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• Elmer José

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4.2 FLEXIÓN DE VIGAS DE TIMOSHENKO 4.2.1 Teoría básica La nueva hipótesis introducida por Timoshenko es la de considerar que “las secciones planas normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planos pero no necesariamente normales al eje después de la deformación”. Fi q(x) x, u

β

θ

φ

w(x) dw =β dx

z, w

Fig. 4.2.1 Teoría de flexión de vigas de Timoshenko

Esta hipótesis represente una mejor aproximación a la deformación real de la sección transversal. Esta hipótesis tiene su sustento para las vigas de gran canto donde las secciones transversales dejan de conservarse después de la deformación. Esta hipótesis asume un giro medio para la sección, de manera que para efectos prácticos se considera plana. De la figura 1.11 se deduce que el giro de la sección se expresa como

θ = dw +φ dx

(1.27)

dw es la pendiente de la deformada del eje de la viga y φ un giro adicional dx debido a la deformación por cortante. donde

El campo de desplazamiento se expresa como u(x, y, z) = −z θ (x) v (x, y, z) = 0 (1.28) w(x, y, z) = w (x) De dicho campo de desplazamientos podemos ahora determinar las deformaciones no nulas

d u dθ = −z dx dx

εx = γ xz =

dw dx

du = dz

+

dw −θ = −φ dx

(1.29)

Por lo tanto la teoría de Timoshenko equivale a considerar el efecto de la deformación por cortante transversal coincidiendo la magnitud de dicha deformación con el giro adicional de la normal φ . Las deformaciones no nulas generan tensiones que están relacionadas por las respectivas ecuaciones constitutivas: dθ = −zEχ σ x = Eε x = −zE dx

⎛ dw

⎞ −θ ⎟ ⎝ dx ⎠

τ xz = Gγ xz = G⎜

(1.30)

dθ la curvatura del eje de la viga. dx El momento flector y el esfuerzo cortante que generan dichas tensiones se defines como Aquí G es el módulo de corte y χ =

2 M = −∫ z σ x d A = ∫ z E dθ dA = EIχ dx A A

con dA = d yd z ⎛ dw ⎞ Q = ∫ τ xz d A = GA ⎜ − θ ⎟ = GAγ xz A ⎝ dx ⎠

(1.31)

σx x

z Tensión Normal σ x Distribución supuesto=Distri. exacta

Q

Q

M

x

τ xz

τ xz

z

z Tensión tangencial τ xz Distri. supuesto

x

Tensión Tangencial τ xz Distri. exacta

Fig. 4.2.2 Teoría de vigas de Timoshenko. Distribución de tensiones normales y tangenciales

Obsérvese que la variación de σ x en el canto es lineal, lo cual puede considerarse como “exacto” dentro de la hipótesis de la teoría de vigas. Por el contrario, la variación de la tensión tangencial τ xz en el canto se supone constante, lo cual está en clara contradicción con la distribución polinómica de la teoría de vigas. Para sortear este problema se acepta la hipótesis de tensión tangencial constante pero modificada por un coeficiente de manera que el trabajo de deformación de tensión tangencial constante coincida con el “exacto” de la teoría de vigas. Así se toma

τ xy = α Gγ xz y

∗

Q = α AGγ xz = A Gγ xz

(1.32)

donde α es el coeficiente de forma o distorsión de la sección y A = α A se denomina área reducida. Con las tensiones, deformaciones y desplazamientos antes planteados podemos ahora expresar el principio de los trabajos virtuales (PTV) de la siguiente forma ∗

L

p

q

0

i=1

j=1

∫ (δ ε xσ x + δγ xzτ xz )dV = ∫δ wqd x + ∑δ wi Fi +∑δ θ j M j v

(1.33)

El primer miembro de la ecuación anterior puede modificarse como: ⎡

∫ ⎢⎣− zσ

V

x

⎛ dθ ⎞ ⎛ dw ⎟ +τ xzδ ⎜ ⎝ dx⎠ ⎝ dx

δ⎜

⎞⎤ −θ ⎟ ⎥ dV = ⎠⎦

L ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ = ∫ ⎢δχ ⎜ ∫ − z σ x dA⎟ + δ γ xz ⎜ ∫ τ xz dA⎟ ⎥ dx = 0 ⎢⎣ ⎝A ⎠ ⎝A ⎠ ⎥⎦ L

= ∫ [δχM + δ γ xz Q ]dx = 0

⎡ ⎛ dθ ⎞ dθ ⎛ dw ⎞ ∗ ⎛ dw ⎞⎤ ⎟ EI =∫ ⎢ ⎜ + ⎜ − ⎟ GA ⎜ − ⎟ ⎥ dx δ dx dx δ dx θ dx θ 0 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ L

(1.34)

En la ecuación (1.34) se aprecia que en el integrando aparecen únicamente derivadas primeras de las flechas y el giro. Esto exige únicamente su continuidad para garantizar la integrabilidad, lo que permite la utilización de elementos finitos de clase C0.

