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• José Augusto Siles Ramírez

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Grupo Matagalpino de e Matemáticas "Los Karamazov" Jolman Enrique López José A. Siles R. Gerardo Manuel García

1

Funciones Reales 2 3x

1. Al evaluar la función lineal f (x) = f (x) es. a)

1 2

b) 1

c)

+

1 2

en x =

7 6

3 4

se obtiene que

d) 0

Solution 1 Sustituimos el valor de x en la función dada: f(

R.

3 ) = 4

2 3 1 ( )+ 3 4 2 1 1 = + 2 2 = 1

b)

2. Los interceptos de la función lineal f (x) = 2x

6 con el eje x y con el eje y;

1. respectivamente, son los puntos: a) (0; 6) y (3; 0)

b) (0; 6) y ( 3; 0)

c) (0; 0) y (3; 6)

d) (3; 0) y (0; 6)

Solution 2 Para los interceptos con el eje x, hacemos y = 0; en la función dada: 0 = 2x 2x = 6 6 x = 2 x = 3

6

Así el punto es (3; 0) Para los interceptos con el eje y; hacemos x = 0; en la función dada: y y y

= 2(0) 6 = 0 6 = 6

El punto es (0; 6) Los puntos de intercepción son: (3; 0) y (0; 6) R. a)

1

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3. La preimagen de y = a) x =

10 3

3, bajo la función f (x) = 7

b) x =

3 10

c) x =

3x es:

10 3

d) x = 0

Solution 3 Sustituimos el valor de y en la ecuación dada: 3 = 7 3x 3x = 7 + 3 3x = 10 10 x = 3 R.

a)

4. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos ( 1; 3) y (2; 8) es: a) f (x) = 23 x

11 3

b) f (x) =

11 3 x

+

2 3

c) f (x) = 2x

11

d) f (x) =

11 3 x

Solution 4 La regla de asignación es dada por: f (x) = mx + b; donde m es la pendiente, así: m = m = m = m =

y2 y1 x2 x1 8 ( 3) 2 ( 1) 8+3 2+1 11 3

Ahora hallamos el valor de b, utilizando el punto (2; 8), así: f (x) = mx + b 11 (2) + b 8 = 3 22 b = 8 3 24 22 b = 3 2 b = 3 2

+

2 3

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La regla de asignación es: f (x) = R. d)

11 3 x

+

2 3

5. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal de tiempo medido en años S = P (1 + rt): Si el capital es P = C$1000 y la tasa anual de interés es r = 4%; entonces la cantidad devengada S pasado 15 años es: a) $61000

b) $1600

c) $7000

d) $16000

Solution 5 Sustituimos los valores dados en la función: S = P (1 + rt) S S S S R.

= = = =

1000 [1 + (0:04)(15)] 1000(1 + 0:6) (1000)(1:6) 1600

b)

6. Sea h una función lineal tal que h( 2) = 5 y h(6) = 3; la función h(x); donde x es cualquier número real está de…nida por: a) h(x) = 5x + 3

b) h(x) = 92 x +

1 4

c) h(x) =

2x + 6

d) h(x) =

1 4x

+

Solution 6 Según los datos, tenemos dos puntos: A( 2; 5) y B(6; 3);la función buscada es del tipo f (x) = mx + b: Hallamos el valor de m :

m = m = m = m =

3

5 6 ( 2) 2 6+2 2 8 1 4

3

9 2

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Ahora hallamos el valor de b, usando el punto: B(6; 3) : b

= f (x)

mx 1 )(6) 3 ( 4 3 3+ 2 6+3 2 9 2

b

=

b

=

b

=

b

=

1 4x

La función es de…nida por: f (x) = R. d)

+

9 2

7. Se f una función de números tal que f (2) = 3; y f (a + b) = f (a) + f (b) + ab; 8a; b:Entonces, f (11) es igual a: a) 22

b) 33

c) 44

d) 66

Solution 7 Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f (4): f (4) f (4) f (4) f (4)

= = = =

f (2 + 2) f (2) + f (2) + (2)(2) 3+3+4 10

Ahora hallamos el valor de f (6) : f (6) f (6) f (6) f (6)

= = = =

f (4 + 2) f (4) + f (2) + (4)(2) 10 + 3 + 8 21

Ahora hallamos el valor de f (10) : f (10) f (10) f (10) f (10)

= = = =

f (6 + 4) f (6) + f (4) + (6)(4) 21 + 10 + 24 55

Para hallar f (11); debemos encontrar el valor de f (1);así:

4

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f (2) 3 3 1 2

= = = =

f (1) + f (1) + (1)(1) 2f (1) + 1 2f (1) 2f (1) 2 f (1) = 2 f (1) = 1

Así: f (11) f (11) f (11) R.

