del resto = grado del divisor – 1 Grado mínimo del resto = 0 MÉTODOS DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

A. MÉTODO DE HORNER Para poder dividir polinomios mediante este método, primeramente los polinomios del dividendo y del divisor deben ser completos y ordenados con respecto a una sola variable, luego se utilizan sólo los coeficientes según el esquema siguiente: CON SU MISMO SIGNO CON SU MISMO SIGNO

D I V I D E N D O

d i v i s o r

CON SIGNO CAMBIADO

RECTA MOVIL (INDICA GRADO DEL RESIDUO)

C O C I E N T E

RESIDUO

Ejemplo: En la división 8x5 + 4x3 + Ax2 + Bx + C entre 2x 3 + x 2 + 3 deja un residuo de 5x2 + 11x + 7 el valor de A + B − C es: Solución: 2

8

−1

0

4

A

−4

0

− 12

2

0

6

−3

0

0 3 4

−2

3

A − 15

B

C

−9

B+6 C−9

2

R(x) = 5x + 11x + 7 = (A − 15)x2 + (B + 6 )x + C − 9 Igualando los coeficientes se tiene: A − 15 = 5 ⟹ A = 20 ;

B + 6 = 11 ⟹ B = 5

;

C − 9 = 7 ⟹ C = 16

Luego A + B − C = 9 B. MÉTODO DE RUFFINI Este método se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor sea de la forma D(x) = ax ± b o cualquier polinomio transformable a esta. Para tal efecto primeramente los polinomios del dividendo y del divisor deben ser completos y ordenados con respecto a una sola variable, luego se utilizan sólo los coeficientes según el esquema siguiente:

D I V I D E N D O b

x = ∓a

C O C I E N T E a

RESIDUO

Ejemplo: En la división 3nx 5 + (n + 3)x 4 + 2(2n − 1)x 3 − 4nx 2 + 9nx − 2n entre 3x − 2 se obtiene un cociente entero donde la suma de coeficientes del cociente es igual a dos veces el residuo. Hallar n. 3n x=

2 3

n+3

4n − 2

− 4n

9n

− 2n

2n

2n + 2

4n

0

6n

3n

3(n + 1)

6n

0

9n

n

(n + 1)

2n

0

3n

4n

÷3

Como: n + (n + 1) + 2n + 0 + 3n = 2(4n) ⟹ n = 1 C. TEOREMA DEL RESTO

ALGEBRA | 8 Este teorema nos permite calcular directamentamente el residuo de la division de un polinomio P(x) de cualquier grado entre un divisor binomio de primer grado o transformable a primer grado. Enunciado: El resto de la division del polinomio P(x) de cualquier grado entre un divisor binomio de primer grado de la b

𝑏

a

𝑎

forma, es igual al valor numerico de 𝑃 (∓ ) que toma dicho polinomio cuando en él se sustituye x por (− ), es decir:

𝑏 𝑅(𝑥) = 𝑃 (− ) 𝑎 Ejemplo: Hallar el resto de dividir

2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥 + 1 entre 2𝑥 + 1 Solución:

1 1 4 1 3 1 2 1 𝑅(𝑥) = 𝑃 (− ) = 2 (− ) − 3 (− ) + 4 (− ) − 5 (− ) + 1 = 5 2 2 2 2 2

EJERCICIOS 1.

De los siguientes productos

( x + x y + y )( x − x y ( x + 3x + 1)( x − 3x + 1) ( x + 3x + 9)( x − 3x + 9) ( x + x + 1)( x − x + 1) 6

I. II. III. IV.

3 2

4

6

2

2

2

2

3 2

+ y4

)

II.

III. ( x

¿Cuántas de las siguientes proposiciones verdaderas? I. (𝑥 2 − 1)(𝑥 4 − 𝑥 2 + 1) = 𝑥 6 − 1 II. (𝑥 2 + 2𝑥 + 4)(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) = 𝑥 4 + 4𝑥 2 + 16 III. (𝑥 2 + 4𝑥 + 4)(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) = 𝑥 4 + 4𝑥 2 + 16 IV. (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦) = 𝑥 2 − 4𝑦 2 V. (𝑥 2 − √2)(𝑥 2 + √2) = 𝑥 4 − 2 Rpta: 3

3.

6.

Si mx + 10 m + 24 x + 49 es un trinomio cuadrado perfecto, el valor de m , es: Rpta: 25.

7.

Si

son

8.

2

x3 + x −3 = ( x + x −1 )( x 2 − 2 x( x −1 ) + x −2 )

IV.

( x + 3)

2

− ( x − 3) = 12 x 2

(

II.

(a + b − c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2(ab + ac − bc)

IV.

) −( 2

(

a− b

27 − 8 = 5 + 6

9.

)(

)

2



x + y 2  z - y 2 + z   x 

y x − = 3( x − y ) ,hallar y x

Si

 xy yx  W =  x + y  x  0, y  0 y x   Rpta: 16

= 2(a + b) a  0  b  0

3− 2

10.

entonces

Si

12.

Rpta.: FFVFV

x 2 − 4 x + 1 = 0 . hallar el valor de x 4 + x −4

Rpta. 194

3x + 2y resulta 11. y Si

a3 = b3

E=

¿Cuál de las afirmaciones son verdaderas? I. El coeficiente del término de primer grado de

( x − 5)( x + 7)

(𝑥+𝑦+𝑧)10

Rpta: 3 11.

2x 2 − 6xy + 8y 2 = (x + y)(x − y) ,

9

Si 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 . El valor de 𝐸 = √ 10 10 10 𝑥 +𝑦 +𝑧 es:

)

argand.

5.

+ 

2

2

(x 2 + 3x + 1)(x 2 − 3x + 1) corresponde a la identidad de

V. Si

y

 

4

I.

III.

ab + bc = 5 + ac .El valor de

Rpta: 3

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadero o´ (F) si es falso.

a+ b

z - x 2



Rpta: 𝐹𝐹𝐹𝑉 4.

y

x-z + z2 =1 z - y ( x + y )( z - y )

Si:

M = 

2

III.

a = b−c+5

Hallar:

( x + y − z ) = x + y − z + 2 xy − 2 xz − 2 yz 3 3 2 2 3 II. ( x − y ) = x + 3 x y + 3 xy − y I.

2

2

2 2 2 a + b + c , es: Rpta: 35

De las siguientes proposiciones indicar en ese orden si son verdaderos con (V) y si son falsos con (F) 2

+ y 2 )2 − ( x 2 − y 2 )2 = (2 xy )2

2

Rpta. Solo II

Los que corresponden a la identidad de Argand, son: Rpta: I,III y IV. 2.

1+ x3 = 1 + x + x 2 ; x  −1 1+ x

y , halle el valor de:

ab (a − b )2

Rpta. -1/3

es -2 13.

Si se cumple que:

ALGEBRA | 9

1 + x2 = 6 ; x  1 x2

28.

Si 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 al reducir Rpta.

18

𝑥 6 +1 𝑥 5 +𝑥

, es:

7

Halle el valor de la siguiente expresión 29.

1 1 ( + x )2 − 2( x − ) + 6 ; x  1 x x

Si 2𝑎 4 − 5𝑎 2 + 2 = 0 con 𝑎 ≠ 0 , entonces el valor de

(

𝑎2 +1 𝑎

Rpta.

Rpta. 6 14.

Reducir: Rpta:

E=

3

3

3

3

30.

(a + b)(a − b ) + (a − b)(a + b ) 4

a −b

2

Sabiendo que

1  a +  = 3 a 

.Hallar el valor de

a

a + b + c = 5 y a 2 + b2 + c2 = 7 ab + ac + bc , es:

Si

32.

ab  0

Si

,

n

x +y

3

(

n

xn yn

Si (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 4(𝑎𝑐 + 𝑏𝑐); 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ/ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑐 ≠ 0 . Hallar el valor de 𝐸. 𝐸 = [5 + 2 (

2

33.

𝑎+𝑏 𝑏 −𝑎 )] − 2 [ ] (𝑎 − 𝑏)𝑐 𝑐

) (

34.

E=

(𝑝+𝑞)2 −(𝑝−𝑞)2

35.

( ax + by )2 + ( ay − bx )2 x2 + y2

𝑥 4 +𝑥 2 +1

Si 𝑎 𝑥 + 𝑎−𝑥 = √√2 + 2 Rpta: 𝑎4𝑥 + 𝑎−4𝑥

2x + x

Si x − x Rpta. 140 Si

x+

,sabiendo que

3

= 5 , el valor de x − x

a+b=2 3

3

y 2

ab = 3 2

M=a +b +a +b

Si (

𝑥+𝑦 −2 𝑥−𝑦

Rpta. 1

)

, es:

1 x

,

−3

el

Si

1 𝑛

+

1 𝑚

=

4 𝑚+𝑛

, el valor de 𝐸 =

𝑥+𝑦 2 4

) , es:

𝑛2 +𝑚2 𝑛𝑚

+

n+2m 2𝑛

+

2m 𝑛+3𝑚

Si (𝑎 + b + 5)3 = 30(a + b)2 + 250 . El valor de 𝑎 2 − 𝑎 + 𝑏 2 − b + 2ab ; es: Rpta. 20.

39.

Al simplifica la expresión:

(𝑥 2 − 𝑦 3 )(𝑥 6 + 𝑦 9 )(𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 6 ), se obtiene: Rpta: 𝒙𝟏𝟐 − 𝒚𝟏𝟖 . 40.

Si 𝑥 + 𝑦 = √5 , 𝑥𝑦 = 1 . El valor de 𝐸 = x − y , es: Rpta: 1.

41.

Simplificar: 𝑄 =

de

14(𝑎+𝑏+𝑐)2 −14(𝑎+𝑏−𝑐)2

Rpta: 8.

= 6 i 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0, entonces (

, es:

38.

, es:

, es:

𝑎 2 𝑏2

Rpta: 4.

= 7 ,es:

valor

(𝑎2 +𝑏2 )(𝑎2 𝑏2 +1)

Rpta. 74.

Rpta. -12 27.

𝑎4

valor de 𝐸 =

x2 + x −2 = 11 , entonces el valor de x − x −1 ,es: −1

𝑎8 +𝑎6 +𝑎2 +1

Si se sabe que 𝑎 2 − 5𝑎 − 1 = 0 y 𝑏 2 − 7𝑏 + 1 = 0 , el

,es:

Rpta: 32

26.

36.

37.

Rpta: 3

25.

a 2 + b2

Rpta. 40.

Si 𝑧 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 − 12. Hallar el valor de 𝐸 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2 Rpta: 𝐸 = 0

−1

, se obtiene:

Si se sabe que 𝑎 2 − 2𝑎 − 1 = 0, el valor de:

𝐸=

(𝑥 2 +𝑥+1)(𝑥 2 −𝑥+1)

El valor de

)

Al simplificar la expresión

Rpta.

Rpta: 1

24.

, es:

4[(𝑝+𝑞)2 −2(𝑝+𝑞)(𝑝−𝑞)+(𝑝−𝑞)2 ]

Rpta: 2𝑞

Si

2

Rpta. 2

Rpta: 𝑎𝑏

23.

)

a + b + c = 7 y a 2 + b2 + c2 = 31 , 18 − 2ab E= , es: ac + bc

4

22.

(

de:

Sabiendo que el valor de

18. Dados:𝑃 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 − 𝑐 + 𝑏),𝑄 = (𝑎 + 𝑐 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐) 𝑃−𝑄 Hallar

21.

simplificada

4 ab

−

Rpta.

2

Rpta: 51

Simplificar:

expresión

( a + b )2 + ( a − b ) − 4 a 2 − b2   M= 2 2 a 3 − b3 − a 3 + b3

2

2

20.

la

2 2

n

19. Reducir: 𝑀 =

, el valor de

Rpta. 9

n

17.

xy ( x + 1) = 1 , el valor de

y

3

x y   +   = 62 .El valor de E = x y

, es: Rpta:

31.

1

Dado el polinomio Rpta: 0

Si

x3 + y3 = 5

Si

Rpta. 4

E = a3 +

16.

9 2

( x + y )2 , es:

4

2

15.

2

) , es:

42.

43.

7(𝑏𝑐+𝑎𝑐)

.

Simplificar: (a − b + c − d)(a + b + c + b)(a + b − c − d)(a − b − c + d) − 2[(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)(𝑐 − 𝑑)]. Rpta: 0. ¿Cuál es el valor de

(𝑚 −

𝑝)2

= 4𝑚𝑝?

2𝑝 𝑚

si se cumple que (𝑚 + 𝑝)2 +

A L G E B R A | 10 Rpta: 2. Si 𝑧 + 2𝑥 + 3𝑦 = 0 Rpta: 18𝑥𝑦𝑧

45.

Si: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 4 = 2𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 − 7. Halle el valor de 𝑀 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 . Rpta: 9. 4

.

𝑧 3 + 8𝑥 3 + 27𝑦 3

44.

Hallar

Si 𝑎 − 𝑏 = √5 , Rpta: 5.

47.

Si 𝑎 + b = 3 y 𝑎b = 4. Hallar 𝑎 3 + 𝑏 3 . Rpta:-9.

48.

Si 𝑎 3 + 𝑏 3 = 40 Rpta: 12.

49.

Si

𝑎+𝑏 −1 𝑎𝑏

)

𝑥

𝑎

b

4

4

Rpta: 2 51.

=

𝑥

1 2

(a + ) ; es: 𝑎

Rpta: 13/4.

𝑎2 +𝑏2

el

(𝑥+𝑦+𝑧)2 2

valor

+

de 𝑀 =

(𝑥−𝑦+𝑧)2 2

3

1

2

2

Si 𝑎 𝑥 + 𝑎−𝑥 = √ + √ . Calcular el valor de a4x + a−4x .

√𝑥+𝑦 6 √𝑥𝑦

Si x 3 + y 3 = 35 ; 𝑥. 𝑦 = 6 , entonces; x 2 + y 2 es igual a: Rpta: 13.

67.

Calcular : 𝑥 3 − 𝑥 −3 , si: 𝑥 − 𝑥 −1 = 5. Rpta:140.

68.

Calcular el

; es:

2𝑎𝑏

3

66.

;

es: valor

69.

Calcular el valor de 𝑥(𝑥 + 1) a partir de:

(

𝒙+𝟏 𝟒 𝒙

) +(

𝒙

Sabiendo que x +

𝟒

Hallar el valor numérico de: 𝑀 =

(𝑎−𝑏)2 +(𝑏−𝑐)2 +(𝑎−𝑐)2 12

; si

Rpta: 3/2. 54.

70.

Si se cumple que: Rpta: 256

2𝑦

+

2y 𝑥

𝑥 8

= 2 ; el valor de ( ) ; es. 𝑦

Al

reducir

la

(a

expresión

( a + 2b )2 − ( a − 2b )2 + a 2 + 16b2  − ( 4b − a )2  

;

1 = 3 , determinar el valor de es : x

Simplificar la expresión: 3

2

− b2

Rpta: 55.

1

si: √𝑥 + = 4 . √𝑥

Rpta:20.

𝑎 − b = (b − c) = √3. 𝑥

𝑥 + 𝑥 −1 ,

1 1  1  1  A =  x x + ( )x   ( x ) x + ( )x    x x   

) = 𝟓𝟐𝟕

𝒙+𝟏

Rpta: 3 53.

de

Rpta:14.

− (𝑥 + 𝑧)2

Rpta: y 52.

.

(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑧) − (x + y + z)2

Rpta: 1

; el valor de 𝑁 = √

,

𝑦

Simplificar 𝑃 = √

Si 𝑎 ≠ 0 tal que 4(a4 + 1) = 5a2 , entonces el valor de

65.

𝑎. 𝑏 = 2 . El valor de 𝑎 2 + 𝑏 2 es.

y

− =

62x−y

Si

64.

.

Rpta: 1 50.

Simplificar Rpta: −y 2.

𝑎𝑏 = √5 . Calcular 𝑁 = 𝑎2 − 𝑏 2 .

46.

(

63.

se

71.

obtiene:

Si

)( a

4

)

+ a 2b2 + a 4 − 3a 2b2 ( a + b )( a − b )

a 2 − b2

a+b = 4

,

ab = 5

.

Calcular

E=

a 3 + b3 a 2 + b2

Rpta: 2/3.

Rpta: 16ab. 72. 56.

Si

𝑎 𝑏

+ = 2 ; donde 𝑎 ≠ 0 , b ≠ 0 . Hallar el valor de:

𝐸 = (𝑎−3)2

Rpta: 1 57.

+(𝑏−1)2

Simplificar 𝑄 =

; es.

28(𝑎+𝑏+𝑐)2 −28(𝑎+𝑏−𝑐)2 7(𝑏𝑐+𝑎𝑐)

Rpta: 4

x19 +x16 +2x12 −7x5 +9x−1

el valor de las siguientes proposiciones I. su resto es un polinomio constante. II. su resto es x+2. III. la división es exacta. IV. su resto es x-2. Rpta: FVFF.

b

𝑎 (𝑎−1)2 +(𝑏−3)2

Al efectuar la siguiente división:

. 73.

𝑥

x2 +1

El resto de dividir 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2)6 + 2(𝑥 3 + 3) 𝐷(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 es: Rpta: 𝟐𝟔𝒙 + 𝟑𝟏

. Dar

entre

58.

Efectuar: 𝑅 = √(𝑎 𝑥 + 1)(𝑎 𝑥 − 1)(𝑎 2𝑥 + 1) + 1. Rpta: 𝒂𝟒

74.

59.

Si p − q − r = 2 y pq + pr = qr . Hallar el valor de: p2 + q2 + r 2 . Rpta: 4.

Obtener un polinomio de segundo grado, que es divisible entre (2𝑥 + 1), su coeficiente principal es 4 y al ser dividido entre (𝑥 − 2) el resto es 5. Rpta: 4𝑥 2 − 4𝑥 − 3

75.

Al efectuar la división:

60.

Reducir:

𝐸=

x m + 2 + (2m − 1)x + m x −1

2 2 (2𝑎2 +2𝑏2 ) +4(𝑎2 −𝑏2 ) 2 2 4 4 4 4 (𝑎 +𝑏 ) −(𝑎 −𝑏 ) 1 1 + 𝑎4 𝑏4

Rpta: 2

La suma de coeficientes del cociente es a su resto como 13 es a 12. Halle el resto de dicha división:

61.

Si 𝑃(𝑥) = 𝑚𝑥 2 + 10√𝑚 + 48x + 49 , cuadrado perfecto. Hallar el Rpta: 50.

62.

Si P ( x, y ) = ( x + y ) x 3 − y 3 x 2 − xy + y 2 x 4 − x 2 y 2 + y 4

(

Hallar 𝑃(√3, √2). 4

Rpta: 23.

6

)(

es un trinomio valor de “m”.

)(

)

Rpta: 12

. 76.

Hallar el resto de dividir:

2(x + 1)8 − x n (x + 2)n + 4 x 2 + 2x − 1

A L G E B R A | 11 Rpta:35 81. 77.

82.

Halle el resto que se obtiene al dividir

83.

2x 5 + 7 x 4 − 3 x 3 + 5 x + 1 Halle x 3 + 3x 2 − 4x − k

Los coeficientes del cociente van disminuyendo de en uno en uno a partir del primero y el resto es igual

R( x) = 5 x 2 + 6 x + 7 . Calcular el valor de E= m + n + p + q + r + t . (𝐱+𝟏)(𝐱+𝟐)(𝐱+𝟑)(𝐱+𝟒)(𝐱+𝟓)(𝐱+𝟔) 𝐱 𝟐 +𝟕𝒙+𝟐

𝐚𝐛𝐱 𝟒 +(𝐚+𝐛𝟐)𝐱 𝟑 +𝐛𝐱 𝟐+(𝐚+𝐛𝟐 )𝐱+𝐚 𝒂𝐱 𝟐 +𝐛𝐱+𝐚

𝑹(𝐱) = 𝐚𝐱 + 𝐛 , el valor de 𝑬 =

𝐚−𝟏 𝒃

Rpta:

5x + 3

Sea

entre

2

Q(x) = ax + bx + c 4

3

+ 3x − 8x + 1 − 4x

2

Entre

x − (x + 1) .El valor de a + b − c , es:

Rpta:

8

Hallar el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 , si el dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 4𝑥 5 − 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑎 𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 + 1 entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 4, deja un resto de 𝑅(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1. Rpta: 18

89.

El reto de dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 7 − 3𝑥 6 + 4𝑥 5 − 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 1 entre 𝑥 2 − 3, es: Rpta: 87𝑥 − 88

90.

El resto de dividir 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 4)50 + (𝑥 + 3)21 + 2𝑥 − 3 entre (𝑥 + 4)(𝑥 + 3), es: Rpta: 4𝑥 + 4

91.

Al simplificar la expresión 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) − (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) se obtiene: Rpta: 6

, es:

Al dividir 𝟔𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 + 𝟔 entre 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 el valor de 92.

𝑞(1) − 𝑅(0), es: Rpta. 25

El resto de la división Rpta: 7.

El término independiente del resto de dividir (𝑥 2 + 4𝑥 + 4)3 (𝑥 + 2) + 3(𝑥 + 2)2 + (𝑥 + 1) entre 𝑥 2 + 4𝑥 + 3, es: Rpta. 9

7)

Al

dividir

√𝟐𝒙𝟓 + (𝟏 − √𝟏𝟎)𝒙𝟒 + 𝟐√𝟓𝒙𝟑 − 𝟑√𝟓𝒙 + 𝟑√𝟏𝟎

entre 𝒙 − √𝟓 + √𝟐

el

término

independiente

93.

Rpta. −𝟑√𝟐

Si la división:

3 2 4x + mx − 2x + 5 entre x − 1 , el residuo sea 5

RPTA:

m = −2

x2 +x+1

, es:

abx4 +(a+b2 )x3 +bx2 +(a+b2 )x+a 𝑎x2 +bx+a

el

valor

Rpta: -2. 94.

Hallar

el

resto

Rpta: 16𝑥 + 3. 95.

de

dividir

. Tiene por

de 𝐸 =

a−1 𝑏

,

es:

x(x+1)8 −x5 (x+2)5 +4 x2 +2x−1

.

Un polinomio 𝑃(𝑥) se ha dividido por (2x + 1) y (x − 1), hallándose los residuos 6 y 3 respectivamente, entonces el resto de la división 𝑃(𝑥) entre

(2x + 1)(x − 1), es: El valor que debe tomar “m” para que al dividir

x28 −x25 +7

resto 𝑅(x) = ax + b ,

del

coeficiente, es:

80.

el cociente de la división

2

88.

𝐱 𝟐𝟖 −𝐱 𝟐𝟓 +𝟕

Rpta:7

6)

2

x + x −2

Un polinomio 𝑃(𝑥) de tercer grado tiene el mismo valor numérico 15 para 𝑥 = −1, 𝑥 = −2 y 𝑥 = 3. Si la suma de sus coeficientes es 3, el polinomio 𝑃(𝑥) es: Rpta: 𝑥 3 − 7𝑥 + 9

Rpta: -2 𝐱 𝟐 +𝐱+𝟏

P(x)

87.

. Tiene por resto

, es:

x −1

Si al coeficiente del termino cúbico del polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 6 + 3𝑥 − 4 + 𝑥 3 , se le incrementa 𝑎 unidades y al dividirlo entre (𝑥 + 1) se obtiene un resto de 14. El valor de 𝑎 es: Rpta: −20

.

Rpta:320

por los binomios

86.

a

Rpta:78

P(x)

Sea 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 el cociente de la división de 2𝑥 4 + 3𝑥 3 − 8𝑥 2 + 1 − 4𝑥 entre 𝑥 2 − (𝑥 − 1) . El valor de 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 es: Rpta: 8

10 x 6 + mx5 + nx 4 + px3 + qx 2 + rx + t 2 x3 + 3x 2 − x + 1

5)

de

85.

En la división:

El resto de la división

suma

Si 𝑃 es un polinomio tal que 𝑃(0) = 21 y 𝑃(2) = 𝑃(3) = 3. Se El termino independiente del cociente que no es exacta del polinomio 𝑃(𝑥) entre (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) es: Rpta: 3

el residuo de la

divisió Rpta. 14x+3

4)

la

84.

Al efectuar la siguiente división de polinomios, se obtiene un residuo de primer grado:

Hallar el resto de la división

dividir

de 2x

Rpta. 0

Si la división:

;

x + 2 , son respectivamente 8 y -7 .Hallar el resto de

P ( x ) entre

Q( x ) = x 2 + 1

3)

+ 5b x + 5b − a x −1

Los restos de la división de y

Q( x ) P ( x ) = x 2015 + x 2 + x + 1

2)

83

3a + 2b : 10

Rpta. 6

1)

ax

Rpta:

Q( x ) = x 2 + bx + 3 Son divisibles por 2x + c . Calcule el valor de (a − b)c

79.

E=

coeficientes del cociente es 176 y el resto es 20.Hallar

Los polinomios:

P ( x ) = x 2 + ax + 6

78.

En

Rpta: -2x+5.

A L G E B R A | 12 96.

Al dividir un polinomio 𝑃(𝑥) entre (x + 2) y (x − 5) se obtienen residuos de 7 y 21 respectivamente. El resto de dividir 𝑃(𝑥) entre (x 2 − 3x − 10), es: Rpta: 2x + 11.

97.

En el cociente exacto Rpta: 2.

x3 +tx+r x2 +px−1

. hallar: 𝐸 = 𝑟 2 + 𝑡 + 3.

98.

Si a 𝑃(𝑥) = 3𝑥 5 + 6𝑥 3 − 3𝑥 se le divide entre 𝑥 + 1 se obtiene un cociente de grado m termino independiente b y residuo a calcular: (m + b + a)b. Rpta: 24.

99.

Calcular m, n y p. Si el resto es: 5x 2 + 7x + 8 ; de 8x5 +4x3 +mx2 +𝑛𝑥+𝑝 2x3 +x2 +3

Rpta: 𝑚 = 20, n = 1, p = 17. 100. Hallar el residuo de la división de: 6x 5 − 5x 2 + 𝑎𝑥 − 1 . Entre 2𝑥 + 1, sabiendo que su coeficiente toma el valor numérico de 2 para 𝑥 = 1. Rpta: -4. a2 x4 +5ax3 −14x2 +a3 x−9

¿Cuál es el valor real de a?.

ax2 −2x−3

; es exacta,

Rpta: 2x + 3. 115. Los

restos

de

dividir 𝑃(x) entre (x + 1) y (x − respectivamente. El término independiente 𝑃(x) = 6 además el termino independiente del cociente de dividir 𝑃(x) entre (x 2 − 1)(x − 2) , es 1 su resto es: Rpta: x 2 + 2𝑥 + 4.

2) 𝑠𝑜𝑛 3 𝑦 12

Rpta: 12. 117. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división

6x4 −4x3 +x2 +10x−2 3𝑥+1

102. Al efectuar la división algebraica

7x9 −14x10 +7

; se

2x2 +3x−2

obtiene como resto R(x) = mx + 𝑛 ¿cuál es el valor de √𝑚 + 2𝑛 + 2 ? Rpta: 4. 103. Hallar

el

resto

de

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6) x2 +7𝑥+2

la

división

.

3x72 −5x17 +3x−5

(7x2 +5x+9)+3(7x2 +5x+7) +12 7x2 +5𝑥+8

Rpta: 16. 105. Hallar el resto de la división

(x−3)8 +(x−4)5 +6 (x−3)(x−4)

Rpta: 2x-1.

.

.

𝑥 5 + 5𝑥 4 + 10𝑥 3 + Ax 2 + bx + C entre 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1 deja 0 de residuo. Hallar: A+B-C.

107. En la división Rpta: 14.

𝑛−1

𝑛−2

108. Si la división algebraica x + x +𝑥 +⋯+ 𝑥 + 1 entre 𝑥 − 1 genera un cociente 𝑄(𝑥) tal que 𝑄(1) = 3, determine el valor de n. Rpta: 2.

(𝑝 + 𝑞)2

3x5 +px3 +qx2 −x+2 x2 +3

;

sabiendo

que

la

, nos da un residuo de

división 5x − 10 .

Rpta: 121.

b-a

si

la

x4 +(m−1)x2 +n−2

valor de m+n es: Rpta: 5.

x2 −x+1

x3 +ax+b

división

(𝑥−1)2

, es exacta entonces el

112. La suma de todos los coeficientes del cociente de dividir p(x) = 8x 6 + 4x 4 − 7√3x 3 − 3𝑥 2 + 5√3𝑥 − 3 entre 2x − √3, es: Rpta: 6 + 2√3. 113. El resto de dividir 𝑃(x) = x 3 + 64 + (𝑥 − 2)2𝑛 , entre 𝑄(x) = (x − 1)(x − 3) es:

.

Es

exacta.

(x−3)8 +(x−4)5 +6

121. Determine el resto de dividir

(𝑥−3)(𝑥−4)

.

P(x) es un polinomio definido por P (x) = ax 5 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 − 8, tal que el residuo de dividir P(x) entre (𝑥 + 3) es 6. Hallar el residuo de dividir P(x) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 3).

122. Si

3

123. Al dividir p(x) = −2x 5 − 𝑥 + 5 entre 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 ; el resto de la división; es. Rpta: 8. 124. Hallar el valor de “a y b”. Si el resto de la división ax 8 + bx 6 − 3x 5 − 1 entre x 3 − 1 es igual a 8x 2 − 2 . Rpta: RPta 11 y -1. 125. Si la división: de 𝑀 = (

Ax3 +Bx2 +Cx+D

AD 2 𝐵𝐶

𝑥 2 +𝐻 2

; es exacta. Calcular el valor

) .

Rpta: 1. 126. Al efectuar la división

110. Si al dividir p(x) = mx 4 + nx 3 + px 2 + 3x + 1 entre x 2 − 𝑥 + 1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 24 y un resto de 𝑅(x) = 10x − 1. Hallar m+n+p. Rpta: 29. 111. Si la división

Rpta: 5𝑥 + 3.

Rpta: 2x-1.

106. Calcular la relación entre p y q si la división de: 𝑥 4 + (𝑝 + 2𝑚)𝑥 + 𝑞 − 1 entre 𝑥 2 + 𝑚𝑥 − 1 es exacta. Rpta: 𝑝2 = −𝑞 3 .

𝑛

.

119. Los restos de las divisiones de P(x) por los binomios (𝑥 − 1)𝑦 (𝑥 + 2) son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P(x) entre x 2 + 𝑥 − 2.

Rpta: 5.

2

104. Hallar el resto de la división

𝑥 3 +1

Rpta: 5x 2 + 3x −2

120. Hallar

Rpta:320.

.

Rpta: 4.

118. Hallar el residuo en

Rpta: -3.

109. Hallar

114. Los restos de dividir 𝑃(x) entre (x − 3) y (2x + 1) son 9 y 2 respectivamente. El resto de dividir 𝑃(x) entre 2x 2 − 5x − 3, es:

116. El termino independiente del cociente de dividir 𝑃(x ) entre (x + 6) es 3, hallar su resto. Si el termino independiente del polinomio 𝑃(x )𝑒𝑠 30.

.

101. Si la división indicada

Rpta: 13x+53.

Nx4 +(N−N2 +1)x3 +x2 −N2 x+N2 −7 𝑥−𝑁+1

; la

suma algebraica de los coeficientes del cociente y el resto es cero. Hallar el resto. Rpta: 1. 127. Si en la división:

x5 +(a+1)x4 +(a+b)x3 +2bx2 +3abx+b2 +5b x2 +𝑎𝑥+𝑏

; el

resto es (a2 + b2 )x + 20. Hallar “3ª+b”. Rpta:16. 128. El resto de la división

x17 +x14 +5 𝑥 2 −𝑥+1

; es:

Rpta: 5. 129. La división del polinomio x 5 − 2x 4 − 4x 3 + 19x 2 + ax + 12 + b entre x 3 − 7x + 5 ; deja por residuo mx 2 + 2x − 6. Hallar ab-m.

A L G E B R A | 13 Rpta: 87.

10x 6 + mx5 + nx 4 + px 3 + qx 2 + rx + t

143. En la división:

130. ¿Cuál es el valor de "a", si al dividir el polinomio ax 51 + 2bx + 2b − a entre x − 1, la suma de los coeficientes es 161 y el residuo 16? Rpta: 3.

2x 3 + 3x 2 − x + 1 Los coeficientes del cociente van disminuyendo de en uno en uno a partir del primero y el resto es igual a R(x) = 5x 2 + 6x + 7 . Calcular el valor de “

m + n + p + q + r + t ”. Rpta.: 78.

131. Al dividir 𝑃(𝑥) = 29𝑥 4 − 25𝑥 2 + 12𝑥 6 + 3𝑥 − 6 , entre 𝑄(𝑥) = 3 + 4𝑥 2 , se obtiene el residuo 𝑅(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 , y cociente 𝐶(𝑥) = 3𝑥 4 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏. Calcular

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 + 𝑑 . Rpta: 16.

144. Hallar el valor de a, si al dividir:

P(x) = (a + 3)x n + (a − 1)x n−1 + (3a − 4)x 8 − a − 14 x − 1 , el resto es 4.

Entre

Rpta. 5 132. Calcular la suma de los coeficientes del cociente de la siguiente división

𝟔𝒙𝟖𝟐 −𝟑𝒙𝟖𝟏 −𝟓𝒙+𝟑 𝒙−𝟏

244.

.

Rpta:

𝟒

𝟑

133. Calcular (𝒂 + 𝒃) , sabiendo que al dividir 𝟑𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃 , entre 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 , se obtiene como residuo 𝒙 + 𝟔. Rpta: 11.

134. Si la división

𝟔𝒙𝟒 +𝟒𝒙𝟑 −𝟓𝒙𝟐 −𝟏𝟎𝒙+𝒂 𝟑𝒙𝟐 +𝟐𝒙+𝒃

; Es exacta, entonces el

valor de: 𝟒(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ); es. 2600

Rpta:

135. Hallar el valor entero de “m” si la siguiente división: 4

3

2mx + mx + 6x − 24 2x 2 − x + 4

; es exacto.

