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EJERCICIOS DE FISICA II NOMBRE: ALVARADO GUZMAN JAVIER MARCELO BELTRAN ALIAGA ALBERT RODRIGO DURAN SULLCA CARLOS ENRIQUE ESCALERA BLANCO NAHIR ARACELLY MIRANDA PRIETO VANESSA SUSANA SAIRE MOYA ZAIDE JISSEL SARZURI LIMA AMILKAR OSWALDO VEGA CUEVAS JORGE DAVID VEGA QUIROZ FERNADO FEDERICO VALDA GALLARDO HELGA GABRIELA VIRREIRA CUENCA ANTONY ADONAY

CURSO:

2-C

1

Capitulo 1 Mecánica de fluidos

Introducción.-la mecánica de fluidos es una ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos bajo la acción de esfuerzos cortantes.  

Liquido.- es aquella sustancia cuyas moléculas están sujetas a fuerzas de cohesión y por tanto libres para ocupar el recinto que los contiene. Gas.- es aquella sustancia cuyas moléculas no están sujetas a fuerzas de cohesion.

Esfuerzo cortante.2

Propiedades.

Densidad (ρ).ρ= [

]

ρ=

∫

∫

La segunda ecuación se utiliza cuando el cuerpo es heterogéneo.



Volumen específico (V).-



Peso específico (γ).-



Densidad relativa (δ).-

Viscosidad.

Viscosidad dinámica.(pascales) (poise) 3



Viscosidad cinematica.(m2/s) (Stoke)

Ley de viscosidad de newton.-

Ejemplo.-

∑ F-τ A=0 F=τ A F=µ A E= F=2µ

4

F=2

La densidad ( ρ) de una sustancia expresa la masa contenida en la unidad de volumen. Su valor se obtiene dividiendo la masa de la sustancia entre el volumen que ocupa. D = m/v en kg/m3. El peso específico de una sustancia se determina dividiendo su peso entre el volumen que ocupa. Pe = P/V Donde Pe = Peso específico en Newton/m3. N/m3. P = Peso de la sustancia en Newtons (N). V = volumen de la sustancia en m3 Podemos obtener la relación entre la densidad y el peso específico de una sustancia si recordamos que:

P = mg (1) Como Pe = P/V (2) Sustituyendo 1 en 2 tenemos:

Pe = mg V Como m/V = ρ, (4). Entonces Pe = ρg (5) 5

Peso específico es el producto de la densidad por la gravedad. Y la densidad es igual al peso específico entre la gravedad. La densidad de los líquidos se determina en forma práctica usando los densímetros. Estos dispositivos se sumergen en los líquidos a los cuales se les va a determinar su densidad y esta se lee según el nivel que alcance en el líquido que flotan, con base en una escala previamente determinada por el fabricante. Un densímetro se gradúa colocándolo en diferentes líquidos de densidad conocida como agua, aceite o alcohol, Al sumergirlo en agua por ejemplo en nivel que se lee es de 1 gr/cm3. Presión.- La presión indica la relación entre la fuerza aplicada y el área sobre la cual actúa. En cualquier caso en que exista presión, una fuerza actuará en forma perpendicular sobre una superficie. Matemáticamente la presión se expresa por: P = F/A Donde P = Presión en N/m2. = pascal F = fuerza perpendicular a la superficie en Newtons (N), A = área o superficie sobre la cual actúa la fuerza en metros cuadrados (m2) La expresión matemática de la presión indica que cuanto mayor sea la fuerza aplicada, mayor será la presión para una misma área; así pues cuando la fuerza aumenta al doble, también la presión se incrementa en la misma proporción, es decir al doble, si la fuerza aumenta al triple, la presión se incrementa al triple, siempre y cuando el área sobre la cual actúa la fuerza no varíe. Cuando se aplica una misma fuerza pero el área aumenta, la presión disminuye de manera inversamente proporcional al incremento de dicha área. Por lo tanto, si el área aumenta al doble, la presión decrece a la mitad, si el área sube al triple, la presiòn baja a la tercera parte de su valor. Pero si el área en que actúa una fuerza disminuye a la mitas, la presiòn aumenta al doble. En conclusión: La fuerza es directamente proporcional a la presión y esta es inversamente proporcional al área. 6

