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• Josemanuel Ramirez Gomez

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Curso HCSL 2003 Hidráulica de conducciones con superficie libre Tema IIIa – Flujo Uniforme

Hoja 1

1 Resistencia al flujo La fuerza impulsora del flujo en el canal es la gravedad, y también pueden actuar las presiones que se puedan transmitir en la dirección del flujo. La resistencia al flujo en un canal es producida por la tensión rasante o “fricción” en las paredes y el fondo. Una expresión para la ecuación de resistencia puede ser obtenida haciendo un balance mecánico entre la “fuerza propulsiva” que actúa en la dirección del flujo y la “fuerza resistiva” de tensión rasante que actúa en el sentido contrario al flujo. Observación: • •

Comparación con flujo y resistencia en tuberías Se determina por lo tanto para resolver el problema práctico una tensión rasante media.

La forma de la ecuación es similar a tubería como se verá más adelante.

2 Flujo Uniforme Estacionario

Un flujo estacionario, se considera uniforme cuando en todas las secciones del canal, cualquier magnitud que se considere es la misma. Entre otras magnitudes, se pueden considerar D, y, A, v, Q, etc. Observar que el flujo uniforme implica entonces que el canal es prismático. ∂ϕ Matemáticamente, la uniformidad del flujo se expresa como: = 0 , con φ ∂x cualquiera. Por lo tanto, para un flujo estacionario donde circule un caudal Q dado y como el tirante (y) es constante, entonces v es constante y por lo tanto, la línea de energía, la línea del nivel superficial y la línea del nivel del fondo son paralelos entre sí. Las pendientes de dichas líneas se notan con las letras sf, sw, so. Para el caso uniforme, entonces sf = sw = so.

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2.1

Hoja 2

Ecuaciones que gobiernan el flujo uniforme

Vamos a suponer que sucede el esquema de la figura y trataremos de aplicar las leyes del movimiento, en particular la ley de Newton: ( F = M x a ). La ley de Newton es una expresión vectorial, vamos a aplicarla en la dirección longitudinal del canal. Para aplicar la ley de Newton, procedamos a definir una región como aquellas partículas que en un instante determinado ocupan la región separadas por una distancia L (ver figura). Las fuerzas que se aplican sobre una región son de dos tipos: 1. Fuerzas de masa 2. Fuerzas de superficie

La fuerza de masa que actúa es el peso: Fuerza = Peso = m.g seno θ (porque me interesa la componente paralela al eje del colector ) = densidad * Volúmeno * g * seno θ = ρ g seno θ L A Como θ es un ángulo chico y seno x = tg x = x xÆ0

( x en radianes )

entonces, la fuerza del peso es F = ρ g A L so

Las fuerzas de superficie (o sea que actúan sobre las distintas superficies de la región) son: 1. Superficie que bordea el canal : “Rozamiento” 2. Superficie abierta a la atmósfera : presión atmosférica que se ejerce en la dirección perpendicular al eje del canal por lo tanto no va a interesar en este balance (además, como sabemos que se puede trabajar con presiones manométricas, se puede considerar la presión atmosférica como 0 para facilitar y tampoco interesaría) 3. Superficie de cada una de las secciones laterales : Fuerzas ejercidas por las presión de agua en cada una de las “tapas” de este “tubo de flujo”.

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Hoja 3

1) Fuerzas de “rozamiento” Definición: Tensión rasante (notación: τ, tau), es la tensión (fuerza por unidad de superficie) ejercida sobre el fluido a través de una determinada superficie en la dirección tangente a esta superficie. Si τo es la tensión rasante media, entonces la fuerza que se opone al movimiento será : τo * superficie lateral = τo * P * L Nota: Este concepto de tensión rasante será importante posteriormente para considerar las condiciones de limpieza y estabilidad del canal, pues de alguna manera cuantifica la capacidad del agua para producir arrastre o no. 2) Ya vimos que estas fuerzas no participan en el balance 3) Fuerzas que se transmiten en las “tapas de la sección” Acá hay que considerar dos casos: a) b)