Rpta.: 4. 136. Determine el resto en:

x 40 + x 35 + x 30 + x 25 + x 20 + x15 + x10 + x 5 + 9 x5 + 1 Rpta.: 9. 137. Hallar el resto de:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + x − 4 . x 2 + 5x − 1 Rpta.: −5x + 32

145. Los restos de dividir de P(x) por los binomios x − 1 y x + 2 son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P(x) entre x2 + x − 2 . Rpta. 5x + 3

146. Calcule el valor de a para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, talque el resto es 16.

ax 51 + 2bx + 2b − a x −1

Rpta.3

4

3

148. En el esquema de la división de polinomios por el método de Hornner

2 m

a −b c −d e 6 −4

−n

0

0 −3 2

2

138. En la siguiente división la suma de coeficientes del cociente es:

nx 5 − x 4 + 6nx − 6 nx − 1

2

−1 −4 3

0

Hallar a Rpta:19

+b+c +d+e+m+n

149. Si en la división

( a + 3) x 39 + ( a − 1) x 38 + ( 3a − 4) x − a − 14 x −1

Rpta.: 7.

el resto es

−4 , hallar la suma de coeficientes del cociente Rpta:315

139. Calcular el resto de:

(x + 1)3 + (x + 2)3 + (x + 3)3 + ... + (x + 31)3 x +1 Rpta.: 216225. 140. Hallar el doble del resto de la división:

x 90 − (9x)30 + x 25 − 243x 20 + 9x 2 − 47 x −3 Rpta.: 68. 141. Si el resto de la división:

150. Hallar el residuo de dividir 𝐏(𝐱) = 𝒙𝟖 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝒙𝟐 + 𝟐 Rpta. 27 151. Determine el residuo de dividir 𝐏(𝐱) = 𝟐 𝒙𝟏𝟓 − 𝟑𝒙𝟏𝟎 − 𝟒𝒙𝟓 − 𝟏 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝒙𝟓 − 𝟑 Rpta. 14 152. Hallar

8x 5 + 4x 3 + mx 2 + nx + p ; es 2x 3 + x 2 − 3 R(x) = 5x 2 + 10x + 8 . Calcular “ m + n + p ” Rpta.: 11. 142. En la división:

2

147. En la división: ax + ax + ax + 1 Entre x + x − 1 el residuo es 4. Hallar la suma de coeficientes del dividendo. Rpta. 10

el

P ( x ) = ( 2n + 1) x

8n

residuo − ( 5n + 2 ) x

4n

de

+ (n + 5)x

2n−7

− ( 3n − 4 ) x

153. Hallar

el

residuo

de

P ( x ) = 6x − 5x + 4x − 2x + x + 4x − 7 𝑥−𝟏

El resto es 40 y la suma

de coeficientes del cociente es 352. Hallar “ m + n ”. Rpta.: 8.

+n−3

entre x + 1 Rpta. -9 7

𝒏𝒙𝟖𝟎+𝒎𝒙𝟐 +𝟐𝒏𝒙−𝟕𝒎−𝟑𝒏

dividir 21

6

4

3

2

2

x +2 Rpta. −𝟒𝟎𝐱 − 𝟏𝟑 154. Dividir

( x − 1 )500 + x ( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) − x 2

Rpta. −2x + 13

2

x − 2x + 2

dividir entre

A L G E B R A | 14 157. Determinar 155. Dividir (x + a)7 Rpta. 126𝑎7

− 𝑥 7 − 𝑎7 entre 𝑥 + 2𝑎

156. Calcular

valor

el

Rpta. – 2 de

n

en

resto

P ( x ) = 128x + 40x − 2x + 3 , entre 2𝑥 + 1 el

polinomio

P ( x ) = x − 2x + nx − 3 sabiendo que al dividirlo 4

el 7

2

entre 𝑥 + 1 el resto obtenido es el triple del que resulta al dividirlo entre 𝑥 − 1 Rpta. 2

3

de

A L G E B R A | 15

2

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. La factorización es la transformación de un polinomio en productos indicados de dos o más factores primos. Sea: P( x , y , z ) = x α y β z γ a) El número de factores del polinomio P(x, y, z) = (α + 1)(β + 1)(γ + 1) b) El número de factores primos del polinomio P(x, y, z) = 3, estos son: x , y , z c) El número de factores algebraicos del polinomio P( x, y, z ) = (α + 1) (β + 1) (γ + 1) − 1 Ejemplo: Sea P(x, y, z) = (x + 1)y 2 (z − 1)2 ¿Cuántos factores, factores primos y factores algebraicos tiene el polinomio? Solución:

Número de factores = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 factores Número de factores primos = 3 y estos son: (x + 1), y, (z − 1)

Número de factores algebraicos = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) − 1 = 17 Factores algebraicos MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. 1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN. Este método consiste en extraer un factor común monomio o un factor común polinomio a todos los términos del polinomio. Ejemplos: a)

Factorizar P(x) = 2a2 x + 4ax 2 − 6ax Solución: Factorizando P(x) = 2ax(a + 2x − 3)

b)

Factorizar P(x, y) = ax + by + ay + bx Solución: Agrupando P(x, y) = (ax + ay) + (bx + by) Factorizando P(x, y) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES. Recibe el nombre de las identidades, porque se utiliza las identidades algebraicas o productos notables en forma inversa. Tenemos las siguientes:

a2m − b2n = (am + bn )(am − bn ) Diferencia de cuadrados a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) 3

3

2

2

Diferencia de cubos

a + b = (a + b)(a − ab + b )

Suma de cubos

a2

Trinomio cuadrado perfecto.

±

2ab + b2

= (a ±

b)2

Ejemplo: Determinar el número de factores primos del polinomio

P(x) = x 9 − x 6 − 64x 3 + 64 Solución: Agrupando y sacando factor común a P(x) = x 6 (x 3 − 1) − 64(x 3 − 1)

P(x) = (x 3 − 1)(x 6 − 64) = (x 3 − 1)[(x 3 )2 − 82 ] P(x) = (x − 1)(x 2 + x + 1) (x 3 − 8)(x 3 + 8) P(x) = (x − 1)(x 2 + x + 1) (x − 2)(x 2 + 2x + 4)(x + 2)(x 2 − 2x + 4) ∴ Numero de factores primos = 6 3. ASPA SIMPLE. Tiene la forma general: P ( x ) = Ax 2n + Bx n + C; n 

+

, P ( x, y ) = Ax 2m + Bx m y n + Cy 2n ; n, m 

otra expresión transformable a esta. Ejemplo: Determinar el número de factores del polinomio P(x, y) = y 2 x 2 + 4y 2 x + 4y 2 Solución: P(x, y) = y 2 (x 2 + 4x + 4) = y 2 (x + 2)2 ∴ Numero de factores = (2 + 1)(2 + 1) = 9

+

ó cualquier

ALGEBRA | 3 4. ASPA DOBLE. Tiene la forma general: P ( x, y ) = Ax 2m + Bx m y n + Cy 2n + Dx m + Ey n + F; n, m 

+

ó cualquier otra expresión

transformable a esta. Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos se completa con ceros. b) Se forma el primer trinomio con los tres primeros términos y se aplica aspa simple, para comprobar el segundo término. c) Luego se forma otro trinomio con los términos (3,5 y 6) y se aplica aspa simple, para comprobar el quinto termino. d) Finalmente se aplica un aspa simple con los términos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto termino. e) Los factores serán las sumas horizontales. Ejemplo: Factorizar P(x, y) = 15x 2 + 19xy + 6y 2 + 5x + 4y − 10 Solución: P(x, y) = 15x 2 + 19xy + 6y 2 + 𝟓𝐱 + 4y − 10

3x

2y

−2

5x

3y

5

Comprobando: Aspa simple con los términos (1,4 y 6)

15x − 10x = 𝟓𝐱

∴ Los factores son: P(x, y) = (3x + 2y − 2)(5x + 3y + 5) 5. ASPA DOBLE ESPECIAL Tiene la forma general: P ( x ) = Ax 4n + Bx 3n + Cx 2n + Dx + E; n 

P ( x, y ) = Ax 4m + Bx 3m y + Cx 2m y 2n + Dxy 3n + Ey 4n ; m, n 

+

+

,

ó cualquier otra expresión transformable a esta.

Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas términos se completa con ceros. b) Se descompone convenientemente los extremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados. c) Se compara el resultado anterior con el término central del polinomio y lo que sobre o falte para que sea igual a éste, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores. d) Los factores serán las sumas horizontales. Ejemplo: Factorizar P(x) = 5x 4 + 22x 3 + 21x 2 + 16x + 6 Solución:P(x) = 5x 4 + 22x 3 + 𝟐𝟏𝐱 𝟐 + 16x + 6

5x 2 3 x2 2 Multiplicando los extremos se tiene 13x 2 para 21x 2 falta 8x 2 p(x) = 5x 4 + 22x 3 + 𝟖𝐱 𝟐 + 16x + 6 5x 2 2x 3 x2 4x 2 ∴ Los factores son: P(x) = (5x 2 + 2x + 3)( x 2 + 4x + 2 ) 6. MÉTODO DE EVALUACIÓN DE DIVISORES BINOMIOS Ese método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admitan factores de primer grado de la forma general ax ± b Los ceros de un polinomio son el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que su valor numérico sea cero. Para determinar los posibles ceros de un polinomio se considera: a) Si el polinomio tiene como coeficiente principal a la unidad, en este caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo ( ± ). Por ejemplo:

P(x) = x 3 + 3x 2 + 11x + 6 Los posibles ceros estarán determinados por los divisores de 6: ± 1, ± 2, ±3, ±6 b) Si el coeficiente principal del polinomio es diferente a la unidad, en este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.

Posibles ceros racionales = ±

Divisores del termino independiente Divisores del primer coeficiente

Por ejemplo: P(x) = 6x 3 + 11x 2 + 6x + 1 Los posibles ceros son: ±1 , ±

1 2

1

1

3

6

, ± , ±

Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) Se ordena el polinomio, en caso falte uno o más términos se completa con ceros. b) Determinar los ceros del polinomio. (el número de ceros debe estar de acuerdo con el grado del polinomio) c) Deducir el factor que da lugar al cero del polinomio; si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces (x − a) será un factor primo del polinomio. Es decir: P(x) = (x − a) ∙ Q(x) d) Los factores se determinan utilizando el método de Ruffini, el cual se emplea tantas veces como ceros tenga el polinomio. Ejemplo: Factorizar P(x) = x 4 + x 3 − 7x 2 − x + 6

ALGEBRA | 4 Solución: Los posibles ceros son: ±1, ± 2, ±3, ±6 Donde P(1) = 0 , P(−1) = 0 , P(2) = 0 , P(−3) = 0

1

1

−7

−1

6

1

2

−5

−6

2

−5

−6

0

−1

−1

6

1

−6

0

2

6

3

0

x= 1 1 x = −1 1 x=2 1

⟹ 𝑄(𝑥) = (𝑥 + 3)

Entonces P(x) = x 4 + x 3 − 7x 2 − x + 6 = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 3)

EJERCICIOS 1. Dado el polinomio P( x ) = ( x − 5)2 ( x + 7)( x 2 + 3 x + 1) . En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. I. El número de factores primos de P ( x ) es 3 II. El número de factores de P ( x ) es 4 III. El número de factores primos cuadráticos de P ( x ) es 2. IV. El número de factores algebraicos de P ( x ) es 11. Rpta: VFFV 2. En las siguientes proposiciones, al indicar con (V) o (F). I. El polinomio P(x) = (x + 5)(x + 2) esta factorizado en el campo de los números naturales. II. El polinomio P(x) = x(x 2 − 5) esta factorizado en el campo de los números racionales. III. El polinomio P(x) = (x + 5)(x − 5) esta factorizado en el campo de los números racionales. 2 IV. El polinomio P(x) = x(x − 9) esta factorizado en el campo de los números racionales. V. El polinomio P(x) = (x − 4)(x 2 + 3x + 9) esta factorizado en el campo de los números reales. VI. El polinomio

9. La suma de coeficientes de los factores primos del polinomio 𝑝(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 2𝑛 − 4𝑦 2𝑛 + 7 + 5𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 + 3𝑦 𝑛 − 17𝑥 𝑛 , es: Rpta:0 10.

El número de factores de: ( ax + by )2 + ( ay − bx )2 es:

Rpta: 4 11.

Rpta: a 12.

3. Luego de Factorizar : (𝑥 4 + 𝑥 2 + 1)2 + 3𝑥 4 + 3𝑥 2 − 15. Uno de los factores primos; es: Rpta: 𝑥 2 + 2 4. La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio definido por 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 4x 3 + x 2 − 4, es: Rpta:3 5. Luego de factorizar el polinomio,

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2[(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑥 + 𝑦 − 𝑧)2 ] + 5(𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 + 2𝑥𝑦). El número de factores algebraicos, es: Rpta:3 6. La suma de factores primos del polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36, es: Rpta:4x 7. El número de factores primos del polinomio 𝑝(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏2 + 𝑎𝑐 2 + 𝑏𝑐 2 + 𝑎2 𝑏,es: Rpta:2 8. La suma de términos independientes de los factores primos del polinomio𝑝(𝑥) = 𝑥 2𝑚+4 + 5𝑥 𝑚+4 − 50𝑥 4 Rpta:5

2

+ b2 + c2 + d2

La suma de los factores primos de: 4 ( )

P x = ( x − 3) − 5x ( x − 6) − 41 Rpta: 4x–12 13.

Al factorizar el polinomio

( x ) = ( x + a )5 − ( x 2 − a 2 ) ( x − a ) 2

P

,el número

de factores primos, es: Rpta: 2 14. Al factorizar el polinomio

P(x) = x 4 − 5x 2 − 36 , Tiene 3 factores

primos en el campo de los números reales. La secuencia correcta es: Rpta:FVFFVV

Indicar la suma de factores de:

( a − b )2 ( c − d )2 + 2ab ( c − d )2 + 2cd ( a 2 + b2 )

( ) = x 4 − x 3 + 2 x 2 − x − 1 ,resulta

P x

( x + m )k ( xn

+ 2x + 1

)

Calcule

m+ n+ k

Rpta: 3 15.

Hallar la suma de coeficientes de los términos lineales de los factores primos de:

(

P ( x, y ) = x + 3x − y 3

2

) − 6( x y + 3x y ) + 14 y 2

3

2

Rpta: - 8 16.

El número de factores primos del polinomio

P( x ) = ( x 2 + 7x + 5)2 + 3( x 2 + 1) + 21x + 2 , es: Rpta: 3 17.

Uno de los factores primos del polinomio

P ( x ) = mnr ( m − 1) x

2

2 2 3 3 + n r (3m − 5) x − 10n r , es:

Rpta: mx+5nr 18.

Al factorizar el polinomio

P( x, y) = y 6 x6 − x6

la

suma de términos cuadráticos de los factores primos es Rpta : 2 y 19.

Al

2

factorizar

P( x ) = x 6 − 8 x 4 − 4 x 2 − 4

el ,

polinomio la

suma

coeficientes de uno de los factores primos, es: Rpta:-5

de

2

ALGEBRA | 5 20.

Indique el producto de términos de un factor primo de

7

Rpta: 6x

4

P(x) = x + 2x + 1

36.

7

Rpta : x 21. Uno de los factores primos del polinomio 7

2

2

El factor lineal, luego de factorizar: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 7)2 + 2(𝑥 − 3)(𝑥 2 − 49) + (𝑥 − 7)2 (𝑥 − 3) es: Rpta: 𝑥 − 3

38. Uno de los divisores binomios de: 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 36𝑥 3 + 𝑥 2 − 36, es: Rpta: 𝑥 − 6

2 P(m, n) =  ( m + n )  + m 4 + n 4 ,es:  

Rpta:0 Uno de los factores primos del polinomio

39.

Luego de factorizar 𝑃(𝑥) = 30𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 6𝑦 2 − 60𝑥 − 30𝑦 . Señale el factor primo que posee menor número de términos. Rpta: 6𝑥 + 3𝑦

40.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 25 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦 2 uno de los factores primos, es: Rpta: 𝑥 + 2𝑦 + 5

P(x) = x 6 + x 4 + x − 1 Rpta: x 24.

3

+ x −1

Al factorizar el polinomio

P(x) = x 5 + x 4 + 2x 2 − 1 ,

el factor primo de mayor grado es: 25.

Rpta: Al

41.

x3 + x + 1

factorizar

el

polinomio

P(x) = x 4 − 16x 2 + 24x − 9 , la suma de los coeficientes de los términos lineales de los factores primos lineales, es: Rpta: 2 26. El número de factores primos de

Al factorizar el polinomio: 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 6 𝑦 2 𝑧 5 + 8𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 + 6𝑥 5 𝑦 2 𝑧 5 + 12𝑥 4 𝑦 2 𝑧 5 El número de factores algebraicos, es: Rpta: 287

42.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 5𝑥 3 + 9𝑥 2 + 11𝑥 + 6 uno de los factores primos, es: Rpta: 𝑥 2 + 𝑥 + 2

43.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 − 1, El número de factores totales, es: Rpta: 12

P(x, y, z) = x 2 + 2xy + y 2 − z 6 , es: Rpta: 2 27.

El número de factores primos de

P(x) = x 9 − x 6 − 64x 3 + 64 , es: Rpta: 6 28.

44.

La suma de los términos cuadráticos de los factores primos del polinomio

P(x) = 5x4 + 16x + 6 + 22x3 + 21x2 , es: Rpta: 6x 29.

2

45.

3

2

46.

Uno de los factores primos de: (𝑥 + 𝑦)2 − 8(𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 12(𝑥 − 𝑦)2 , es: Rpta: 2𝑦 − 𝑥

47.

El término independiente de uno de los factores primos de: 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)4 − 5(𝑥 + 𝑎)3 + 6(𝑥 + 𝑎)2 Rpta: 𝑎(𝑎 − 2)

Rpta: 11x + 1 El número de factores de:

P(x) = x 5 + 5x 4 + 7x 3 − x 2 − 8x − 4 , es: Rpta: 18 Uno de los factores primos del polinomio 2

48.

Un factor común de: 6𝑥 𝑚 𝑥 2𝑝 𝑦 𝑛 + 12𝑥 𝑚 𝑥 𝑝 𝑦 𝑛 𝑦 𝑞 + 6𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 𝑦 2𝑞 Rpta: 𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑞

49.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 6(𝑥 + 𝑦)2 + 14(𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 8(𝑥 − 𝑦)2 uno de los factores primos lineales es: Rpta: 4𝑥

2

P(x, y) = 5x − y + 10x − 2y + 4xy ,es: Rpta: 32.

(x + y − 2)

Al factorizar el polinomio,

P(x) = (x + 1)(x 2 + 1)10 − (x + 1)5 (x 2 + 1)11 La suma de los términos independientes de los factores primos lineales es: Rpta: 1 33.

34.

50.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 5𝑥 3 + 9𝑥 2 + 11𝑥 + 6 la suma de los términos lineales de los factores primos, es: Rpta: 3𝑥

51.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 − 10 la suma de los factores primos lineales, es: Rpta: 3𝑥 + 6

52.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 − 6 la suma de los factores primos lineales es: Rpta:3𝑥 + 2

53.

La suma de los coeficientes de uno de sus factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 2𝑛+1 + 3𝑥 𝑛+1 + 𝑥 𝑛+3 − 𝑥 𝑛 + 3𝑥 3 − 3, es: Rpta: 7𝑥 + 1

Uno de los factores primos del polinomio

P(x, y) = 4ax − 2bx + 6ay − 3by Rpta:

2x + 3y

La suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio,

P(x, y) = 21xy − 39 y 2 + 56x − 92y + 32 es: Rpta: 12 35.

El número de factores de: Rpta: 4

La suma de factores primos del polinomio:

P(x) = 48x + 20x − 20x − 5x + 2 , es:

31.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 12𝑥 3 + 8𝑥 2 − 3𝑥 − 2, La suma de los factores primos, es: Rpta: 7𝑥 + 2 P ( x, y ) = 27x2 − 10y 2 + 3xy − 2y + 30x + 8 es:

4

30.

La suma de los factores primos del polinomio

37.

+ 6x + 3

22. Determinar el número de factores primos lineales del polinomio

23.

+ 4x − 2

P(x) = 12x 5 − 8x 4 − 13x 3 + 9x 2 + x − 1 Rpta: 7x

P(x) = ( 2x + 1 ) + 4x(x + 1) + 2 , es: Rpta: 4x

2

La suma de los factores primos del polinomio.

P(x) = 5x 4 − 11x 2 − 4x + 1 es:

ALGEBRA | 6 54.

La suma de factores primos del polinomio:

𝑃(𝑥) = x 4 − 4x 3 + 11x 2 − 14x + 10; es:

P(x, y) = xy2 − 28x2 + 7y2 − 4x3 , es: 55.

56.

Rpta: (x 2 − 2x + 5).

Rpta.:2y+x+7 La suma de los factores lineales del polinomio P(x) = x5 − 4x3 + x2 − 4 , es: Rpta.: 3x + 1 Un factor primo racional de: P(x, y) = x3 + y3 + 9xy − 27 ; será:

75.

Rpta: -3 76.

Rpta.: x + y − 3 57.

coeficientes de uno de los factores es: Rpta.: 9 Luego de factorizar: (𝑥 4 + 𝑥 2 + 1)2 + 3𝑥 4 + 3𝑥 2 − 15 . Uno de los factores primos; es: Rpta: x+1.

59.

La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 4x 3 + x 2 − 4 , es: Rpta: 1.

60.

El número de factores primos del polinomio 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑦 3 𝑧 2 − 𝑥 3 𝑧 2 − 𝑦 5 ; es: Rpta: 4.

61.

Al factorizar: 6𝑥 2 + 20𝑦 2 + 23𝑥𝑦 + 𝑥 + 6𝑦 − 2. Indicar la suma de coeficientes de sus factores primos: Rpta: 15.

62.

La suma de sus términos independientes de los factores primos de: 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 5𝑥 + 2 , es: Rpta: 3.

63.

Factorizar: 2𝑥 2 − 5𝑥𝑦 − 3𝑦 2 − 𝑦 − 9𝑥 + 4 Rpta: (2x + y − 1)(x − 3y − 4)

.

64.

Factorizar: 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 + 4x 4 − 10𝑥 2 − x + 6 2 Rpta: (𝑥 − 1) (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2).

.

65.

Factorizar: 𝑃(𝑥) = x 4 + 8𝑥 2 + 36. Rpta: (x 2 + 6 + 2x)(x 2 + 6 − 2x).

66.

Luego de factorizar: P ( x ) = 2x5 − x 4 − 12x3 + 22x2 − 14x + 3 . Dar la suma de

77.

Al factorizar 4x 8 − 16x 4 + 9 . El número de factores primos; es: Rpta: 2.

78.

Luego de factorizar, indicar un factor primo de 2 2 P(x, y, z) = 2 ( x + y + z ) + ( x + y − z )  + 5 x 2 + y 2 − z 2 + 2xy ; 

79.

80.

68.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 7 + 27x 4 − 𝑥 3 − 27; ¿Cuántos factores lineales tiene? Rpta: 3

69.

La suma de los factores primos del polinomio P ( x ) = 12x3 − 84x − 72 es:

factores

primos

del

72.

polinomio

La suma de los factores primos del polinomio 𝑃(𝑥) = 6𝑥 3 − 13𝑥 2 + 4; es: Rpta: 6x-3.

Factorizar: P(x) = x 3 + x 2 + x − 3. Rpta: (x-2) ( x 2 + 2𝑥 + 3).

82.

Hallar en número de factores primos de:

P(𝑎, 𝑏, 𝑐) = a6 + b4 + c 2 + a3 b2 − 2a3 c − 2b2 c, es:

Rpta: 3. 83.

𝑃(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 4𝑏 2 ) + 4𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑐 2 − 𝑏𝑐 2 .

84.

Determinar la suma de factores primos lineales de: 𝑃(𝑥) = 3𝑥 5 − 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 2x. Rpta: 3x.

85.

Determinar la suma de factores primos lineales de: 𝑃(𝑥) = 12𝑥 3 + 20𝑥 2 + x − 3. Rpta: 7x+3.

86.

Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de 𝑃(𝑎) = 𝑎 3 − 13a + 12. Rpta: 0 Halle la suma de factores primos de: 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 11𝑥2 + 1. Rpta: 2𝑥 2 − 2.

87.

88.

Al factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 − 2x − 1 ; la suma de los coeficientes de uno de los factores primos ;es: Rpta: 3.

89.

El número de factores algebraicos del polinomio 𝑃(𝑥) = (x − 5)(x − 4)(x + 2)(x + 3) − 60, es: Rpta:7.

90.

Al factorizar el polinomio de menor suma de coeficientes, es: Rpta: x-2y.

La suma de los factores primos del polinomio

91.

Rpta: 7x+y-3. La

suma

factores P(x) = x + 3x + 2x ; es: 3

de

primos

de

92.

2

Rpta: 3x+3. 74.

lineales

Uno de los factores primos del polinomio

Determinar el número de factores primos de

𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 − 6𝑦 2 + 5x − xy − 10y ; el factor primo

P(x, y) = 10x 2 − 7xy − 12y 2 − 21x − 26y − 10; es:

73.

El factor primo de mayor suma de coeficientes en el polinomio P(x, y) = 24x3 y2 + 60x2 y2 − 6xy4 + 6xy3 + 36xy2

81.

P(x, y) = 10x2 + 11xy − 6y2 − x − 11y − 3 ; es: Rpta: (5x − 2y − 3). 71.

Indicar el número de factores primos de:

; es: Rpta: 2x+y+2.

Rpta: 8x-5. los

)

Rpta: 3.

Factorizar: 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥)2 + 18(𝑥 2 + 𝑥) + 72 ; uno de los factores lineales de P(x) es: Rpta: x-4

de

(

Rpta: 3.

67.

Uno



es: Rpta: 3x+3y-z.

𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 7x + 5)2 + 3(𝑥 2 + 1) + 21x + 2

todos los factores primos. Rpta: 4x+1.

70.

Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos de: 2 P(x) = ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x − 1) − 5 ( x − 4 ) ( x − 2) + 3 . Rpta:-1.

Al factorizar el polinomio

P(x, y) = 28xy − 44y2 + 35x − 23y + 40 , la suma de los

58.

La suma de los términos independientes de los factores primos lineales del polinomio P(x) = x5 − 10x3 − 20x2 − 15x − 4 ; es:

93.

Factorizar (𝑥 2 + 𝑥 − 1)2 + (2𝑥 + 1)2 , e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. Rpta.: 3. Factorizar (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)(𝑥 + 6) + 8. Rpta.: (𝑥 2 + 7𝑥 + 8)(𝑥 + 5)(𝑥 + 2) Determinar uno de los factores de:

𝑃(𝑎, 𝑏) = 49(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2

ALGEBRA | 7 Rpta.: (4a+3b). 94.

102. Luego de factorizar P(x) = x6 − x4 + 2x2 − 1 ; uno de

Señalar uno de los factores de: 5

4

3

2

𝑃(𝑦) = 𝑦 + 4𝑦 + 𝑦 − 10𝑦 − 4𝑦 + 8 Rpta.: (𝑦 − 1)2 . 95.

96.

103. Al factorizar la expresión:

La suma de los factores primos lineales del polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 25𝑥 3 + 𝑥 2 − 25, es: Rpta.: 3𝑥 + 1. Señale la suma de los coeficientes de la variable x de:

𝑃(𝑥) = 5𝑥 4 + 3𝑥 3 − 6𝑥 2 − 𝑥 + 3 Rpta.: −6𝑥 . 97.

Indique la suma de términos independientes de los factores primos de: Rpta.: 12.

98.

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 8𝑥 2 + 36

Señale la suma de los factores primos cuadráticos del polinomio:

𝑃(𝑎) = 41𝑎2 − 5𝑎6 + 𝑎8 − 7𝑎4 − 30 Rpta.: 3𝑎 2 − 4. 99.

Indicar uno de los factores primos de:

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 9 Rpta.: 𝑥 2 + 2𝑥 + 3. 100. Factorizar:

𝑃(𝑥) = 6𝑥 4 − 22𝑥 3 + 25𝑥 2 − 18𝑥 + 6, e indicar la suma de coeficientes de un factor primo. Rpta.: −7. 101. Cuantos factores primos tiene: P(x) = x3 − 18x − 35 . Rpta.: 2.

los factores primos es. Rpta.: x3 + x2 − 1 .

P(x) = (x − 6)(x + 2)(x2 − 16) + 48 . La suma de coeficientes de uno de los factores primos; es. Rpta.: -21 104. Después de factorizar:

P(x, y) = 35xy − 15y2 + 77x − 98y − 143 Halle el factor primo lineal. Rpta.: 5y + 11 105. Al factorizar: P(a,b) = a2 + ab + 3a + 2b + 2 ; Uno de los factores primos; es. Rpta.: a + b + 1 106. Al factorizar el polinomio: P(y) = y5 + y4 − 2y + 1 ; la suma de los factores primos es ; es. Rpta.: y3 + y2 − 2y + 2

ALGEBRA |8 N

RADICACIÓN n

Definición: una radicación es una operación √: ℝ ⟶ ℝ tal que √A = r Donde: n

√A : Radical n : Índice del radical (n ϵ ℕ ; n ≥ 2) A : Radicando r : Raíz n- ésima de A Propiedades: n

n

n

1. ( √a) = a con (n ϵ ℕ ; n ≥ 2) siempre que √a exista en ℝ 2.

n

3.

n

4.

n

5.

m n

√an = {

a, si a ≥ 0 a, si a < 0

y n es impar

n

n

n √ab = √a ∙ √b ; n ϵ ℕ siempre que n√a y √b exista en ℝ

n

a

√a √b

√b =

n

; b ≠ 0 , n ϵ ℕ siempre que n√a y √b exista en ℝ n

√ √a = mn√a ; m, n ϵ ℕ siempre que las rices indicadas existan en ℝ RACIONALIZACIÓN

La racionalización es el proceso que consiste en transformar el denominador (o numerador) irracional en otra expresión racional a través de un factor denominado factor racionalizador. Factor Racionalizador (FR): Es una expresión irracional tal que al multiplicar a otra expresión, la transforma en una expresión racional. CASOS DE RACIONALIZACIÓN Caso I:

Cuando el denominador irracional es un Monomio de cualquier orden.

El FR es un radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponentes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raíz y los exponentes que afectan a sus variables.

N

m

⟹ FR = √am−n

m

√an

; m, n ∈ ℝ y m > n

Ejemplo: Racionalizar. A

1.

7

2.

8

3.

5

Caso II:

√x4 y2

√x4 y2

B

C

√x3 y5

7

√x5 9√x7 y2 √x8 y6 z3

7

A

=

=

=

∙7

√x3 y5

B∙FR1 ∙FR2 x2 y C 5

xy √x3 yz3

=

7

=

A √x3 y5 xy

7

donde: FR = √x 3 y 5 8

9

donde: FR1 = √x 3 y FR 2 = √x 2 y 7 C∙FR

5

donde: FR = √x 2 y 4 z 2

x2 y2 z

Cuando el denominador irracional es un binomio (o transformable a binomio) cuyos radicales son de segundo orden (o índice par)

El FR es la conjugada del denominador que se empleará tantas veces hasta que el denominador quede transformado en una expresión racional.

N √a + √b N √a − √b

⟹ FR = √a − √b ⟹ FR = √a + √b

Ejemplo: Racionalizar 1. 2. Caso III:

N 3

A √x+5

=

B 4

√x− 4√y

A

√x−5

√x+5 √x−5

=

B 4

√x− 4√y

A.FR

donde ∶

x−25

4

√x+ 4√y

∙4

√x+ 4√y

4

=

B √x+ 4√y 2

√x− 2√y

FR = √x − 5 2

√x+ 2√y

∙2

√x+ 2√y

=

B∙FR1 ∙FR2 x−y

Donde ∶

4

FR1 = √x + 4√y

Cuando el denominador irracional son radicales de tercer orden de las formas. 3

3

√a ± √b

=

3

3 ⟹ FR = √a2 ∓ √ab + √b 2

2

, FR 2 = √x + 2√y

ALGEBRA |9 N 3

√a2

3

3 ⟹ FR = √a ∓ √b

3

3

± √ab + √b 2

Para este caso debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas 3

3

3 3 3 a + b = ( √a + √b)( √a2 − √ab + √b 2 ) 3

3

3 3 3 a − b = ( √a − √b) ( √a2 + √ab + √b 2 )

Ejemplo: A

1.

3

2.

3

√6+1

=

A∙FR

3

B 3

3

3

donde ∶ FR = √62 − √(6)(1) + √12

7

=

3

√25− √15+ √3

B∙FR 28

3

3

donde ∶ FR = √5 + √3 EJERCICIOS

1.

  2 2  a + a −1 − a − a −1    a2 −1  a − a2 −1 a + a2 −1  1

Efectuar: +

a

10.

Después de racionalizar

15

3 3 + 36 + 2 3 2

6 +3 3 +2 2+6

4. denominador racionalizado y simplificado de la expresión irracional

(

11.

3x 4y 2x + 2y 3x

12.

Después de racionalizar la expresión

E=

2+ 3 + 5 2+ 3 − 5

13.

Después de racionalizar la expresión

1 3

14.

El

15.

10 3

6. Al simplificar la expresión: 9

se

16.

El denominador racionalizado y simplificado de , es:

17.

3 +62

fracción

, es:

, es:

5+37 3

3

3

3

27 + 18 + 3 12

, es:

El denominador racional de

3

.La expresión simplificada,

18.

Si

3 −32 denominador

E= Rpta:

Rpta: 1 9.

3

El

El denominador racional simplificado de la fracción

50

x0

la

Rpta:6 Al racionalizar el denominador de

Rpta:

Rpta: 3 8.

con

de

es:

RPTA. -8

3x10 y 4 z

3+

E=

obtiene:

racional

El denominador racional de la fracción

RPTA. 3

5

, el denominador de la fracción

denominador

x2 − 16 9 x + x + 14 Rpta: x − 49

5− 2+ 3 , es: 5+ 2+ 3

8x 4 y 3 z

9 + 23 3 − 3

resultante, es: Rpta:60

5. El denominador racionalizado y simplificado de la

E=

, el denominador de la fracción

resultante, es: Rpta:11

243x 7 y 8 3 z

RPTA. yz

7.

