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BITÁCORA: Funciones Reales

Otra manera de decir lo anterior es que una entrada a no puede dar dos resultados diferentes.

1. Introducción

Ejemplo 1.3 El conjunto {(2, 4), (4, 5), (7, 3)} es una función, y nos dice que el 2 se relaciona con 4, que 4 se relaciona con el 5, y que el 7 se relaciona con el 3. Además, los valores de entrada (primeras componentes) son {2, 4, 7} y forman el dominio, y el rango es {4, 5, 3}

El concepto de función es uno de los más importantes no solo en matemática, sino en ingeniería y ciencias en general. La propiedad esencial que comparten todas las definiciones de función es que se trata de una regla que asigna a cada ente de un conjunto de partida un único ente de otro conjunto de llegada. Una función describe una relación matemática entre dos magnitudes, algo que podemos encontrar con frecuencia a nuestro alrededor.

Conclusión una función relaciona entradas con salidas. una entrada y la salida que se corresponden conforman un par ordenado.

Cuaderno 1.1 Anota en tu cuaderno, en no más de 20 líneas, algunos antecedentes históricos sobre funciones.

una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con elementos de otro conjunto (el codominio).

Las funciones que trataremos en este tema son aquellas cuyos conjuntos inicial y final son precisamente el de los números reales (función real de variable real). De esta forma una función creará una colección de pares de valores reales (x, y), que gráficamente representan puntos del plano xy y que se denominan coordenadas cartesianas del punto. A su vez cada coordenada tiene un nombre particular, x es la llamada abscisa e y la ordenada.

los valores de entrada constituyen el dominio de la función. los valores de salidas constituyen la imagen o rango de la función. una entrada sólo produce una salida. Como consecuencia de esto podemos establecer otra forma equivalente de definición de función: Definición 1.4 Una función es una regla que a cada dato de entrada asigna un único dato de salida

ACTIVIDAD -AULA 1. ¡Su atención por favor! El canal del tiempo informa sobre las temperaturas mínimas en Temuco la primera semana de julio.

Como tenemos datos de entrada y salida, una función conecta dos conjuntos A y B, en donde A es el dominio de la función y B su codominio.

fecha (t) 1 2 3 4 5 6 7 Temperatura (T ) 0 3 2 2 1 1 4

Notación: f : A → B,

¡Qué frio el lunes! Bueno, eso no es lo más importante. Se observa una tabla de doble entrada en donde cada día da lugar a una y sólo una temperatura mínima. De la tabla conseguimos algunos pares de números. Por ejemplo, (1, 0), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (5, 1), (6, 1), (7, 4). Estos pares de números se pueden trazar en el plano cartesiano que muestra la figura

x 7→ y = f (x)

se lee “ f es una función de A en B que asocia a cada elemento x ∈ A el único elemento y ∈ B”. La notación f (x) representa la imagen que le corresponde al elemento x por medio de f . Otras letras como g, h también son usuales para denotar funciones. Definición 1.5 1. Se llama dominio o campo de existencia de una función al conjunto de valores x para los cuales tiene sentido la expresión y = f (x), es decir, al conjunto de valores que tienen imagen; se representa por dom(f ). dom(f ) = {x ∈ R/ y = f (x) ∈ R} 2. El conjunto formado solamente por los elementos de salida conforma el llamado imagen, rango o recorrido de la función, el que, por supuesto, es subconjunto del codominio. Esto se expresa en la forma:

Definición 1.2 Una función es un conjunto de pares ordenados que no contiene dos pares distintos con la misma primera componente; esto es, si (a, b) y (a, c) pertenecen al conjunto, entonces b = c.

rang(f ) = rec(f ) = Im(f ) = {y ∈ R/ y = f (x)} 1

La ley de una función puede ser definida de múltiples formas, pero en cada una de ellas debe cumplirse la condición básica “ para cada x en el dominio de la función debe existir una y sólo una imagen de este x”.

Al representar una función f en el sistema cartesiano, los pares ordenados (x, f (x)) se representan como puntos en el plano, de manera que podemos concluir que la gráfica de una función es un subconjunto del plano cartesiano. No toda curva en un plano cartesiano representa una función por lo tanto, tiene sentido preguntarse ¿Cuándo una curva en un plano cartesiano representa una función?

Ejemplo 1.6 f : R → R, x 7→ x + 2. Es la función que a cada número le asocia el mismo número más dos. √ f : R+ → R, x 7→ x. Es la función que a cada número le asocia su raíz cuadrada. 1 f : R − {0} → R, x 7→ . Es la función que a cada x número le asocia su inverso multiplicativo.

1.0.3.

La prueba de la línea vertical

En un gráfico de función, ninguna línea vertical la intersecta más de una vez. Si alguna cruzara más de una vez no sería una función.

f : R → R, x 7→ x3. Es la función que a cada número le asocia su cubo. f : R → R, x 7→ |x|. Es la función que a cada número le asocia su valor absoluto. 1.0.1.

Calculando dominio y recorrido

Ejemplo 1.7 Considera la función f : D → R definida x de la forma f (x) = 2 x −1 x tiene sentido para Dominio: La expresión f (x) = 2 x −1 todos los valores que no anulan el denominador, es decir, todos los valores x tales que x2 − 1 6= 0. Como los únicos valores que anulan el denominador son x = ±1, el dominio máximo de la función será D = R − {−1, 1}.

Actividad en aula 1.9 Hallar dominio, recorrido y es1 bozar una gráfica de f (x) = . x−1 Cuaderno √ 1.10 Halla dominio y recorrido de la función f (x) = 1 − x2. Utiliza un software para que veas la gráfica. Anota en ella dominio y recorrido.

Recorrido: Lo primero que debes tener claro es que el recorrido o rango te lo proporcionan las y. Luego, se despeja la variable x: p x 1 ± 1 + 4y 2 2 y= 2 ⇐⇒ x y − x − y = 0 ⇐⇒ x = x −1 y

1.0.4.

Calculando imágenes

Queremos que aprendas a obtener las imágenes que produce una función.

Los valores permitidos son los del rango. Esto es, p 1 ± 1 + 4y 2 ∈ R ⇐⇒ y 6= 0 y

Ejemplo 1.11 Sea h : R → R, tal que h(x) = 3x − 1. Completa la tabla.

En consecuencia, rang(f ) = {y/ y 6= 0} = R − {0}

A continuación, una forma diferente de representación (sagital) de funciones.

