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• Ramiro Molina

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Facultad de Ciencias Químicas Bioquímica Y Farmacia

Trabajo de Investigación Nº2 TEMA: GRAVITACION

UNIVERSAL

1. LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL 

Historia: Según el mito de la gravitación universal, se dice que ocurrió cuando la Universidad de Cambridge fue cerrada en el año de 1665. Esta Universidad fue cerrada a causa de la peste negra. Newton, al igual que todos los demás estudiantes, fue enviado a casa. De camino, Newton se sentó en la sombra de un manzano en profunda meditación, vio caer una manzana y la noción de la gravitación universal llegó a su mente. Este mito tuvo su origen en una biografía de Newton que escribió un amigo suyo, William Stukeley, en la cual nos cuenta que un día se encontraban ambos tomando el té a la sombra de unos manzanos; ahí Newton recordó la experiencia que, en su juventud, lo llevó a descubrir la gravitación universal. Para este mito también contribuyeron Pemberton, Whiston y Voltaire. (Bravo, 1995)



Fórmula : Fg =



𝐺𝑚1

𝑚2 𝑟2

Gráfico: En la Ilustración 1, se dibuja la fuerza F que la masa M realiza sobre la masa m, situada a una distancia r de M. Naturalmente, por la ley de acción y reacción, sobre M actuará una fuerza igual y contraria a F. (Fernández, 2010)

Ilustración 1: "Ley de la gravitación Universal"

1.1 Aceleración debido a la gravedad en la superficie de un planeta 

Deducción: 𝑚𝑎𝑔 = 𝑎𝑔 = 𝑎𝑔𝐸 = 𝑔 =

𝑎𝑔 =

𝐺𝑚𝑀 𝑟2 𝐺𝑀 𝑟2

𝐺𝑀𝐸 𝑅𝐸2

𝐺𝑀𝐸 (𝑅𝐸 + ℎ)2

1.2 Aceleración debido a la gravedad en la superficie terrestre 

Fórmula : 𝑎𝑔 =



𝐺𝑀𝐸 (𝑅𝐸 + ℎ)2

Valores de radio de la tierra: -

Radio polar: 6357 kilómetros

-

Radio ecuatorial: 6378 kilómetros

-

Radio medio: 6371 kilómetros



Masa: ME = 6,0 x 1024 Kg.



Volumen: V = 1,08321×1012 km³



Densidad terrestre: ρ = 5,515 g/cm³



Gráfico:

Ilustración 2: "Masas esféricas uniformes"

1.3 Energía potencial gravitacional 

Consideraciones: -

La disminución de la gravedad con la altura tiene que ver con la energía potencial.

-

La fórmula U= mgh se utiliza para un objeto situado a una altura h, sobre algún punto de referencia 0, ya que g es constante cerca de la superficie terrestre.

-

Si el cambio de altura es tan grande que g no puede considerarse constante, la ecuación U= mgh no es válida.

-

El signo menos de la ecuación de energía de potencial gravitacional 𝑈= −

𝐺𝑚1 𝑚2 𝑟

, se debe a la elección del punto de referencia 0. (Miranda,

2014)



Fórmula: 𝑈 = −

𝐺𝑚1 𝑚2 𝑟



Gráfica del pozo de Energía potencial gravitacional:

Ilustración 3: ""Pozo de energía potencial gravitacional"

1.4 Ejemplo N°1 “Ley de la gravitación Universal”  Determina la aceleración en la superficie de la Luna sabiendo que su radio es 0.27 veces el radio de la Tierra y que la masa de esta es 81.23 veces la de la Luna. Ten presente que la aceleración para los cuerpos en la superficie de la Tierra, fruto de la gravedad, es de 9.8 m/s2 Datos    

Aceleración en la superficie de la Tierra: g = aT = 9.8 m/s2 Aceleración en la superficie de la Luna: aL Relación entre radio de la Tierra y el de la Luna: RL = 0.27·RT Relación entre la masa de la Tierra y la de la Luna: MT = 81.23·ML => ML = 0.0123·MT

Resolución Podemos relacionar la expresión de la fuerza de la gravedad experimentada por un cuerpo cualquiera de masa m en la superficie de la Tierra con la aceleración que adquiere, a través del principio fundamental, quedando: 𝐹𝑔𝑇 = 𝐺.