Flujo uniforme (las magnitudes no varían al moverse a lo largo del canal) Flujo Variado (Flujo no uniforme)

En este tema nos concentramos en flujo uniforme, y por lo tanto las dos “tapas” tienen la misma profundidad. Por lo tanto, el esfuerzo ejercido por las presiones en cada una serán iguales pero de signo opuesto y por lo tanto, se anularán punto a punto, por lo que estas fuerzas dan resultado nulo. Si el flujo es no uniforme, aparece una diferencia de presión que altera el resultado y que se tratará en el tema “Flujo Gradualmente Variado” Entonces la fuerza total que esta actuando en la región sería la siguiente: F = ρg A L so - τo L P

Ahora resta calcular la aceleración que corresponda, para poder aplicar la ley de Newton o ecuación de balance mecánico. Para calcular la aceleración, calculamos la aceleración puntual y recordando que el flujo es estacionario y uniforme, entonces:

r r r r r dv ∂v ∂v r = + .v = 0 + 0.v = 0 a= dt ∂t ∂x

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Hoja 4

y por lo tanto, la fuerza total que actúa sobre la región es nula, resultando la ecuación de balance mecánico como: 0 = ρg A L so - τo L P

Operando, τ L P = ρg A L so ; eliminando L y recordando la definición de radio hidráulico (Rh=A/P) se obtiene τ o = ρ g R h so = γ R h so

Nota: observar que τo es la tensión rasante media en el perímetro de cada sección. Acerca de la tensión rasante τo τo es el valor medio y además, difícil de definir en sí misma, por lo que podemos observar que por análisis dimensional se obtiene que:

τ 0 = a⋅ ρ ⋅v2 a – Donde a es un número adimensional no necesariamente constante 2.2

Fórmula de Chezy para flujo estacionario y uniforme

Igualando la tensión rasante media y despejando la velocidad de obtiene v = √ (g / a) √ (Rh S0) y llamando C = coeficiente de Chezy a √ (g / a) se obtiene la fórmula de Chezy para el cálculo de canales :

γ ⋅ R ⋅ S0 = A ⋅ ρ ⋅ v 2 V=

g ⋅ R ⋅ S0 a

C=

g a

Coeficiente de Chézy

v = C ⋅ R ⋅ S0

Ecuación de Chézy

Observaciones : 1. C tiene unidades, [C] = m ^(1/2) / s 2. C depende de la geometría de la sección, Rh y rugosidad de los bordes (aún para flujos turbulentos plenos como se verá más adelante, aunque también podría depender del Reynolds, tema que se tratará también mas adelante): HCSL

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3. C varía entre 40 y 100 en función del tipo de canal y condiciones de flujo para el sistema métrico decimal. 4. Estudios posteriores mostraron que no es correcto suponer que el coeficiente de Chezy es constante para todos los niveles de flujo. Este es uno de los motivos importantes para que esta ecuación no sea utilizada extensivamente. 2.3

Similitud con el flujo en tuberías

Para analizar la expresión de Chezy, sus hipótesis y su validez, establecemos una analogía con el flujo en tuberías. f ⋅l ⋅v2 La expresión de Darcy para el flujo en tuberías es : h f = D ⋅ 2g Para FU, las pérdidas de energía serán sf = so = hh / L , entonces, igualando la expresión de Darcy con la fórmula de Chezy se obtiene (tomando D = 4 Rh como surge de la definición de radio hidráulico para tuberías circulares) :

C=

8g f

f se obtuvo y estudió experimentalmente de los trabajos de Nikuradse y CloebrookWhite en la década del 30 para tuberías con flujo a presión (no para canales con superficie libre). Algunos estudios muestran que el área transversal no influye mucho y que las secciones se pueden asumir representadas por el radio hidráulico (Rh). Entonces C al igual que f dependerá de la rugosidad (k) y del número de Reynolds 4 v Rh ), por lo que se puede obtener un ábaco para el coeficiente de Chezy ( Re =

ν

que será similar al de Moody

Ábaco del coeficiente de Chezy (Attn: está en el sistema de unidades inglés). HCSL

