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FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil

ANÁLISIS DIFERENCIAL EN MECÁNICA DE FLUIDOS

1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS 1.1. Métodos de análisis en Mecánica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 1.2. Tipos de análisis en Mecánica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 1.3. Cinemática de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 1.4. Dinámica de Fluidos: fuerzas macroscópicas sobre los fluidos. 1.5. Tipos de flujo. 2. ECUACIONES DE CONSTITUCIÓN 2.1. Comportamiento mecánico: tensor de velocidad de deformación. 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 2.3. Fluidos Newtonianos. 2.4. Comportamiento térmico. 3. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN. 3.1. Ecuación diferencial de conservación de masa: ecuación de Continuidad. 3.2. Ecuación diferencial de conservación de cantidad de movimiento: ecuación De movimiento de CAUCHY. 3.3. Ecuación diferencial de conservación de la energía: ecuación de la energía. 3.4. Condiciones de contorno. 4. PROBLEMAS RESUELTOS. 4.1. Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano. 4.2. Aplicación de la ecuación de continuidad: criterios de incompresibilidad. 4.3. Aplicación de las ecuaciones de continuidad y BERNOULLI: descarga de depósitos. 4.3. Otros

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 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS 1. MÉTODOS EN EULERIANO.

MECÁNICA

DE FLUIDOS:

LAGRANGIANO

Y

El ámbito general de la Mecánica de Fluidos, es la interacción entre fluidos y su entorno. Además el fluido está constituido por una sucesión continua de partículas que interaccionan entre si y entre los contornos. La partícula fluida está formada por una sucesión continua de puntos materiales, que integran un volumen infinitesimal; que en el proceso de fluir, se deforma por la interacción con el resto de fluido, permaneciendo su masa y su volumen elementales constantes, es decir, la densidad en toda la extensión de la partícula fluida es constante. Como metodología de estudio se dispone de dos alternativas: - La identificación de cada partícula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que determinan la posición de la partícula en función del tiempo, además de conocer las magnitudes asociadas a cada partícula. Este el método de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecánica de Sólidos. - En Mecánica de Fluidos, es suficiente conocer el valor de las propiedades en los diversos puntos del campo fluido a lo largo del tiempo, con independencia de la partícula que lo ocupa en un instante determinado; ésta es la base del método de EULER, en el que las magnitudes de las propiedades de una partícula fluida en un determinado instante, vienen dadas por los valores de las propiedades en el punto que es ocupado por la partícula en el citado instante. En el método Euleriano, se deben determinar los “campos de propiedades”; así, el campo de presiones, es la expresión espacial y temporal de la presión: p=p(x, y, z, t), con lo que una partícula que en un instante “t0”, ocupe una posición (x0, y0, z0), tiene una presión dada por el campo de presiones p=p(x 0, y0, z0) Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su análisis es interesante tener algún tipo de representación. Cada método de análisis utiliza diferentes procedimientos de representación. En el método lagrangiano, se definen las trayectorias de las partículas como lugar geométrico de las diferentes posiciones temporales de las partículas. La trayectoria de una partícula es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas, a lo largo del tiempo, de la partícula, que en el instante inicial (t0) estaba en l aposición inicial (0rr).

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Fig.1.1.: Trayectoria de una partícula A ah lo largo del tiempo: Método Lagrangiano 2. TIPOS DE ANÁLISIS EN MECÁNICA DE FLUIDOS. La dinámica de fluidos trata del movimiento de los fluidos, a lo que se denomina flujo, y de sus interacciones con el entorno. En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservación (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitución (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometría y el entorno). Las ecuaciones de conservación y de constitución, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada una de las partículas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolución lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemática) y al campo de fuerzas (dinámica). Este tipo de análisis diferencial, da sistemas de ecuaciones simultaneas en derivadas parciales, que son de difícil o imposible resolución; aunque pueden encontrarse soluciones analíticas con hipótesis restrictivas y en determinados casos, en donde se pueden obtener soluciones parciales por cálculo numérico, utilizando las técnicas actuales de simulación que constituye la mecánica de fluidos computacional (CFD: computacional fluid mechanics), en donde las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un número finito de puntos del flujo (mallado). Si lo que se pretende obtener, no es el estado de movimiento del fluido, sino sus efectos sobre una determinada región del flujo, se puede establecer otro tipo de análisis que evalúe las características globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la región de estudio, en donde se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo, se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas Mecánica De Fluidos I

