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2015

Curso de: ALGEBRA Y FUNCIONES

UNIDAD 1 – FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

Autor: Ramiro Vega Monroy

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARIBE | Barranquilla, Colombia |2015

Contenido INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 3 1.

HISTORIA DE LAS FUNCIONES ............................................................................... 3

1.1.

FUNCIONES ........................................................................................................... 5

1.1.1.

Dominio y Rango de una Función ........................................................................ 6

1.1.2.

La Gráfica de una Función................................................................................... 7

1.2.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES.......................................................................... 8

1.3.

CLASES DE FUNCIONES .................................................................................... 14

1.3.1.

Función Constante .......................................................................................... 14

1.3.2.

Función Lineal ................................................................................................. 15

1.3.2.1.

Características de la Función Lineal............................................................... 16

1.3.3.

Función Cuadrática ......................................................................................... 17

1.3.4.

Función Logarítmica ....................................................................................... 21

1.3.4.1. 1.3.5. 1.3.5.1. 1.3.6. 1.3.6.1.

Propiedades de los Logaritmos ...................................................................... 22 Función de la Teoría Económica .................................................................... 23 Características de la Función Logarítmica...................................................... 23 Función Exponencial ....................................................................................... 26 Características de la Función Exponencial ..................................................... 27

UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN La idea de función es importante no solo en matemáticas, sino en cualquier ciencia que desee establecer nexos entre sus objetos de estudio, pues es una de las mejores formas de poner en correspondencia una cantidad con otra. El universo está lleno de objetos que se encuentran asociados con otros. De hecho podríamos decir que a lo largo de la historia del hombre, en su deseo de interpretar el mundo, ha establecido relaciones con los objetos que lo rodean. Sin embargo, paso mucho tiempo antes de que el pudiera establecer una notación útil para representar la dependencia de las características de un objeto y otro. La matemática juega un papel muy importante en las ciencias económicas pues constituye una herramienta fundamental para el análisis, la cuantificación y la modelización de fenómenos, ya que gran parte del análisis económico es ineludiblemente matemático, proporcionando ésta una estructura sistemática lógica dentro de la cual pueden estudiarse las relaciones cuantitativas. Es por lo anteriormente descrito que los estudiantes deben dominar diversas e importantes herramientas matemáticas. Entre otras, el cálculo, para el estudio de funciones que les permitan buscar buenos modelos de ajuste de datos, estudiar cualitativa y cuantitativamente modelos que surjan de la teoría económica, y para la resolución de problemas de optimización que les permitan repartir y asignar eficientemente recursos escasos y planificar eficazmente actividades

1. HISTORIA DE LAS FUNCIONES Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo después, y el límite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se

presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductioin Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó: ‘Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras, así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''. En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china. Antes de Euler, el matemático y filósofo francés Rene Descartes (1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de “variable” y “función”, realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.

1.1.

FUNCIONES

Para empezar veamos el concepto más amplio que el de función. RELACIÓN: Es una regla o ley que permite asociar a los elementos de dos conjuntos. El primer conjunto se llama CONJUNTO DE PARTIDA y el segundo CONJUNTO DE LLEGADA A Es mayor que

B 0

1

1

2

2

3

4 RELACIÓN

Un elemento del conjunto de partida puede relacionarse con uno o más elementos del conjunto de llegada o no relacionarse con ninguno

Una FUNCIÓN es una relación que asigna a cada elemento del conjunto de partida uno y sólo un elemento del conjunto de llegada Esta regla no permite que un elemento del conjunto de partida tenga más de una imagen

Los elementos del conjunto de partida reciben el nombre de DOMINIO de la función A

+1

B

y los del conjunto de llegada CODOMINIO A los elementos del conjunto de llegada que están

1 2 3

la

0 1 2 3 4 FUNCIÓN

asociados se les llama imágenes y el conjunto de las imágenes se les llama RANGO

O

RECORRIDO de la función

En este ejemplo se lee de siguiente manera:

La imagen de 1 bajo la función es 2. f(1) = 2 La imagen de 2 bajo la función es 3. f(2) = 3 La imagen de 3 bajo la función es 4. f(3) = 4

A

+1

1 2 3 x

La imagen de x bajo la función es y. f(x) = y Esta última expresión es la notación de las funciones Y así aparece la notación de una función:

2=1+1 3=2+1 4=3+1 Y = x + 1 o f(x) = x + 1 que es la expresión simbólica de la relación “sumar uno”

1.1.1.

