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• Stefany Sandra Acuña Flores

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GRAVITACION UNIVERSAL INTRODUCCION

Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitación Universal, donde describe que todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación lograba de un solo golpe:   



Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Resolver el intrincado problema del origen de las mareas Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso. La naturaleza cuadrático inversa de la fuerza centrípeta para el caso de órbitas circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme:

En el presente informe se explicara también la tercera ley de Kepler lo cual describe que el cuadrado del periodo P es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radio r, P2=kr3. También se hablara de la dinámica del movimiento circular uniforme, la cual nos dice que en una trayectoria circular, la fuerza que hay que aplicar al cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración normal, F=mv2/r. Lo cual explica el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa representado por el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2p r/v.

Veremos que la fuerza F que actúa sobre el planeta en movimiento circular uniforme es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde el centro de fuerzas al centro del planeta y todo esto gracias a las teorías de la gravitación descubierta por Isaac Newton y Kepler. FISICA I

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GRAVITACION UNIVERSAL

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos. Así, con todo esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas y separados una distancia es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

Dónde: 

: es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos



cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos. : es la constante de la Gravitación Universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales FISICA I

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conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición(véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados: Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga eléctrica). Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc.) del Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Leyes de Kepler Representación gráfica de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de los focos. En tiempos iguales, las áreas barridas por el planeta son iguales. Por lo tanto, el planeta se moverá más rápidamente cerca del Sol. Sello alemán de 2009 conmemorando a las leyes de Kepler. Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:

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

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.



Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.



Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.

Donde, T es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), (L) la distancia media del planeta con elSol y K la constante de proporcionalidad. Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler Antes de que se produjeran las leyes de Kepler hubo otros científicos como Cópernico, Ptolomeo y Tycho Brahe que fue un gran astrónomo cuya principal contribución al avance de la ciencia estuvo en haber conseguido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas, uno de sus discípulos fue Kepler. Kepler permitió descubrir el movimiento de los planetas. Utilizó grandes conocimientos matemáticos para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró componer un modelo heliocéntrico del universo. Comenzó trabajando al modo FISICA I

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tradicional, planteando trayectorias excéntricas y movimientos en epiciclos, pero encontró que esos datos los situaban fuera del esquema que había establecido Copérnico, lo que le llevó a pensar que no describían una órbita circular. Ensayó otras formas para las órbitas y encontró que los planetas describían órbitas elípticas que tenían al Sol en uno de sus focos. Analizando los datos de Brahe, Kepler descubrió también que la velocidad de los planetas no es constante, sino que el radio vector que los une con el Sol describe áreas iguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando se mueven por las zonas más alejadas (afelio). Esto da origen a las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática del sistema solar.  Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse. (a y b con semejantes a la elipse)  Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes conclusiones: Las órbitas son planas y estables. Se recorren siempre en el mismo sentido. La fuerza que mueve los planetas es central. 

Tercera Ley de Kepler: se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante. Esto es:

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de la gravitación universal. La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares es:

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La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:

Al reemplazar la velocidad v por de una órbita completa) obtenemos

(el tiempo

Donde, T es el periodo orbital, r el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central yG una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

Relación con las Leyes de Kepler Las Leyes de Kepler eran una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas a través de las observaciones existentes. Aunque éstas describían dichos movimientos, los motivos de por qué éstos eran así o qué los causaban permanecían desconocidas tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin embargo, éstas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulación matemática a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial, a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que los planetas más alejados del FISICA I

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Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste (su año es más largo).

Formulación general de la ley de la Gravitación Universal Forma vectorial: Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones , la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por (2) donde es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Cuerpos extensos: Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo real, de tal forma que la descripción de esta fuerza se realiza trabajando únicamente con cuerpos puntuales (toda su masa se encuentra concentrada en su centro). Sin embargo, para algunos casos se puede hacer necesario tratar dichos cuerpos como lo que son, cuerpos con una extensión dada, es decir no puntuales. Un ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar cómo varía la fuerza de la gravedad a medida que nos situamos en el interior de un objeto, por ejemplo qué gravedad existe en el interior de la Tierra (en la región del manto terrestre o del núcleo). En estos casos es necesario describir al objeto masivo como una distribución de masa, es decir describirlo a través de su densidad en cada punto del espacio. Así, se integra la fuerza que produce cada elemento infinitesimal del cuerpo sobre cada elemento del otro objeto, sumando a todos los elementos que existen en el volumen de ambos cuerpos, lo cual matemáticamente se traduce en una integral FISICA I

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sobre el volumen de cada cuerpo, de tal forma que la fuerza gravitatoria entre ambos se obtiene como

(3) Donde: son los volúmenes de los dos cuerpos. son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio ( ). Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:

Donde son las distancias mínimas y máximas entre los dos cuerpos en un instante dado.

