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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en Control y Automatización

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

Criterio en Sentido Absoluto M. en C. Moisés Antonio Fonseca Beltrán Profesor del Instituto Politécnico Nacional

[email protected] 2 de junio de 2020

Resumen. El presente documento se elaboró como material de soporte y seguimiento a la cátedra de Teoría de Control I. Comienza con la denición de Estabilidad y una discusión de los criterios más comunes de este concepto. Se desarrolla el criterio de Estabilidad en Sentido Absoluto y se incluye una serie de mitos y precisiones que hay alrededor del concepto. Para rearmar la adquisición y manejo del mismo, se ha desarrollado una batería de ejercicios propuestos en los diferentes sentidos que se plantea la teoría. Igualmente, se plantean algunos reactivos de autoevaluación y al nal del documento se dan las respuestas a estos reactivos, para poder dar seguimiento a la adquisición del conocimiento. El documento concluye con la propuesta de una serie de investigaciones complementarias al concepto de Estabilidad.

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Estabilidad

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Relación de Revisiones Rev.

Fecha

0

02.06.2020

Descripción

Observaciones

Publicación inicial.

Curso en línea en IPNESIMEICA. Publicado en la plataforma ESIMEZ Virtual

Este trabajo se escribió en LATEX 2ε con la distribución de MiKTeX.

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Estabilidad

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Índice

1. Estabilidad

4

1.1.

Concepto Básico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.

Clasicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1.

Estabilidad en Sentido BIBO

5

1.2.2.

Estabilidad por Salida Convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3.

Estabilidad por Estado Transitorio Finito (Sentido Absoluto) . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4.

Estabilidad Relativa (Criterio de Bode)

1.2.5.

Estabilidad en Sentido de Lyapunov

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2. Estabilidad en Sentido Absoluto

14

2.1.

Antecedentes y Premisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.

Analítica del Criterio de Estabilidad

14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1.

Polo real ubicado en el semiplano derecho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2.

Polo real ubicado en el semiplano izquierdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.3.

Polo real ubicado en el origen.

18

2.2.4.

Polos complejos conjugados ubicados en el semiplano derecho. . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.5.

Polos complejos conjugados ubicados en el semiplano izquierdo. . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.6.

Polos complejos conjugados ubicados en el eje imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.

Establecimiento del Criterio de Estabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4.

Ambigüedad de la Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4.1.

1a. Ambigüedad  Caso de un Polo Estable y un Polo Marginalmente Estable . . . . .

23

2.4.2.

2a. Ambigüedad  Caso de un Polo Estable y un Polo No Estable . . . . . . . . . . . .

23

2.4.3.

3a. Ambigüedad  Caso de un Polo Marginalmente Estable y un Polo No Estable . . .

24

2.4.4.

4a. Ambigüedad  Caso de un Polo Estable, un Polo Marginalmente Estable y un Polo

2.4.5.

Solución a la Ambigüedad de Estabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5.

Algunos Mitos y Precisiones sobre la Estabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.6.

Retroalimentación y Estabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.7.

Comentarios Finales sobre la Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

No Estable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Ejercicios Propuestos 3.1.

24

29

Estabilidad en Sentido Absoluto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.1.

Estabilidad a partir del Mapa de Polos y Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.2.

Estabilidad a partir de los Polos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.1.3.

Estabilidad y Retroalimentación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.

Reactivos de Autoevaluación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.

Actividades de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

A. Respuesta a los Reactivos de Autoevaluación

36

B. Glosario de Términos

37

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

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1.

Estabilidad

La estabilidad es un concepto de diseño que se sobrepone a todos los demás en el estudio de Sistemas de Control. Compromete la integridad del sistema cuando éste trabaja a lazo cerrado y se condiciona por múltiples factores estructurales, de diseño y operación. Es por esto que resulta ser un tema de estudio central en el disño de sistemas.

1.1. Concepto Básico El concepto más elemental de Estabilidad es la capacidad de un sistema, para disipar la energía que produce para trabajar. Desde el punto de vista de ingeniería, tal vez sea esta perspectiva la que mejor reeja la necesidad de entender y acotar este concepto de diseño, pues cuando un sistema no es estable, físicamente se destruye. Por ejemplo, un automóvil compacto que trabaja en condiciones normales, es capaz de trasladarnos en un viaje de 400 km sin problema alguno. Consideremos incluso que se lleva equipaje completo y que viajan los cinco pasajeros para lo que está diseñado. El calor que produce su trabajo normal debe ser disipado por el sistema de enfriamiento: líquido, radiador, aceite, las pareces del propio motor, etc. Si este sistema de enfriamiento falla, el desempeño del automóvil se compromete seriamente, pues el calor que produce su trabajo normal, no podrá ser disipado oportunamente. Estas condiciones de trabajo resultan tan desfavorables, que el calor que se genera en el interior del motor, iniciando desde la cámara de combustión, empezará a ser absorbido por el cuerpo metálico del motor. Las supercies y materiales del motor no serán sucientes para disiparlo. Es bien conocido el efecto del calor excesivo: las piezas de motor alcanzarán temperaturas tan altas que se deformarán y no retomarán su funcionalidad. Es un caso de un sistema no estable.

1.2. Clasicación La estabilidad, se ha estudiado desde varios puntos de vista, tratando siempre de contar con una referencia que pueda ser absoluta, es decir, que dependa solamente del propio sistema. Esto es, se busca que la estabilidad sea una propiedad del sistema y no una condición de trabajo. Esto es lo que se conoce como una característica o propiedad estructural. Se han hecho diferentes desarrollos para el efecto y actualmente se cuenta con una clasicación de estos enfoques que históricamente se han abordado:

    Sentido BIBO        Salida Convergente  Estabilidad Estado Transitorio Finito (Sentido Absoluto)     Relativa (Criterio de Bode)        Sentido de Lyapunov

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Estabilidad

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1.2.1. Estabilidad en Sentido BIBO BIBO

es el acrónimo de Bounded Input  Bounded Output, (Entrada Acotada  Salida Acotada, en

Español). Este criterio indica que un sistema es estable cuando al ser excitado con una entrada acotada, la salida también es acotada. En términos generales (y simples), una señal tales que

k1

siempre sea menor que la señal

f (t) es acotada, si existen dos valores reales diferentes, k1 f (t) y que k2 siempre sea mayor que la señal f (t).

y

k2 ,

Con lo anterior, formalmente podemos establecer el criterio BIBO como sigue:

Un sistema

Σ,

con entrada

u(t)

y salida

y(t),

es Estable en Sentido BIBO, si y sólo si,

∃ (c1 , c2 ) ∈ R | c1 < u(t) < c2 ∃ (d1 , d2 ) ∈ R | d1 < y(t) < d2

∀t ∀t



 Para determinar si un sistema es estable en sentido BIBO, se debe excitar al sistema con una entrada acotada. A partir de este ensayo, se analiza si la respuesta en el tiempo está igualmente acotada. En este caso, el sistema será estable en sentido BIBO.

Ejemplo 1. Sea el sistema

Σ : F (s) =

1 s

(1)

esto es, un integrador puro. En un primer caso, probemos este sistema, excitándolo con una entrada senoidal La salida

y(t) = cos t + C ,

donde

C

u(t) = sen t.

depende de las condiciones iniciales del sistema. Si éste se modela en el

1

dominio de la frecuencia, las condiciones iniciales son cero y el sistema se comporta como sigue :

u(t)

0

y(t)

t

sen t

1 s

cos t 0

Figura 1:

t

Prueba de estabilidad BIBO de un integrador

Puede verse en la gura 1 que la entrada está acotada, lo mismo que la salida del sistema, se puede concluir que este sistema

es estable en sentido BIBO, para la entrada senoidal.

♦

Ejemplo 2. Retomemos el sistema

Σ : F (s) =

1 s

Ahora, probemos al sistema, excitándolo con una entrada escalón unitario La salida

y(t) = t.

(2)

u(t) = 1(t).

Ahora el sistema se comporta como sigue:

1 Se ha abusado de la notación, mezclando los dominos t y s en el mismo diagrama. Aunque formalmente esto no es correcto, nos sirve para visualizar el caso que se está explicando.