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por las ecuaciones integrales de conservación aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este método de análisis integral, se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variación de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control. Cuando el flujo es complejo y el análisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las ecuaciones o porque la resolución de los sistemas en derivadas parciales no es posible); y debido a que el análisis integral da resultados globales; es necesario recurrir a un análisis experimental, en donde los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este método de análisis aparecen dos problemas propios: el gran número de variables que intervienen en la descripción del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del análisis dimensional que permite reducir el número de variables y la teoría de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendría su prototipo. El análisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, limita el método; también el análisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las técnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el método; en cuanto al análisis integral, sí que aporta resultados en el estudio técnico de flujos, pero siempre de magnitudes globales. El análisis diferencial comenzó con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII, el análisis dimensional tuvo sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el análisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarrolló a mediados del siglo XX. En la actualidad las potentes técnicas de cálculo numérico, implementadas en ordenadores cada vez más rápidos, han hecho posible, el resurgimiento del análisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolución de flujos cada vez más complejos, en donde se consideran los efectos viscosos. En cuanto al análisis experimental, el desarrollo de sensores específicos (piezoeléctricos de presión, extensiométricos de fuerza,...) y de técnicas cada vez menos intrusivas (velocimetría laserdoppler, hilo radiante,...), está aportando medidas cada vez más fiables 3. CINEMÁTICA DE FLUIDOS: PROPIEDADES DEL VECTOR VELOCIDAD. El término cinemática está asociado a las propiedades del campo de velocidades. En la descripción Euleriana del flujo, la velocidad local del fluido( x , y , z , t ) vr es la variable fundamental. Se pueden tener dos casos extremos: Flujo estacionario, cuando la velocidad es independiente del tiempo, con lo que en un determinado punto, la velocidad (y en general cualquier

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propiedad) no varía con el tiempo, es decir la velocidad solo depende de la posición: ( x , y , z ) 0 t ∂= ⇒ =∂vvvrr r (1.) Flujo uniforme, cuando la velocidad no depende de la posición, con lo que en un determinado instante, la velocidad (y en general cualquier propiedad) es la misma en todos los puntos del campo fluido, es decir la velocidad solo depende del tiempo, y su gradiente es nulo. (t)0⇒ = vvvr r r (2.) 4. DINÁMICA DE FLUIDOS: FUERZAS MACROCÓPICAS. En el Análisis Diferencial de Fluidos, hemos considerado como volumen de control a la partícula fluida, que es una porción de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. El tamaño esta en relación a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medición. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de moléculas que integran la partícula fluida. Para su análisis, la partícula fluida se aísla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partícula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partícula aislada, se analizan las fuerzas que laman tienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia 5. TIPOS DE FLUJOS Para poder acotar el estudio del movimiento de un fluido, se establecen las pertinentes restricciones, que determinan los siguientes tipos de flujos:  Flujo Permanente: El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de la sucesiva partícula q ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo o bien  V / t = 0, pero puede variar de un punto a otro es decir, ser variable respecto de las coordenadas especiales.  Flujo laminar: Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de láminas o capas más o menos paralelas entre sí, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar: Mecánica De Fluidos I

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Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación angular. La acción de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar.  Flujo incompresible: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables, mientras se examinan puntos dentro del campo de flujo, es decir:

Lo anterior no exige que la densidad sea constante en todos los puntos. Si la densidad es constante, obviamente el flujo es incompresible, pero sería una condición más restrictiva.  Numero de Reynolds: El Número de Reynolds (Re), que es un grupo adimensional, viene dado por el cociente de las fuerzas de inercia por las fuerzas de vida a la viscosidad. Para tubería circulares, en flujo a tubería llena, Número de Reynolds Re =

Vdp µ

o

Vd v

=

V ( 2r ˳) v

Dónde: V= velocidad media en m/s d= diámetro de la tubería en m, r ˳ = radio de la tubería en m v= viscosidad cinemática del fluido en m 2/s p= densidad del fluido en UTM/m 3 o kps2/m4 o kg/m3 o Ns2/m4 µ= viscosidad absoluta en kg s/m 2 o Ns/m2  Flujo turbulento: Este tipo de flujo es el que más se presenta en la práctica de ingeniería. En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden establecido, ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor.