, es:

10 y

Rpta:

E=

1 3   S =3 −3 3 3 4 + 2 2 − 2   4 +2 2 +2

)

El denominador racional de la fracción:

E=

6 x2 y

expresión

, es:

Al simplificar la expresión irracional de:

5+ 2+ 3 3 Rpta: 5− 2 3

,

El grado absoluto del denominador racionalizado 1 de la expresión: , es: 5 13 4 7 x y z RPTA: 4

5

3

5− 2+ 3

dar como respuesta el denominador racionalizado. RPTA: 7

3.

1 3

Rpta: 5

, Indicar el número entero.

RPTA: 4a 2.

E=

.;

2 a+b−

a−b

racional

de:

, es:

b 2x 2x +

x

.Es una expresión irracional el

denominador, racionalizado y simplificado, es: Rpta: x

A L G E B R A | 10 19.

El denominador racionalizado y simplificado de la

E=

expresión

1+

2−

3

, es:

3

18 − 3 12 + 3 8

El denominador de racionalizar

√5

√2𝑎𝑏

2

es:

39.

2

a +b

El denominador de racionalizar

1 3

√6−√3

+

x, y,z  xyz 4

,

entonces

40.

es:

en

la

expresión

xy z

2 x +1 x − 1 − 2x + x + 1

x

5

3

la

43.

45.

Para la siguiente expresión E =

El

3

es:

1 3

3

; es:

3

3 √3+2 √2− √36

denominador

racionalizado

3√5

; es:

El denominador racionalizado de:

El denominador racionalizado de: El denominador racionalizado de:

14 √48+√27−√125

−20

, es:

√𝑥−3+√3𝑥+5 26

3

3

3

.

; es:

√81+ √36− √54

El denominador racionalizado y simplificado de:

2𝑥 − 6𝑦

53 3 3

𝐴 2+√2− 4√2

Reducir y racionalizar: 1 2 1 𝐸= + + 2 + √2 √2 + √6 2√2 + √6 Rpta.: 1.

48.

Señalar el denominador de: 3 𝑁= 5 − √15 + √10 − √6 Rpta.: 2.

49.

Indicar el denominador luego de racionalizar: √𝑥 − 1 − √𝑥 + 1 𝑃= √𝑥 + 1 + √𝑥 − 1 Rpta.:-1.

50.

Indicar el denominador de:

; es:

Rpta: 1/2. El denominador racionalizado de la expresión 𝑥𝑧 𝐸 = 5 6 ; es: 5 √𝑥 𝑦𝑧

Rpta: 5xy.

Rpta: 25. El denominador racional de la fracción

Al simplificar la siguiente expresión 𝑇 =

; es:

2

; es:

𝑁= Rpta.: 3. 51.

Señale

el

12 3

3

√7 + √2

denominador

racional

de:

𝐷=

4 √ 3√25+9+6 3√5

El denominador racional dela fracción ; es: Rpta: 3.

√6 3√18+2√3

√11+√2+3

Rpta: 18.

12 √2+√3+√5

47.

.

El denominador racional de la fracción

Racionalizar: 𝑃 =

Rpta.: 𝟐√𝟑 + 𝟑√𝟐 − √𝟑𝟎

108 + 3 48 − 3 72

𝐸=

se obtiene: Rpta: 2.

√4−√2

Rpta.: 4.

Evaluar: 3

34.

El denominador de la fracción 𝐸 =

;

3

5

El denominador racionalizado de:

3

1

de:

8 √𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦 2

46.

2( √𝑥+1+ 3√𝑥−1)

33.

racional

Rpta: x+4.

− y3 x

√(𝑥+1)2 +2 √𝑥 2 −1+ √(𝑥−1)2

32.

denominador

, es:

− y6

3

El

Rpta: 2.

44.

racional simplificado de

Rpta: 6.

31.

; es:

5

√√2−1(√112+80√2−√68+52√2)

x 1

, con

, su denominador racionalizado es: Rpta.: 2

30.

18𝑦

El denominador racionalizado de:

Rpta: 1.

3x 4 4

29.

.

Rpta: -15.

expresión

28.

3−√3

de:

42.

denominador

Rpta.: x

41.

, el denominador racionalizado y

3 8

, es: Rpta.: x − 1

27.

6+√12

Rpta: 13.

Indique el denominador luego de racionalizar la

El

Reducir: √

Rpta: 4.

expresión F(x) =

26.

. 3

√613𝑦 14 3√𝑧

simplificado, es: Rpta: z 25.

1 3

Rpta: 12𝑦 2 𝑧.

El denominador de racionalizar (𝑎+𝑏)−

E=

fracción:

Rpta: 5.

38.

es:

5√15−2√5

5(𝑎2 +𝑏 2 )

Si

la

, es:

√81+ √16−2 √36

37.

Rpta: 9 24.

de 3

Rpta: √3 + 1.

Rpta: 23.

3

El denominador racionalizado de:

, es:

Rpta: 15 22.

3

√3

Rpta: 5 21.

3

√21− √4− √12+ √63+ √7− √36

El denominador racionalizado y simplificado de la expresión

E=

denominador 3

Rpta: 3. 36.

8

El 3

Rpta:4 20.

35.

10

3

Rpta.: 8.

1 3

3

3

√81+ √36+3 √2

52.

Al racionalizar:

3

; El denominador;

25 + 53 5 + 3 25 √3+√3−√3−√3 √3−√6

es: Rpta.: 6.

; 53.

El denominador racionalizado de:

A L G E B R A | 11 12

; es:

Rpta.: 7. 54.

57.

Racionalizar

E=

√8+√3+√5

B > 𝐶 > 𝐷 > 0 y se cumple la siguiente 7

El denominador resultante es: Rpta.18 58.

El denominador racional de:

1 3

2

4 x −

43

Rpta. 8x − y

Rpta: 47 Simplificar: 4

1 ( 2 + 3 + 5)3 − 2 2 − 3 3 − 5 5

= A + √C − √B − √D

6 − √8 + √27 − √6 Entonces el valor de A + B + C + D es:

56.

Al racionalizar la expresión:

A=

5√8

Rpta: 24 55. Si igualdad

2

Rpta.

14 + 21 + 35

x3 + 4

4

x −1 − 3

x −

3

x3 −

x − x +1

x − 1 , es:

, es: 3

xy + y

2

A L G E B R A | 12

Definición. Una ecuación es una igualdad condicional de polinomios (o expresiones) que contiene una o más variables. Ejemplo: x + 5 = 3 sólo se verifica para x = −2 Se llama solución de una ecuación al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades. ECUACIONES EQUIVALENTES Reciben este nombre las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Ejemplo: x + 5 = 3

sólo se verifica para

x = −2

2x + 5 = 1 Sólo se verifica para x = −2 Las ecuaciones: x + 5 = 3 y 2x + 5 = 1 Son equivalentes, puesto que para ambas: CS = {−2} CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SU SOLUCION I)

Ecuación Compatible.- Es aquella ecuación que tiene al menos una solución y esta a su vez pueden ser: a) Ecuación Compatible Determinada.- Es cuando la ecuación admite un número finito de soluciones. Ejemplo: La ecuación x 2 − 5x − 32 = 0 si (x + 3)(x − 8) = 0 entonces x = −3 ∨ x=8 Por lo tanto el conjunto solución es: CS = {−3 , 8 } b) Ecuación Compatible Indeterminada.- Es cuando la ecuación admite un número infinito de soluciones. Ejemplo: La ecuación (x + 2)2 + 1 = (x + 3)2 − 2x − 4

x 2 + 4x + 5 = x 2 + 4x + 5 0=0 ; ∀xϵℝ Por lo tanto el conjunto solución es: CS = ℝ (Infinitas soluciones) II) Ecuación Incompatible.- Es aquella ecuación que no admite ninguna solución. Ejemplo: La ecuación (x + 2)2 − 1 = x 2 + 4x + 12

x 2 + 4x + 3 = x 2 + 4x + 12 3 = 12, Absurdo Por lo tanto, la ecuación no admite solución alguna, CS = ϕ ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL Es una ecuación que se reduce a la forma:

ax + b = 0 ;

a ≠ 0 y a, b ∈ ℝ

Siendo x la variable o incógnita que pertenece a los reales, la ecuación se llama forma general de la ecuación de primer grado con una variable real. Siendo la solución de la ecuación

x=−

b a

b

es decir, el conjunto solución es: CS = {− } a

Análisis de las raíces. Dada la ecuación: ax + b = 0 1. Si a ≠ 0 La ecuación es compatible determinada y tiene solución única. 2. Si a = 0 ∧ b = 0 La ecuación es compatible indeterminada y tiene infinitas solución, entonces CS = ℝ 3. Si a = 0 ∧ b ≠ 0 La ecuación es incompatible y no tiene solucione, entonces CS = ϕ ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL Llamada también ecuaciones polinómicas de segundo grado. La forma general de una ecuación cuadrática con una variable real “x”, es:

𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 ; 𝐚 ≠ 𝟎 𝐲 𝐚, 𝐛, 𝐜 ∈ ℝ La forma normal de la ecuación cuadrática es:

𝐛 𝐜 𝐱𝟐 + 𝐱 + = 𝟎 ; 𝐚 𝐚

𝐚≠𝟎

ANALISIS DE LA ECUACIÓN CUADRATICA Dada la ecuación: 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 1) Si 𝐚 ≠ 𝟎 ∧

𝐛, 𝐜 ∈ ℝ entonces la ecuación es compatible determinada.

2) Si 𝐚 = 𝟎 , 𝐛 = 𝟎 ∧ 𝐜 = 𝟎 entonces la ecuación es compatible indeterminada. 3) Si 𝐚 = 𝟎 , 𝐛 = 𝟎 ∧ 𝐜 ≠ 𝟎 entonces la ecuación es incompatible (imposible). SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA La ecuación cuadrática 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 ; 𝐚 ≠ 𝟎 se puede resolver mediante una factorización o utilizando la fórmula de baskara.

A L G E B R A | 13 1.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN En la ecuación 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 ; 𝐚 ≠ 𝟎 debemos aplicar aspa simple al primer miembro, es decir:

𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 𝐚𝟏 𝐱

𝐜𝟏

𝐚𝟐 𝐱

𝐜𝟐

(𝐚𝟏 𝐱 + 𝐜𝟏 ) (𝐚𝟐 𝐱 + 𝐜𝟐 ) = 𝟎 Se cumple sólo cuando 𝐚𝟏 𝐱 + 𝐜𝟏 = 𝟎

𝐂𝐒 = {−

∨ 𝐚𝟐 𝐱 + 𝐜𝟐 = 𝟎 , de donde el conjunto solución es:

𝐜𝟏 𝐜𝟐 ,− } 𝐚𝟏 𝐚𝟐

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x 2 − 3x − 9 = 0 Solución: 2x 2 − 3x − 9 = 0

𝟐𝐱

𝟑

𝐱

−𝟑

Se cumple sólo cuando 𝟐𝐱 + 𝟑 = 𝟎 Luego el conjunto solución es: 2.

∨ 𝐱 − 𝟑 = 𝟎 , de donde 𝐱𝟏 = −

𝟑 𝟐

∨ 𝐱𝟐 = 𝟑

𝟑

𝐂𝐒 = {− , 𝟑 } 𝟐

FÓRMULA DE BASKARA Se utiliza cuando el trinomio 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 no es factorizable en ℚ. Luego las raíces (soluciones) de la ecuación esta dado por la fórmula: −𝐛 ± √𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 𝟐𝐚 Donde se obtienen las raíces: 𝐱=

𝐱𝟏 =

−𝐛 + √𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 −𝐛 − √𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 𝐲 𝐱𝟐 = 𝟐𝐚 𝟐𝐚

Donde el número real 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 es el DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática Ejemplo: Resolver la ecuación 2x 2 − 3x − 10 = 0 Solución: identificando a = 2 , b = −3 , c = −10, reemplazando en la fórmula cuadrática

𝐱=

−(−𝟑) ± √(−𝟑)𝟐 − 𝟒(𝟐)(−𝟏𝟎) 𝟑 ± √𝟗 + 𝟖𝟎 𝟑 ± √𝟖𝟗 = = 𝟐(𝟐) 𝟒 𝟒

Donde las rices son:

x1 =

3 + √89 4

y

x2 =

3 − √89 4

NATURALEZA DE SUS RAICES En la ecuación 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 ; 𝐚 ≠ 𝟎 de coeficientes reales, con raíces 𝐱𝟏 𝐲 𝐱𝟐 se cumple: 1) Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 > 𝟎, entonces las raíces 𝐱𝟏 𝐲 𝐱𝟐 son raíces reales y diferentes. Ejemplo: Resolver la ecuación x 2 − 5x + 6 = 0 Solución: 𝐱 𝟐 − 𝟓𝐱 + 𝟔 = 𝟎

𝐱 𝐱

−𝟑 −𝟐

Se cumple cuando 𝐱 − 𝟑 = 𝟎 Donde

𝐱𝟏 = 𝟑 ∨

∨ 𝐱−𝟐=𝟎

𝐱𝟐 = 𝟐

Luego el conjunto solución es:

𝐂𝐒 = { 𝟑 , 𝟐 }

2) Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 = 𝟎, entonces las raíces 𝐱𝟏 𝐲 𝐱𝟐 son raíces reales e iguales. Observación: la ecuación cuadrática 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 tiene dos raíces reales e iguales o solución única, si el trinomio

𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Resolver la ecuación 4x 2 − 12x + 9 = 0 Solución: 𝟒𝐱 𝟐 − 𝟏𝟐𝐱 + 𝟗 = 𝟎 𝟐𝐱 −𝟑 𝟐𝐱 −𝟑

(𝟐𝐱 − 𝟑)𝟐 = 𝟎 , Se cumple cuando 𝟐𝐱 − 𝟑 = 𝟎 Donde

𝐱𝟏 =

𝟑 𝟐

∨

𝐱𝟐 =

∨ 𝟐𝐱 − 𝟑 = 𝟎

𝟑 𝟐

Luego el conjunto solución es:

𝐂𝐒 = {𝟑⁄𝟐 }es una única solución.

A L G E B R A | 14 3) Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 < 0, entonces las raíces x1 y x2 son raíces complejas y diferentes. Ejemplo: Resolver la ecuación x 2 − 2x + 3 = 0 Solución: identificando a = 1 , b = −2 , c = 3, reemplazando en la fórmula cuadrática

𝐱=

−(−𝟐) ± √(−𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟑) 𝟐 ± √−𝟖 𝟐 ± √𝟖 ∙ √−𝟏 = = = 𝟏 ± √𝟐 𝐢 𝟐(𝟏) 𝟐 𝟐

De donde las rices complejas son:

x1 = 1 + √2 i

y

Donde: (√−1 = i ) número imaginario

x2 = 1 − √2 i

PROPIEDADES En toda ecuación 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 ; 𝐚 ≠ 𝟎 de coeficientes reales, con raíces 𝐱𝟏 𝐲 𝐱𝟐

se cumple:

b

1. Suma de raíces: x1 + x2 = − a c

2. Producto de raíces: x1 . x2 = a 2 −4ac

√b 3. Diferencia de raíces: |x1 − x2 | =

a

4. Suma de las inversas de las raíces 1 + 1 = − b ; x1  0 y x 2  0 x1

x2

c

5. La ecuación que dio origen a las raíces x1 y x2 es: ax 2 + bx + c = 0 b c x 2 − (− ) x + = 0 a a x 2 − (x1 + x2 )x + x1 . x2 = 0 Ejemplo: Sean x1 y x2 raíces de 3x 2 + 7x + 2k = 0 Hallar "k" , si (x1 + 3)( x2 + 3) = 0

7 2k Solución: 3x 2 + 7x + 2k = 0 ⟹ x 2 − (− )x + =0 3 3 7 2k x1 + x2 = − y x1 ∙ x2 = 3 3 Nos pide: (x1 + 3)( x2 + 3) = 0 ⟹ x1 . x2 + 3(x1 + x2 ) + 9 = 0 7 2k − + 3 + 9 = 0 ⟹ k = −3 3 3 RAICES ESPECIALES Sean x1 y x2 raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 1.

Si una de las raíces es el inverso aditivo de la otra entonces las raíces son simétricas. Es decir: x1 + x2 = 0 ó (b = 0) Si x1 = p es una de las raíces, entonces la otra raíz será x2 = −p talque

2.

x1 + x2 = 0

Si una de las raíces es el inverso multiplicativo de la otra entonces las raíces son recíprocas. Es decir: x1 . x2 = 1 ó (a = c) 1

Si x1 = p es una de las raíces, entonces la otra raíz será x2 = talque p

x1 ∙ x2 = 1

Ejemplo: calcular la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación (2k + 2)x 2 + (4 − 4k)x + k − 2 = 0 Sabiendo que las raíces son reciprocas. Solución:

(2k + 2)x 2 + 4x − 4x 2 + k − 2 = 0 (2k − 2)x 2 + 4x + k − 2 = 0 Identificando a = 2k − 2 , b = 4 , c = k − 2 y como las raíces son reciprocas, entonces se cumple: 2k − 2 = k − 2 ⟹ k = 0 , luego la ecuación cuadrática queda: −2x 2 + 4x − 2 = 0 x 2 − 2x + 1 = 0 ⟹ x1 = 1 y x2 = 1 ∴ x1 2 + x2 2 = 2 Observación: Si las ecuaciones

ax 2 + bx + c = 0   2  mx + px + n = 0

, Tienen las mismas raíces (son equivalentes), entonces:

a b c = = m n p Ejemplo: Dada las ecuaciones equivalentes (a2 − b2 )x 2 + (ab + 1)x + 7 = 0 y

(a − b)x 2 + x + 1 = 0 ; a ≠ b Hallar a3 + b3 Solución: (I)

Por se equivalentes se cumple: ( II ) ( III )

a2 − b2 ab + 1 7 = = a−b 1 1 De ( I ) y ( II ) a + b = 7 ⟹ a2 + b2 + 2ab = 49

a=c

A L G E B R A | 15 De ( II ) y ( III )

ab = 6 a2 + b2 = 49 − 12 = 37 Luego a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) = 7(31) = 217

EJERCICIOS

1.

ax + b = 0 ,a  0

Dada la ecuación

7x

. De las

siguientes proposiciones indicar con (V) o (F):

a0 y b0

I. Si

,entonces la ecuación es

compatible y se determina un único valor de

a=0 y b0

,entonces

la ecuación

admite infinitas soluciones. IV. Si

10.

En las siguientes proposiciones:

I. La ecuación

solución única. III. Si

a0 y b=0

, entonces la ecuación es

II. Si la ecuación

,la ecuación es incompatible.

3.

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si

= 1 , entonces las raíces son reciprocas.

b III. La suma de raíces es x1 + x2 = c

11.

para

a0

7 x − 8 = 7( x − 7) − 1

es

Determinar el conjunto solución de la ecuación lineal en variable x

( x − n) + (2 x − n + 1) + (3x − n + 2) + ... ... + (nx − 1) = n + 1 RPTA.  n + 2 

   n 

12.

Si

y

r

s

son las soluciones de la

5 x 2 − x − 3 = 3x 2 − 2 x + 1

ecuación valor

IV. La suma de las inversas de las raíces, es

− 2

compatible indeterminada. La alternativa correcta, es: RPTA. I y II

x1 + x2 = 0 , entonces las raíces son simétricas.

II. Si x1.x2

( x + 2)a = ( x + 1)b ,

III. la ecuación

Rpta: VFFF ¿Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones: I. 𝐱 𝟐 − 𝐱 − 𝟏 = 𝟎 II. 𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟑 = 𝟎 III. 𝟑𝐱 𝟐 + 𝐱 − 𝟐 = 𝟎. ¿No admiten raíces reales? Rpta: solo II.

n 

ab

La secuencia correcta, es:

2.

en la variable real “ x

en la variable real “ x ” no admite solución, entonces

" x" .

a  0 y b

2 x = ( x + 3)n

” es compatible determinado

compatible y no se puede determinar el valor de V. Si



Rpta:

" x" .

a = 0 y b = 0 ,entonces la ecuación admite

II. Si

2 3x 1 , es: = + x + 3 x2 − 9 x + 3

−

x2 − 9

numérico

de

, calcule el

la

expresión

Q = (2r + r − 7) + 2s + s

1 1 b + = − , x1  0, x2  0 x1 x 2 c

2

2

2

RPTA. 11

Rpta: VVFV 4.

La ecuación

𝟐 𝐱−𝟐

=

𝐱 𝐱−𝟐

13.

+ 𝟏; es:

" k " para que la ecuación kx + kx + x + 1 = 0 , tenga una sola solución, si k  − −1

I. Es compatible determinado.

2

II. Es compatible indeterminado. III. Es incompatible.

14.

Rpta: incompatible El

valor

de

“a”

para

que

la

ecuación

5x − 1 x + a = tenga infinitas soluciones ,es: 5x + 1 x − a 1 Rpta: − 5 6.

Si a y b son las soluciones de la

ecuación

x2 − 2x + 7 = 0

cuadrática

Calcule

a 2 + 5 b2 + 5 + a −1 b −1 Si

las

(x − a)

2

raíces

de

la

ecuación:

+ ( x − b ) + 2c2 = ( x + c ) son iguales. 2

2

Se puede afirmar que: RPTA: 8.

9.

Dada la ecuación

(a + 1) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 , a  −1 solución M tal que M   y M  valores de RPTA. 15.

Sean

m, n

raíces de la ecuación

x + 2( x + 5) = 3( x + 4) + 1 ,

( 2m −

el

valor

) ( 5

13 − 2n + 13

tal que

mn

numérico

)

.

de

3

.

RPTA. 0 16.

Si p y q raíces de la ecuación entonces el valor de

x 2 − 3x + 1 = 0

E = 5  (p 2 − 3p + 3)2  + (q 2 − 3 q + 7) , es:  

2

El valor de “x” que satisface la ecuación

. Halle los

−1,3

2

ab + ac + bc = 0

La ecuación x + Ax + B = 0 , A y B son su raíces, el valor de A y B en dicho orden es; RPTA: 1 y -2

de conjunto

a.

Indique

RPTA: 4 7.

2

RPTA. 4

IV. Tiene como solución x=2.

5.

Determine el producto de los valores que puede tomar

Rpta: 17.

26 2

En la ecuación x − 13x + m = 0 , Si la suma de los cuadrados de sus raíces es 85, entonces el valor de “m” es:

A L G E B R A | 16 Rpta:

42 30.

18.

Qué valor debe tomar n para que la ecuación de primer grado sea compatible determinado.

19.

x

x + (2a + 3b − 1)x + (a − b− 3) = 0

−  −3

31.

Determinar los valores de “m” de manera que las raíces de la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟐𝐦𝐱 + 𝐦𝟐 − 𝟏 = 𝟎 tenga una raíz menor que 2 y otra mayor que 2. Rpta: 〈𝟏, 𝟑〉.

32.

Determinar la suma de cuadrados de las raíces de la ecuación (𝟐𝐤 + 𝟐)𝐱 𝟐 + (𝟒 − 𝟒𝐤)𝐱 + 𝐤 − 𝟐 = 𝟎 , sabiendo que las raíces son reciprocas. Rpta: 82/9.

33.

Se considera la ecuación de raíces reales 𝐱 𝟐 + 𝐦𝐱 + 𝐧 = 𝟎 y 𝑪𝑺 = {𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 } . Hallar ecuación cuyas raíces sean −𝒓𝟏 y −𝒓𝟐 . Rpta: 𝐱 𝟐 − 𝐦𝐱 + 𝐧 = 𝟎.

¿Qué se puede afirmar luego de resolver la ecuación de primer grado?

Rpta: La ecuación es indeterminada. Hallar n, para que las raíces de la ecuación

x 2 + 3x n − 1 , sean reciprocas. = 5x + 2 n +1

1 Rpta: 3 21.

Hallar el valor cuadrática

m − 2n

de

.Si

la

ecuación

7(m+ n+ 18)x 2 + 10(m− n)x + 5 mn = 0 22.

incompatible Rpta: 9 Si la ecuación

de

primer

a  2a a  + − 9  x + + 15 = 0  4  3 6 

34.

grado

es monico. El valor

23.

−18

El

valor

35.

“x”

en

la

ecuación

x+m x−m + = m si es de primer grado, es: x −2 x −1 2 Rpta: 3 24.

“m” de manera que “x” posee infinitas soluciones, es: Rpta: 3

27.

En la ecuación

Si la ecuación: 𝒎𝐱 − 𝐧 + 𝟓𝐱 + 𝟑 = 𝟗𝐱 + 𝟐 ; es compatible indeterminado. Hallar el valor de “m-n”. Rpta: 3.

39.

La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ecuación: (𝟑𝒙 − 𝟒𝟑)𝟐 − (𝟐𝐱 − 𝟏𝟕)𝟐 = 𝟎 , es: Rpta: 14.

40.

Dada la ecuación: 𝐱 𝟐 − √𝟓𝐱 + √𝟐 = 𝟎 de raíces 𝒙𝟏

de la ecuación

41.

Rpta:

La solución de la ecuación

, se tiene que las raíces

x + ax + b = 0 son los cuadrados

42.

En la ecuación

𝟑

=

+ √𝟐 .

𝟐𝐱+𝟏 𝟗

+ 𝟑;

Rpta: -2. 43.

Si la ecuación 𝐱 𝟐 − 𝐦𝐱 + 𝟔𝟒 = 𝟎 ; admite como raíces a 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 tal que

2x + x − 6 = 0 .El

Rpta: 24. 44.

x + mx + 9m = 0,m  0

𝟐𝐱+𝟕

𝟔

𝟏

𝒙𝟐𝟐

Hallar 3x de la ecuación:

, el

valor de “m” para que la ecuación tenga una solución real única es: Rpta: 36

𝟏 𝒙𝟏

+

𝟏 𝒙𝟐

√𝒃𝒄

+

𝒂−𝒙 √𝒄

−

𝒂−𝒙 √𝒃

=𝟏−

𝐚𝟐 √𝒃𝒄

𝟑

= . Hallar “m”.

Una de las raíces de la ecuación: 𝒙(𝐱−𝟐𝐚)

29.

𝟏

− +

+

(𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏) − (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟑) = 𝟑[𝟑(𝒙 + 𝟏) − 𝟑] + 𝟒.

2

4a + b , es: −16 2

𝐱 𝟐

𝟏

𝒙𝟐𝟏

es: Rpta: 1.

2

de las raíces de la ecuación valor

𝑷=

Rpta: 5/2.

x 2 − 2(n− 3)x + 4 n = 0 .La suma

Si a y b son constantes en

𝐱 𝒎

38.

de los valores de “n” para que la ecuación tenga raíces iguales, es: Rpta: 10 28.

=

Si las raíces de la ecuación cuadrática

y 𝒙𝟐 . Determinar el valor de:

x −a x −b x −c 1 1 1 + + = 2 + +  bc ac ab a b c Rpta: a + b + c

(𝒙−𝟏)(𝒎−𝟏)

Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación 𝐚𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝐜 = 𝟎. Rpta: 𝐚𝐱 𝟐 − (𝐚𝟐 𝐜 + 𝟐)𝐱 + 𝟐𝐚𝐜 = 𝟎.

2

signo contrario, es: Rpta: 4 Calcular “x” de la ecuación

𝒙(𝐱−𝟏)−𝐦−𝟏

37.

Para qué valor de “m”, las raíces de la ecuación

x + 3x m − 1 sean iguales en valor, pero de = 5x + 12 m + 1 26.

Para que valores de m la ecuación

𝟔𝒏𝐱 𝟒𝐧−𝟏𝟒 − 𝟒𝐛𝐱 + 𝐚 − 𝟐𝐛 = 𝟎 son reciprocas y la suma de raíces es b-5. El valor de “a”; es: Rpta: 36.

En la ecuación

(2 x − 1)m2 − 3(x − 1) − (5 x − 2)m = 0 .El valor de

25.

Para que la ecuación

tiene raíces iguales. Rpta: -1/2. 36.

de

la

𝐧𝟐 𝐱 𝟐 + (𝐦 − 𝐧)(𝐦𝟐 + 𝐦𝐧 + 𝐧𝟐 ) = 𝐦𝟐 𝒙 sea incompatible, cual es la condición que debe cumplir m y n. Rpta: m+n=0.

es

de “x”, es: Rpta:

que tenga

la ecuación raíces nulas Rpta: 1

7x + 1 3(x − 1) 2(x + 1) = + 10 10 5 20.

(a + b) en la ecuación

2

nx − 6m + 3 (n+ 2) x + 4 m− 1 = 3 Rpta:

Hallar el valor de

; es:

Rpta: 𝒙 = √𝒃 + 𝒂 o 𝒙 = 𝒂 − √𝒄.

𝟖

A L G E B R A | 17 45.

𝟐𝒙+𝟑

Si la ecuación:

𝟐𝒙−𝟑

=

Hallar el valor de “k”. Rpta:-3/2. 46.

47.

𝒙−𝒌 𝒙+𝒌

Rpta: 7.

tiene infinitas soluciones. 57.

El menor valor entero negativo de “n”, para que la ecuación: (𝐧 + 𝟐)𝐱 𝟐 + 𝟒𝐱 − 𝟐 = 𝟎 tenga raíces reales; es: Rpta: -4.

(𝐦 − 𝟐)𝐱 𝟐 − (𝟐𝐦 − 𝟏)𝐱 + 𝐦 − 𝟏 = 𝟎 ; que su discriminante es 25. 58.

59.

Hallar el valor de “m”, si la ecuación es incompatible: 𝐧 𝐦

𝐱−

𝐧𝟐 𝐦

=

𝐦 𝐧

𝐱−

Rpta: 𝐦 = −𝐧. 49.

𝐦𝟐 𝐧

, 𝐦 ≠ 𝐧.

60.

Para que valores de “m” la ecuación:

(𝟐𝐦 + 𝟑)𝐱 𝟐 + (𝐦 − 𝟏)𝐱 + 𝐦 − 𝟕 = 𝟎 ; tiene raicea

reciprocas. Rpta: -10. 50.

61.

Si la ecuación cuadrática: 62.

Rpta: -9. Si las raíces dela ecuación:

−

Si a y b son raíces de la ecuación:

3x2 + 2(m − 1)x + m − 1 = 0 ; Determine el valor de

+ 𝒎 + (𝒂

− 𝒃)𝟐

m para que se verifique: 9ab2 + 3a 3 = −9a 2b − 3b3 + 192 Rpta: −5. 64.

𝒙𝟐

Rpta: −12.

54.

Calcular “𝒎” para que la ecuación: 𝒎𝟐 𝒙 + 𝟓𝒏 − 𝟔 = 𝟒(𝒙 + 𝒎 − 𝟏) , sea compatible indeterminado. Rpta: 2.

55.

Para qué valor de b, la ecuación: 𝐛𝐱+𝟐𝐚+𝟒

𝟐𝐱 − 𝟒𝐚 − 𝟏 = 𝟑 Rpta: 𝒃 ∈ 𝑹 − {𝟔}.

Si la ecuación:

10(a + b + 8)x2 + 6(a − b)x + 5ab = 0 ; es incompatible. Hallar 2a + b .

= 𝟎 ; tenga raíces

reales e iguales: Rpta: (𝒂 + 𝒃)𝟐 .

56.

Si r y s son las raíces de la ecuación:

Rpta: −a 2 63.

Hallar “m” de modo que:

𝒃𝟐 )𝒙

m m = 84; Es de 34 .Hallar el valor de E = 5 67

(ar + b)(as + b)

Determinar la ecuación cuadrática de raíces (a+b) y a.b, si a y b son raíces de la ecuación 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎. Rpta: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟎.

𝟐(𝒂𝟐

Si la suma de los cuadrados de las raíces de:

ax2 + bx − a = 0 ; Determinar el valor de

𝟑

de “m”; es: Rpta: 0; 2.

53.

raíces

Rpta: 5.

𝒙𝟐 − 𝟐(𝒎𝟐 − 𝟒𝒎)𝒙 + 𝒎𝟒 = 𝟎 son iguales. El valor

52.

tiene

Hallar el valor de “k”, en la ecuación: 𝟐𝐤𝐱 𝟐 + (𝟑𝐤 − 𝟏)𝐱 − 𝟑𝐤 + 𝟐 = 𝟎 , de manera que una de sus raíces sea la unidad. Rpta: -1/2. Hallar “a+b”, de manera que la ecuaciones: 𝟐𝐚𝐱 𝟐 + (𝐛 − 𝟏)𝐱 + 𝟒 = 𝟎; 𝟒𝐱 𝟐 + 𝟔𝐱 − 𝟔 = 𝟎, sean equivalentes. Rpta: -13/3.

x2 +

𝟓(𝒑 + 𝒒 + 𝟏𝟖)𝒙𝟐 + 𝟒(𝒑 − 𝒒)𝒙 + 𝟑𝒑𝒒 = 𝟎 es 𝒑+𝟐𝒒 incompatible. Hallar el valor de 𝑬 = . 51.

Para qué valor de “k”, la ecuación: (𝟐𝐤 + 𝟐)𝐱 𝟐 + (𝟒 − 𝟒𝐤)𝐱 + 𝐤 − 𝟓 = 𝟎 reciprocas. Rpta: -7.

𝐱 𝟐 − (𝐤 𝟐 − 𝟓)𝐱 − 𝟖𝐤 + 𝟑 = 𝟎; es -3 y la otra raíz, es:

48.

sabiendo

Rpta: 3.

Si una de las raíces de la ecuación: Rpta: 7.

Hallar la mayor solución de la ecuación:

; es compatible determinada.

Hallar el valor de “a+b”, de manera que la ecuación: 𝟓𝒙 + 𝟑𝒂 = 𝒃𝒙 + 𝟐𝒂 + 𝟐; sea compatible indeterminada.

65.