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Estabilidad

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u(t) 1 t

Figura 2:

y(t)

1 s

1(t)

1

t

t

Prueba de estabilidad BIBO de un integrador

En la gura 2 puede verse que la salida del sistema no es acotada, pues tiende a crecer indenidamente. Por lo tanto,

el sistema no es estable en sentido BIBO, para una señal escalón unitario.

♦

De los dos ejemplos anteriores, puede establecerse la siguiente conclusión: El criterio de la estabilidad en sentido BIBO no es una caraceterística estructural del sistema, pues depende de la entrada.

Truco:

Truco:

Truco:

Es posible que un sistema sea estable en sentido BIBO para una entrada, pero no lo sea para otra.

1.2.2. Estabilidad por Salida Convergente Este criterio analiza exclusivamente el comportamiento de la salida, para determinar si converge a un valor. Formalmente, podemos establecer:

Un sistema

Σ es Estable en términos de Salida Convergente, si y sólo si, al excitar u(t), la salida y(t) converge a un valor denido, en un tiempo nito:

al sistema con

una entrada

l´ım y(t) = k ∈ R

t→t0

− ∞ < k < +∞

con

(3)



Ejemplo 3. Sea el sistema

Σ : F (s) =

1 s+1

En un primer caso, probemos este sistema, excitándolo con una entrada senoidal En la gura 3 puede verse que el sistema

Σ

(4)

u(t) = sen t.

es excitado con una entrada senoidal y la respuesta (señal de

salida) es igualmente periódica. En este caso, la salida no converge a un valor, por lo que

por el criterio de salida convergente, para una entrada senoidal. Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

no es estable ♦

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y(t)

u(t)

0

t

1 s+1

sen t

sen t − cos t − e− t 0

Figura 3:

t

Prueba de estabilidad por Salida Convergente de un Sistema de Primer Orden.

Ejemplo 4. Sea el sistema

Σ : F (s) =

1 s+1

(5)

Probemos este sistema, excitándolo con una entrada escalón unitario

u(t) = 1(t).

y(t) u(t) 1

1(t) t

1 s+1

1−e

−t t

Figura 4:

Prueba de estabilidad por Salida Convergente de un Sistema de Primer Orden.

Σ es 1 − e−t .

En la gura 4 puede verse que el sistema exponencial convergente de la forma

excitado con una entrada escalón unitario y la salida es una

En este caso, la salida sí converge a un valor especíco, por lo que el sistema

de salida convergente, para una entrada escalón unitario.

es estable por el criterio ♦

De nuevo, podemos ver que el criterio depende de la entrada.

Truco:

Truco:

Truco:

1.2.3. Estabilidad por Estado Transitorio Finito (Sentido Absoluto) Se dice que un sistema es estable por el criterio de Estado Transitorio Finito, si el régimen (o estado) transitorio desaparece en un tiempo nito. Este estado transitorio depende esencialmente del conjunto de funciones exponenciales que integran la solución de la ecuación diferencial que modela al sistema.

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Estabilidad

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Así, se puede establecer: Un sistema

Σ

es Estable en Sentido Absoluto si el conjunto de funciones exponenciales

f (e−σt )

converge a cero, en un tiempo nito:

l´ım f (e−σt ) = 0

con

t→t0

t0 < +∞

(6)

 Este criterio implica conocer la descripción analítica el estado transitorio del sistema. El estado transitorio se dene como el período en el que la respuesta de un sistema converge a un estado permanente. Este estado permanente se caracteriza por perseguir la entrada, es decir, por parecerse a la señal de entrada. Este criterio, a diferencia del criterio BIBO y del de Salida Convergente, no depende de la entrada, sino de la dinámica propia del sistema. Es una característica estructural, es decir, es inherente al mismo sistema. Es por esta característica que también se le conoce como Estabilidad en Sentido Absoluto, pues no depende de la entrada y el estado transitorio (no la salida) sólo depende de la dinámica propia del sistema. Cabe mencionar que algunos autores llaman a este criterio como Estabilidad Absoluta. Este calicativo puede sugerir que una vez alcanzado un régimen de estabilidad absoluto, éste no se perderá. Sin embargo, las condiciones de trabajo, la estructura interna del sistema y los efectos del mismo lazo de retroalimentación, pueden condicionar y comprometer la estabilidad a lazo cerrado. Por ello es que en este documento se hablará de Estabilidad en Sentido Absoluto, insistiendo que se reere a una caracter±tica estructural, es decir, inherente al propio sistema. Este criterio es el que normalmente se aplica en toda la teoría de Sistemas de Control, por lo que en lo sucesivo, éste será el criterio que por omisión se considere. Cuando se hable de Estabilidad, Condición de Estabilidad o Criterio de Estabilidad, es a este criterio al que habrá de referir.

Ejemplo 5. Sea el sistema

Σ : F (s) = que se excita con una entrada senoidal de la forma La salida del sistema está dada por

1 s+1

(7)

u(t) = sen t.

y(t) = sen t − cos t + e−t

2 se puede ver el análisis de la respuesta en el tiempo del sistema de primer orden, a una

En la gura 5

excitación senoidal,

u(t) = sin t.

Las señales de entrada y salida aparecen trazadas en azul y rojo, respectivamente. En color negro se ve el término exponencial que afecta a la salida del sistema,

e−t , y que dene el transitorio de la respuesta. En

color verde se han trazado las envolventes de la señal de salida. Para este análisis, es importante notar que el transitorio,

e−t (trazado de la línea punteada en color negro),

se abate en aproximadamente en 4s. Las envolventes (líneas verdes), dependen de este transitorio, es por eso que se abaten a la misma velocidad. Puede concluirse que el transitorio de este sistema es nito, por lo tanto, desaparece. Con esta condición, se dice que

el sistema es Estable en Sentido Absoluto.

2 Esta simulación se obtuvo con el

Tutorial y Guía de Estudio

♦

software de simulación Octave

Estabilidad

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Figura 5: Análisis del estado transitorio de la respuesta de un sistema de primer orden a una entrada senoidal.

Análisis del estado transitorio de la respuesta de un sistema de segudno orden a una escalón unitario. Figura 6:

Ejemplo 6. En el caso de la gura 6 se hace un análisis de la respuesta en el tiempo de un sistema de segundo orden subamortiguado, a una excitación de un escalón unitario,

u(t) = 1(t).

En la gura 6, la entrada aparece en trazo azul y la salida en trazo color rojo. El transitorio, es decir, la función exponencial que lo dene, converge aproximadamente en 20 segundos. Se puede apreciar que las envolventes lo hacen a la misma velocidad. En este momento se considera que el estado transitorio concluye. Dado que el transitorio del sistema desaparece en un tiempo nito, el sistema es

Absoluto.

Estable en Sentido ♦

Características del Estado Transitorio. Se puede notar fácilmente que la función exponencial depende únicamente de parámetros del propio sistema. Después de todo, la exponencial corresponde a aquélla que integra la solución de la ecuación diferencial del modelo del sistema. Por eso es que se le considera una característica estructural, es decir, es propia e inherente del sistema. Esto signica que no cambiará, si no es por variaciones paramétricas. Esto es, un sistema siempre tendrá el mismo transitorio; por eso es que se le llama a este criterio

en Sentido Absoluto, pues nunca cambia.

Esta condición no depende de la entrada de excitación. Se trata de un criterio global al sistema, que ignora la dinámica interna. Forma parte de un conjunto de criterios llamados de entradasalida, que relacionan las señales de entrada y salida, de forma única y no cauística. Ejemplos de estos criterios son la linealidad, la función de transferencia y la estabilidad. Cuando el transitorio desaparece, inicia el estado permanente. En este nuevo régimen, el comportamiento del sistema no cambia y la curva de salida permanece con el misma desarrollo, aunque no necesariamente con el mismo valor. Este comportamiento transitorio se repite cuando la entrada cambia en alguno de sus parámetros (magnitud o frecuencia).

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Estabilidad

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Típicamente, el estado transitorio de un sistema concluye en cuatro constantes de tiempo. Esto dene una cantidad de mérito de cualquier sistema: el tiempo de establecimiento,

ts .