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La ecuación para el flujo turbulento se puede escribir de una forma análoga a la ley de Newton de la viscosidad:

Donde: h : viscosidad aparente, es factor que depende del movimiento del fluido y de su densidad.  Flujo compresible: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro no son despreciables.  Flujo permanente: Llamado también flujo estacionario. Este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto a los valores medios. Así mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura con el tiempo, es decir:

 Flujo no permanente: Llamado también flujo no estacionario. En este tipo de flujo en general las propiedades de un fluido y las características mecánicas del mismo serán diferentes de un punto a otro dentro de su campo, además si las características en un punto determinado varían de un instante a otro se dice que es un flujo no permanente, es decir:

Donde: N: parámetro a analizar. El flujo puede ser permanente o no, de acuerdo con el observador.  Flujo uniforme: Este tipo de flujos son poco comunes y ocurren cuando el vector velocidad en todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en dirección para un instante dado o expresado matemáticamente: Mecánica De Fluidos I

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Donde el tiempo se mantiene constante y s es un desplazamiento en cualquier dirección.  Flujo no uniforme: Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo se encuentra cerca de fronteras sólidas por efecto de la viscosidad  Flujo unidimensional: Es un flujo en el que el vector de velocidad sólo depende de una variable espacial, es decir que se desprecian los cambios de velocidad transversales a la dirección principal del escurrimiento. Dichos flujos se dan en tuberías largas y rectas o entre placas paralelas.  Flujo bidimensional: Es un flujo en el que el vector velocidad sólo depende de dos variables espaciales. En este tipo de flujo se supone que todas las partículas fluyen sobre planos paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idénticas si se comparan los planos entre sí, no existiendo, por tanto, cambio alguno en dirección perpendicular a los planos.  Flujo tridimensional: El vector velocidad depende de tres coordenadas espaciales, es el caso más general en que las componentes de la velocidad en tres direcciones mutuamente perpendiculares son función de las coordenadas espaciales x, y, z, y del tiempo t. Este es uno de los flujos más complicados de manejar desde el punto de vista matemático y sólo se pueden expresar fácilmente aquellos escurrimientos con fronteras de geometría sencilla.  Flujo rotacional: Es aquel en el cual el campo rot v adquiere en algunos de sus puntos valores distintos de cero, para cualquier instante.  Flujo Irrotacional: Al contrario que el flujo rotacional, este tipo de flujo se caracteriza porque dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante. Mecánica De Fluidos I

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En el flujo irrotacional se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, las cuales son causadas por los efectos de viscosidad del fluido en movimiento.  Flujo ideal: Es aquel flujo incompresible y carente de fricción. La hipótesis de un flujo ideal es de gran utilidad al analizar problemas que tengan grandes gastos de fluido, como en el movimiento de un aeroplano o de un submarino. Un fluido que no presente fricción resulta no viscoso y los procesos en que se tenga en cuenta su escurrimiento son reversibles

 ECUACIÓN DE CONSTITUCIÓN 

COMPORTAMIENTO MECÁNICO: Tensor de velocidad de deformación. En función de las hipótesis restrictivas, con las que se analiza el comportamiento de los fluidos reales, se tienen las Ecuaciones de Constitución, que son inherentes a cada fluido analizado. El comportamiento especifico de un determinado fluido, viene determinado por su comportamiento mecánico y su comportamiento térmico. El comportamiento mecánico del fluido, viene determinado por la relación entre las tensiones a las que está sometido y las velocidades de deformación que se producen por la acción de las tensiones mecánicas. Este es el comportamiento inherente de los fluidos, es decir, las débiles fuerzas intermoleculares, hacen que cualquier esfuerzo tangencial, deforme continuamente el fluido, originando el movimiento de las partículas o flujo. La velocidad de deformación viene determinada por la magnitud del esfuerzo tangencial y de la capacidad de transporte de cantidad de movimiento entre partículas, que es la propiedad más importante, inherente al fluido, y que se denomina viscosidad. En el método Euleriano, en cada punto del flujo, la velocidad de deformación viene determinada por el campo de velocidades. Cada punto del flujo, tiene asociado un valor del tensor de velocidades de deformación, que marca la deformación unitaria de una partícula fluida a su paso por el citado punto. La deformación de una determinada partícula en su movimiento por el campo fluido, viene determinada por las posibles variaciones espaciales de la velocidad de cada uno de los puntos que la integran, es decir del gradiente de velocidad, que al ser una magnitud tensorial (9 variaciones posibles), marca la misma condición tensorial a la velocidad de deformación Se tienen dos tipos de deformación: las debidas a alargamientos o contracciones, provocadas por los gradientes de las componentes de la

