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DR. LUIS J- CASTILLO VASQUEZ

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 07

PRUEBA DE HIPOTESIS FORMULAS DE LOS ESTADISTICOS DE PRUEBA I. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA EL PROMEDIO POBLACIONAL: A. Si la varianza poblacional se conoce y n es mayor de 30: Estadístico de prueba: Valor crítico: x Z Z t (distribución normal)  n B. Si la varianza poblacional no se conoce y n es menor o igual a 30: Estadístico de prueba: Valor crítico: x t t t  t ( n 1) (distribución t de student) s n II. PRUEBA DE HIPOTESS PARA LA PROPORCION POBLACIONAL Estadístico de prueba: Valor crítico: pP Z Zt pq n Esta formula es tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas. III. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS A. Si las varianzas poblacionales se conocen y las muestras son de tamaño n1>30 y n2>30 (grandes): Estadístico de prueba: Valor crítico:

Z

( x1  x2 )  ( 1   2 ) 1  2  n1 n2

Zt

B. Si las varianzas poblacionales se desconocen y las muestras son de tamaño n 1≤30 y n2≤30 (pequeñas): Estadístico de prueba: Valor crítico:

t

( x1  x2 )  ( 1   2 ) 1 1 Sc  n1 n2

tt  t( n n 1

2 2)

(distribución t de student)

Donde :

s c2 

(n 1  1)s 12  (n 2  1)s 22 , se llama varianza conjunta o combinada n1  n 2  2

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IV. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES:

A. Si p1 y p2 se determinan a partir de muestras: Estadístico de prueba:

Z 

( p1  p2 )  ( P1  P2 ) p1q1 p2 q2  n1 n2

Valor crítico:

Zt

Esta formula es tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA 1. Un fabricante de lámparas utilizadas por un gran Centro Comercial, asegura que la vida útil promedio de sus lámparas es por lo menos de 1600 horas. El Jefe de mantenimiento del Centro Comercial, que no estaba de acuerdo con este parecer (las lámparas duran menos), hizo un seguimiento sobre la duración de 100 lámparas seleccionadas al azar, encontrando que su duración promedio es de 1562 horas. a) ¿El jefe de mantenimiento podrá demostrar con esta información lo que supone?. (Supóngase que la desviación estándar poblacional es de 150 horas). Utilice el 95% de confianza. b) Establezca e interprete un intervalo de confianza. 2. Una empresa comercializa una bebida refrescante, en un envase en cuya etiqueta se puede leer: "Contenido 250 cc". El "Departamento de Control de Calidad", toma aleatoriamente 36 envases, y estudia el contenido medio, obteniendo una media de 234 cc y una desviación estándar de 18 cc. a) ¿Puede afirmarse con un 1% de significación que se está estafando al público? b) Establezca e interprete un intervalo de confianza. Nota: (Consideraremos estafa que el contenido sea menor que el expresado en la etiqueta) 3. Una cadena grande de supermercados, expide su propia tarjeta de crédito. El gerente financiero desea averiguar si el saldo deudor medio mensual es mayor que $400. El nivel de significación se fija en 0.05. Una revisión aleatoria de 172 saldos reveló que la media es de $407 y la desviación estándar de $38. a) ¿Debería concluir el gerente que la media poblacional es mayor que $400, o es razonable suponer que la diferencia de $7 (de $407 – $400 = $7) se debe al azar? b) Establezca e interprete un intervalo de confianza. 4. En un estudio de control de calidad de automóviles, se considera un parámetro de evaluación si arranca en menos de 3 minutos. Para lo cual se ha tomado 10 autos de la misma marca para estudiar el tiempo de arranque encontrándose los siguientes resultados (en segundos): 2. 84 , 2.86 , 3.06 , 2.94 , 2.94 , 2.82 , 3.02 , 3.14 , 3.42 , 3.16. Probar si los automóviles cumplen con este parámetro de calidad. Verificar H0:  = 3 frente a H1:  < 3, utilizando α =0.05 ¿A qué conclusión llegaría usted?. Establezca e interprete un intervalo de confianza.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCION 5.

Aproximadamente 1 de cada 10 consumidores favorece la gaseosa “A”. Después de una campaña de promoción en una zona de ventas, se seleccionó al azar 200 bebedores de ese producto, y se les entrevistó