𝑀𝑇 . 𝑚 = 𝑚. 𝑎𝑇 𝑅𝑇2

Para el caso de la Luna podemos escribir, de manera similar y sustituyendo con las relaciones que tenemos entre la Luna y la Tierra:

𝐹𝑔𝐿 = 𝐺.

𝑀𝐿 . 𝑚 0,0123. 𝑀𝑇 𝑀𝑇 𝑚 = 𝑚. 𝑎𝐿 → 𝑎𝐿 = 𝐺. = 0,168. 𝐺. = 1,65 2 2 𝑅𝐿2 (0,27. 𝑅𝑇 ) 𝑅𝑇2 𝑠 aT=9,8

2. CAMPO GRAVITATORIO O INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO 2.1 Concepto El campo gravitatorio es el campo que representa la gravedad, si en una determinada región del espacio hay una masa M, el espacio que la rodea, adquiere nuevas características, esto se comprueba si se acerca otra masa m y se produce otra interacción, por ende se denomina campo gravitatorio a la situación física que produce M. (Alonso, CAMPO GRAVITATORIO, 2010)

2.2 Fórmula El campo gravitatorio que produce un cuerpo en un punto cualquiera será igual al cociente entre la fuerza de atracción gravitatoria que dicho cuerpo ejerce sobre una masa testigo o masa de prueba colocada ahí y el valor de dicha masa de prueba. (Alonso, CAMPO GRAVITATORIO, 2010)

|𝐹𝑔| =

𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟2

Ecuación 1: Formula de la intensidad del campo gravitatorio

2.3 Grafica

Ilustración 4: Campo Gravitatorio

Ilustración 5: Campo Gravitatorio en una Masa M

2.4 Unidades

|Fg| Intensidad del campo gravitatorio M = masa del cuerpo celeste que produce el campo m = masa del cuerpo de prueba r = es la distancia medida entre dos objetos (medida de centro a centro)

G = constante de gravitación universal

MAGNITUD Campo Gravitatorio (Fg) o (g)

UNIDAD Newton kilogramo (N.Kg)

Masa (M)

Kilogramo (Kg)

Masa (m)

Kilogramo (Kg)

Radio (r)

Metro (m)

Constante de gravitación universal (G) = 6.674x10-

Newton metro cuadrado por kilogramo al cuadrado (N.m2/Kg2)

11

Tabla 1: Tabla de unidades

2.5 Ejemplo N°2 “Intensidad de Campo Gravitatorio”  Determina la intensidad del campo gravitatorio a 3 metros de una masa puntual de 2 kg. ¿Cuál sería la fuerza gravitatoria que aparecería sobre una masa de 10kg que se situase sobre dicho punto? ¿Y si la masa fuese de 5 kg? Datos  

Distancia a la que calculamos el campo r = 3 m Masa creadora de campo m = 2 kg

Resolución En primer lugar, vamos a calcular el campo gravitatorio en el punto pedido a partir de la expresión del campo gravitatorio que generan las masas puntuales: 𝑔⃗ = −𝐺.

𝑚 2 𝑁 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 = −6,67𝑥10−11 . 2 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 = −1,48𝑥10−11 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 2 𝑟 3 𝐾𝑔

Ahora ya estamos en disposición de calcular la fuerza que aparecería sobre una masa de 10 kg: ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑔 = 𝑔⃗. 𝑚 = −10𝑥10(1,48𝑥10−11 )𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑟 = −1,48𝑥10−10 . ⃗⃗⃗⃗⃗𝑁 𝑢𝑟 y también sobre una masa de 5kg ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑔 = 𝑔⃗. 𝑚 = −5(1,48𝑥10−11 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 = −7,41𝑥10−11 . ⃗⃗⃗⃗⃗𝑁 𝑢𝑟 Finalmente, observa que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 sería el vector unitario que marca la dirección de la fuerza gravitatoria y sentido contrario.