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velocidad en sus respectivas direcciones, y que se determinan por la velocidad de la variación unitaria (por unidad de longitud); y las debidas a giros, provocados por los gradientes de las componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares a la propia componentes, y que se determinan por la velocidad de variación angular. Consideremos, un caso muy simple, en donde v ( y ) = ⋅vjrr, es decir, la única componente de la velocidad, es en la dirección “y”, y además esa componente sólo varia en la propia dirección “y”. Si consideramos una partícula elemental dx·dy·dz, al cabo de un tiempo elemental, se ha deformado (en este caso sólo en la dirección “y”), teniendo que su velocidad de deformación unitaria (dilatación o contracción por unidad de longitud y de tiempo) viene dada por:

Que además representa la velocidad del aumento (o disminución) unitario de volumen:

Si se tiene un campo de velocidades genérico: u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z), se obtienen las correspondientes velocidades de dilataciones lineales unitarias, dadas por:

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Con lo que, la velocidad de dilatación cúbica, viene determinada por, la suma de las dilataciones posibles en cada una de las tres direcciones; que es la divergencia de la velocidad:

Así un fluido de densidad constante, por conservación de masa, no hay variación del volumen, y por lo tanto su flujo es divergente. Cada una de las tres dilataciones cúbicas, son la diagonal principal del tensor gradiente de velocidad; es decir, el citado tensor está marcando la dilatación cúbica que experimenta una partícula, cuando pasa por el citado punto. Hasta ahora hemos considerado deformaciones puramente lineales de dilatación o de contracción, debidas a las variaciones de cada una de componentes del vector velocidad, en sus respectivas direcciones: . Consideremos el efecto de deformación, que tienen las variaciones cruzadas de las componentes de la velocidad, es decir : , Para lo cual, analicemos el caso más simple, en donde el vector velocidad sea: u ( y ) + v ( x ) = ⋅ ⋅vijr rr ; obteniéndose, que la deformación angular por unidad de tiempo, viene dada por: , que representa la velocidad de deformación angular, en un plano z = cte.

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Análogamente, para los gradientes cruzados, sin variación de “x”, se tiene que la velocidad de deformación angular en un plano x = cte, es igual a: ; y para los gradientes cruzados, sin variación de “y”, se tiene que la velocidad de deformación angular en un plano y = cte, es igual a Con todo, se tiene que el tensor gradiente de velocidad, en un determinado punto, provoca que las partículas que pasan por el citado punto, se deformen con una determinada velocidad, tanto longitudinal como angularmente. El tensor, que marca las velocidades de deformaciones, es el tensor de velocidades de deformación, y viene determinado por el tensor gradiente de velocidad. En coordenadas cartesianas, el tensor de velocidad de deformación es:

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

FLUIDOS STOKESIANOS: TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS. STOKES, estableció que la diferencia de tensiones, entre un fluido viscoso y un fluido ideal, venia determinada por una función tensorial del tensor de velocidad de deformación, que se denomina función detenciones viscosas (f); con ello el tensor de tensiones para un fluido Stokesiano está integrado por dos términos: el debido a la presión termodinámica y el debido a la viscosidad Como se había visto anteriormente, el tensor de tensiones en un determinado punto, viene dado por los esfuerzos normales y tangenciales, provocados por las interacciones entre partículas:

Las 3 componentes normales, se denotan por . Las 6 componentes tangenciales, se denotan por: ; siendo respectivamente iguales: . Con lo que se tiene 6tensiones distintas: 3 normales y 3 tangenciales. El tensor de tensiones viscosas, es la diferencia entre el tensor de tensiones y el tensor esférico, correspondiente a la presión termodinámica; se denota por τ , y tiene 3 componentes normales: ; y 6componentes tangenciales, que coinciden con la del tensor de tensiones. 