Presión hidrostática y paradoja hidrostática.- La presiòn que ejercen los líquidos es perpendicular a las paredes del recipiente que lo contiene. Dicha presiòn actúa en todas direcciones y sólo es nula en la superficie del líquido- A esta presiòn se le llama presión hidrostática. Esto se debe a la fuerza que ejerce que el peso de las moléculas ejerce sobre un área determinada, la presión aumenta conforme es mayor la profundidad. La presiòn hidrostática en cualquier punto puede calcularse multiplicando el peso específico del líquido por la altura que hay desde la superficie libre del líquido hasta el punto considerado: Ph = Peh o bien Ph = ρ g h

Donde Ph = Presión hidroatática en N/m2 o Pascales.

Consideremos tres recipientes con agua, dos a la misma altura y otro con diferente altura, como se ve en las figuras siguientes:

7

Recipiente 1

Recipiente 2

h= 0.5 m

Recipiente 3

0.3 m 0.5 m

Recipiente 1 = Ph = ρgh = 1000 kg/m3 x 9.8 m/seg2 x 0.5 m = 4900 N/m2, Recipiente 2 = Ph = ρgh = 1000 kg/m3 x 9.8 m/seg2 x 0.5 m = 4900 N/m2, Recipiente 3 = Ph = ρgh = 1000 kg/m3 x 9.8 m/seg2 x 0.3 m = 2940 N/m2,

La llamada paradoja hidrostática de Sevin (lo que va em contra de la opinión común) señala lo siguiente: la presión ejercida por un líquido en cualquier punto de un recipiente, no depende de la forma de este ni de la cantidad de lìquido contenido sino únicamente del peso específico y de la altura que hay del punto considerado a la superficie del líquido. Esto lo observamos en los recipientes 1 y 2 en los cuales la presiòn hidrostática es la misma porque la altura tambièn lo es; mientras la presión hidrostática disminuye en el recipiente 3, por ser menor la altura. Por lo tanto si una alberca tiene una profundidad de un metro, la presiòn hidrostática que existirá en el fondo de la misma, será menor a la que se producirá en el fondo de un depósito pequeño con agua cuya profundidad sea mayor a un metro.

8

Presión Atmosférica.- Debido a su peso, el aire ejerce una presión sobre todos los cuerpos que están en contacto con él, la cual es llamada presión atmosférica. La presiòn atmosférica varía con la altura, por lo que a nivel del mar tiene su máximo valor o presión normal equivalente a: 1 atmósfera (1 atm) = 760 mm de Hg = 1.013 N/m2 = 1.013 Pascales. A medida que es mayor la altura sobre el nivel del mar, la presiòn atmosférica disminuye. En la ciudad de México su valor es de 586 mm de Hg, equivalente a: 0.78 x 105 N/m2. Es común expresar las presiones en milímetros de mercurio, por lo tanto, resulta conveniente recordar la siguiente equivalencia: 1 mm de Hg = 133.2 N/m2. O bien 1 cm de Hg = 1332 N/m2. La equivalencia de la presión atmosférica a nivel del mar es de 76 cm de Hg o 760 mm de Hg, en unidades del Sistema Internacional la obtenemos con la expresión: P=ρgh Como: ρ= 13600 kg/m3, g = 9.8 m/seg2. h = 0.76 m. Sustituyendo valores: P = 13600 kg/m3x 9.8 m/seg2 x 0.76 m. = 1.013 x 105 N/m2 ó 1.013 105 Pa Presión manométrica y presión absoluta.- Un líquido contenido en un recipiente abierto, además de la presión originada por su peso, soporta la presión atmosférica, la cual se transmite uniformemente por todo el volumen del líquido. En el caso de un líquido encerrado en un recipiente, además de la presiòn atmoférica puede recibir otra presión, causada por su calentamiento, tal como sucede con los autoclaves que contienen un fluido bajo presión y se emplean como esterilizadores en clínica y laboratorios, también es común detectar presión en las calderas de vapor, o la presión en las llantas de los vehículos, como resultado del aire comprimido. La presión diferente a la atmosférica recibe el nombre de presión manométrica. De donde la