GRAVITACION UNIVERSAL Hemos hablado del peso de un cuerpo como la fuerza de atracción gravitatoria entre el cuerpo y la tierra, medida por la deformación de un resorte. En 1686 Isaac Newton enunció la “Ley de Gravitación Universal” (también llamado 5to Principio de Newton). La ley dice: “Toda partícula de materia del Universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza proporcional al producto de las masas de ambas partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”. La distancia se mide de centro de masa de una partícula a centro de masa de la otra. m

F

m'

r



F 

m  m´ r2

Pero con el concepto de fuerza no podemos trabajar con el concepto de proporcionalidad sino que debemos trabajar con el concepto de igualdad. Sería: FISICA I

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F

m  m´

pero en este caso las unidades no son homogéneas

r2

 Kg  Kg 

 Kg 2 

m2

 m 2 

En efecto  N    

  



pues 1N  1Kg 

 Kgm 

 Kg 2 

seg 2  seg 2 

 m 2 

m 

 y no 



.Como

surge de la fórmula; entonces para lograr la igualdad hay que F 

multiplicar el 2

do

miembro de 

 N 

m

Entonces si 

m  m´ 



r2 

 F  G 

por una constante G que debe



Kg 

tener como unidad a GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

r2



2 2

m  m´

y que se llama CONSTANTE DE

 m 2  m  m´ F N   G   N    2 Kg 2  r 

 Kg 2  



 m 2 

la ecuación queda homogénea



Sentido físico de G: G es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 Kg c/u colocadas a 1m de distancia una de otra. 1m



F 

1 k g .1 k g 12 m 2



k g2 m2



G

Fuerza de atracción de las dos masas ubicadas a un metro, después, si las masas o las distancias son más grandes se multiplica a G por esos valores al cuadrado.

CALCULO DE LA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL MÉTODO DE CAVENDISH. m y m: masas de platino (muy livianas) M y M: masas de plomo (muy pesadas) L: Distancia regla-espejo en el punto P(conocida) Al acercar las masas M a las m se produce en el hilo de cuarzo un momento torsor FISICA I

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GRAVITACION UNIVERSAL 

El momento será de suspensión.



m t  k 

siendo k una constante (conocida) del eje

 M R4 k  2L  mt



mt

El momento es proporcional a la rotación producida al acercar a las esferas de masa m las esferas mayores de masa M hasta una cierta distancia que llamamos r.

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GRAVITACION UNIVERSAL

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GRAVITACION UNIVERSAL

Al girar, el espejo refleja la luz y medimos pulido.

x  P P1

en la escala de vidrio

  mM Mm mt  k    F  d  G   d  k   G  2  d r2 r

Como

la

desviación

del

rayo

es

muy

pequeña

es:

x x   tg   y también tg   rrad  rrad  l l

O sea que midiendo x podemos hallar. G

 k   r 2 y k    mt M md

Y si despejamos G de la ecuación tenemos conocido ya que conocemos K y ahora también .

que es



mt  r 2  N  m  m 2   m2  G    N  M  m  d  Kg 2  m   Kg 2    

son las mismas unidades que se habían determinado para G

Y reemplazando valores, en el sistema CGS, queda: G  6,67 x10 8

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dinas  cm 2 g2

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G  6,67 x10 11

N  m2 Kg 2

En el MKS Como se ve G tiene valores muy pequeños; para la fuerza a atracción electromagnética, por ej, aparece una cte k (equivalente a G) cuyo valor es: k  9 x 10 9

N . m2 k g2

k G

= cte eléctrica En el caso del 5to Principio los cuerpos interactúan entre sí sin estar en contacto; son fuerzas que se ejercen a distancia y su acción se explica mediante el concepto de “campo”. DEFINICIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Se dice que existe () un campo escalar (C . E) cuando una magnitud escalar (presión, temperatura, potencial, etc) tiene un valor determinado en cada punto del espacio geométrico. La función escalar será pues, una función de punto o de las coordenadas del mismo. Para cada punto geométrico habrá un valor escalar. z  r1 z1 o

x

P1 (u) (x1; y1; z1) y1

y

x1



U  f ( r )  f ( x; y; z )

Se llama U a la magnitud escalar y será función de 

En el punto P1 será: temperatura, presión, etc.