Dominio y Rango de una Función

El dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y.

B 1 2 3 4 y

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio. El rango de la función, está formado por el conjunto de

imágenes, este

conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y.

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella letra que está sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLE DEPENDIENTE. Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, “y” o f(x) es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se le subministre a x. VARIABLE INDEPENDIENTE. Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la “y” es la que depende de los valores de x. VARIABLE CONSTANTE. Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: Y=2.

1.1.2.

La Gráfica de una Función

Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de una ecuación y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numérica y se conectan. Por ejemplo: f(x) = x + 2

Utilizando una Gráfica para Definir una Función Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica. Este conjunto de pares ordenados, determinados por la gráfica, puede o no puede definir una función. Es importante recordar que para definir una función, el conjunto de pares ordenados debe obedecer la regla que establece que dos pares ordenados no deben tener el mismo primer elemento. Por lo tanto, una línea vertical no puede intersectar la gráfica de una función en más de un punto. Figuras:

La figura 1 define una función, mientras que la figura 2 no define una función.

1.2.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES

Para construir la gráfica de una función se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se determina el dominio de la función. 2. Se remplazan los valores de los elementos del dominio en la función. 3. Se ubican las parejas ordenadas obtenidas en el ítem anterior en el plano cartesiano.

4. Se unen los puntos graficados en plano cartesiano. Ejemplo Elaborar las gráficas de las funciones a. F(x) = 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 − 3

1. Su dominio son todos los números reales 2. Como el dominio son todos los números reales, entonces puedes remplazar a x por cualquier número real. 𝑓𝑓(−2) = (−2)3 − 2(−2) − 3 = −7

𝑓𝑓(−1) = (−1)3 − 2(−1) − 3 = −2 𝑓𝑓(0) = (0)3 − 2(0) − 3 = −3 𝑓𝑓(1) = (1)3 − 2(1) − 3 = −4 𝑓𝑓(2) = (2)3 − 2(2) − 3 = 1

𝑓𝑓(3) = (3)3 − 2(3) − 3 = 18

3. Ubicación de las parejas ordenadas en el plano cartesiano

20 ordenadas en el Parejas plano 15 cartesiano 10 5 0 -4

-2

-5

0

2

4

-10

4. Teniendo en cuenta que el dominio de la función son todos los números reales se unen de un solo trazo los puntos graficados en plano cartesiano.

F(x) = 𝑥𝑥^3−2𝑥𝑥−3 20 15 10 5 0 -4

-2

0

2

4

-5 -10

𝑥𝑥+3

b. F(x) = 𝑥𝑥−2;

1. Domino X – 2 = 0, entonces x = 2, este valor no lo puede tomar la variable El dominio son todos los números reales excluyendo el 2. ( 𝑅𝑅 − {2} )

2. La variable se puede remplazar por cualquier número real excepto el 2. −3+3

−2+3

1

−1+3

2

𝑓𝑓(−3) = −3−2= 0; 𝑓𝑓(−2) = −2−2= - 4 = - 0,25; 𝑓𝑓(−1) = −1−2= - 3 = -

0,6666

0+3

3

𝑓𝑓(0) = 0−2= - 2 = - 1,5;

=-9

2,5+3

𝑓𝑓(2,5) = 2,5−2= 5+3

𝑓𝑓(5) = 5−2= 2

8

5,5

=9 0,5

= 2,6666 3

1+3

4

3+3

6

𝑓𝑓(1) = 1−2= - 1 = - 4; ; 𝑓𝑓(3) = 3−2 = 6+3

𝑓𝑓(6) = 6−2=

=6; 1

9

= 2,25 4

1,5+3

4,5

𝑓𝑓(1,5) = 1,5−2= - 0,5 4+3

𝑓𝑓(4) = 4−2=

7 2

7+3

= 3,5

𝑓𝑓(7) = 7−2=

3. Ubicación de las parejas ordenadas en el plano cartesiano

10 5

=

Ejemplo2

10 5 0 -4

-2

0

2

4

6

8

-5 -10

4. Teniendo en cuenta que el dominio de la función son todos los números reales excluyendo el 2, se forman dos trazos de gráficas.

Ejemplo2 10 8 6 4 2 0 -4

-2

-2

0

2

4

6

8

-4 -6 -8 -10

Nota: es de observar que ninguna de las dos gráficas se interceptan con la recta X=2, la cual recibe el nombre de asíntota vertical.

