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Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) FACULTAD CIENCIAS FÍSICAS Curso: LABORATORIO FÍSICA I Tema: “MEDICIONES” Docente: JOSÉ JULIÁN MEDINA MEDINA

Integrantes: -

CAHUANA PIRCA, CARLOS FRANCO

15130029

-

SÁNCHEZ CORTEZ, MIGUEL ALEXIS

15130174

-

PÉREZ ALVAREZ, ÁNGEL RICARDO

15130164

-

LAIMITO SELENE

15070016

HORARIO:

LUNES: 10-12 am

1

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN..................................................................................................3

OBJETIVOS..........................................................................................................3

LISTADO DE MATERIALES.................................................................................4

FUNDAMENTO TEÓRICO...................................................................................5

PROCEDIMIENTO................................................................................................9

RESULTADOS....................................................................................................20

CONCLUSIONES...............................................................................................21

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………….22

INTRODUCCIÓN 2

Siempre es importante medir pues siempre se busca conocer las dimensiones de objetos para el estudio de muchas áreas de aplicación. Ante esta necesidad, se debe definir primero la precisión que se quiere o se puede conseguir, lo que implica el conocimiento de los errores de medición y la forma en que ellos inciden en los resultados obtenidos. En esta práctica de laboratorio se tratara el tema de mediciones dentro de ella se tratará el tema de errores el cual ayuda a conocer el error que existe cuando se está efectuando una medición a un determinado objeto, para esto se aplicara fórmulas para hallar el error de medición, en las cuales se utilizaran una serie de registros de mediciones los cuales son tomados con instrumentos que se manipulará en el laboratorio previo conocimiento básico de su utilización.

OBJETIVOS 

Entender los diversos conceptos relacionados con el tema de la medición.



Conocer los instrumentos de laboratorio para realizar la medición, y conocer la manera correcta de su uso.



Entender el concepto de incertidumbre de una medición.



Conocer los tipos de errores, y saber cuándo se pueden corregir o reducir.



Hallar el error de las mediciones realizadas en el laboratorio.



Tener clara la importancia de las mediciones en todos los campos de la ciencia.



Realizar la importancia de la precisión en cuanto a mediciones.

LISTADO DE MATERIALES 3

 Balanza de tres barras  Calibrador Vernier o Pie de rey  Micrómetro o Pálmer  Cilindro metálico  Tarugo de madera  Placa de mica

4

FUNDAMENTO TEÓRICO La medición, es el proceso por el cual se realiza la comparación entre la medida de un objeto conocido, llamado patrón, y la medida de un fenómeno, esta última es la que se desea obtener. a. TIPOS DE MEDICIONES:  MEDICIÓN DIRECTA: El valor de a magnitud desconocida se logra por comparación con una unidad conocida del Sistema Internacional de Unidades. Por ejemplo: Masa. 

MEDICIÓN INDIRECTA: El valor se obtiene a partir de fórmulas que requieren una o más medidas directas. Por ejemplo: Volumen El valor obtenido en la medición, llamado valor real, se expresa de la

siguiente forma: X = X´ ± ∆ X Donde: X

:

Valor real

X´

:

Medida promedio

∆X

:

Error o incertidumbre

b. TIPOS DE ERRORES:  ERRORES SISTEMÁTICOS: Son aquellos errores que se relacionan con la persona, que pueden ser por la postura tomada, llamado error de paralaje, otro caso sería los errores ambientes que afectan las propiedades físicas de los instrumentos.  ERRORES INSTRUMENTALES: -Error de lectura mínima (ELM): Cuando la expresión numérica de la medición resulta estar entre dos marca de la escala de lectura.

5

- Error de cero calibración del experiencia no se considera en la experiencia.

(E0): Referido a la instrumento. En esta

Concluyendo, el error instrumental es calculable mediante la siguiente fórmula: Einstrumental = [(ELM)2 + (E0)2]1/2

.

- Lectura Mínima: Nos referimos a la medida más precisa (y menor) del instrumento a utilizar, considerando un rango de incerteza.

.

El concepto de lectura mínima se encuentra inevitablemente ligado al de precisión.

. . . .

