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• JhonatanAlexanderMogollonUlloa

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Flujos t´ ermicos

15 de diciembre de 2004

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Conceptos b´ asicos Gran importancia pr´actica refrigeraci´ on de motores refrigeraci´ on de reactores nucleares meteorolog´ıa geof´ısica circulaci´ on oce´anica

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Variaciones de temperaturas debidas a procesos de flujo internos • viscosidad • expansi´ on o compresi´ on adiab´aticas generaci´ on interna de energ´ıa • radioactividad • absorci´ on de radiaci´ on t´ermica • condensaci´ on del vapor de agua diferencias de temperaturas de los contornos

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Ecuaci´ on de la convecci´ on Aproximaci´ on de Boussinesq Se ignoran las variaciones de las propiedades del fluido con la temperatura salvo la densidad Se ignoran las variaciones de la densidad salvo que den lugar a fuerzas gravitacionales Ecuaci´ on de continuidad (densidad constante) ∇·v =0 Ecuaci´ on del movimiento (NS) ρ0

Dv = −∇p + µ∇2v + (ρ0 + ∆ρ)g Dt

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como la fuerza depende de un potencial podemos escribir Dv = −∇P + µ∇2v + ∆ρg ρ0 Dt donde P = p + ρ0Φ Las variaciones de la densidad dependen de la temperatura ∆ρ = −αρ0∆T (en forma linearizada) donde α es el coeficiente de expansi´ on del fluido. La ecuaci´ on din´amica de Boussinesq es Dv 1 = − ∇P + ν∇2v − gα∆T Dt ρ0 Ecuaci´ on de la temperatura La tasa de calentamiento por unidad de volumen de una part´ıcula de fluido es ρCpDT /Dt. El flujo de calor por conducci´ on es q = −k∇T , donde k es la

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conductividad t´ermica del fluido. Por lo tanto, ρCpDT /Dt = −∇ · q + J, donde J es la tasa de producci´ on interna de calor por unidad de volumen. Suponiendo k constante ∂T J 2 + v · ∇T = κ∇ T + ∂t ρ0Cp donde κ = k/ρ0Cp es la difusividad t´ermica. Nombre de los nuevos t´erminos −gα∆T , t´ermino de flotaci´ on κ∇2T , t´ermino de conducci´ on t´ermica J/ρ0Cp, t´ermino de generaci´ on de calor v · ∇T , t´ermino de advecci´ on

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Condiciones de contorno para el campo de temperatura Temperatura del contorno fija (la m´as com´ un) Flujo de calor fijo (∇T )

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Tipos de flujo convectivo Los casos l´ımites son Convecci´ on libre o natural. La fuerza de flotaci´ on es la u ´nica causa del movimiento. Convecci´ on forzada. La fuerza de flotaci´ on es despreciable, la temperatura no modifica apreciablemente el flujo.

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Convecci´ on forzada El campo de velocidad no se ve afectado por el campo de temperatura. Similitud din´amica: igualdad de n´ umero de Reynolds (Re= U L/ν). t´ermica: igualdad de n´ umero de P´eclet (Pe= U L/κ)

Pe ∼

advecci´ on de calor conducci´ on de calor

Pe bajo (adem´as suponemos flujo estacionario y J = 0) κ∇2T = 0

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Pe alto (adem´as suponemos flujo estacionario y J = 0) v · ∇T = 0 pero la conducci´ on ser´a importante en la capa l´ımite t´ermica. N´ umero de Prandtl Pr= ν/κ, propiedad del fluido, no del flujo. Pr> 1 la vorticidad se difunde m´as r´apidamente que la temperatura (capa l´ımite de velocidad m´as gruesa que la capa l´ımite t´ermica) Pr< 1 la temperatura se difunde m´as r´apidamente que la vorticidad (capa l´ımite t´ermica m´as gruesa que la capa l´ımite de velocidad).

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Gases: Pr∼ 1 L´ıquidos: Pr> 1 (agua a temperatura ambiente Pr= 6) Metales l´ıquidos: Pr< 1 (Mercurio, Pr= 0,025) ˙ N´ umero de Nusselt Nu= QL/kΘ, donde Q˙ es la tasa de transferencia de calor por unidad de superficie, k es la conductividad t´ermica, L y Θ escalas de longitud y temperatura. Para convecci´ on forzada, Nu= f (Re,Pr) por lo tanto Q˙ ∝ Θ

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Convecci´ on libre El flujo se produce por las fuerzas de flotaci´ on. No es posible determinar el campo de velocidad y el campo de temperaturas independientemente. Para flujo estacionario usando la aproximaci´ on de Boussinesq ∇·v =0 1 ∇P + ν∇2v − gα∆T ρ0 v · ∇T = κ∇2T

v · ∇v = −

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Par´ ametros adimensionales en convecci´ on libre N´ umero de Grashof

N´ umero de Prandtl

gαΘL3 Gr = ν2 ν Pr = κ

N´ umero de Rayleigh gαΘL3 Ra = GrPr = νκ N´ umero de Reynolds Re = f (Gr, Pr) N´ umero de Nusselt Nu = f (Gr, Pr)

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