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• Carmen Quiroz Cotrina

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TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA TRABAJO El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definición siguiente de trabajo. 

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como w = F . d Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto. Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición.



TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a = x0 £ x1 £ x2 £ x3 ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo, es decir D xi = xi - xi-1. Para cada i escogemos ci tal que xi-1 £ ci £ xi. En ci la fuerza está dada por F (ci). Dado que F es continúa y suponiendo que n es grande, D xi es pequeño. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi-1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde xi-1 hasta xi) es aproximadamente el valor F (ci). Dxi Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por

el objeto al moverse desde a hasta b por w @

=

.

Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de esta suma cuando

n ® ¥ resulta w =

=

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x = a hasta x = b está dado por w =

.

Area F

∆ A =

=

F

x

∆x

x

F

x

x

i

x

x

f

x

f

∆x ( a ) F

x

W ork

x

i

x

( b )



TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA QUE EJERCE UN RESORTE O MUELLE

Para obtener la expresión que permita calcular el trabajo W que realiza la fuerza F se procede de la siguiente manera: Se divide el intervalo [𝑎, 𝑏] en n-subintervalos, todos ellos con la misma longitud Δx =

𝑏−𝑎 𝑛

desde luego, considerando que: a = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = b

Representando en una recta 𝑥𝑖 es un punto cualquiera en el intervalo [𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 ] y la fuerza que se requiere para alargar el resorte hasta 𝑥𝑖 es f(𝑥𝑖 ) Los valores de 𝑥𝑖−1 y 𝑥𝑖 se encontrarían muy cerca uno del otro si ∆x es muy pequeña. Esto se lograría si el numero n de subintervalos tiende a ser muy grande. En este caso f(𝑥𝑖 ) en [𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 ] no varia mucho y se podría desir que f(𝑥𝑖 ) es casi constante. Entonces el trabajo 𝑊𝑖 que realiza la fuerza f(𝑥𝑖 ) para alargar el resorte desde 𝑥𝑖−1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥𝑖 es, aproximadamente; 𝑤𝑖 = f(𝑥𝑖 )Δx Considerando los n- subintervalos en [𝑎, 𝑏] el trabajo W que realiza la fuerza f al estirar el resorte desde a hasta b es, aproximadamente: W = ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 f(𝑥𝑖 ) ∆x Si el numero de subintervalos tiende a ser muy grande, entonces: W = lim ∑𝑛𝑖=1 f(𝑥𝑖 ) ∆x 𝑛→∞

Tal como se a explicado anteriormente 𝑏 W = lim ∑𝑛𝑖=1 f(𝑥𝑖 ) ∆x = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞

Aquí f(x) = kx por lo que el trabajo es 𝑏

𝑥2

W= ∫𝑎 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = k [ ] = 2

𝑘 2

(𝑏 2 − 𝑎2 )

EJERCICIOS

1) Considera una fuerza de magnitud variable 𝑭(𝒙) que mueve un cuerpo de masa 𝒎 a lo largo del eje 𝑿 desde 𝒙𝟏 hasta 𝒙𝟐 . Demuestra que el trabajo 𝑾 hecho por la fuerza para 𝟏

𝟏

mover el cuerpo desde 𝒙𝟏 hasta 𝒙𝟐 es 𝑾 = 𝟐 𝒎𝒗𝟐𝟐 − 𝟐 𝒎𝒗𝟐𝟏 , donde 𝒗𝟏 y 𝒗𝟐 son las velocidades del cuerpo en 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 (El trabajo hecho por la fuerza iguala el cambio en la energía cinética del cuerpo). De acuerdo con la segunda ley de Newton y la regla de la cadena: 𝐹=𝑚 𝐹=𝑚

𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑣 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝐹 = 𝑚𝑣 ∙

𝑑𝑣 𝑑𝑥

Luego, el trabajo hecho por la fuerza es 𝑥2

𝑣2

𝑣

𝑣2 𝑑𝑣 𝑣2 2 1 1 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑚𝑣 ∙ ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑚𝑣𝑑𝑣 = 𝑚 [ ] = 𝑚𝑣22 − 𝑚𝑣12 𝑑𝑥 2 𝑣 2 2 𝑥1 𝑣1 𝑣1 1

Q.E.D.

2) Un resorte con una longitud natural de 8 cm se encuentra suspendido por uno de sus extremos. al aplicar una fuerza F=45N EL resorte se alarga 3 cm. ¿Cuál es la energía necesaria (trabajo) para estirar el resorte 3 cm más? Se sabe que la fuerza para alargar o bien para comprimir un resorte una longitud x, sin llegar a su límite de elasticidad, es directamente proporcional a dicha longitud. Esto es: 𝐹 = 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 Donde k es la constante del resorte. Por la información del problema: 𝐹 = 𝑘𝑥 45 = 𝑘(0.03) 𝑘 = 1500𝑁/𝑚 Con lo anterior, la fuerza necesaria para estirar el resorte una longitud x es 𝐹 = 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 = 1500 𝑥

En la siguiente figura se muestra el resorte en tres momentos diferentes con su longitud natural, estirado 3cm y estirado 6cm

Si el trabajo que realiza una fuerza para estirar el resorte desde a hasta b es 𝑏

∫ 1500𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑥2

0.06

0.06

∫0.03 1500𝑥 𝑑𝑥 =1500 [ 2 ]