Los Ceros de una Función Un cero de una función es la solución de una ecuación f (x) = 0, es decir, cuando Y = 0. Los ceros de una función corresponden a los puntos en los cuales la gráfica de la función atraviesa el eje de x. Estos puntos son llamados interceptos en x. Por ejemplo:

En la figura 1 la gráfica corta 3 veces al eje x, o sea que esta función tiene 3 ceros. La figura 2 no tiene ningún intercepto en x.

TRABAJO INDEPENDIENTE Objetivo: Dada una relación, identificar cuándo ésta es función a partir de su definición analítica y gráfica, determinándose su dominio y rango, así como la modelación de procesos de producción y financieros

Forma de control: Socializar en clases los trabajos que de manera independiente han desarrollado los equipos conformados. Indicaciones metodológicas Para la comprensión y desarrollo de las tareas se recomienda, que además de las indicaciones metodológicas generales, tenga en cuenta: 1. Leer los escritos que se encuentran publicados en el aula extendida sobre: relación, función y conceptos del contexto económico y financiero, relacionados con el concepto función. 2.

Consultar en la base de datos e-libro de la biblioteca virtual de la

universidad, el texto de Matemática I y Negocios, los contenidos relativos a las funciones y sus propiedades.

De acuerdo con el trabajo independiente realizado, teniéndose en cuenta las indicaciones a ejecutar en el aula extendida y la orientación realizada en el aula de clases, darle repuesta a las situaciones que se presentan a continuación. Tarea 1 De las relaciones binarias siguientes indique cuáles son funciones y cuáles no, justifique su repuesta. (a) { (2,3), (6,10), (2,3), (4,0), (3,7)}

( b) { (1,3), (3,10), (4,3), (-4,0), (-3,7)}

( c) { (2,3), (6,3), (2,3), (4,3), (3,3)} •

Represente gráficamente las relaciones anteriores y explique cómo desde este

punto de vista, se puede identificar si la relación binaria es o no función. •

Determine el dominio y el rango de las relaciones que son funciones.

•

Seleccione una relación que sea función y le permita elaborar un ejemplo que

tenga afinidad con los negocios y las finanzas Tarea 2 De las siguientes relaciones: a) El cuadrado de los números enteros.

b) El precio de diferentes productos.

c) El precio para diferentes cantidades del mismo artículo. d) El costo variable de producción. e) El valor actual de ingresos periódicos. •

Identifique cuáles determinan una función, justifique su repuesta.

•

Construya ejemplos que representen gráficamente las relaciones anteriores.

•

Proponga dos relaciones que tengan afinidad con los negocios y las finanzas y

cumplan con las condiciones para ser función. Tarea 3 El costo total (en pesos colombianos) de la producción de x unidades de un cierto bien, viene dado por la fórmula C ( x) = 100 x x + 500 (a) Utilice una calculadora gráfica o un asistente matemático para representar dicha función. (b) Justifique por qué la fórmula anterior es una función. (c) Determine su dominio y su rango.

(d) Encuentre el valor de C (0) . Este valor se llama en Economía costo fijo. (e) Halle el costo de producir 16.100 y a unidades. (f) Supóngase que la empresa produce a unidades, halle el incremento del costo de producción de una unidad adicional. Este concepto se llama en Economía costo marginal.

1.3.

CLASES DE FUNCIONES

Existen varios tipos de funciones, aquí estudiaremos las siguientes: •

Función constante

•

Función lineal

•

Función cuadrática

•

Función exponencial

•

Función logarítmica

•

Funciones de la teoría económica

1.3.1.

Función Constante

Cuando la función carece de variable independiente. (es un número), es decir el valor de la “y” no cambia F(x) = k ; Ejemplo F(x) = 3; donde su gráfica es:

función constante f(x) =3 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -3

-2

-1

0

1.3.2.

1

2

3

4

Función Lineal

Es toda función de la forma números reales.

y = mx + b o f(x) = mx + b, donde “m” y “b” son

La “m” representa un concepto importante de la función lineal llamado PENDIENTE que indica la variación que sufre la variable dependiente (y) cuando la variable dependiente (x) aumenta una unidad. Esta función se denomina lineal porque su gráfico es una línea recta y el sentido de la gráfica está determinado por el signo de m. Variable dependiente

Y = mx + b

Intersecto con el eje “y”

Término independiente La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga. El valor de “a” siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1),

donde

el

numerador (p) me

indica

cuanto

denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

sube

o

baja,

y

el

Cuando se conocen dos puntos de la recta A (x1,y1) y B (x2,y2) se puede hallar la pendiente usando la relación

m=

y2 − y1 x2 − x1

Ejemplo Si m > 0 (positiva), entonces su gráfica se puede representar F(x)= mx + b b

b

Si m < 0 (negativa), entonces su gráfica se puede representar.