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Hoja 6

Entonces, al igual que en el caso de f, existen entonces 3 posibles flujos turbulentos: Flujo Liso Ocurre cuando el contorno es hidráulicamente liso (línea superior del ábaco). Ecuaciones:

C = 15.76 ⋅ Re1 8 Re < 105

(1) Ec. de Blasius y

 Re⋅ 8 g C = 4 ⋅ 2 g ⋅ log10   2.51 ⋅ C

  (2) Re > 105  

Flujo turbulento con plena rugosidad o totalmente rugoso

C 1  12 ⋅ Rh  = = 2 ⋅ log10   (3) f 8g  k  Flujo turbulento de transición Para la transición entre contornos lisos y contornos rugosos, Colebrook halló para tuberías comerciales de madera, metal y concreto.

1 f

=

 k 2.52 = −2 ⋅ log 10  +  8g  14.83 ⋅ R h Re⋅ f

C

   

Para aplicar a canales, los coeficientes se modifican por efecto de la forma y la ecuación

1 f

=

 k 2.51 ⋅ C = −2 ⋅ log 10  +  8g  12 R h Re⋅ 8 g

C

   

Identificación del tipo de flujo Los 3 tipos de flujo se delimitan por el parámetro adimensional Re* Re * =

k ⋅v*

ν

con

v* =

τ0 = g ⋅ R h ⋅ S 0 para flujo uniforme ρ

la transición ocurre para: 4
2000 b) Flujo turbulento rugoso : Re* > 100 ( 60 para algunos autores ) Afortunadamente, estas condiciones se verifican para la gran mayoría de los flujos de aplicación práctica, ya sea en infraestructura sanitaria, hidráulica o hidrología, por lo que en condiciones normales no es necesario realizar estas dos verificaciones y asumimos ambas ecuaciones como válidas. Como observación final, vale remarcar que estas formulaciones son válidas para flujos estacionarios y uniformes, por lo tanto, en general estas ecuaciones no son de aplicación para flujos no permanentes. No obstante, si las variaciones no son muy abruptas, estas ecuaciones se suelen aplicar para la cuantificación de la fricción instante e instante con un margen de error relativamente razonable tanto menor cuanto menor son las variaciones, aunque naturalmente su aplicabilidad dependerá de la importancia del problema.

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5 Cálculo del flujo uniforme 5.1

Generalidades

Como se comentó anteriormente, la formulación que es de aplicación normal para resolver estos flujos es la conocida como ecuación de Manning. Esta ecuación relaciona la velocidad con un coeficiente que depende de la conducción (n), el radio hidráulico y la pendiente de la conducción. La dependencia no lineal de estos parámetros sumada a la propia definición del radio hidráulico redunda en que a veces aparecen dificultades de cálculo para determinar algún parámetro y la manera normal para resolver estas ecuaciones será la resolución numérica de las mismas donde los parámetros estarán determinados en forma implícita. Los métodos numéricos más utilizados para resolver estas ecuaciones son los métodos de bisección (hallar una solución en un intervalo), Newton (hallar una solución partiendo de un valor cercano) o iteración. Para el caso de conducciones en canales rectangulares, trapeciales o triangulares, estas dificultades de cálculo son relativamente simples de resolver, pero para el caso circular normalmente el cálculo es más engorroso y se llega a expresiones relativamente complejas. Para simplificar el cálculo en las conducciones circulares, se han desarrollado tablas numéricas que determinan diversos parámetros en función del diámetro de la conducción y la relación entre el tirante y el diámetro de la misma. Naturalmente el único fin de estas tablas es facilitar el cálculo, y se invita a los estudiantes a verificar las mismas, no usarlas y por lo tanto resolver el flujo uniforme sin usar estas tablas. Para resolver el flujo uniforme, se pueden utilizar desde calculadoras de mano programables hasta PC con planillas excel o cualquier lenguaje de programación, por ejemplo, Matlab, Visual Basic, Fortran, etc. Ejemplos a resolver en clase: a) Canal rectangular Por un canal rectangular de hormigón lustrado y de ancho 0.20m circula un caudal Q = 0.03 m3/s (30 lt/s). 1. Calcular el tirante en los casos s = 0.5% y s = 2% 2. Calcular la tensión de fondo en ambos casos