4.2.2 Elementos Finitos para la flexión de vigas de Timoshenko Primeramente consideraremos el elemento viga de Timoshenko más sencillo de dos nodos. A diferencia de la teoría de vigas de Euler – Bernoulli, la flecha y el giro son variables independientes y de continuidad C0. Así podemos interpolar por separado cada una de ellas por w (ξ ) = N1 (ξ )w1 + N 2 (ξ )w2

θ (ξ ) = N1 (ξ )θ1 + N 2 (ξ )θ 2

(1.35)

1 N1 = 1 (1 − ξ ) ;y N 2 = (1 + ξ ) y además w1 , θ1 y w2 , θ 2 son las 2 2 flechas y giros de los nodos 1 y 2 del elemento. con

Haciendo uso de la ecuación (1.35) la curvatura se obtiene d χ= θ =⋅

= d x dξ

dx

dξ dθ ⎢ θ1 + d x ⎣ dξ

dξ ⎡ d N1 θ2⎥ dξ ⎦

⎤

dN 2

(1.36)

y la deformación de cortante (o cizalladura) d w − = dξ ⎡ dN1 w + dN 2 w ⎤ − N ( 1θ θ 1 2 γ xz = dx d x ⎢⎣ dξ dξ ⎥⎦

1

+ N 2θ dξ

2

)

(1.37)

2 y con ello las d x L(e) ecuaciones (1.36) y (1.37) pueden ser escritas en forma matricial como Utilizando una formulación isoparamétrica se tiene que

χ =Bfu

=

(e)

(e) γ xz = B cu

(1.38)

donde B f = ⎢⎡0, 2(e) dN 1 ; 0; 2(e) dN 2 ⎤⎥ = ⎢⎡0; − 1(e) ; 0 ; 1(e) ⎥⎤ L dξ ⎦ ⎣ L L ⎦ ⎣ L dξ Bc = ⎢⎡ (2e) dN 1 ; − N1 ; 2(e) dN 2 ; − N 2 ⎥⎤ = ⎢⎡ − 1(e) ; − (1 − ξ ) ; 1(e) ;− (1 + ξ ) ⎤⎥ L dξ 2 L 2 ⎦ ⎣ L dξ ⎦ ⎣ L

(1.39)

Son las matrices de deformación de flexión y cortante del elemento, y u ( ) = [w1 ;θ 1 ; w2 ;θ 2 ]T e

es el vector de desplazamientos nodales.

(1.40)

La expresión de los trabajos virtuales (1.33) puede escribirse como

[δ

]

ue ( )T

⎝

⎛

⎜

⎜

L( )

∫ [B(EI )B T f

e

f

⎞ e ∗ + BTc GA B c dx ⎟ u ( ) = ⎟ ⎠

( ) ]

e T e =δ u( ) T⎜⎛⎜ ∫ N (q)d x + f ( ) ⎟ ⎞⎟ ⎝ L(e) ⎠

[

]

(1.41)

y tras simplificar los desplazamientos virtuales queda

[K ( ) + K ( ) ]u( ) − q( ) = f ( ) e f

donde y

e c

e

e

e

(1.42)

K ( ) = K (f ) + K (c ) e

e

K (f ) =

e

∫ B (EI )B

e

T f

L(e)

d x ; K c( ) = e

f

∫ B (GA )B

L(e)

son las matrices de rigidez correspondientes a los efectos de flexión y cortante cuya suma es la matriz de rigidez total del elemento; q(e) =

∫N

T

qd x

;

con

N = [N1 ; 0 ; N 2 0]

(1.44)

L(e)

es el vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a la carga distribuida q; y f ( ) = [V1 ; M1 ;V2 ; M 2 ] T e

(1.45)

el vector de fuerzas nodales de equilibrio que permite ensamblar las contribuciones de los distintos elementos en la matriz de rigidez y el vector de fuerzas globales. Todas las integrales anteriores pueden transformarse sobre el dominio normalizado del L(e) elemento. Así teniendo en cuenta que d x = d ξ se tiene que: 2 1

K (f ) = ∫ BTf (EI ) B f e

−1

y q

(e)

1

= ∫N q −1

T

L(e) dξ 2

L(e) dξ 2

;

1

K (c ) = ∫ BTc (GA )B c e

−1

∗

L(e) dξ 2

(1.46)

(1.47)

Expresiones que pueden evaluarse numéricamente por una cuadratura unidimensional de Gauss-Legendre.

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