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para determinar la efectividad de la campaña. El resultado de la encuesta mostró que un total de 26 personas expresó su preferencia por la marca “A”. ¿Son los datos suficientes para indicar un aumento en la aceptación de la marca A en esta zona?. Emplear  = 5%, 6. Un fabricante de papel higiénico DELUXE considera que tiene asegurado el 20% del mercado. Para probar esta aseveración, la fábrica de la competencia toma una muestra de 200 clientes potenciales a quienes les pregunta por la marca papel higiénico de su preferencia. De los 200 entrevistados, 60 prefieren el papel DELUXE. a) ¿Cuáles deberían ser las hipótesis que se deberían plantear, para probar si en realidad el fabricante de DELUXE tiene asegurado una mayor proporción del mercado de la que sostiene?. Darle solución. b) Establezca e interprete un intervalo de confianza. 7. Una nueva serie de TV debe demostrar que capta más del 25% de la audiencia después de su periodo inicial de 10 semanas, para decir que tuvo éxito. Suponga que en una muestra de 400 familias 112 estaban viendo la serie. A un nivel de significación de 0,01; ¿puede decirse que la serie tuvo éxito, con base en la información de la muestra?. 8. Se plantea una hipótesis de trabajo de que no más del 5% de las piezas que se fabrican en un proceso de manufactura tienen defectos. Para tal estudio se selecciona una muestra de 100 piezas, encontrándose que 10 están defectuosas. Pruebe la hipótesis anterior al 5% de significación. Establezca e interprete un intervalo de confianza. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES 9.

Un fabricante de microprocesadores compra los microcircuitos de sus productos a dos proveedores: una muestra de 300 microcircuitos del proveedor “A” contuvo 50 defectuosos, mientras que una muestra de 400 piezas del proveedor “B” presentó 70 con fallas. Pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencia entre la proporción de circuitos defectuosos de los dos proveedores.

10. Una empresa de estudios de mercado quiere saber si un producto promocionado a nivel nacional lo adquieren los hombres en mayor proporción que las mujeres. De dos muestras aleatorias independientes de 900 hombres y 800 mujeres se encontró que 270 hombres y 200 mujeres adquieren el producto. ¿Cuál es su decisión al 5% de significación? Establezca e interprete un intervalo de confianza. 11. Un investigador de mercados que trabaja para una agencia de publicidad, trataba de explicar la adquisición de un automóvil. Los resultados de una encuesta mostraron que un 30% (n = 60) de los entrevistados con título universitario poseen automóvil, en comparación con 21% (n = 45) de aquellos que no tienen título universitario. ¿Qué debe concluir el investigador al 1% de significación? 12. Una organización de investigación de mercados realizó 2 encuestas al mismo tiempo. Ambas se relacionaban con la población de personas de 18 años o mayores. A pesar de que las 2 muestras fueron seleccionadas independientemente; una referente a los ingresos buscaba tener información sobre los cambios en los gastos de artículos de consumo como resultado de los cambios en los ingresos. La otra encuesta se refería a las preferencias de marcas y buscaba obtener información sobre las preferencias por las marcas de los diferentes tipos de alimentos. En la encuesta sobre ingresos aplicada a 1,200 personas, 189 se rehusaron a contestar. En la encuesta sobre preferencias de marcas aplicada a 1,500 personas, 81 se rehusaron a contestar. Indican estos resultados que el asunto de la encuesta afecta a la proporción de personas que se rehusaron a contestar. Establezca la regla de decisión adecuada suponiendo que el riesgo de concluir que el asunto de la encuesta tiene un efecto cuándo realmente no existe tal efecto debe ser 0,01. ¿A qué conclusión deberá llegarse?. Establezca e interprete un intervalo de confianza. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA IGUALDAD DE MEDIAS 13. Se desea saber si hay diferencia significativa entre el rendimiento en las ventas del personal que recibe un curso de entrenamiento y aquellos a los que no se les imparte. Se tomó una muestra aleatoria de 60

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vendedores adiestrados obteniéndose un índice de rendimiento de 7,35 y una desviación estándar de 1,2. Por otra parte, se seleccionaron 80 vendedores no capacitados resultando un índice de 6,85 y una desviación estándar de 1,5. Realice la prueba correspondiente y concluya en términos del problema si es posible establezca e interprete un intervalo de confianza. 14. Las pruebas de resistencia a la tracción en 10 puntos de soldadura en un dispositivo semiconductor produjeron los siguientes resultados en libras requerida para romper la soldadura: 15,8, 12,7, 13,2 16.9, 10,6, 18.8, 11.1, 14,3, 17.0, 12,5, Otro conjunto de 8 puntos fueron probados después de recubrir el dispositivo para determinar si la resistencia a la tracción se incrementa con el recubrimiento, obteniendo los siguientes resultados: 24,9, 23,6, 19.8, 22,1, 20,4, 21.6, 21.8, 22,5 Con  = 0,05, ¿a qué conclusión llegaría? Si  = 0,01 llegaría usted a la misma conclusión? Establezca e interprete un intervalo de confianza para los niveles de confianza requeridos, Que sucederá con los limites? 15. Ricardo García, gerente de operaciones de PERUBANK, está interesado en saber si existe diferencia significativa entre los tiempos de atención al cliente de los empleados que trabajan en los dos turnos, mañana y tarde. Al respecto, ayer personalmente registró los tiempos que utilizaron los empleados para atender a los clientes en ambos turnos y en forma aleatoria. Los tiempos en minutos que registró fueron los siguientes: Mañana Tarde