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b) Canal circular En una instalación sanitaria hay que instalar un colector circular de PVC para conducir un caudal Q que varía entre 2 y 20 l/s. Calcular el diámetro del colector que hay que instalar si la pendiente del mismo será de 1%. Calcular la tensión tractiva resultante para este caudal y verificar si se cumple la condición de autolimpieza siempre (Tensión tractiva >= 1.5 Pa). Los colectores normalmente están disponibles en diámetros de 100, 150, 200, 250, 300 y 400 mm. La capacidad máxima del colector, de acuerdo a las normas se calcula cuando el tirante es del 75% del diámetro. El número de manning a adoptar es de 0.013 (limitado también por las normas) 5.2

Tablas auxiliares para el cálculo de colectores circulares

No obstante desaconsejar su uso con el fin de habituarse al cálculo preciso, a continuación se muestran las tablas de coeficientes generales para el cálculo de conducciones circulares. Tabla de coeficientes geométricos, velocidad y caudal para tuberías circulares con n = 0.013 y/d 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5

A = Ca * D ^2

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Ca 0.00133 0.00375 0.00687 0.01054 0.01468 0.01924 0.02417 0.02943 0.03501 0.04088 0.04701 0.05339 0.06000 0.06683 0.07387 0.08111 0.08854 0.09613 0.10390 0.11182 0.11990 0.12811 0.13646 0.14494 0.15355 0.16226 0.17109 0.18002 0.18905 0.19817 0.20738 0.21667 0.22603 0.23547 0.24498 0.25455 0.26418 0.27386 0.28359 0.29337 0.30319 0.31304 0.32293 0.33284 0.34278 0.35274 0.36272 0.37270 0.38270 0.39270

Cp 0.20033 0.28379 0.34816 0.40271 0.45103 0.49493 0.53553 0.57351 0.60938 0.64350 0.67613 0.70748 0.73772 0.76699 0.79540 0.82303 0.84998 0.87630 0.90205 0.92729 0.95207 0.97641 1.00036 1.02394 1.04720 1.07014 1.09280 1.11520 1.13735 1.15928 1.18100 1.20253 1.22388 1.24507 1.26610 1.28700 1.30777 1.32843 1.34898 1.36944 1.38981 1.41010 1.43033 1.45051 1.47063 1.49071 1.51076 1.53078 1.55079 1.57080

Rh = Cr * D

Cr 0.00664 0.01321 0.01972 0.02617 0.03255 0.03887 0.04513 0.05132 0.05745 0.06352 0.06952 0.07546 0.08133 0.08714 0.09288 0.09855 0.10416 0.10971 0.11518 0.12059 0.12593 0.13121 0.13642 0.14155 0.14663 0.15163 0.15656 0.16142 0.16622 0.17094 0.17559 0.18018 0.18469 0.18912 0.19349 0.19779 0.20201 0.20615 0.21023 0.21423 0.21815 0.22200 0.22577 0.22947 0.23309 0.23663 0.24009 0.24347 0.24678 0.25000

Cb 0.19900 0.28000 0.34117 0.39192 0.43589 0.47497 0.51029 0.54259 0.57236 0.60000 0.62578 0.64992 0.67261 0.69397 0.71414 0.73321 0.75126 0.76837 0.78460 0.80000 0.81462 0.82849 0.84166 0.85417 0.86602 0.87727 0.88792 0.89800 0.90752 0.91651 0.92499 0.93295 0.94042 0.94742 0.95394 0.96000 0.96561 0.97077 0.97550 0.97980 0.98367 0.98712 0.99015 0.99277 0.99499 0.99679 0.99820 0.99920 0.99980 1.00000

Cv 0.03531 0.05588 0.07299 0.08814 0.10195 0.11475 0.12676 0.13811 0.14890 0.15920 0.16907 0.17857 0.18772 0.19655 0.20509 0.21336 0.22138 0.22917 0.23673 0.24409 0.25124 0.25821 0.26500 0.27161 0.27806 0.28435 0.29048 0.29647 0.30231 0.30801 0.31357 0.31900 0.32431 0.32948 0.33453 0.33947 0.34428 0.34897 0.35356 0.35803 0.36239 0.36663 0.37078 0.37481 0.37874 0.38257 0.38629 0.38991 0.39343 0.39685