= f (10) + f (1) + (10)(1) = 55 + 1 + 10 = 66

d)

8. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). Si la estatura de cierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los 7; entonces al expresar y como función de t; se obtiene: a) y(t) = 33

2:5t

b) y(t) = 2:5t + 33

c) y(t) = 33t

2:5

d) y(t) = 2:5t

Solution 8 Por los datos dados, la función buscada es del tipo: y(t) = mx + b; y además nos dan dos puntos: A(6; 48) y B(7; 50:5): Hallamos el valor de m : m = m =

50:5 48 7 6 2:5

Usamos el punto A(6; 48), para hallar el valor de b : y(t) 48 48 b b

= = = = =

mx + b (2:5)(6) + b 15 + b 48 15 33

La función buscada es y(t) = 2:5t + 33 R. b) 5

33

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9. Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los ejes X; Y: a) f (x) = x 1; 2u2 c) f (x) = x + 1; 0:5u2

b) f (x) = x 1; 0:25u2 d) f (x) = x + 1; 2u2

Solution 9 La función buscada es del tipo: f (x) = mx + b; según los datos tenemos los puntos: A(0; 1) y B(1; 0); hallando m : 0 1

m =

1 0

1 1 1

m = m =

Hallando el valor de b usando el punto: A(0; 1) : y = mx + b 1 = ( 1)(0) + b 1 = b La función buscada es: f (x) = x + 1 Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: A(0; 1) y B(1; 0); formando un triángulo de base 1u: Así: A = A = A = R.

1 bxh 2 1 (1)(1) 2 1 2 u 2

c)

6

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10. Al evaluar la función cuadrática f (x) = que su imagen vale: a)

1 2

b) 1

c)

2 2 3x

+

1 2

en x =

1 8

3 4

se obtiene

1 4

d)

Solution 10 Sustituimos el valor de x en la función dada: 3 ) = 4 3 ) = 4 3 ) = 4 3 ) = 4 3 ) = 4

f( f( f( f( f( R.

2

2 3 1 + 3 4 2 2 9 1 + 3 16 2 3 1 + 8 2 3+4 8 1 8

c)

11. Los interceptos de la función cuadrática g(x) = x2 y con el eje y; respectivamente, son los puntos: a) ( 1; 0) y ( 5; 0)

b) (1; 0) y (5; 0)

c) (0; 0) y ( 1; 5)

Solution 11 Interceptos con el eje x, hacemos y = 0 0 2 x + 6x + 5 (x + 5)(x + 1) x+5 x+1

= x2 6x 5 = 0 = 0 = 0!x= 5 = 0!x= 1

Los interceptos en el eje x son: ( 1; 0) y ( 5; 0) Interceptos con el eje y, hacemos x = 0: y y y

= = =

(0)2 6(0) 0 0 5 5

El intercepto con el eje y es en (0; 5) 7

6x

5

5 con el eje x

d) (3; 0) y (1; 5)

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12. El dominio y el rango de la función cuadrática f (x) = tivamente: a) R y ( 2; 6)

b) R y ( 1; 6]

c) ( 2; 0) y ( 1; +1)

2x2 + 6 son respec-

d) [ 6 ; +1) y [ 2 + 1)

Solution 12 2x2 + 6; es como se muestra:

La grá…ca de la función f (x) =

10

y

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5

-10

Vemos que su dominio es todo R. Para el rango debemos hallar el valor de k = f (x); el cual tiene como abscisa x = 0; por lo cual: y y y

= = =

2(0)2 + 6 0+6 6

Así, el rango es: ( 1; 6] R. b)

8

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13. Dada la función f (x) = ax2 + bx + c; el valor de f ( a)

c

b2 4a

b) c2

b2 4a

b2 4a

c) c

b 2a )

es:

d) c +

b2 4a

Solution 13 Evaluamos

b 2a

en la función dada: f (x)

f f f f f f f R.

b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a

= ax2 + bx + c b 2a

= a

2

b 2a

+b

+c

b2 b2 +c 2 4a 2a b2 b2 +c 4a 2a b2 2b2 + 4ac 4a 2 b + 4ac 4a 2 b 4ac + 4a 4a 2 b c 4a