FLUIDOS NEWTONIANOS. El conocimiento de la función tensorial “f” de la Ec. 15., permitiría la determinación del campo de tensiones viscosas a partir del campo de deformaciones, que a su vez depende del campo de velocidades. El comportamiento más simple, es que la función sea lineal, en donde las tensiones viscosas sean proporcionales a las velocidades de deformación; este es el comportamiento experimental dado por NAVIER y POISSON, para el comportamiento reo lógico de un gran número de líquidos y de gases, que se denominan fluidos newtonianos

. 

COMPORTAMIENTO TÉRMICO. El comportamiento térmico del fluido viene determinado por las ecuaciones de estado y por la relación entre flujo de calor y gradiente térmico

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 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN 

Ecuación diferencial de conservación de masa: ecuación de continuidad. Los principios generales, que son válidos para cualquier tipo de entidad material, son una expresión matemática de las leyes de conservación. En el caso del análisis diferencial en Mecánica de Fluidos se consideran las siguientes leyes de conservación: conservación de masa, conservación de cantidad de movimiento y conservación de energía. Consideraremos como entidad, la de una partícula fluida, que se aísla del resto del fluido, y se le aplican las leyes de conservación. Analizaremos en primer lugar la conservación de masa: utilizando el método “euleriano”, consideraremos que la partícula es indeformable y que su volumen elemental (dz, dy, dx, dV …=, en coordenadas cartesianas) es siempre el mismo y está siempre en la misma posición; se establece el siguiente balance de masa entre dos instantes de tiempo “t” y “t+dt”:

La variación de masa en el volumen considerado durante el intervalo de tiempo “dt”, es debida al flujo másico por las caras del elemento de volumen en el tiempo “dt”

Con las dos expresiones de la variación de masa de la partícula fluida considerada, se tiene:

Ecuación que se denomina de continuidad, porque en la ecuación de conservación de masa sólo se requiere la derivabilidad de las funciones que dan la densidad y las componentes de la velocidad, es decir se requiere su continuidad. Las funciones son continuas, porque estamos considerando como modelo del fluido, el formado por una sucesión continua de partículas, es decir es un medio continuo

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La ecuación de continuidad también se puede expresar en función de la derivada total de la densidad, al descomponer la divergencia de v r ρ en dos términos, y reagrupar la variación local de la densidad con su variación conectiva, obteniendo:



Ecuación diferencial de conservación de cantidad de movimiento: ecuación de movimiento de cauchy. Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partícula fluida en el seno de un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservación de cantidad de movimiento para una partícula fluida: en una partícula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Una partícula fluida es una porción de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias; el tamaño esta en relación a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medición. En todo caso los valores delas magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de moléculas que integran la partícula fluida. Para su análisis, la partícula fluida se aísla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partícula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partícula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia

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-

Fuerza De Volumen: en función de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partícula) está en una determinada posición de un campo de fuerzas; lo más usual es que el campo de fuerzas sea central, y que sea el campo gravitatorio. La evaluación de estas fuerzas es simple si derivan de un campo central, del que se conoce su vector aceleración, y que genéricamente se denomina; en el caso de campo gravitatorio, éste vector tiene únicamente componente vertical: g= −gk rr. A estas fuerzas se les denomina fuerzas másicas o fuerzas de volumen. La expresión diferencial de las fuerzas de volumen de un campo central sobre una partícula fluida de volumen elemental dV y de masa dm es:

-

Fuerzas De Superficie: las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de la partícula, ejerce el fluido que la rodea, se denominan fuerzas de superficie y son debidas a los esfuerzos en las superficies de contacto partícula fluido; los esfuerzos son debidos a la presión termodinámica y a los esfuerzos viscosos que aparecen en el movimiento del fluido con gradiente de velocidad.