B

b

1.3.2.1. Características de la Función Lineal  Se representa por y = mx + b o f(x) = mx + b  m, es un número real llamado pendiente y represente el incremento de “y”  Si m es positiva, la función es creciente  Si m es negativa, la función es decreciente  b, es un número que representa el punto donde la recta corta al eje “y”

1.3.3.

Función Cuadrática 2

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax + bx + c, donde a, b y c son números reales cualesquiera y a ≠ 0. Su gráfica es una curva suave llamada PARÁBOLA. La parábola presenta unos elementos bien definidos que caracterizan a la función, estos elementos son: a) Orientación o concavidad que dependen del signo de “a”. b) Puntos donde la gráfica corta al eje de las “x” llamados ceros o raíces. c) Vértice , que es el punto más alto o más bajo de la parábola dependiendo de su orientación d) Ordenada en el origen o punto donde corta al eje de las “y”. e) Eje de simetría, es una recta vertical que divide a la curva en dos partes iguales

Discriminante (D), es un número que determina la naturaleza de las raíces, y se defina así:

f ( x) =. x 2 + 6 x + 3

Dependiendo del valor del discriminante, se pueden presentar tres situaciones: a)

Si D > 0, la función tiene dos raíces reales distintas, es decir, que corta al eje “x” dos veces.

b)

Si D < 0, la función tiene dos raíces compleja, es decir que no corta al eje “x”.

c)

Si D = 0, la función tiene una sola raíz, o sea que corta al eje “x” una sola vez.

Como ejemplo veamos la gráfica de la función

2

Análisis de la función cuadrática f(x) = ax + bx + c 1) Si a < 0, la gráfica abre hacia abajo y la “y” tiene un valor máximo 2) Los números b y c trasladan la gráfica a izquierda, derecha, arriba o abajo. 3) Si a > 0, la gráfica abre hacia arriba y la “y” tiene un valor mínimo 4) Corta una solo vez al eje “y” en el punto (0,c) 5) El vértice puede hallarse con la expresión

 −b 4a c − b 2  V = ,  4a   2a

6) Las raíces se pueden hallar factorizando el trinomio o por medio de la fórmula 7) Si c > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba 8) Si c < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo

Ejemplo 1. Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x f(x)

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

3 0

4 5

Como “a” es positiva, la parábola abre hacia arriba. Para deducir el vértice: se tiene a = 1, b = 2 yc=-3

x= = y

= x

−b −(−2) 2 = = = 1 2a 2(1) 2 4ac − b 2 4(1)(−3) − (−2) 2 −12 − 4 −16 = = = − 4 O sea que el vértice es (1, – 4) a 4 4(1) 4 4 Las raíces son: −b ± b 2 − 4ac −(−2) ± (−2) 2 − 4(1)(−3) = 2a 2(1)

2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 = = 2 2 2 Tiene dos raices reales que son : 2+4 6 = = 3 x1= 2 2 2 − 4 −2 = = − 1 Esto quiere decir que corta al eje x en los puntos (3,0) y en (– x2 = 2 2 1,0) tal como se muestra en la gráfica

= x

2

Análisis de la función cuadrática f(x) = ax + bx + c 1) Si a > 0, la gráfica abre hacia arriba y la “y” tiene un valor mínimo 2) Si a < 0, la gráfica abre hacia abajo y la “y” tiene un valor máximo 3) Los números b y c trasladan la gráfica a izquierda, derecha, arriba o abajo. 4) Corta una solo vez al eje “y” en el punto (0,c) 5) El vértice puede hallarse con la expresión

 −b 4a c − b 2  V = ,  4a   2a

6) Las raíces se pueden hallar factorizando el trinomio o por medio de la fórmula

−b ± b 2 − 4ac x= 2a

7) Si c > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba 8) Si c < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo

Ejemplo 2: Graficar la función F(x)= −2𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 13,. F(x)