V =1/n* Cv*D^(2/3)*so^(1/2)

Cq 0.00005 0.00021 0.00050 0.00093 0.00150 0.00221 0.00306 0.00407 0.00521 0.00651 0.00795 0.00953 0.01126 0.01314 0.01515 0.01731 0.01960 0.02203 0.02460 0.02729 0.03012 0.03308 0.03616 0.03937 0.04270 0.04614 0.04970 0.05337 0.05715 0.06104 0.06503 0.06912 0.07330 0.07758 0.08195 0.08641 0.09095 0.09557 0.10027 0.10503 0.10987 0.11477 0.11973 0.12475 0.12983 0.13495 0.14011 0.14532 0.15057 0.15584

y/d 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

P = Cp * D

Ca 0.40270 0.41269 0.42268 0.43266 0.44261 0.45255 0.46247 0.47236 0.48221 0.49203 0.50180 0.51154 0.52122 0.53085 0.54042 0.54992 0.55936 0.56873 0.57802 0.58723 0.59635 0.60538 0.61431 0.62313 0.63185 0.64045 0.64893 0.65728 0.66550 0.67357 0.68150 0.68926 0.69686 0.70429 0.71152 0.71856 0.72540 0.73201 0.73839 0.74452 0.75039 0.75596 0.76123 0.76616 0.77072 0.77486 0.77853 0.78165 0.78407 0.785398

Cp 1.59080 1.61081 1.63083 1.65088 1.67096 1.69108 1.71126 1.73149 1.75178 1.77215 1.79261 1.81316 1.83382 1.85459 1.87549 1.89652 1.91771 1.93906 1.96059 1.98231 2.00424 2.02639 2.04879 2.07145 2.09439 2.11765 2.14123 2.16518 2.18952 2.21430 2.23954 2.26529 2.29161 2.31856 2.34619 2.37460 2.40387 2.43411 2.46546 2.49809 2.53221 2.56808 2.60606 2.64666 2.69056 2.73888 2.79343 2.85780 2.94126 3.14159

B = Cb * D

Cr 0.25314 0.25620 0.25918 0.26208 0.26489 0.26761 0.27025 0.27280 0.27527 0.27764 0.27993 0.28212 0.28423 0.28623 0.28815 0.28996 0.29168 0.29330 0.29482 0.29623 0.29754 0.29875 0.29984 0.30082 0.30169 0.30244 0.30307 0.30357 0.30395 0.30419 0.30430 0.30427 0.30409 0.30376 0.30327 0.30260 0.30176 0.30073 0.29949 0.29804 0.29634 0.29437 0.29210 0.28948 0.28645 0.28291 0.27870 0.27351 0.26658 0.25

Cb 0.99980 0.99920 0.99820 0.99679 0.99499 0.99277 0.99015 0.98712 0.98367 0.97980 0.97550 0.97077 0.96561 0.96000 0.95394 0.94742 0.94043 0.93295 0.92499 0.91652 0.90752 0.89800 0.88792 0.87727 0.86603 0.85417 0.84167 0.82849 0.81462 0.80000 0.78460 0.76838 0.75127 0.73321 0.71414 0.69398 0.67261 0.64992 0.62578 0.60000 0.57236 0.54259 0.51030 0.47497 0.43589 0.39192 0.34118 0.28000 0.19900 0

Cv 0.40017 0.40339 0.40651 0.40953 0.41245 0.41528 0.41800 0.42063 0.42316 0.42559 0.42792 0.43016 0.43229 0.43432 0.43626 0.43809 0.43982 0.44145 0.44297 0.44438 0.44569 0.44689 0.44798 0.44896 0.44982 0.45056 0.45119 0.45169 0.45206 0.45231 0.45242 0.45238 0.45221 0.45188 0.45139 0.45073 0.44989 0.44887 0.44764 0.44618 0.44449 0.44252 0.44024 0.43760 0.43454 0.43096 0.42667 0.42136 0.41420 0.39685

