• Author / Uploaded
• Alfredo Junior

Citation preview

5) Neptuno y la tierra describen orbitas en torno al sol, siendo el radio de la primera 30 veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su orbita? Solución: Aplicando la tercera ley de Kepler: (𝑇1 )2 (𝑇2 )2 = (𝑅1 )3 (𝑅2 )3 (1 𝑎ñ𝑜)2 (𝑇2 )2 = (𝑅1 )3 (30𝑅1 )3 (1 𝑎ñ𝑜)2 (𝑇2 )2 = (𝑅1 )3 (30𝑅1 )3 𝑇2 2 = 27000 𝑇2 = 164.32 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 6) ---------------------

7)

8)

9)

10) De acuerdo con la tercera ley de Kepler, ¿para cual de estos tres planetas hay algún error en los datos? Radio orbital (m)

Periodo (s)

Venus

1.08x1011

1.94x107

Tierra

1.49x1011

3.96x107

Martes

2.28x1011

5.94x107

Solución: (𝑇1 )2 (𝑇2 )2 = (𝑅1 )3 (𝑅2 )3 Venus (𝑇)2 (1.94x107 )2 3.76x1014 = = = 2.98x10−14 (𝑅)3 (1.08x1011 )3 1.26x1033 Tierra (𝑇)2 (3.96x107 )2 11.49x1014 = = = 5.18x10−14 (𝑅)3 (1.49x1011 )3 2.22x1033 Marte (𝑇)2 (5.94x107 )2 35.28x1014 = = = 2.98x10−14 (𝑅)3 (2.28x1011 )3 11.85x1033 Rpta: Hay error en los datos de la tierra 11)

12) Un satélite de 300 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al radio terrestre Calcular a) la rapidez orbital del satélite, b) su período de revolución, c) la fuerza gravitacional sobre el satélite, d) comparar su peso en la órbita con su peso en la superficie de la Tierra.

Solución:

a) El satélite de masa 𝑚𝑆 , se mantiene en órbita por la acción de la fuerza gravitacional, que actúa como fuerza centrípeta, es decir 𝐹𝐺 = 𝐹𝐶 , entonces se igualan las expresiones de ambas fuerzas: 𝐹𝑐 = 𝑚𝑆 𝐹𝐺 = 𝐺

𝑣2 𝑟

𝑀𝑇 𝑚𝑆 𝑟2

Como 𝑟 = 2𝑅𝑇 , reemplazando 𝐹𝐺 = 𝐹𝐶 →

𝐺𝑀𝑚 𝑣2 𝐺𝑀𝑇 = 𝑚 → 𝑣2 = 2 2𝑅𝑇 2𝑅𝑇 4𝑅𝑇

Datos: 𝐺 = 6.67 × 10−11

𝑣=√

𝑁𝑚2 , 𝐾𝑔2

𝑀𝑇 = 6 × 1024 𝐾𝑔,

𝑅𝑇 = 6.37 × 106 𝑚

(6.7 × 10−11 ) 𝑁𝑚2⁄𝑘𝑔2 × (6 × 1024 )𝑘𝑔 = 5600 𝑚⁄𝑠 2 × 6.37 × 106 𝑚

b) El satélite completa una vuelta en torno a la Tierra a la altura de 2 𝑅𝑇 moviéndose con la rapidez anterior, entonces: 𝑣= ∆𝑡 =

∆𝑥 2𝜋𝑟 2𝜋𝑟 2𝜋(2𝑅𝑇 ) = → ∆𝑡 = = ∆𝑡 ∆𝑡 𝑣 𝑣

4𝜋 × 6.37 × 106 𝑚 = 14294𝑠 → ∆𝑡 = 3.97 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 5600 𝑚⁄𝑠

c) La fuerza gravitacional en la órbita corresponde al peso del satélite en ese lugar, se calcula como sigue: 𝐹=

(6.7 × 10−11 ) 𝑁𝑚2⁄𝑘𝑔2 × (6 × 1024 )𝑘𝑔 × 300𝑘𝑔 (2 × 6.37 × 106 𝑚)2 𝐹 = 740𝑁

d) Para hacer esta comparación, calculamos su peso en tierra. 𝑃 = 𝑚𝑔 = 300 × 9.8 = 2940𝑁 𝑃𝑧=0 2940 = → 𝑃𝑧=2𝑅 = 0.25𝑃𝑧=0 𝑃𝑧=2𝑅 740 13) Un satélite meteorológico de 100 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 9630 km. Calcular: a) su rapidez tangencial en la órbita, b) el trabajo necesario para ponerlo en esa órbita. R: a) 5000 m/s, b) 3.75x109 J. Se parece mucho a este ejercicio

14) Un satélite de 300 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 3 radios terrestres. Calcular: a) su rapidez tangencial, b) el trabajo para ponerlo en órbita, c) la aceleración de gravedad a la altura del satélite. R: a) 3963 m/s, b) 1.4x1010 J, c) 0.61 m/s2 . 15) La Tierra tarda un año en describir su órbita en torno al Sol. Esta órbita es, aproximadamente, circular, con radio R = 1.49x1011m. Calcula la masa del Sol.

16) Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al sol es de 6.99 × 1011 𝑚 y su velocidad orbital 3.88 × 104 𝑚/𝑠, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4.60 × 1010 𝑚 1. Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio. 2. Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. 3. Calcule el módulo de su momento lineal y su momento angular en el perihelio. 4. De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en el afelio. Datos: 

Masa de mercurio:



Masa del Sol



Cte. de Gravitación Universal

, , .

Solución Apartado 1. En primer lugar debemos hacernos un esquema de la situación dinámica del planeta. Sobre él se ejerce solamente una fuerza, la fuerza gravitatoria que actúa, además, como fuerza centrípeta, por tanto, y al ser ésta una fuerza central podemos aplicar el Principio de Conservación del momento angular

Por tanto, y desarrollando

De donde concluimos que

Apartado 2. Sean y Entonces

las energías cinética y potencial respectivamente y

la energía mecánica.

Apartado 3. El módulo del momento lineal

El módulo del momento angular

referido al perihelio es

en la misma posición es

Apartado 4. Son constantes, únicamente, el momento angular y la energía mecánica. 17) 18) 19) 20) En los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de altura, se encuentran tres masas puntuales de 200,400 y 200 kg, respectivamente. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en el baricentro del triángulo.

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)