-11

3

13

19

21

19

x

-2

-1

0

1

2

3

Gráfica de la f(x) =−2𝑥𝑥^2+8𝑥𝑥+13 25 20 15 10 5 0 -3

-2

-1

-5

0

1

2

3

4

-10 -15

Para deducir el vértice: se tiene a=1, b= - 2 y c= 4 X=

−𝑏𝑏 2𝑎𝑎

=−

−8

= -2 2∗(−2)

y

Y=

O sea que el vértice es (-2, 21)

4𝑎𝑎𝑎𝑎− 𝑏𝑏2 4𝑎𝑎

=

4∗(−2)∗(13)−(8)2 4∗(−2)

= 21,

TRABAJO INDEPENDIENTE Objetivo: Utilizar los contenidos de función cuadrática, para interpretar y valorar la información que se produce en procesos económicos y financieros, a través de las soluciones de la ecuación cuadrática, favoreciéndose la comunicación del educando a través de la presentación de información, asumiéndolos para la toma de decisiones de forma responsable.

Tarea 1. Analizar cada una de las siguientes funciones y construir su gráfica a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 6

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −4𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 12

1.3.4.

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 4

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 1

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 5 f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0,5𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 3

Función Logarítmica

Antes de estudiar la función logarítmica entendamos primero lo que es el logaritmo de un número. LOGARITMO: El logaritmo en una base b de un número A positivo es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener el número A. Simbólicamente se define así: La base es un número positivo y diferente de 1. Se lee “logaritmo en base b de A es igual a x”

Símbolo de logaritmo

log b A = x

Logaritmo

Base Argumento

Cuando la base es 10 se llama logaritmo decimal y no se le escribe la base, es decir,

log10 100 ≈ log100 = 2 En matemática existe un número irracional llamado e que equivale a 2,7182818285…

Este número es la base de un logaritmo llamado natural o neperiano que se escribe

log e ≈ ln

así: ln. O sea que

log 16 Ejemplos:= 2

porque 24 16 4=

= porque 33 27 log 3 27 3= ln 6 =

log 6 log e

1.3.4.1. Propiedades de los Logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. logx(ab) = logxa + logx b

ejemplo log3 ( 9x27) = log3 9 + log3 27= 2 + 3 = 5

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. logb (a/b) = logb a – logb b

ejemplo log4 ( 64/16) = log4 64 – log4 16 = 3 – 2 = 1

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. n

3

logb(a ) = n logb a

ejemplo: log2 (16 ) = 3 x log2 16 = 3(4) = 12

4. Cambio de base: log b a =

log c a log c b

ejemplo:

log 2 = 64

log 4 64 3 = = 6 1 log 4 2 2

1.3.5.

Función de la Teoría Económica

En el contexto de las teorías económicas, en particular para las finanzas, la función logarítmica es de gran utilidad para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo con el tiempo en la banca. En economía es usada para los estudios del comportamiento de las funciones de oferta y demanda, entre otras de sus aplicaciones. Una función logarítmica es aquella que tiene la forma

f ( x) = log x

,

donde b es la base del logaritmo y debe ser positiva y diferente de 1

f ( x) = log b x

1.3.5.1. Características de la Función Logarítmica 1) Su dominio es el conjunto de números reales mayores que cero. 2) Su rango es el conjunto de números reales. 3) Si 0 < b < 1, entonces su gráfica tienen comportamiento decreciente en todo su dominio 4) Si b >1,entonces su gráfica tiene comportamiento creciente en todo su dominio 5) Pasa por el punto (1,0), intercepto en el eje de x es igual a 1, no hay interceptos en el eje de “y” 6) Es continua en todo su dominio http://www.matematicaspr.com/file/l2dj/blog/funciones-logaritmicas/caracteristicasfuncion-logaritmica.swf

Ejemplo: Construir la gráfica de la función f(x) = log2 x Para obtener los valores de las parejas ordenadas que permitan graficar la función logaritmo se recomienda utilizar una calculadora. https://www.google.com.co/search?q=graficas+de+funciones+logaritmicas&espv=2&biw=1280&bih=923&tbm= isch&imgil=1tiBEsi1MuOsnM%253A%253BPgZO5MPFZdvX_M%253Bhttp%25253A%25252F%25252Fwww.a nalyzemath.com%25252Fspanish%25252FGraphing%25252FGraphLogarithmicFunction.html&source=iu&pf= m&fir=1tiBEsi1MuOsnM%253A%252CPgZO5MPFZdvX_M%252C_&usg=__Bl2fTV_yyETEdwuaNiDmDo75O U%3D&ved=0CCQQyjdqFQoTCO6Aqp708cgCFYztJgodQpkNgQ&ei=lG03Vu7mC4zbmwHCsraICA#imgrc=vx

ab6Y_Ubj3_M%3A&usg=__Bl2fTV_yyETEd-wuaNiDmDo75OU%3D

Ejemplo: Construir la gráfica de la función x

f ( x) = log 1 x 2

f ( x) = log 1 x 2

1/ 8

1/ 4

1/ 2

1

2

3

2

1

0

–1

http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html

4 –2

8 –3

TRABAJO INDEPENDIENTE Tarea 1

1.