Cq 0.16115 0.16648 0.17182 0.17719 0.18256 0.18793 0.19331 0.19869 0.20405 0.20940 0.21473 0.22004 0.22532 0.23056 0.23576 0.24092 0.24602 0.25106 0.25604 0.26095 0.26579 0.27054 0.27520 0.27976 0.28422 0.28856 0.29279 0.29689 0.30085 0.30466 0.30832 0.31181 0.31513 0.31825 0.32117 0.32388 0.32635 0.32858 0.33053 0.33219 0.33354 0.33452 0.33512 0.33527 0.33491 0.33393 0.33218 0.32936 0.32476 0.31169

Q=1/n*Cq*D^(8/3)*So^(1/2)

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Hoja 13

6 Tensión tractiva: aplicaciones para autolimpieza La tensión tractiva (o tensión rasante o tensión de fondo) es la “fuerza cortante” (o sea en la dirección del movimiento, paralela a las paredes del canal) que se realiza en una superficie dividida el área de esa superficie. Por lo tanto, la tensión tractiva cuantifica la capacidad que tiene el flujo para mover (en la dirección del movimiento) partículas que se encuentran en las paredes del canal. A mayor tensión tractiva más capacidad de movimiento. Para la aplicación en ingeniería sanitaria en conducciones prefabricadas, se dice que un canal está en condiciones de autolimpieza cuando la tensión media supera la tensión crítica que inicia el movimiento de las partículas. Normalmente, las normas fijan este valor para colectores donde circulan efluentes domésticos en 1Pa o 1.5 Pa. Ejercicio Observar de que y como depende la tensión tractiva. En particular observar la variación si en un canal se varía la pendiente dejando fijos todos los demás parámetros.

7 Acerca de las conducciones circulares 7.1

Propiedades del flujo en conducciones circulares

Como se observó anteriormente, si en una conducción se deja fija la pendiente, al aumentar el tirante el radio hidráulico aumenta y por lo tanto también la velocidad y el caudal. No obstante, como las conducciones circulares son secciones “cerradas”, a partir de un cierto tirante estas relaciones se invierten. Afortunadamente, esta inversión se produce en tirantes “altos” (ver gráfico adjunto). Por ello es que existe una zona donde no hay una relación única entre caudal y tirante (existen dos tirantes para un caudal dado). Se observa en los gráficos adjuntos que esta zona se da para tirantes muy altos, siempre mayores que el 80% del diámetro. Por estas razones y algunas otras (como por ejemplo una correcta ventilación de la tubería, márgenes de seguridad, etc. ) es que las normas limitan para el cálculo la capacidad de las conducciones circulares como el 75% del tirante, donde todos los parámetros tienen un comportamiento “normal” y está claramente definida la relación entre caudal, tirante y demás parámetros. El gráfico siguiente muestra cualitativamente la variación de los parámetros al variar el tirante (relación y/D). Se observa que para valores menores a 0.75 de y/D, todos los parámetros varían de la misma manera que el tirante (si el tirante crece, todos los parámetros crecen) y que para tirantes mayores que el 81% del tirante, existen dos tirantes para conducir un caudal dado.

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Hoja 14

Gráfico Tipo para Radio Hidráulico, Velocidad y Caudal para tubería Circular en régimen uniforme

Velocidad Caudal Radio Hidráulico

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Relación y/D

7.2

Expresiones para calcular la capacidad máxima de una tubería circular que escurre por gravedad

Las normas de cálculo determinan que normalmente y para aplicaciones de ingeniería sanitaria, la capacidad máxima de una tubería debe calcularse cuando la relación entre el tirante y el diámetro es de 0.75 (75%). Para esa condición de flujo, se verifica la siguiente expresión: Q = 0.2842 / n * D^(8/3) * So^(1/2) Donde:

• •

[Q]=m^3/s [D]=m

Para el caso normal con conducciones prefabricadas, el número de Manning a considerar es 0.013, por lo tanto la expresión resulta ser Q = 21.863 * D^(8/3) * So^(1/2) Donde nuevamente: • [Q]=m^3/s • [D]=m HCSL