9

presión absoluta que soporta el fluido encerrado es igual a la suma de las presiones manométrica y atmosférica. Los dispositivos para medir la presión manométrica se llaman manómetros. La presión manométrica es igual a la diferencia entre la presión absoluta del interior del recipiente y la presión atmosférica. Presión absoluta = presión manométrica + presión atmosférica. Presión manométrica = Presión absoluta – presión atmosférica. Un manómetro de uso extenso es el de tubo abierto o manómetro de líquido, el cual tiene forma de U; generalmente contiene mercurio, pero si se requiere alta sensibilidad puede contener agua o alcohol. Se utiliza para medir la presión en calderas, autoclaves, tanques de gas o cualquier recipiente a presión. Para ello un extremo del tubo se conecta al recipiente de referencia para medir la presión; el gas o vapor ejerce una presión que hace subir el mercurio por el extremo abierto hasta igualar las presiones (ambiental, o del gas o vapor). La diferencia entre los dos niveles determina la presión manométrica, a la cual debe agregarse la atmosférica si se desea conocer la presión absoluta del interior del recipiente. Otro tipo de manómetro muy empleado es el metálico , de tubo o Bourdón que funciona sin líquido, esta constituido por un tubo elástico en forma de espiral, cerrado por un extremo y por el otro recibe la presión que se desea medir, esta distiende el tubo y su deformación elástica es transmitida a una aguja que giraba

sobre una

circunferencia graduada.

PROBLEMAS SOBRE DENSIDAD Y PRESION DE LOS LIQUIDOS

1.- 0.5 kg de alcohol etílico ocupan un volumen de 0.000633 m3. Calcular: a) ¿Cuál es su densidad? b) ¿Cuál es su peso específico?

10

Datos

Fórmulas

Sustitución.

ρ =?

ρ = m/V

ρ = 0.5 kg/0.000633 m3. = 789.88 kg/m3.

m = 0.5 kg

Pe = ρ g

Pe = 789.88 kg/m3. x 9.8 m/seg2. =N/m3.

V = 000633 m3. g = 9.8 m/seg2. Pe = ¿ 2.- Calcular la masa y el peso de 15000 litros de gasolina, si su densidad es de 700 kg/m3. Datos

Fórmulas

Sustitución

m=¿

m=ρV

Conversión de unidades:

P=¿

P = mg

15000 litros x (1 m3) = 15 m3.

V = 15000 litros

1000 litros

ρ= 700 kg/m3.

m = 700 kg/m3. x 15 m3. = 10500 kg

g = 9.8 m/seg2.

P = 10500 kg x 9.8 m/seg2. = 102 900 N.

3.- ¿Cuál es la densidad de un aceite cuyo peso específico es de 8967 N/m3.? Datos

Fórmula

Sustitución

ρ=?

ρ= Pe/g

ρ= 8967 kgmseg2/m3./ m/seg2. = 915 kg/m3

Pe = 8967 N/m3. g = 9.8 m/seg2.

11

4.- ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos y en litros de 3000 N de aceite de oliva, cuyo peso específico es de 9016 N/m3?

Datos

Fórmula

Sustitución

V=¿

V = P/Pe

V = 3000 N/9016 N/m3. = 0.333 m3. V = 0.333 m3 x 1000 litros = 333 litros.

P = 3000 N Pe = 9016 N/m3.

1 m 3.

5.- Sobre un líquido encerrado em um recipiente se aplica uma fuerza de 60 Newtons mediante um pistón de área igual a 0.01 m2. ¿Cuál es el valor de la presión? Datos

Formula

Sustitución

F = 60 N

P = F/A

P = 60 N/0.01 m2. = 6000 N/m2.

A = 0.01 m2.

ó 6000 Pa.

P=? 6.- Calcular la fuerza que debe aplicarse sobre um área de 0.3 m2 para que exista una presión de 420 N/m2. Datos

Fórmula

Sustitución

F=¿

P = F/A

F = 420 N/m2. x 0.3 m2. = 126 Newtons.

A = 0.3 m2.

Despejando F:

P = 420 N/m2.

F = PA

7.- Calcular la presión hidrostática en el fondo de una alberca de 5 metros de profundidad, si la densidad del agua es de 1000 kg/m3. 12

Datos

Fórmula

Sustitución

Ph = Peh = ρ g h

Ph = ¿

Ph = 1000 kg/m3x 9.8 m/seg2 x 5 m.

Ph = 49000 N/m2 o 49000 Pa.

h=5m ρH2O = 1000 kg/m3. g = 9.8 m/seg2.