Si la ecuación mx − n + 5x + 3 = 9x + 2 es compatible indeterminada, el valor de m − n , es Rpta: 3

A L G E B R A | 18

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL. Es una desigualdad que tiene la forma general.

ax + b < 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0

𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Conjunto Solución En el conjunto solución, está dado por los valores reales de la variable 𝑥, que satisface la inecuación dada.

b a b ax + b > 0 ⟹ 𝑥 > − a b ax + b ≤ 0 ⟹ x ≤ − a b ax + b ≥ 0 ⟹ x ≥ − a

b ∴ cs = 〈−∞, − 〉 a b 〈− ∴ cs = , +∞ 〉 a b ∴ cs = 〈−∞, − ] a b ∴ cs = [− , + ∞ 〉 a

ax + b < 0 ⟹ 𝑥 < −

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la inecuación (x + 1)2 + 2x − 1 ≥ x 2 + 8

x 2 + 2x + 1 + 2x − 1 ≥ x 2 + 8 4x ≥ 8 ⟹ x ≥ 2 ∴ CS = [2 , + ∞ 〉

Solución:

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL La inecuación cuadrática o de segundo grado en una variable real "x"presenta la siguiente forma general.

ax 2 + bx + c < 0 ; 𝑎x 2 + bx + c > 0 ; ax 2 + bx + c ≤ 0 ; ax 2 + bx + c ≥ 0

con a ≠ 0 ; a, b, c ∈ ℝ

SOLUCIÓN GENERAL Para resolver una inecuación de segundo grado es recomendable que a > 0, en caso contrario multiplicar por (−1) y la desigualdad se invierte. Luego teniendo en cuenta el discriminante b2 − 4ac se presentan los casos. 1. Si b2 − 4ac = 0 ; (𝐚 > 0) se cumple: ➢ ax 2 + bx + c ≥ 0

tiene

cs = ℝ

➢ ax 2

+ bx + c ≤ 0

tiene

cs = {− }

➢ ax 2 + bx + c < 0

𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

𝑐𝑠 = 𝜙

➢ ax 2 + bx + c > 0

𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

𝑐𝑠 = ℝ − {− }

b

2a

b

2a

2. Si b2 − 4ac < 0 ; (a > 0) se cumple: ➢ ax 2 + bx + c ≥ 0

tiene tiene 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

➢ ax 2 + bx + c ≤ 0 ➢ ax 2 + bx + c < 0 ➢ ax 2 + bx + c > 0

cs = ℝ cs = ϕ 𝑐𝑠 = 𝜙 𝑐𝑠 = ℝ

3. Si b2 − 4ac > 0 ; (a > 0) La inecuación se resuelve por puntos críticos, pues el trinomio ax 2 + bx + c siempre es factorizable (ya sea por factorización o utilizando la formula de baskara) en el campo de los números reales. El procedimiento es: ➢ Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro. ➢ Se factoriza la expresión, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos. ➢ Estos puntos críticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos (+) y (−) en forma alternada empezando de derecha a izquierda. ➢ La solución de la inecuación estará expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor que (>) o mayor o igual (≥)o por las zonas negativas si es que el sentido de la desigualdad original es menor que ( 0), entonces ax 2 + bx + c > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ Ejemplo: Resolver

x 2 − x − 20 ≤0 2x 2 + 3x + 4

A L G E B R A | 19 Solución: El trinomio 2x 2 + 3x + 4 tiene discriminante b2 − 4ac = 9 − 4(2)(4) = −23 < 0 Entonces 2x 2 + 3x + 4 > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ luego la ecuación original es equivalente e resolver

x 2 − x − 20 ≤ 0 (x − 5)(x + 4) ≤ 0 ⟹ x = 5

-

+

∨

+

∴ -4 CS = [−4 , 5 ]5

-

x = −4

+

VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “a” esta definido por:

|a| = { a −a

Propiedades:

1. 2. 3. 4.

si a ≥ 0 si a < 0

5. 6.

|a| ≥ 0 ; ∀ a ∈ ℝ |a| = 0 ⟺ a = 0 |a| = |−a| |a|2 = a2 ; ∀ a ∈ ℝ |a| = √a2 ; ∀ a ∈ ℝ |a. b| = |a|. |b| ; ∀ a, b ∈ ℝ

7.

| | = |b| ; ∀ a, b ∈ ℝ ; b ≠ 0

8. 9.

|x − a| = |a − x| |a + b| ≤ |a| + |b| ; ∀ a, b ∈ ℝ (Desigualdad triangular)

a

|a|

b

ECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.

1. 2.

|a| = b ⟺ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b ) |a| = |b| ⟺ a = b ∨ a = −b

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x − 2| = 5 Solución: |x − 2| = 5 ⟺ 5 ≥ 0 ∧ ( x − 2 = 5 ∨

x=7

x − 2 = −5 ) ∨

x = −3

∴ CS = {−3 , 7 } Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |2x + 5| = |x − 1| Solución: |2x + 5| = |x − 1| ⟺ 2x + 5 = x − 1 ∨ 2x + 5 = −x + 1

x = −6

∨

x = −4/3

∴ CS = {−6 , −4/3 } INECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

|a| < 𝑏 ⟺ b > 0 ∧ ( −b < 𝑎 < 𝑏 ) |a| ≤ b ⟺ b ≥ 0 ∧ ( −b ≤ a ≤ b ) |a| > 𝑏 ⟺ a > 𝑏 ∨ a < −b |a| ≥ b ⟺ a ≥ b ∨ a ≤ −b |a| < |b| ⟺ a2 < b2 ⟺ (a + b)(a − b) < 0 |a| ≤ |b| ⟺ a2 ≤ b2 ⟺ (a + b)(a − b) ≤ 0

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x − 1| < 3 Solución: |x − 1| < 3

⟺ 3 > 0 ∧ ( −3 < 𝑥 − 1 < 3 )….. Propiedad 1 −2 < x < 4 ∴ CS = 〈−2 , 4 〉 Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x + 2| ≤ 3x − 1 …. Propiedad 2 Solución: |x + 2| ≤ 3x − 1 ⟺ 3x − 1 ≥ 0 ∧ ( −3x + 1 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 3𝑥 − 1 )

x ≥ 1/3 ∧ (−3x + 1 ≤ 𝑥 + 2 ∧ 𝑥 + 2 ≤ 3𝑥 − 1) ( x ≥ −1/4

Interceptando

( 𝑥 ≥ 3/2 )

∴ CS = [3/2, +∞〉 Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x + 4| > 5 Solución: |x + 4| > 5

⟺

∧ 𝑥 ≥ 3/2 )

x + 4 > 5 ∨ x + 4 < −5 ….. Propiedad 3 x > 1 ∨ x < −9

A L G E B R A | 20 ∴ CS = 〈−∞ , −9 〉 ∪ 〈1 , +∞ 〉 Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x + 3| ≤ |x − 7| Solución: |x + 3| ≤ |x − 7| ⟺ (x + 3 + x − 7)(x + 3 − x + 7) ≤ 0 ….. Propiedad 6

(2x − 4)(10) ≤ 0 x≤2 ∴ CS = 〈−∞, 2 ]

EJERCICIOS 1.

En las siguientes proposiciones indicar con (V) si es verdadero y con (F) si es falso: I. el conjunto solución de la inecuación: 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 > 0; es ℝ. II. el conjunto solución de la inecuación: 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 > 0, es ℝ. III. el conjunto solución de la inecuación: (𝑥 2 + 6)(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) ≤ 0; es {2}. IV. el conjunto solución de la inecuación: 𝑥 2 + 𝑥 + 1 < 0; es ϕ. Rpta: VFVF.

9 x 2 + 6 x + 1  0 , tiene por conjunto

IV.La inecuación solución a

1  .   3

V.La inecuación solución a

.

x2 − 2 x + 1  0 ,

tiene por conjunto

La secuencia correcta, es: RPTA :FVFFF

8. Halle todos los valores de “c” para los cuales 2.

x 

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. x 2 − 6x + 9 > 0 tiene cs = ℝ II. III. IV.

(x 2

− 6x +

x2 −4x+4 x2 +3 9x 2 −

9)(x 2

−1 

+ x + 1) ≥ 0 tiene cs = ℝ

< 0 tiene cs = ϕ

2x 2 − cx + 1 3 x 2 + 2x + 2

Rpta: − 4, − 6 + 2 5

2

12x + 4 > 0 tiene cs = ℝ − { } 3

Rpta: 3. 3.

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa I. x

2

9. Siendo m  7 ,calcule el valor de m,si el C.S de la inecuación: es m2 (x − 1)  7(7 x − m) ,

−,2 / 3

− 2x + 1  0 entonces C.S = 2

II.

x − 2x + 1  0 entonces C.S =

III.

x 2 − 6x + 9  0 entonces C.S =  2

IV. x − 6x + 9  0 entonces La secuencia correcta, es: Rpta: FVVF

Rpta:14

C.S = 

10.

I.La inecuación

1 1 1 Si se cumple que: x Î 1,2    , a 5x + 3 b

4.

En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.

ax  b  0 ,

conjunto solución a

−, 

indique el valor de “a – b”.

Si

los

intervalos

N = éë3;2x + 1

M = 2x - 1;4]

y

tienen al menos un elemento en

común, halle los valores de “x”. RPTA:

6.

3 5 < x< 2 2

x 2 − 3x + a  0 es −; −2 el valor de

solución a

b; + , calcule

(a + b)2 .

En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.

7  x − 9  40 , tiene por conjunto 4, 7 .

I.La inecuación

2

3  x  5 , entonces 9  x 2  25 2 III.Si 9  x  25 , entonces 3  x  5 II.Si

.

−,

d −b . a − c 

La secuencia correcta, es: RPTA:FVFV

RPTA: 9

solución a

tiene por

ax  b  0 , con a  0 tiene por b conjunto solución a −, . a III.La inecuación ax  b  0 , con a  0 tiene por a , + . conjunto solución a b IV.La inecuación ax + b  cx + d , con a, b, c, d  − 0 , a  c tiene por conjunto

Dado que el conjunto solución de la inecuación

7.

b a

a0

II.La inecuación

RPTA: – 5

5.

con

11.

Si

9, +

es el conjunto solución de la inecuación

x −b x −a − 0 a b a+b . RPTA:3

,

con

0ba

,

halle

A L G E B R A | 21 12.

Al

resolver

ax + 4  7 x + b

la

siguiente

solucion . Determine los valores de RPTA: −, 28 13.

inecuacion

Halle los valores que debe tomar la inecuacion 2

− ,

Rpta:

se obtuvo como conjunto

ab . 25.

El mayor valor entero de “k”, en:

12x 2 − 4x + 5 − k  0 ,  x 

n , de modo que

− ,

Rpta:

2(n − 1) x + (2n − 8) x + n  0 cumpla

x  RPTA:  2, +  14.

El

conjunto

26.

solucion

de

la

Determinar el conjunto solución de las inecuación

inecuacion Rpta:

27.

 − 3 + 17  −3 − 17 ,0   ,1  2 2  

Hallar la suma de todos los números enteros que satisfacen a la inecuación 5𝑥−1

16.

conjunto

solución

la

Rpta: -3


0; es:

53.

Resolver 3[(x − 1)2 + 2]−1 < 1 Rpta: 〈−∞, 0 〉 ∪ 〈2, +∞ 〉

54.

La suma de los valores enteros que cumplen con la

68.

x+2  2 , es: x −1

es: Rpta:

2,3

Resolver:

2x − 3 3, x−2

( x − 1)

2

+

(2 − x )

2

+

2

x − x

,

1

1 1 + = 3 x x

ìï 2üï í ý îïï 3 þïï

Calcula la suma del valor absoluto de las soluciones de la ecuacion:

x - 1 = 3- x RPTA: 4 69.

Rpta:9 El conjunto solución de la inecuación

Resuelva:

Rpta:

Rpta: 〈1; +∞〉.

desigualdad

Reducir:

Considere: x RPTA: 3 – 2x

67.

El conjunto solución de la inecuación 𝑎𝑥−𝑎𝑏𝑥

56.

la

− 5

Rpta:

3

55.

de

2

Rpta: 〈−∞, −5〉 ∪ 〈−3, 〉 ∪ 〈2,3〉.

52.

solución

x − 10 x + 25  0 , es

2

51.

conjunto

Rpta:

(𝑥 2 + 2𝑥 − 15)(3𝑥 − 2)

𝑥 − 3 𝑥 + 3 𝑥2 − 9 Rpta: 〈−∞, −6〉 ∪ 〈−3,3〉 ∪ 〈9, +∞〉.

46.

Determinar el mayor valor entero de k en:

12x2 − 4x + 5 − k  0; x  R 𝑥2

45.

.

Rpta: 8

Hallar el conjunto solución de:

(𝑥 2 + 6𝑥 + 9)(𝑥 2 − 4𝑥 + 4)(𝑥 − 5) ≤ 0

44.

Determinar el menor de los números enteros M que satisface la inecuación:

4 + 6x − 3x2  M , x 

Rpta : 〈−∞, 5]. 43.

1 − 8x 0 x + 4x + 3 2

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.

I. Si

4 − x = x − 4 , entonces su conjunto solucion es

 4, + II. Si

x − 6 = 6 − x , entonces su conjunto solucion es − , 6 

A L G E B R A | 23

3x − x − 1 = x − 2

III. Si

solucion es

es

81.

2

Rpta:

, entonces su conjunto solucion

−3, 3

82.

83. El

conjunto

solución

de

la

inecuación

71.

2 0, 2

RPTA. 72.

= x + 1 , es:

73.

85.

Al resolver: |

−,

El

86.

el conjunto solución, es:

87.

solución

de

la ecuación: x − 2 , es:

Hallar el valor de:

5 x + 12 − 2 2 x − 6 3x

,

88.

El conjunto solución de: |4𝑥 + 3| + 5 = 𝑥 + 7, es.

4𝑥−3

Al resolver: | Rpta.: {0,6}.

| = |𝑥 + 1|, el conjunto solución, es:

Resolver: |𝑥 − 3| = 5; siendo el conjunto solución 𝑥 ∈ {−𝑎, 𝑏}, indicar “𝑎 + 𝑏”. Rpta.: 6.

90.

Resolver: |3𝑥 − 1| = |5𝑥 − 15| ; siendo el conjunto solución 𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏}, indicar “(𝑎 + 𝑏)2 ”. Rpta.: 81.

91.

La suma de las soluciones de la ecuación: |3𝑥 − 5| + |5𝑥 − 2| = |𝑥 + 7| + |2 − 5𝑥|, es: Rpta.:

11 2

.

92.

La suma de las soluciones de la ecuación: |3(𝑥 + 1) − 1| = 𝑥 + 6, es: Rpta.: 0.

93.

El producto de las raíces de la ecuación: |

La suma de las soluciones de la ecuación es:

14 3

3

89.

si x  0,3 

6 − 3x + 2x − 5 = 3 x − 2 + x − 3 Rpta:

}.

3

Rpta: 4

76.

5

1

x = x x−2

Rpta: 3

28

Rpta.: {− , −1}.

Calcular la suma de las raíces de la ecuación:

E=

| = 4, el conjunto solución, es:

Al resolver: |4𝑥 + 5| = |𝑥 + 23| , indicar la solución negativa. Rpta.: {−

6 − 3 x + 12 x − 24 = 16 x −

75.

𝑥−1

7

3 2

conjunto

3𝑥+1

Rpta.: { , 5}.

Rpta: {1} 74.

Hallar el conjunto solución de: x 2 − 2|x| − 3 = 0. Rpta: {−3,3}.

Al resolver la inecuación

RPTA.

Resolver: |x 2 − x − 6| = x + 2.

3

−1

x − 2 − 2x + 5  x +1

 4, −2

84.

El conjunto solucion de la inecuacion

x2 − x − 2 + x2 + x

6x − 3 = x + 17

Rpta: {−2,2,4}.

6 − 15 x + 18 − 9 x  0 , es: RPTA.

CS =  0,4

Resolver la ecuación: Rpta:

La secuencia correcta es: RPTA. VVVF 70.

El conjunto solución de la ecuación

(x − 2) + 3x − 6 = 8 , es:



9 − x2 = 9 − x2

IV. Si

, entonces su conjunto

2𝑥+1

es:

𝑥−1

| = 3,

8

77.

Sabiendo que

Rpta.: .

𝑏 ≥ 0 y |𝑥 − 𝑎| < 2𝑏 . Hallar el

intervalo al que pertenece la expresión 1

𝑏 𝑥−𝑎+3𝑏

.

5

94.

El producto de las raíces de la ecuación: |3𝑥 + 2| = |12 − 2𝑥|, es: Rpta.: −28.

95.

La solución de:

Rpta: [ ; 1]. 5

El conjunto solución de la ecuación

3x − 15 + 2x − 10 = x + 1 Rpta:

, es:

x − 4 = −4 x − 8 ; es.

2

Rpta.: 78.

x − 2 + 4 x + 1 = 5 − x , es: Rpta: 79.

La suma de las raíces de la ecuación:

Rpta:

El conjunto solución de la inecuación: 3𝑥 + 3|x + 2| < 6(x + 3), es: Rpta: 〈−4, +∞〉.

97.

Hallar la suma del menor entero y el mayor entero que satisface a la inecuación:

8

El conjunto solución de la inecuación

3x − 2 = x − 4 , es: Rpta:

96.

−2

(x − 4)2 − 3 4 − x − 10 = 0 , es:

80.

x = −4

La suma de las raíces de la ecuación



Rpta: -11 98.

Resolver: ||2x − 3| + 1| ≤ 6. Rpta: [−1,4].

|x+2| 2

≤

|2−x| 3

.

A L G E B R A | 24 99.

Señalar el menor valor entero positivo que verifique la inecuación: |𝑥 + 1| ≥ 2. Rpta: 1.

100. Al resolver: |𝑥 − 1| ≤ |𝑥 + 2|, el conjunto solución, es:

 1  2

6

101. El conjunto solución de: |4𝑥 − 9| ≤ 10 − 𝑥, es: Rpta:[− , 3

5

114. Si 2 x − 3  4 x − 2 ; determinar su conjunto solución. Rpta:  5 , +  

Rpta:  − , + .

1 19

3 7

Rpta:  ,  2 2

].

115. El

conjunto

solución

de

la

inecuación

2 x − 3  3x − 8 , es: Rpta:[5,+

102. Determina el conjunto solución soluciones de la siguiente inecuación: |4𝑥 − 3| ≤ 𝑥 + 1. 2 4

Rpta: [ , ].

116. Resolver

2x −1  x + 10  x + 5



Rpta.

5 3

117. Cuántos valores enteros cumplen con la inecuación

103. Hallar el conjunto solución de: 1 1 ≤ |𝑥 + 1| |𝑥 − 1| Rpta: [0, 1〉 ∪ 〈1, +∞〉.

x2 − 4  4 − 2 x Rpta:6 118. Resolver

 

104. Determinar el conjunto solución de: |𝑥 − 2| − 3|𝑥 + 21| < 0 Rpta: 〈−∞, −

65 2

〉 ∪ 〈−

61 4

3 − 2x  4x − 1

Rpta:  −1,

, +∞〉.

2 3 

119. ¿Cuántos valores enteros satisfacen la inecuación 2x + 5  4x − 3 ?

105. Señalar la suma de las soluciones enteras:

Rpta:4

|2𝑥 + 5| ≤ 3 Rpta: −10.

120. El

conjunto

solución

de

la

inecuación

3x − 6 + 5 x − 2 + 4 − 2 x  60 , es:

106. El conjunto solución de la inecuación: |𝑥 − 4| + |3 − 𝑥| ≤ |𝑥 − 3| + |𝑥 + 7|

Rpta:

 3 Rpta:  − , +  2

121. El

 −4,8 conjunto

solución

de

la

inecuación

3x + 5  x − 2 , es: Rpta:  − 7 , − 3   2 4  

107. El conjunto solución de la inecuación: |4𝑥 − 3| − 𝑥 < 4 1 7

Rpta: 〈− , 〉.

122. Hallar el menor valor entero positivo que verifica la desigualdad:

5 3

108. Calcular: E = 3 x + 2 − 2 x − 8 + 2 x − 4 ;

6 x + 11 − 3x + 9

si x  0, 4 .

2 1 x −1 Rpta: 4

Rpta: 1.

123. Si 109. El conjunto solución de la siguiente inecuacion x − 3  x − 4 ; es. Rpta:  7 , + 2 

110. El valor de la expresión:

E=

4x + 1 − x −1 Si x  0,1 ; es. x

Rpta: 5. 111. El conjunto solución de la Inecuación:

x2 + 2 x + 5  x2 − 5x + 6

; es.

1 Rpta:   −,  7 

112. Al resolver la inecuación: conjunto solución

, se obtiene por

−, 0  m, +

2

valor de: “ 2m ”. Rpta: 50. 113. Conjunto solución de:

2 x − 5 + 2  4 ; es.

x 0 x −5

. Hallar el

x

es

un

número

real

que

verifica:

4x −1 9 , este número. ¿A que conjunto −2 x+3 x+3

pertenece? Rpta: -∞,-3U[8,+∞ 

A L G E B R A | 25

A L G E B R A | 26

ALGEBRA |2

1. PAR ORDENADO Un par ordenado de componentes “a” y “b” es un ente matemático denotado por (a , b) donde “a” es la primera componente y “b” la segunda componente. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Dos pares ordenados (a , b) y (c , d) son iguales si y sólo si sus componentes son iguales. Es decir:

(a , b) = (c , d) ⇔ a = c ∧ b = d Ejemplo: determinar el valor de x , y de tal manera que (5x + 2y , −4) = (−1 , 2x − y) Solución:

5x + 2y = −1 ⋯ (I) 2x − y = −4 De (II)2x + 4 = y

⋯ (II)

en (I) 5x + 2(2x + 4) = −1 ⟹ x = −1 ∧ y = 2

2. PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos A y B. se llama producto cartesiano de A y B en ese orden al conjunto formado por todos los pares ordenados (a , b) tal que a ∈ A ∧ b ∈ B, se denota por A × B esto es:

A × B = {(a , b)/ a ∈ A ∧ b ∈ B} Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3 } y B = { 2, 4 }, entonces:

A × B = {(1 , 2), (1 , 4), (2 , 2), (2 , 4), (3 , 2), (3 , 4)} Cuando los conjuntos A y B son finitos y tienen p y q elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano A × B tiene p ⋅ q elementos. Es decir:

n(A × B) = n(A) ∙ n(B) = p ⋅ q Ejemplo: A = {1, 3, 4 } y B = { 2, 5, 7 , 9 } Entonces: n(A × B) = n(A) ∙ n(B) = 3 × 4 = 12 Pares ordenados. PROPIEDADES: Sean A,B,C y ϕ conjuntos, entonces:

1. A  B  A x B  B x A 2. A  B  A x B  B x A 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A ×ϕ= ϕ×A = ϕ (A × B) × C ≠ A × (B × C) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) A × (B − C) = (A × B) − (A × C) Si A ⊂ B, entonces (A × C) ⊂ (B × C) ; ∀ C RELACIONES BINARIAS

Sean A y B dos conjuntos no vacios. Un conjunto ℛ de pares ordenados, se llama relación binaria de A en B, si ℛ es un subconjunto cualquiera de A × B, es decir: 𝓡 Es una relación binaria de 𝐀 𝐞𝐧 𝐁 si y solo si 𝓡 ⊂ 𝐀 × 𝐁 Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y

B = { 2, 4, 5 , 6 } , entonces las siguientes son relaciones de A en B por ser

subconjuntos del producto cartesiano A × B

ℛ1 = {(1 , 4), (1 , 5), (2 , 5), (2 , 6)} ⊂ A × B ℛ2 = {(2 , 2), (3 , 4), (3 , 6)} ⊂ A × B ℛ3 = {(x , y) ∈ A × B / x + y = 7} OBSERVACIÓN: Si A × B tiene "p ⋅ q" elementos, entonces A × B tiene 2p⋅q subconjuntos, por lo tanto existen 2p⋅q relaciones de A en B. Del ejemplo:

A = {1, 2, 3} ⟹ n(A) = 3 B = { 2, 4, 5} ⟹ n(B) = 3 n(A × B) = n(A) × n(B) = 3 × 3 = 9

ALGEBRA |3 Por lo tanto existen2p⋅q = 23×3 = 29 = 512 relaciones de A en B DOMINIO Y RANGO Dada la relación binaria ℛ ∶ A → B, entonces:

Dom(ℛ) = { a ∈ A / ∃ b ∈ B ; (a , b) ∈ ℛ} ⊂ A Ran(ℛ) = { b ∈ B / ∃ a ∈ A ; (a , b) ∈ ℛ} ⊂ B

A

B Ran(ℛ)

Dom(ℛ) ℛ

𝐛

𝐚

Conjunto de Partida o conjunto de Pre imágenes

Conjunto de llegada Imagen o conjunto de imágenes

Ejemplo: Sea la relación

ℛ1 = {(1 , 1), (2 , 1), (2 , 3), (3 , 1), (3 , 2), (4 , 1), (4 , 2), (5 , 3)} ,entonces: Dom(ℛ) = {1, 2, 3, 4, 5 } Ran(ℛ) = {1, 2, 3} RELACIONES REALES DE VARIABLE REAL Si A = B = ℝ, se obtienen relaciones reales de variable real. En general una relación real se expresa como:

ℛ = {(x , y)ϵℝ2 / P(x , y)} Donde: P(x , y) es una expresión algebraica ral. Ejemplo:ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / x 2 + y 2 − 36 = 0 } CÁLCULO DEL DOMINIO Para determinar el dominio de una relación real expresada como una ecuación E(x , y) = 0 , se despeja la variable "y" en términos de "x", luego se analiza los valores reales que toma la variable "x" para que la variable "y" sea real. Ejemplo: Calcular el dominio de la relación:

ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / x 2 + y 2 − 25 = 0 } Solución:

y 2 = 25 − x 2 ⟹ y = √25 − x 2 ∀ y ∈ ℝ: 25 − x 2 ≥ 0 ⟹ x 2 − 25 ≤ 0 ⟹

x 2 ≤ 25

−√25 ≤ x ≤ √25 ⟹ −5 ≤ x ≤ 5 ∴ Dom(ℛ) = x ∈ [−5 , 5 ] CALCULO DEL RANGO Para determinar el Rango de una relación real expresada como una ecuación E(x , y) = 0 , se despeja la variable "x" en términos de "y", luego se analiza los valores reales que toma la variable "y" para que la variable "x" sea real. Ejemplo: Calcular el rango de la relación

ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / x y 2 − y 2 − 4x = 0 } Solución: x y 2 − 4x = y 2 y2 x (y 2 − 4) = y 2 ⟹ x = 2 ; y 2 − 4 ≠ 0 ⟹ y ≠ ±2 y −4 ∴ Ran(ℛ) = y ∈ ℝ − {−2 , 2 } EJERCICIOS

1.

Se R una relación del conjunto A en el conjunto B, en las siguientes proposiciones marcar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda. I. La relación R es un subconjunto de

A B .

A  B , entonces R es un subconjunto de A A III. Rang ( R)   y / y  B, ( x, y)  R  A II. Si

La secuencia correcta, es:

Rpta: VVF 2. Indicar verdadero proposiciones: I. De la relación

(V)

o

D  ( x, y) 

falso 2

(F)

/ y  7 x  2

Su rango es:   2,  . II.De la relación

R  ( x, y) 

2

/ 2 y  2  0

su rango es:

siguientes

ALGEBRA |4 III. La relación

Q  ( x, y) 

2

/ x  12  0 es una

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑥 = 𝑦}, El Dom(𝑅1 △ 𝑅2 ) es. Rpta.: {2,3,4}.

recta paralela al eje X . En el orden en que aparecen, es: Rpta : FFF 3.

El rango de la relación



2

R  (x, y) 

4.

Sea

R  (x, y) 

2



/ y  x 2  2x  2  0 .



enteros de su rango es: Rpta: 15 Hallar el dominio y

R

/y

rango

x

2

de

4x , y

la

Hallar el dominio de la relación:

Relación

R  (x, y) 

la

/ x3  y2

2



Dada la relación



2

 , el rango de la

/ x2  1  y  1

8.



2

/ x2y 2  x2  y 2  1  0



,

la

21.

2

/y

Rpta: 1,1

11.

22.

,0  y  3

,



Dada

2

A   2, 3,4,5 .Se define la relación en A

Dada la relación



2

R

es

 6,  1 .La suma de los números

Rpta: 23.

2

El rango de la relación



2

R  (x, y)  Rpta:



,

el

24.

12  y 

En el conjunto

R1

Dados los conjuntos 𝐴 = {5, 6, 1} y 𝐵 = {2, 3} . Al determinar la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵; 𝑥 > 𝑦 }, el valor de E= 𝑛(𝐷𝑜𝑚(𝑅)) + 𝑛(𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑅)) 𝑒𝑠.

A  1,2,3 se define las relaciones

  (x, y)  A

Sea la relación definida por. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝxℝ/|𝑥 + 2| ≤ 3; |𝑦 − 2| < 4}, Hallar el dominio de la relación. Rpta: [−5,1].

14.

Hallar

de

la

R  ( x, y)  R 2 / y  2  5  4 x  x 2 Rpta:[-1,5] Sea 𝐴 = {2,3,4}, se definen las relaciones: 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑦 ≯ 𝑥},



2



xy 5



El número de elementos del conjunto

B  R1  R 2 es: Rpta: 4

Rpta: {2}. 13.



x  2 , es:

  ,12 

R1  (x, y)  A 2 x  y

0; 

dominio



2x  3y  5  0 .Si el dominio

es:

/ ( y  x 2 )( x 2  y  2)  0



n  Ran(R)  , es:

enteros de su rango, es:

19  5 

 ; 2

el

R  (a,b)  AxB a  b  6

R  (x, y) 

rango de la relación R, es:

15.

B   2y  1 y 

definida por

Dada la relación



,1  x  4

de

R:  , 2 R  ( x, y)  / y  5x 2  4 x  3

R  ( x, y ) 

12.

A   3x  1 x 

Rpta: 4

5 1    x  2 x 1 3  x 

El rango de la relación

Rpta:

Dados los conjuntos

El

1,3



Rpta:



Dom(T)  , 2  2,   0 



9. Determinar la el dominio de la relación:

10.

x 2 y 2  4y 2  4x 2  0

x

R  (x, y)  A 2 x  y  7

suma de elementos del rango de la relación R, es: Rpta: 0

 R  ( x, y)  



La suma de los elementos del dominio, es: Rpta: 17

Dada la relación

R  ( x, y ) 

Hallar el dominio de la relación

y la relación

relación R, es: Rpta:



Dom(S)  , 3   0, 

Rpta: 20.

3  2xy  xy 2  0

x

T  (x, y) 

relación. ,  2y  3x  2  0

1; 

R  ( x, y ) 



Rpta:

0

Hallar su dominio 7.

18.

19.

Dada

Rpta:

La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0} Rpta: 10.

S  (x, y) 

0;4

Rpta: 6.

2

x, y

17. Si

el dominio de R es  4, 2 la suma de los números

5.

Sea el conjunto 𝐴 = {3𝑥/𝑥 ∈ ℕ, −1 < 𝑥 ≤ 6}, donde la relación está definido por 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐴/𝑥 + 𝑦 ≤ 10}. Hallar 𝑛(𝑅). Rpta.: 10.

y 3  x 2 y  x 2  0 es:

 0,1

Rpta:



16.

25.

Sean los pares ordenados (𝑎 − 2,2𝑏 + 1, 𝑦) = (𝑏 − 1, 𝑎 + 2) iguales. El valor de “ab”; es. Rpta:1

26.

Si 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/ −3 ≤ 𝑥 < 3}; 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ −1 ≤ 𝑥 < 5}. Hallar n(AXB). Rpta: 18

27.

El dominio de la siguiente relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /x 2 − 𝑦 2 − 8x − 4y − 4 = 0}; es. Rpta: (−∞, 𝟎] ∪ [𝟐, +∞)

28.

Dada la relación

relación:

ALGEBRA |5 Si 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝐴/(𝑥, 3) ∈ 𝑅} 𝐷 = {𝑦 ∈ 𝐴/(2, 𝑦) ∉ 𝑅} 𝑇 = {𝑦 ∈ 𝐴/(3, 𝑦) ∈ 𝑅}, Calcular 𝑛((𝑃 ∪ 𝐷)x𝑇)

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /y = ±√(2 − 𝑥)(−𝑥)}; su dominio; es. Rpta: (−∞, 𝟎] ∪ [𝟐, +∞) 29.

30.

Dada la relación: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /𝑦 2 x − 4x − 8 = 0}; Hallar Dom(R) ∪ Ran(R). Rpta: 〈−∞, −𝟐〉 ∪ 〈𝟎, +∞〉. Hallar Dom(R) ∩ Ran(R) si R: 𝐴 → 𝐵 definida por: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/x ∈ A ; y ∈ B; x < y} ; siendo 𝐴 = {2,4} y 𝐵 = {−2,2,8}. Rpta: {𝟐}.

31.

Hallar los puntos de intersección de la siguiente relación: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /x − 4y − 6 = 0}; con los ejes coordenados. Rpta: (0,-3/2).

32.

El dominio de la relación: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /x 2 y − x 2 − 4xy − 5y = 0}; es. Rpta: ℝ − {−𝟏, 𝟓}.

33.

El rango de la relación: :

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /y − x 2 + 6x − 2 = 0}; es.

Rpta: 10. 43.

Sea 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝxℝ/|𝑥 + 2| ≤ 3; |𝑦 − 2| < 4}, Hallar el dominio de la relación. Rpta.: [−𝟓, 𝟏].

44.

En 𝐴 = {1,3,5,7}, se define la relación: 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴2 /2𝑎 − 1 ≤ 𝑏}, si “𝑚” es la suma de los elementos del dominio y “𝑛” es la suma de los elementos del rango. Hallar “𝑚 − 𝑛”. Rpta.: −𝟏𝟐.

45.

Sea 𝐴 = {3𝑥/𝑥 ∈ ℕ, −1 < 𝑥 ≤ 6}, donde la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐴/𝑥 + 𝑦 ≤ 10}. Hallar 𝑛(𝑅). Rpta.: 45.

46.

Hallar el dominio de la siguiente relación:

Rpta: [𝟐, +∞). 34.

Dados los conjuntos: definen las relaciones:

Rpta.: [−𝟏𝟓, 𝟏].

𝑨 = {1,3,5} ; 𝐵 = {2,4,6} se

47.

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐵/ 𝑦 + 𝑥 = 1}

Rpta: 3.

Rpta: {𝟐, 𝟒}

El dominio de la relación ; es

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /4y + x 2 + y 2 + 6x = 23}

48.

Rpta: [−𝟗, 𝟑] . 36.

37.

Sea 𝐴 = {1,2,3} y dadas las relaciones en 𝐴, definidas por: 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑥 < 𝑦},

Rpta.: {𝟏, 𝟐, 𝟑}.