1.0.2.

x 1 h(x)

Gráfico de la función

−2

0

a

x+a ∆

♥

Ejemplo 1.12

Definición 1.8 Sea f : A ⊂ R −→ R una función. El gráfico o gráfica de f es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f (x)) tal que x ∈ dom(f ). A su representación en el plano se le denomina curva o lugar geométrico. Escribimos

1. Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. Se define f de A en B como f (1) = 4, f (2) = 7, f (3) = 5, f (4) = 7. Nota que f es función. (figura 1). El dom(f ) = A y rec(f ) =

graf (f ) = {(x, f (x)) ∈ R × R/ x ∈ A}

2

2. Se define g de A en B como g(1) = 4, g(2) = 7 y g(3) = 5. Note que g no es función, ya que 4 no tiene imagen. En un diagrama se ve como la figura 2

De esta gráfica observamos las siguientes características: Se trata de una función, cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Esto es, dom(f ) = R.

3. Se define h de A en B como h(1) = 5, h(2) = 8, h(3) = 7, h(4) = 6 y h(1) = 4. Note que h no es función, ya que 1 tiene dos imagenes distintas. Esto se ve en la figura 3.

Esta función tiene por rango o recorrido al conjunto de los números reales. Esto es, rang(f ) = rec(f ) = R. Esta función lineal en inyectiva o “uno a uno”. Si trazas una recta paralela al eje x, ésta corta a la recta en un solo punto, eso quiere decir que cada valor de x está conectado con un y solo un valor de y. Formalmente Definición 1.14 La función f : A → B es inyectiva si a valores del dominio distintos, corresponden imágenes distintas. Esto es, f inyectiva ⇐⇒ x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)

1.0.5.

Funciones inyectivas

La lógica indica que la contra-recíproca es:

Para introducir el concepto usaremos un gráfico sagital

f inyectiva ⇐⇒ f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2 Es claro que a partir de la gráfica uno puede determinar fácilmente si la función es o no inyectiva. Veamos como se hace de forma algebraica. Para empezar, lo que debes usar es la equivalencia lógica f inyectiva ⇐⇒ f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2 ello por que es más sencillo trabajar con igualdades. Se tiene: f (x1) = f (x2) =⇒ 2x1 − 1 = 2x2 − 1 =⇒ x1 = x2

El sinónimo de inyectiva es “uno a uno”, y resulta muy adecuado para ilustrar esta propiedad. La figura muestra que cada elemento del primer conjunto se conecta con un solo elemento, distinto, del segundo conjunto.

En consecuencia es inyectiva. Esto significa que cada elemento del dominio está conectado con uno y sólo uno del recorrido.

Ejemplo 1.13 La expresión y = 2x − 1 corresponde a una línea recta de pendiente m = 2. Tabulamos algunos puntos:

1.0.6.

funciones sobreyectivas

En la figura se observa que NO queda ningún elemento del conjunto de llegada sin tener conexión con uno del dominio. Si esto ocurre siempre decimos que la función es sobreyectiva. Ahora te muestro como probar, algebraicamente, que una función es sobreyectiva.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 Con estos datos podemos graficar y tener lo que muestra la figura siguiente. 3

Definición 1.16 La función f : A → B es sobreyectiva si todo elemento del codominio se encuentra conectado con uno del dominio. ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A tal que y = f (x) En términos gráficos, esto significa, que en el codominio de la función:

toda recta paralela al eje x debe cortar al gráfico de f Más aún, podemos establecer que una función es sobreyectiva si el codominio es igual al recorrido. De esta forma, toda función que se defina como f : A → f (A) es sobreyectiva.

Ejemplo 1.15 f (x) = x2 +1 representa una parábola con vértice en (0, 1) abriéndose hacia arriba

1.0.7.

Función compuesta

Para ilustrar la situación suponga que tenemos tres ciudades, Temuco, Pucón y Valdivia. El individuo x ha llegado al terminal Temuco y pregunta en ventanilla por buses a Valdivia. El encargado de pasajes le hace saber que tiene dos alternativas de viaje, una pasando por Pucón en el bus f y continuando en el bus g a Valdivia, y la otra en un bus directo a Valdivia. La gráfica siguiente ilustra que en ambos casos el individuo llega a su destino. La primera alternativa significa que el viaje está compuesto de dos recorridos, Temuco-Pucón y posteriormente Pucón-Valdivia.

Es claro que el dominio de esta función es todo R y su recorrido es [1, ∞). Es decir, podemos establecer que: f : R → [1, ∞), x 7→ f (x) = x2 + 1 Te habrás dado cuenta que esta función no es inyectiva. Veamos la prueba de la sobreyectividad. Sea y ∈ rec(f ), entonces este y es imagen de algún x del dominio, es decir, y = f (x) = x2 + 1 se sigue de esto que p x + 1 = y =⇒ x = y − 1 =⇒ x = ± y − 1 2

2

Esto significa que el elemento que produce el y como √ imagen es ± y − 1. En efecto; p p f (± y − 1) = (± y − 1)2 + 1 = y − 1 + 1 = y Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:

Por tanto esta función es sobreyectiva. En particular, si se considera la función f : R → R, x 7→ f (x) = x2 + 1, entonces ella no es sobreyectiva, tal como se ve en la figura siguiente.

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) Definición 1.17 Sean f : A → B, g : B → C funciones. La función g ◦ f : A → C tal que (g ◦ f )(x) = g(f (x)), se llama función compuesta de f y g. De manera análoga se define f ◦ g. Debe tenerse claro que los valores g(x) deberán estar en el dominio de f para poder realizar (f ◦ g), y que los valores f (x) deberán estar en el dominio de g para poder hacer (g ◦ f ) 4

ACTIVIDAD -AULA 2. Se consideran las funciones, f (x) = x2 que hace que a cada elemento x le corresponda su cuadrado, y g(x) = 2x + 1 que asocia a cada elemento x su doble más uno. Vamos a jugar con estas funciones y a descubrir que sucede cuando es posible componerlas. (a) Si f (x) = x2, entonces f (a + b) = (b) Si f (x) = x2, entonces f (?) = (c) Si g(x) = 2x + 1, entonces g(0) = (d) Si g(x) = 2x + 1, entonces g(x + y) = (e) Si g(x) = 2x + 1, entonces g(?) = (f) Si f (x) = x2, y g(x) = 2x + 1, entonces f (g(x)) = (g) Si f (x) = x2, y g(x) = 2x + 1, entonces g(f (x)) = 1.0.8.

Hagamos composición de funciones. (f −1 ◦ f )(1) = f −1(f (1)) = f −1(0) = 1 (f −1 ◦ f )(2) = f −1(f (2)) = f −1(2) = 2 (f −1 ◦ f )(3) = f −1(f (3)) = f −1(1) = 3 (f −1 ◦ f )(4) = f −1(f (4)) = f −1(3) = 4

Funciones Inversas

Sabemos que una función es un conjunto de pares ordenados. Se nos pudiera ocurrir la idea de dar vuelta los pares y ver si el nuevo conjunto obtenido es de nuevo una función. Veamos esto de inmediato.