En donde “p” es la presión termodinámica y τij las tensiones viscosas La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partícula fluida viene determinada por el gradiente depresión y por el gradiente del tensor de tensiones viscosas:

-

Fuerzas De Inercia: las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienen dada por su masa y por su aceleración; y la fuerza de inercia de reacción correspondiente (3ª ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partícula fluida será:

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Al estar la partícula en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula, con lo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:



Ecuación diferencial de conservación de energía: ecuación de energía. El principio de conservación de energía (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA) aplicado a una partícula fluida, establece que la energía total de la partícula fluida es constante, siempre que no existan aportes energéticos por transferencia de calor o de trabajo. Siguiendo el criterio termodinámico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por la partícula y el calor aportado a la partícula, y como negativos el trabajo consumido por la partícula y el calor cedido por la partícula; con toda la ecuación de conservación de energía es:

En donde: Mecánica De Fluidos I

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- la energía total de la partícula viene dada por la suma de la energía interna, la energía cinética y la energía potencial:

- la transferencia de calor (por unidad de tiempo) entre partícula y su entorno por conducción viene determinada por el gradiente de temperatura (T∇) y por la conductividad térmica (κ) - el trabajo (por unidad de tiempo) intercambiado entre partícula y su entorno tiene dos términos, el debido a las fuerzas de presión (trabajo de flujo) y el debido a los esfuerzos viscosos. El trabajo debido a los esfuerzos viscosos, se puede expresar como suma de dos términos, introduciendo el concepto de función de disipación viscosa de RAYLEIG Φ:

En coordenadas cartesianas para un fluido newtoniano, la función de disipación viscosa es:

En la ecuación de disipación viscosa todos los términos son cuadráticos, por lo que su valor siempre expositivo, es decir en flujo viscoso parte de su energía disponible se disipa por las irreversibilidades de los fenómenos de transporte de cantidad de movimiento entre partículas; lo que está de acuerdo con el segundo principio de Termodinámica de que los procesos reales son irreversibles con degradación de energía y su consiguiente aumento de entropía del universo. 

Condiciones De Contorno.

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A partir de las ecuaciones de conservación para una partícula fluida se han obtenido las ecuaciones:

Las ecuaciones de continuidad y de energía son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuación de movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. En cuanto a las incógnitas se tienen: la densidad (ρ), las componentes del vector velocidad (u, v, w), la presión (p), la temperatura (T) y la energía interna (û), es decir se tienen7 incógnitas, por lo que para poder tener un sistema homogéneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitución del propio fluido considerado:

Con todo lo expuesto anteriormente, se dispone de un sistema homogéneo de 7 ecuaciones diferenciales con 7 incógnitas, cuya resolución es posible, con las condiciones de contorno apropiadas para cada caso, y normalmente con técnicas numéricas, siendo posible solo para casos muy concretos la solución analítica. Con la restricción de Flujo incompresible y propiedades constantes, se tiene solo 5 incógnitas: la presión, las tres componentes de la velocidad y la temperatura; siendo suficientes las ecuaciones de continuidad, movimiento (3) y energía:

Además la ecuación de energía esta desacoplada, es decir en las cuatro ecuaciones aportadas por la continuidad y por la cantidad de movimiento, sólo aparecen 4 incógnitas: presión y componentes de la velocidad, por lo que es posible su resolución; si se requiere el campo de temperaturas, se Mecánica De Fluidos I