8.- Calcular la presión hidrostática en el punto A y B del siguiente recipiente que contiene agua.

1.5 m A 2m B

Datos Punto A: h = 1.5 m, Ph = ¿

Fórmula Ph = Peh = ρ g h

Punto B = h = 3.5 m, Ph = ¿ Sustitución y resultados: PhA = 1000 kg/m3 x 9.8 m/seg2 x 1.5 m = 14700 N/m2 ó 14700 Pa. PhB = 1000 kg/m3 x 9.8 m/seg2 x 3.5 m = 34300 N/m2 ó 34300 Pa.

13

9.- Calcular la profundidad a l que se encuentra sumergido um submarino en el mar, cuando soporta uma presión hidrostática de 8 x 106 N/m2. La densidad del água de mar es de 1020 kg/m3. Datos

Fórmula

h=¿

Ph = ρ g h

Ph = 8 x 106 N/m2.

Despejando a h

ρH20 mar = 1020 kg/m3. h = Ph/ ρ g Sustitución y resultados: h = 8 x 106 N/m2. = 800 metros. 1020 kg/m3. x 9.8 m/seg2. 10.- Para medir la presión manométrica del interior de un cilindro com gás se utilizó un manómetro de tubo abierto. Al medir la diferencia entre los dos niveles de mercurio se encontró un valor de 15 cm de Hg. Determinar la presión absoluta que hay dentro del cilindro en: a) mm de Hg b) cm de Hg c) N/m2 o Pa. Considerar el valor de la presión atmosférica igual a 586 mm de Hg. Datos

Fórmula

P man = 15 cm de Hg

Pabs = Pmanométrica + P atmosférica

Pabs = ¿ Patm = 586 mm de Hg Sustitución y resultados:

14

a) Pabs = 150 mm de Hg + 586 mm de Hg = 736 mm de Hg. b)Pabs = 73.6 cm de Hg c) Pabs = 73.6 cm de Hg x 1332 N/m2 = 98035.2 N/m2 ó 98035.2 Pa. 1 cm de Hg

11.- Se bombea agua con una presión de 25 x 104 N/m2, ¿cuál será la altura máxima a la que puede subir el agua por la tubería si se desprecian las pérdidas de presión? Datos

Fórmula

P = 25 x 104 N/m2,

P = Peh = ρ g h

h=¿

Despejando la altura:

ρH20 = 1020 kg/m3.

h = P/ ρ g

Sustitución y resultado: h = 25 x 104 N/m2, = 25.5 metros. 1020 kg/m3. x 9.8 m/seg2.

15

ONDAS

 Una onda en el agua tiene una frecuencia de dos Hertz y la distancia entre dos crestas consecutivas es un metro. ¿Cuál es la rapidez de la onda?

 Una onda sonora viaja a 300 en un gas, la longitud de onda es de 5 m. ¿Cuál es la frecuencia de la onda?

 Una onda se propaga lo largo de una cuerda con una rapidez de 360 , si la longitud de onda de agua es de 3m. ¿Cuál es la frecuencia?

 Si un hombre sentado en un muelle observa que la cresta de una onda de agua recorre 20m es 5s

16

 Calcular la velocidad del pulso transversal que se utiliza a lo largo de una cuerda cuya densidad lineal es 4x10-4 y la cuerda está sometida a una tensión de 2,56 N. √

√

 Con que rapidez viaja una onda en una cuerda cuya masa por unidad de longitud es de 2x10-4 y está sometida a una fuerza de 20,48 N.

√

√

 Una cuerda de 4m. de longitud cuyos extremos están fijos y se pone a vibrar de manera que se forma una onda estacionaria. ¿Cuál es longitud de onda para la onda estacionaria no sencilla esta es aquella que se forma cuando solo hay 2 dos nudos una a cada extremo de la cuerda?

17

 Un pulso viaja a 2 cuando se frecuencia es de 4 onda en centímetros?

¿Cuál es la longitud de

 Si la distancia entre dos crestas es 40m y el tiempo que se emplea para que ambas pasen por el mismo punto es 0,1s ¿con que rapidez viaja la onda en dicho medio

1 2

2 x

6

3 0

=

18

1

2

0

_ x 4

5

4

x

8

=

6 0

=

=

7 x

5

0

=

1) D=2M L/4 L/2

M …

B 0,25

M

α

DATOS: L = 3m M = 10g

β

0

9

EJERCICIOS

0,25 A

2

=

8

8

L/4

3

γ

m= 2kg t=?