Esto nos lleva a establecer que si partimos con x en el dominio de f obtenemos de nuevo x al componer. Te pido que completes lo siguiente para saber si también ocurre:

Ejemplo 1.18 Consideremos el conjunto de pares:

(f (f (f (f

f = {(1, 0), (2, 2), (3, 1), (4, 3)} Es claro que se trata de una función. Al dar vuelta los pares nos queda g = {(0, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 4)}

◦ f −1)(0) = f (f −1(0)) = f ( ◦ f −1)(2) = f (f −1(2)) = f ( ◦ f −1)(1) = f (f −1(1)) = f ( ◦ f −1)(3) = f (f −1(3)) = f (

)= )= )= )=

Para que esto pudiese ocurrir, claramente la función f debe ser inyectiva, eso hace que a un elemento en el dominio correponda un sólo elemento en el recorrido, de esa forma se garantiza que la función g tenga una sola imagen, y por ende represente una función.

Al mirar los pares nos damos cuenta que si tenemos una nueva función. Ejemplo 1.19 Se considera el conjunto f = {(1, 2), (0, 4), (3, 0), (4, 2)} Al dar vuelta los pares tenemos:

Definición 1.20 Dada una función y = f (x), se llama función inversa de f se denota por f −1 a otra función que para cualquier valor del dominio de f se cumple que:

g = {(2, 1), (4, 0), (0, 3), (2, 4)} Se observa que g no cumple con la definición de función pues existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta. En este caso, el invertir los pares no generó una función.

(f ◦ f −1)(x) = x

y

(f −1 ◦ f )(x) = x

¿Cuáles funciones son las que tienen inversa? La respuesta es sencilla: Las biyectivas (inyectivas más sobreyectivas). Exigimos biyectiva pues puede ocurrir una situación como muestra la figura siguiente, en donde a los elementos en B que no están conectados con un elemento en A no le podemos asignar una imagen de vuelta.

Si resulta en el primer caso y no en segundo, debe existir una razón. Tratemos de buscarla Algunos hechos que podemos notar: Al dar vuelta los pares, el dominio de f se transforma en el recorrido de g, y a la vez, el recorrido de f pasa a ser el dominio de g. Si la inversa de f la denotamos por f −1, entonces para f = {(1, 0), (2, 2), (3, 1), (4, 3)} la función inversa es f −1 = {(0, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 4)} Se observa, por ejemplo, que f −1(0) = 1 =⇒ f (1) = 0, f −1(3) = 4 =⇒ f (4) = 3 deduciéndose que, en general f −1(y) = x =⇒ f (x) = y Una gráfica que ilustra la situación es la siguiente: 5

Ejemplo 1.21 Hallar la función inversa de y = 5x − 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema coordenado.

1.0.9.

Gráfica de la Inversa

A través de un ejemplo te mostraré como podrías graficar sin mucho esfuerzo la inversa de una función.

El método directo para hallar la inversa, si es que existe la inversa, es despejar la variable x y luego reemplazar la letra y por x. Mira con atención.

Ejemplo 1.25 Sea f : R ∪ {0} → R ∪ {0} tal que x 7→ x2. Te muestro su gráfica

1 y = 5x − 2 =⇒ x = (y + 2) 5 Cambiando la y por x se tiene que y = 51 (x + 2) es la función inversa de y = 5x − 2. Otro método se obtiene de la definición en base a la composición y es el siguiente: f (f −1)(x) = 5f −1(x) − 2 = x =⇒ f −1(x) =

x+2 5

el mismo resultado anterior. Actividad en aula 1.22 Para cada gráfica siguiente decide si existe función inversa.

Tal como está definida, la función es inyectiva y sobreyectiva (biyectiva), de modo que la inversa existe. Su determinación es como sigue: y = x2 =⇒ x =

√

y

para la existencia de la raíz, la y ≥ 0. La inversa es: g(x) = f −1(x) =

√

x

Te hago ambas gráficas en un sólo plano Desde una gráfica, podemos establecer que: La función f tiene una inversa f −1 si y sólo si cualquier recta paralela al eje x intersecta a la curva en un solo punto de su recorrido. Actividad en aula 1.23 1. Comprueba que son inversas las funciones f (x) = √ x + 4 y g(x) = x2 − 4. 2. Calcula la inversa de: a) y = −2x + 3

b) y =

√

Lo que observaste en la gráfica es los siguiente: x+5

En términos geométricos, la gráfica de f −1 es el reflejo de f en la recta y = x, lo que es equivalente a decir que las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y = x.

3. Determinar si la función f : R − {1} → R tal que 1 f (x) = x−1 es inyectiva y/o sobreyectiva. Haz la gráfica y ve si puedes restringir para hallar la función inversa. Cuaderno 1.24 Determina los conjuntos A, B ⊂ R para x+3 la función f : A → B tal que f (x) = 2x−5 sea biyectiva. Halla luego la función inversa. Usa un software para ilustrar la función y su inversa. ACTIVIDAD -AULA 3. Sea T (x) la temperatura en grados F ◦ que marca un termómetro cuando la columna de mercurio alcanza x cms de longitud. Responde, en palabras:

ACTIVIDAD -AULA 4. (a) Haz un bosquejo de la gráfica de f −1 para cada una de las funciones dadas en el gráfico siguiente. Utiliza la recta y = x para ello.

(a) ¿Qué significa T (10)? (b) ¿Qué significa T −1(75)? 6

Si la curva que representa la función se halla en el primer y/o cuarto cuadrante, gírala sobre el eje y, pónla sobre el segundo y/o tercer cuadrante, gírala ahora sobre el eje x negativo y pónla en el primer y/o tercer cuadrante, si es la misma curva original pero reflejada como en un espejo, entonces f es una función impar. Si no fue buena la explicación, mira las figuras:

1.1 Propiedades de la funciones Vamos a estudiar algunas propiedades interesantes que poseen algunas funciones reales de uso habitual. Te haré una lista de las propiedades y las iremos ilustrando a medida que te de a conocer las funciones que interesa estudiar. Monotonía La expresión “ monótona” involucra dos tipos de comportamientos en las funciones, el crecimiento (a medida que la x crece la y también crece) y el decrecimiento (a medida que la x crece la y decrece).

f es par ⇐⇒ f (x) = f (−x), ∀x, −x ∈ dom(f ) f es impar ⇐⇒ f (x) = −f (−x), ∀x, −x ∈ dom(f )

f es creciente ⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2) f es decreciente ⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2)

1.1.1.