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obtiene a partir de la ecuación de energía, previo conocimiento del campo de velocidades. La solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales anteriores, está condicionadas por las Condiciones de contorno apropiadas, que dependen de cada caso, y vienen determinadas por los valores de las propiedades en el instante inicial, por la geometría de las paredes y por las condiciones en las entradas y en las salidas. En las paredes impuestas por la geometría en la que está confinado el flujo, se tiene la condición de no deslizamiento ni de cambio de temperatura, es decir: en las partículas que “tocan” una pared se ponen a la velocidad de la pared y a su temperatura: velocidad del fluido en la pared = velocidad de la pared; y temperatura del fluido en la pared = temperatura de la pared. Un caso muy particular de condición de contorno impuesta por una pared, es el caso de los flujos que se consideran no viscosos, en donde no se cumple la condición de no deslizamiento; siendo la única condición de contornó establecida por la pared, que el flujo no la atraviese, es decir que sean iguales las velocidades normales de la pared y del fluido, no pudiendo decir nada sobre la velocidad tangencial del flujo cerca de la pared. En las entradas y salidas se deben conocer las distribuciones de velocidad, temperatura y presión. Las condiciones de contorno más complejas se tienen cuando existe superficie libre, en la interface líquido-líquido o líquido-gas; en donde se cumple la condición cinemática de contorno, de igualdad de velocidades perpendiculares a la superficie de separación (no debe haber huecos entre el líquido y el gas); así como el equilibrio de tensiones en la superficie libre (excepto por los efectos de tensión superficial), es decir igualdad de tensión normal o presión e igualdad de tensión tangencial. Además debe cumplirse la condición de igualdad de temperaturas en todos los puntos de la superficie libre. Por la distinta viscosidad de cada fluido, son distintos los gradientes de velocidad de cada fluido en la superficie libre, aunque los esfuerzos tangenciales deben ser iguales, con lo que el perfil de velocidades (que incluye la propia superficie libre) sí que debe ser una función continua, pero no es derivable en los puntos de la superficie libre:

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Normalmente el aumento de presión debido al efecto de la tensión superficial es despreciable, excepto cuando los radios de curvatura son muy pequeños:

así en el caso de una gota de líquido en el seno de un gas o de otro líquido, como los radios son pequeños y además iguales, se tiene que la sobrepresión que tiene lugar entre puntos separados por la superficie libre es:

4. PROBLEMAS 1) Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano. Para determinar la aceleración de una partícula, se puede utilizar el método Lagrangiano, en donde la aceleración de la partícula se obtiene por la derivada segunda de su vector de posición, respecto al tiempo. Utilizando el método Euleriano la aceleración de una partícula que se mueve en un campo de velocidad, es una función del tiempo y de la posición, y es suma de la aceleración local y de la covectiva. Se considera un flujo unidimensional,

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estacionario e incompresible a través de una tobera convergente. A partir de los datos: Determine: (1) Aceleración por método Eureliano (2) Aceleración por método Lagrangiano Datos: campo de velocidades

RESOLUCIÓN: En el método Euleriano, las partículas se mueven por un campo de velocidad: , en una determinada posición y en un instante de tiempo, la aceleración de la partícula, que en ese instante, está en la posición determinada, es:

es la aceleración local, y viene determinada, en un determinado punto (local), por la variación dela velocidad con el tiempo; si el flujo es estacionario, en un determinado punto las propiedades no varían con el tiempo (no hay variaciones locales), y en particular la velocidad en ese punto es la misma a lo largo del tiempo, con lo que la aceleración local será nula. Es la aceleración convectiva, y viene determinada, en un determinado instante, por el gradiente de velocidad En el método Lagrangiano, se parte del conocimiento del vector de posición de una determinada partícula a lo largo del tiempo: ; y se obtiene su aceleración por la derivada segunda del vector deposición con respecto al tiempo:

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ACELERACIÓN DE LAS PARTICULAS EN EL MÉTODO EULERINO. En el problema, el flujo es estacionario y unidimensional: Estacionario:

Unidimensional:

La aceleración

es puramente convectiva:

El gradiente de velocidad es:

En el problema:

Con lo que el gradiente de velocidad es:

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Y la aceleración convectiva es:

ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS EN EL MÉTODO LAGRANGIANO. Consideremos una partícula que en el instante inicial (t=0), está situada en el inicio de la tobera (x=0); la posición de esa partícula a lo largo del tiempo es: , y se determina a partir del campo de velocidades:

Con lo que la aceleración de la partícula será:

Evidentemente las dos expresiones deben ACELERACIÓN (¡compruébelo!).

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dar

el

mismo

valor

de

la

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2) Aplicación de la de incompresibilidad.

ecuación

de

continuidad:

criterios

La condición estricta de incompresibilidad, es que la densidad sea constante; no obstante, bajo determinadas condiciones del flujo, es posible asumir la hipótesis de incompresibilidad. Uno de los criterios, es que el número de Mach, sea relativamente pequeño, tomando normalmente como límite Ma