-Precisión: Un proceso de medición implica obligatoriamente la . búsqueda de precisión por la realización de múltiples ensayos. . Definimos la existencia de precisión cuando existe una mínima . variación en los resultados respecto al “valor real”. Su expresión es de la siguiente forma:

X

=

6mm

½ (1mm)

Donde 1mm: es la lectura mínima

 ERRORES ALEATORIOS: Errores que se relacionan con la interacción con el medio ambiente. Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos, si se toman n-mediciones de una magnitud física

x , siendo las lecturas

6

x1 ,

x2 ,

x3 , … ,

x n ; el valor estimado se obtiene calculando

el promedio de las medidas obtenidas. n

X 1+ X 2+ …+ X n ∑ = i=1 n n

Xi

X´ =

Donde: X´

:

Medida promedio

X 1 , X 2 ,… , X n n

:

:

Medidas obtenidas

Número de medidas

c. DESVIACIÓN: Se calcula de la siguiente manera:

√

2

2

2

´ ´ ´ ( X−x 1 ) + ( X −x 2) + …+ ( X−x n ) σ= = n

√

n

2

´ ∑ ( X−x i) i=1

n

Donde: σ

: Desviación estándar

X´

: Medida promedio

x 1 , x2 , … , xn n

: Medidas diversas : Número de medidas

El error aleatorio se calcula de la siguiente manera: Ea =

3σ √ n−1

Donde:

�

Ea

: Error aleatorio

σ

: Desviación estándar : Número

7

d. TRATAMIENTO DE ERRORES EXPERIMENTALES:  ERROR ABSOLUTO: Se obtiene de la suma de los errores del instrumento y el aleatorio. ∆ x=√ Ei2 + Ea2 La expresión del valor de la medida es: X =´x ± ∆ x=´x ± √ Ei2 + Ea2

 ERROR RELATIVO ( Er ): Es el cociente entre el error absoluto y el valor promedio de la medida. Er =

∆x x´

 ERROR PORCENTUAL ( E ): Es el error relativo multiplicado por 100. E=100 × Er e. EXPRESIÓN DE LA MEDIDA:  El valor de la medida en función del error relativo es:

X =´x ± Er

 El valor de la medida en función del error porcentual es:

X =´x ± E

f. PRECISIÓN PARA LAS MEDICIONES INDIRECTAS: Si

Z =( A , B)

tal que

´ ±∆ A A= A

y

´ ±∆B B= B . Las medidas indirectas

se calculan mediante las fórmulas que ahora analizaremos: 1. Si

Z

resulta de adiciones y/o sustracciones: ´ Z´ = A´ ± B

2. SI

Z

y

Z =A ± B , entonces:

∆ Z=√( ∆ A)2 +( ∆ B)2

resulta de multiplicaciones o divisiones:

Z =A × B

o

Z=

A B ,

entonces:

8

Z´ = A´ × B´ 3. Si

Z

o

´z =

A´ B´

y

resulta de un potenciación: ´ )n Z´ =K ( A

y

∆ Z=Z´

√(

∆A 2 ∆B + A B

2

)( )

Z =k A n , entonces:

∆ Z=n

( ∆A´A ) Z´

Finalmente, la expresión de la medida en cada caso anterior será: Z =Z´ ± ∆ Z

PROCEDIMIENTO CILINDRO:

 Diámetro del cilindro completo (D): Es el máximo segmento de cuerda entre dos puntos de la circunferencia que forman la base del cilindro. En este caso el diámetro fue medido con el instrumento llamado VERNIER y se le ubico entre la patilla fija y la patilla móvil, ya que es una medida exterior y esta expresada en milímetros (mm).  Altura del cilindro completo (H): Es la distancia entre las dos caras paralelas del cilindro, es perpendicular a las bases; esta es la razón por la que el cilindro es recto. Al igual que el diámetro su medición fue hecha con las mismas patillas del VERNIER, por tratarse ambas de medidas exteriores. Por eso su medida también se encuentra en milímetros (mm).  Longitud de la ranura (l): La longitud de la ranura comienza desde el punto medio del cilindro y termina en uno de sus extremos; esta medición es un poco irregular y es la que mas varía en la tabla de datos ya que al no tener un límite fijo complica la medida. La unidad de la longitud son los milímetros (mm).  Ancho de la ranura (a):

9

Como todo solido el paralelepípedo posee

tres dimensiones entre ellas el

ancho, que es la separación entre las dos caras laterales del paralelepípedo. Es medido con la parte posterior del VERNIER diseñado para medidas interiores y su unidad es expresada en milímetros (mm).  Altura de la ranura (hp): Es la distancia entre las dos bases del paralelepípedo, para hacer esta medición se utilizara la parte del VERNIER diseñada para medidas de profundidad y las unidades serán los milímetros (mm).

