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• Daniel Ricardo Delgado Tarazona

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SINGULARIDADES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y DE ESTABILIDAD Oscar Eduardo Quintero García, Fredy Alonso Ortiz Angarita, Jhon Edison Cala Díaz, Andrés Felipe Acevedo Yepes Santander Unidades Tecnológicas de Santander [email protected], [email protected] , [email protected] , [email protected].

I. INTRODUCCIÓN Matlab es una herramienta con la cual podremos realizar diferentes cálculos matemáticos, así como simulaciones de programaciones; este sistema de cómputo numérico ofrece un sistema de desarrollo integrado con un lenguaje de programación propio, esta herramienta se utilizara en esta práctica para facilitar el desarrollo gráfico y para determinar los polos y ceros, para dibujarlo en un plano complejo, se utiliza la función “pzmap” bajo la siguiente sintaxis:

Un polo indica una frecuencia donde un filtro resuena, y teóricamente debe tener ganancia infinita. Un cero es cuando se bloquea una ganancia de cero frecuencias. En los circuitos generalmente se trata con frecuencias complejas; los polos y ceros que representan esas señales pueden ubicarse en cualquier punto del plano complejo. Si un polo está cerca del eje de los reales entonces se tienen ondas sinodales estables, normales, lo cual representa un filtro pasa banda bien definido. Si un polo está lejos, entonces se trata de un filtro pasa banda, no bien definida, de baja ganancia.

> [P, Z] = pzmap(num/den) Colocados en la Ventana de Comandos de Matlab. “P” viene es la variable que contiene a los polos y “Z” viene a representar la variable que contiene a los ceros. “núm.” y “den” son el numerador y denominador de la función de transferencia. A esto hay que colocar en la Ventana de Comandos la opción “grid” para que salgan las líneas para una mejor visualización de los polos y ceros en el ploteo.

Determinación de los polos y ceros de la siguiente Función de Transferencia:

Matemáticamente: Primer paso. Factorizando numerador y denominador:

II. OBJETIVOS Que el estudiante emplee los conocimientos y parámetros dados por la practica para obtener las graficas y numero de ceros y polos partiendo de los algoritmos de Matlab. Que el estudiante cree la capacidad de evaluar un sistema variando la estabilidad utilizando sistemas de lazo abierto, lazo cerrado y el método de routh hurwitz. III. MARCO TEORICO

La función de transferencia viene siendo la trasformada de Laplace de la salida del impulso, en una función de transferencia, los ceros son las raíces del numerador y los polos son las raíces del denominador Los valores de los ceros y de los polos nos han un indicativo respecto al comportamiento del sistema, si es estable o inestable, amortiguado o subamortiguado, etc. Así también, los polos y los ceros nos dan indicación del comportamiento en frecuencia del sistema

Segundo paso. Determinación de los Polos. (Raíces del denominador) (s+6)(s2+6s+25)=0 s+6=0 ∴ s=-6 s2+6s+25=0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: s1= - 3 + 4j s2= - 3 - 4j Tercer paso. Determinación de los Ceros. (Raíces del numerador)

s+3=0 ∴ s=-3 Cuarto paso. Graficar los polos y ceros:

Sirve para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no. Considere el polinomio a(s) de grado n escrito en la forma donde los coeficientes son números reales. Se supone que es decir a(s) no tiene raíces en s=0. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene raíces puramente imaginarias, o que tienen parte real positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz. Si todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y diferentes de cero, construya el siguiente arreglo

Fig 4 grafica de ejemplo de ceros y polos

Estabilidad o Inestabilidad de un proceso

Se continua de esta forma hasta que la n-ésima fila del arreglo ha sido completada.

La estabilidad de un proceso se determina cundo se ingresa una entrada acotada en amplitud, y la respuesta a esta entrada se comportara también acotada en amplitud, existen diferentes tipos de estabilidades en cada uno de los procesos. •

INESTABILIDAD: Es cuando un sistema diverge, esto quiere decir que a la respuesta al impulso en un rango de tiempo es creciente sin ningún tipo de acotamiento.

•

ESTABILIDAD ABSOLUTA: Es cuando existe convergencia , la variación menor o igual al 5% del valor final IV. DESARROLLO DE LA GUIA N°2

•

ESTABILIDAD CRITICA: Es cuando no existe convergencia, este se mantiene con oscilaciones mayores al 5% del valor final.