0.03 1500 1500 2 (0.06) − 2 (0.03)2 2 1500 1500 = 2 (0.06)2 − 2 (0.03)2 27 27 = 10 − 40

=

= 2.025𝐽 3) Un bloque de 20kg, es empujado sobre una superficie horizontal por una fuerza F, que forma un ángulo “α” con la superficie, la fuerza aumenta durante el movimiento de acuerdo con la relación: F=6x, en lo cual “F” se mide en newton y “x” en metros. El ángulo aumenta también de acuerdo con la relación. “cosα”=0.70-0.02x. ¿Qué trabajo ha realizado realizado la fuerza mientras mientras el cuerpo se mueve desde x=10m hasta x=20m? Solución: Datos: m=20kg F=6x Cos (α)=0.70-0.02x W=? Sabemos que W= ⃗⃗⃗ 𝐹. 𝑋 entonces W=F. Cos (α)(X) Entonces: dW= F. Cos (α).dx Remplazando. dW =6x (0.70-0.02x).dx dW = (4.2x-0.12x2)dx

ahora integramos la expresión entre los limites 10m hasta 20m. 20

20

∫ 𝑑𝑊 = ∫ (4.2x − 0.12𝑥 2 )dx 10

10

20

20

𝑥𝑑𝑥 − 0.12 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥

𝑊 = 4.2 ∫ 10

20

10 20

𝑥2 𝑥3 𝑊 = 4.2 [ ] − 0.12 [ ] 2 10 3 10

𝑊 = 2.1(400 − 100) − 0.04(8000 − 1000) 𝑊 = 350𝐽 4) Una cisterna cónica tiene 30 m de diámetro superior y 20 m de profundidad. Si la superficie del agua está 10 m más abajo que la parte de arriba, calcular el trabajo que se hace al bombear hasta arriba el agua de la cisterna.

Solución. De la gráfica se tiene lo siguiente:

𝑑𝑉 = 𝜋𝑥 2 𝑑𝑦

Y la altura: ℎ = 20 − 𝑦 Ahora Sustituyendo en 𝑑𝑊 = 𝜌𝑥 2 ℎ 𝑑𝑉

Dónde:

𝜌 : peso de la unidad cubica del líquido

𝑑𝑊 = 𝜌(20 − 𝑦)(𝜋𝑥 2 ℎ 𝑑𝑦) 𝑑𝑊 = 𝜌𝜋(20 − 𝑦)𝑥 2 𝑑𝑦 Luego, la ecuación de la recta 𝑂𝐴 es 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 𝑦2−𝑦1

𝑦 − 𝑦0 = ( 𝑥2−𝑥1 ) (𝑥 − 𝑥0) 20−0

𝑦 − 0 = (15−0) (𝑥 − 𝑥0) 4 𝑦= 𝑥 3 Despejando 𝑥 3 𝑥= 𝑦 4 Sustituyendo en la ecuación: 𝑑𝑊 𝑑𝑊 = 𝜌𝜋(20 − 𝑦)𝑥 2 𝑑𝑦 3 𝑑𝑊 = 𝜌𝜋(20 − 𝑦) ( 𝑦) 2 𝑑𝑦 4 9 𝑑𝑊 = 𝜌𝜋(20 − 𝑦) ( 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 16 180 2 9 𝑑𝑊 = 𝜌𝜋 ( 𝑦 − 𝑦 3 ) 𝑑𝑦 16 16 Integrando entre los límites 𝑦 = 0 y 𝑦 = 10 (debido a que el agua tiene 10 m de profundidad) con 𝜌 = 1000 , resulta que: 10 180 2 9 3 𝑊 = ∫ 𝜌𝜋 ( 𝑦 − 𝑦 ) 𝑑𝑦 16 16 0

𝑊 = 1000𝜋 [

10 180 3 9 4 𝑦 − 𝑦 + 𝑐] 48 64 0

𝑊 = 1000𝜋 [

180 9 180 9 (10)3 − (10)4 + 𝑐] − 1000𝜋 [ (0)3 − (0)4 + 𝑐] 48 64 48 64

𝑊 = 1000𝜋 [

180 9 (1000) − (10000)] − 1000𝜋(0) 48 64

𝑊 = 1000𝜋 [

180000 90000 − ] 48 64

9375 𝑊 = 1000𝜋 ( ) 4 𝑊 = 2343750𝜋

𝑊 = 2343750𝜋. kg. m

5) una particula se mueve a lo largo del eje x debido a la acción de una fuerza de f(x) libras cuando la particula está a x pies del origen. Si f(x) = 𝒙𝟐 + 4 , calcule el trabajo realizado conforme la particula se mueve del punto donde x =2 hasta el punto donde x = 4. Solución: Se toma una partición del intervalo cerrado [2,4]. Si W libras- pie es el trabajo realizado cuando la particula se mueve del punto donde x = 2 hasta el punto donde x = 4, entonces de la definición de trabajo W = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑤𝑖 ) ∆𝑖 𝑥 𝑛→∞ 4

W = ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 4

W = ∫2 (𝑥 2 4) 𝑑𝑥 W=

𝑥3 3

+ 4𝑥 ⦌42

64

8

W = ( 3 + 16) – (3 + 8) W=

112 3

W=

80 3

-

32 3

W = 26.66 El trabajo realizado es de 26.66 lb-pie