f es estrictamente creciente ⇐⇒ f (x1) < f (x2)

Definición 1.26 Una relacion funcional de la forma y = mx+n se denomina función lineal. El número real m se llama pendiente o tasa de cambio de y con respecto a x.

x1 < x2 =⇒

f es estrictamente decreciente ⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f (x1) > f (x2)

Funciones Lineales

Ejemplo 1.27 La función lineal y = 2x − 1 es una recta, y su gráfica es la siguiente:

Acotamiento

De esta gráfica observamos las siguientes características:

Aquí lo único que cuenta es el rango o recorrido de la función. Si el rango está acotado entonces la función se dice acotada, en caso contrario, no acotada. En términos algebraicos

Esta función lineal tiene por dominio al conjunto de los números reales. Esto es, dom(f ) = R. Esta función lineal tiene por rango o recorrido al conjunto de los números reales. Esto es, rang(f ) = rec(f ) = R.

f es acotada ⇐⇒ ∃M ∈ R tal que |f (x)| ≤ M , ∀x ∈ dom(f ) Paridad e Imparidad

Esta función lineal es creciente, al “caminar” sobre el eje x de izquierda a derecha los valores de las imágenes van creciendo, cada vez son mayores.

Desde un punto de vista geométrico, las funciones pares son las que presentan simetría respecto del eje y, así como las impares la presentan respecto del origen. Para descubrir paridad o imparidad piensa como sigue:

Esta función lineal no es acotada, al “caminar” indefinidamente hacia la izquierda sobre el eje x no existe un valor en la imagen que sea el menor de todos como tampoco existe uno que sea el mayor de todos al “caminar” sin parar sobre el eje x hacia la derecha.

Si la curva que representa la función se halla en el primer y/o cuarto cuadrante, gírala sobre el eje y y pónla sobre el segundo y/o tercer cuadrante, si todo coincide, entonces f es una función par. 7

Esta función lineal en impar. Esto se ve de la gráfica como sigue: Tomas la gráfica del primer cuadrante, la “doblas” sobre el eje y para ponerla sobre el segundo cuadrante, luego la “doblas” sobre el eje x la pones en el tercer cuadrante. Si todo calza, la función es impar. Actividad en aula 1.28 1. Graficar en el plano cartesiano las funciones: f (x) = x,

f (x) = 2x,

3. Si n es impar, entonces el recorrido es el intervalo (−∞, ∞). En este caso la función no tiene valor mínimo ni máximo. Por ejemplo, con n = 3 se tiene la parábola y = x3 que satisface esta propiedad.

f (x) = x − 1

2. En otro plano graficar las funciones: f (x) = −x,

f (x) = −3x,

f (x) = −x + 1,

f (x) = 2

Cuaderno 1.29 La gráfica de la temperatura en grados Fahrenheit (F ) en función de la temperatura en grados celcius (C) es una recta. Se sabe que 212◦ F y 100◦ C representan la temperatura a la que hierve el agua. De igual manera, 32◦ F y 0◦ C representan el punto de congelación del agua. 1. Escribir la ecuación de la recta 2. ¿Qué temperatura F corresponde a 20◦ C? 3. ¿Qué temperatura tiene el mismo valor tanto en F como en C?

El acotamiento:

4. Graficar la recta 1.1.2.

1. La función polinomial con n par y an > 0 es acotada inferiormente, pero no es acotada (debe serlo superior e inferiormente)

Funciones Polinomiales

Las funciones polinomiales se caracterizan por ser de la forma f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn

2. La función polinomial con n par y an < 0 es acotada superiormente, pero no es acotada (debe serlo superior e inferiormente)

en donde los ai son números reales y se denominan coeficientes de la función polinomial. Si todas las ai son cero, con excepción de a0 y a1 tenemos el caso particular de una función lineal.

3. La función polinomial con n impar no es acotada (no lo es ni superior ni inferiormente) Para la monotonía tenemos:

Características principales: La función polinomial tiene intervalos donde crece y otros en donde decrece. Se debe estudiar cada caso en particular.

El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales. esto es, dom(f ) = R. El rango o recorrido depende del exponente (par o impar) y del coeficiente de la mayor potencia:

Actividad en aula 1.30 A continuación se presentan dos gráficas. Veamos si puedes determinar intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.

1. Si an > 0 y n es par, entonces el recorrido es el intervalo [m, ∞), siendo m el mínimo valor de la función. Por ejemplo, con an = 1, n = 2 se tiene la parábola y = x2, que satisface esta propiedad. En este caso m = 0.

Por ahora sólo nos quedamos con el objetivo de que: observada la gráfica ser capaz de determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Más adelante, en el tema aplicaciones de la derivada haremos uso de otras herramientas para decidir sobre crecimiento o decrecimiento.

2. Si an < 0 y n es par, entonces el recorrido es el intervalo (−∞, M ], siendo M el máximo valor de la función. Por ejemplo, con an = −1, n = 2 se tiene la parábola y = −x2, que satisface esta propiedad. M =0

Ejemplo 1.31 Estudiemos la gráfica de y = x2 8

Esta es la famosa parábola y = x2. Es una función par. Para probarlo se hace como sigue: f (x) = x2,

1. Si q(a) = 0 implica que x = a es asíntota vertical 2. n < m implica que el eje x es asíntota horizontal

f (−x) = (−x)2 = x2 =⇒ f (x) = f (−x)

3. n > m implica que no hay asíntota horizontal

con lo cual afirmamos que es una función par. Es decreciente en (−∞, 0) y creciente en (0, ∞) Es acotada inferiormente por y = 0 y no lo es superiormente. Se concluye que NO es acotada. Esta función no es inyectiva, de modo que no tiene inversa.

4. n > m en un grado, entonces la función lineal que queda al dividir p(x) por q(x) es asíntota oblícua an 5. n = m implica que la recta es asíntota horizontal bn x Ejemplo 1.34 Observa la gráfica de f (x) = 2 x −1

Ejemplo 1.32 La función y = x3 es inyectiva y sobreyectiva.

Esta función racional tiene por dominio todos los reales excepto 1 y −1 donde presenta asíntotas verticales. La recta y = 1 es una asíntota horizontal.

Es inyectiva pues;

Actividad en aula 1.35 Grafica y anota las principales ca- racterísticas de las funciones: (dominio, intervalos de crecimiento, asíntotas, acotamiento):

f (x1) = f (x2) =⇒ x31 = x32 de lo cual se sigue que: x31 − x32 = 0 =⇒ (x1 − x2)(x21 + x1x2 + x22) = 0

1. f (x) =

de esta última ecuación se deduce que x1 = x2 pues el otro factor nunca es cero. Es sobreyectiva porque para cada valor y0 que esté en el rango, es una imagen, de otro valor que se encuentra √ en el dominio (a saber x0 = 3 y0) Es creciente (estricta) en todo R. No es acotada (ni superior ni inferiormente). Es impar, pues,

sus características 1.1.4.