3. POTENCIAL GRAVITATORIO 3.1 Definición El potencial gravitatorio en un punto se define como como la energía potencial que la unidad de masa m´ adquiere al ser colocada sobre dicho punto, por otra parte el potencial gravitatorio es una magnitud escalar, su valor depende de la masa del cuerpo que lo produce y de la distancia del punto considerado a dicho cuerpo. (Lab, 2014) 3.2 Fórmula

𝑉𝑔 =

𝐸𝑝 𝑚´

Ecuación 2: Formula del potencial gravitatorio

3.3 Grafica

Ilustración 6: Potencial Gravitatorio creado por una masa puntual

3.4 Unidades MAGNITUD Ep = es la energía potencial gravitatoria que adquiere una partícula testigo m´ al situarla en ese punto Vg = es el potencial gravitatorio en un punto del campo gravitatorio m´ = masa testigo

UNIDAD

Energía gravitatoria (Ep)

potencial

Joule

Potencial gravitatorio (Vg)

Joule por kilogramo (J/Kg)

Masa

Kilogramo

Tabla 2: Tabla de unidades

3.5 Ejemplo N°3 “Potencial Gravitatorio”  Determina la masa que debe tener un cuerpo puntual para que su campo gravitatorio asociado tenga un potencial de -7 J/kg a 30 metros del mismo. Datos  

Distancia considerada: r = 30 m Potencial buscado: V = -7 J/kg

Resolución Todo cuerpo, por el simple hecho de tener masa produce un campo gravitatorio a su alrededor. Podemos determinar el potencial gravitatorio asociado a una determinada distancia r del propio cuerpo a través de la expresión: 𝑉 = −𝐺.

𝑚 𝑟

De donde podemos despejar la masa y sustituir los datos proporcionados, quedando: 𝑉 = −𝐺.

𝑚 −𝑟. 𝑉 −30(−7) →𝑚= = = 31,48𝑋1011 𝐾𝑔 𝑟 𝐺 6,67𝑋10−11

4. LEYES DE KEPLER Conocido como el iniciador de la astronomía moderna Johannes Kepler, astrónomo alemán. Formuló leyes sobre el movimiento de los cuerpos celestes. En 1600 un joven Kepler trabajó como ayudante de Tycho Brahe, quién tenía estudios astronómicos sobre la posición de los planetas en el cielo. Con la muerte de Brahe, y a partir de los datos registrados, Kepler intentó obtener la órbita circular de Marte. Sin embargo ningún círculo se ajustaba a las medidas de Tycho. En lugar de círculos, Kepler encontró que utilizando elipses el ajuste con las observaciones era perfecto. Así surgieron las leyes de Kepler. 4.1 PRIMERA LEY DE KEPLER O LEY DE LAS ORBITAS “Las órbitas de los planetas son elipses que presentan una pequeña excentricidad y en donde el Sol se localiza en uno de sus focos.” Esta ley da punto final ala idea de Copérnico en la cual las órbitas debían ser circulares. Hay que tener en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas. 4.1.1. Conceptos Perihelio. Es el punto de la órbita del planeta más próximo al Sol. La velocidad en las proximidades del perihelio es la máxima. Fórmula: a . (1 - e) Afelio. Es el punto de la órbita del planeta más lejano al Sol. La velocidad en las proximidades del afelio es la mínima. Fórmula: a . (1 + e)

4.1.2. Gráfico

Ilustración 7: Elipse

Una elipse es básicamente un círculo ligeramente aplastado. Técnicamente se denomina elipse a una curva plana y cerrada en donde la suma de la distancia a los focos (puntos fijos, F1 y F2) desde uno cualquiera de los puntos M que la forman es constante e igual a la longitud del eje mayor de la elipse (segmento AB). El eje menor de la elipse es el segmento CD, es perpendicular al segmento AB y corta a este por el medio. (Charola, 1959) 4.1.3. Deducción de fórmula con sus valores. 4.1.3.1 Lema 2.1 Los planetas se mueven en un plano. Sea m la masa de un planeta, y M la masa del Sol. Se debe tomar en cuenta que los planetas cumplen la segunda ley de Newton, y que la fuerza gravitatoria que ejerce el Sol al planeta es la única que hay sobre este. Entonces, la velocidad del planeta se obtiene derivando el vector de posición r = r(t), y a su vez, la aceleración es la derivada de la velocidad.