P1 (U )  f ( r1 )  f ( x1 ; y1 ; z1 )

donde (U) puede ser

Superficie de Nivel: se define a la superficie de nivel como “el lugar geométrico de los puntos del C.E, en que las magnitudes escalares U tienen el mismo valor”; así tenemos:

ISOTERMAS Superficie de Nivel ISOBARAS EQUIPOTENCIALES

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iso = igual

(en griego)

equi = equivalentes o iguales (latín

GRAVITACION UNIVERSAL

CAMPOS VECTORIALES (C.V) Definición: Se dice que  un C.V cuando en cada punto del espacio geométrico está definido un vector.

z

 v

A z o

y

y

x

x Si todos los vectores del C.V son equipolentes, el C.V es uniforme; y un C.V es unívoco si en cada punto del espacio geométrico está definido uno y solo un vector. Un campo vectorial importante es el CAMPO DE FUERZAS donde, en cada punto del espacio geométrico hay una fuerza; ej: el CAMPO

GRAVITATORIO TERRESTRE. Donde las fuerzas que lo conforman se disponen en forma esférica, siempre en dirección al centro de la Tierra. F3i

F1i  F2i  F3i , etc F1i  G  F2i  G 

F2i

M m R12 M m

donde R2 > R1 etc, etc

F1i

F2i

M

R2 2

F1i

Tierra

F3i

m

Y siendo:

F3i

El valor de las fuerzas va disminuyendo paulatinamente con el aumento de la distancia a dicho centro. La existencia de un campo de fuerzas se explica admitiendo que el espacio está “perturbado” de alguna manera por la presencia de la FISICA I

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masa M de la tierra, adquiriendo este espacio propiedades que antes no tenía. Un campo vectorial (C.V) se representa por línea de campo sus LÍNEAS DE CAMPO o líneas de fuerzas que son líneas tangentes al vector campo en el punto considerado. líneas de campo o línea de fuerza T

Vector campo

En el campo gravitatorio terrestre los vectores fuerzas son concéntricos, las líneas de campo también son concéntricas (se concentran en la Tierra); es una radiación de rectas con el vértice en el centro de la Tierra y las líneas de campo coinciden con la dirección de los vectores del campo.

PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS DE CAMPO. 1- Su sentido de recorrido coincide con el sentido de los vectores de campo. 2- El campo es UNÍVOCO: a cada punto le corresponde una línea de campo y un vector de campo, tangente a ésta. 3- En el campo gravitatorio, las líneas de campo son abiertas y en el campo eléctrico, las líneas son cerradas.  v

Testeamos con una carga positiva

 v

 v

Líneas de campo eléctrico

 



V

V F

Vector campo que es una fuerza eléctrica, acá gravitatorio 

V K

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Qq r2

(ley de Coulomb)

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del

GRAVITACION UNIVERSAL      F  K  Q  q  e r donde Q y q son cargas eléctricas    r2  

4- Si el campo es UNIFORME (todos los vectores deben ser equipolentes, para que sea uniforme), las líneas de campo son rectas paralelas. En el caso particular de un campo de fuerzas (C.F), al abandonar dentro del mismo una partícula de masa m, ésta se moverá bajo la acción del campo, siguiendo la línea de campo correspondiente y hacia la zona de menor energía potencial. Por lo tanto, la línea de campo o línea de fuerza es la trayectoria que sigue la partícula abandonada en el interior del campo. CIRCULACIÓN DE UN VECTOR (C) Se llama circulación de un vector (C ) a lo largo de una curva o línea dada entre dos puntos (A y B) de ella, a la integral curvilínea entre A y B del producto escalar del vector campo por un desplazamiento 

dr

diferencial (

)a lo largo de la curva.

 v  dr

B

A

B  A







C   V  dr ; si el vector V es una fuerza ( V  F ) tenemos que la circulació n coincide con el trabajo (C  W) B  A

W   F  dr

y se puede aplicar todo lo ya conocido sobre trabajo de

una fuerza DEFINICIÓN DE CAMPOS CONSERVATIVOS: Al igual que en trabajo de una fuerza conservativa, “la circulación a lo largo de una línea de campo cerrado o de fuerza cerrada (trayectoria cerrada), será nula”:

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D

 v

C

B A  

C   V  dr  0 ; o sea que 



 

 

 

 

V  dr   V  dr  0   V  dr    V  dr    V  dr ABC CDA ABC CDA ADC

 

 

 ABC V  dr   ADC V  dr

las integrales por los dos caminos son iguales

Con esto damos otra definición de campos conservativos: “Se dice que un campo es conservativo cuando la circulación entre dos puntos depende B

2 1 A

3

solamente de la posición de dichos puntos (es una función de estado, entonces) y es independiente del camino recorrido para ir de uno a otro (de A a B)”.