Con lo anterior, podemos denir: El

Estado Transitorio de un sistema es el período en el que la dinámica del sistema evoluciona,

para empezar a perseguir a la entrada de excitación. Este período depende exclusivamente de la parametrización interna del sistema, es decir, es una característica estructural del sistema. La duración de este estado se conoce como tiempo de establecimiento y se considera equivalente a cuatro constantes de tiempo:

ts = 4 τ =

Truco:

4 σ

Truco:

(8)

Truco:

1.2.4. Estabilidad Relativa (Criterio de Bode) La Estabilidad Relativa es un criterio que es complementario al del Estado Transitorio Finito. Tambi« se le conoce como Criterio de Bode. Este criterio indica el factor en que la magnitud del sistema se puede incrementar, antes de que el sistema a lazo cerrado sea no estable. En el caso de un sistema de control con una acción proporcional simple, este incremento puede reejarse en la ganancia del controlador.

Ejemplo 7. Sea el sistema,

Σ : F (s) =

10 s(s + 1)(s + 3)

(9)

Se ha determinado controlarlo con una acción proporcional simple, de modo que la salida tenga un factor

√

de amorguamiento de

2

/2 .

La gura 7 muestra el lazo de control ya implementado. El polinomio característico del sistema a lazo cerrado es,

PK (s)

=

s3 + 4s2 + 3s + 1.1098

(10)

{−3.1623, −0.4188 ± ˆ0.4188}

(11)

cuyos polos son,

s =

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Estabilidad

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R(s)

+ −

10 s(s + 1)(s + 3)

0.11

Y (s)

Análisis del estado transitorio de la respuesta de un sistema de primer orden a una entrada senoidal. Figura 7:

Se puede excitar a este sistema con un escalón unitario y conrmar que el sistema tiene un transitorio nito. Ésta es la primera parte de este criterio de estabilidad. La ganancia proporcional puede incrementarse aún más, hasta llegar a 1.2, que es el límite antes de que el sistema de control oscile y el transitorio sea permanente. Después de este valor, el transitorio diverge y se extiende indenidamente. Eso es, que el sistema es no estable. Esto signica que el factor con que se puede incrementar la ganancia es,

MG =

1.2 = 10.909 0.11

(12)

3 y reeja la condición de estabilidad del sistema a lazo

Este resultado se conoce como Margen de Ganancia cerrado, para mantener la estabilidad.

En este criterio, basta que el Margen de Ganancia sea mayor que la unidad. Como el sistema cumple con esta condición, se dice que es estable bajo el Criterio de Bode o de Estabilidad Relativa.

Truco:

Truco:

♦

Truco:

1.2.5. Estabilidad en Sentido de Lyapunov Este criterio determina si un sistema es estable en sentido absoluto, pero únicamente en un espectro especíco de puntos operación. Resulta curioso que este criterio coincida con el concepto inicial de Estabilidad, que procede de una idea meramente física, ya que este criterio se soporta en un desarrollo matemático muy teórico. Este criterio asume que un sistema no es operado en todo el espectro teóricamente posible y hace el análisis sólo para el que puede resultar de utilidad. En realidad esto no es una restricción tan fuerte, pues cualquier sistema físico trabaja en una región operativa, que es relativamente pequeña.

3 En realidad, este resultado es análogo al concepto formal de Margen de Ganancia. Este concepto, con toda formalidad y

precisión se estudiará en el tema del

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Trazado de los Diagramas de Bode.

Estabilidad

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Esta región suele ser bien conocida y representa tan solo un subconjunto de todo el universo operativo que teóricamente alcanza el sistema. Mecionemos un par ejemplos que tienden al absurdo. Tomemos primero el caso de una cafetera. Teóricamente, una cafetera puede funcionar como una caldera, sin embargo, por las capacidades de los materiales, el tamaño y su construcción, es imposible que esto suceda. Un segundo ejemplo es el caso de un horno de pan. Del mismo modo, su modelo matemático debe incluir la restricción para dejar claro que no puede operar como un alto horno de fundición de metales. Acerquémonos a un ejempo más formal.

Ejemplo 8. Sea el sistema,

Σ : F (s) =

25 s+1

(13)

Se ha determinado controlarlo de modo que la salida sea más rápida y no oscile, Para ello, se ha elegido como estrategia de control una compensación en adelanto, según se muestra en el siguiente diagrama:

KC

R(s)

s+1 s + 3.4

25 s+1

+ −

+

Y (s)

Control de un sistema de primer orden con una ley de control en adelanto. Figura 8:

El parámetro

KC

es la ganancia del compensador. A éste se le sintoniza de acuerdo al desempeño que se

desea para el sistema. Se puede demostrar que para cualquier valor de

KC

el sistema es estable en sentido absoluto, sin embargo,

su desempeño puede no ser deseable. En la gura 9 se puede ver la respuesta en el tiempo del sistema cuando es excitado con un escalón unitario, para cinco valores diferentes de

KC .

Puede verse en la gráca de la gura 9

4 que la salida siempre presenta una discontinuidad (o salto) en

Esta discontinuidad se incrementa con el valor de

KC .

t = 0.

Para los valores superiores a 0.5, la salida tiene una

discontinuidad mayor a 0.2, lo que puede ser una desventaja en el desempeño del sistema. Si se considera que la discontinuidad es tolerable, cuando su valor es menor o igual a 0.2, entonces la sintonización aceptable de la ganancia del controlador está dentro del rango

0 < KC < 0.5,

lo que limita la

utilidad del sistema de control a un espectro de aplicaciones. El criterio de Estabilidad en el Sentido de Lyapunov, explora la estabiildad estabilidad en un espectro de puntos de operación, llamado Trayectoria de Lyapunov. Este conjunto de puntos de operación es el que puede interesar en la práctica, pues el resto no resulta de utilidad.

4 Esta simulación se obtuvo con el

Tutorial y Guía de Estudio

software de simulación Octave Estabilidad

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Análisis de la respuesta de un sistema de primer orden compensado en adelanto. Figura 9:

Los puntos de operación con

KC > 0.5,

se han trazado en color rojo. En color azul, los puntos de operación

que pueden ser de utilidad práctica.

♦

Bajo este concepto, el sistema es Estable en el Sentido de Lyapunov.

Truco:

Tutorial y Guía de Estudio

Truco:

Truco:

Estabilidad

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2.

Estabilidad en Sentido Absoluto

A partir de este punto, el concepto de Estabilidad se reduce al criterio de Estabilidad en Sentido Absoluto. Esto signica que por omisión cuando de hable de Estabilidad, se estará hablando de este criterio. Esta apreciación de hablar por omisión de Estabilidad en el sentido absoluto es convencional para todo el estudio de sistemas de control. A menos que se mencione explícitamente que se adoptará otro criterio, éste es el que se aplicará en todo diseño. En esta sección se hará el estudio especíco de este criterio.

2.1. Antecedentes y Premisas El criterio se basa en el hecho de que el transitorio desaparece en un tiempo nito. Para su estudio se retomarán algunos conceptos propios de la Respuesta en el Tiempo de los Sistemas: 1. El conjunto de transitorios de un sistema es siempre el mismo. 2. Este conjunto no cambia, pues se debe a la estructura del sistema. 3. El polinomio característico es el polinomio denominador de la función de transferencia. 4. Se dene como Polo a cada una de las raíces del polinomio característico. 5. Se dene como Cero Explícito a cada una de las raíces del polinomio numerador de la función de transferencia. 6. Como método, las raíces de un polinomio se hallan igualando a cero el polinomio y resolviendo para la variable

s.

7. Todo transitorio se debe a un polo del sistema. 8. Los ceros explícitos no generan transitorio alguno. 9. Los transitorios se reejan en forma de funciones exponenciales. 10. Los transitorios son las envolventes de la función de salida. 11. Hay tantos transitorios como polos tiene un sistema, aun cuando los polos pueden ser iguales. Entonces, el estudio de la analítica de la Estabilidad se reduce a estudiar los casos posibles de la ubicación de los polos.

Para este análisis se plantean las siguientes premisas: 1.

