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• Luis Adriano Acosta Pechene

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ELEMENTO VIGA DE TIMOSHENKO

A continuación se presenta la derivación del elemento viga basada en la teoría de Timoshenko, mediante la cual es posible considerar de una forma aproximada la deformación por cortante. Se estudia luego el comportamiento del elemento, y se muestra cómo se puede mejorar efectuando la denominada integración numérica reducida. La matriz de rigidez del elemento viga de Timoshenko permite entender los problemas que se presentan cuando se trata de derivar matrices de rigidez de elementos placa.

Viga de Timoshenko

Según esta propuesta, las secciones planas antes de deformarse la viga permanecen planas después de la deformación, pero no perpendiculares al eje neutro. La anterior hipótesis equivale a suponer que los esfuerzos cortantes son constantes en la sección de la viga. De acuerdo con la Figura 9.1, el ángulo  que gira la sección es igual a

 = w’ + 

(9.1)

donde w’ es la pendiente de la elástica y el ángulo  es igual a la deformación angular debida al esfuerzo cortante, que según este modelo, es constante en la sección. La energía potencial del elemento se calcula como

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π 1 / 2  EI ( ' ) 2 dx 1 / 2   GA (  w' ) 2 dx   Fz w dx  (u ) (e )T ( p) (e ) L

L

(9.2)

L





w’

w’

Figura 9.1 Viga de Timoshenko

donde la primera integral contiene la energía de deformación debida a la flexión y la segunda tiene en cuenta las deformaciones por cortante. Con el factor  se considera el hecho de que  no es realmente constante en la sección, para una sección rectangular  vale 5/6 y para una circular 0.91. El vector de desplazamientos del elemento está compuesto por los desplazamientos transversales y giros de los nodos

(u ) ( e )

 w1       1  w2   2 

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y el vector de fuerzas contiene las fuerzas transversales y los momentos en los extremos

 S1  M    ( p) (e)   1   S2  M 2  Derivación de la matriz de rigidez

Para obtener la matriz de rigidez se interpolan independientemente los desplazamientos y los giros mediante las funciones de forma lineales utilizadas para el elemento cargado axialmente:

w (x) = l1 (x) w1 + 12 (x) w2

 (x) = 11 (x) 1 + 12 (x) 2 donde 11 (x) = 1 –x/L 12 (x) = x/L

La anterior definición puede escribirse en forma matricial así

w ( x) l1 0 l 2     ( x)   0 l1 0

 w1    0   1  (e)    N ( u )  l 2  w2   2 

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Los términos correspondientes a las deformaciones por flexión, ’, y por cortante,  =  w’, se pueden escribir ahora de la siguiente manera

 ' 0 l1 ' 0 l 2 '(u ) ( e)  B f (u ) ( e ) ( u ) ( e )T B Tf   w'   l1 ' l1  l 2 ' l 2 ( u ) ( e )  B c ( u ) ( e ) ( u ) ( e )T BTc donde el subíndice f se refiere a flexión y el c se refiere a cortante. El reemplazo de las anteriores expresiones en la ecuación (9.2) da como resultado

 1 / 2 (u ) ( e )T  (u ) ( e )T

 B L

 Fz N  L

T

T f

EI B f dx( u ) ( e )  1 / 2( u ) ( e )T

 B L

T c

 GA B c dx(u ) ( e)

dx ( u ) ( e )T ( p) ( e )

(9.3)

En la anterior expresión se reconoce la matriz de rigidez debida a la flexión

K  f  L BTf

EI B f dx

(9.4)

y la matriz de rigidez debida al cortante

K c  L B Tc  GA B c

dx

(9.5)

si se efectúa el cálculo de [K] f y [K] c se obtiene

K f

0 0 0 1  EI / L  0 0  0  1

0 0 0  1 0 0  0 1

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K c

L/2 1 L/2   1  L / 2 L2 / 3  L / 2 L2 / 6     GA / L   1  L / 2 1  L / 2   2 2 L / 2 L / 6  L / 2 L / 3 

Comportamiento de la matriz de rigidez, bloqueo de la solución

Figura 9.2. Viga simplemente apoyada con carga concentrada

Para estudiar el comportamiento de la matriz de rigidez del elemento viga de Timoshenko se solucionó el problema ilustrado en la Figura 9.2 el cual consiste en una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro. Se conoce la solución teórica de este problema, la cual se compara con la solución obtenida mediante mallas que utilizan la matriz de rigidez derivada en el numeral anterior. Se escogen diferentes relaciones de longitud a espesor de la viga. En la Figura 9.3 se presentan los resultados obtenidos con 8 elementos para las relaciones L/h de 2, 8, 14, 20 y 26; en el eje vertical se presenta la relación entre la deflexión obtenida con el elemento viga de Timoshenko y la solución exacta.

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Figura 9.3. Deflexiones máximas sin integración numérica reducida Puede observarse cómo a medida que aumenta la relación L/h la deflexión que predice el elemento de Timoshenko tiende a disminuir, este es el denominado fenómeno de bloqueo.