 Masa del cilindro (m): Es la cantidad de materia que contiene el cilindro. Usamos una balanza de tres barras y la unidad esta expresada en gramos (g).

 Volumen del cilindro completo: Esta relacionado con los datos del diámetro y la altura. Su ecuación para hallar su valor es:

Vc=D× D× H ×

π 4

 Volumen de la ranura del paralelepípedo: Esta estrictamente ligado a la longitud, la altura y el ancho del paralelepípedo dentro del cilindro. Su volumen es la multiplicación de los mismos:

Vp=l ×a × hp

 Volumen real del cilindro: El valor teórico del volumen del cilindro vendría a hacer el volumen del cilindro completo, pero como en la realidad los cuerpos no son ideales difícilmente el valor teórico es igual al valor real. En nuestro caso observamos que nuestro solido tiene una ranura y, aunque es imposible evaluar el volumen real una aproximación estaría dada por la diferencia entre el volumen del cilindro completo y el volumen de la ranura; como se muestra a continuación:

V =Vc−Vp

 Densidad experimental del cilindro La densidad del cilindro es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen 10

ρ=

m V

El grupo hizo el reconocimiento de los instrumentos de medida y determina su lectura mínima: Calibrador Vernier

:

Lm = 1/20 mm = 0,05 mm

Micrómetro

:

Lm = 1/100 mm = 0.01 mm

Balanza de tres barras

:

Lm = 1/10 g

= 0.1 g

1. Con la balanza, mida las masas del cilindro metálico y la placa. Tome como mínimo cinco medidas.  ¿Cómo son las medidas entre sí? Las medidas de la masa del cilindro metálico y de la placa tienen una diferencia pequeña, a causa, tal vez, de no haber calibrado los instrumentos de manera correcta antes de realizar la acción de pesar.  ¿Hay necesidad de tener más de una medida o basta con solo una?, ¿En qué caso? Sí es necesario, ya que al momento de calibrar la balanza podemos cometer algún error, y teniendo el promedio de las medidas obtenidas podemos aproximarnos más a la medida real.  ¿Qué comentarios puede formular sobre la balanza utilizada? En un inicio la balanza utilizada no estuvo del todo calibrada ya que al colocarla en cero no marcó el punto de equilibrio, pero la calibramos de manera adecuada antes de realizar las mediciones.

11

2. Con el calibrador Vernier, proceda a medir el cilindro de metal con una ranura que es casi paralelepípeda, realice como mínimo 5 mediciones de cada longitud. -

Mida el diámetro D y altura H.

-

Mida las dimensiones de la ranura paralelepípeda que posee el cilindro metálico.

 ¿Cómo son las medidas entre sí? En el caso del diámetro y el alto del cilindro metálico, son bastante cercanos, esa diferencia se debido, debido a que dicho cilindro ha sufrido cambios debido a las caídas y otros factores que pueden influenciar. En el paralelepípedo hueco que presenta el cilindro se observa que el ancho es la dimensión que tiene menor magnitud, seguido por la altura y el largo.  ¿Hay necesidad de tener más de una medida o basta con solo una?, ¿En qué caso? Sí es necesario, ya que al medir con el calibrador vernier una persona se puede equivocar o quizá por la postura tomada.

 ¿Qué comentarios puede formular para el caso del vernier utilizado? Las medidas obtenidas fueron muy similares, y se puede decir que el calibrador es muy preciso.