1 x−1

x+1 y anota x−1

Función Exponencial

Son aquellas de la forma f (x) = q0 ax, a > 0, a 6= 1 Respecto de su ecuación, cabe señalar que, la constante q0 representa la cantidad inicial (cuando x = 0), que a es un factor de cambio de f cuando x aumenta. De hecho, si a > 1, entonces la función representa un crecimiento exponencial, y si 0 < a < 1, entonces se trata de un decrecimiento exponencial.

Cuaderno 1.33 Determina, algebraicamente, la paridad o imparidad de las funciones: 2. f (x) = x3 − x5

3. Usa un software para graficarlas. 1.1.3.

2. f (x) =

Cuaderno 1.36 Grafica la función f (x) =

f (−x) = −x3 =⇒ −f (−x) = x3 = f (x)

1. f (x) = x2 − 4

2x−1 x+3

Funciones Racionales

Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma: p(x) anxn + · · · + a1x + a0 = f (x) = q(x) bmxm + · · · + b1x + b0 en donde p(x) y q(x) son polinomios. El dominio de definición son todos los números reales menos las raíces del denominador. En esta clase de funciones es interesante saber sobre la existencia o no de ciertas rectas llamadas asíntotas, que como veremos, depende de los grados del numerador y denominador.

Algunas Propiedades de y = ax 1. Todas las gráficas intersecan en el punto (0, 1). 2. Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 9

La función ex

3. El eje de las x es asíntota horizontal.

1.1.5.

4. Si a > 1, entonces y = ax aumenta conforme aumenta x.

Se obtiene de y = ax reemplazando a por e que es la base de los logaritmos naturales. Es la más famosa de las funciones exponenciales. Como e = 2,71828182845904523 · · · > 1, entonces se trata de una función creciente. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales.

5. Si 0 < a < 1, entonces y = ax disminuye conforme aumenta x. 6. La función y = ax es uno a uno (inyectiva). Ejemplo 1.37 Graficamos la función y = 2x

Cuaderno 1.40 Busca y anota un problema donde se muestre una aplicación de la función exponencial.

Establecemos una tabla de valores x 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 1 1 2x 1 2 4 8 16 12 4 8 16 Te muestro el gráfico en la pizarra y tú en la hoja.

2. Función logaritmo A la función f (x) = loga x, siendo a > 0 y a 6= 1, se le llama función logarítmica de base a. La función logarítmica más utilizada es la que tiene por base el número e, de hecho cuando hablemos de la “función logarítmica” sin especificar la base, entenderemos que es la que tiene por base dicho número, le llamaremos función logaritmo natural y le denotamos como f (x) = ln x. Esta clase de funciones sirven para modelar una gran cantidad de situaciones. Ejemplo 1.38 Graficamos la función y =


1 x 2

=

Las formas exponencial y logarítmica están conectadas por y = ax ⇐⇒ loga y = x

1 2x .

Una tabla para algunos valores es suficiente x 0 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 x 2 2 4 8 16

Desde un punto de vista geométrico, las gráficas de las funciones exponencial y logarítmicas son simétricas respecto de la recta y = x. El par de figuras siguientes ilustra esta propiedad.

Yo hago el gráfico en la pizarra y tú en la hoja.

Actividad en aula 2.1 Hacer la gráfica de las funciones y = log2 x y y = log 1 x 2

Algunas propiedades de y = loga x Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

x

Actividad en aula 1.39 Grafica las funciones y = 3 y y = 3−x

1. La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0, ∞). 2. Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R. 3. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base. 4. La función logarítmica de la base es igual a 1. 10

5. La función logarítmica es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

2.0.7.

La función valor absoluto tiene por ecuación f (x) = |x|. Siempre será positiva o nula. Esta condición, de ser siempre positiva o nula, hace que su gráfica se encuentre sobre el eje x, o a lo sumo, tocándolo.

Cuaderno 2.2 Busca y anota un problema donde se muestre una aplicación de la función logarítmica.

2.0.6.

Función valor absoluto

Funciones definidas a trozos

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula, esto es, para distintos valores de la variable independiente x se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen y que les corresponde. Es imprescindible conocer qué formula usar con cada valor de x, por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación.

La función valor absoluto es una función par, su grafica es simétrica con respecto al eje y, su dominio son todos los reales, su recorrido o rango son todos los reales positivos. Las funciones en valor absoluto se pueden resolver o graficar siguiendo los siguientes pasos:

Ejemplo 2.3 f (x) =

( x2 , 4,

si x < 2 x>2

1. Se hallan los “puntos de quiebre”. 2. Se evalúa el signo a izquierda y derecha. 3. Se define la función a intervalos. 4. Se representa la función resultante. Ejemplo 2.6 Representemos y = |x − 3| Es claro que el “punto de quiebre” es x = 3. Se sigue que a la derecha la cantidad en valor absoluto es positiva y a la izquierda negativa. Esto nos lleva a tener el tercer paso indicado, esto es: ( x − 3, si x > 3 f (x) = −(x − 3), si x < 3 Para graficarla, un par de valores a izquierda y derecha del punto de quiebre. Con x = 3 se tiene f (4) = |4−3| = 1 y con x = 2 tenemos f (2) = |2 − 3| = 1, con lo cual hay tres puntos (3, 0), (4, 1) y (2, 1). Su gráfica es

Actividad en aula 2.4 Graficar las funciones: ( 2x + 4, si x > 0 1. f (x) = 4 − 2x, si x < 0  2   x , si x < 2 2. f (x) = 1, si x = 2   4, si x > 2

Cuaderno 2.5 Graficar las funciones:  2   x , si x < 2 1. f (x) = 1, si x = 2   4, si x > 2

2. f (x) =

   x − 3, 2,   −x,

Actividad en aula 2.7 Representa las funciones:

si x ≤ 0 si 0 < x < 3

1. f (x) = |x + 2|

3. f (x) = |x| − x

2. f (x) = |x2 − 5x + 6|

4. f (x) =

|x| x

Cuaderno 2.8 Grafica las funciones:

si x ≥ 3

Entre las funciones a trozos más famosas tenemos; el valor absoluto, la parte entera y la función signo. 11

1. f (x) = |x2 − 4x + 3|

3. f (x) = 31 |x|

2. f (x) = |x| + 1

4. f (x) = |x + 1|

2.0.8.

Función parte entera

2.0.11.