39.

Dados los conjuntos 𝐴 = {2,6,8}; 𝐵 = {4,5}, hallar la suma de los elementos del dominio de la relación 𝑅: 𝐴 → 𝐵, definido por: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐵/ 𝑥 + 𝑦 > 9}. Rpta: 14. Sean 𝐴 = {1,3,5,7},

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑦 > 𝑥}, 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑥 < 6 ∧ 𝑦 > 4}, 𝑛(𝑅1 ) + 𝑛(𝑅2 ).

El dominio de la relación

ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / y2 − y 2 x 3 − x = 0 } es:

𝐑𝐩𝐭𝐚: Dom(ℛ) = x ∈ [0 , 1 >

Dados los conjuntos 𝐴 = {5, 6, 1} y 𝐵 = {2, 3} . Determinar la relación 𝑅: 𝐴 → 𝐵 / 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵; 𝑥 > 𝑦 } . Hallar 𝐷𝑜𝑚(𝑅) ∩ 𝑅𝑎𝑛(𝑅). Rpta: {𝟐}

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑥 + 𝑦 = 4}, calcular el 𝐷𝑜𝑚(𝑅1 ∪ 𝑅2 ). 38.

La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0}

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐵/ 𝑦 = 6}.Hallar Ran(R1 ) − Ran(R 2 ) 35.

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / |𝑥 + 7| ≤ 8}

49.

El rango de la relación

ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / xy 2 − y 2 − 4x = 0 }es:

𝐑𝐩𝐭𝐚: Ran(ℛ) = y ∈ ℝ − {−2 , 2 } 50.

El dominio de la relación

ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / x 2 y − 4xy 2 + 3y 2 − 4 = 0 }

𝐑𝐩𝐭𝐚: Dom(ℛ) = x ∈ 〈−∞, 1〉 ∪ 〈3, +∞〉 51.

El rango de la relación

ℛ = {(x , y) ∈ ℝ2 / x 2 y 2 − 4x 2 − 4y 2 = 0 }es:

𝐑𝐩𝐭𝐚: Ran(ℛ) = y ∈ 〈−∞, −2〉 ∪ 〈2, +∞〉 52.

Hallar el dominio y rango de la relación:



R  (x; y) 



hallar

Rpta: 3.

41. Sea 𝐴 = {2,3,4}, se definen las relaciones: 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑦 ≯ 𝑥}, 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 /𝑥 = 𝑦}, Hallar: Dom(𝑅1 △ 𝑅2 ). Rpta: {𝟑, 𝟒}.

42. En 𝐵 = {1,2,3,4,5}, se define la relación: 𝑅 = {(1,2), (1,4), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,4), (4,2), (5,2), (5,3)}



2 /  2  y   9  x 2 . Hallar Dom(R)

Ran(R) Rpta: –1; 3

Rpta: 12.

𝑛(𝑅1 )+𝑛(𝑅2 ) . 𝑛(𝑅3 )

2



/ x 2  y2  6x  4y  23  0

Rpta: Dom(R) = –9; 3 Ran(R) = –8; 4 53. Dada la relación real

R  (x; y) 

40. Sean 𝐴 = {2,3}, y 𝐵 = {2,4,5,6,8} y 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐵/𝑦 = 𝑥̇ }, 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐵/𝑦 = 𝑥 2 }, 𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴x𝐵/𝑦 − 𝑥 = 2}, hallar el valor de:

2

54.

El conjunto de números enteros que satisfacen el rango de la relación



R  (x; y) 



2

/2x 2 y  4x 2  3y  6  0

2

/ x 2 y  4x 2  2y  4  0 .

,

es: Rpta: {-1; 0; 1; 2} 55.

En la relación



R  (x; y) 

56.



Hallar Dom(R) Ran(R) Rpta: 2; 4 Hallar el dominio y



R  (x; y) 

2

 {3} Rpta: Dom(R) =  {1} Ran(R) = 57. Dada la relación



R  (x; y) 

2

rango

de

la

relación



/ xy  x 2  5x  3y  6



/ x 2 y  x 2  4xy  4y  0 ,

ALGEBRA |6

R3   x, y   A  B / x  y  9

determinar el conjunto que no satisface al conjunto Dom(R) Ran(R) Rpta: {1; 2} 58.



2

69.



R  (x; y) 

2

la

/ y  15  x  2

;

x   a; b  , determinar el valor de 2a+3b. Rpta: 73 60.

70.

Hallar

el

dominio

  R  (x; y)   

2

/y 

de 4

la

61.

Hallar



el

relación

x  4  4  x2    x x   71.

dominio

R  (x; y) 

2

y

rango

de

la

relación

/ y  2  5  4x  x 2



Dom  R 



Ran  R 

2

72.

de

la



73.



de

la



relación

 0

Dominio

y

Rango

de

la

relación

A  3,5, 7 se define las



2

/y  x

R2

2

/ y2  x

2

/y  x 2  0

E





n  R1   n  R 2  n  R3 

El rango de la relación:



, es:

B  {6,8}

.

74.

75.



76.

x 5  2 /y   x   es una 4 4  2

relación real. Hallar su rango



 x, y  

2a  3b

en

/ y  15  x  2

la



relación ,



si

 2, 2

Hallar el dominio y rango de la siguiente relación:





Sea: R



2

 (x, y) 



/ y  x 2  4x  3  0 Si el

dominio de R es [-3,1]. La suma de los números enteros de su rango, es: Rpta: 35. 78.

Hallar el dominio y rango de:

(2  y)2  9  x2

x   a,b

Rpta: [-3,3], [-1,5]

Rpta:73 Dados los conjuntos



Rpta: Dom( R)  R  {1,1}; Ran( R)  R  [0,1 77.

Rpta: 1/ 4,  de



R  ( x, y)  R 2 / y  x 2 y  1  0

Rpta:18

2

Hallar el rango de la relación: Rpta: Ran( R) 

B  x  / x2  4

valor



R  ( x, y)  R 2 / 2 x 2 y  4 x 2  3 y  6  0

x 1  /  0 y x 7 

  Sea R   x, y    

Hallar el rango de la siguiente relación:

R  ( x, y)  R 2 / y( x  3)  x 2  5x  6 Rpta: Ran( R)  R  {1}

Hallar el número de elementos del conjunto AxB, si.

el

y

Rpta:24

Rpta: {2}



A  {4,10,14}

R : A  B , Talque R  ( x, y)  AxB / x  y  16.

A  2; 4 y B  2; 2; 8 .

R   x; y  / x  A, y  B, x  y

 A  x  

Dados los conjuntos:

Hallar la suma de los elementos del dominio de

Hallar la intersección del Dominio y Rango de la relación , siendo R:A B

68.

Rango

Rpta: Ran( R)  [2, 4

siguiente

/ x2  2x  y 2  4y  11  0

Sean los conjuntos

R

y

/ y 2 x  3y 2  1  0

R  ( x, y)  R 2 / x 2 y  4 x 2  2 y  4  0

 x, y  

Hallar

relación

3, 

 x, y   A   x, y   A   x, y   A

Rpta:3/2

Rpta: 5, 2

67.

2

R1 

Definimos la relación

relación:

66.

Dominio

Dado el conjunto

Hallar

R

65.

el

B  1  2x / x  ,  2  x  4

A  2x  1/ x  ,  1  x  5 y

Hallar

la

 x, y   2 / x2 y  x2  4xy  4y  0 Rpta: Dom  T    2 Ran  T    0,   1

R3

Rpta:10

64.

Hallar

Dado los conjuntos:

R como R   x, y   A  B / x  y  8 . Hallar n  R 

63.

el

 x, y   Rpta: Dom  S   Ran  S  

siguientes relaciones:

Rpta: Dom(R) = –8; 4 Ran(R) = –2; 1 62.

de

T

2

Rpta: –2; 2 – {0}

Hallar

R

relación



dominio

Rpta: 3,5



/ xy 2  3y 2  1  0

Rpta: Dom(R) = 3; + Ran(R) =  {0} Dada

el

R1  R2  R3  R2 

Determinar el dominio y rango de la relación

R  (x; y) 

59.

Hallar

A  2,3,5 y B  1,4 . Se

definen las relaciones:

R1   x, y   A  B / x  y R2   x, y   A  B / y  x  2

79.

El dominio de la relación:



R  (x, y)  Rpta: [-9,3]

,es:

2



/ y 2  x2  4y  6x  23  0

ALGEBRA |7 ee

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) ∈ ℝ2 está dada por: Y B 

y2 A 

y1

d(A, B) = √(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

y2 − y1

d x2 − x1

x1

X

x2

PROPIEDADES 1.

d(A, B) ≥ 0

2.

d(A, B) = d(B, A)

3.

d(A, B) = 0 ⟺ A = B

4.

d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)

PUNTO MEDIO El punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son los puntos A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) ∈ ℝ2 , esta dado por:

(x2 , y2 )

B

x1 + x2 y1 + y2 P. M = ( , ) 2 2

Punto medio

A

(x1 , y1 )

Ejemplo: Hallar el punto medio entre los puntos (3 , −2) y (4 , 5) Solución:

3 + 4 −2 + 5 7 3 P. M = ( , )=( , ) 2 2 2 2 ECUACIONES DE LA RECTA 1. ECUACIÓN GENERAL Esta dada por: L: ax + by + c = 0 Donde: a, b, c ∈ ℝ ; a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 Pendiente de una recta: se define como la relación entre el cambio en "y"con respecto a"x"

Pendiente = m = −

a b

𝑌

𝑌

𝑌

𝑌 𝐿

𝐿

𝑋

𝑋

𝑋

𝑋

𝑚=0

𝑚0

𝐿

𝐿

𝑚=∞

2. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

L ∶ y − y0 = m(x − x0 )

Esta dada por:

𝑌

y0

Donde:

𝐿 P

P: (x0 , y0 ) Punto de paso de la recta L; p0∈ L



m:Pendiente de la recta L

m θ

𝑋



x0

m = tan θ θ: Medida del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje X positivo

3. ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN Está dado por: L ∶ y = mx + b

ALGEBRA |8 L

Y

Donde:

m

m:Pendiente de la recta L



(0, b)

(0, b):Punto de intersección de L y el eje Y X

4. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) ∈ ℝ2 esta dado por:

L ∶ y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1

L

Y

B 

y2

y2 − y1

m θ

A

y1

x2 − x1

x1

X

x2

Donde:

A = (x1 , y1 ) = Punto de paso de la recta L;A∈ L. m=

y2 − y1 = Pendiente de la recta L. x2 − x1

5. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

Está dado por L ∶

x y + = 1 Donde: a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 a b Y



(0, b)



(𝑎, 0)

X

L POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS 1. RECTAS PARALELAS Dos rectas L1 y L2 no verticales son paralelas, si sus pendientes son iguales. Es decir: L1 ∕∕ L2 ⟺ m1 = m2 Y

m1 m2

L1 L2 X

ALGEBRA |9 2. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas L1 y L2 no verticales son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a menos uno. Es decir: L1 ⊥ L2 ⟺ m1 ∙ m2 = −1 Y

L1

m2

m1

 X

L2 OBSERVACIONES: 1.La ecuación de la recta paralela a la recta L1 : ax + by + c = 0 es L2 : ax + by + k = 0 2.La ecuación de la recta perpendicular a la recta L1 : ax + by + c = 0 es L2 : bx − ay + k = 0 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto Q = (m, n) a la recta L ∶ ax + by + c = 0 esta dado por:

|a(m) + b(n) + c|

d(Q, L) =

√a2 + b 2

L

Y d

Q

n

X m PROPIEDADES:

1. d(Q, L) ≥ 0 2. d(Q, L) = 0 ⟺ 𝑄 ∈ 𝐿 3. d(Q, L) = d(L, Q) Ejemplo: La distancia del punto (−2,5) a la rectaL ∶ 5x − 12y − 8 = 0 es:

d(Q, L) =

|5(−2) + (−12)(5) − 8| √52 + (−12)2

= 6 unidades

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Sean dos rectas paralelas L1 : ax + by + c = 0 y L2 : ax + by + k = 0 la distancia entre estas dos rectas está dado por: Y

L1 L2 d

d(L1 , L2 ) = X

|c − k| √a2 + b 2 EJERCICIOS

1.

La ecuación

ax  by  c  0 donde a, b, c 

IV.Si

,

gráficamente representa a una recta en el plano

a0

y

b, c   0

L

, es una recta

 0 ,

a, c   0

y

esta dado por

d ( P, L ) 

ma  nb  c

Pa

a2  c2

Rpta: VFVF es una recta con pendiente

igual a cero. III.Si

L : ax  by  c  0

La secuencia correcta, es:

horizontal. II.Si a, b, c 

es un punto y

una recta en el plano, entonces la distancia de

cartesiano XY . En las siguientes proposiciones indicar (V) ò (F): I.Si

P  (m, n)

b0

, es una recta con

pendiente no definida o indeterminada.

2.

La medida del ángulo de inclinación de una recta que no pasa por el segundo cuadrante es 45°. Si su distancia al origen es 6√2, la ecuación de la recta es: Rpta: x − y − 12 = 0

A L G E B R A | 10 3.

Dada la recta L: ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ ℝ no ceros simultáneamente. En las proposiciones siguientes:

14.

origen de coordenadas y es paralela a la recta L 2 : 5 x  3y  7  0 . Entonces el valor de “n”, es:

I. si a = 0, b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces L es una recta vertical. II. si a ≠ 0, b = 0 y c ≠ 0, entonces L es una recta vertical.

L1 : 3k x  5y  3k  n  1  0 pasa por el

La recta

Rpta: -22/3 15.

III. si a ≠ 0, b ≠ 0, entonces L es una recta de c pendiente − .

Una recta L de pendiente 3 pasa por los puntos P(k, k  1) y Q(1,2) . La ecuación general de una recta perpendicular a la recta L que pasa por el punto medio del segmento

a

Son falsas

PQ , es:

Rpta: x+3y+5=0

RPta: I y III 4.

Sean los puntos A = (1,1) y B = (4,3) , hallar la pendiente del segmento ̅̅̅̅ AB 2 Rpta:

16.

Si la recta L1 : 5x + 3y = 7 es perpendicular a la recta L2 : 3kx + 5y + k − 2 = 0, el valor de k, es: Rpta: -1

6.

P(a  1,3) y Q(2,3  b) , y perpendicular a la recta L 2: x  y  0 que pasa por el punto Q Rpta: x+y-6=0 17.

5

es el punto

un extremo es

(3; 2)

Calcule

18.

si

P  (n  1; n  1)

1,1

equidista de

 10 17  ,   3 3

A  (1; 2) y B  (5; 6)

9.

Rpta: 

7/2

Dados los puntos: A  (4;3) , B

 (4; 13) y C  (4; 2)

19.

33  65

Rpta: 20.

Si 

las coordenadas del otro extremo, son:

𝟗

Si los siguientes pares ordenados

 2a  1, 8

y

son iguales. Encontrar el valor de 2

El

valor

de

k

para

L : kx  (k 1) y 18  0

que

la

recta

, tenga pendiente

𝟒

igual a , es: Rpta:

22.

se cortan en un punto. Rpta: -16/9

punto

.

Rpta: 48 21.

L 2 : 5x  ay 17  0 y L 3 : ax  2 y 14  0

Si la recta

L2 : 5x  3 y  7 . Hallar el valor de k

2

Determinar uno de los valores de “a” de modo que L1 : 2x  y  9  0 las rectas ,

12.

es paralela a la

𝟐𝟓

E   a  b   a  b

  4,  1    5 Rpta:  11.

L1 : 3kx  5 y  k  2

 9,3b  1

 1 ,  5  , es uno de los extremos de un segmento  2   7 26  rectilíneo y su punto medio viene a ser   ,    4 10 

10.

La recta recta

que forman un triángulo al unir los puntos. Calcular su perímetro Rpta:

A   2, 1 , B   3, 4  y la

recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto

los puntos: Rpta:

y por el menor valor

Determine el punto de intersección de las rectas que pasan por los puntos

"n"

, entonces el

de x , es: Rpta: 26

Rpta: -6 8.

d  R, S   5 2

y

producto del mayor valor de

. Si la abscisa de

6 . Hallar su ordenada.

d  P, Q   72

Sí

Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud

P   2, y  ,

Sea las coordenadas de los puntos

Q   8,7  , R   x, 1 y S   5, 2  .

La recta L pasa por los puntos (2, −1) y (3,4) , su ecuación general, es: Rpta: −y + 5x − 11 = 0

7.

L 1 que

pasa por los puntos

3

5.

Determine la ecuación general de la recta

𝟑 𝟒 𝟕

Determinar el valor de distancia

del

punto

L : 5x  12 y  3  k  0 Rpta: 16

L1 : ax  2y  b  6  0 pasa por el

P=

k , k  0,

tales que la

 3, 2 

a

la

recta

sea de 4 unidades.

P  2, 3  y es paralela a la recta

L 2 :  b  2  x  3y  a  0 . hallar “a+b”.

23.

Rpta: -8

Dada

la

recta

IL : y  mx  b

myb I , III , IV ? Rpta: b  0, m  0 condiciones de

.

la gráfica de

bajo

IL

qué

pasa por

cuadrantes

13. La

recta

L1

pasa por el

perpendicular a la recta distancia del punto Rpta : 4

punto

(2,1)

y

es

L2 : 4 x  3 y  4  0 . La

(6,3)

a la recta

L1

es:

24.

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso. 2 x  5 y  3  0 tiene pendiente I. La recta negativa. II. El eje x es la recta

y0

A L G E B R A | 11

IL : x  5  0 tiene pendiente cero IL : 7 x  3 y  c  0 , entonces la

abscisa del otro extremo es 6.Su ordenada positiva, es: Rpta: 2

III. La recta IV. Dado

perpendicular a

IL

es

recta

IL : 3x  7 y  k  0

37.

Rpta: FVFV 25.

un extremo es el punto

En las siguientes proposiciones Escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.

Rpta:

L : x  5  0 tiene pendiente cero II. La recta L : y  2  0 tiene pendiente cero I. La recta

L : x  0 es el eje X recta 3x  5y  7  0 es

38.

26.

39.

( n,n)

El valor de “n” para que el punto

sea

y

( n, 3)

es:

El punto

40.

(3, 2)

y

es

perpendicular

a

la

recta

42.

41

y que dista de ella

30.

4x  5y  46  0

Si uno de los extremos de un segmento de recta es

A  (3,5) A  (6, 7) .Hallar la

el punto

43.

32.

suma de coordenadas del

las

son

rectas

perpendiculares.

2m1  5 m2 .

33.

44.

2 3

L1 : (k  2)x  2 y  3  0 L 2 : 3 x  (k  3)y  2  0

Si

Hallar

el

valor

de

La recta

L1

pasa por el punto

A  (3,2)

y

45.

Sea la ecuación de las rectas 2

L1 : (k  1)x  (k  1)y  3  0

Hallar el valor de k, si la distancia del punto P  (3,2) a la recta L : 5x  12y  k  3  0

L 2 : 3x  2y  11  0 Si L 1 es perpendicular a L 2 , entonces el valor de k ,k  , es:

Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto P  (2,1) y sea paralela a la recta

Rpta: punto

3 x 4 y 1  0 Hallar 0 la distancia del P  (2,5) a la recta L : 3x  4y  1  0

Rpta: 5 La distancia entre los puntos

(7,1)

y

(2,m)

Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 unidades es el punto

P  (3, 2)

.Si la

y

Rpta: -1 46.

Sean los pares ordenados

(𝑎 − 2,2𝑏 + 1, 𝑦) = (𝑏 − 1, 𝑎 + 2) iguales. El valor de

“a-b”; es. Rpta:1 47.

Cuál es el valor de k, si la distancia del punto 𝑷 = (𝟐, 𝒌) al punto 𝐐 = (𝟎, 𝟏) es 4u. Rpta. 𝟏 ± 𝟐√𝟑.

48.

Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto 𝑷 = (𝟐, −𝟑) . Hallar la suma de las coordenadas del otro extremo de dicho segmento, si el punto medio es 𝑸 = (−𝟓, 𝟔). Rpta: 3.

es 5.El

valor de “m”, es: Rpta: 1 36.

L1 que pasa por

Rpta: 9

L : 3  4y  8  0

35.

Sea la recta L paralela a la recta

B  (1,6) .La recta L que pasa por el punto medio de A y B y perpendicular a L 1 , es: Rpta: L : x  y  3  0

y

es 4 unidades. Rpta: -16 34.

P  (m,4) es equidistante a las rectas L1 :13x  9y  10  0 y L 2 : x  3y  6  0

Si el punto

A  (2,2) y B  (3, 4) , Si L es paralelo a L1 y pasa por el punto P  (7,8) , entonces la ecuación de la recta L , es: Rpta: L : 6x  5y  82  0

¿Cuál es el valor de k, si la distancia del punto P  (3,k) a Q  (1,0) , es 4 . Rpta:

2

los puntos

y tiene por punto medio

otro extremo de dicho segmento. Rpta: -39 31.

25 u

El mayor valor de m, es: Rpta: 2

unidades, es: Rpta:

El área de un cuadrado que tiene los lados colineales con

Rpta:

Una de las ecuaciones de la recta paralela a

L1 : 4x  5y  5  0

y  5  k(x  3)

L1 : 3x  4y  10  0 L 2 : 3x  4y  15  0

La ecuación de la recta que pasa por el punto

L : 2x  3y  5  0 , es: Rpta: 3x  2y  7  0 29.

41.

(5, 6)

(1, 2)

El valor de “k” para que la distancia del origen a la Sea 3 unidades, es: Rpta: -8/15

(4, 4)

.Las coordenadas del otro punto extremo del segmento, es:

28.

L1 : (x  2 y  1)a  (3 x  2)b 20  0 pasa por el punto P  (1, 2) y es perpendicular a Si la recta

recta

es uno de los extremos de un

segmento de recta cuyo punto medio es

Rpta:

y cuya suma de sus intersecciones

Rpta: 6

Rpta: -4 27.

La ecuación de la recta que pasa por.

L 2 : 2 x  3 y  5  0 .El valor de ab ,es:

equidistante de los puntos

(5,n)

(2,3) .El otro extremo, es:

con los ejes coordenadas es 3. La ecuación de dicha recta es: Rpta: 4x  y  4  0

de pendiente

positiva La secuencia correcta, es: Rpta: FVFF

(1,4) , si

(4,5)

A  (2 ,  4)

III. La recta IV. La

El punto medio del segmento de recta es

A L G E B R A | 12 49.

50.

51.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑨 = (𝟒, 𝟏) y 𝑩 = (𝟔, 𝟐). Rpta: 𝑳: 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎.

67.

Para qué valor de k, las rectas 𝐋𝟏 : 𝟐𝐱 + 𝟒𝐤𝐲 − 𝟏 = 𝟎 y 𝑳𝟐 : 𝟒𝒙 − (𝒌 − 𝟑)𝐲 − 𝟐 = 𝟎 son paralelas. Rpta: 1/3.

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1y la distancia al punto (-4,-6), es 13. Rpta: 6.

68.

La recta 𝑳𝟏 : 𝟔𝒌𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒌 = 𝟐, es paralela a la recta 𝑳𝟐 : 𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕. Hallar el valor de “𝒌”. Rpta: 2.

69.

Determinar el valor de 𝒌 > 𝟎 , de modo que la distancia de (−𝟒, 𝟓) a la recta 𝑳: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒌 = 𝟎, sea de 6 unidades. Rpta: 18. ̅̅̅̅ Hallar la distancia del punto medio del segmento 𝑷𝑸 a la recta 𝑳: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎 , sabiendo que 𝑷 = (𝟑, 𝟒) 𝒚 𝑸 = (𝟓, 𝟔).

Para qué valor de k, las rectas 𝑳𝟏 : 𝟐𝒙 − 𝒌𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ; 𝑳𝟐 : (𝒌 + 𝟏)𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟐 = 𝟎 son perpendiculares. Rpta: -1/3.

Rpta: 1.

Hallar el valor positivo de k, de modo que la distancia del punto 𝑷 = (−𝟑, 𝟐) a la recta 𝐋: 𝟓𝐱 − 𝟏𝟐𝐲 + 𝐊 + 𝟑 = 𝟎, sea 3unidades. Rpta: 75.

70.

53.

Hallar la distancia del punto 𝑷 = (𝟐, 𝟓) a la recta 𝐋: 𝟑𝐱 + 𝟒𝐲 − 𝟏 = 𝟎. Rpta: 5.

71.

La distancia del punto (𝟐, −𝟓) a la recta que pasa por los puntos (𝟔, −𝟑) y (−𝟐, 𝟑), es: Rpta: 4.

54.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por 𝑷 = (𝟑, −𝟔) y paralela a la recta 𝐋: 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟓 = 𝟎. Rpta: 𝐋: 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟏𝟐 = 𝟎.

72.

55.

Hallar los valores de “a” y “b” para que las rectas 𝐋𝟏 : (𝐚 + 𝟐𝐛)𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝟑 = 𝟎 ; 𝐋𝟐 : 𝟐𝐛𝐱 + (𝐚 − 𝐛)𝐲 − 𝟓 = 𝟎 pasen por 𝑷 = (𝟑, −𝟔). Rpta: 11/2 y -23/2.

Sean los puntos 𝐏 = (𝟏, 𝟏) , 𝐐 = (𝟒, 𝟑) y 𝐑 = (−𝟐, −𝟏) ,que se encuentran sobre al recta 𝐋: 𝐛𝐱 = 𝐚𝐲 − 𝐜 Calcular 𝐚 − 𝐛 𝐑𝐩𝐭𝐚: 1

73.

Hallar la longitud de la diagonal cuadrado 𝐀𝐁𝐂𝐃, si 𝐀 = (𝟑, 𝟔) y 𝐂 = (𝟕, 𝟗) 𝐑𝐩𝐭𝐚: ∶ 5√2

74.

Una recta tiene pendiente positiva y forma con el eje de las ordenadas un Angulo de 37º. Hallar la pendiente de dicha recta 𝐑𝐩𝐭𝐚: ∶ 4/3

75.

Si d  P;Q  

52.

56.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑷 = (−𝟐, −𝟒) y cuya suma de componentes de los puntos de intersecciones con los ejes coordenados es 3unidades. Rpta: 𝐋: 𝟒𝐱 − 𝐲 + 𝟒 = 𝟎.

57.

La recta 𝐋: 𝐲 + 𝟐 = 𝐦(𝐱 + 𝟑) pasa por punto de intersección de las rectas 𝐋𝟏 : 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟓 = 𝟎 y 𝐋𝟐 : 𝟓𝐱 − 𝟐𝐲 − 𝟏𝟔 = 𝟎. Hallar el valor de m. Rpta: -1/5.

58.

59.

60.

61.

62.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑨 = (𝐱, 𝐱 + 𝟏) y 𝑩 = (𝟏, −𝟐) es 3 unidades. El valor de A; es. Rpta: 𝑨 = (𝟑, 𝟒).

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1 y la distancia del punto 𝑷 = (−𝟒, −𝟔) , es 13 unidades. Rpta: 6.

66.

76.

Determinar la suma de coordenadas de la ecuación 𝐋: 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎 de una recta que pasa por los puntos 𝑨 = (−𝟒, 𝟑) y 𝑩 = (𝟔, −𝟐).

un

72 con P   2; y  , Q  8;7  y

y por el menor valor

Si

d  E, F  6 , siendo E   x; 2  , F   5;8  y

hallar el valor de 3 50xy . Rpta: 10 77.

 7; 8 es uno de los extremos de un segmento y su punto medio es  4; 3 , hallar la suma de las Si

coordenadas del otro extremo. Rpta: –1

79.

Hallar la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es 𝟒𝟓° y cuya intersección con el eje X es 2. Rpta: 𝐋: 𝐲 − 𝐱 + 𝟐 = 𝟎.

de

d  C, D   8 donde C   3; 4  , D   5; y  ,

Hallar el valor de k para que la distancia del origen a la recta 𝐋: 𝐲 + 𝟓 = 𝐤(𝐱 − 𝟑) = 𝟎 sea 3 unidades. Rpta: -18/15.

El punto el punto medio del segmento de la recta es 𝑴 = (−𝟏, 𝟒) si uno de los extremos es el punto 𝑨 = (𝟐, 𝟑). Hallar la distancia de A hasta B. Rpta: 𝟐√𝟏𝟎.

.

de x , es: Rpta: –26

78.

64.

13

producto del mayor valor de

La pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑨 = (𝒂, 𝒂 + 𝟏) y 𝑩 = (𝟏, −𝟐) es 3. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a esta recta que pasa por el punto A. Rpta: 𝐋: 𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟏𝟓 = 𝟎.

Hallar los puntos de ordenada 3, cuya distancia a la recta 𝐋: 𝟒𝐱 − 𝟑𝐲 + 𝟏 = 𝟎 es 4 unidades. Rpta: (𝟕, 𝟑) 𝐲 (−𝟑, 𝟑).

4√13

d  R,S   5 2 donde R   x; 1 y S   5; 2  ; el

La ecuación de la recta paralela a 𝐋: 𝟒𝐱 − 𝐲 + 𝟖 = 𝟎 y que dista √𝟏𝟕 unidades, es. Rpta: 𝐋𝟏 : 𝟒𝐱 − 𝐲 + 𝟐𝟓 = 𝟎.

63.

65.

Rpta:

 a  4; 6  es el punto medio entre los  4  2a; 11 y 12; 1 . Hallar el valor de a .

Si

puntos

Rpta: 6

80.

Los puntos medios de las lados de un triángulo son

 0; 1 ,  3; 5  y  1; 2  , hallar los vértices. Rpta:  4; 4  ,  2;6  y  4; 2  Si los siguientes pares ordenados

 9,3b  1 son iguales.  a  b2  a  b2

 2a  1, 8

y

Encontrar el valor de

Rpta: 48 81.

Conociendo

que

d  P,Q  72

,

donde

P   2, y  , Q   8,7  y d R,S   5 2 donde R   x, 1 , S  5, 2 . El producto del mayor valor de y por el menor valor de x , es: Rpta: 26

A L G E B R A | 13 82.

La distancia entre los puntos

 6, b 

y

unidades. Hallar la suma de valores de Rpta:14 83.

Determine la distancia del punto

 5, 7 

que pasa por

 b, 8

es 10

84.

Hallar la distancia del punto medio del segmento a la recta

AB

b.

IL : 2 x  y  1  0

sabiendo que

A   2,3 y B   4,5

P  2, 2  a la recta

Rpta:

y es paralela a la recta

6x  3y  4 Rpta:

92.

93.

3 5 5

3 5 5

A  1,1 ,

Si

B   4,3 y C   2, 1

encuentran sobre la recta

se

IL : ay  bx  c , calcular

b

a . Rpta: 9

Determinar el punto de intersección de las rectas

L1

y

94.

L2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(-3,1) y es perpendicular a la recta:

L : 3y  x 1  0 y 8  0

6

Rpta: 3x 

O

3

1 2

95.

Sea A=(2,3), B=(3,6) y C=(5,4) vértices de un triángulo ABC. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura que parte del vértice B. Rpta: L : 3x  y  15  0

96.

Si:

x

-3

 9 15  Rpta:  ,  8 4  85.

A  2, 1 , B  3, 4  y la recta

que tiene pendiente 2 y pasa por el punto

10 17  ,   3 3

86.

Halla la pendiente de la recta que pasa por el punto

 2, 2 

y

x  y 1  0 .

99.

Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al origen es

2 10 unidades. 3 x  y  20  0 , 3x  y  20  0 Rpta: 88.

Una recta pasa por

 6, 0 

La recta

formando un triángulo de

recta

L1 : 3kx  5y  k  2

L2 : 5x  3y  7 . Hallar el valor de k .

Determinar el valor de distancia

de

k0

 3, 2

L : 5x  12y  3  k  0 Rpta: 16 91.

 2, 3

Rpta: 5x

 12y  64  0  5x  12y  40  0

L1 : kx  (k  1) y  3  0 , sea recta: L2 : 3x  2 y  11  0

a

la

recta

sea de 4 unidades.

Q

perpendicular a la

Rpta: 2 101. La ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,Rpta: 3y

4y  3x  2  0

, es:

 4x  14  0

de la recta

es: Rpta: 3x  2 y  7  0 103. La ecuación de la recta L que pasa por el punto P=(1,-5) y es perpendicular a la recta:

L1 : 3 y  5x  1  0 , es: Rpta: 3x  5 y  28  0

que equidista de los puntos

A   2,4 y B   6, 2 Rpta: Q

L1 : 5x  12 y  12  0 , a la recta L2 es 4 unidades y L1 // L2 . la ecuación de la recta L2 , es:

Si la distancia de la recta :

102. La ecuación de la recta que pasa por el punto(1,-2) y es perpendicular a la recta: L : 2 x  3 y  5  0 ,

de modo que la

Hallar las coordenadas del punto

IL : 3x  y  3  0

Desde el punto (-1,2) se traza la perpendicular a la recta: L : 3x  4 y  6  0 .¿A qué distancia se halla

2) perpendicular a la recta: es paralela a la

Rpta: 25/9 90.

, sea de pendiente 4/3

100. Calcular el valor de k para el cual la recta:

área 12u2 en el cuarto cuadrante con los ejes coordenados. Hallar la ecuación de dicha recta. Rpta: 2 x  3 y  12 89.

L : kx  (k  1) y  18  0

dicha perpendicular del punto (4,3)? Rpta: 23/5

y por el punto de intersección de las rectas

4 Rpta:  3

Hallar el valor de k para que la recta: Rpta: 4/7

98.

3x  4 y  5  0

87.

97.