12

Cilindro completo

Ranura del paralelepípedo

do

ho

l

a

hp

(mm)

(mm)

28.05 28.25 29.30 28.15 29.15

(mm) 23.30 24.65 25.1 23.25 24.05

(mm) 0.55 0.7 0.7 0.7 1.1

(mm) 29 29.20 29.30 29.1 29.20

28.58

24.07

0.75

29.16

Medida

D (mm)

H (mm)

01 02 03 04 05

47.05 47 47.50 46.05 47.10

´x

46.94 Masa (g)

Orificio cilíndrico

m1

m2

m3

m4

m5

m ´

499.4

499

499.4

498.9

498.6

499.06

Cilindro completo: Diámetro:  ERROR DEL INSTRUMENTO ( Ei ) Como la medida fue tomada en un VERNIER 1/20 la lectura mínima era 0.05mm

1 Ei= ( 0.05 )=0.025 mm 2  DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA ( σ )

σ=

√ √

( 46.94−47.05)2 +( 46.94−47)2 +( 46.94−47.50)2+(46.94−46.05)2+(46.94−47.10)2 5

√

0.0121+0. 0036+0. 3136+0 .7921+0. 0256 1.147 = = √ 0. 2294=0. 4789572006 5 5

2

2

2

2

2

(−0.11) +(−0.06) +(−0.56) +(0 .89) +(−0.16) σ= 5

σ=

√

σ =0. 48  ERROR ALEATORIO ( Ea )

13

Ea =

3(0.48) 3σ = 2 √ 5−1

Ea =0.72  ERROR ABSOLUTO ( ∆ x )

∆ x=√ (0.025)2 +(0.7 2)2 =0.720433897

∆ x=0.7 2  MEDIDA

´x ± ∆ x=46.94 ± 0.7 2

Altura:  ERROR DEL INSTRUMENTO ( Ei )

1 Ei= ( 0.05 )=0.025 mm 2

 DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA ( σ )

σ=

σ=

σ=

√ √

( 28.58−28.05)2+(28.58−28.25)2 +(28.58−29.30)2 +( 28.58−28.15)2+(28.58−29.15)2 5

√

0. 2809+0. 1089+0 .5184+0. 1849+0. 3249 1.418 = =√ 0.283 6=0.5325410782 5 5

( 0.53)2 +(0.33)2+(−0.72)2 +(0.43)2 +(−0.57)2 5

√

14

σ =0.53  ERROR ALEATORIO ( Ea )

Ea =

3(0.53) 3σ = 2 √ 5−1

Ea =0.80  ERROR ABSOLUTO ( ∆ x )

∆ x=√ (0.025)2 +(0.80)2=0. 8003905297 ∆ x=0. 80  MEDIDA

´x ± ∆ x=28.58 ± 0. 80

VOLUMEN DEL CILINDRO COMPLETO:

V cc=( 46.94 ± 0.72 ) × ( 46.94 ± 0.72 ) ×(28.58 ± 0.80)×

[

V cc= 2203.3636± 2203.3636

√(

2

0.7 2 0.7 2 + 46.94 46.94

)(

π 4

) ] ×(28.58± 0.80)× π4 2

V cc=( 2203.3636 ± 385.91874521 ) ×(28.58 ± 0.80) ×

π 4

15

0.80 28.58 ¿ ¿ 385.91874521 2 π +¿ × 2203.3636 4 62972.131688± 62972.131688 √ ¿ V cc =¿

(

)

V cc=(62972.131688± 11169.522054)×

π 4

V cc=49458.312228± 8772.5426212 mm3 Sabemos que:

1cm = 10 mm

1 c m3=1000 m m3 Entonces: 3

V cc=49.4583± 8.7725 c m

RANURA DEL PARALELEPIPEDO

Longitud:

 ERROR DEL INSTRUMENTO ( Ei )

1 Ei= ( 0.05 )=0.025 mm 2  DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA ( σ )

σ=

√ √

( 2 4.07−23.30)2 +(24.07−24.65)2+(24.07−25.1)2+(24.07−23.25)2 +(24.07−2 4.05)2 5

√

0. 5929+0. 3364+1.0609+0 .6724+ 0.00 04 2.663 = =√ 0.5326=0. 7297944916 5 5

( 0.77)2+(−0.58)2 +(−1.03)2 +(0.82)2 +(0.02)2 σ= 5

σ=

√

16

σ =0.73

 ERROR ALEATORIO ( Ea )

Ea =

3( 0.73) 3σ = =1.095 2 √ 5−1

Ea =1.1  ERROR ABSOLUTO ( ∆ x )