Criterio de Routh- Hurwitz Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz El polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa. Si es la función de transferencia de un sistema, entonces el sistema es estable si el polinomio d(s), conocido como el polinomio característico del sistema, es Hurwitz.

A. Preguntas de preparación: ¿Qué entiende por orden de un sistema y como se relaciona con los polos de H(s)? ¿Qué entiende por estabilidad en un sistema? ¿En qué consiste el criterio de Routh Hurwitz?

¿Cómo puede evaluar la estabilidad en un sistema usando Matlab?

B. Procedimiento:

a)

Para las siguientes funciones de transferencia obtenga los polos de lazo abierto del Sistema de manera analítica.

H1(s) = 16 / (s^2+2s+16) Para esta función Podemos decir que tiene: Ceros= dos ceros al infinito. Polos= -1±3,873 i

Evidencia 1.0 H2(s) = (s+3) / (s^2 -1) Para esta función Podemos decir que tiene: Ceros = -3, y otro cero al infinito Polos = 1 , -1.

H3(s) = 1 / (s+1) Para esta función Podemos decir que tiene: Ceros = un cero al infinito. Polos= -1.

H4(s) = (s+1) / (s^6 +5s^5 + 4s^4 + 6s^3 + s^2 + 2s + 1) Para esta función podemos decir que tiene: Ceros = -1, y 5 ceros al infinito. Polos = -4,39 = -0,40 = 0,3863 ± 1,050 i = 0,2872 ± 0,6017 i Evidencia 1.1

Evidencia 1.2

Evidencia 1.4 b) Repita el literal a y registre los resultados utilizando Matlab 1. H1(s) = 16/(s^2+2s+16)

Evidencia 1.3

Fig 5 representación gráfica de ceros y polos Matlab

2. H2(s) = (s+3)/(s^2-1) c)

Evalué la estabilidad colocando las evidencias correspondientes: Criterio de Routh Hurwitz y respuesta al impulso.

H1(s) = 16 / (s^2+2s+16) Criterio de Routh Hurwitz: S^2 | 1 16 S^1 | 2 0 S^0 | 16

α= (32-0) / (2) = 16 Según el criterio de Routh es estable.

h1(t)= (16 / √ 15)* e^(-t) (sen(√ 15 * t) ) u(t)

Fig 6 representación gráfica de ceros y polos Matlab

3. H3(s) = 1/(s+1)

Fig 9 representación gráfica de respuesta al impulso

H2(s) = (s+3) / (s^2 -1) Criterio de Routh Hurwitz:

Fig 7 representación gráfica de ceros y polos Matlab

S^2 | 1 0 α= ( 0-0 ) / ( -1 ) = 0 S^1 | -1 0 Según el criterio de Routh es inestable S^0 | 0 ya que tiene un coeficiente nulo. h2(t)= 2e^(t) - e^(-t) u(t)

4. H4(s) = (s+1)/(s^6+5s^5+4s^4+6s^3+s^2+2s+1)

Fig 10 representación gráfica de respuesta al impulso

Fig 8 representación gráfica de ceros y polos Matlab

H3(s) = 1 / (s+1)

Criterio de Routh Hurwitz: S^1 | 1 S^0 | 1

0

d) Repita el literal anterior utilizando el sistema de control en lazo cerrado.

Según el criterio de Routh es estable. H1(s) = 16 / (s^2+2s+32) Criterio de Routh Hurwitz:

h3(t)= e^(-t) u(t)

S^2 | 1 32 S^1 | 2 0 S^0 | 16

α= ( 64-0 ) / ( 2 ) = 32 Según el criterio de Routh es estable.

h1(t)= (16 / √ 31)* e^(-t) (sen(√ 31 * t) ) u(t)

Fig 11 representación gráfica de respuesta al impulso

H4(s) = (s+1) / (s^6 +5s^5 + 4s^4 + 6s^3 + s^2 + 2s + 1) S^6 | 1 4 S^5 | 5 6 S^4 |14/5 3/5 S^3 |69/14 3/14 S^2 |11/23 3/14 S^1 |-111/11 0 S^0 | 1

1 2 1 0 0

1 0

Fig 13 representación gráfica de respuesta al impulso

α=(20-6)/5= 14/5 β=(5-2)/5= 3/5 γ= (5-0)/5= 1 α1=69/14 β1=3/14 α2= 11/23 β2= 3/14 α3= -111/11 α4= 1