𝑣(𝑡) =

𝑑𝒓 𝑑𝑡

Las leyes de Newton y de Kepler no aplican para Mercurio.

𝑎(𝑡) =

𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Luego, por la ley de la gravitación universal:

𝐹⃗ = −𝐺

𝑚𝑀 𝑟 𝑟2

Igualando, y como la masa de un planeta (m) siempre es mayor que cero podemos dividir por m la igualdad. 𝑎 = −𝐺

𝑚 𝑟 𝑟2

Ahora considerando el momento angular L del planeta, si 𝑝⃗ es el momento lineal dado por mv, se tiene que: 𝐿⃗⃗ = 𝑟 × 𝑣 𝐿⃗⃗ = 𝑟 × 𝑚𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐿⃗⃗ = 𝑚𝑟 × 𝑣⃗ Calculando la derivada de 𝐿⃗⃗: 𝑑𝐿 𝑑𝑚(𝑟 × 𝑣) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐿 𝑑𝑟 𝑑𝑣 = 𝑚( ×𝑣 +𝑟 × ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐿 = 𝑚(𝑣 × 𝑣 + 𝑟 × 𝑎) 𝑑𝑡 4.1.3.2 Teorema 2.1. Los planetas se mueven en órbitas olímpicas. Multiplicando por r a la ecuación de las coordenadas polares: 2𝑟𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟 2 𝜃̈ = 0 Sustituyendo la velocidad en el momento angular: 𝐿⃗⃗ = 𝑚𝑟 2 𝜃̇ 𝑘 donde k es un vector unitario, ortogonal a rˆ y θ. Entonces: 𝐿⃗⃗ = 𝑚𝜆 Sin pérdida de generalidad podemos suponer que λ > 0, orientando los ejes de tal manera que el sentido de la trayectoria del planeta sea positiva. 1

Sea 𝑢 = 𝑟, entonces por la regla de la cadena: 𝑟̇ =

𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝜃 1 𝑑𝑢 𝜆 𝑑𝑢 = =− 2 =− 𝜆 2 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑢 𝑑𝜃 𝑟 𝑑𝜃

Derivando nuevamente: 𝑑2 𝑟 𝑑 𝑑𝑢 𝑑𝜃 𝑑2 𝑢 𝑑2 𝑢 2 = −𝜆 ( ) = −𝜆 = −𝜆 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝜃 2 𝑑𝜃 2 De lo anterior, se puede escribir el lado izquierdo de la ecuación como: A su vez, el lado izquierdo de la ecuaci ó n (6) es: 𝑟̈ − 𝑟𝜃 2̇ =

𝑑2 𝑟 𝑑𝜃 2 𝑑2 𝑢 𝜆 2 𝑑2 𝑢 2 2 3 2 2 2 − 𝑟 ( ) = −𝜆 𝑢 − 𝑟 ( ) = −𝑢 𝜆 − 𝜆 𝑢 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝜃 2 𝑟2 𝑑𝜃 2

A su vez, el lado izquierdo de la ecuación es: −𝐺

𝑀 = 𝐺𝑀𝑢2 𝑟2

Por lo tanto, la ecuación se puede plantear como: 𝑢+

𝑑2 𝑢 𝐺𝑀 = 2 𝑑𝜃 2 𝜆

Entonces la ecuación es una ecuación diferencial, cuya solución es: 𝑢 = 𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) +

𝐺𝑀 𝜆2

Basta con sustituir las dos ultimas ecuaciones para comprobarlo: 𝐺𝑀 2 𝐺𝑀 𝑑 (𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) + 𝜆2 ) 𝐺𝑀 𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) + 2 + = 2 𝜆 𝑑𝜃 2 𝜆 𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) +