∆ x=√( 0.025)2 +(1.1)2=1.1002840542 ∆ x=1.1  MEDIDA

´x ± ∆ x=24.07 ± 1.1 Ancho:  ERROR DEL INSTRUMENTO ( Ei )

1 Ei= ( 0.05 )=0.025 mm 2  DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA ( σ )

σ=

√ √

( 0.75−0.55)2 +(0.75−0.7)2 +(0.75−0.7)2 +( 0.75−0.7)2 +(0.75−1.1)2 5

√

0. 04+ 0.0025+ 0.0 025+0.0 025+0.1225 0.17 = =√ 0.034=0. 1843908891 5 5

(0.2)2 +(0.05)2 +(0.05)2+(0.05)2+(−0.35)2 σ= 5 σ=

√

σ =0.1 8  ERROR ALEATORIO ( Ea )

17

Ea =

3(0.18) 3σ = =0. 27 2 √ 5−1

Ea =0.27  ERROR ABSOLUTO ( ∆ x )

∆ x=√ (0.025)2 +(0.27)2=0.2 711549373

∆ x=0.27  MEDIDA

´x ± ∆ x=0.75 ± 0.27 Altura:  ERROR DEL INSTRUMENTO ( Ei )

1 Ei= ( 0.05 )=0.025 mm 2  DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA ( σ )

σ=

σ=

σ=

√ √

( 29.16−29)2 +(29.16−29.20)2+(29.16−29.30)2+(29.16−29.1)2 +(29.16−29.20)2 5

√

0. 0256+0.00 16+ 0.0196+ 0.00 36+0.0016 0.0 52 = = √ 0.0 104=0.1 019803903 5 5

2

2

2

2

2

( 0.16) +(−0.04) +(−0.14) +(0.06) +(−0.04) 5

√

σ =0.1  ERROR ALEATORIO ( Ea )

Ea =

3( 0.1) 3σ = 2 √ 5−1

Ea =0.15  ERROR ABSOLUTO ( ∆ x ) 18

∆ x=√ (0.025)2 +(0.15)2=0.1520690633

∆ x=0.15  MEDIDA

´x ± ∆ x=29.16 ± 0.15

VOLUMEN DE LA RANURA DEL PARALELEPIPEDO:

V rp=( 24.07 ± 1.1 ) × ( 0.75± 0.27 ) ×(29.16 ± 0.15)

[

V rp= 1 8.0525 ±18.0525

√(

) ( ) ] ×(29.16 ±0.15)

1.1 2 0.27 + 24.07 0.75

2

V rp=( 18.0525 ±6.5510553514 ) ×(29.16 ± 0.15) 0.15 29.16 ¿ ¿ 6.5510553514 2 +¿ 18.0525 526.4109± 526.4109 √¿ V rp =¿

(

)

V rp=526.4109 ±191.04796546 m m3 Sabemos que:

1cm = 10 mm

1 c m3=1000 m m3 Entonces:

V rp=0.5264 ± 0.191 c m3 VOLUMEN REAL DEL CILINDRO:

19

V real =( 49.4583 ± 8.7725 )−(0.5264 ± 0.191) V real =48.9319 ± √ (8.7725)2+(0.191)2 3

V real =48.9319 ± 8.7746 c m

MASA DEL CILINDRO:  ERROR DEL INSTRUMENTO ( Ei )

1 Ei= ( 0.1 ) =0.05 g 2  DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA ( σ )

σ=

√

2

2

2

2

( 49 9.06−49 9.4) +(499.06−49 9) +( 499.06−49 9.4) +( 499.06−49 8.9) +(499.06−49 8.0 5

σ=

√

(−0.34 )2 +(0.06)2+(−0.34)2 +(0.16)2 +(1)2 5

σ=

√

0.1156 +0.0036+0.1156 +0. 0256+1 1.2604 = =√ 0.25208=0. 5020756915 5 5

√

σ =0.5  ERROR ALEATORIO ( Ea )

Ea =

3(0.5) 3σ = =0.7 5 2 √ 5−1

Ea =0.2  ERROR ABSOLUTO ( ∆ m )

∆ m= √(0.05)2+(0.75)2=0. 7516648189

∆ m=0.7

20

 MEDIDA

m± ´ ∆ m=499.06 ± 0.7

DENSIDAD DEL CILINDRO:

ρ=

m 499.06 ± 0.7 = V 48.9319 ± 8.7746

√

ρ=10.199072589 ± 10.199072589 (

ρ=10.2 ± 0.2

0.7 2 8.7746 2 )+ =10.199072589± 0.1793281768 499.06 48.9319

(

)

g c m3

RESULTADOS CILINDRO COMPLETO Medida

D (mm)

H (mm)

1

47.05

2

ORIFICIO CILÍNDRICO

d0

h0

(mm)

(mm)

RANURA PARALELEPÍPEDA l (mm)

a (mm)

hp (mm)

28.05

23.30

0.55

29

47

28.25

24.65

0.7

29.20

3

47.50

29.30

25.1

0.7

29.30

4

46.05

28.15

23.25

0.7

29.1

21

5

47.10

29.15

24.05

1.1

29.20

Ei=E lm

0.025

0.025

0.025

0.025

0.025

σ

0.48

0.53

0.73

0.18

0.10

Ea

0.72

0.80

1.10

0.27

0.15

∆x

0.72

0.80

1.10

0.27

0.15

46.94

28.58

24.07

0.75

29.16

± 0.72

± 0.80

±1.10

± 0.27

± 0.15

Medida

´x + ∆ x

VOLUMEN (Vc) Medida

´z + ∆ z

Masa (g)

VOLUMEN (Vo) 3

3

49.46 ± 8.78(cm )

0.53 ±0.191(cm )

m1

m2

m3

m4

m5

m ´

∆m

499.4

499

499.4

498.9

498.6

499.06

0.7

m± ∆ m Volumen real del cilindro

VOLUMEN (Vp)

499.06 ± 0.7

48.93 ± 8.77(cm3 )

Densidad del cilindro

10.2± 0.2

( cmg )

CONCLUSIONES

 Es complicado conocer el valor exacto de una medición, pues interviene mucho la calidad del observador y la pericia del mismo al efectuar las mediciones.

22

3

 Es necesario realizar más de una medida, para obtener un resultado más cercano al verdadero, el cual no se puede conocer, se busca aproximarse a este valor lo más posible.  Toda magnitud de un cuerpo que se desea medir tiene un margen de error, lo hace que nosotros no podamos determinar con exactitud su medida, para eso recurrimos a instrumentos de medición que nos da un grado de precisión sin llegar a ser exacta.  Los objetos que hemos medido nos pedían además de sus longitudes (como diámetro, altura, masa, longitud de arista, etc) que vienen a ser medidas directas junto con su margen de error, otras medidas indirectas (como Volumen, Densidad) en la cual hemos utilizado fórmulas para obtener una medida casi exacta.

BIBLIOGRAFÍA

 http://books.google.com.pe/books? id=uLvPX3vIxNAC&pg=PA7&dq=mediciones+laboratorio+de+fisica&h l=es&ei=XOytTcinNoeI0QHBr6CmCw&sa=X&oi=book_result&ct=resu lt&resnum=3&ved=0CC4Q6AEwAg#v=onepage&q&f=false. 23

 http://books.google.com.pe/books? id=xe10TbRN2CMC&pg=PA1&dq=mediciones+laboratorio+de+fisica &hl=es&ei=XOytTcinNoeI0QHBr6CmCw&sa=X&oi=book_result&ct=re sult&resnum=5&ved=0CDcQ6AEwBA#v=onepage&q&f=false.  http://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3n  http://www.fisicarecreativa.com/guias/capitulo1.pdf  http://www.fisicanet.com.ar/fisica/mediciones/ap01_errores.php  http://es.shvoong.com/exact-sciences/physics/1878901-la-fisicamagnitudes-mediciones-sistema/  http://www.monografias.com/trabajos82/mediciones-erroreslaboratorio-fisica/mediciones-errores-laboratorio-fisica.shtml

 http://books.google.com.pe/books? id=5hhyeqM03v8C&pg=PA90&dq=mediciones+laboratorio+de+fisica &hl=es&ei=XOytTcinNoeI0QHBr6CmCw&sa=X&oi=book_result&ct=re sult&resnum=1&ved=0CCQQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false

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