19

4

0

0

√

√

t=

2) (

f=?

T=?

λ=?

v=?

= 2m

20

)

3) problema 31 ( ) Datos: B= 130 dβ R= 2,2m a) P=?

=> b) β=85dβ

√

21

3) μ1

μ2

μ3

3L L

L

√

√

√

√

L √

√

√

√ √ √

√

22

4)

T1

T2 L/3 P

l=1,25m w=0,36 N ∑

∑

√

√

√

√

23

√

√

24

Capitulo 2 Dinámica de fluidos: Introducción.- Cuando en un fluido actúan fuerzas (generalmente constantes) las moléculas de este tienden a moverse, de manera ordenada en los fluidos incompresibles y de manera desordenada en los fluidos compresibles. Flujo turbulento.-Este tipo de flujo se caracteriza por las altas velocidades que se generan y por el intercambio de cantidad de movimientos; además se generan irreversibilidades, las que producen perdida de energía. Flujo laminar.- Es aquel que se caracteriza por bajas velocidades y elevada viscosidad de los fluidos. REYNOLDS:

(1)

Re > 44000

Turbulente

Re
t2

t2

B

Restando las ecuaciones (1) y (2): t1 - t2 = o también:

b(x1 - x2)

t1 - t2 = - b(x2 - x1)

x1

t1 - t2 Luego:

t2 -

b =

x

t1

= (x2 - x1)

Como t2 = f (x2 )

x2

y

(x2 - x1)

t1 = f (x1 )

f (x2 ) - f (x1 ) -b = -

= G x2 -

x1

G se denomina caída de temperatura y como t2 < t1 y f (x2) < f (x1), su valor es positivo. Cuando A y B están próximos, siendo x el parámetro de A y t su temperatura, para el punto B, el parámetro será x + ∆x y su temperatura t + ∆t.

La caída media de temperatura entre A y B será: - (t + ∆t) - t Gm =

∆t = -

(x + ∆ x ) - x

∆x

Cuando los puntos A y B están infinitamente próximos tendremos: 85

G =

lím Gm ∆x0

= lím ∆x0

- ∆t = - dt ∆x

dx

A la magnitud G se denomina gradiente de temperatura. LEY DE FOURIER S1

S2

Supongamos que por los puntos A y B pasan

dx

planos perpendiculares a la dirección x, que Q determinan en el sólido las áreas S1 y S2

x Q

A

que poseen respectivamente, temperatura

B

dt

uniforme (superficies isotermas).

t1

t2

Si la temperatura es función lineal de x, la gradiente de temperatura tendrá el mismo valor entre los puntos A y B. Llamando Q a la cantidad de calor transmitida en un tiempo d, en dirección x , por la superficie S, se cumple que:

Q =  . S . d . dt dx Si hacemos S = 1m2 ; dt = 1ºC ; dx = 1m; y d= 1 seg. , resulta Q =  = coeficiente de conductibilidad térmica.

Podemos definir entonces el coeficiente de conductibilidad térmica como la cantidad de calor que se transmite en un segundo, a través de la unidad de superficie, entre dos planos paralelos distantes la unidad de longitud y cuando la diferencia de sus temperaturas es de 1°C.

UNIDADES DEL COEFICIENTE DE CONDUCTIBILIDAD

86

Si despejamos el valor de  de la expresión de Fourier tenemos:

 = Q.dx S. d.dt

En el sistema internacional o SI, el que adopta en nuestro país para las normas IRAM, denominado SIMELA, el coeficiente de conductibilidad térmica será:

= .

Joule

=

m K seg

watt . mK

En otros sistemas las unidades de , son, por ejemplo en el sistema c.g.s.:

= .

calorías . centímetro

= .

centímetro 2 . grado . segundo

cal

cm . °C seg.

O en el sistema técnico:

=

Kcal

.

m °C h

VALORES DEL COEFICIENTE DE CONDUCTIBILIDAD

El valor numérico de  depende del material del cuerpo. Veamos algunos valores para buenos y malos conductores, a 0° C.

87

.