σ

y

ωd

son magnitudes reales, mayores o iguales a cero:

σ∈R ωd ∈ R

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: 0≤σ : 0 ≤ ωd

Estabilidad

 (14)

14/39

2. Todos los sistemas pueden descomponerse en subsistemas de primer y/o de segundo orden, además de una ganancia (subsistema de orden cero). Ejemplo 9:

F (s) =

3 1 1 =3· · (s + 1)(s + 3) s+1 s+3

♦

Ejemplo 10:

F (s) =

1 1 1 8 =8· · · s3 + 5s2 + 8s + 3 s+1 s+1 s+3

♦

Ejemplo 11:

F (s) =

s3

+

11 1 1 = 11 · · 2 + 6s + 4 s + 2 s + 2s + 2

♦

4s2

3. Todos los sistemas de primer orden tienen un polo real. Ejemplo 12:

F (s) =

Klz s+σ

→

P (s) = s + σ

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s + σ = 0

→

s = −σ ∈ R

♦

→

s = +σ ∈ R

♦

→

s = −3 ∈ R

♦

→

s = +2 ∈ R

♦

Ejemplo 13:

F (s) =

Klz s−σ

→

P (s) = s − σ

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s − σ = 0

Ejemplo 14:

F (s) =

2 s+3

→

P (s) = s + 3

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s + 3 = 0

Ejemplo 15:

F (s) =

8 s−2

→

P (s) = s − 2

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s − 2 = 0

Ejemplo 16:

F (s) =

13 √ s− 5

→

P (s) = s −

Para calcular el polo, se hace

√

5

P (s) = s −

√

5=0

→

√ s=+ 5∈R

♦

Ejemplo 17:

F (s) =

K s

→

P (s) = s

Para calcular el polo, se hace

Tutorial y Guía de Estudio

P (s) = s = 0

→

Estabilidad

s=0∈R

♦

15/39

4. Los sistemas con un término cuadrático, son de segundo orden y pueden tener polos polos complejos conjugados, o polos imaginarios conjugados. Ejemplo 18:

F (s) =

4 s2 + 2s + 5

→

P (s) = s2 + 2s + 5

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s2 + 2s + 5 = 0

→

s = −1 ± ˆ2 ∈ C

♦

→

s = +2 ± ˆ2 ∈ C

♦

s = +3 ± ˆ ∈ C

♦

Ejemplo 19:

F (s) =

s2

16 − 4s + 8

→

P (s) = s2 − 4s + 8

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s2 − 4s + 8 = 0

Ejemplo 20:

F (s) =

7 s2 − 6s + 10

→

P (s) = s2 − 6s + 10

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s2 − 6s + 10 = 0

→

Ejemplo 21:

F (s) =

3 s2 + 9

→

P (s) = s2 + 9

Para calcular el polo, se hace

P (s) = s2 + 9 = 0

→

s = ±ˆ 3 ∈ I

♦

5. Los sistemas de segundo orden sobreamortiguados y críticamente amortiguados, se descomponen en dos subsistemas de primer orden.

2.2. Analítica del Criterio de Estabilidad Con lo anterior, por la ubicación en el plano complejo, el estudio de los transitorios se reduce a los siguientes casos: 1. Polo real ubicado en el semiplano derecho. 2. Polo real ubicado en el semiplano izquierdo. 3. Polo real ubicado en el origen. 4. Polos complejos conjugados en el semiplano derecho. 5. Polos complejos conjugados en el semiplano derecho. 6. Polos imaginarios conjugados.

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

16/39

Plano F (s)

Transitorio

ˆω

e

σt

σ

O

σ

1 t

Mapa de polos y ceros de un sistema de primer orden y su transitorio, cuando el polo está ubicado en el semiplano derecho. Figura 10:

2.2.1. Polo real ubicado en el semiplano derecho. Sea el sistema de primer orden

Σ : F (s)

=

P (s)

=

Klz s−σ s−σ

σ>0

con

⇒

s = +σ

En la gura 10 se muestra su mapa de polos y ceros, así como su transitorio. Podemos hacer el análisis del transitorio en el dominio del tiempo:

L

−1



1 s−σ



=e

σt

:

   

eσt

t=0

  

eσt

t=∞



=1



= +∞

En este caso, el sistema tiene un transitorio que no termina, esto es, su duración es indenida. En la gura 10 puede verse la evolución del transitorio en el dominio del tiempo. Adicionalmente, el transitorio diverge, es decir, crece desmedidamente. Llevando esto a un sistema físico, la salida tiende a crecer desmesuradamente, lo que implica que en algún momento no podrá disipar toda la energía que genera para operar, para nalmente destruirse. Esto es, el sistema no es estable. Un polo real en el semiplano derecho genera una condición de no estabilidad. El sistema es

no estable.

2.2.2. Polo real ubicado en el semiplano izquierdo. Sea el sistema de primer orden

Σ : F (s)

=

P (s)

=

Klz s+σ s+σ

con

⇒

σ>0 s = −σ

En la gura 11 se muestra su mapa de polos y ceros, así como su transitorio.

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

17/39

Plano F (s)

Transitorio

ˆω

e

−σt

1 σ

O −σ

t

Mapa de polos y ceros de un sistema de primer orden y su transitorio, cuando el polo está ubicado en el semiplano izquierdo. Figura 11:

Podemos hacer el análisis del transitorio en el dominio del tiempo:

L

−1



1 s+σ



=e

−σt

:

   

e−σt

t=0

  

e−σt

t=∞



=1



=0

En este caso, el sistema tiene un transitorio que termina en un tiempo nito, esto es, su duración es denida. En la gura 11 puede verse la evolución del transitorio en el tiempo, donde se aprecia que se abate en un tiempo nito. Llevando esto a un sistema físico, la salida se comporta inicialmente con un efecto que resulta transitorio. Este comportamiento va desapareciendo y la salida converge a un comportamiento ya permanente. Esto es, el sistema es estable. Un polo real en el semiplano izquierdo genera una condición de estabilidad. El sistema es

estable.

2.2.3. Polo real ubicado en el origen. Sea el sistema de primer orden

Klz s P (s) = s

Σ : F (s)

=

σ=0

con

⇒

s=0

En la gura 12 se muestra su mapa de polos y ceros, así como su transitorio. Podemos hacer el análisis del transitorio en el dominio del tiempo:

  1 −1 L = e−0t s

:

   

e−0t

t=0

  

e−0t

t=∞



=1



=1

En este caso, el sistema tiene un transitorio que no termina, esto es, su duración es innita. En la gura 12 puede verse la evolución del transitorio en el tiempo, donde se aprecia que aunque no se abate, tampoco diverge.

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

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Plano F (s)

Transitorio

ˆω

e σ

O

0t

1

t

Mapa de polos y ceros de un sistema de primer orden y su transitorio, cuando el polo está ubicado en el origen. Figura 12:

Llevando esto a un sistema físico, la salida se comporta desde el inicio con un efecto que es permanente y no cambia. La salida mantiene un mismo comportamiento para todo el tiempo. Esto hace que el sistema se encuentre en la frontera de los sistemas estables y los que no lo son, es por esto que a este sistema se le clasica como

marginalmente estable.

Un polo real en el origen genera una condición de estabilidad marginal. El sistema es

marginalmente estable.

2.2.4. Polos complejos conjugados ubicados en el semiplano derecho. Sea el sistema de segundo orden

Σ : F (s)

=

Klz (s − σ)2 + ωd 2

con

P (s)

=

(s − σ)2 + ωd 2

⇒

σ > 0;

ωd > 0

s = σ ± ˆωd

En la gura 13 se muestra su mapa de polos y ceros, así como su transitorio.

Plano F (s)

Transitorio

ˆω

O

e σt sen(ωd t + β) σ

1 0 −1

σ

t

Mapa de polos y ceros de un sistema de segundo orden y su transitorio, cuando los polos están ubicados en el semiplano derecho. Figura 13:

Podemos hacer el análisis del transitorio en el dominio del tiempo:

L

−1



1 (s − σ)2 + ωd 2



=e

σt

sen(ωd t + β)

:

   

eσt sen(ωd t + β)

= sen β

  

eσt sen(ωd t + β)

= +∞

t=0

t=∞

En este caso, el sistema tiene un transitorio que no termina, esto es, su duración es indenida.