1,1

Rpta: 

a y b, para que

representen rectas que pasan por (2,-3). Rpta: a=4, b=7

Determine el punto de intersección de las rectas que pasan por las puntos

L1 : ax  (2  b) y  23  0 L2 : (a  1) x  by  15  0 . Hallar

104. Sean las rectas:

2 x  a 2 y  0 y x  2 y  2 . Calcule la suma de los

valores de a si no se interceptan. Rpta: 0

A L G E B R A | 14

DEFINICIÓN: una circunferencia 𝒞 es el lugar geométrico del conjunto de puntos P = (x, y) ∈ ℝ2 que equidistan de un punto fijo llamado centro C = (h, k). La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio (r)

𝒞 = {P = (x, y) ∈ ℝ2 / d(C , P) = r, 𝐫 > 0 } Y K+r

y k

A



C r

P

ELEMENTOS 1. Centro: C = (h, k)







M

K -r



2. Radio:r

B

̅̅̅̅ 3. Diámetro: AB

N

0

h -r

h

X x

̅̅̅̅̅ 4. Cuerda: MN

h +r

Nota: Longitud de la circunferencia 𝑙 = 2πr ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA Por definición de distancia entre dos puntos se tiene:

d(C, P) = √(x − h)2 + (y − k)2 = r Elevando al cuadrado

𝓒 ∶ (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐫 𝟐 ;

𝐫 > 0…………….. (1)

Ejemplo: Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es C = (−2 , 3)yradio r = 3 Solución:C = (h, k) = (−2 , 3) entonces:

𝒞 ∶ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 9 2. ECUACIÓN CANÓNICA Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces h = k = 0 entonces C = (0,0). La ecuación de la circunferencia se reduce a:

𝓒: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝐫 𝟐

𝐫 > 0………….. (2)

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de coordenadas y radio r =5 Solución: C = (h, k) = (0 , 0) entonces

𝒞 ≔ x 2 + y 2 = 25

3. ECUACIÓN GENERAL Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.

(x − h)2 + (y − k)2 = r 2 x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 − r 2 = 0 x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r 2 = 0 Donde: D = −2h ; E = −2k ; F = h2 + k 2 − r 2 𝒞 ∶ x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0…………(3) A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y F. Completando cuadrados para x, y se tiene.

D 2 E 2 D 2 E 2 [x 2 + Dx + ( ) ] + [ y 2 + Ey + ( ) ] = ( ) + ( ) − F 2 2 2 2 D E D2 + E2 − 4F (x + )2 + (y + )2 = 2 2 4 Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:

Centro: C = (−

D E ,− ) 2 2

y

r2 =

D2 + E2 − 4F 4

A L G E B R A | 15 Analizando el radicando 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 1. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 > 0 La ecuación (3) representa a una circunferencia de centro C = (−

D 2

E

,− ) y 2

1

Radio r = √D2 + E2 − 4F en ℝ2 2

2. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 = 𝟎 La ecuación (3) representa sólo un punto que es C = (−

D 2

E

, − ); puesto que r = 0, 2

en ℝ2 1

3. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 < 0 La ecuación (3) no representa una circunferencia en ℝ2 porque su radio r = √−1. 2

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

𝒞: 2x 2 + 2y 2 + 20y − 150 = 0 Solución: Simplificando la ecuación: 2x 2 + 2y 2 + 20y − 150 = 0

Setiene x 2 + y 2 + 10y − 75 = 0 Donde: D = 0, E = 10 y F = −75 Analizando: D2 + E2 − 4F = 02 + 102 − 4(−75) = 0 + 100 + 300 = 400 > 0 La ecuación dada, representa una circunferencia con centro y radio C = (−

D E 1 1 , − ) = (0, −5) y r = √D2 + E2 − 4F ⟹ r = √400 = 10 2 2 2 2

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

𝒞: 3x 2 + 3y 2 − 12x + 6y + 15 = 0 Solución: Simplificando la ecuación: 3x 2 + 3y 2 − 12x + 6y + 15 = 0

se tiene: x 2 + y 2 − 4x + 2y + 5 = 0 Donde: D = −4, E = 2 y F = 5 Analizando: D2 + E2 − 4F = −42 + 22 − 4(5) = 16 + 4 − 20 = 0 La ecuación dada, solo representa un punto: C = (−

D E , − ) = (2, −1) 2 2

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA: 1.

Si el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas: C = (0,0) Y

𝑟

Dom(𝒞) = [−r ; r]

0

−𝑟

𝑟

Ran(𝒞) = [−r ; r]

X

−𝑟 𝒞: x 2 + y 2 = 4 , determinar el domino y el rango

Ejemplo: Sea la circunferencia

Solución: Dom(𝒞) = Ran(𝒞) = [−2,2] 2.

Si el centro de la circunferencia es C = (h, k) Y K+r

Dom(𝒞) = [h − r ; h + r]

C



k

Rang(𝒞) = [k − r ; k + r]

K-r

X 0

h-r

h

h+r

Ejemplo: Sea la circunferencia 𝒞 ∶ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 9 Determinar el domino y el rango. Solución:

C = ( h, k ) = (2, 3) y r = 3 Dom(𝒞) = [h − r ; h + r] = [−1,5]

A L G E B R A | 16 Ran(𝒞) = [k − r ; k + r] = [0,6]

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia𝒞 en el punto de tangencia(x0 , y0 ), esta dado por:

LT : (𝐱 − 𝐡)(𝐱𝟎 − 𝐡) + (𝐲 − 𝐤)(𝐲𝟎 − 𝐤) = 𝐫 𝟐

Una recta LN tal que LT ⊥ LN recibe al nombre de recta normal. Ejemplo: Hallar la recta tangente LT a la circunferencia 𝒞: (x − 3)2 + (y − 12)2 = 100, en el punto de tangencia (−5, 6 ) Solución:C = ( h, k ) = (3,12) , r = 10 𝑦

LT : (x − h)(x0 − h) + (y − k)(y0 − k) =

punto tangente = (x0 , y0 ) = (−5, 6)

r2

LT : (x − 3)(−5 − 3) + (y − 12)(6 − 12) = 100 Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es: LT : 4x + 3y + 2 = 0 CASOS PARTICULARES: 1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X Y

𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐤 𝟐 C



r = |k|

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X de centroC = ( 6 , 3) Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje X se cumple 𝑟 = |k| = |3| = 3 La ecuación de la circunferencia es:

𝒞: (x − 6)2 + (y − 3)2 = 9

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y Y

𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐡𝟐

C



r = |h|

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, de centro en C = ( 2 , 3) Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple r = |h| = |2| = 2 La ecuación de la circunferencia es𝒞 ∶ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4 3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS Y r = |ℎ|=|𝑘| ℎ

C

𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐡)𝟐 = 𝐡𝟐 𝑘 X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro en C = (−3 , −3) Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple La ecuación de la circunferencia es: 𝒞 ≔ (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9

r = |h|=|k| = |−3| = 3

EJERCICIOS 1.

III.

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera 0 (F) si es falsa I. La ecuación

2

2

x  y  4x  2y  5  0 2

2

x  y  2x  6y  7  0 es una

circunferencia de radio 3

ecuación

x 2  y 2  4y  0

circunferencia de centro

es una

(0 , 2)

es

una

y radio 2.

La secuencia correcta, es: Rpta: FFV

circunferencia de centro (2, 1) II. La ecuación

La

2.

Escribir (V) si es verdadero o´ (F) si es falso en las siguientes proposiciones:

A L G E B R A | 17 I. El centro de una circunferencia tangente al eje X , esta en el primer cuadrante. II. Si una circunferencia con centro

C  (h, k ) tangente al eje Y , entonces el radio es r  h .

es

III. Una circunferencia con centro en

es

tangente al eje

(0, k )

14.

15.

X.

Rpta: 16.

2

5 9 2 

6.

2

Rpta: ( 7.

8.

17.

Dada la ecuación de la circunferencia x + y − 4x − 10y + 4 = 0, su centro y su radio, es: Rpta:C0 = (2,5) r = 5

4+√2 4+√2 2

,

2

Los extremos del diámetro de una

18. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son:

L1 : 3x  2 y  24  0 Rpta. 19.

y

(4;5) . Hallar la ecuación de

( x  1)2  ( y  4)2  10

y

L2 : 2 x  7 y  9  0

( x  6) 2  ( y  3) 2  25

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta 𝐋: 𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟒 en el punto de tangencia (𝟐, 𝟏) 𝐑𝐩𝐭𝐚: x 2 + y 2 + 6y − 11 = 0

dicha circunferencia Rpta:

Una circunferencia pasa por los puntos

𝐑𝐩𝐭𝐚: x ∈ [−2 , 6 ]

Los extremos del diámetro de una circunferencia son

(2;3)

5 81 ( x  2)2  ( y  )2  2 4

circunferencia son los puntos 𝐀 = (𝟐, −𝟏) y 𝐁 = (𝟐, 𝟕). El dominio de la circunferencia es:

)

Sean las circunferencias concéntricas si C1 : 2x 2 + 2y 2 + 8x + 4y − 8 = 0 C2 : x 2 + y 2 − (a + 4)x − by − 4 = 0, el valor de ab y radio de C2 Rpta:16 y 3 los puntos

la intersección de las rectas

𝐑𝐩𝐭𝐚: 0

2

Uno de los puntos de intersección de la circunf. x 2 + y 2 − 4x − 4y + 7 = 0 con la recta y = x, es:

es

𝐀 = (−𝟏, −𝟒) y 𝐁 = (𝟐, −𝟏) cuyo centro esta sobre la recta 𝐋: 𝟒𝐱 + 𝟕𝐲 + 𝟓 = 𝟎 . La diferencia de los componentes del centro es:

La longitud de la tangente trazada desde el punto P = (6,4) a la circunferencia x 2 + y 2 + 4x + 6y − 19 = 0, es: Rpta: 9

circunferencia

L 1: x  2y  2  0 y L 2: x  y  4  0

La ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia

 

la

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia C :(n  3)x 2  4y 2  8(n  5)x  20y  25  0 y que pasa por

Rpta: ( x  2)2   y 

5.

de

(a-2, 6). El valor de a+b, es: Rpta. 27

4x 2 + 4y 2 − 16x + 20y + 25 = 0 y que es tangente a la recta L: 5x − 12y − 1 = 0 , es :

4.

centro

C :  2x 2  2y 2  ax  2x  (b  1)y  52  0

Rpta.: FVF 3.

El

20.

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta

9.

C  (0; 2) y que L : 5x 12 y  2  20

es el punto recta Rpta: 10.

x  y 3  0.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es tangente a la

Rpta. 21.

x2  ( y  2)2  4

Determinar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la circunferencia:

( x  6)2  ( y  6)2  25 L : x  y  12  0

y

la

recta

22.

12.

 y 2  16

,

comprendida

en

24.

Una de las ecuaciones ordinarias de la circunferencia tangente al eje X que pasa por el punto (6,3) y cuyo centro esta en sobre la recta L : 2x  y  3  0 , es: Rpta.

( x  3)  ( y  3)  9 2

2

(7,1) , es:

2

(x  4)  (y  5)  25

2

que pasa por los puntos

2

(x  6)  (y  6)  178

La longitud de la circunferencia 2

segundo cuadrante.

13.

2

2

C : 4x  4y  16x  20y  25  0 , es: Rpta: 4

el

 ( y  2)2  13

y pasa por el punto

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta

Rpta:

L : 2 x  3 y  12  0 2

(4,0)

L : x  2y  6  0 y (7,3) y (3, 7) , es:

L : y  4  0 , es:

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta

Rpta: ( x  3)

La ecuación de la circunferencia tangente al eje X

Rpta: 23.

2

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4).

en

11. La ecuación canónica de la circunferencia que es

Rpta: C : x

49 2

Rpta: x2  y 2  4 x  6 y  11  0

Rpta: -12

tangente a la recta

( x  3)2  ( y  1)2 

25.

El radio de la circunferencia 2

2

C : 25x  25y  30x  20y  62  0 , es: 3

Rpta: 26.

Hallar la longitud ecuación es: 2

2

de la

circunferencia

C : x  y  x  6y  3  0 Rpta:

5

cuya

A L G E B R A | 18 27.

Una

recta

es

tangente

2

a

la

2

C : (x  3)  (y  12)  100 28.

Rpta: 𝐂: (𝐱 + 𝟑)𝟐 + (𝐲 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟑.

circunferencia

,

en

el

punto

(5,6) .Hallar la pendiente de la recta tangente.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (−𝟒, −𝟏) y que es tangente a la recta 𝐋: 𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝟏𝟐 = 𝟎.

La ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta

Rpta: 𝐂: (𝐱 + 𝟒)𝟐 + (𝐲 + 𝟏)𝟐 = 𝟓𝟐.

L : 2 x  3 y  12  0

comprendida en el segundo

41.

42.

cuadrante es: Rpta: 29.

2

2

C :(x  3)  (y  2)  13

2

2

tangente a la recta Rpta: 30.

Rpta: 𝐂: (𝐱 − 𝟐)𝟐 + (𝐲 − 𝟏)𝟐 = 𝟏𝟎.

La ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia

C : 4 x  4 y  16 x  20 y  25  0

y que es



2

Rpta: [−𝟑, 𝟓].

5  9 2 44.

31.

9 2

C : x  y  (a  4)x  by  17  0

(2,5)

y es tangente a la recta 2

x7

2

(x  2)  (y  5)  81

47.

Hallar la suma de todos los enteros que verifican el dominio de la circunferencia 𝐂: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎.

2

sobre

2

2

x  y  25 ,

la

x  7y  25 

Rpta:

48.

El centro de una circunferencia es (−𝟐, 𝟒) y que es tangente a la recta 𝐋: 𝟑𝐱 − 𝐲 + 𝟗 = 𝟎 . Hallar su ecuación. Rpta: 𝐂: 𝟏𝟎(𝐱 + 𝟐)𝟐 + 𝟏𝟎(𝐲 − 𝟒)𝟐 = 𝟏.

49.

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 𝐋: 𝐱 − 𝐲 + 𝟐 = 𝟎 y 𝐋: 𝟐𝐱 + 𝐲 = 𝟒. Rpta: 𝐂: (𝐱 + 𝟐)𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝟗.

50.

Una cuerda de la circunferencia 𝐂: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝟐𝟓 esta sobre la recta cuya ecuación es 𝐋: 𝐱 − 𝟕𝐲 + 𝟐𝟓 = 𝟎. Hallar la longitud de dicha cuerda. Rpta: 𝟓√𝟐. La ecuación de la circunferencia de centro (𝟓, 𝟔) y que es tangente a la recta 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟖 = 𝟎, es: Rpta: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 12𝑦 + 25 = 0.

2

Una cuerda de la circunferencia está

Rpta: 7.

: x  y  8x  2y  35  0

Rpta:

35.

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (−𝟒, 𝟏) y pasa por el punto 𝑷 = (𝟏, 𝟏). Rpta: 𝐂: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝟖𝐱 − 𝟐𝐲 − 𝟖 = 𝟎.

La ecuación de la circunferencia de centro en C  (4,  1) y es tangente a la recta:

L : 3x  2y  12  0

34.

46.

Hallar la ecuación de la circunferencia , de centro

Rpta: 33.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y una cuerda cuyos extremos son los puntos 𝑷 = (𝟐, 𝟕) y 𝑸 = (𝟒, 𝟏). Rpta: 𝐂: 𝐱 𝟐 + (𝐲 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟎.

es

(a  1,1) .Hallar el radio Rpta: 3 32.

45.

Si el centro de la 2

recta cuya ecuación 0 la longitud de la cuerda es:

es:

d(A,B)  5 2

Considere la ecuación de la circunferencia

𝐂: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝟒𝐱 + 𝟔𝐲 − 𝟏𝟑 = 𝟎. El centro y radio; es. 51.

Rpta: (−𝟐, −𝟑) y √𝟐𝟔 . 36.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos 𝐀 = (−𝟐, −𝟑) y 𝐁 = (𝟏, −𝟒). La ecuación de la circunferencia; es.

52.

Hallar el radio y centro de la circunferencia:

53.

Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia

Rpta: 𝐂: (𝐱 − 𝟐)𝟐 + (𝐲 + 𝟑)𝟐 = 𝟐. 37.

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto (𝟒, 𝟏) y tangente a la recta 𝐋: 𝟑𝐱 + 𝟒𝐲 + 𝟐𝟎 = 𝟎; es.

Rpta:14.

𝟓

Determinar el perímetro del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias 𝐂𝟏 : 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝟒; 𝐂𝟐 : ( 𝐱 − 𝟒)𝟐 + 𝐲 𝟐 = 𝟒 y 𝐀 = (𝟒, 𝟑).

𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 10𝑦 − 8 = 0 Rpta: 7 y (−4,3).

𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎

𝟑𝟔 𝟐

Rpta: 𝐂: (𝐱 − 𝟒)𝟐 + (𝐲 − 𝟏)𝟐 = ( ) . 38.

Una circunferencia cuyo centro es (𝟏, −𝟏) pasa por el punto (𝟑, 𝟓). Hallar la ecuación. Rpta: 𝐂: (𝐱 − 𝟏)𝟐 + (𝐲 − 𝟏)𝟐 = 𝟒𝟎.

2

C : x  y  4 x  6 y  19 , es: Rpta:

El rango de la circunferencia

𝐂: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 − 𝟔𝐱 − 𝟐𝐲 − 𝟔 = 𝟎, es:

La longitud de tangente trazada desde el punto P  (6,4) a la circunferencia 2

43.

L : 5x  12y  1  0 , es:

 x  2 2   y 

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (𝟓, 𝟎) y (𝟏, 𝟒) si su centro pertenece a la recta 𝐋: 𝐱 + 𝐲 − 𝟑 = 𝟎.

54.

Determinar la suma de los valores de “𝒌”, para que la recta 𝑳: 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒌 = 𝟎 , sea tangente a la circunferencia

𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 10 = 0

Rpta:12. 39.

El centro de una circunferencia tangente a la recta 𝐋: 𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟒 en el punto (𝟐, 𝟏), esta sobre el eje Y. La ecuación general; es. Rpta: 𝐂: 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 + 𝟔𝐲 − 𝟏𝟏 = 𝟎.

40.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta 𝐋: 𝟐𝐱 − 𝟑𝐲 + 𝟏𝟐 = 𝟎 comprendida en el segundo cuadrante.

Rpta:−8. 55.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.

𝐿1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 16 = 0 y 𝐿2 : 5𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 Rpta: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 4 = 0.

A L G E B R A | 19 56.

57.

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 𝑳: 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 y que pasa por los puntos 𝑨 = (𝟔, 𝟒) y 𝑩 = (−𝟒, −𝟔), es: Rpta:𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 − 60 = 0.

Rpta: 5 y 71.

58.

60.

61.

72.

𝑳: 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 − 𝟐𝟖 = 𝟎, es: Rpta:(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 4.

Rpta: x  y  20 2

74.

75.

2

IL1 : 7x  9y  10  0

y

 y2  8x  4y  38  0 x  y  3  0 es tangente a la

circunferencia

4x2  4y 2  8y  4 en el punto

Q   a, b  , hallar a  b Rpta: 1 76.

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X en  4, 0  y que pasa por el punto

Rpta: x 77.

2

 y2  8x  10y  16  0

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica

4x2  4y2  16x  20y  25  0 y que es tangente a la recta IL : 5x  12y  1  0 con

Hallar 𝐃𝐨𝐦(𝓒) ∩ 𝐑𝐚𝐧(𝓒) si la circunferencia es tangente a los ejes coordenados con centro 𝐂 = (𝟑, 𝟑) 𝐑𝐩𝐭𝐚: [0 , 6 ]

Rpta:

Determine si la recta 3x  y  5  0 es una recta

 x  22   y  

2

5  9 2

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta x  y 3  0. Rpta: ( x  3) 2  ( y  1) 2  49 / 2

79.

Determine si la recta 3x  4 y  27  0 es una recta

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:

L1 : 3x  2y  24  0

L2 : 2x  7y  9  0

x2  y 2  4 x  2 y  20  0

Rpta: (x  6)2  (y  3)2  25

Rpta: tangente Determine si la recta x  y  10  0 es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia

80.

el

centro

de

la

circunferencia:

Hallar el radio. Rpta:3

Rpta: exterior Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta x  2 y  5 y pasa por los puntos

Si

x2  y2  (a  4)x  by  17  0 , es (a  1,1) .

x2  y 2  4 x  2 y  20  0 81.

y  5, 0 

Encontrar la ecuación de la circunferencia C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:

x2  y2  4x  4y  7  0 , y cuyo radio es r = 4. La ecuación de la circunferencia C1, es:

Rpta:  x  3   y  1  5 2

5

Hallar la máxima distancia del punto 10, 7  a la circunferencia C : x  y  4 x  2 y  20  0 2

2

Rpta: 15 70.

2

Si la recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

69.

recta

 7,1

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos 𝐀 = (𝟐, −𝟏) y 𝐁 = (𝟐, 𝟕). El dominio de la circunferencia es: Rpta: x ∈ [−2 , 6 ]

1, 2 

la

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto  7, 5  y cuyo centro es el punto de

Rpta: x

Una recta es tangente a la circunferencia (x − 3)2 + (y − 12)2 = 100 en el punto de

Rpta: secante

68.

a

IL 2 : 2x  5y  2  0

x2  y2  2x  3  0

67.

tangente

intersección de las rectas

tangente, secante o exterior a la circunferencia

66.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica

x2  y 2  9 y L : x  2 y  10  0 .

78. 65.

2

en el punto  3, 1 .

Rpta: m = −4/3

64.

la

Rpta: 4 x  3 y  15

tangente es:

63.

2

a

tangencia 𝐴 = (−5, 6). La pendiente de la recta

a

ecuación

Hallar la recta tangente a C : x  y  2 x  y  5

La ecuación de la circunferencia de centro (−𝟐, −𝟏) y que es tangente a la recta

Rpta: x 2 + y 2 + 6y − 11 = 0 62.

de

Rpta: 25

La ecuación de la circunferencia de centro (−𝟒, 𝟓) y que pasa por (𝟓, −𝟏), es: Rpta: (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 5)2 = 117.

Una circunferencia pasa por los puntos 𝐀 = (−𝟏, −𝟒) y 𝐁 = (𝟐, −𝟏) cuyo centro esta sobre la recta 𝐋: 𝟒𝐱 + 𝟕𝐲 + 𝟓 = 𝟎 . La suma de los componentes del centro es: Rpta: -2 Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta 𝐋: 𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟒 en el punto de tangencia (𝟐, 𝟏)

para que la recta tangente

C : x2  y 2  6 x  4 y  0

73. 59.

sea

circunferencia

5 2

k0

Determinar el valor de

L : 2x  3 y  k  0

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con 𝟐𝐱 𝟐 + 𝟐𝐲 𝟐 − 𝟖𝐱 + 𝟏𝟎𝐲 + 𝟐𝟔 = 𝟎 y que es tangente a la recta 𝑳: 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎. Rpta: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + )2 = 16.

 2, 3

Hallar el radio y centro de la circunferencia

C : x2  y 2  4 x  6 y  12  0

2

2

Rpta: x  y  4x  4y  8  0 82.

El punto (3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta L : 2x  5y  18  0 en una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es. 2

2

Rpta: (x  3)  (y  1)  38

A L G E B R A | 20 83.

Calcular la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante.

91.

Rpta: (x  3)2  (y  8)2  9 84.

90. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 𝐴(−3,3) y 𝐵(−5,7). Rpta: (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 5)2 = 5

Dada las circunferencias:

C1 : x2  y2  10x  2y  10  0

C2 : x2  y2  2x  2y  2  0 Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2 Rpta: x 85.

 y2  14x  2y  34  0

93.

x2  y2  4x  6y  11  0

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta L : 3x  2y  12  0 , es: Rpta: (x  4)2  (y  1)2  52

87.

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre la recta pasa por los puntos Rpta.:

88.

92. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0.1), (1,0) y (2,0). Rpta: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4). Rpta:

86.

2

yx0 .

(3, 4) y (3 2, 7)

Además,

?

C (3, 1)

que intercepta

95.

Determinar si la recta 𝕃: 𝑥 + 𝑦 − 20 = 0 es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia 𝒞: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0. Rpta: 𝕃 es exterior

96. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje 𝑦 y una cuerda cuyos extremos con los puntos 𝑃(4,9) y 𝑄(6,5). 2

es el centro de una circunferencia a la recta

94. Hallar la suma de elementos enteros del dominio de la circunferencia 𝒞: 12𝑥 2 + 12𝑦 2 − 24𝑥 − 36 = 0. Rpta: 5

Rpta: 4𝑥 2 + 4 (𝑦 − ) = 45

2

La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos D= (2,1); R=(1,-1) y Q= (0,-1). Rpta.: x2  y 2  x  y  2  0

89. El punto

Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia 𝒞: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 3𝑦 − 41 = 0 en 𝑃(6,9). Rpta: 𝑥 + 𝑦 − 15 = 0

9 2

C : x  y  25 2

La ecuación de la circunferencia es (𝑥)2 + (𝑦)2 = 80 el punto medio de una cuerda de esta circunferencia es 𝑀(−4,8). Hallar la ecuación de la cuerda. Rpta: 𝑥 − 2𝑦 + 20 = 0

L : 2 x  5 y  18  0

es

una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es: Rpta.: ( x  3)2  ( y  1)2  38

97. Hallar el dominio y rango de 𝒞: 8𝑥 2 + 8𝑦 2 − 16𝑦 − 16 = 0. Rpta: [−√3, √3] 𝑦 [1 − √3, 1 + √3] 98. La ecuación de la circunferencia de centro (4, −3) y que es tangente a la recta 𝕃: 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 , es: Rpta: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 3)2 = 2

A L G E B R A | 21

DEFINICIÓN: Una parábola ,𝒫 , es el lugar geométrico del conjunto de puntos Q = (x, y) ∈ ℝ2 , tal que la distancia de un punto arbitrario Q = (x, y) a un punto fijo llamado foco (F)es igual a la distancia de Q = (x, y) a la recta fija llamada directriz L. Son iguales. Es decir:

𝒫 ≔ {Q = (x, y) ∈ ℝ2 / d(Q, F) = d(Q, L)} ECUACIONES DE LA PARABOLA I.

ECUACION DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

𝒫: (y − k)2 = 4p(x − h) Y

L 𝑅

Q





k

𝑉



p

𝐹

Eje focal

Donde: - d(V, F) = d(V, L) = |p|

p

- Si p > 0 la parábola se abre a la derecha 

- Si p < 0 la parábola se abre a la izquierda

𝑅′

0 Directriz

X



h

ELEMENTOS: 1. Vértice: V = (h, k) 2. Foco: F = (h + p, k) 3. Recta Directriz L: x = h − p 4. Eje focal 𝐿: y = k 5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR = |4p| 6. Extremos del lado recto:

R = (h + p, k + |2p|)

;

𝑅′ = (h + p, k − |2p|)

7. Excentricidad de una parábola:

e=

d(Q, F) =1 d(Q, 𝕃)

2. ECUACIÓN CANÓNICA Cuando el vértice V = (0,0)entonces:

𝒫: y 2 = 4px 3. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

𝒫: Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 Con A, B, C y D ∈ ℝ ; A≠ 0; B ≠ 0 Si A > 0 La parábola se abre hacia la derecha. Si A < 0 La parábola se abre hacia la izquierda. DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

Si p > 0,

entonces Dom(𝒫) = [h, +∞ > y Ran(𝒫) = ℝ

Si p < 0,

entonces Dom(𝒫) =< −∞, h] y Ran(𝒫) = ℝ

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (5 , −2) y foco en (7 , −2) Solución: Cuando las ordenadas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela Vértice V = (h, k) = (5 , −2) ⟹ h = 5 ∧ k = −2 Foco: F = (h + p, k) = (7 , −2) ⟹ h + p = 7 ⟹ p = 2 (Se abre hacia la derecha) Entonces la ecuación de la parábola es:

al eje X.

A L G E B R A | 22 𝒫: (y − k)2 = 4p(x − h) 2

𝒫: (y − (−2)) = 4(2)(x − 5) 𝒫: (y + 2)2 = 8(x − 5) 𝒫: y2 − 8x + 4y + 44 = 0 II. ECUACION DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

𝒫: (x − h)2 = 4p(y − k) Y

Eje focal

Donde:  R

k

p p



𝐹 L





- Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba

Q

- Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo

V Directriz



L

- d(V, F) = d(V, L) = |p|

 R’

X h

0

ELEMENTOS: 1. Vértice: V = (h, k) 2. Foco: F = (h, k + p) 3. Recta Directriz L: y = k − p 4. Eje focal 𝐿: x = h 5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR = |4p| 6. Extremos del lado recto:

𝑅 = (ℎ − |2𝑝| , 𝑘 + 𝑝) ; 𝑅′ = (ℎ + |2𝑝| , 𝑘 + 𝑝) 7. Excentricidad de una parábola: e =

d(Q,F) d(Q,𝕃)

= 1.

2. ECUACIÓN CANÓNICA Cuando el vértice V = (0,0)entonces:

𝒫:

x 2 = 4py

3. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

𝒫: Ax 2 + Bx + Cy + D = 0 Con A, B, C y D ∈ ℝ ; A≠ 0; B ≠ 0 S iA > 0 La parábola se abre hacia arriba. Si A < 0 La parábola se abre hacia abajo. DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

Si p > 0,

entonces Dom(𝒫) = ℝ y

Ran(𝒫) = [k, +∞ >

Si p < 0,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑜𝑚(𝒫) = ℝ y

Ran(𝒫) =< −∞, k]

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (2 , 5) y foco en (2 , −3) Solución: Cuando las abscisas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela Vértice V = (h, k) = (2 , 5) ⟹ h = 2 ∧ k = 5 Foco: F = (h, , k + p) = (2 , −3) ⟹ k + p = −3 ⟹ p = −8 (Se abre hacia abajo) Entonces la ecuación de la parábola es:

𝒫: (x − h)2 = 4p(y − k) 𝒫: (x − 2)2 = 4(−8)(y − 5) 𝒫: (x − 2)2 = −32(y − 5) 𝒫: x 2 + 32y − 4x − 156 = 0

al eje Y.

A L G E B R A | 23

EJERCICIOS 1.

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa I. La ecuación

2

y  4y  2x  6  0

Rpta:

es una

parábola con eje focal paralelo al eje “Y” II. La ecuación

2

x  8y  0 y  4x

III. La ecuación

12.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz 2 x  4  0 . Rpta. y 2  2 y  12 x  13  0

13.

La ecuación de la parábola de foco (5,1) y de directriz la recta L: y+5=0, es:

es una parábola con

eje focal paralelo al eje Y 2

es una parábola de

recta directriz paralelo al eje “x” La secuencia correcta, es: Rpta: FVF 2.

Rpta: 𝑥 2 − 10𝑥 − 12𝑦 + 1 = 0

La ecuación de la parábola con foco en el punto

(2,1)

; vértice sobre la recta

3.

( x  2)2  8( y  1)

El

foco

de

14.

02. La ecuación de la parábola cuyos vértice es (5,-1) y foco (5,-4), es: RPta: 𝑥 2 − 10𝑥 + 8𝑦 + 41 = 0

15.

03. Dada la parábola 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1), el vértice es: 1 1 Rpta: ( , − )

L :3x  7 y  1  0 y

directriz horizontal, es: Rpta:

y 2  4 y  20 x  64  0

2

la

P : my  2mx 10my  25m  6  0 2

parábola

4

16.

Dada la ecuación de la parábola 𝑥 2 + 4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, sus extremos del lado recto es: Rpta:(−3, −1) y (−1, −1)

17.

Sean (2,1) y (2,4) vértice y foco de una parábola respectivamente, la recta directriz es: Rpta: 𝑦 = −2

18.

Hallar la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje 𝑌 y vértice (2,3) y pasa por los puntos (0,0) y (4,0) Rpta: 3𝑥 2 − 12𝑥 + 4𝑦 = 0

19.

Hallar la longitud del lado recto de la parábola. 2

es el punto

(1,5) , el valor de " m " es: 2

Rpta:4 4.

Dada la ecuación de la parábola

x 2  4y  2mx  m2  8  0

,

hallar

las

coordenadas de su foco Rpta: (m,-1) 5.

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

C :2x 2  2y 2  20x  8y  56  0 y foco en el

y  2 x  10 y  27  0

punto (2, 2), es: Rpta:

Rpta: 2

( y  2)2  12( x  5) 20.

6.

vértice

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco (3,-3), y vértice sobre la recta L : x  2y  2  0 , es: Rpta:

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el

L  (5;9)

( y  3)2  20( x  8)

Rpta: 7.

Halle la ecuación de la parábola de directriz

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta IL : 5x  2 y  4  0 , es:

22.

La ecuación de la parábola de recta directriz

el foco es

 2, 2  .

Sea la parábola

y  ax  bx  c 2

Rpta:

y vértice sobre la recta

2

(y  3)  16(x  2)

de vértice (2,3)

 2, 2 

,

es:

 y  22  12  x  5

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la recta IL : x  2 y vértice el centro de la circunferencia

(2,3)

L : 5x  2y  4  0 , es:

23.

3x2  3 y 2  18x  12 y  27  0

La longitud de la cuerda focal de la parábola 2

P : x  4y

que es perpendicular a la recta

L : x  2y  8  0 , es: Rpta: 20

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

Rpta:

x  6 y de foco (2;0) . 2 Rpta: y  12 x  32  0

vertical, foco

y 2  6 y  16 x  23  0

C : 2 x2  2 y 2  20 x  8 y  56  0 y foco

11.

( y  5)  8( x  3)

21.

x2  4 x  4My  8  0 .

y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta: 9/4 10.

R  (5;1)

2

Sabiendo que

parábola

Rpta: 9.

y

y cuyos extremos del lado

Hallar el valor positivo de M en la ecuación de la

Rpta: 3 8.

V  (3;5)

recto son:

24.

La ecuación de la parábola de vértice foco Rpta:

(3,1) , es: 2

P : y  2y  16x  15  0

(1,1)

y

A L G E B R A | 24 25.

El vértice de la parábola pasa por los puntos Rpta:

26.

P : y  ax 2  bx

A  (2,8)

y

que

1 1  ,  3 3

42.

Hallar la ecuación de la parábola de foco (7,2) y la recta directriz 𝑳: 𝒙 − 𝟓 = 𝟎. Rpta: 𝑷: (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟒(𝒙 − 𝟔).

43.

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (3,-1) y recta directriz la 𝑳: 𝒚 + 𝟑 = 𝟎. Rpta: 𝑷: (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟖(𝒚 + 𝟏).

44.

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (-3,5) y cuyos extremos del lado recto son (-5,9) y (-5,1). Rpta: 𝐏: (𝐲 − 𝟓)𝟐 = −𝟖(𝐱 + 𝟑).

45.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F= (1,-1) y recta directriz 𝐋: 𝐲 = −𝟐.

El foco de la parábola 2

Rpta:

 5  1,   2

La ecuación de la parábola de eje horizontal, con

(2 ,3) y L : 5x  2y  4 , es:

foco

Rpta: 28.