H2(s) = (s+3) / (s^2 + s +2) Criterio de Routh Hurwitz: S^2 | 1 S^1 | 1 S^0 | 2

2 0

α= ( 2-0 ) / ( 1 ) = 2 Según el criterio de Routh es estable.

h2(t)= e^(-t/2) * cos(√ (7t/4) ) u(t) + (5/√ 7)* e^(-t/2) (sen(√ 15t/4) ) u(t)

Fig 14 representación gráfica de respuesta al impulso Fig 12 representación gráfica de respuesta al impulso

Como existen cambios de signos según el criterio de Routh decimos que el sistema es inestable.

H3(s) = 1 / (s+2) Criterio de Routh Hurwitz: S^1 | 1 S^0 | 2

0

Según el criterio de Routh es estable.

h3(t)= e^(-2t) u(t)

Fig 17 representación gráfica de respuesta al escalón Fig 15 representación gráfica de respuesta al impulso

H4(s) = (s+1) / (s^6 +5s^5 + 4s^4 + 6s^3 + s^2 + 2s + 1) S^6 | 1 4 S^5 | 5 6 S^4 |14/5 2/5 S^3 |37/7 -4/7 S^2 |26/37 2 S^1 |-203/13 0 S^0 | 2

1 3 2 0

2. H2(s) = (s+3)/(s^2-1)

2 0 α=(20-6)/5= 14/5 β=(5-3)/5= 2/5 γ=(10-0)/5= 2 α1=37/7 β1= -4/7 α2= 26/37 β2= 2 α3= -203/13 α4= 2

Fig 18 representación gráfica de respuesta al escalón

3. H3(s) = 1/(s+1)

Fig 16 representación gráfica de respuesta al impulso

Como existen cambios de signos según el criterio de Routh decimos que el sistema es inestable. Realización de las funciones transferencia en Matlab. Graficas de escalón Fig 19 representación gráfica de respuesta al escalón

1. H1(s) = 16/(s^2+2s+16)

REFERENCIAS 4. H4(s) = (s+1)/(s^6+5s^5+4s^4+6s^3+s^2+2s+1)

Fig 20 representación gráfica de respuesta al escalón

C. comprobación de conceptos •

Cuál de los sistemas propuestos tiene más cambios de signos en la matriz de ROUTH HURWITZ y que indica esto. Rta: Dentro de los cuatro sistemas evaluado por el método de ROUTH, H4 presenta la mayor inestabilidad ya que mostro dos cambios de signo equivalentes a una inestabilidad del mismo, lo cual se define dentro del criterio de Routh como” ENTRE MAS CAMBIOS DE SIGNO PRESENTE EL SISTEMA MAYOR VA A SER SU INESTABILIDAD” • Como se puede verificar la estabilidad de un sistema de orden superior usando Matlab. Rta: Utilizando los parámetros base de Matlab tales como rlocus y step, nos permiten analizar como se comportan los sistemas frente a las variaciones de estabilidad

V. CONCLUSIONES • • • •

Por medio de la ubicación de los polos sabemos directamente si el sistema presenta alguna inestabilidad. Aprendimos generar las gráficas de los ejercicios propuestos utilizando el software MATLAB Se investigó y se aplicó analíticamente el criterio de Routh Hurwitz para varios casos en la solución de la guía. observamos las diferentes facetas que tiene la estabilidad cuando resolvemos el sistema por lazo cerrado o lazo abierto.

AGRADECIMIENTOS Agradecemos principalmente al profesor Camilo Sandoval quien semanalmente nos aporta sus conocimientos para el entendimiento de cada una de la temática vista hasta el momento, también al laboratorista Patarroyo quien nos apoya en la solución de cada una de las prácticas.

[1]

(s.f.). Obtenido de http://148.204.217.78/fisicacul/Transitorios/Practicas /P6-Transit-pole/polezer.html [2] Smith Carlos A. (s.f.). Control automático de procesos (teoria y práctica). [3] Turmero, P. (s.f.). monografias.com. Obtenido de https://www.monografias.com/trabajos102/sistemascontrol-estabilidad-y-lugar-geometricoraices/sistemas-control-estabilidad-y-lugargeometrico-raices.shtml