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Estabilidad

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En la gura 13 se puede ver la salida en color rojo y la exponencial (transitorio) en azul. Es importante notar que la exponencial es la envolvente de la señal senoidal. Esta salida tiene una frecuencia de oscilación constante. La componente senoidal se genera por la componente imaginaria del polo, cuyo signo no inuye, pues se aplica de forma conjugada (±ωd ). Esto puede conrmarse en el análisis de la respuesta en el tiempo de un sistema de segundo orden, en particular, a un escalón. En la gura 13 puede verse que el transitorio diverge, es decir, crece desmedidamente. En un sistema físico, la salida es oscilatoria y como la envolvente tiende a crecer desmesuradamente, también lo hará la amplitud de la salida. No varía la frecuencia, pero la energía de trabajo crece. Esto implica que en algún momento ya no podrá disipar toda esa energía, para nalmente destruirse. Esto es, el sistema no es estable. Un par de polos complejos conjugados en el semiplano derecho genera una condición de no estabilidad. El sistema es

no estable.

2.2.5. Polos complejos conjugados ubicados en el semiplano izquierdo. Sea el sistema de segundo orden

Σ : F (s)

=

Klz (s + σ)2 + ωd 2

con

P (s)

=

(s + σ)2 + ωd 2

⇒

σ > 0;

ωd > 0

s = −σ ± ˆωd

En la gura 14 se muestra su mapa de polos y ceros, así como su transitorio.

Plano F (s)

Transitorio

ˆω

1

−σ

σ

O

0

e −σt sen(ωd t + β) t

−1

Mapa de polos y ceros de un sistema de segundo orden y su transitorio, cuando los polos están ubicados en el semiplano izquierdo. Figura 14:

Podemos hacer el análisis del transitorio en el dominio del tiempo:

L

−1



1 (s + σ)2 + ωd 2



=e

−σt

sen(ωd t + β)

:

   

e−σt sen(ωd t + β)

t=0

  

e−σt sen(ωd t + β)

t=∞



= sen β



=0

En este caso, el sistema tiene un transitorio que termina en un tiempo nito, esto es, su duración es denida. En la gura 14 se puede ver la salida en color rojo y la exponencial (transitorio) en azul. La exponencial es la envolvente de la señal senoidal. Esta salida tiene una frecuencia de oscilación constante.

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Estabilidad

20/39

Como en el caso anterior, la componente senoidal aparece por la componente imaginaria del polo complejo conjugado. En la gura 14 puede verse que el transitorio converge, es decir, decrece hasta desaparecer. En un sistema físico, la salida es oscilatoria y como la envolvente tiende a decrecer hasta desaparecer, también lo hará la amplitud de la salida. No variará la frecuencia, pero la energía de trabajo disminuirá hasta un punto de trabajo permanente. Esto signica que en algún momento (dentro de un período nito) no sólo dejará de oscilar, sino que alcanzará un régimen permanente de trabajo. Esto es, el sistema es estable. Un par de polos complejos conjugados en el semiplano izquierdo genera una condición de estabilidad en sentido absoluto. El sistema es

estable.

2.2.6. Polos complejos conjugados ubicados en el eje imaginario. Sea el sistema de segundo orden

Σ : F (s) P (s)

Klz s2 + ωd 2 = s2 + ωd 2 =

con

⇒

σ = 0;

ωd > 0

s = ±ˆ  ωd

En la gura 15 se muestra su mapa de polos y ceros, así como su transitorio.

Plano F (s)

Transitorio

ˆω

1 O

σ

e 0t sen(ωd t + β) t

0 −1

Mapa de polos y ceros de un sistema de segundo orden y su transitorio, cuando los polos están ubicados en el eje imaginario. Figura 15:

Podemos hacer el análisis del transitorio en el dominio del tiempo:

L −1



1 s + ωd 2



= e0t sen(ωd t + β)

:

   

e0t sen(ωd t + β)

t=0

  

e0t sen(ωd t + β)

t=∞



= sen β



=0

En este caso, el sistema tiene un transitorio que no termina, esto es, su duración es indenida, pero que no diverge. En la gura 15 se puede ver la salida en color rojo y la exponencial (transitorio) en azul. La exponencial es la envolvente de la señal senoidal, que tiene una frecuencia de oscilación constante. Como en el caso anterior, la componente senoidal aparece por la componente imaginaria del polo imaginario conjugado.

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En la gura 15 puede verse que el transitorio no converge, ni diverge. Es decir, no desaparece, pero tampoco crece. En un sistema físico, la salida es permanentemente oscilatoria. Como la envolvente mantiene su amplitud sin desaparecer, la componente senoidal tampoco desaparecerá. No variará la frecuencia, pero la energía de trabajo será constante, por lo que desde el inicio el sistema entrará en un régimen de trabajo permanente. Así, el sistema es marginalmente estable. Un par de polos complejos conjugados en el semiplano izquierdo genera una condición de estabilidad marginal en sentido absoluto. El sistema es

marginalmente estable.

2.3. Establecimiento del Criterio de Estabilidad Con todo lo anterior, se puede decir que la condición de estabilidad se extiende a tres casos denidos por la posición de los los polos en el mapa de polos y ceros (plano cartesiano). De acuerdo a esta condición de estabilidad, podemos clasicar a los sistemas como sigue:

     Estables Condición de Estabilidad Marginalmente Estables     No estables

Se pueden establecer la siguientes conclusiones, después de este análisis:

1. La Estabilidad es una característica estructural del sistema y se dene por su estado transitorio. 2. La condici« de estabilidad está determinada exclusivamente por la parte real de los polos. 3. Para que un sistema sea estable, sus polos deben estar ubicados en el semiplano izquierdo. 4. Cuando los polos del sistema están ubicados en el eje imaginario, el sistema es marginalmente estable.

Truco:

Truco:

Truco:

La parte real del polo determina la condición de estabilidad.

La parte imaginaria del polo determina que exista una componente senoidal en la salida del sistema.

La frecuencia de oscilación de un sistema es constante y es igual a ωd .

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2.4. Ambigüedad de la Estabilidad ¾Cómo se determina la condición de estabilidad de un sistema cuyos polos representan un caso combinado o repetido, de los vistos anteriormente? Este apartado aclara este caso especial. Veremos que no es una excepción. Para resolver cada uno de estos casos (todas las combinaciones posibles), tenemos que recordar que el sistema es lineal. Recordemos que es la premisa de nuestro curso. Siendo un sistema lineal, podemos retomar el caso de las respuesta en el tiempo de un sistema MISO: la salida es la suma de las salidas producidas por cada una de las entradas. En este caso, el transitorio global del sistema es la suma de todos los transitorios. No es una selección del más grande, o del más rápido. Es la suma de todos los transitorios.

2.4.1. 1a. Ambigüedad  Caso de un Polo Estable y un Polo Marginalmente Estable En la gura 16, se puede ver el mapa de polos y ceros de este caso. Con la premisa de calcular el transitorio global del sistema,

e, como la suma

 ˆω

de los transitorios, se tiene O

e l´ım e t→∞

=

e

=

0+1=1

−σt

+e

0t

=e

−σt

+1

Por lo tanto el transitorio converge a un valor, pero no desaparece, esto coincide con un comportamiento

σ

marginalmente estable.

Figura 16: Ambigüedad con un polo estable y uno marginalmente estable.

2.4.2. 2a. Ambigüedad  Caso de un Polo Estable y un Polo No Estable En la gura 17, se puede ver el mapa de polos y ceros de este caso. Con la premisa de calcular el transitorio global del sistema,

e, como la suma

 ˆω

de los transitorios, se tiene

e l´ım e t→∞

= =

e−σt + eσt

Esto coincide con un comportamiento

Tutorial y Guía de Estudio

σ

0+∞=∞

Por lo tanto el transitorio no converge a un valor, pero incluso, se incrementa desmesuradamente.

O

no estable.

Estabilidad

Figura 17: Ambigüedad con un polo estable y uno no estable.

