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PARA PRACTICAR I-Estudio completo De las siguientes funciones hallar: Dominio, cortes con los ejes coordenados, ecuaciones de las asíntotas, extremos e intervalos de crecimiento, gráfico aproximado e imagen. 1) f(x)=

5x −

10 ( 2 − 2x )

2) f(x) =

(2 x − 1)2 x

3) f(x) =

x (2 x − 1)2

II- Cálculo de recta tangente a) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)= x 2 . ln x en el punto donde su pendiente es cero. b) Determinar las coordenadas de los puntos críticos de la gráfica de f(x) =

2x . ln x

c) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) =

( 2x +2) 2e (2x +2) en el punto donde la función corta al eje x. Soluciones 1) f(x)=

5x −

10 ( 2 − 2x )

1) Dominio : R − { 1}

10 10 = 0 → 5x = → 5 x(2 − 2 x) = 10 → (2 − 2 x ) (2 − 2 x ) 10 x − 10 x 2 = 10 → −10 x 2 + 10 x − 10 = 0 → resolvente → no hay raíces, por lo tanto no

→ 5x −

Corte con eje x (y =0)

corta al eje x. Corte con eje y (x =0) Asíntotas

lim { 5x − x →∞

→∞

→y = 5

10 = ∞ no hay asíntota horizontal 2 − 2x 14 2 43 →0

lim+ {5x −

x →1

→5

10 = −∞ → x = 1 es asíntota vertical 2 − 2x 14 2 43 →+∞

Derivada - Puntos críticos f ´( x) = 5 −

( 2 − 2x )

2

−8 x + 4 x

2

20 0. ( 2 − 2 x ) − (−2).10 = 5− 2 2 ( 2 − 2 x) ( 2 − 2x)

→ 5−

20

( 2 − 2x )

5= 2 =0 →

20

( 2 − 2x )

2

→

= 4 desarrollando el cuadrado y pasando el 4 al otro miembro se tiene =0

→

→ x =0 y x = 2 son los puntos críticos de la función y sus posibles extremos

locales. Cuadro de crecimiento (Tener en cuenta que también incorporamos los valores que sacamos del dominio para informar los intervalos de crecimiento sin incorporar ningún elemento donde la función no exista) Referencias ( −∞, 0 ) X =0 X =1 X =2 ( 0,1) ( 1, 2 ) ( 2, +∞ ) Signo de la derivada Crecimient

f ´( −1) = 15 4 +

Punto Crítico

f ´( 1 2) = −15 No existe ( -)

crece

Máximo

decrece

Asíntota

f ´( 3 2 ) = −15 Punto Crítico ( -)

decrece

Mínimo

f ´(3) = 15 4 +

crece

o

en vertical en (0,-5) (2,15) Recordar que para encontrar la y que le corresponde a cada punto que resultó un extremo se reemplaza en la función original!! Del cuadro extraemos como información los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de la función: Intervalo de crecimiento:

∪ ( 1, 2 )

( −∞, 0 )

∪ ( 2, +∞ )

Intervalo de decrecimiento:

( 0,1)

Máximo en (0,-5) Mínimo en(2,15) La gráfica de la función resulta:

La imagen, según lo que muestra el gráfico es el conjunto : 2) f(x) = Dominio : R − { 0} Corte con eje x (y =0) → al eje x. Corte con eje y (x =0) corta al eje y. Asíntotas

( 2 x − 1) lim x →∞

x

2

=

( 2 x − 1) x

2

( −∞, −5] ∪ [ 15, +∞)

(2 x − 1)2 x

1 2 = 0 → ( 2 x −1) = 0 → 2 x −1 = 0 → x = es donde corta 2

→ no se puede porque no es un punto del dominio ,la función no

∞ → resolvemos la indeterminación desarrollando previamente el ∞

cuadrado del binomio 2 4x 1  4 1  2  4x  x − + 2 x2 4− + 2   2 2 2 x x x  4x − 4 x + 1 x x  lim = lim  = lim  = lim 4 x = ∞ x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x x

no hay asíntota horizontal. La función tiene asíntota vertical de ecuación x = 0 ya que el límite: 2 2 x − 1) ( lim =∞ x→0+ x

Derivada - Puntos críticos

f ´( x ) =

(2 x −1)[ 4 x − 2 x +1] (2 x −1)( 2 x +1) 2(2 x −1).2 x −(2 x −1)2 = = Los puntos críticos de la función se 2 x x2 x2

obtienen igualando a cero la función derivada.

x=

1 1 y x=− 2 2

Cuadro de crecimiento (Tener en cuenta que también incorporamos los valores que sacamos del dominio para informar los intervalos de crecimiento sin incorporar ningún elemento donde la función no exista) Referencias

1 1   −∞, −  x = − 2 2 

 1   − ,0  2 

X =0

 1  0,   2

x=

Signo de la derivada Crecimient o

f ´( −1) = 3 -

Punto Crítico

f ´( − 1 4 ) = − 12

No existe

f ´( 1 4 ) = −12

Punto Crítico

crece

Máximo en

decrece

 1   − , −8   2 

( -)

Asíntot a vertical

( -) decrece

1 2

Mínimo en 1    ,0  2 

1   , +∞  2  f ´(1) = 3 + crece

Recordar que para encontrar la y que le corresponde a cada punto que resultó un extremo se reemplaza en la función original!! Del cuadro extraemos como información los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de la función:

 

Intervalo de crecimiento:  −∞, −

 1   1  − , 0  ∪  0,   2   2  1  Máximo en  − , − 8  2 

1  1   ∪  , +∞  Intervalo de decrecimiento: 2  2 

1  Mínimo en  , 0  2 

La gráfica de la función resulta:

La imagen, según lo que muestra el gráfico es el conjunto :

( −∞, −8] ∪[ 0, +∞)

3) f(x) =

x (2 x − 1)2

1  2

Dominio : R −  

→

Corte con eje x (y =0) Corte con eje y (x =0) Asíntotas

lim

x →∞

x

( 2 x −1)

2

=

x

( 2 x −1)

2

= 0 → x = 0 es donde corta al eje x.

→ x =0

∞ → resolvemos la indeterminación desarrollando previamente el ∞

cuadrado del binomio

x = lim x →∞ 4 x − 4 x + 1 x →∞

lim

2

x x 1 = lim = lim =0 4 x 1  x →∞x 2 4 − 4 + 1  x →∞4 x 2  4x x  2 − 2 + 2   x x2   x x   x 2

entonces y = 0 es la ecuación de la asíntota horizontal x 1 lim =∞ → x = es la ecuación de la asíntota vertical de la función 2 + x→ 1 ( 2 x − 1) 2 2 Derivada - Puntos críticos f ´( x) =

( 2 x −1) 2 − x.2(2 x−1).2 (2 x −1) 4

=

( 2 x −1) [ 2 x−1− 4 x ] (2 x−1) 4

= =

(2 x − 1)[ −2 x −1] −2 x −1 = El punto crítico de la (2 x −1) 43 (2 x −1)3

función se obtienen igualando a cero la función derivada →

x=−

1 2

Cuadro de crecimiento (Tener en cuenta que también incorporamos los valores que sacamos del dominio para informar los intervalos de crecimiento sin incorporar ningún elemento donde la función no exista) Referencias

1   −∞, −  2 

x=−

Signo de la derivada

f ´( −1) = −1

Punto Crítico

Crecimient o

decrece

27

1 2

Mínimo en

 1  0,   2 f ´( 14 ) = 316

(+ ) crece

x=

1 2

No existe Asíntota Vertical

1   , +∞  2  f ´(1) = − 3 decrece

 1 1  − ,−   2 8 Recordar que para encontrar la y que le corresponde a cada punto que resultó un extremo se reemplaza en la función original!! Del cuadro extraemos como información los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de la función:

 

Intervalo de crecimiento:  0,

1  2

Intervalo de decrecimiento:

1  1    −∞, −  ∪  , +∞  2  2    1 1 Mínimo en  − , −   2 8 La gráfica de la función resulta:

La imagen, según lo que muestra el gráfico es el conjunto : II- Cálculo de recta tangente

 1   − 8 , +∞ 

a) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)= x 2 . ln x en el punto donde su pendiente es cero. Solución Buscamos la derivada de la función: f ´( x) = 2 x ln x + x

2 1 = 2 x ln x + x x

Como la recta tangente tiene pendiente cero igualamos a dicho valor la derivada: 2 x ln x + x = 0

Para despejar x de la expresión debemos presentarla en forma factorizada x (2 ln x + 1) = 0

y de esa manera el producto es cero cuando algún factor lo es, de allí se deduce que x=0

−1 1 2ln x + 1 = 0 → 2ln x = −1 → ln x = − → x = e 2 2

La función tiene dominio

( 0, +∞)

con lo cual el punto x = 0 se descarta como solución. -½

La única recta tangente a buscar es la que corresponde al punto

x=e

(aproximadamente 0,6) Buscamos la y del punto reemplazando en la función original . El punto es (0,6 ; 0,18) La recta tangente tiene ecuación y = 0,18 b) Determinar las coordenadas de los puntos críticos de la gráfica de f(x) =

2x . ln x

Buscamos la derivada de la función: f ´( x) =

2ln x −2 x ln 2 x

1 x

=

2ln x −2 ln 2 x

La función tiene puntos críticos donde la derivada es igual a cero, entonces la igualamos a dicho valor: 2ln x −2 =0→ ln 2 x

2ln x − 2 = 0 → 2ln x = 2 → ln x = 1 → x = e

(Recordar la definición de

logaritmo) El punto crítico de la función tiene coordenadas (e, 2e) (obtenemos la y del punto reemplazando en la función original) c) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) =

( 2x +2) e (2x +2) en el punto donde la función corta al eje x. Buscamos el punto donde la función corta al eje x (y = 0)

( 2x +2) e (2x +2) = 0 → (2x + 2) = 0 → 2x + 2 = 0 → 2x = −2 → x = −1 El punto entonces es (-1, 0) Buscamos la derivada de la función: f ´( x) = 2.e

2 x +2

+ (2 x + 2) e

2 x+ 2

2 x+ 2 2 x+ 2 .2 = 2 e (1+ 2 x + 2) = 2.e (2 x+ 3)

Reemplazando la derivada por x = -1 se tiene la pendiente de la recta tangente en dicho punto f’(-1) = 2 , luego la recta tangente tiene ecuación y = 2x +2