𝑑2 (𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) + 𝑑𝜃 2

𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) −

𝐺𝑀 ) 𝜆2 = 0

𝑑2 (𝛼 sin(𝜃 − 𝜃0 )) =0 𝑑𝜃

𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) − 𝛼 cos(𝜃 − 𝜃0 ) = 0 Retomando la ecuación antes de sustituirla, dado que α y θ0 son constantes, podemos tomar la segunda en el afelio de tal manera que θ0 = 0. 𝑢 = 𝛼 cos(𝜃) +

𝐺𝑀 𝜆2

𝜆2 𝜆2 𝐺𝑀 𝑟(𝜃) = = = 𝐺𝑀 𝜆2 𝛼 cos(𝜃) + 𝐺𝑀 𝜆2 𝛼 cos(𝜃) 𝛼 cos(𝜃) + 2 +1 𝜆 𝐺𝑀 1

𝑟(𝜃) =

𝑒𝑑 1 + 𝑒 cos(𝜃)

Donde: 𝑒=

𝜆2 𝛼 𝐺𝑀

𝑑=

1 𝛼

4.1.4 Ejemplo de aplicación El cometa Halley describe una órbita elíptica alrededor del sol. Su afelio se encuentra a 5,26 x 109 km del Sol y su perihelio a 8,75 x 107 km. ¿Cuánto vale el semieje mayor de la órbita?

De acuerdo con la imagen 7, 𝑟1 + 𝑟2 + 2 Sustituyendo: 𝑎 = (5,26 × 109 + 8,75 × 107 ) = 2,67 × 109 𝑘𝑚

4.2 SEGUNDA LEY DE KEPLER O LEY DE LAS AREAS “Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas” La segunda ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio; la velocidad del astro sería constante si la órbita fuera un círculo perfecto.

4.2.1. Gráfico.

Ilustración 8: Grafica del tiempo que le toma recorrer al planeta del punto A al punto B

En el gráfico superior: el tiempo que le toma al planeta recorrer del punto A al punto B de su órbita es igual al tiempo que le toma para ir del punto C al D, por tanto, las áreas marcadas OAB y OCD son iguales. Para que esto suceda, el planeta debe desplazarse más rápidamente en las cercanías del Sol (en el foco de la elipse, punto O del gráfico). (Charola, 1959). 4.2.2. Deducción de fórmula con sus valores El área barrida desde 0 hasta θ generada por 𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑ 𝑒𝑠: 1 𝜃 𝐴(θ) = ∫ 𝑟 2 (𝜙)𝑑𝜙 2 0 Por el teorema fundamental del cálculo: 𝑑𝐴 𝑟 2 (𝜃) = 𝑑𝜃 2 Por la regla de la cadena, se tiene que: 𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑑𝜃 𝑟 2 (𝜃) 𝑑𝜃 = = =𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 De nuevo, por el teorema fundamental del calculo: 𝑑𝐴 = 𝑘𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 𝐴 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝐴(𝑡) = 𝑘𝑡 + 𝐶 𝐴(0) = 𝐶 = 0 𝐴 = 𝑘𝑡∎

4.2.3 Ejemplo de aplicación Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de radio. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslación de la Tierra, se cumple que: 𝐹 = 𝑚 𝑇 ∙ 𝑎𝑁

𝐺∙

𝑚𝑆 ∙ 𝑚 𝑇 𝑣2 = 𝑚 ∙ 𝑇 𝑟2 𝑟 𝐺∙

𝑚𝑆 = 𝑣2 𝑟

Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relación con el periodo de traslación, se tiene:

𝐺∙

𝑚𝑆 4 ∙ 𝜋 2 ∙ 𝑟 2 = 𝑟 𝑇2

𝑚𝑆 =

4 ∙ 𝜋2 𝑟 3 ∙ 𝐺 𝑇2

El período es (tomando el año como 365,25 días): T = 3,156 · 107 s Sustituyendo: 3

𝑚𝑆 =

(150∙109 ) 4∙𝜋2 ∙ (3,156∙107 )2 −11 6,67∙10

= 2,01 ∙ 1030 𝑘𝑚

4.3 TERCERA LEY DE KEPLER O LEY DE LA PERIODOS “El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al sol.” Esta ley permitió deducir que mientras mas lejos estén los planetas al sol, orbitan a menor velocidad que los cercanos; también afirma que el período de revolución depende de la distancia al Sol. Esto es válido siempre y cuando la masa de cada planeta sea despreciable en comparación a la masa del Sol.