Interpretación del fenómeno de bloqueo

A continuación se escriben los términos de [K] f y [K] c correspondientes a las posiciones en [K] f diferentes de 0, que son aquellas relacionadas con los giros del elemento.

 1  1  A G L2 1 / 3 1 / 6  EI / l    E I 1 / 6 1 / 3   1 1       Para una sección rectangular el término

 A G L2 EI

toma el siguiente valor

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

 A G L2 EI



6 ( L / h) 2 (1  v )

Se puede observar que este término varía con el cuadrado de (L/h), por lo cual, para vigas esbeltas, la contribución de [K] f

a la rigidez total es muy pequeña, y la matriz de

coeficientes global se convierte aproximadamente en

 

L / h  , K

f

 

 K

c

 K c

con lo cual el sistema de ecuaciones queda así

L / h   , EI / L K  f   K c (u)  K c (u)  ( f )

EI / L  K  c (u) ( f ) /( EI / L) Los términos del vector de fuerzas se hacen además muy pequeños comparados con los de la rigidez, y el sistema de ecuaciones tiende a ser un sistema homogéneo de la forma

 K c (u)  ( f ) /( EI / L)  (0)

(9.6)

y se explica por qué la solución tiende a bloquearse para valores grandes de la relación L/h, tal como se mostró en el ejemplo explicado en el numeral 9.3.

Si la matriz de rigidez a cortante del sistema de ecuaciones (9.6) fuese singular, cabría la posibilidad de obtener soluciones diferentes a la trivial, con lo cual se evitaría el bloqueo de

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la solución. Una forma de lograr que la matriz de rigidez global a cortante sea singular es efectuar la denominada integración numérica reducida en los términos de cortante, tal como se explica a continuación. Los términos k22 , k24 , k42 y k44 de [K]c son cuadráticos en x, por ejemplo

L

k 44   1 dx   G A  0

2 2

L

0

x2 dx L2

Para obtener la integral exacta mediante la cuadratura de Gauss se requieren al menos 2 puntos de integración, ya que la cuadratura de Gauss con n puntos de integración puede integrar exactamente un polinomio de grado 2n – 1. Si se hace entonces la transformación

x

L (1   ) 2

se obtiene k 44   G A

L 2

(1   2 ) 1 2 1

d 

 G A L 1 1 / 3 [(

2

k 44 

2

1  1/ 3 2 ) 2 (1.0)  ( ) (1.0) ] 2

 G AL 3

si se utiliza un punto de integración se obtiene

 GAL 1 2  G AL L 1 (1   2 ) k 44  G A  d  [( ) (2.0)]   1 2 2 2 2 4

De igual forma se opera con k22 , k24 y k44 para llegar a

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L/2 1 L/2   1  L / 2 L2 / 4  L / 2 L2 / 4   [ K ]Cr   GA / L   1  L / 2 1  L / 2   2 2 L / 2 L / 4  L / 2 L / 4 

donde el subíndice Cr se refiere a la matriz de cortante obtenida mediante integración numérica reducida. Si se repite el experimento numérico con la viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro se obtienen los puntos mostrados en la Figura 9.4. Como se puede observar el fenómeno de bloqueo desaparece completamente.

La pregunta que surge ahora es porqué la integración reducida hace que la componente de la matriz de rigidez correspondiente a cortante sea singular. El proceso de integración numérica consiste en efectuar una sumatoria, en los puntos de integración, de las deformaciones ponderadas según la cuadratura de Gauss. Cuando se calcula una matriz de rigidez mediante integración numérica, se tienen entonces una serie de ecuaciones lineales en términos de las deformaciones. Si el número de grados de libertad de una malla es mayor que el número de ecuaciones independientes obtenidas mediante la integración numérica, entonces la matriz de rigidez será singular. En el ejemplo analizado de la viga simplemente apoyada se tienen 9 nodos, con 2 grados de libertad por nodo y 2

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Figura 9.4. Deflexiones obtenidas usando integración reducida

desplazamientos restringidos, entonces el número de grados de libertad es 2x9 – 2 = 16; si se utiliza integración completa se tienen 2 puntos de integración por elemento, 8 elementos, y considerando sólo la deformación por cortante, se tienen entonces 2x8x1 = 16 relaciones independientes, por tanto la matriz de rigidez a cortante no será singular. Por el contrario si se utiliza integración reducida se tiene 1 punto de integración por elemento, y habrá entonces 1x8x1 = 8 relaciones independientes, por tanto la matriz de rigidez a cortante es singular. Debe garantizarse sin embargo que la matriz de rigidez completa, considerando flexión y cortante, no sea singular. En el caso anterior, considerando además de la deformación por cortante, la deformación por flexión, se tienen: 8 relaciones independientes por los términos de cortante, más 8 relaciones independientes por los términos de flexión, es decir un total de 16 relaciones independientes que igualan el

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número de grados de libertad de la malla, garantizando por tanto que la matriz completa no es singular. Obsérvese que para evaluar exactamente los términos de flexión se requiere tan sólo 1 punto de integración.

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