Una parábola cuyo vértice es (2,1) y su foco tiene como coordenada el punto (5,1). Hallar la ecuación de la parábola. Rpta: 𝑷: 𝟏𝟐𝒙 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝟓 = 𝟎.

B  (1,5) es:

P : 4 y  20y  48x  71  0 , es:

27.

41.

en

vértice

sobre

recta

2

(y  3)  16(x  2)

La ecuación de la parábola de foco recta directriz Rpta:

la

(7 ,2)

𝟑

Rpta: 𝐏: (𝐱 − 𝟏)𝟐 = 𝟐(𝐲 + ).

y de

L : x  5  0 , es:

𝟐

46.

2

(y  2)  4(x  6)

Encontrar la ecuación de la parábola con foco en (0,-2) y recta directriz 𝐋: 𝐱 = 𝟓. 𝟓

29.

La ecuación de la parábola

(3,  1) Rpta: 30.

y directriz

Sea la parábola de ecuación 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟑𝟐 = 𝟎. Hallar la distancia del foco a la recta directriz. Rpta: 4.

48.

Determinar la suma de los puntos de intersección de la parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟑 y la recta 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓, en el cuarto cuadrante. Rpta:−1.

49.

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, y que pasa por el punto (𝟔, −𝟑). Hallar la directriz de dicha parábola. Rpta:𝑦 = 3.

50.

Sea la parábola 𝒚 = 𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝒑 . Determinar [𝟏𝟎(𝒎 + 𝒏 − 𝒑)]𝟐 , si pasa por los puntos (𝟎, 𝟎); (𝟐, 𝟏); (−𝟑, −𝟑). Rpta: 36.

51.

Determinar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta 𝑳𝟏 : 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 , foco sobre la recta 𝑳𝟐 : 𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟎. Rpta:𝑦 2 + 2𝑦 + 12𝑥 − 𝟑𝟓 = 𝟎. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (0,0), (8,-4) y (3,1) Rpta: ( y  1) 2  x  1

2

P

que tiene el vértice

y cuyos extremos

del lado recto son

31.

47.

(x  3)  8(y  1)

(3,5)

Rpta:

𝟐

con vértices en

L : y  3 es:

La ecuación de la parábola en

P

Rpta: 𝐏: (𝐲 + 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟎(𝐱 − ).

L  (5,9)

y

R  (5,1)

2

(y  5)  8(x  3)

Dada la ecuación de la parábola 𝐏: 𝐱 𝟐 + 𝟒𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝟏 = 𝟎. Hallar su rango. 𝟑 Rpta: [− , +∞). 𝟒

32.

Determinar el lado recto de la parábola 𝐏: 𝐲 𝟐 − 𝟒𝐲 − 𝟑𝐱 + 𝟐𝟖 = 𝟎. Rpta:3.

33.

Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola 𝐏: 𝐲 𝟐 + 𝟒𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝟏𝟗 = 𝟎, cuya ordenada es 3 unidades. Rpta:5.

34.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (6,4) y su recta directriz es 𝑳: 𝒚 = −𝟔. Rpta: 𝐏: (𝐱 − 𝟔)𝟐 = 𝟐𝟎(𝐲 − 𝟒).

35.

Hallar la suma de coordenadas del vértice de la parábola 𝐏: 𝐲 𝟐 + 𝟏𝟐𝐲 + 𝟖𝐱 + 𝟔𝟎 = 𝟎. Rpta: -3.

53.

36.

El vértice de una parábola cuya directriz es 𝑳: 𝒙 = −𝟒 es el centro de la circunferencia 𝐂: 𝟔𝐱 𝟐 + 𝟔𝐲 𝟐 − 𝟑𝟔𝐱 − 𝟐𝟒𝐲 + 𝟓𝟒 = 𝟎. Rpta: 𝐏: (𝐲 − 𝟐)𝟐 = 𝟐𝟖(𝐱 − 𝟑).

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto (4,-2), Hallar la directriz. Rpta: y  2

54.

Dada la parábola: y 

Hallar las coordenadas del foco de la parábola 𝐏: 𝟒𝐲 + 𝐱 𝟐 − 𝟒𝐱 = 𝟎. Rpta: (2,0).

55.

37.

38.

39.

40.

52.

lado recto. Rpta: 4

Sean (2,1) y (2,4) vértice y foco de una parábola respectivamente. Hallar la longitud del lado recto. Rpta: 12.

Sea la parábola

a  2b  3c

y  ax2  bx  c . Determinar

si pasa por los puntos

1, 0 ,  0, 0 

y

 1, 2  .

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-1,1) y foco (3,1). Rpta: P: y 2 − 2y − 16x − 15 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de foco F= (1,1) y de recta directriz 𝑳: 𝒙 = 𝟓. Rpta: 𝑷: 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟖𝒙 − 𝟐𝟑 = 𝟎.

( x  2)2  2 . Determinar el 4

Rpta: 1 56.

Sea

la

parábola

de

ecuación

y  4 x  6 y  25  0 . Hallar la distancia del foco a 2

57.

la recta directriz. Rpta:2 Determinar el rango de la parábola de ecuación

y  6x  x2  0 . Si x  4, 10



Rpta: 40, 160



A L G E B R A | 25

58.

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

C : 2x2  2y2  20x  8y  56  0

y

foco

Hallar el valor positivo de

M

2

63. de la ecuación de la

La ecuación de la parábola con vértice sobre la recta IL1 : 3x  2 y  19  0 , foco sobre la recta

IL2 : x  4 y  0

parábola x2  4 x  4My  8  0 . Sabiendo que el foco es

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta IL : 5x  2 y  4  0 , es: Rpta: y  6 y  28x  131  0

 2, 2  , es: 2 Rpta::  y  2  12  x  5  59.

62.

 2, 2  .

y directriz la recta IL : x  2 , es:

Rpta: y  4 y  12 x  64  0 2

Rpta:3 60.

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la recta IL : x  2 y vértice el centro de la circunferencia 3x  3 y  18x  12 y  27  0 2

64.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz 2 x  4  0 . Rpta: y 2  2 y  12 x  13  0

65.

Sea la parábola

2

Rpta: y  4 y  20 x  64  0 2

61.

de

la

5x2  5y2  20x  20y  35  0 Rpta: y  4 y  12 x  56  0 2

circunferencia

de vértice (2,3)

y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta: 9/4

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el centro de la circunferencia

2x2  2y2  20x  8y  56  0 y foco el centro

y  ax 2  bx  c

66.

Si se tiene foco F=(5,1) y directriz cuya ecuación es y+7=0 de una parábola. Hallar el dominio y rango de la parábola. Rpta: Dom( P) 

R, Ran( P)  [3,  

A L G E B R A | 26

Una elipse ,𝜉 , es el lugar geométrico del conjunto de puntos P = (x, y) ∈ ℝ2 , tal que la suma de las distancias del punto

P = (x, y) ∈ ℝ2 a los puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es igual a una constante"2a". Es decir: 𝜉: {P = (x, y) ∈ ℝ2 / d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a }

Y B2

P V1

V2 F2

C

F1

B1 X Notaciones: 1. Longitud del eje mayor:

d(V1 , V2 ) = 2a

2. Longitud del eje menor:

d(B1 , B2 ) = 2b

3. Distancia focal: d(F1 , F2 ) = 2c 4. Distancia entre directrices: d(L1 , L2 ) = 5. a2

=

b2

+

c2

6. Centro: 𝐶 =

con

a>b,a>c

V1 + V2

=

2

B1 + B 2 2

=

2a2 c

=

2a e

F1 + F2 2

ECUACIONES DE LA ELIPSE ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

𝜉:

(x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2

;

a>𝑏

Y 𝑅1 k

V1

F1 𝑅′1

B2

𝑅2

a

b C

F2

c

V2

𝑅′2

B1

X

h ELEMENTOS: 1.

C = (h , k):Centro de la elipse

2.

Vértices o extremos del eje mayor: V1 = (h + a, k) ; V2 = (h − a, k)

3.

Focos F1 = (h + c, k) ; F2 = (h − c, k)

4.

Extremos del eje menor: B1 = (h, k + b) ; B2 = (h, k − b)

5.

Longitud de cada lado recto: 𝑅𝑅′ = c

6.

Excentricidad: e =

7.

Eje focal 𝐿: y = k

8.

Directrices: L1 : x = h +

a

2b2 a

, 0𝑏 b2 a2

V2

Y R1 k

F2

𝑅′1 a

c

B1

b

C

R2

B2 𝑅′2

F1 V1 h

X

ELEMENTOS:

1.

C = (h , k): Centro de la elipse

2.

Vérticeso extremos del eje mayor: V1 = (h, k + a) ; V2 = (h, k − a)

3.

Focos F1 = (h, k + c) ; F2 = (h, k − c)

4.

Extremos del eje menor: B1 = (h + b, k) ; B2 = (h − b, k)

5.

Longitud de cada lado recto: 𝑅𝑅′ = c

6.

Excentricidad: e =

7.

Eje focal 𝐿:

8.

Directrices: L1 : y = k +

a

,

2b2 a

0 2}

7.

CONJUNTOS ESPECIALES: 7.1 Conjunto vacío. Llamado también como conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se suele anotar como algunas veces en la forma



y

 .

Ejemplo:

H=

x  R /



x 2 + 16 = 0

Propiedades 1.-

   

2.-

   

3.-

   

4.-

  A , para todo conjunto A.

7.2 Conjunto unitario. Conocido también como conjunto singular o singletón, es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. Ejemplos:

A =

5; 5; 5; 5; 5

=

5 , B

=

x  N /

4  x  6

7.3 Conjunto universal. Un conjunto denotado por U, se llama conjunto universal del conjunto A (conocido también como conjunto referencial) si U es superconjunto de A. Un conjunto puede tener varios conjuntos universales por lo que no existe un conjunto referencial absoluto, sin embargo, las situaciones matemáticas referido a conjunto universal la plantean como Único. Se conviene en representar al conjunto universal por medio de una región rectangular.

A

U

Ejemplo: En geometría plana, el conjunto universal es el conjunto de todos los puntos del plano. En el estudio de triángulos, cuadriláteros, hexágonos, pentágonos, etc. el conjunto universal es el conjunto de polígonos. 7.4 Conjunto potencia. Dado el conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, se le llama conjunto de partes de A o conjunto potencia de A, se anota como P ( A ) o Nro. De subconjuntos de A = n  P ( A )  = 2 PROPIEDADES: 1.

  P (A)

2.

  P ( )

3. A  P ( A )

n(A)

2A .

4. A = B  P ( A ) = P ( B ) 5. Si A  B  P ( A )  P ( B )

(

6. n P ( A )

)

= n ( 2A ) = 2n ( A )

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 = 2𝑚 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑃(𝐴) = 2𝑚 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 = 2𝑚 − 1 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜𝑠 = 2𝑚 − 1 𝑛 (𝐴 ) = 𝑚 ⟹ 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜𝑠 = 2𝑚 − 2 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 = 𝐶1𝑚 = 𝑚 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 = 𝐶2𝑚 { 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 = 𝐶3𝑚 Ejemplo: Si

B = {2, 4,6} , entonces P(B) = {;{2};{4};{6};{2, 4};{2,6};{4,6};B}

7.5 Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo:

A= 2 , 3;4 , 6;7 ,

B =   ,   , 2,5 , 0;7

8. OPERACIONES CON CONJUNTOS: 8.1 Uunión o reunión de conjuntos ( A  B ). Dados dos conjuntos A y B, se llama reunión de éstos, a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que los conjuntos formados por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de A y de B, se llama reunión de A con B y se simboliza, por: A  B , y se lee “A unión B”. Notación:

A  B = {x / x  A  x  B}

Propiedades: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la reunión de ellos. 2. Conmutativa: A  B = B  A 3. Asociativa: ( A  B )  C = A  4. Idempotencia: A

(B

 C)

A = A

5. De la inclusión: Si A  B , entonces A  B = B (ver gráfico) 6. Del elemento neutro: A   = A , A  U = U 7. Si

AB = 

 A =  B = 

Representación gráfica:

8.2 Intersección. La intersección de dos conjuntos cualesquiera A y B es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir, está formado por todos los elementos comunes a A y B. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: A  B y se lee “A intersección B”.

x / x

Notación: A  B =

 A  x  B

Propiedades: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos. 2. Idempotencia: A  A = A

B = BA 4. Asociativa: ( A  B )  C = A  ( B  C ) 3. Conmutativa: A

5. De la inclusión: Si A  B entonces A  B = A (ver gráfico) 6. De la exclusión: Si A y B son disjuntos entonces, A  B =  (ver gráfico) 7. Del elemento neutro: A 8. Propiedad distributiva

A  ( B  C) = A  ( B  C) =

(A (A

  = , A  U = A  B)  ( A  C )  B)  ( A  C )

9. Propiedad Absorción: A 

(A

 B ) = A , puesto que ( A  B )  A

A  ( A  B ) = A , puesto que A  ( A  B ) Representación gráfica

8.3 Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. Se denota por: A – B, que se lee “A menos B”, o también “A diferencia B”. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto A pero no está en el conjunto B. Entonces al conjunto formado por el elemento 1, se llama diferencia de A con B. A – B = {1} Notación:

A – B =

Representaban gráfica.

x / x

 A y x  B

Propiedades 1. A – A = ∅ 2. A – ∅ = A 3. A – B =

( A  B)

– B = A –

(A

 B)

4. Si B es subconjunto de A, entonces B – A = ∅ 5. B 

(A

– B) =  o ( A – B)  B = 

8.4 Diferencia simétrica. Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A – B” con “B – A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A  B Notación:

A B =

x / x  ( A

– B )  ( B – A )

A  B = ( A – B)  ( B – A ) Representación gráfica

Propiedades 1.- A  A =



2. Conmutativa:

A B = B A

3. Asociativa: ( A  B )  C = A  4. De la inclusión: Si

( B  C)

A  B , entonces A  B = B – A

5. De la exclusión: Si “A” y “B” son disjuntos, entonces Observación:

a. Si A y B son dos conjuntos disjuntos: n ( A  B) = n ( A ) + n ( B) . b. Si A, B y C son dos conjuntos disjuntos 2 a 2:

n ( A  B  C) = n ( A ) + n ( B) + n ( C )

A B = A  B

c. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera:

n ( A  B) = n ( A ) + n ( B) – n ( A  B) d. Si A, B y C son tres conjuntos cualesquiera:

n ( A  B  C ) = n ( A ) + n ( B) + n ( C ) – n ( A  B) – n ( A  C ) – n ( B  C ) + n ( A  B  C )

8.5 Complemento. Sean los conjuntos A={a, b, c, d, e} y el conjunto B={a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por:

BC .

Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A – B” se llama complemento de “B” respecto a “A” Notación: B

=

C

x

/ x  A  x  B  , BC =



x  A  x  B

Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal U donde se cumple que: B

Bc = B − =

x

/ x  U y x  B = U – B

PROPIEDADES 1.

Del complemento:

(A )

c c

(( A ) )

c c c

=A;

A  A c =U;

 c =U;

=A c

A  A c =U Uc = 

2. De la diferencia

A – B = A  Bc A – B = Bc – A c 3.- Leyes de Morgan

(A  B)c = A c Bc (A  B)c = A c Bc 4.- de absorción.

A  (A  B) = A A  (A  B) = A A  (A c  B) = A  B A  (A c  B) = A  B Representación grafica

 U , entonces:

Complemento de B con respecto a U

Complemento de B con respecto a A.

8.6 Producto Cartesiano. Par ordenado: Un par ordenado de componentes a, b es el conjunto

a , a, b y se denota por ( a, b ) .

Donde a y b son elementos denominados primera y segunda componente. Igualdad de pares ordenados

( a, b ) = ( c, d )

 a=c  b=d

Producto cartesiano. - Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de A y B denotado por

A x B , es el conjunto formado por todos los pares Ordenados ( a, b )

B es decir:

AxB= Nota:

A x A = A2 =

( a, b ) / a  A  b  A

( a, b ) / a  A  b  B

Propiedades: Sean A, B y C conjuntos no vacíos, se cumplen: 1.-

A x ( B  C) = A x B  A x C

2.-

A x ( B  C) = A x B  A x C

3.4.-

AxB BxA n ( A x B ) = n ( A ) .n ( B )

5.- A x A = A2 6.- R x R = R 2

que se forman con los elementos de A y

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1) Dado el conjunto: A =

8 ;2; 4 ;7 . ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

2; 4  A II. 8  A III. 7  A IV. 8 ;7 A V. 7  A I.

A) 1

2)

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Dados los conjuntos:

A = x  N 2x  13 B = x  A

( x² − 2x )  A

Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I.  x  A / x² − 5 > 4 II.  x  (A − B) / 2x + 5 < 8 III.  x  (A − B) / x²  B A) VVF

B) FVF

C) VFV

D) VFF

E) VVV

3) Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera(V) o falsa (F): I. A  B  C  B, entonces A  C = B II.

Si AB  A  B  C  A  B, entonces

III.

Si

A) VVV

C  A - B  C  B -A

B - A  Cc , entonces C  A  B B) VVF

C) VFV

D) VFF

E) FFF

4) Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

II.

  , entonces A A  B  P ( A  B)

III.

Si

I.

A) VVV

Si A =

 P ( A ) ; P ( A ) Potencia de A .

A − B =  , entonces A = B B) VVF

C) VFV

D) VFF

E) FFF

5) Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: a. A  B  B  A b. si x  C → x  B Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. A y B son disjuntos II. (A  B)  C III. C  (A  B) IV. C  (A  B) A) FVVF

B) FFVV

C) FFFF

D)

VFVF

E) FFFV

6) Sean a, b y c números enteros tales que: Si:

a

2

k=a+b+c

+ 9; b − c − 5 = −1; −6a; a 2 + b 2 − 7  Determinar la suma de todos los valores de k

A) 15

B) 18

C) 13

D) - 12

7) Dados los conjuntos unitarios “A” y “B”: A =

a

E) -14

+ b; 16 . B =

a

− b; 4

Hallar “a.b” A) 36

B) 42

8) Determinar

C) 45

D) 50

E) 60

n  P ( A  B )  ,si:

 3x + 1   x+2   2 A =  / y  Z+  5  x  10    Z / 20  x  100; x  Z  ; B =  y = 3    4   A) 3

B) 7

C) 2

D) 4

E) 8

9) Dados los conjuntos:

3x + 5   A = x  N /  N 4   x x + 1  B=  N /  N 2  2  C = x  N / 2x  25

c Calcule: n [(AB)  C ]

A)

2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

8) Sean los conjuntos A  E ; B  E y C  E; E conjunto universal, tal que: E = {x Z+ / x < 10}

A c = x  E

x  7

AB = {x  E / x  9  x > 2} BC = {3} BC = {x  E / x  7}

A  B = Ac  Bc  Cc =  Determinar n(A) + n(B) + n(C) A) 9

B) 12

C) 10

9) Sean: A = 1; 2; 4 ; B = 3; 4;5;6 ; R= propios de A) 7 9) Si :

D)

13

E) 11

( x,y )  AxB / y = x + 2 , determinar el número de subconjuntos

R. B) 15

C) 8

D) 4

E) 16

n  P ( A  B )  = 128 ; n  P ( A − B )  = 64 ; n  AxB = 195 determinar: n  B − A  .

A) 16

B) 3 2

C) 8

D) 24

E) 40

10) Dados los conjuntos

A y B : se sabe qué n ( A ) + n ( B ) = 50 ;

n ( B) 7 = ;además n ( A − B ) = 2 n ( B ) n ( A ) 18

Determinar n ( A  B ) A) 44 11)

B) 4 2

C) 45

D) 52

E) 40

Determinar el número de elementos que tiene el conjunto A sabiendo que: el número de subconjuntos ternarios, excede en 14 a su número de subconjuntos binarios.

A) 5

B) 1 2



12) Sea A = n  Z+

C) 8

D) 7

E) 9



n  600

Calcule la suma de elementos del conjunto B; si



B = a+2

3



a  A  a A

A) 1000

B) 1296

C) 1312

13) Dados los conjuntos unitarios

A = {a + b; a + 2b − 3; 12} y B =

x

y

D) 1424

E) 1528

; y x ; 16 ;

Halle el valor de ( x + y + a² + b ) A) 81

B) 92

C) 96

D) 87

E) 90

14) Calcular el número de subconjuntos binarios del conjunto D, si:

D = {(x² −1)  Z / 0  x  4} A) 132 15) Si:

B) 126

C) 105

D) 124

E) 120

n  P ( A )  = 128; n  P ( B )  = 32 y n [ P ( A  B )] = 8 

+ Halle el cardinal de P(AB) sumado con el cardinal de: C = (3x + 1)  Z



A) 521

B) 517

C) 519

D) 512

x

5  3

E) 520

16) Manuel compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. La mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener? A) 512

B) 246

C) 247

D) 503

E) 502

17) El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? A) 64

B) 56

C) 48

D) 21

E) 35

18) Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además:

n ( A ) = 4 P + 2 ; n ( B ) = 3P + 6 y n ( A  B ) = 2 P − 2

Halle n(AB) a) 14

B) 16

C) 18

D)17

E) 20

19) Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(AB) A) 14

B) 13

C) 12

D)11

E) 10

20) Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:

( A  B )  ( A  Bc )  ( Ac

B

)

c

D) ( A  B )

c C) A  B

B) A  Bc

A) A  B

c

E) 

21) En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: A

B C

D

[A−(B−C)]  [C  D]

I.

(A  B) − (B − C)

II.

[(A  D) − C]  [A − (B−C)]

III. A) Solo I

B) solo II

C) solo I y II

D) solo II y III

E) todos

22) Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n (B) = m + r; n(C) = m + 2r; además: n [P (A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule n(A  B  C) A) 16

B) 22

C) 24

D) 32

E) 48

23) ¿Qué conjunto corresponde a la parte sombreada en la siguiente figura? A) A − ( C − B )

A

B

C

B) ( A C ) − B C) ( A C )

B

D) B − ( A C ) E) A  B

24) 72 alumnas del colegio María Auxiliadora se preparan para postular a la Universidad San Antonio Abad del Cusco (UNSAAC) y/o Universidad Andina del Cusco (UAC). La cantidad de postulantes a la UNSAAC es el quíntuple de quienes sólo postulan a la UAC, la cantidad de la que exclusivamente postula a la UNSAAC es el triple de las que exclusivamente postulan a la UNSAAC y a la UAC. ¿Cuántas de las postulantes se presentaron solamente a una universidad? A) 57

B) 60

C) 45

D) 27

E) 69

25) Dados los conjuntos: A =  −3, 8 



B = x  R / x 3 + x 2  20x



El valor de A  B es: A)  −3, 4 

C)  −, 8 

B)  4, −  

D)  0, 8 

E)  0, 4 

26) En el siguiente diagrama de Venn: n(A)=70, n (B)=30. Determinar n (U). A) 85 B) 110 C) 120 D) 100 E) 77

A

C E

12 25

7

27) En el diagrama siguiente:

A

V

F

J

La región sombreada está representada por: A) ( A − F ) ( V J )

B)  ( V F ) − A  J

D)  ( V − F ) − A  − J

E)  ( V − F ) A  − J

C) ( J − A ) ( V F )

28) En un avión viajan 120 personas, de las cuales: Los 2⁄3 de ellas no beben Los 4/5 de ellas no fuman 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben? A) 88

B) 60

C) 16

D) 27

E) 72

29) De los 100 alumnos de un salón, 70 aprobaron el curso “M”, 80 aprobaron “H” y 78 aprobaron el curso “N”. si los 90 aprobaron exactamente 2 cursos; ¿Cuántos aprobaron los tres cursos? A) 19

B) 38

C) 20

D) 22

E) 15

30) En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54%, ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? A) 20%

B) 28%

C) 45%

D) 27%

E) 22%

31) De los 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades, ¿Cuántas se inscribieron en ambas disciplinas? A) 22

B) 20

C) 30

D) 27

E) 25

32) En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron solo aritmética, ¿Cuántas mujeres aprobaron solo literatura? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

33) De un grupo de 64 alumnos que estudian idiomas se observó que los que estudian solo inglés es el triple de los que estudian inglés y francés. Los que estudian solo francés son la mitad de los que estudian inglés y 4 no estudian ingles ni francés, ¿Cuántos estudian solo inglés?

A) 10

B) 30

C) 45

D) 27

E) 40

34) De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40 laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente? A) 22

B) 20

C) 25

D) 27

E) 30

35) De un grupo de 80 personas: 27 leían la revista A, pero no leían la revista B 26 leían la revista B, pero no C 19 leían C pero no A 2 las tres revistas mencionadas ¿Cuántos preferían otras revistas? A) 5

B) 6

C) 4

D) 7

E) 9

36) Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A? A) 24

B) 30

C) 32

D) 36

E) 4

37) A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca? A)8

B)9

C) 10

D) 11

E) 12

38) En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. • Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. • Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. • Los que practican atletismo y fulbito son 7. • Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. • Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. • 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. • Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno? A) 21

B)17

C)19

D)2

E)18

39) Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que: n (A - B) = 21 n (B - C) = 25 n (C - A) = 32 3 n (A  B  C ) = n ( A  B  C )

Determinar: n ( A  B  C ) A) 93

B) 95

c

c

C) 87

D) 77

40) En una encuesta a los estudiantes se determinó que: • 68 se portan bien • 160 son habladores • 138 son inteligentes • 55 son habladores y se portan bien • 48 se portan bien y son inteligentes • 120 son habladores e inteligentes

E) 91

•

40 son habladores, inteligentes y se portan bien. ¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente?

A) 10

B) 20

C) 40

D) 12

E) 8

41) En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne? A) 15%

B) 23%

C) 20%

D) 10%

E) 30%

42) En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros. ¿Cuántos aprobaron por los menos dos exámenes? A) 19

B) 38

C) 24

D) 27

E) 29

ARITMÉTICA

TEMA 2 2.1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES Se llama sistema de los números naturales al conjunto: ; ; ; ; ; ; ; el cual está provisto de dos operaciones binarias bien definidas llamadas ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN, además está dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación de orden “menor que”. 2.1.2 ADICIÓN

A+B = S sumandos

suma

PROPIEDADES a) Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. se cumple: b) Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. se cumple: a b b a a,b c) Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma. se cumple: a (b c) (a b) c a; b ; c d) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “ ”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. !0 tal que: a 0 0 a a , a e) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. f) Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad. a; b ; c a c b c Si a b g) Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad. a; b ; c a b Si a c b c

–1–

CEPRU – UNSAAC

2.1.3 MULTIPLICACIÓN

A : multiplicando

AB = factores

P

B : multiplicador

producto

P : producto

PROPIEDADES a) Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural se cumple a b c , c a,b b) Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto. se cumple: a, b , c

a (b c)

(a b) c

c) Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “ ”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. tal que: a 1 1 a a , a !1 d) Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple. e) Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. se cumple: a b b a a,b f) Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición. se cumple:

a×(b+c) = a×b + a×c (b + c)× a = b× a + c × a g) Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que: a

se cumple: a×0 = 0×a = 0

2.1.4 RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 16 = 9+7 = 4 x 4 = 2 + 14 = 8 x 2 = ..... PROPIEDADES a a) a,b b) a

ó

a

b

a, a

c) Si a d) Si a=b e) Si a=b f)

b

Propiedad de dicotomía. Propiedad reflexiva.

b

b

b=c

a

Propiedad simétrica.

a=c

Propiedad transitiva.

a×c =b×c , c

0

a b=axb

–2–

ARITMÉTICA

2.1.5 RELACIÓN MENOR QUE Sean a, b , a b n

, n

0 / a

n

b

Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado PROPIEDADES a) a b b a b) a

b

c) a

b

a

b

a

d) Si a

b

e) Si a

b

a

b b

a c

b b a

a c

b c

f) Si a c b c a b g) Si a c b c a b si c

Propiedad de tricotomía

c

Propiedad transitiva

si c

0

0

2.2 SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto: {… ;-4;-3;-2;- ; ; ; ; ; ; ; ; … } =

0

el cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación de orden “menor que”. 2.2.1 ADICIÓN

A+B = S sumandos

suma

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo: Para cada a , ! a a a 0 tal que: a ( a) 2.2.2 SUSTRACCIÓN Se verifica que:

M -S = D

M:

Minuendo S: Sustraendo D:

 M=S+D  Si M -S=D   M - D=S  2M=M+S+D 

–3–

Diferencia

CEPRU – UNSAAC

2.2.3 MULTIPLICACIÓN

A : multiplicando

AB = factores

P

B : multiplicador

producto

P : producto

Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales. 2.2.4 RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE

Sean : a,b

a

b

c

a

b si b

tal que a

c

b

a

Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. Ejemplos: a) 3b ; se cumple: si ab

ba

xy entonces x + y = 9

8. En todo número de tres cifras: abc , donde a>c; se cumple: si abc

cba

xyz

entonces y = 9 ; x + z = 9

9. En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde a > d; se cumple: abcd

dcba

xyzw donde:

x + y + z + w = 18 –5–

CEPRU – UNSAAC

2.2.7 COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número. Para un número de una cifra: CA(a) = 10 – a Para un número de dos cifras: CA( ab ) = 100 – ab = (9 - a)(10 - b) Para un número de “n” cifras: CA(ab ... xy) = 10n - ab ... xy = (9 - a)(9 - b) ... (9 - x)(10 - y) n: cifras

2.2.8 SUMAS NOTABLES

n(n + 1) 2 2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1)

1) 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =

3) 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2 4) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + n2 = 5) 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + n3 =

n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) 2

2

2n(n + 1)(2n + 1) 3 n(2n 1)(2n + 1) 7) 12 + 32 + 52 + 72 + ... + (2n - 1)2 = 3 n(n + 1)(n + 2) 8) 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + n(n + 1) = 3 6) 22 + 42 + 62 + 82 + ... + (2n)2 =

9) 1× 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + 4 × 5 × 6 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n+1 -1 10) 1+ a1 + a2 + a3 + a 4 + ... + an = a a -1 11) Progresión Aritmética : término general: an = a1 + (n - 1)r

suma de losprimeros n - términos : sn = n (a1 + an ) 2 12) ProgresiónGeométrica : término general:

an = a1r n-1

n suma de losprimeros n - términos : sn = a1 1- r 1- r

–6–

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4

ARITMÉTICA

EJERCICIOS 1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? I. La propiedad de la tricotomía se enuncia de la siguiente forma: Dados a,b se cumple una de las siguientes relaciones: a < b  b < a  b = a II. a < b; c  0; a,b,c   a  c< b  c

¿Cuántas proposiciones son falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

5. De las siguiente proposiciones I. La operación de la adición está totalmente definida en el sistema de los números naturales. II.  a  Z , ! (a)  Z / a  (a)  (a)  a  0

III. La operación de sustracción está bien definida en los N a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

a  1  1 a  a III.  a  , ! 1 Son verdaderas: a) II y III b) II c) I y III d) IV e) Todas.

2. De las siguientes proposiciones: I.  a  , ! 0  a  0  0  a  a II. El elemento neutro para la adición es único III. La división no cumple con la propiedad de la cerradura en los números naturales. IV. Si a (

+



-

6. En el sistema de los números naturales ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? I. La propiedad de la adición cumple con la propiedad de clausura. II. El elemento neutro aditivo no es único. III. a  N , ! a  N / a  (  a )  0

)  a  x =0 , entonces

se puede decir que “a” es el elemento absorbente. Indique la alternativa falsa. a) III b) II c) I y III d) IV e) N.A

IV. Cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Son falsas a) II b) I y IV c) II y III d) IV e) I y III

3. Para todo a,b,c , de las siguientes proposiciones: I. Si a  b  a  c  b  c II. Si a  b  a.c  b.c III. a.c  b.c  c  0  a  b

7. De las siguientes proposiciones indicar el valor de verdad y falsedad. I.  a,b,c  Z: a  c  b  c  a  b II. La propiedad clausura en los números enteros se cumple para la sustracción. III. a, b, c  Z ; a  0  b  0  a.b  0

IV. a.c  b.c  c  0  a  b Son verdaderas: a) III b) I y III d) IV e) N.A

e) 4

c) I y IV

IV.  a,b,c  : a  b  c  0  a  c  b  c V. Si a = b  c = d  a + c = b + d a) VFFVF b) VFVVF c) FVVFF d) VFVVF e) FVFVV

4. De las siguientes proposiciones: I. Entre los números naturales a y a + 1, no existe otro número natural. II. El número cero pertenece al conjunto de los números enteros positivos. III. La operación de la sustracción está totalmente definida en el conjunto de los números enteros. IV. Para todo número natural existe un único 1/a , talque a  (1/ a) = 1.

8. Hallar: x + y + a; si : a1x + a2x + a3x +...+ a7x = 38y1

a) 6

b) 9

c) 7

d) 8

e) 10

9 Hallar “m + n” si se cumple que:

nm + mn + 352 = nmn a) 12 b) 14 c) 15 d) 19 e) 18 –7–

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unidades en las centenas, entonces la diferencia: a) Aumenta 20 b) Disminuye 20 c) Disminuye 47 d) Aumenta 470 e) Disminuye 470

10. Calcular: 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 37 a) 236 b) 246 c) 266 d) 244 e) 270 11. Calcular “x+y” si:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 196 19. Si abc - cba = mnp , halle a + b + c , dado

2 + 4 + 6 + 8 + ... + y = 420 a) 69

b) 68

c) 67

d) 40

que abc

e) 27

es máximo y mnp es el menor

posible. a) 36 b) 34 c) 22 d) 38 e) 25

12. Calcular:

E = 0,01+ 0,03 + 0,05 + ... + 19,99 a) 150

b) 120

c) 100

d) 50

20. La suma de un número de 3 cifras con el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras es 1332. La diferencia de los números anteriores tiene como cifra de centenas 5. Hallar el producto de dichas cifras. a) 60 b) 100 c) 164 d) 162 e) 90

e) 200

13. Mario y Juan leen una novela de Vargas Llosa; Mario lee 10 páginas diarias y Juan lee er

1 página el 1er día, 2 el 2 do día, 3 el 3 día y así sucesivamente. ¿Después de cuantos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo? a) 15 b) 12 c) 13 d) 19 e) 20

21. Si a + b + c + d = 19. Determine la suma de las cifras del C.A del numeral abcd . a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24



14. Calcular:

a (2b)(4c) 22. Hallar (a+b+c), si: CA  abc  =

S = 1+ 2+ 4 +5 +7 +10 +10 +17 +...