B 



B 

C1  C 2  C 3  V  dr  V  dr A A

Antes, cuando estudiamos trabajo de una fuerza conservativa decíamos que una de ellas (el peso ) tenía su módulo constante; en este caso ahora dejará de serlo pues el peso es: P1  G 

M m R1

2

y P2  G 

M m R2 2

y a  R tenemos  Peso

Pero no obstante el peso sigue siendo una fuerza conservativa pues su circulación (trabajo) a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. Entonces. La masa M de la Tierra modifica el espacio que la rodea tal que produce una fuerza gravitatoria terrestre (un campo gravitatorio FISICA I

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terrestre); si colocamos una fuerza m dentro de dicho campo (debe ser M >>>m para que el campo de m no influya y podamos despreciarla), esta masa m experimenta una fuerza gravitatoria con sentido hacia M (tiende a llevar a m hacia M). El campo gravitatorio es: 1. Central 2. Conservativo: la única fuerza (a la que llamamos peso) depende sólo de su posición y la circulación también. +

er

F

T

 r

M

m





r

er  



 versor





 r

3. con M >>> m 





F   F  er ( si el sentido (  ) es hacia afuera, F será negativo

Entonces 4. Universal; existe para todos los cuerpos (el campo eléctrico no lo es). 5. Un masa (en reposo o en movimiento) siempre generará un campo gravitatorio, pues atrae a todo elemento que está en su campo. Un campo gravitatorio es siempre de atracción. Imán M

m

esfera con campo eléctrico

En cambio, un campo eléctrico con Q en equilibrio y, por ejemplo, POSITIVO sólo atrae a las cargas eléctricas NEGATIVAS y rechaza las POSITIVAS. El campo eléctrico solo existe para cuerpos testigos cargados de electricidad. FISICA I

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GRAVITACION UNIVERSAL

INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO Una masa M se rodea de un campo gravitatorio que, al actuar sobre otras masas genera una fuerza atractiva: esto se “comprueba” colocando una masa m (siendo m rA es

Pero la zona negativa a mayor rB, su valor es menor por lo que el cociente se hace mayor, pero el signo negativo de la fórmula de EP hace que: EPA > EPB

(por ejemplo EPA = -4 y EPB = -7) -EPB > -EPA

POTENCIAL EN UN PUNTO DEL CAMPO GRAVITATORIO (VR) El potencial es la Energía Potencial por unidad de masa: En un punto dado, a una distancia r de M tenemos: E Pr  

GM m r

Ep de A(m) a r con respecto al Vr 



EP r GM GM   Vr   m r r

y el Potencial en ese punto será: los potenciales son magnitudes escalares. Y la diferencia de potencial (VBA) entre dos puntos A y B será: V BA  V B  V A  

GM  GM    rB rA 



 1 1   G  M      rA rB



  diferencia de potencial de B 

con respecto a A.

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GRAVITACION UNIVERSAL

y ya vimos que el trabajo era:  1 W 1    V BA  AB  m  r A rB 

W AB  G  M  m  

Es decir, la diferencia de potencial de B a A es el trabajo para llevar la unidad de masa de A(rA) a B(rB), siguiendo cualquier trayectoria pues el campo es conservativo. Los signos negativos de la EPr y de Vr lo explicamos diciendo: 0,00

A medida el EP = 0 (en el campo negativo, máximo valor) que punto se aleja de  r aumenta r Zona del campo gravitatorio negativo y Hacia la zona de la menor EP disminuye la MT EP 

GM m rA

ya que rA se hace mas pequeño. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO EN MASAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS. Hasta ahora consideramos las masas como un punto (centro de masas); veamos ahora cuando las masas están uniformemente distribuidas. Por ejemplo, una membrana esférica homogénea de espesor e y radio R. La intensidad del campo producida por M

R M

o

Pm = 1 e x

Ig  G

será, para el punto P:

M x2

En la superficie de membrana, la intensidad será: Ig 

GM R2

veremos que éste es el máximo valor, ya que R es el mínimo valor que puede tener x (significa que P está apoyado en la superficie de la membrana) dA1

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r1 P

dr r2 dA2

y también demostramos que si P se encuentra en el interior de la esfera la intensidad del campo gravitatorio es nula (Ig = 0): Página 25

GRAVITACION UNIVERSAL

Si tomo dos superficies diferenciales dA1 y dA2 en el interior de la esfera donde d es un ángulo sólido o poliedro (ángulo formado por varios planos que concurren en un punto). Las superficies son proporcionales al cuadrado de las distancias r1 y r2 al punto P (interior a la esfera). d A1  r1 2  d  d A2  r2 2  d 