La parte entera de un número ya la conocemos. Recuerda que [3, 1] = 3, [−1, 2] = −2 y así por el estilo. Más aún, su definición es

Funciones Trigonométricas

El seno y el coseno son las dos funciones trigonométricas básicas, y a partir de ellas se obtienen las cuatro restantes, tangente, cotangente, secante y cosecante. Veamos su origen.

f (x) = [x] = max{k ∈ Z/ k ≤ x}

Sea C la circunferencia unitaria (radio 1) de centro el origen de coordenadas que muestra la figura.

La función parte entera hace que a cada numero real, se le asigne un número entero, y este numero ENTERO que se le asigne, debe ser el mayor entero que es menor que x. Otra cosa interesante es saber que como entre dos enteros, hay infinitos decimales, todos esos decimales tendrán la misma imagen, pues la parte entera se define como el entero anterior. Veamos √ como están de frescos tus recuerdos. Halla [ [π] + [ 3] ]. Ahora, una pequeña tabla y tenemos la gráfica de la parte entera. Se conoce también como “función escalera” o “escalonada” por la forma de su gráfica.

Se construye la función ω : R → C,

t 7→ ω(t)

como sigue: 1. Para los t ≥ 0, ω(t) es aquél punto P de la circunferencia cuya longitud de arco desde (1, 0) hasta P es t, recorriendo la circunferencia tantas veces como sea necesario, en sentido positivo. 2. Para los t < 0, ω(t) es aquél punto P de la circunferencia cuya longitud de arco desde (1, 0) hasta P es −t, recorriendo la circunferencia tantas veces como sea necesario, en sentido negativo.

2.0.9.

Observa con atención la circunferencia unitaria de arriba. Vamos a definir los segmentos que representan al seno y al coseno.

Función signo

Se simboliza por sgn(x), y corresponde a la siguiente expresión:   si x > 0  1, f (x) = sgn(x) = 0, si x = 0   −1, si x < 0

Si el punto P tiene coordenadas (x, y), se definen: x = cos t

y = sen t

Tienes que estar clarito. El seno es la longitud del segmento vertical que va dejando el punto al moverse sobre la circunferencia. Del mismo modo, el coseno es la longitud del segmento horizontal que va dejando el punto al moverse sobre la circunferencia.

Su gráfica es la siguiente

2.0.10.

,

Actividad en aula 2.9 Observa en forma calmada y relajada la circunferencia unitaria. !Please! no corras a preguntarle al profe, piensa un momento, reflexiona, discute en grupo y luego completas sobre los espacios indicados. ¡Ah, otra cosa!, escribe A si aumenta y D si disminuye. Tienes que ir moviendo el punto (“mentalmente”) sobre la circunferencia para ver lo que pasa con el seno y el coseno.

Funciones Periódicas

Las funciones periódicas más interesantes son las trigonométricas.

1. A medida que el punto P se desplaza hacia arriba por la circunferencia, desde 0 hasta 90◦ el valor del segmento que define a la función seno se encuentra entre .... y ...... Por otra parte, el segmento que define la función coseno se encuentra entre ...... y ......

La función f es periódica, de periodo p, si y sólo si f (x) = f (x + p), ∀x ∈ A. El menor número p se llama periodo de la función. 12

2. Ahora, desde los 90◦ hasta los 180◦ el valor del segmento que define a la función seno se encuentra entre ...... y ...... El valor del segmento que define la función coseno está entre ...... y ......

1. La propiedad que se cumple para el seno es sen(−t) = ................. 2. Y la que cumple el coseno es cos(−t) ..........................

3. En el tercer cuadrante los valores del seno varían entre ...... y ...... los del coseno entre ...... y .....

En lenguaje común y corriente significa que el coseno es una función par, y que el seno es una función impar.

4. Por último, en el cuarto cuadrante el valor del seno varía entre ... y ... El valor del coseno se halla entre ... y ...

Actividad en aula 2.11 Descubre la siguiente propiedad. El punto (x, y) sobre la circunferencia unitaria, ese mismo, el “negrito” que se ve en la figura anterior

Completa la siguiente tabla del seno y coseno. radianes 0 seno coseno

2.0.12.

π 2

π

3π 2

=

1. ¿Cuánto demora en recorrer la circunferencia y volver al mismo punto? ...

2π

2. Si eso es así, entonces las funciones seno y coseno son ............................... 3. Esto es, sen(t + 2π) = .............., .........

Propiedades del Seno y Coseno

cos(t + 2π) =

Bien, ahora nos dedicamos a ver como graficar estas funciones.

Considera de nuevo la circuferencia unitaria.

2.0.13.

Gráfica de las funciones trigonométricas

Lo primero y más importante es que sabemos que ambas funciones, el seno y el coseno, son periódicas de periodo 2π. Esto significa que graficamos en un intervalo de longitud 2π y luego “clonamos” la gráfica en el resto de los intervalos de igual longitud. También conocemos que sus valores máximo y mínimo son 1 y −1 respectivamente. Actividad en aula 2.12

¿Te acuerdas de un teorema que habla de la suma de los cuadrados de los catetos? Bueno, Al traducir en términos de seno y coseno queda

1. Para hacer la gráfica del seno y del coseno, se necesitan sus valores en 30◦, 45◦ y 60◦. La ayuda que te doy es que debes usar un triángulo equilátero y un rectángulo isósceles.

sen2t + cos2t = 1

Actividad en aula 2.10 La circunferencia unitaria te muestra sobre ella un punto de coordenadas (x, y). Simétricamente, en el cuarto cuadrante aparece sobre la circunferencia el punto de coordenadas (x, −y). 13

Actividad en aula 2.14 Con tu profesor analizas las siguientes funciones, en cuanto a amplitud, periodo, frecuencia y ángulo de fase, las graficas.

2. Para tener clara la película completa la tabla radianes seno coseno

π 6

π 4

π 3

π 2

π 3π 2 2π 1 0 -1 0 0 -1 0 1

Actividad en aula 2.13 1. Ahora hacemos la gráfica del seno y del coseno en los planos dados. Recuerda, sólo en [0, 2π] después se clona todo. Otra cosa, el seno y el coseno son curvas “suaves” no son rectas.

1. y = sen 2t

4. y = 1 + 2sen x

2. y = sen 4t

5. y = 3 sen 2x

3. y = −2 sen

x 3

6. y = 2sen 3t − π2







Cuaderno 2.15 La demanda de empleo se modela por la función f (t) = 4 sen(t + 3) + 8 con t tiempo en años. Hallar la amplitud, el desplazamiento vertical, el desplazamiento de fase, la frecuencia angular y el periodo. Graficar. 2.0.15.

Coseno: Amplitud, periodo y fase

La figura muestra la curva general del coseno.