4.3.1. Gráfico.

Ilustración 9: Órbita de Marte

La órbita de Marte es una elipse, por tanto el cálculo nos da el semieje de la órbita (ver gráfico de ejemplo, excentricidad exagerada para mayor claridad). (Charola, 1959) Para calcular el perihelio y el afelio debe introducirse la excentricidad en la ecuación: 

Perihelio = a(1 - e)



Afelio = a(1 + e)

Donde a es el resultado de nuestro cálculo anterior (semieje), y e representa la excentricidad orbital del planeta, 0.093 en el caso de Marte. 4.3.2. Deducción de fórmula con sus valores. Supondremos que el movimiento planetario se realiza en sentido positivo, por lo tanto, por las propiedades de las funciones no crecientes: 𝑑𝜃 >0 𝑑𝑡 𝑑𝐴 >0 𝑑𝑡

Se tiene que: 𝑑𝐴 𝑑𝜃 𝑑𝐴 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝐴 𝜆 𝐿 = = 𝑑𝑡 2 2𝑚

Por el teorema fundamental del cálculo, integrando respecto al tiempo T, que se requiere para dar una vuelta completa a la órbita. ∫ 𝑑𝐴 = ∫

𝐴=

𝐿 𝑑𝑇 2𝑚

𝐿 𝑇 2𝑚

Además, si a es el semieje mayor y b el semieje menor de la elipse, entonces: 𝜋𝑎𝑏 =

𝐿 𝑇 2𝑚

Y además: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑒2 =

𝑐2 𝑎2

𝑎2 𝑒 2 = 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑎2 𝑒 2 𝑏 = 𝑎√1 − 𝑒 2 Y sustituyendo b en la ecuación anterior: 𝜋𝑎2 √1 − 𝑒 2 =

𝐿 𝑇 2𝑚

De la gráfica anterior, haciendo θ = 0 y sustituyendo en la ecuación final de la primera ley : 𝑒𝑑

𝑎 − 𝑐 = 1−𝑒

y

Se suman las dos y se simplifican: 𝑎=

𝑒𝑑 1 − 𝑒2

De la primera ley se tiene que: 𝑒𝑑 =

𝜆2 𝐿2 = 𝐺𝑀 𝐺𝑀𝑚2

Y de la sustituida en b:

𝑇=

𝑒𝑑

𝑎 + 𝑐 = 1−𝑒

4𝑚𝜋𝑎2 √1 − 𝑒 2 𝐿

Elevando al cuadrado T y sustituyendo las dos ecuaciones anterioes obtenemos: 𝑇2 =

4𝜋 2 𝑎4 (1 − 𝑒 2 ) 𝑒𝑑𝐺𝑀

Y con 1 − 𝑒 2 en la última. 𝑇2 = (

4𝜋 2 3 )𝑎 ∎ 𝐺𝑀

4.3.3 Ejercicios de aplicación Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una ´orbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es r1 = 108 km y la más alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura. ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta 2?

Para un objeto que recorre una órbita elíptica su distancia media al astro central coincide con el valor del semieje mayor de la elipse. De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es:

𝑟=

𝑟1 + 𝑟2 108 + 1,8 ∙ 108 = = 1,4 ∙ 108 𝑘𝑚 2 2

Aplicando la tercera ley de Kepler: 𝑇12 𝑇12 = 𝑟13 𝑟 3

Y sustituyendo: 22 𝑇22 = (108 )3 (1,4 ∙ 108 )3 Despejando el periodo de rotación del planeta 2 es: T2 = 3,3 años. 5. VELOCIDAD DE ESCAPE 5.1 CONCEPTO Se define como velocidad de escape de cualquier objeto en relación a un cuerpo celeste (un planeta) de radio R, a la velocidad que se necesita para lanzar el objeto sin que este regrese al planeta. (Alonso, VELOCIDAD DE ESCAPE, 2007) 5.2 Deducción de fórmulas con sus valores 5.2.1