Si dividimos las superficies: d A1 r1 2  y si multiplicamos los d A por el espesor e y por d A2 r2 2 la densidad (  ) obtenemos un d m

d d A1  e   r2  m1  1 d A2  e   d m 2 r2 2

y las intensidades de campo en P: serán, (intensidad de campo creados por los diferenciales de masa). dI g1  dI g2 

G  d m1 r12 G  d m2 r2 2

 d m1   d m2 

dI g1  r12 G

y

dI g 2  r2 2 G

si hacemos el cociente: 2

r1  dI g1 r 2 r1 2  dI g1 r1 2  dI g1 dI g1 r1 2  r2 2 d m1 r1 2 G        1 d m 2 r2 2 r2 2  dI g 2 dI g 2 r2 2  r1 2 r2 2  dI g 2 r2 2 r2 2  dI g 2 1

G dI g1 dI g 2

 1  dI g1  dI g 2 intensidades de campo de d A1 y d A2 para el punto P

y así para el punto P, considerando los sentidos de las Ig. Ig1

y

la  de las Ig me da la intensidad total de campo en P

P Ig2

dI gp  dI g1  dI g 2  0  dI gp  0

Al restarse las intensidades dan una intensidad nula; esto vale para cualquier punto interior de la membrana (donde Ig será=0). Ig

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x Página 26

GRAVITACION UNIVERSAL

Gráficamente, sería así, en un sistema de ejes:

R

P

IgR Ig

IgP

x

GENERALIZACIÓN PARA UNA ESFERA MACIZA. Sean dos esferas macizas concéntricas de radio r y R respectivamente y de masa m y M: M R

m r

Sabemos que la intensidad de campo será en cada una de las superficies: para la menor : Ig r  G  para la mayor Ig R  G 

m r2 M

R2

Haciendo la relación entre masas de las esferas: M  m

4     r 3 r3 r3 3  mM 3 4 R3     R 3 R 3

Ig r  G 

M r

2

Reemplazo este valor de m en la fórmula de: 

r3 R

3

 G

Ig r  Ig R 

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r R

M r R

3



GM r r   Ig R  2 R R R

Ig R  cte R

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GRAVITACION UNIVERSAL Ig R R

como el valor es una constante, tenemos: Igr = cte . r y ésta es una expresión similar a y = m . x donde m = k (expresión de una recta que pasa por el origen) y dando valores a r obtengo Igr: para r = 0 ; Igr = 0 para r = R ; Igr = IgR = cte

Gráficamente, para una esfera maciza, sería así:

o R

P x

Ig

IgR

Igx

x

VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD (g) Si tomamos a M como la masa de la Tierra (MT), el campo gravitatorio tendría en la superficie terrestre una intensidad de: Ig R  G 

MT R2

y el peso de un cuerpo (fuerza de atracción de la Tierra, el cuerpo) es: P mg 

G  MT  m R2

G  MT  m R2

 g

pero como tamién es P  m  g , entonces

G  MT R2

 Ig R la aceleración de la gravedad es igual a la intensidad del campo gravitator io terrestre.

Por lo que gráficamente es: La gmax está entonces en la superficie terrestre, a 45º de latitud y a nivel del mar.

g g máx.

MT o

x

La aceleración de la gravedad varía con:

1. la altitud (mayor distancia entre las masas: R + r) 2. la forma de la Tierra: g > en los polos ya que R es menor. FISICA I

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GRAVITACION UNIVERSAL

3. Depósitos minerales: porque hacen variar M ya que no es homogénea. g

G  MT R2

y la M t 

g  R2 9,8 x (60370 .000 ) 2 m 2   5,9 x10 24 Kgs 11 G 6,37 x 10

Como M T  5,9 x10 24 Kgs MASA DE LA TIERRA

y la densidad: T 

M T 5,9 x10 24 Kgs Kg Kg   5,5 x10 3   T  5,5 x10 3 DENSIDAD DE LA TIERRA 3 3 4 VT 3 m m   R 3

VELOCIDAD DE ESCAPE. Se trata de averiguar qué velocidad deberá tener un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba para que no regrese más a la Tierra. Considerando un cuerpo de peso P sobre la superficie terrestre. Sabemos que el peso de un cuerpo es función de su posición con respecto al centro de la Tierra: P = f(r)

 er B rB A R

VO P

+

Tierra

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Consideramos como positivo el sentido desde el centro de la Tierra hacia fuera; por lo tanto al peso P, debemos considerarlo, en módulo, como negativo. En general, a cualquier distancia de la Tierra el peso será: m  masa del cuerpo M T  masa de la Tierra 

er  versor posición  P 

G MT m rB

2



 er

donde Como la aceleración de la gravedad varía con la altura, dejamos de llamarla “g” para llamarla “ag”; es decir ag es la aceleración de la gravedad a cualquier altura, y entonces el peso será: 