= a = = = = =

c)

14. Dada las parábolas x2 3x + 1 y x2 + 2x + 7; la distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas es: a) 8:2345

b) 9:2635

c) 7:2635

d) 8:2635

Solution 14 Los puntos pedidos en las curvas son los vértices. Las coordenadas de éstos b están dadas por h = 2a y k = f (h): Así para x2 3x + 1; h1 y k1 valen: h1

=

( 3) 3 = 2(1) 2

k1

=

3 2

k1

=

k1

=

k1

=

9 4 9

2

3 9 +1 2 18 + 4 4

5 4 9

3 2

+1

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El vértice de esta función es: V1 ( 32 ; 54 ) Ahora hallamos h2 y k2 para x2 + 2x + 7 : h2

=

k2 k2 k2

= = =

2 =1 2( 1) (1)2 + 2(1) + 7 1+2+7 8

El vértice de esta función es: V2 (1; 8) Hallamos la distancia entre éstos dos puntos: p d(V1 ; V2 ) = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 s 2 3 2 5 d(V1 ; V2 ) = (1 ) + 8 ( ) 2 4 s 2 2 32 + 5 2 3 d(V1 ; V2 ) = + 2 4 s 2 2 37 1 d(V1 ; V2 ) = + 2 4 r 1 1369 d(V1 ; V2 ) = + 4 16 r 4 + 1369 d(V1 ; V2 ) = 16 r 1373 d(V1 ; V2 ) = 16 d(V1 ; V2 ) 9:2635 R.

b)

15. Las funciones lineales de…nidas por f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1; forman un triángulo isósceles con el eje X: El área de dicho triángulo es: a) 1:25u2

b) 0:75u2

c) 1u2

d) 1:5u2

Solution 15 Las coordenadas según f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1: Son los puntos: A(1; 0); B(0; 1) y C( 1; 0); (0; 1) El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X, tiene como base 2u y altura 1u:

10

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Entonces: b h 2 (2u)(1u) 2 1u2

A = A = A = R.

c)

16. Las preimágenes de y = 5 bajo la función f (x) = x2 p p p a) x = 8 10 b) x = 4 10 c) x = 2 10

4x

1 son: p d) x = 1 10

Solution 16 Evaluamos y = 5 en la función: y = x2

x2

4x

5 6 x1;2 x1;2 x1;2 x1;2 x1;2

R.

4x

1

= x2 4x 1 = 0 p ( 4) ( 4)2 = 2(1) p 16 + 24 4 = p2 4 40 = 2p 4 2 10 = 2 p = 2 10

4(1)( 6)

c)

17. La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos ( 3; 20); ( 1; 4) y (2; 5) es: a) f (x) = 3x2 x + 5 c) f (x) = x2 4x 1

11

b) f (x) = 3x2 + 5x d) f (x) = 4x2 + 23

1

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Solution 17 La expresión funcional de una parábola es de la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos: 8 < 9a 3b + c = 20 (1) a b+c=4 (2) : 4a + 2b + c = 5 (3) 8 < 9a 3b + c = 20 a b+c=4 Eliminando a : 6b 3c = 21 8 < a b+c=4 9a 3b + c = 20 Ordenando : 6b 3c = 21 8 < a b+c=4 6b 8c = 16 Eliminando a : 6b 3c = 21 8 < a b+c=4 6b 8c = 16 Eliminando b : 5c = 5 De lo anterior se puede ver que c =

a

5 5

=

6b 8c 6b 8( 1) 6b + 8 6b 6b

= = = = =

b

=

a b+c ( 4) + ( 1) a+4 1 a+3 a a

= = = = = =

1, y

16 16 16 16 8 24 24 = 4 6 4 4 4 4 4 1

3

La expresión buscada es: y y R.

= (1)x2 + ( 4)x + ( 1) = x2 4x 1

c) 12

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18. El vértice y el rango de la función cuadrática que pasa por los puntos ( 2; 53); (0; 5) y (2; 29) es: a) ( 2; 3) y ( 1; 5

b) ( 2; 3) y ( 1; 3

c) ( 13 ; 4) y [4; 1)

d) (2; 3) y [2; 1)

Solution 18 Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos: 8
< x 2; si x 2 c) f (x) = 2 x; si 0 x < 2 > > : 2 + x; si 2 < x 2; si x 2 Así, puede verse que: f (x) = 2 x; si 0 x < 2 > > : 2 + x; si 2