MATERIAL



Plata

360

Muy Bueno

Cobre

335

Bueno

Lana de vidrio

0,032

Malo

Corcho molido

0,011

Muy Malo

( cal / m . °C. h)

Característica

En los metales, pequeñas cantidades de impurezas pueden modificar considerablemente el valor de . Así por ejemplo, bastan trozos de arsénico en el cobre para reducir su conductividad térmica hasta cerca de la tercera parte de la correspondiente al cobre puro. Este proceso se denomina dopado, y se utiliza en la fabricación de semiconductores que se usan en la industria electrónica.

En la mayoría de los sólidos homogéneos, el valor de  es función de la temperatura según una variación lineal:

t = 0 + a . t

0 = coef. de conductibidad a 0°C.

Para materiales no homogéneos, el coeficiente  a una temperatura dada es proporcional a la densidad aparente del material considerado. Así por ejemplo, la lana de amianto posee los siguientes valores de  a 0°C:

Densidad aparente



(Kg /m lt) 0,40

0,077

0,70

0,165

FLUJO CALORÍFICO 88

La ley de Fourier establece:

Q = -  . S . d  . dt dx

Se denomina flujo calorífico  ( fi) a la relación:  = Q d y expresa la cantidad de calor que se transmite en la unidad de tiempo. Entonces:

 = -  . S . dt dx

= - dt dx S

La expresión dx = d

se denomina

resistencia térmica  S

Por lo tanto:  = - dt d En la expresión del flujo calorífico, se observa que depende de la diferencia de temperatura, en consecuencia, cuando la diferencia de temperaturas permanece constante, el flujo también será constante. Esto ocurre en el estado de régimen estacionario o permanente, pues la distribución de temperaturas es constante lo que mantiene constante la diferencia de temperaturas.

Por lo contrario, en el estado de régimen térmico variable, la distribución de las temperaturas varía con el tiempo, y también variará la diferencia de temperaturas, en consecuencia el flujo será variable.

89

PROBLEMA DEL MURO Supongamos un material cuyo coeficiente de conductibilidad es  se encuentra limitado por dos caras planas y paralelas A y B de superficie S y temperaturas t1 y t2 respectivamente (superficies isotermas). Si t1 > t2 el calor se transmite de la cara A a la cara B. Las líneas de flujo son normales a ambas caras, es decir paralelas a la dirección del eje x. Si transcurrido un cierto tiempo se alcanza el estado térmico estacionario o permanente, la temperatura de un punto cualquiera del interior del cuerpo es solamente función de la coordenada x de dicho punto. Esto significa, que en un plano cualquiera como el C, paralelo a las caras A y B, la temperatura es constante porque t = f(x) para todos los puntos del plano.

Vimos que

A

B

φ = Q = -  S dt d dx φ . dx = -  S dt

x C

Suponiendo que  es independiente del tiempo y S es constante al integrar entre x = x1 , x = x2 y t = t1 , t = t2 tendremos:

x2

t2

φ .  dx = -  S  x1

dτ

t1

Por lo tanto: φ (x2 - x1) =  S (t1 - t 2)

90

Como x2 - x1 = e, escribimos finalmente: φ =  S (t1 - t 2) e

En esta forma se calcula el flujo térmico que atraviesa un cuerpo de caras planas y paralelas, conociendo las temperaturas de dichas caras, el valor de la superficie normal al flujo calorífico, el espesor del cuerpo o pared y el coeficiente de conductibilidad del material. En este caso, la resistencia térmica del cuerpo valdrá también:

 =

.

e

.

.S

CASO DE PAREDES CILÍNDRICAS

Consideraremos el caso de un cilindro hueco cuyo radio exterior es r2, el interior r1, la conductividad del material , t2 la temperatura de la cara exterior, t1 la temperatura de la cara interior y L la longitud del cilindro. Supongamos que t1 > t2 o sea que el calor fluye de adentro hacia fuera. Si consideramos un cilindro de espesor muy pequeño dr, y radio r, podemos suponer que las líneas de flujo son prácticamente paralelas dentro del cilindro, aplicando la Ley de Fourier:

Q = -  . S . dt . = -  2  r. L dt dx

Pues: S = 2  r. L

dr

; dx = dr

91

 dr = -  2  L dt ; r

Integrando, cuando se ha alcanzado el estado térmico estacionario o permanente,

r2  

t2 dr

= -  2  L  dτ

r1 r

t1

;

 ln r2

= -  2  L (t2 - t1)

r1

De donde :  =

 2  L (t1 - t2) ln

r2 r1

La resistencia térmica valdrá :

 = .