Ig

  m  ag G  MT  P g    ag  I g   ag   er m m rB 2

I g  a g 

 G  MT rB

2

 m  ag   G 



 er

y en módulo es a g 

G  MT

  GM MT  m  t  e r  a g   2  2 rB  rB

rB 2





 e  r 

y siendo y en general, para cualquier rB = r ag 

es:

GM T r2

aceleración de la gravedad a la altura r

(módulo)

Entonces calculamos la Energía Potencial Gravitatoria del cuerpo cuando está a una distancia rB del centro de la Tierra, considerando además que rA = R radio de la Tierra (y a la superficie de la Tierra como nivel cero).

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E PA  

G  MT  m rA

E PB  

G  MT  m rB

 1 1     E PBA  rA rB 

E PB  E PA  G  M T  m  

ya vimos que:

Como rA = R tenemos:  1 1   R rB



E PBA  G  M T  m  

1   1    R rB 

 esta E PBA tiene signo positvo  

Consideramos la superficie de la Tierra como plano de referencia, de cota 0,00 ACLARACIÓN SOBRE EL SIGNO: la energía potencial del cuerpo, cuando el trabajo es negativo, va aumentando, y el trabajo es negativo porque movemos el cuerpo en sentido al de su peso. Por el Principio de Conservación de la Energía Mecánica en un sistema aislado (pues solo actúan las fuerzas interiores al sistema), es: EM = EC +EP en cualquier parte del cuerpo E CA 

1  m  v 0 2 y la E PA  0 2

Cuando lanzamos el cuerpo hacia arriba es la Supongamos que cuando el cuerpo alcanza la posición rB – R desde la superficie terrestre, su velocidad se hace cero y comienza a caer: en ese instante se ECB = 0 y su  1 1   R rB

ECB  0 y su E PB  G  M T  m  



 ya que E PBA para E PA  0 

Es todo EPB. En ambos puntos la EM deberá ser la misma; o sea: 0

 1 1   1 1  1 2   V0  2  G  M T   m    V0  0  G  M T  m    2  R rB   R rB 

Pero como sabemos que en la superficie terrestre es g

G MT g  R2 G R2 MT

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y reemplazando:

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V0  2 

gR 2 MT

 1 1   R rB

 



 1 1   R rB

  2  g  R 2   

  

 1 1   observemos que V0 no depende de la masa m del cuerpo que se lanza V0  2  g  R 2    R r B 

Si la distancia rB al centro de la Tierra crece constantemente, llegará un momento que el cociente por lo que:

1 rB

tenderá a cero y se podrá despreciar;

V 0  2  g  R Velocidad Inicial de Escape  V

Es decir que un cuerpo lanzado con una velocidad igual o mayor que V no regresará a la Tierra; por eso se llama “Velocidad de Escape”. En números: V  2  g  R  2  980

V  11,17

cm seg

2

 6,37 x10 8 cm  111,7 x10 4

Km 3600 seg Km   40 .212 seg 1h h

V = 11,17 km/seg



cm cm  1.117 .000 seg seg

V  40.212

Km h

40212 km/h

Consecuencias: Aceleración de la gravedad Considerando la segunda ley de Newton, que explica que la aceleración que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza ejercida sobre él, estando ambas relacionadas por una constante de proporcionalidad que es precisamente la masa de dicho objeto,

e introduciéndolo en la ley de la Gravitación Universal (en su forma más simple, únicamente por simplicidad) se obtiene que la aceleración que sufre un cuerpo debido a la fuerza de la gravedad ejercida por otro de masa es igual a:

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Donde es la aceleración sufrida. Es decir, dicha aceleración es independiente de la masa que presente nuestro objeto, únicamente depende de la masa del cuerpo que ejerce la fuerza y de su distancia. Por ello, si se tienen dos cuerpos de diferente masa (por ejemplo la Luna y un satélite artificial, que únicamente tenga una masa de unos pocos kilogramos) a la misma distancia de la Tierra, la aceleración que produce ésta sobre ambos es exactamente la misma. Como esta aceleración tiene la misma dirección que la de la fuerza, es decir en la dirección que une ambos cuerpos, esto produce que si sobre ambos cuerpos no se ejerce ninguna otra fuerza externa, éstos se moverán describiendo órbitas entre sí, lo cual describe perfectamente el movimiento planetario (o del sistema Tierra—Luna), o de caída libre aproximándose un cuerpo hacia el otro, como ocurre con cualquier objeto que soltemos en el aire y que cae irremediablemente hacia el suelo, en la dirección del centro de la Tierra. Con esta ley se puede determinar la aceleración de la gravedad que produce un cuerpo cualquiera situado a una distancia dada. Por ejemplo, se deduce que la aceleración de la gravedad que nos encontramos en la superficie terrestre debido a la masa de la Tierra es de , que es la aceleración sufrida por un objeto al caer. Y que esta aceleración es prácticamente la misma en el espacio, a la distancia donde se encuentra la Estación Espacial Internacional, (es decir, es un 95% de la gravedad que tenemos en la superficie, únicamente una diferencia de un 5%), siendo necesario recordar que el hecho de que los astronautas no sientan la gravedad no es porque ésta allí sea nula, sino por su estado de ingravidez (de caída libre continua). Y la gravedad que ejerce una persona sobre otra, situada a un metro de distancia, es de en torno a (para una persona de unos 100 kg). Este es el hecho por el que no sentimos la gravedad que ejercen cuerpos poco masivos como nosotros.

Preferencia del cuerpo más masivo: Continuando con lo que se acaba de mencionar acerca de la aceleración que sufre un cuerpo como consecuencia de otro objeto masivo, el hecho de que esta aceleración únicamente FISICA I

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dependa de la masa de este cuerpo (olvidándonos de su distancia por un momento) muestra que para dos cuerpos dados de diferente masa, el cuerpo menos masivo será el que sufra una aceleración mayor, y por tanto un movimiento más pronunciado. Con esto se observa directamente una respuesta a por qué es la Tierra la que órbita en torno al Sol y no al revés, puesto que este último tiene una masa increíblemente superior a la de la Tierra (unas 330.000 veces superior), haciendo que el movimiento sufrido por el Sol como consecuencia de la Tierra sea insignificante. Y de igual modo, es la Luna (cuerpo menos masivo) la que orbita en torno a la Tierra. Interior de un cuerpo esférico Una de las consecuencias que trae que la gravedad sea una fuerza que depende como la inversa del cuadrado de la distancia es que si se tiene un cuerpo esférico, con una densidad que únicamente va variando a medida que nos alejamos del centro del cuerpo (lo cual podría ser un modelo que describe de forma bastante adecuada a la Tierra), se puede demostrar a través de la ley de Gauss que la fuerza en su interior (a una distancia del centro) únicamente depende de la masa existente dentro de la esfera de radio . Es decir, la masa que hay fuera de dicha esfera no produce ninguna fuerza sobre un cuerpo situado en dicho punto. Por ello, dentro del cuerpo la fuerza ya no depende de la inversa cuadrado (puesto que ahora la masa a considerar depende también de dicha distancia) y resulta que es proporcional a dicha distancia. Esto es, en el interior del cuerpo la fuerza de la gravedad va creciendo conforme nos alejamos del centro del cuerpo (en donde ésta es nula) hasta llegar a la superficie, donde se hace máxima. A partir de aquí se observa el comportamiento habitual de decrecimiento conforme nos alejamos del cuerpo. Todo esto se puede ver en mayor profundidad en la entrada de la intensidad del campo gravitatorio. Interior de una corteza hueca Y por extensión de lo que se acaba de mencionar, en el caso en que se tuviese un cuerpo esférico pero hueco por dentro (es decir que únicamente sería unas cáscara esférica), en cualquier punto externo a él sigue produciendo una fuerza de la gravedad de acuerdo con la ecuación (1), es decir como si FISICA I