23/39

2.4.3. 3a. Ambigüedad  Caso de un Polo Marginalmente Estable y un Polo No Estable En la gura 18, se puede ver el mapa de polos y ceros de este caso.  ˆω

Con la premisa de calcular el transitorio global del sistema como la suma de los transitorios, se tiene

e l´ım e t→∞

=

e

=

1+∞=∞

0t

+e

σt

=1+e

O

Por lo tanto el transitorio no converge a un valor, pero incluso, se incrementa desmesuradamente. Esto coincide con un comportamiento

σ

σt

no estable.

Figura 18: Ambigüedad con un polo marginalmente estable y uno no estable.

2.4.4. 4a. Ambigüedad  Caso de un Polo Estable, un Polo Marginalmente Estable y un Polo No Estable En la 19, se puede ver el mapa de polos y ceros de este caso.  ˆω

Con la premisa de calcular el transitorio global del sistema como la suma de los transitorios, se tiene

e e t→∞ l´ım

=

e

=

0+1+∞=∞

−σt

+e +e 0t

σt

=e

−σt

+1+e

O

Por lo tanto el transitorio no converge a un valor, pero incluso, se incrementa desmesuradamente. Esto coincide con un comportamiento

σ

σt

no estable.

Figura 19: Ambigüedad con un polo marginalmente estable y uno no estable.

2.4.5. Solución a la Ambigüedad de Estabilidad Dado que la estabilidad depende enteramente de la parte real del polo, entonces es posible extender la solución de esta ambigüedad a los casos de los polos complejos conjugados. En las cuatro ambigüedades anteriores, descritas e ilustradas en 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 y 2.4.4, se puede ver que el transitorio que condiciona la estabilidad es el que está en la extrema derecha de todo el sistema. En otras palabras, el polo que tiene la parte real más grande. Con esto, basta identcar el polo del sistema que está ubicado a la extrema derecha de todo el conjunto de polos. Su condición de estabilidad es la misma que la del sistema en conjunto. Es el polo con la parte real más grande el que dene la condición de estabilidad del sistema.

Conclusión: El polo que está más a la derecha en el mapa de polos y ceros, determina la condición de estabilidad de todo el sistema. La condición de estabilidad que dene el polo con la parte real más grande, es la misma que tiene todo el sistema.

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Truco:

Truco:

Truco:

Para que un programa de cómputo determine la condición de estabilidad, debe analizar la parte real de todos los polos del sistema.

2.5. Algunos Mitos y Precisiones sobre la Estabilidad Por la importancia del tema, en esta sección se presentan algunos mitos que hay alrededor del concepto de Estabilidad y sus correspondientes precisiones. Es justo mencionar que algunos de estos mitos provienen, bien de un uso coloquial del lenguaje, o bien, de una mala traducción del término. Esto último, casi siempre en libros de texto de la materia. En cualquier caso, vale la pena conocer esta dupla mitoprecisión, para formar un criterio de uso estrico y tolerancia de los conceptos y términos.

Mito.

La estabilidad de un sistema se prueba por ensayo y error

Precisión.

Cuando un sistema a lazo abierto (la planta) o a lazo cerrado es no estable, no debe operarse

en ninguna circunstancia, pues se destruirá. Más allá del costo de perder el sistema, está el riesgo al que se exponen los operadores del mismo. La primera pérdida se puede solventar, mientras que la segunda es irreparable. Si por ensayo y error se entiende que se debe operar la planta para averiguar si es estable o no, este método debe descartarse. Existen métodos que reúnen los elementos de seguridad para determinar a priori la condición de estabilidad de un sistema, entre otros parámetros de desempeño.

Mito.

Estabilidad equivale a Estabilidad Absoluta

Precisión.

Es fácil confundir los criterios y tal vez el origen de esta discrepancia surja de la traducción de

algunos textos de la materia. El criterio se llama Estabilidad en Sentido Absoluto, porque depende de la estructura del sistema y no de la entrada, o del comportamiento nal de la salida. Es decir, depende estrictamente de un criterio estructural. El concepto está limitado por este criterio. Esto signica que un sistema es estable, por su propia dinámica, la que hace desaparecer en un tiempo nito, los transitorios que se generan cuando las condiciones de trabajo cambian. Por otro lado, el concepto de Estabilidad Absoluta no está denido y sugiere (insistiendo que solamente sugiere), que una vez alcanzado este régimen, el sistema no dejará de ser estable.

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Hay varios factores que pueden modicar la estructura del sistema, como variaciones paramétricas, perturbaciones, o cambios de estructura. Algunos de estos factores pueden modicar la condición de estabilidad. Así, la estabilidad no es absoluta. Es por esto que los términos no se consideran equivalentes.

Mito.

Las señales se estabilizan

Precisión.

Se trata de una extensión arbitraria del concepto que estudiamos formalmente.

El concepto de estabilidad está asociado exclusivamente a los sistemas de control. Es una característica estructural del sistema y que no se extiende el concepto a las señales del sistema. Las señales no son estabilizables, desde que no poseen polos. La condición de estabilidad afecta a las señales internas y a la salida del sistema, a través de las envolventes exponenciales. Es probable que este uso del término tenga que ver más con una forma coloquial, la que pretende describir el momento en que una señal converge a un valor o comportamiento nales, es decir, cuando alcanza el estado permanente. Por ejemplo, en la indicación  agregar el siguiente reactivo, sólo cuando la señal se estabilice, debemos entender que el reactivo deberá agregarse cuando la señal de referencia haya concluido su estado transitorio, es decir, cuando alcance un comportamiento permanente (que no estable). Igualmente, es cierto que en el ejercicio de campo de la Automatización y Control, el término estable se asocia (por extensión) a un status quo, que describe una condición de operación normal o segura, y que tal vez ya no va a cambiar. Es indispensable entender esta extensión del término, para hacer uida la comunicación con el personal de planta, o con quien lo use. No se trata de descalicar o insistir en la necesidad de corregirlo. En este caso, debemos validar el concepto y hasta usarlo. Sin embargo, para efectos de los desarrollos de las ingenierías básica y de detalle, el concepto debe manejarse de manera estricta y ortodoxa. Esta previsión favorece la manera de enfrentar cualquier auditoría técnica o metodolígica. En cualquier caso, la auditoría siempre será estricta en el manejo de términos.

Mito.

Los sistemas se estabilizan con la arquitectura adecuada

Precisión.

Debemos partir de la premisa de que la estabilidad es una característica estructural.

Esto signica que es parte inherente del sistema. No se puede cambiar. Diríamos coloquialmente, si el sistema se contruyó no estable, entonces no estable que queda. Si se pretende controlar una planta no estable, deberá construirse un lazo de control que sea

en su conjunto, por lo menos en el punto de operación, o en el espectro de de operación5

estable

requeridos.

5 Se conoce como Espectro de Operación, al conjunto de puntos que operación requeridos y permitidos para un sistema. Por ejemplo, sea una caldera puede trabajar en un régimen de carga base, produciendo 50 toneladas de vapor (nunca menos) y dos puntos de operación en carga normal, 55 y 58 toneladas de vapor. El espectro de operación de este proceso es O = {50, 55, 58}. Ningún otro punto de operación le será requerido ni permitido.

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El hecho que el sistema completo sea estable, no signica que la planta lo es. La planta puede ser no estable, pero a lazo cerrado, con la sintonización especíca, la operación del lazo de control debe ser segura. Por esto es que la prueba de estabilidad nal debe hacerse en las condiciones de trabajo normales.

s+2 s−1 , que es inherentemente no estable. Este sistema puede controlarse con una acción proporcional simple, como la mostrada en la gura 21, de la página 31. El sistema 1 es estable, siempre que se sintonice el controlador con una ganancia K > /2 . Por ejemplo, sea la planta

F (s) =

a

lazo cerrado

Puede decirse que la arquitectura de control no modica el polo de la planta, pero bajo ciertas condiciones de diseño, puede asegurar que todo el sistema de control a lazo cerrado sea estable. Pese a esto, no se modica la característica de no estabilidad del sistema a lazo abierto.

Mito.

La estabilidad es una propiedad parcial del sistema

Precisión.

La estabilidad es un concepto que se ha desarrollado para todo el sistema y no de manera parcial

y aditiva. Es decir, no se trata de asegurar que cada parte del sistema sea estable y así podremos asegurar que el sistema en su conjunto también lo es.