Representar

gráficamente

en

una

hoja

milimetrada

las

funciones

F ( x) = Log a f ( x) con la ayuda de una calculadora y teniéndose en cuenta el

intervalo asignado: a) F ( x) = Log 2 x

en el intervalo

(0;

4)

en el intervalo (− 2; 2 )

b) F ( x) = Log 2 ( x + 1)

en el intervalo (0; + ∞ )

c) F ( x) = Log 10 x

d) ¿Qué dificultades se presentaron al graficar las funciones anteriores y a qué se debieron éstas? (e) ¿Para qué valores del dominio de cada una de las funciones indicadas en el inciso a), los valores de su rango son negativos?. 2. Aplicar las propiedades de los logaritmos para hallar: 1

1

b) Log 3 (

a) Log 4 (64) 5

1.3.6.

27 5 ) 2435

Función Exponencial

En el contexto de las teorías económicas y principalmente en las finanzas, la función exponencial se caracteriza por ser una expresión, que permite modelar fenómenos de crecimiento y disminución en la medida que existen incremento o disminución porcentual constante en el tiempo Es la función de la forma

f ( x) = a x, donde “a” es un número positivo diferente

de 1. La gráfica varía según el valor de a: 

Si a > 1, la función es creciente



Si 0 < a < 1. la función es decreciente

1.3.6.1. Características de la Función Exponencial 1) Su dominio es el conjunto de números reales. 2) Su rango es el conjunto de números reales positivos. 3) Si 0 < a < 1, entonces su gráfica tienen comportamiento decreciente en todo su dominio 4) Si a >1, entonces su gráfica tiene comportamiento creciente en todo su dominio. 5) Pasa por el punto (1,a), 6) El intercepto en el eje de y es igual a 1 7) No intercepta al eje de x Ejemplo: graficar la función F(x)= 1,5𝑥𝑥 F(x)

0,29

0,44

0,66

1

1,5

2,25

3,37

5,06

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Su gráfica es

Gráfica de la función exponencial 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

La función exponencial decrece sí el valor de b es mayor que cero pero menor que 1 ( 0 < b < 1)

Ejemplo: graficar la función F(x) = 0,4𝑥𝑥 F(x)

15,62

6,25

2,5

1

0,4

0,16

0,064

0,0256

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Su gráfica

Gráfica de la función exponencial 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

http://matematicaspr.com/l2dj/blog/funcionesexponenciales

Ejemplo:

Analizar

la

función

y

dibuje

la

gráfica

de

x

F(x)=2 +1.

Solución: Dominio: (-∞,∞) Rango: (1,∞) Como a = 0 2 > 1 por lo tanto la gráfica de la función es creciente en todo su dominio. Pasa por el punto (0,2), que es el intercepto en el eje de y, no hay intersecciones en el eje de x.

Dirección de las gráficas anteriores https://www.google.com.co/search?q=graficas+de+funciones&espv=2&biw=1280&bih=923&tbm=isch&imgil=Uw b8TuAgtlT4PM%253A%253BGXdnNvYqBqyPxM%253Bhttp%25253A%25252F%25252Fcmapspublic2.ihmc.us %25252Frid%2525253D1NB0K2YZH-1F2FHYX1Z5G%25252FSin%2525252520T%25252525C3%25252525ADtulo%25252525201.cmap&source=iu&pf=m&fir=U wb8TuAgtlT4PM%253A%252CGXdnNvYqBqyPxM%252C_&usg=__JQfCOFQADF9FlkEhPUJp5cG6_j0%3D&ve d=0CCYQyjdqFQoTCPXEjJLl8MgCFcLoJgodQUwCGA&ei=iNc2VvXgEMLRmwHBmInAAQ#imgrc=Uwb8TuAg tlT4PM%3A&usg=__JQfCOFQADF9FlkEhPUJp5cG6_j0%3D