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dicho cuerpo fuese puntual. Sin embargo, al adentrarnos dentro del mismo, observaríamos cómo no hay fuerza de la gravedad, puesto que en su interior ya no hay masa. Movimiento de los planetas Como se ha mencionado en el apartado histórico, esta ley permite recuperar y explicar la Tercera Ley de Kepler, que muestra de acuerdo a las observaciones que los planetas que se encuentran más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste. Además de esto, con dicha ley y usando las leyes de Newton se describe perfectamente tanto el movimiento planetario del Sistema Solar como el movimiento de los satélites (lunas) o sondas enviadas desde la Tierra. Por ello, esta ley estuvo considerada como una ley fundamental por más de 200 años, y aún hoy sigue estando vigente para la mayoría de los cálculos necesarios que atañen a la gravedad. Uno de los hechos que muestran su precisión es que al analizar las órbitas de los planetas conocidos en torno a 1800 (en donde quedaban por descubrir Neptuno y Plutón), se observaban irregularidades en torno a la órbita de Urano principalmente, y de Saturno y Júpiter en menor medida, respecto a lo que predecía la ley de Newton (junto con las leyes de Kepler). Por esta razón, algunos astrónomos supusieron que dichas irregularidades eran debidas a la existencia de otro planeta más externo, alejado, que todavía no había sido descubierto. Así, tanto Adams como Le Verrier (de forma independiente) calcularon matemáticamente dónde debería encontrarse dicho planeta desconocido para poder explicar dichas irregularidades. Neptuno fue descubierto al poco tiempo por el astrónomo Galle, el 23 de septiembre de 1846, siguiendo sus indicaciones y encontrándolo a menos de un grado de distancia de la posición predicha. Corrección del peso por la fuerza centrífuga en la Tierra Cuando un cuerpo describe un movimiento circular su velocidad va cambiando constantemente de dirección, motivo por el cual se dice que tiene una aceleración al no ser constante la velocidad, aunque la magnitud de la velocidad no cambie. La aceleración que sufre el cuerpo se debe a una fuerza que actúa en forma constante, a lo largo de un radio, hacia el centro del círculo, dicha fuerza recibe el nombre de fuerza centrípeta. Si esta fuerza deja de actuar, el cuerpo FISICA I

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seguiría en línea recta, lo cual equivaldría a salir disparado en forma tangencial a la curva de su trayectoria, siguiendo un movimiento rectilíneo uniforme. Si se pone a girar una piedra atada a un cordel, este ejerce una fuerza centrípeta constante para jalar a la piedra acelerándola hacia el centro del círculo. La piedra ejerce sobre el cordel una fuerza centrífuga que la impulsa hacia afuera, originando una tensión en el cordel que aumentará a medida que

sea mayor la velocidad con que gira la piedra. Para calcular el valor de la fuerza centrípeta se usa la ecuación: Dónde: , Fuerza centrípeta (usualmente en [N]). la masa del cuerpo que gira (usualmente en [kg]). , velocidad lineal del cuerpo (usualmente en [m/s]). , radio de la circunferencia (usualmente en [m]). La fuerza centrífuga, es una fuerza ficticia percibida por un observador sobre la tierra es igual en módulo y de sentido opuesto a la aceleración centrípeta de la superficie de la tierra, por lo que un observador situado sobre el ecuador terrestre percibirá una mayor fuerza centrípeta que en elos polos. Esto se debe a que en un punto del ecuador se mueve más rápido que uno próximo a los polos. Por tanto, cuando la Tierra da una vuelta alrededor de su eje, el punto sobre el ecuador habrá recorrido aproximadamente 40 000 km, que es el valor de la longitud de la circunferencia en el ecuador, mientras que el punto próximo a uno de los polos recorrería aproximadamente 1000 km. Debido a ello, la velocidad lineal de un punto sobre el ecuador será mayor que la de un punto cerca de los polos y consecuentemente será mayor también su fuerza centrífuga. Como el efecto de la fuerza centrífuga es un distanciamiento respeco al eje de giro, la fuerza centrífuga percibida por un observador sobre la tierra equivale a que este vea que dichos cuerpos se alejan del eje de giro, reduciendo el efecto de la fuerza de gravedad de acuerdo con las medidas de dicho observador. Por esa razón, al medir el peso efectivo de un cuerpo un observador situado cerca del ecuador medirá un menor peso que uno situado cerca de los polos, toda vez que la aceleración centrífuga medida es

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menor en los polos, además de encontrarse más cerca del centro de la Tierra debido al achatamiento de sus polos.

Conclusión Para finalizar cabe destacar la vital importancia que posee saber todos estos temas para poder así comprender aún más como se encuentra compuesto nuestro universo, ya que logra responder preguntas como ¿cómo se mueven los planetas?, ¿cuáles son sus velocidades?, ¿porque se forman los eclipses?, etc. Muchos de los temas puestos y explicados han sido investigados por muchos siglos por científicos como Kepler, Newton, Copérnico, Ptolomeo entre otros. Y que gracias a estos grades avances es posible calcular datos de otros planetas con fórmulas propuestas por estos científicos. Es por eso que a nosotros nos ha ayudado a comprender un poco más nuestro universo descubriendo fórmulas como las expresadas por Kepler en sus leyes, o la ley de newton como la Ley de gravitación universal, Datos que sin duda han sido bien utilizados por el hombre en los cuatro siglos que han pasado desde que fueron formulados, permitiendo que existan progresos enormes en materia espacial, ya sea poniendo en órbita objetos ( Satélites ) con fines cívico-militares o bien realizando investigaciones en el espacio. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación lograba de un solo golpe:   

Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Resolver el intrincado problema del origen de las mareas Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso.

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