Deducción de la fórmula de velocidad de escape a partir de su definición

∆𝐸𝐶 = 0 −

𝑚𝑣 ∗2 2

Ecuación 3: Formula de la Energía Cinética

∆𝐸𝑝𝑔 = 0 − [−

𝐺𝑀𝑚 ] 𝑅

Ecuación 4: Formula de la energía potencial gravitacional

𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0 (No hay fuerzas externas) Ecuación 5: Trabajo cuando no actúan fuerzas externas

La variación de energía total ha de ser igual al trabajo exterior: 𝐺𝑀𝑚 𝑚𝑣 ∗2 − =0 𝑅 2 2𝐺𝑀 𝑣∗ = √ 𝑅 Ecuación 6: Formula de la velocidad de escape

5.3 Unidades SÍMBOLO

MAGNITUD

UNIDAD

Ec

Energía cinética

Joule (J)

Energía potencial Epg

Joule (J) gravitacional

W

Trabajo

Joule (J)

v

Velocidad

Metro por segundo (m/s)

Tabla 3: Tabla de unidades

5.4 Ejemplo N°7 “Velocidad de Escape”  Determina la velocidad de escape de un punto situado a 40000 km de altura respecto a la Tierra. Datos   

Altura sobre la Tierra desde la que se quiere lanzar el cuerpo: h = 40000 km = 4·107 m Radio de la Tierra: RT = 6371 km = 6371·103 m Masa de la Tierra: MT = 5.97·1024 kg

Resolución En primer lugar, es importante saber a qué distancia de la Tierra se encuentra el cuerpo. 𝑅 = 𝑅𝑇 + ℎ Para determinar la velocidad de escape partimos del hecho de que la energía mecánica se conserva, ya que el cuerpo está únicamente sometido a la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa). Además, consideraremos que el cuerpo escapa del campo en el infinito, a donde llega con energía cinética igual a cero, es decir, sin velocidad. Por tanto: 1 𝐸𝑚∞ = 𝐸𝑚𝑅𝑇 +ℎ → 𝐸𝑐∞ + 𝐸𝑝∞ = 𝐸𝑐𝑅𝑇 +ℎ + 𝐸𝑝𝑅𝑇 +ℎ → 𝐸𝑐𝑅𝑇 +ℎ = −𝐸𝑝𝑅𝑇 +ℎ → 𝑚. 𝑣𝑒 2 2 𝐺.

𝑀𝑇 𝑚 2𝐺𝑀𝑇 2(6,67𝑋10−11 )5,97𝑋1024 → 𝑣𝑒 = √ =√ = 4,14𝑥103 𝑚⁄𝑠 (6371 + 40000)𝑥103 𝑅𝑇 + ℎ 𝑅𝑇 + ℎ

Bibliografía Alonso, M. (14 de Marzo de 2010). CAMPO GRAVITATORIO. Obtenido de Campo Gravitatorio: http://www.iesleonardoalacant.es/Departamentofisica/Campo_gravitatorio/Campo_gravitatorio.pdf Lab, F. (2014). FISICA LAB . Obtenido de Potencial https://www.fisicalab.com/apartado/potencial-gravitatorio#contenidos

Gravitatorio:

Alonso, M. (1 de Septiembre de 2007). VELOCIDAD DE ESCAPE. Obtenido de http://www.iesleonardoalacant.es/Departamentofisica/Campo_gravitatorio/Velocidad_escape.pdf Bravo, S. (1995). Historia de la teoría de la gravitación universal. Ciencias #37 , 33- 41. Fernández, R. M. (26 de Abril de 2010). Ley de la gravitación universal. Obtenido de Física 1: http://fisicacinematicadinamica.blogspot.com/2010/04/ley-de-gravitacion-universal.html Miranda, R. E. (2014). Ley de la gravitación universal. En L. B. Wilson, Física (págs. 231-235). Pearson Prentice Hall. Charola, F. (1959). Elementos de Cosmografía. Madrid: Kapelusz .