1 2L

.ln r2 r1

CASOS DE PAREDES ESFÉRICAS

Consideraremos el caso de una esfera sólida hueca de radio interior rr, exterior r2,de la cara interior tt, y exterior t2. Si t1 > t2 el flujo calorífico se dirigirá de adentro hacia fuera. Por las mismas consideraciones del caso anterior: 92

 = -  4  r2 dt

pues:

S = 4  r2

; dx = dr

dr

 dr = -

4   dt r2

Integrando entre r1 , r2 y t1 , t2 y alcanzando el estado térmico de régimen permanente: r2   r1

t2 dr

= -

4    dt

r2

entonces :

t1

 1 - 1 r1

= 4   (t1 - t2)

r2

Luego:  = 4   (t1 - t2) 1 - 1 r1

r2

La resistencia térmica será:

 = .

1 4  

. 1 - 1 r1

r2

CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE PAREDES SUPERPUESTAS

93

El caso más general que se presenta en la práctica es la transmisión de calor por conducción a través de paredes de distintos materiales y propiedades transmisoras. Consideremos tres paredes superpuestas cuyas resistencias térmicas son 1 , 2 , 3 , limitadas por las superficies isotérmicas de temperaturas t 1 , t2 , t 3

y

t4, siendo t1 > t2 > t3 > t4,

las líneas de flujo se dirigen en la dirección que indica la figura.

Conforme a lo visto anteriormente, el flujo que atraviesa la pared de resistencia térmica 1, 2, y 3 será respectivamente:

1 = (t1 - t2)

y para las otras paredes:

2 = (t2 - t3)

1

2

3 = (t3 - t4) 3

Cuando se ha alcanzado el estado de régimen permanente:

1 = 2 = 3 = , entonces  (1 + 2 + 3 ) = (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4)

De donde :  =

(t1 - t4) 1 + 2 + 3

Esto significa que el flujo calorífico que atraviesa paredes superpuestas de diferentes materiales es igual a la relación entre la diferencia de las temperaturas extremas y la suma de las resistencias térmicas del material de las paredes. 94

CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE DIFERENTES MATERIALES ENTRE DOS SUPERFICIES ISOTÉRMICAS Sean dos materiales de resistencias térmicas 1 y 2 que transmiten calor por conducción entre dos superficies isotérmicas de temperaturas t1 y t2.

1 Si t1 > t2, cuando se alcanza el estado térmico de régimen permanente, el flujo que atraviesa

t 1 > t2

el material de resistencia térmica  1 será: 2

1 = t 1 - t2

y para el otro material:

2 = t1 - t2

1

2

El flujo total entre las dos superficies isotérmicas será:  = 1 + 2 = (t1 - t2) 1

1 + 1 2

Nota: se puede hacer una analogía entre la corriente eléctrica y las resistencias, cuando se conectan en serie y cuando se conectan en paralelo. ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN EL ESPACIO, EN RÉGIMEN VARIABLE La ecuación de Fourier que hemos visto, está referida al eje de las “x”, sin embargo, si consideramos un cuerpo en el cual se transmite en tres direcciones en el espacio, debemos referirnos a los ejes “x”, “y”, “z”. 95

Si tomamos un punto “o” de un sólido en el cual consideramos un paralelepípedo elemental de aristas dx, dy, dz, el flujo que pasa por la cara normal al eje “x”, de superficie dy, dz será de acuerdo a la ley de Fourier:

ox = -  . dy . dz . dT dx En estado térmico de régimen variable, la variación de flujo por unidad de camino será a