20 (s+1)(s+2)(s+3) , que se va a controlar con una acción proporcional simple, como la mostrada en la gura 21, de la página 21, si el controlador se sintoniza

Por ejemplo, sea el sistema estable con una ganancia

K > 3,

F (s) =

(todo) el sistema es no estable, antes de ese valor, para cualquier

0 < K < 3,

(todo) el sistema es estable. El hecho de que todos los componentes de un sistema sean estables, no garantiza que el sistema en su conjunto también lo sea.

Mito.

La estabilidad está condicionada a la linealidad del sistema

Precisión.

Es una apreciación muy común, que parece provenir del desconocimiento de los sistemas no

lineales (SSNL). El concepto de estabilidad que se ha desarrollado no incluye ninguna restricción en relación a la linealidad del sistema. Como tampoco lo hace con la estructura del lazo de control, la magnitud de sus constantes de tiempo, el valor del factor de amortiguamiento, el orden del sistema, o la presencia de ceros explícitos. Todas estas características son independientes de la estabilidad. Puede extenderse el concepto a los SSNL, de modo que la estabilidad depende de si sus transitorios desaparecen en un tiempo nito. Evidentemente, la prueba en los SSNL no se puede hacer por los mismos medios que se usan en los sistemas lineales, la ubicación de polos, por ejemplo. Las pruebas de estabilidad en los SSNL se hacen preferentemente con el criterio de Lyapunov.

Mito.

Los sistemas que no son estables, entonces son inestables

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Precisión.

La condición que se prueba es la de Estabilidad.

Es fácil suponer que todo aquello que no sea estable, entonces debe ser inestable. Sin embargo, la denición es por la condición de Estabilidad, no por la condición de Inestabilidad. Conocemos a los sistemas estables, porque contamos con su denición, pero la verdad es que no contamos con la denición de un Sistema Inestable. Con todo esto, se descarta el término de Inestabilidad, pues no se conoce su denición. Los sistemas los clasicamos como Estables, Marginalmente Estables, y No Estables. Como se mencionó en un punto anterior, el manejo ortodoxo de los términos es un primer paso para salir adelante de cualquier auditoría. Y todo especialista se verá sujeto alguna vez a este proceso. Por salud y sanidad, dejemos fuera el concepto de inestabilidad.

2.6. Retroalimentación y Estabilidad Sea el sistema retroalimentado (a lazo cerrado) de la gura 20.

+ −

R(s)

G(s)

Y (s)

H(s)

Arquitectura de Control para un sistema de lazo cerrado. Figura 20:

La función de transferencia del sistema de control a lazo cerrado es

Σ : F (s) =

Y (s) G(s) = R(s) 1 + G(s)H(s)

(15)

El polinomio característico de este sistema,

P (s) = 1 + G(s)H(s)

(16)

depende de la arquitectura y de estructrua de sus elementos. Esto signica que la arquitectura de control modica las características estructurales del sistema, compromentiendo la condición de estabilidad. Es por esto que el diseño de sistemas de control a lazo cerrado incluye el estudio de este polinomio característico de manera exahustiva.

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2.7. Comentarios Finales sobre la Estabilidad La Estabilidad es una característica que se sobrepone a todas las demás del sistema. A diferencia de las cantidades de mérito, en el diseño de sistemas de control, la estabilidad no acepta tolerancia. Es por eso que para validar un diseño se prueba primero su objetivo de ingeniería (para qué fue diseñado) y luego su condición de estabilidad a lazo cerrado. Si el desempeño es correcto (dentro de los márgenes de tolerancia aceptados), el diseño puede considerarse correcto, pero la prueba que completa la validación del diseño es la que garantiza que el sistema es estable a lazo cerrado, es decir, en su modo normal de operación. Si no se puede garantizar la estabilidad del sistema en este punto de operación, entonces el diseño debe ser modicado, o incluso, la arquitectura de diseño debe cambiar. El concepto de estabilidad es no acepta tolerancia. Esto signica que el sistema es estable, o es no estable. Se le considera absoluto porque está asociado a la estructura del sistema. Como no depende de la entrada ni de la forma de la salida, este criterio tiene carácter denitivo, pero sólo en lo relativo a la estructura del sistema en su conjunto. Al criterio por omisión se le conoce como Estabilidad en Sentido Absoluto, aludiendo al comentario anterior. Sin embargo, esta condición no es absoluta. Hay muchos factores que pueden hacer que un sistema pierda su condición de estable. Es decir, no existe la

estabilidad absoluta,

término que invita a creer que una vez

que el sistema es estable, nada lo puede sacar de esa condición.

3.

Ejercicios Propuestos

En esta sección hallarás los ejercicios propuestos del tema de Estabilidad. Con ellos podrás conrmar y dar seguimiento a la adquicisión del conocimiento y dominio del tema. Hay una sección reservada a los Ninja del Control

, que seguro nos mantendrá entretenidos

3.1. Estabilidad en Sentido Absoluto 3.1.1. Estabilidad a partir del Mapa de Polos y Ceros Para cada uno de los siguientes sistemas, determina si es Estable, No Estable o Marginalmente Estable, dibujando e interpretando su mapa de polos y ceros.

22 (s − 1) − 10 + 26)

1.

F (s) =

10 (s + 1)(s + 3)

4.

F (s) =

2.

F (s) =

8 (s + 5) (s + 1)(s + 2)(s + 3)

5.

F (s) =

15 (s + 1)(s − 1) (s2 − 2s + 2)

3.

F (s) =

13 (s + 1)2 (s2 + 10 + 26)

6.

F (s) =

29 s(s + 3)(s2 + 4s + 8)

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

(s2

29/39

7.

F (s) =

8.

F (s) =

9.

F (s) =

26 − 4s + 8)

27 + 4)(s2 + 9)

16.

F (s) =

12 s(s + 2)(s2 − 6s + 10)

17.

F (s) =

21 (s − 1)2 (s2 + 4)(s2 + 9)

35 s2 (s + 1)(s + 2)(s2 − 6s + 10)

18.

F (s) =

33 (s + 1)(s − 1)(s2 + 4)(s2 + 9)

s(s2

(s +

1)2 (s2

10.

F (s) =

6 s2 (s + 3)2 (s2 − 8s + 20)

19.

F (s) =

29 s(s2 − 4)(s2 + 2s + 9)

11.

F (s) =

10 2 2 s (s + 4)(s2 + 9)

20.

F (s) =

18(s − 1)2 (s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)

12.

F (s) =

21.

F (s) =

17(s + 2)2 s(s2 − 4s + 13)

13.

31 F (s) = s(s2 + 8s + 17)(s2 + 8s + 20)

22.

√ 23(s + π) √ F (s) = s(s2 + 2e2 s + 4.2 5.6)

14.

F (s) =

13 s5

23.

F (s) =

5 (s + 1)(s − 1) (s3 + 4s2 + s − 6)

15.

F (s) =

38 5 s (s + 1)(s + 2)(s − 1)

24.

F (s) =

29 (s2 + s − 2) (s3 + 4s2 − 3s − 2)

s(s2

9 + 6s + 13)(s2 + 4s + 13)

3.1.2. Estabilidad a partir de los Polos A partir del cálculo de los polos, determina la condición de estabilidad de cada uno de los siguientes sistemas, para cada uno de los escenarios, lazo abierto y lazo cerrado simple:

25.

F (s) =

10 s2 + 4s + 3

30.

F (s) =

7 s(s2 − 4)(s2 − 6s + 10)

26.

F (s) =

8 (s + 5) s2 + 6s2 + 11s + 6

31.

F (s) =

26 s(s2 − 4s + 8)

27.

F (s) =

13 (s − 1) s2 + 10 + 26

32.

F (s) =

3 s3 + 10s2 + 27s + 18

28.

F (s) =

22 (s + 1) s2 − 10 + 26

33.

F (s) =

27 s3 + 6s2 − 6s + 8

29.

F (s) =

15 (s + 2) s2 − 2s + 2

34.

F (s) =

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

s4

11(s2 + s + 1) + s3 + s2 + s + 1

30/39

35.

F (s) =

36.