En ella: A es la amplitud. C el desplazamiento vertical. P el periodo o longitud de onda. ω la frecuencia angular (ω · P = 2π). α el desplazamiento de fase (la distancia entre el eje y y su valor máximo) 2.0.14.

Actividad en aula 2.16 El nivel del agua en función del tiempo para las mareas está gobernado por la ecuación π y = 5 + 4 cos( x) 6 Hallar amplitud, periodo y fase. Trazar la gráfica   Cuaderno 2.17 Para y = 2cos π2 (x − 2) − 2. Hallar amplitud, periodo y fase. Trazar la gráfica

Seno: Amplitud, periodo y fase

La figura muestra la llamada curva general del seno.

2.0.16.

Identidades trigonométricas

En muchos problemas que involucran funciones trigonométricas es necesario cambiar una expresión por otra que sea equivalente. Estas expresiones son las que se denominan identidades trigonométricas. Tienen la característica de ser verdaderas para todo valor del ángulo involucrado.

En ella: A es la amplitud (la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo) C es el desplazamiento vertical que puede tener la función

Hemos tenido ya la oportunidad de conocer algunas de ellas. La más clásica, la más conocida, la más popular

P es el periodo o longitud de onda (tiempo necesario para que la función ejecute un ciclo completo)

sen2α + cos2α = 1 que se deduce de la circunferencia unitaria por “obra y gracia” del famoso Pitágoras. Otras identidades son las que se forman por cocientes de senos y/o cosenos cuando se crean las restantes funciones trigonométricas, a saber:

ω es la frecuencia angular (ω · P = 2π) α es el desplazamiento o ángulo de fase (donde la curva cruza la recta y = C, o bien, el desplazamiento que sufre la función por una traslación horizontal)

14

senα cosα cosα ctg α = senα 1 sec α = cosα

1 senα 1 tg α = ctgα

tg α =

No existe un método obligatorio para resolver una identidad. Puedes partir del lado izquierdo de la igualdad y por procesos algebraicos llegar al lado derecho, o bien, trabajar en paralelo ambos lados de la igualdad y llegar a un resultado común, y por último, pasar todo a un solo lado y resolver la igualdad a cero. Los profes tienen particular preferencia por la primera forma. Hago esa. 1 1 sec x cos x = sen xcos xcos x = 2 tg x + ctg x sen x + cos2x + cos x sen x sen x · cos x 1 sen x · cos x cos x = = 1 cos x sen x · cos x = sen x Puede ser útil para resolver una identidad reducir todo a senos y/o cosenos.

csc α =

Si estas fueran las únicas ¿Qué gracia tendrían? Actividad en aula 2.18 1. Te presento dos identidades un poco menos populares. Para hallar lo que resulta, transforma a senos y cosenos, saca común denominador, usa la identidad fundamental, y ¡listo!. 1 + tg 2α = ....................................................... 1 + ctg 2α = ...................................................... Ves que la vida te sonrie. Es linda la matemática, sacude el polvo que se acumula entre las neuronas, es como un jarabe para el cerebro.

Actividad en aula 2.20 Con ayuda del profe prueba que tg x − sen x sec x = sen3x 1 + cos x

No me interesa que andes probando identidades como loco, ¡no!, importa que sepas usarlas en el momento adecuado. Un pequeño manual de “cortapalos” es el siguiente: 2.0.17.

2.0.18.

Las funciones trigonométricas son todas peródicas, de modo que las gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal para ser inyectiva. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una función inyectiva. Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar todos los valores del rango. Si restringimos el dominio de f (x) = senx a [− π2 , π2 ] hacemos la función inyectiva. El rango es [−1, 1]. (Por supuesto que hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función inyectiva)

Identidades Básicas

1. sen2α + cos2α = 1

9. tg(x+y) =

tg x + tg y 1 − tg x tg y

10. tg(x−y) =

tg x − tg y 1 + tg x tg y

2. 1 + tg 2α = sec2α 3. 1 + ctg 2α = csc2α 1 4. csc α = sen α 1 5. sec α = cos α 1 6. tg α = ctg α sen α 7. tg α = cos α cos α 8. ctg α = sen α

Funciones trigonométricas Inversas

11. sen(2x) = 2sen x cos x 12. cos(2x) = cos2x−sen2x r x 1 − cos x 13. sen( ) = ± 2 2 r x 1 + cos x 14. cos( ) = ± 2 2

15 sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y 16 sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y 17 cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y 18 cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y x+y x−y ) · cos( ) 2 2 x+y x−y 20 sen x − sen y = 2cos( ) · sen( ) 2 2 x+y x−y 21 cos x + cos y = 2cos( ) · cos( ) 2 2 x+y x−y 22 cos x − cos y = −2sen( ) · sen( ) 2 2

19 sen x + sen y = 2sen(

Denotamos la función inversa como y = arcsen x. Se lee y es la inversa del seno de x, y significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Por ejemplo, tener y = arcsen 12 significa hallar el ángulo bajo el cual la función seno tiene el valor 12 , que como sabemos es 30◦ en el primer cuadrante y 150◦ en el segundo cuadrante.

Te haremos entrega de un formulario que contiene todas estas identidades, no queremos que las memorices todas, ¡no!, nuestro objetivo es que las aprendas a usar. Ejemplo 2.19 Probemos que

sec x = sen x tg x + ctg x 15

Para graficar la inversa de la función seno, se recuerda que la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de la función seno. Hay que darse cuenta que ahora el dominio es el rango y que el rango es ahora el dominio. Similarmente, podemos restringir el dominio del coseno y hacer que sea inyectivo.

2.0.19.

Ecuaciones trigonométricas

Estas son expresiones que contienen funciones trigonométricas y que son válidas sólo para algunos valores del ángulo involucrado. Trabajamos en [0, 2π], ya que por peridiocidad para seno y coseno solo es necesario sumar 2π y para tangente y cotangente sumar π. Ejemplo 2.21 Es sencillo verificar que: El dominio de la función coseno inversa es [−1, 1] y el rango es [0, π].

sen x = 1 =⇒ x = sen x =

En el caso de la inversa de la tangente:

√1 2

π 2

= 90◦

=⇒ x =

Estoy seguro que te faltó un valor en sen x = √12 . No me digas nada, te olvidaste que la función seno es positiva en dos cuadrantes y negativa en los otros dos. Los valores positivos los encuentras en el primer y segundo cuadrante para el seno y primer y cuarto para el coseno. Además, te recuerdo que existen dos resultados “espectaculares”:

El dominio de la función tangente inversa es (−∞, ∞) y El rango es [− π2 , π2 ].