2,10 4,00

4,10 4,50

4,70 3,70

3,70 4,00

6,00 4,10

3,90 3,45

Ricardo procesó los datos en un programa estadístico y obtuvo la siguiente información: Mañana Tarde

n 6 6

Promedio 4.08 3.958

Desviación Estándar. 1.28 0.358

A la luz de estos resultados, ¿A qué conclusión llegó Ricardo?. Compruebe con 5% de significación. 16. Un fabricante de microcircuitos esta interesado en determinar si dos diseños diferentes producen un flujo de electricidad equivalente. El ingeniero responsable ha obtenido la siguiente información: Diseño 1

20.3

22.5

23.3

29.1

26.5

22.1

20.8

28.6

23.3

21.5

Diseño 2 23.5 26.5 28.6 21.5 26.4 27.9 26.5 25.5 26.7 28.9 Con =0.01, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de electricidad entre los dos diseños. Establezca e interprete un intervalo de confianza. 17. Una compañía desea estudiar el efecto que tiene la pausa para el café, sobre la productividad de sus obreros. Selecciona 6 obreros y mide su productividad en un día corriente, y luego mide la productividad de los mismos 6 obreros en un día que se concede la pausa para el café. Las cifras que miden la productividad son las que siguen: Con  = 0,05. ¿A qué conclusión llegará la compañía?. TRABAJADOR Sin pausa Con pausa

1 23 28

2 35 38

3 29 29

4 33 37

5 43 42

6 32 30

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA 18. Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuídos normalmente con una varianza poblacional de 0,2 pulgadas 2, pero se cree que últimamente ha aumentado. Se toma una

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20.

21.

22.

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24.

muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas: 5,5     5,4     5,4     5,6     5,8     5,4     5,5     5,4     5,6     5,7. Con ésta información pruebe si lo que se cree es cierto. Establezca e interprete un intervalo de confianza. Suponga que un fabricante de pernos está produciendo pernos de 8 mm de diámetro, y que los diámetros de estas piezas se distribuyen normalmente; con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos de una línea de producción para estimar la varianza de todos los diámetros, la cual resultó ser S2 = 0.009 mm2. Con un nivel de significancia de 0.05. ¿Se puede concluir que la varianza poblacional es igual o menor 0.01 mm2? Establezca e interprete un intervalo de confianza. Una empresa del giro alimenticio desea determinar si el lote de una materia prima tiene o no una varianza poblacional mayor a 15 en su grado de endulzamiento. Se realiza un muestreo de 20 elementos y se obtiene una varianza muestral de 20.98; realizar la prueba de hipótesis con alfa = 0.05. Un negocio debe pagar horas extra dada la demanda incierta de su producto, por lo cual en promedio se pagan 50 horas extra a la semana el gerente de recursos humanos considera que siempre se ha tenido una varianza de 25 en las horas extras demandadas. Si se toma una muestra de 16 semanas se obtiene una varianza muestral de 28.1. Determine con alfa = 0.10 si la varianza poblacional de las horas extras demandadas a la semana puede considerarse igual a 25. Establezca e interprete un intervalo de confianza. Una empresa consultora desea determinar la variabilidad existente en la opinión pública sobre el desempeño del Gobierno del Estado; históricamente la varianza ha sido de 2 en los puntos de calificación que le otorga la ciudadanía al gobierno; en el último muestreo se detectó una varianza de 3 tomando como referencia rápida 20 personas; ¿Hay elementos estadísticos suficientes para asegurar que la varianza ha AUMENTADO? Realice la prueba de hipótesis para contestar la pregunta anterior con un alfa = 0.1. Establezca e interprete un intervalo de confianza. Una empresa desea concursar para ganar un contrato con el gobierno como proveedor de concreto; uno de los requisitos es la resistencia a la compresión del concreto a los 28 días de haberse preparado la mezcla. La empresa ganadora dice que mantiene excelentes controles de calidad en su concreto y como tal hay una varianza muy baja en resistencias a la compresión, del orden de 16 kgf2/cm4; pero al hacerle unas pruebas de resistencia se detecta una varianza más elevada de 25 kgf2/cm4 ¿hay evidencia estadística suficiente para considerar que el proveedor está mintiendo y en realidad la desviación estándar es DIFERENTE a 16 kgf2/cm4? Establezca e interprete un intervalo de confianza. Un fabricante de detergente líquido está interesado en la uniformidad de la máquina que utiliza para llenar las botellas. De manera específica, es deseable que la varianza del proceso de llenado sea menor que 0.01, de otro modo existe un porcentaje mayor que el deseable de botellas con un contenido menor de detergente. Supóngase que la distribución del volumen de llenado es aproximadamente Normal. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza muestral de 0.0153. ¿Tiene el fabricante problemas en el proceso de llenado de las botellas?. Realizar el contraste al 5 % de significación.

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