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Hoja 15

8 Algunas características del flujo uniforme en conducciones por gravedad (con superficie libre) Área • Al aumentar el tirante, el área aumenta siempre Perímetro Mojado • Al aumentar el tirante, el perímetro mojado aumenta siempre Radio Hidráulico • Al aumentar el tirante, aumentan el área y el perímetro mojado, por lo tanto, como el radio hidráulico se define como la relación entre el área y el perímetro mojado, no es claro a priori como varía el radio hidráulico con el tirante, dependiendo de que “tan rápido” varíen el área y el radio hidráulico con el tirante. No obstante, para las secciones abiertas (rectangulares, triangulares, trapeciales, etc) el área aumenta “más rápido” que el perímetro mojado por lo que el radio hidráulico aumenta con el tirante. Sin embargo, en las secciones “cerradas” como por ejemplo colectores circulares, esta relación entre el aumento del radio hidráulico con el tirante se invierte cuando el tirante está próximo al máximo. Caudal • Al aumentar el caudal y mantener fijos los demás parámetros, el tirante aumenta. Pendiente • Al mantener fijos los demás parámetros (incluido caudal) y variar la pendiente, el tirante decrece si la pendiente crece (cuanto más pendiente tiene el canal menos tirante). En este caso también aumenta la tensión de fondo y la velocidad. Observar que si bien el radio hidráulico disminuye esta disminución es menor que el aumento de pendiente (recordar expresión de cálculo de la tensión rasante) Tensión rasante • Si el caudal varía y los demás parámetros están fijos, la tensión rasante aumenta. Si lo que varía es la pendiente, la tensión rasante aumenta si se aumenta la pendiente

9 Sección hidráulicamente óptima Sección Hidráulicamente óptima: Es la sección que conduce un caudal dado con la mínima área necesaria. Probar que la sección hidráulicamente óptima es un círculo. Ver caso rectangular y trapezoidal.

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Hoja 16

10 Rugosidad compuesta. La rugosidad puede variar a lo largo del perímetro del canal, en estos casos a veces es conveniente al aplicar la formula de Manning, determinar un n equivalente única para todo el perímetro. 1.- Si podemos suponer que todos los elementos tienen la misma velocidad media que la velocidad media de la seccion total: R2/3 u = ⋅ S de Manning u = u1 = u 2 = ..... = u n n 2/3

Ai A2 / 3 = 2/3 2/3 n⋅P n i ⋅ Pi

Ai =

 P ⋅ n3/ 2  n = ∑ i  P  

A n

3/ 2

⋅P

A = ∑ Ai

⋅ Pi ⋅ n i3 / 2

A=

A P ⋅ n3/ 2

∑ P ⋅n i

3/ 2 i

2/3

Fórmula de Horton y Einstein Banks

2.- Si la forma de la sección transversal es tal que no permite suponer lícitamente que la velocidad sea única como en el caso de canales aluvionales entonces la n eq se puede hallar haciendo la sumatoria de los caudales

Q = ∑ Qi  1 Ai 5 / 3 1 A5 / 3 ⋅ = ∑ ⋅ 2/3 n P n P2/3  i i

  1 A5 / 3  ⇒ n = 2 / 3 ⋅ n  P Ai5 / 3  ∑1 n ⋅ P 2 / 3  i i

3.- Existen además otras fórmulas que se pueden usar para calcular el n eq y que dependen de la suposición hecha. 3.1 .- Si se supone que la fuerza cortante total es igual a la fuerza cortante en cada elemento:

(

 ∑ Pi ⋅ n i2 ne =  P 

)

1/ 3

 

3.2 .- Otros métodos son:

∑n n=

i

A

⋅ Ai

 ∑ Ai ⋅ n 3 / 2 n=  A 

   

2/3

Los métodos en los que se usa el área son más convenientes para canales artificiales donde los angulos se bisectan Î la subdivisión se compone por el perímetro del canal, superficie libre y los bisectores de ángulos.

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