F (s) =

14(s2 + 2s + 2) s4 − 31s2 + 42s + 72

s4

37.

F (s) =

25(s2 + 5) + 5s3 + 10s + 24

38.

16(s − 5)2 s3 + 2s2 + 5s + 8

F (s) =

2s4

5(s − 1)2 + s3 − s2 − s − 1

3.1.3. Estabilidad y Retroalimentación Ya se comentó que la prueba de estabilidad del sistema de control se sobrepone cualquier criterio de diseño. Es tan simple como esto: Un sistema no se opera si no se garantiza que es estable. Determina la condición de estabilidad de cada uno de los siguientes sistemas, cuando se trata de controlarlos con una acción proporcional simple, según se muestra en la gura 21, con la sintonización del controlador

K

indicada para cada caso:

R(s)

Figura 21:

s2

2 ; + 4s + 3

s2

3 ; + 1.3s + 5.8

+ −

K

F (s)

Diagrama de bloques de la Arquitectura Acción Proporcional Simple.

K = {0.25, 0.42, 0.5, 0.6, 1.5}

39.

F (s) =

40.

F (s) =

41.

F (s) =

1.1 (s + 2) ; s2 − 3s + 2

42.

F (s) =

1.8 ; (s − 1)(s + 4)2

43.

F (s) =

1.6 (s − 1)2 ; (s + 4)2

44.

F (s) =

10.6 (s + 1) ; (s + 5)(s − 1)2

con

K = {0.33, 0.91, 1.5, 2.24, 5.16}

0.8 (s − 1) ; s3 + s2 − 2

con

K = {0.44, 1.03, 2.92, 3.83, 5.75}

45.

F (s) =

Tutorial y Guía de Estudio

Y (s)

con

con

con

con

K = {1.5, 2.2, 5.4, 6.3, 7.5}

K = {0.07, 1, 6, 8.5, 10}

con

K = {5, 8.88, 10.3, 15.9, 40.1}

K = {0.03, 0.22, 1.05, 2.51, 14}

Estabilidad

31/39

46.

F (s) =

47.

1 ; s−2

F (s) =

K = {0.45, 1.53, 2, 3.11, 5}

con

s+2 ; s+1

con

K = {−0.25, −0.5, −0.75, −1, −2}6

Sugerencia. Para cada caso, construye una tabla con sus resultados. Por ejemplo:

F (s) =

2 s2 + 4s + 3

No.

K

1

0.25

P={

}

2

0.42

P={

}

3

0.5

P={

}

4

0.6

P={

}

5

1.5

P={

}

Polos de lazo Cerrado

Condición de Estabilidad

3.2. Reactivos de Autoevaluación A continuación se plantean unos reactivos del tema de Estabilidad. Se trata de calicar cada una de las armaciones como verdadera (V) o falsa (F). Ya sabemos que estos cuestionarios son tiernos En en el anexo A, de la página 36 hallarás las respuestas, para su conrmación. 1.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de Bode, si todos sus transitorios son convergentes.

2.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de salida desaparecente, si su estado transitorio desaparece en un tiempo nito.

3.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de salida convergente, si su salida tiende a un valor denido.

4.

(

)

El criterio de estabilidad en sentido absoluto, se evalúa en el estado transitorio.

5.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de Lyapunov, si su entrada de excitación es acotada, al mismo tiempo que lo es su salida.

6.

(

)

Un sistema es estable en sentido BIBO, si para un conjunto denido de puntos de operación

7.

(

)

Un sistema es estable en sentido absoluto, si su estado transitorio desaparece en un tiempo

es estable.

nito.

6 Dejemos de lado la discusión sobre si las ganancias en un controlador pueden o no ser negativas. De momento, supongamos

que es posible y veamos el extraño efecto que tiene esta sintonización.

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

32/39

8.

(

)

Un sistema es estable en sentido BIBO, si todos sus transitorios convergen en un tiempo nito.

9.

(

)

Un sistema es estable en sentido absoluto, si para un conjunto denido de puntos de opera-

10.

(

)

El criterio de estabilidad de salida convergente, se evalúa en el estado permanente.

11.

(

)

Los criterios de estabilidad en sentido absoluto y de Lyapunov, son equivalentes.

12.

(

)

Un sistema es estable en sentido absoluto, si todos sus transitorios son convergentes.

13.

(

)

El criterio de estabilidad BIBO, se evalúa en el estado permanente.

14.

(

)

Un sistema es estable en sentido absoluto, si todos sus transitorios desaparecen en un tiempo

ción es estable.

nito. 15.

(

)

Los criterios de estabilidad BIBO y en sentido absoluto, son equivalentes.

16.

(

)

El criterio de estabilidad en sentido absoluto, se evalúa en el estado permanente.

17.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de Bode, si se puede determinar el incremento en la magnitud del sistema sin que pierda la estabilidad.

18.

(

)

Un sistema de clase uno que es BIBO, también es estable .

19.

(

)

Un sistema es estable en sentido absoluto, si todos sus transitorios convergen en un tiempo

20.

(

)

Los criterios de estabilidad de Lyapunov y de Bode, son equivalentes.

21.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de Bode, si su salida tiende a un valor denido.

22.

(

)

Un sistema es BIBO si su entrada de excitación es acotada, al mismo tiempo que lo es su

23.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de Bode, si todos sus transitorios desaparecen en un

nito.

salida.

tiempo nito. 24.

(

)

Un sistema es estable por el criterio de salida convergente, si se puede determinar el incremento en la magnitud del sistema sin que pierda la estabilidad.

25.

(

)

Un sistema es estable en sentido BIBO, si su salida tiende a un valor denido.

3.3. Actividades de Investigación En esta sección planteamos algunas investigaciones que son consecuencia o están asociadas directamente al tema desarrollado en este documento. Estas investigaciones deberán desarrollarse en el cuaderno de notas, pues servirán de apoyo para posteriores temas los eventuales exámentes en línea.

Investigación 1. Criterio de Estabilidad de RouthHurwitz7 . Investiga en qué consiste este criterio de estabilidad, qué requiere para aplicarse y qué información da, cómo se interpreta para aplicarlo al concepto de estabilidad.

7 Edward John Routh, n. 20 de enero 1831 (Quebec, entonces en la Colonia brtánica de Canadá), m. 7 de junio 1907 (Cambridge, Inglaterra). Adolf Hurwitz, n. 26 de marzo de 1859 (Hildesheim, entonces en el Reino de Hannover, hoy Alemania), m. 18 de noviembre de 1919 (Zúrich, Suiza)

Tutorial y Guía de Estudio

Estabilidad

33/39

Este desarrollo tiene una amplia aplicación en el diseño de los Sistemas de Control, sobre todo en su forma algebraica. Puedes apoyarte en cualquiera de las obras de referencia: [Og'80], [Dorf '05] y [Kuo'96].

Investigación 28 . Lugar Geométrico de las Raíces9

(LGR). Para efectos de este ejercicio, como denición de este método,

puede decirse que es la gráca que describen los polos de un sistema a lazo cerrado, cuando un parámetro del sistema cambia de manera progresiva y sostenida. Esencialmente, se sigue el siguiente algoritmo: 1. Se identica el parámetro que varía, incluyendo el sentido y rango de variación. 2. Se traza el mapa de polos y ceros del sistema a lazo abierto (la planta). Para efectos de este ejercicio, haz este trazado en color negro. 3. Se sintoniza el parámetro en el límite inferior del rango de variación.

a)

Se calculan los polos del sistema a lazo cerrado.

b)

Se gracan esos polos en el mapa de polos y ceros del sistema. Para efectos de este ejercicio, haz el trazado en color azul.

c)

Se modica el parámetro.

d)

Se repite este ciclo hasta que el parámetro variable alcanza el límite del rango de variación

4. Se identica el rango del parámetro que garantiza que el sistema es estable.

Traza el Lugar Geométrico de las Raíces del sistema

F (s) =

2 s(s + 3)(s + 6)

(17)

considerando que se va a controlar con una acción proporcional simple, con la arquitectura de la gura 21 En este caso, el parámetro variable es la ganancia del Controlador

K

y su rango de variación es

10 .

0≤K