2

37 Sumandos a) 2659 d) 2569

a) 10 b) 11 c) 12

b) 2509 c) 2637 e) 3000

24. ¿Cuál es el mayor de 4 cifras significativas, tal que la diferencia de la suma de sus cifras y la suma de las cifras de su CA es 11? Dar la suma de sus cifras. a) 34 b) 24 c) 23 d) 32 e) 14

16. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una resta es 64, además el producto del sustraendo por la diferencia es el séxtuplo del minuendo, indicar la resta del sustraendo y la diferencia. a) 21 b) 16 c) 20 d) 23 e) 18

25. El complemento aritmético de un número de 3 cifras excede al complemento de su tercera parte en 702. Hallar la suma de las cifras del número. a) 18 b) 13 c) 17 d) 19 e) 10

17. Hallar a-c, si: abc - cba = mnp Donde c - b

a) b) c) d) e) f)

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DENSIDAD DE UN CONJUNTO Un conjunto A es denso con respecto a la relación de orden, si para dos elementos diferentes a,b Î A donde a < b , siempre existe por un elemento cA, tal que: a< c< b

De lo anterior se concluye, que: 1º) Los conjuntos ¤ 2º) Los conjuntos ¥

y ¡ son densos. y ¢ no son densos.

NÚMEROS FRACCIONARIOS Son los números racionales que no son números enteros. FRACCIONES Son números fraccionarios positivos. a f= b

Numerador

Denominador

Donde: a, b  Z+ y a no es múltiplo de b OPERACIONES CON FRACCIONES: a c a ×d + b ×c + = b d b ×d a c a´ c ▪ Producto: × = b d b´ d a c a d a ×d ▪ División: ¸ = ´ = b d b c b ×c

▪ Suma:

CLASES DE FRACCIONES 1) SEGÚN SU VALOR RESPECTO A LA UNIDAD

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(a > b)

Toda fracción impropia se puede expresar como la suma de un entero más una fracción propia (fracción mixta). Ejm: 7 1 1 = 3+ = 3 2 2 2

2) SEGÚN SU DENOMINADOR a.

Fracción decimal.

Su denominador es potencia entera de 10. b.

Fracción común u ordinaria

Su denominador no es potencia entera de 10. 3) POR GRUPO DE FRACCIONES a.

Fracciones homogéneas.

Un grupo de fracciones son homogéneas cuando todos sus denominadores son iguales.

b.

Fracciones heterogéneas.

Un grupo de fracciones son heterogéneas cuando al menos un denominador es diferente de los demás.

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4) POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS. a.

Fracción reductible.

Sus términos tienen más de un divisor común. b.

Fracción irreducible.

Sus términos tienen como único divisor común a la unidad. NOTA: A partir de una fracción irreducible se puede obtener una fracción equivalente a ella. f=

a k.a = kÎ ¢+ b k.b

PROPIEDAD: Dada las fracciones irreductibles f1 = Si

a c y f2 = b d

a c + = k Ù kÎ ¢ Þ b= d b d

Si a los términos de una fracción propia se les suma un mismo valor entero positivo, la nueva fracciona si formada será mayor que la primera f1 =

a a+ m < 1 y f2 = Þ f1 < f2 ;m Î ¢ + b b+ m

Si a los terminos de una fraccion impropia se le suma un valor ¢ + , la nueva fracción así formada será menor que la primera f1 =

a a+ m > 1 y f2 = Þ f1 > f2 ;m Î ¢ + b b+ m

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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO Sean las fracciones irreductibles

a c e ; ; , entonces: b d f

éa c e ù MCD(a; c; e) MCD ê ; ; ú= êëb d f úû MCM(b;d; f ) éa c e ù MCM(a; c; e) MCM ê ; ; ú= êëb d f úû MCD(b;d; f )

NÚMEROS DECIMALES

ìï Número decimal exacto ïï ïï ï ìï Periodico Puro Numero Decimal ïí ïï ïï ïï Número decimal inexacto ïí ïï ïï ïïî Periodico Mixto ïî CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES 1. Generatriz de un número decimal exacto.

0,abc =

abc 1000

2. Generatriz de un número decimal inexacto periódico puro.

¼ = abc 0,abc 999 3. Generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto.

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¼ = abxyz - ab 0,abxyz 99900 NOTAS: 1) Número decimal exacto:

Una fracción irreductible origina un número decimal exacto cuando el denominador esté conformado por sólo factores primos 2 o 5 o ambos. El número de cifras decimales es el mayor exponente de 2 o 5 del denominador. Ejemplo:

3 cifras decimales 2) Número decimal inexacto periódico puro. Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico puro si el denominador no tiene como factores primos a 2 ni 5. El número de cifras del periodo es la cantidad de cifras del menor número formados por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción generatriz. 9 = 32 99 = 32 ×11 999 = 33 ×37 9999 = 32 ×11 ×101 99999 = 32 ×41 ×271 999999 = 33 ×7 ×11 ×13 ×37

Ejemplo:

Tienen 6 cifras en el periodo por que el menor número de cifras 9 que lo contiene es 999 999 y tiene 6 cifras.

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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO 3) Número decimal inexacto periódico mixto. Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran los primos 2 y/o 5 y otros factores primos diferentes. El número de cifras decimales está dado por las reglas anteriores. Ejemplo:

Tienen 2 cifras decimales no periódicos y 3 cifras decimales periódicos puros

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que, si al termino menor la sumamos70 para que el valor de la fracción no se altere, entonces el otro termino debe triplicarse. a) 28/48

b) 42/72

c) 56/96

d) 35/60

e) 21/36

2. Hallar una fracción cuyo valor no cambie si le añadimos simultáneamente 20 al numerador y 25 al denominador, si se sabe que el MCM de ambos términos es 340. a) 65/85

b) 68/85

c) 142/170

d) 13/17

e) 135/170

3. Se tiene 4 volúmenes de hielo tales como: V1, V2, V3 y V4. sí se sabe que: 4 3 5 V1 < > V2 V2 < > V3 V3 < > V4 5 4 , 8 , Determinar que fracción e V4 de V1 a) 3/8

b) 8/3

c) 10/3

d) 24/5

e) 12/5

4. Hallar E si: 1 3 7 511 E= + + + …+ 2 4 8 512 a) 9/29

b) 9 1/29

c) 1/26

d) 8 1/29

e) (212 -1) / 29

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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO 5. Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que le falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento si todo el viaje lo hará en 12 horas? a) 9

b) 7

c) 5

d) 4

e) 2

6. Al simplificar la expresión:

( 0,5 + 0, 666... E=

− 0, 0555...) .

3,111... − 2, 0666...

9 10

Indicar la diferencia entre el denominador y el numerador de la fracción obtenida. a) 4

b) 3

c) 2

d) 5

e) 1

7. Hallar E, si: E=

3 5 3 5 3 5 + + + + + + ... 10 10 100 100 1000 1000

a) 0.35

b) 0.3535…

c) 8/9

d) 0.0808…

e) 1,88…

8. Hallar una fracción equivalente a 0,22… cuyo numerador está comprendido entre 15 y 35 y su denominador entre 50 y 75. a) 15/70

b) 26/53

c) 18/72

d) 16/72

e) 19/74

9. La fracción generatriz: 1/ab genera el número decimal: 0, 0 (a - 1)b ¿Cuál es el valor de a+b? a) 10

b) 9

c) 11

d) 12

e) 8

10. hallar la suma de las cifras del periodo generado por la fracción: E=

83 370370...... ( 32cfs )

a) 11

b) 13

c) 15

d) 9

e) 21

11. Encontrar la fraccion , cuyo valor no cambia , cuando se suma al mismo tiempo 35 al numerador y 42 al denominador , sabiendo ademas que los 2 terminos de dcha fraccion tiene por MCM a 570.Dar como respuesta la suma de las cifras del numerador hallado.

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a) 11

b) 13

c) 15

d) 14

e) 12

12. Un comerciante vende 1/4 de su mercadería, perdiendo 1/5 de lo que costo; luego vende 1/3 de lo que quedaba perdiendo 1/20 de su costo. ¿Cuánto debe ganar en el resto para recuperar su capital? a) 1/8

b) 1/3

c) 1/5

d) 1/4

e) 1/2

13. Después de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su hacienda, 1/9 del resto y 5/12 del nuevo resto, una persona hereda $45 600 y de esta manera, la perdida se reduce a la mitad de la cantidad inicial. ¿Cuál era su fortuna inicial? a) $295 200

b) $259 200

c) $250 200

d) $290 200

e) $259 100

14. Un padre reparte dinero a sus hijos de la manera siguiente: al hijo mayor le da S/. 1000 más 1/5 del resto; al segundo S/2000 más 1/5 del resto; al tercero S/ 3000 más 1/5 del resto y así sucesivamente. Hallar la cantidad que repartió el padre y el número de hijos, sabiendo que todas las partes son iguales. a) S/16000 y 3 hijos d) S/12000 y 4 hijos

b) S/15000 y 4 hijos e) S/16000 y 6 hijos

c) S/16000 y 4 hijos

15. Para x1 = 30; x 2 = 40; x 3 = 56; ... Encontrar el número entero positivo “m”, tal que: 1 1 1 1 + + + ... + = 0.15 x1 x 2 x 3 xm a) 18

b) 13

c) 14

d) 15

e) 12

16. Si m n = 1,28787... n m Hallar “m+n”, sabiendo que m/n es una fracción impropia irreductible. a) 18

b) 16

c) 14

d) 15

e) 17

17. Dos velas de la misma longitud están hechas de diferentes materiales, de tal manera que una se consume completamente en 3 horas y la otra en 4 horas. ¿A qué hora fueron encendidas simultáneamente las velas, si a las 9pm, la longitud de una era el doble de la otra? a) 06:35p.m

b) 06:00 p.m.

c) 06:36p.m

d) 06:05 p.m.

e) 06:30 p.m.

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18. Clasifique verdadero como (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirmaciones: a es un número racional. b (a + b) ii.∀ a números enteros, es un número racional. (1 + a2 ) iii.Si 𝑘 ∈ 𝑍 y k2 es par, entonces “k” es par.

i.∀a, b números enteros,

a) FVV

b) FFV

c) VFV

d) VFF

e) FFF

19. Dos fracciones que tienen denominadores 13 y por numeradores dos números enteros consecutivos comprenden entre ellas la fracción cuyo valor decimal es 0.154545…. Halle la menor de las fracciones. a) 2/13

b) 3/13

c) 4/13

d) 6/13

e) 5/13

20. )En la expresión ) ) siguiente: 0.ab - 0,ba = 0,44 ; b ¹ 0 Entonces la suma de todos los valores posibles de 0,abb . Que satisfacen la ecuación anterior es: a) 0,611…

b) 1,33…

c) 2,166…

d) 3,11…

e) 4,166…

c) 12

d) 13

e) 14

c) 4

d) 12

e) 6

d) 4

e) 3

21. Hallar la el valor de “n” ) 5 5 5 5 + + + + .... = 4,6 2 6 12 4444444443 20 14444444442 "n " fracciones

a) 10 22. Hallar “x + y” , si: a) 8

b) 11 x y º + = 0,62 9 11

b) 5

» + 0,m2 » + 0,m3 » = 14 ; hallar “m” 23. Dado: 0,m1 11

a) 5

b) 2

c) 1

24. ¿cuántas fracciones impropias menores que 3/2 y cuyo denominador es 12 existen?

CEPRU ORDINARIO 2020

12

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

a) 5

b) 2

c) 1

d) 4

e) 3

25. Halle la suma de los dígitos del numerador de una fracción equivalente a 2584/4199, de tal manera que la suma de sus términos sea 252. a) 15

b) 21

c) 17

d) 14

e) 16

26. De las fracciones que tiene como numerador a 150, determine el número de fracciones impropias a) 150

b) 121

c) 138

d) 140

e) 160

27. De las fracciones que tiene como numerador a 150, determine el número de fracciones impropias irreductibles. a) 49

b) 38

c) 39

d) 41

28. ¿Para cuantos valores de p menores que 28 la fracción f = a) 6

b) 7

c) 5

e) 20

p + 28 p es reductible? p +1 2

d) 4

e) 3

29. Compare las siguientes fracciones e indique que fracción esta después de la fracción menor 12 18 2 24 ; ; ; 17 23 7 29 a)

12 17

b)

18 23

c)

2 7

d)

24 29

e) N.A

30. Compare las siguientes fracciones e indique que fracción esta antes de la fracción mayor 19 31 37 23 ; ; ; 13 25 31 17

a)

19 13

b)

31 25

31. Calcule m + n + p + q , dado que

c)

37 31

d)

23 17

e) N.A

17 pq + = m+ q mn 19

CEPRU ORDINARIO 2020

13

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO a) 16

b) 17

c) 15

d) 14

e) 13

32. La suma de dos fracciones impropias irreductibles es 3. Si la suma de los numeradores más la suma de los denominadores es 15, determine el mayor valor de la suma del producto de numeradores y denominadores a) 26

b) 27

c) 25

d) 30

e) 29

24 8 16 dm; dm; dm , 25 15 35 respectivamente. ¿Cuántos ladrillos como mínimo se tendrán que utilizar para formar un cubo compacto?

33. Las dimensiones de un ladrillo en forma de paralepipedo son

a) 3780 m

b) 2780

c) 3781 1 329 c) 5

d) 3782

e) 398

34. Cuál será la última cifra del periodo de E = a) 6

b) 7

d) 4

e) 3

35. Sean

S = 5,4 + 0,027 + 0,00027 + 0,0000027 + ... W = 1 + 0,3 + 0,09 + 0,027 + 0,0081 + ... Indique el valor de S - W

a)

3079 770

b)

3070 772

c)

3781 770

d)

3077 770

e) N.A

N ¼ = 0,abc(2a + 1) , si bc es el menor numeral que tiene (2a - 1)a 12 divisores y no es múltiplo de 5, calcule la suma de cifras de 3N

36. Dada la fracción irreductible

a) 6

b) 11

c) 5

d) 9

e) 7

(1 + 2 + ... + m)(m + 1) ¼ 37. Calcule a + b + m máximo, si 0,(a + 2)(b - 2) = m(1 + 2 + ... + (m + 1)) a) 46 38. Si

b) 120

c) 115

d) 90

e) 107

31 ¼ , halle a + b + x + y + m = m,ab...xy 29 CEPRU ORDINARIO 2020

14

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO a) 16

b) 13

c) 15

d) 14

e) 17

39. Establezca para cada afirmación si es Verdadera o Falsa: I. II. III. IV.

Un número racional es un conjunto de fracciones equivalentes. Todo número entero es un número racional. A todo punto de la Recta Numérica le corresponde un número racional Si a, b son números enteros primos distintos, entonces b a/b es una fracción irreductible.

a) FVVF

b) FFVV

c) VFVF

d) VFF F

e) N.A

40. Establezca para cada afirmación si es Verdadera o Falsa: I. Un número racional siempre se puede expresar como número decimal. II.Todo número decimal infinito es un número racional. III.Entre dos números racionales se puede intercalar sólo un número racional. a c a+ c y IV.Si son dos racionales distintos, entonces está entre ellos. b d b+ d a a.c V.Entre los números racionales y hay infinitos números racionales. b b.c a) FVVFV

b) FFVVF

c) VFVFF

d) VFFVV

e) N.A

41. halle la diferencia entre el número de cifras periódicas y no periódicas del número decimal 17 generado por la fracción 26650 a) 29

b) 19

c) 30

d) 28

e) 27

42. Halle la suma suma de las tres últimas cifras del número decimal que genera la fracción a) 16 43. Si

b) 11

c) 15

d) 19

23 1600

e) 17

N ¼ ; donde N es el cubo de otra fracción, determine el mayor valor de “p+q+r” = 0,pqr M M

a) 16

b) 11

c) 15

44. Halle la última cifra del número decimal generado por

d) 19

e) 17

3 . 5 399

CEPRU ORDINARIO 2020

15

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO a) 1

b) 4

c) 2

45. Al sumar las fracciones propias y homogéneas

d) 8

e) 5

10 11 20 + + ... + se obtiene como resultado x1 x 2 x11

el mayor entero posible. Hallar el valor de x 2

19 20 21 91 son irreductibles. Halar el menor ; + + ... + x + 21 x + 22 x + 23 x + 98 valor entero positivo que toma “x”

46. Las fracciones

a) 95

b) 92

47. Cuantas fracciones equivalentes a a) 1

b) 4

c) 97

d) 100

e) 98

68 ab existen que sean de la forma 119 ba

c) 2

d) 8

e) 5

48. Halle la suma de las dos últimas cifras de periodo del número decimal generado por la fracción 14 14!+ 1 a) 12 49. sí

b)1 3

c) 17

d) 14

e) 9

d) 4

e) 9

xy m+ n+ p = 0,mnpqz; halle el valor de q+ z zx

a) 2

b)3

c) 7

47 , tal que genere un número decimal 30 periódico mixto con dos cifras periódicas y 5 como cifra no periódica

50. Cuantas fracciones irreductibles existen entre 1 y

a) 50

b)64

c) 63

d) 53

e)54

CEPRU ORDINARIO 2020

16

CONCEPTOS BÁSICOS Numeración Parte de la aritmética que se ocupa del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los numerales. Número Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad. Numeral Es la representación simbólica del número mediante determinados símbolos o guarismos. Ejemplo:

, , , , 3

Cifras (dígitos) Son símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales: 0,1,2,3,4,5,6,… 2. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es el conjunto de reglas, principios y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los numerales. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Principio del orden Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se indica de derecha a izquierda. Ejemplo:

5º 4º 3º 2º 1º

N=2 5 Lugar

12

Orden

736 3 4 5

Principio de la base Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Sistemas de numeración más usados: Base Nombre del sistema 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Eptal o Heptanario Octal u Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal . . .

Lectura y escritura de un numeral

2523 = Dos mil quinientos veintitrés.

2104(5) = Dos, uno, cero, cuatro en base 5.

Cifras disponibles 0, 1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11) . . .

ARITMÉTICA |30 NOTAS Para cifras mayores a 9, se usa el convenio: A B C Ejemplo: N = 3(11)7(12)(15) = 3B7C(15) Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base y viceversa. En un sistema de base (n) se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son: Cifra máxima

0, 1, 2, 3, 4, 5, … , (n-1)

Cifra Cifras significativas no significativa

A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa. Ejemplo: N = 132(n) = 52(k) Como 132  52 entonces n  k Principio del valor de las cifras Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores Valor Absoluto (V.A.) Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura (cantidad de unidades simples que representa). b) Valor Relativo (V.R.) Es el valor que toma una cifra por el orden que ocupa en el numeral. Ejemplo: VA = 2 (Símbolo) VA=6

N=52 367 VR=60 VR = 2000 (Orden)

REPRESENTACIÓN LITERAL DE NUMERALES Cuando se desconocen las cifras de un numeral, éstos se representan con letras minúsculas, teniendo en cuenta que: Toda expresión entre paréntesis representa una cifra. La cifra de mayor orden (primera cifra) debe ser diferente de cero. Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen. Ejemplo:

Numeral de dos cifras en base 10.

ab : 10, 11, 12, 13, 14, 15 , . . ., 98, 99 Mayor numeral de tres cifras en base n: = (n − 1)(n − 1)(n −1)(n) Mayor numeral de tres cifras diferentes en base n: = (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n) , n>2 NUMERAL CAPICÚA Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes extremas son iguales. Ejemplos: N=75157 N = abcdcba(8)

N = anitalavalatina N = adannocallaconnada

ARITMÉTICA |31 4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Es la suma de los valores relativos de las cifras que conforman dicho numeral. Eemplo: = 52367 = 50000 +2000 +300 +60 +7 5104 +2103 + 3102 +610 +7 abcdef (n) = a  n 5 + b  n 4 + c  n 3 + d  n 2 + e  n + f

En general: Ejemplos:

1. Descomposición polinómica simple: 20435(7) = 274 +073 + 472 + 37 + 5 •

abc

100a

10b

c

ab = 10a + b Descomposición por bloques ababab(5) = ab (5)  54 + ab (5)  52 + ab(5) abcabc = abc  103 + abc = 1001abc 5. CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Primer caso

De base (n) a base (10)



Descomposición polinómica

Métodos : 

Ruffini

Ejemplo: Expresar 12456( 7) en base 10. Descomposición polinómica:

N =12456(7) =174 +273 + 472 + 57 +6 = 3324 • Ruffini: 7

1 1

2 7 9

4 63 67

Segundo caso De base (10) a base (n) Método : Divisiones sucesivas Ejemplo: Expresar 246 en base 4. 246 4 6 61 4 2 21 15 4 1 3 3

246 3312(4) Tercer caso

5 469 474

6 3318 3324

De base (n) a base (m), nm10 n

10

m

Ejemplo: Pasar 351(6) al sistema heptal. 6  10

10 7

351(6) = 139 139 = 256

(7)

 351(6) = 256(7)

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE NUMERACION 1. Dadas las proposiciones. Identificar con (V) si es verdadero o (F) si es falso: • En todo sistema de numeración se dispone delas cifras 0 y 1 • En un sistema de numeración de base n se disponen de n cifras • En un sistema de base n el mayor numeral de 3 cifras es. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛) , (𝑛 > 2)

•

En un sistema de base n el mayor numeral de 3 cifras diferentes es. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛) , (𝑛 > 3)

La secuencia correcta es: A.VVVV B.FFVF

C.FVFV

D.VFVF

E. VFFV

2. Hallar la suma de cifras del numeral. (3 − 𝑎)𝑎2 5(𝑎 − 2) 𝑁 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

A. 8

B. 9

C. 10

3. Sean ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2𝑎(2𝑎)12 ; ̅̅̅̅̅ 2𝑏𝑐(𝑎−2) ; ̅̅̅̅̅ 𝑏𝑏𝑏𝑐 Determinar el valor de 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 A. 16. B. 15 C. 8

D. 11

D. 65

4. 175(𝑎) + ̅̅̅̅̅ 5𝑎7(𝑏) = ̅̅̅̅̅ 𝑥𝑦𝑏, calcular 𝑥 + 𝑦: A. 6. B. 7 C. 8 D. 9

E. 10

5. Si 𝑁 = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑(𝑛) = 468(𝑚). Datos: I. d>3 II. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 5 III. N>250 Para hallar N se necesita los datos A. I y II B. II y III

C. Solo II

E. 12

E. 10

D. todos

E. Faltan datos

̅̅̅(𝑏) , 𝑏42 ̅̅̅̅̅(𝑐), están correctamente escritos. Calcular 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. 6. Si los numerales ̅̅̅̅̅ 𝑐42(8) , 43𝑎 , ̅𝑎5 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19 ̅̅̅̅̅(7) 7. Hallar n si ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏5(𝑛) = 1𝑛4 A. 8 B. 9

C. 5

8. Si ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)(𝑛+5) = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑(7) El valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑, es: A. 10 B. 11 C. 12

D. 6

D. 13

E. 7

E. 14

9. ¿En qué sistema de numeración hay 42 números de cuatro cifras de la forma: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎(𝑎 + 1)𝑏(𝑏 + 1)(𝑛) A. 8 B. 6 C. 12 D. 7 E. 14 10.Si se cumple 2153(𝑛) = ̅̅̅̅̅̅̅ 1𝑎𝑏𝑐(7) . Hallar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑛 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 ̅̅̅(𝑐) = 𝑏𝑐 ̅̅̅(𝑎+2) 11.Si se cumple: 𝑎𝑏 Además: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 24. Calcular: 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 𝐴. 504 B. 237

C. 576

E. 14

D. 312

E. 257

12.Si el número 12102122101122(𝑘) se convierte a base 𝑘 3, la nueva suma cifras es lo 10/3 de la anterior. El valor de 𝑘 2 − 1 A. 8 B. 35 C. 24 D. 0 E. 15 13.Un cierto numeral de cifras significativas en el sistema binario se escribe en el sistema decimal como ̅̅̅̅̅̅̅, hallar 𝑎 × 𝑏 × 𝑐. 1𝑎𝑏𝑐 A. 2 B. 6 C. 10 D. 0 E. 8 14.Hallar la suma de las bases en las cuales los números 444 y 124 son iguales. Indicar el menor número A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 14 15.Si el número 𝑁 = 21033301121221(𝑛) se convierte al sistema de base 𝑛4 , obtenemos un número cuya tercera cifra es 32. Halle el valor de n. A. 5 B. 9 C. 6 D. 7 E. 8 16.Hallar "𝑎 + 𝑏 + 𝑐"; si ̅̅̅̅(11) + 𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐 ̅ (11) + 𝑐̅(11) = ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏8 A. 3 B. 4

C. 10

D. 7

E. 8

17.¿Cuántos numerales capicúas de tres cifras del sistema decimal se escriben como otro capicúa de res cifras en el sistema heptal? A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8 18.Si el mayor número de tres cifras diferentes en cierto sistema de numeración convertido a base 6 es 313. Hallar la base de dicho sistema A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8 19.¿En qué sistema de numeración se cumple que, el mayor numeral de tres cifras excede en 438 unidades al menor número de tres cifras significativas? A. 5 B. 4 C. 11 D. 14 E. 8 (𝑎2 + 1)𝑎(2𝑎)(6) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎2 )(𝑎 − 2)(𝑎 − 2)(𝑛) . 20.Si: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Calcule “𝑎 + 𝑛” A. 5 B. 7 C. 10

D. 9

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛) = (2𝑛 21.Si: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 1)(2𝑎 − 1)(2𝑛) el valor de n, será: A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

E. 8

E. 1

22.Hallar 𝑎 + 𝑏 + 𝑛, si: ̅̅̅̅̅̅̅ 11𝑎𝑏(𝑛) = 79(𝑛2 ) A. 9 B. 10 C. 11

D. 13

23. Si ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐(7) = ̅̅̅̅̅ 55𝑐(𝑛) y 𝑎 < 5. Calcule “𝑎 + 3𝑏” A. 12 B. 15 C. 16

E. 14

D. 18

E. 10

24.Si: 𝑁 = 14 × 135 + 21 × 134 + 27 × 132 + 5 × 13 + 17. ¿Cuál será la suma de las cifras del numeral N en base 13? A. 28 B. 29 C. 32 D. 36 E. 24 25.Calcular la suma de cifras de: 𝑁 = 15 × 76 + 23 × 75 − 8 × 74 + 12 × 72 + 46 En el sistema heptal A. 28 B. 29 C. 32 D. 36

E. 24

26.¿Cómo se expresa en el sistema de base (𝑛 + 2) el numeral 148(𝑛) ? A. 124 B. 134 C. 114 D. 104

E. 112

27.Al convertirse el número 124(𝑛) a base (𝑛 + 1) Se obtiene un número cuya suma de cifras más su número de cifras es 𝑛. Hallar 𝑛: A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 28.Si 𝑎𝑏6 𝑎𝑏 = 258. Calcule 𝑎 + 𝑏 A. 5 B. 6

C. 7

29.¿Cuántos numerales existen tal que ̅̅̅ 𝑎𝑏(7) = ̅̅̅ 𝑏𝑐(8) ? A. 12 B. 13 C. 16 30.¿Cuántos números pares de tres cifras existen? A. 520 B. 400 C. 350

D. 8

E.4

D. 11

E. 10

D. 450

E. 180

31.¿Cuántos números capicúas de 5 cifras tiene un solo 6 en su escritura? A. 56 B. 40 C. 64 D. 70

E. 72

̅̅̅̅̅̅̅. Halle 32.Si: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑎𝑎 … 𝑎 = 1𝑥𝑦𝑧 ⏟ (2) 𝑘 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

𝑎 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑘. A. 13 B. 14

C. 15

D. 16

E. 17

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

33.Hallar la suma de todos los números de la forma 𝑎 (𝑎2) 𝑏(2𝑏) . Indicar la suma de sus cifras. A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19 34.¿En cuántos sistemas de numeración el mayor numeral de 2 cifras diferentes del sistema decimal se escribe con 3 cifras? A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 E. 28 35.Si: ̅̅̅ 𝑎𝑏(10) = ̅̅̅ 𝑏𝑎(𝑛) . Indicar la máxima solución de n. A. 91 B. 81 C. 101

D. 72

E. 82

36.En cuantos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3 cifras? A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 E. 28 37.Si: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑎𝑎𝑎 ̅̅̅̅̅. Hallar 𝑛 + 𝑎. A. 6 B. 12

C. 15

D. 22

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅(2) = 15𝑐 ̅̅̅̅̅(8) . Hallar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐: 38.Si se cumple: 𝑎10𝑏11𝑏 A. 9 B. 10 C. 7 D. 6

E. 42

E. 5

39.¿Cuántos números capicúas de 7 cifras cuya suma de cifras sea impar, existen? A. 4500 B.4200 C.3200 D.4800 40.Hallar la base del sistema de numeración que cumple 2

[26(𝑛) ] = 710(𝑛)

A. 9

B. 10

C. 8

D. 6

E. 11

E.5500

6.1 SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES. Es el conjunto , provisto de las operaciones de adición (+), sustracción (–) y multiplicación (∙), una relación de igualdad (=) y una relación de orden (). En el sistema se cumplen todas las propiedades del sistema .

SUSTRACCION a – b = a + (-b) DIVISION Sea b≠0 a/b = a.

1 a = b b

6.2 DENSIDAD DEL CONJUNTO . Entre cualesquiera dos números reales diferentes a y b, no importa que tan cercanos se encuentren, existe otro número real. En particular, x = a + b es un número real que está a la mitad entre a y b, esto es:

2

axb NOTAS Entre cualesquiera dos números reales diferentes existe infinitos números reales. Entre cualesquiera dos números reales diferentes existe tanto un número racional como uno irracional. Entre cualesquiera dos números reales diferentes existe infinitos números racionales e infinitos números irracionales. Cualquier número irracional puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un número racional. 6.3 LA RECTA NUMÉRICA Una representación geométrica muy útil en el desarrollo del sistema de los números reales es su representación en una recta. Esta representación se basa en el axioma que establece lo siguiente: “A cada punto de la recta le corresponde un único número real, y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto en la recta” Se obtiene de este modo una biyección entre los números reales y los puntos de la recta lo que permite una identificación de cada punto A de la recta con un número real x. Al número real x que identifica al punto A se le llama coordenada de A. Esta biyección también permite una representación de la relación “ Hallar: A – B a) [3, 7]

b) < 7, 11]

c) .

5.- Si: M = ; N = [–1, 5] Hallar: ( M  N ) – Nc a) [1, 5]

b) ;

B = < –2, 6] .

a) [6, 8]

b)

8.- Dados: A = , c

B = [0, 4] ,

c)

d)< –2, 6 >

e) < –6, –2 >

Hallar: (A-B)c c) c)

b) A  B c) A – B d) B – A

R. R. [2, 3] R. [4, 8 >

e) A – B

c

c

f) (A – B)

c

.

R. [4, 8 > B

c

g) A – (A  B)

R. c

R. conjunto vacío

12.- Dados los conjuntos: A = x  R / - 3  x  2 B = x  R / 0  x  4 C = x R / - 4  x  6 Hallar (A – B) – C a) - 3, 2 

−3, 0

b)

−3, 0

c)

13.-Si A = −3, 0 , B = −1, 5  , hallar A  B b) −3, − 1

a) −1, 0

.

14. − Dados A = 6, 12

;

B = 7, 16

c

Hallar (A  B) − C

y

C = 16, +

 .

e)

c ) −3, 1 

−3, 2

d ) −  1, 0

.

c

a ) 16, + 

c) 12, 16

b) 12, +

15.- Dados: 𝐴 = 〈−3; 2〉

d)

d ) 16, + .

𝐵 = [0; 4] 𝑦 𝐶 = < −4; 6]

Hallar: (𝐵 ∩ 𝐶)𝐶 − (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶

a)

−2, 0

b)

16.-Si: 𝐴 = [−3; +∞ >

c)

−2, 0 

d)

−3, 0

.

𝐵 = 〈−∞; 4〉 y 𝐶 = [5; +∞ >

Hallar: { (A  C)  B – [0, 2] }

a) b) c) d)

−3, 0

c

〈−∞; −3〉 ∪ [0; 2] ∪ [4; +∞ > 〈−∞; −3〉 ∪ [0; 2 >∪ [−4; +∞ > < −∞; −3] ∪ < 0; 2 >∪ [−4; +∞ > < −∞; −3 >∪ [0; 2] ∪ [4; +∞ >

17.- Dados los conjuntos: A = {x  R/ 3 < x < 17} y B = {x  R/ 8 < x  18}. Hallar A  B a) [8; 17]

b) < 3; 8]

c) < 8; 17 >

18.- Resolver: (< −2; 3] ∪< 0; 4 >) − [2; 6]

d) ∅

e) < −∞; 17]

a) [−1; 2]

c) [−2; 2]

b) < −1; 2 >

19.- Dados los intervalos:𝐴 =< −∞; 7 >

𝐵 = [−4; 0]

d) < −2; 2 >

𝐶 = [0; +∞ >

calcular: a) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 b) c)

A B B C AC

d) e) A  B f) B  C g)) A  C soluciones: a) [-4;0] c) [0; 7 > e) [−4; +∞ > g) {0}

b) {0} d) < −∞; 7 > f) 𝑅

20. − Dados losintervalos I = −5,0 y J = − 3, 4 , calcular: a) ( I  J ) b) I  J

c

c

c

c) I  J c

d) I  J

c

Respuestas:

a) −, − 3  0, +

b)  −5, − 3  c) 0, 4

d ) −, − 5  4, +  21.- Sean los conjuntos: A = {x  R/ -3 < x < 2}; B = {x  R/ (x-1)2  4} y C = {x  R/ -4 < x  6} Efectuar la siguiente operación: C - (A  B) a) U [2, 6] .

b) U [2, -6]

c) [4, 0> U [-2, 6]

d) [-4, 0> U [2, 6>

c

22.- Con los datos del ejercicio 22, hallar: (A – B) – C a)

b)

c) .

b)

c

c) [3, 0]

d)

24.- Resolver: < - 2, 3] U (< 0, 4 > – [2, 6]) a) [2, 3>

b) [-2, 2]

c) [–2, 3]

d)