Las funciones de 90◦ y 270◦ más o menos un ángulo agudo son iguales a las cofunciones del ángulo agudo, con el signo del cuadrante correspondiente. Por ejemplo:

El mismo proceso es usado para encontrar las funciones inversas de las funciones trigonométricas restantes; cotangente, secante y cosecante.

• sen(90◦ + α) = cos α, seno es positivo en II cuadrante • sen(270◦ + α) = −cos α, seno es negativo en IV cuadrante

Las funciones de 180◦ y 360◦ más o menos un ángulo agudo son iguales a las mismas funciones del ángulo agudo, con el signo del cuadrante correspondiente. Por ejemplo: • sen(180◦ +α) = −sen α, seno es positivo en III cuadrante • cos(180◦ + α) = −cos α, coseno es negativo en III cuadrante

El proceso es análogo con las otras funciones trigonométricas. Ejemplo 2.22 Para hallar el valor de sen 120◦ escribimos sen 120◦ = sen(180◦ − 60◦) Mirando el resultado recién mencionado, esto equivale a decir que √ 3 sen 120◦ = sen60◦ = 2 El signo se toma positivo pues el ángulo es 120◦, y el seno de ese valor es positivo.

Un cuadro resúmen es el que sigue: 16

Actividad en aula 2.23 Halla el valor de cos 300◦

2.0.20.

Ejemplo 2.24 Estos dos últimos cálculos nos muestran el camino para hallar los dos valores en los cuales sen x = √12

En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b c = = sen A sen B sen C

Lo primero es saber que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante. Con esto en mente me instalo en 45◦ y le sumo 90◦ para llevarlo al segundo cuadrante. Tengo que la suma me da 135◦. Listo! este es el otro valor. Lo verifico para que quedes tranquilo: 1 sen135◦ = sen(180◦ − 45◦) = sen45◦ = √ 2 Actividad en aula 2.25 Hallar el ángulo en [0, 2π] que hace la igualdad en

C

A

e e e a b h ee e e

D c

B

Actividad en aula 2.28 Aquí vamos a poner a prueba tu capacidad de análisis lógico. Hay que probar que éste es correcto. No te asustes, como siempre el profe al pie del cañon te estará guiando por el “buen camino”.

sen α + cos α = 1 =⇒ α = Actividad en aula 2.26 Hallar los ángulos en [0, 2π] que satisfacen la ecuación 2 cos2x + cos 2x − 1 = 0

1. Considera el triángulo ABC dado en la figura.

Es sencillo darse cuenta que la ecuación contiene sólo función coseno, pero que éste tiene dos tipos de ángulos, uno simple, x, y el otro doble, 2x. La idea es dejar todo en un sólo tipo de ángulo, ¿cómo?, con una identidad. La siguiente 2

Ley del seno

En el triángulo rectángulo ACD se tiene sen A = ... En el triángulo rectángulo BCD se tiene sen B = ... ¿Qué te parece? Estás listo. Se concluye que

2

cos 2α = cos α − sen α a = ............................................. sen A

1. Con esto la ecuación dada para resolver se reduce a .....................................................................................

De forma análoga se prueba la relación que falta. ¿La quieres hacer?, ¡bueno ya!, te dejo el espacio

Al reunir términos semejantes, despejar y sacar raíz se obtiene 1 1 cos2x = =⇒ cos x = ± √ 2 2 El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en los dos restantes. La forma más sencilla, sin calculadora de obtener los valores es Sacar el ángulo x en el primer cuadrante. El del segundo es 180◦ − x, en el tercero 180◦ + x, en el cuarto 360◦ − x

Actividad en aula 2.29 Artemio, el salvavidas de la caseta A, observa a un nadador que se ahoga bajo un ángulo de 58◦. Al mismo tiempo, Anastasio, el salvavidas de la caseta B, lo observa bajo un ángulo de 47◦. Si ambos están separados a una distancia de 50m entre sí. ¿Qué distancia tiene que recorrer cada salvavidas para rescatarlo? ¿Quién llegará primero?

2. Es obvio que en el primer cuadrante se obtiene un valor positivo (todas las funciones tienen valores positivos en el primer cuadrante). 1 cos x = =⇒ x = ..................... 2 3. Ves que es fácil, ahora, el otro cuadrante positivo para el coseno es el cuarto, por tanto, x = ....................... ¿Qué te parece? ¿Quién te metió miedo con la trigonometría? Seguro que no te la explicaron bien. 4. Sigamos, se pide también los valores negativos, el del segundo cuadrante es x = ..................., y el del tercero x = ........................... ¿Cómo andas? 5. Ahora ordenamos el asunto y escribimos el conjunto solución de la ecuación

Cuaderno 2.30 Para ir del pueblo A al pueblo B los vehículos deben pasar primero por el pueblo C. Para minimizar el tiempo de viaje se construirá un túnel para unir A con B. Los ingenieros hicieron las siguientes medidas AC = 36 kms, ∠CBA = 45◦, ∠CAB = 71, 6◦. Hallar la distancia del túnel (AB) y los kilómetros que se ahorran con la construcción del túnel.

Sx = {..........................................................} sa-tis-fa-cen Cuaderno 2.27 Resuelve en [0, 2π] la ecuación sen2x − cos2x = 12 . 17

Actividad en aula 2.31 Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas, una de 17,5 kilogramos y la otra de 22,5 kilogramos. Estas fuerzas forman un ángulo de 50◦100. Hallar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que ésta forma con la fuerza mayor. 1. Haz un esquema de la situación 2. Para hallar el lado te sugiero ley de coseno 2.0.21.

3. Si te parece, el ángulo que forma la fuerza resultante con la fuerza mayor lo puedes hallar por ley de senos

Ley del coseno

En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir

Cuaderno 2.32 En el triángulo de la figura A = 20, B = 8 y θ = 60◦. Determinar el valor del lado C y los ángulos interiores restantes.

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A b2 = a2 + c2 − 2ac · cos B c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C

18

Solutions to Exercises Actividad-Aula 2(a) f (a + b) = (a + b)2 

19

Actividad-Aula 2(b) f (?) = ?2 

20

Actividad-Aula 2(c) g(0) = 1 

21

Actividad-Aula 2(d) g(x + y) = 2(x + y) + 1 

22

Actividad-Aula 2(e) g(?) = 2 ? +1 

23

Actividad-Aula 2(f) f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 

24

Actividad-Aula 2(g) g(f (x)) = g(x2) = 2x2 + 1 

25

Actividad-Aula 3(a) center La

temperatura cuando el mercurio alcanza 10 cms

red Actividad-Aula 3(b) center

grados F

◦

Los centímetros de mercurio que corresponden a una temperatura de 75

red

Actividad-Aula 4(a) center red