; y para el camino

dx : ox dx ; o sea que:

x

x

ox dx = - . dx . dy . dz . 2 t x

x2

del mismo modo para el eje “y” :  oy dy = - . dx . dy . dz . 2 t y

y2

y para el eje z:  oz dz = - . dx . dy . dz .2 t z

z2

Sumando las tres ecuaciones:  ox dx +  oy dy +  oz dz = d = - . dx . dy . dz . 2 t + 2 t + 2 t x

y

z

x2

Para el cubo elemental: dx . dy . dz = dV, volumen elemental:

d = - . dV

2 t + 2 t + 2 t 96

y2

z2

x2

y2

z2

Si consideramos que la variación del flujo provoca una absorción de calor, por la masa del elemento de volumen, como la temperatura aumenta, el segundo miembro de la ecuación anterior será positivo. Si denominamos Q al valor elemental absorbido por el elemento de volumen en el tiempo d , la variación del flujo en dicho tiempo será:

d = Q = c . G. dt =  . dV 2 t + 2 t + 2 t d

x2

d

y2

z2

donde, m es la masa del elemento de volumen, o su valor específico y dt la elevación de temperatura producida en el tiempo d.

Si llamamos al peso específico del cuerpo  = G

; G =  . dV

dV

Reemplazando en el ecuación anterior y simplificando: c . . dt =  2 t + 2 t + 2 t x2

d

y2

z2

de donde dt = d

 c 

2 t + 2 t + 2 t  x2

y2

z2

El término entre paréntesis se denomina operador de Laplace o Laplaciano, que se indica con el símbolo 2 (delta cuadrado), luego podemos escribir:

97

d

dt =  c

2. t

La magnitud  se denomina difusividad térmica “a “ y c. depende del material, de donde:

dt = a 2. t

Si tomamos el caso particular de régimen estacionario o permanente, como la temperatura no varía con el tiempo: dt = 0 ; pero como  ≠ 0 se deberá cumplir que: d c

 2. t = 0 ,

condición a cumplir para el estado de régimen estacionario o permanente.

Para el caso del muro, o sea paredes planas y paralelas, como el flujo se transmite sólo en dirección “x”, se deberá cumplir que: 2 t = 0

 t = Cte = C

 x2

x

De donde dt = C.dx, e integrando : t = C . x + C’ , o sea que obtenemos una expresión que nos indica que la temperatura varía linealmente con la dirección del flujo, lo cual ya habíamos aplicado al definir gradiente o caída de temperatura.

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN

Habíamos definido que el calor se transmite por convección en el caso de los fluidos: gases o líquidos, cuando absorben calor en una porción y luego esta porción se desplaza mezclándose con otra más fría cediéndole calor. Este movimiento se denomina corriente de

98

convección y si es provocado por diferencias de densidad debidas a diferencias de temperatura, tenemos, el fenómeno de convección natural. Si, en cambio, el movimiento del fluido se efectúa por medio de un agitador, una bomba o un ventilador, corresponde a la convección forzada. Cuando un fluido está en contacto con una pared sólida de mayor temperatura, aunque el fluido se encuentra en movimiento turbulento, se forma junto a la pared una película de fluido. Cuanto más turbulenta sea el movimiento, más delgada es la película, también llamada capa límite. El fenómeno de transmisión de calor de la pared al fluido se realiza por conducción a través de la película y a la vez por convección del fluido. En conjunto, el fenómeno es complejo porque la cantidad de calor transmitida dependerá de varios factores concurrentes: como ser la naturaleza del fluido ; el estado del fluido (densidad, viscosidad, calor específico y conductibilidad térmica); de la velocidad del fluido (si es mínima, el movimiento será laminar y si es considerable, turbulento); de que el intercambio de calor provoque evaporación, condensación o formación de la película; de la forma del sólido (pared plana o curva, vertical u horizontal); de la naturaleza de la superficie (rugosa o lisa) y de que el sólido sea buen o mal conductor. La cantidad de calor transmitida por convección se expresa por la Ley de Newton:

 =  S dt d

En esta expresión empírica,  se denomina coeficiente de convección, coeficiente pelicular o coeficiente de conductibilidad exterior, y se puede definir como la cantidad de calor que se transmite a través de la unidad de superficie de separación entre el sólido y el fluido, cuando la diferencia de temperatura entre ambos es unitaria y en la unidad de tiempo. El coeficiente pelicular tiene en cuenta todas las variables enunciadas anteriormente por lo que el problema fundamental de la transmisión de calor por convección es encontrar el valor que resulte apropiado para cada caso en particular. Su valor en el sistema técnico oscila entre unas pocas unidades (aire casi quieto) y más de 10.000 (vapor saturado que se condensa). Unidades de : si despejamos en la expresión de Newton:

=

 S.dt.d

En el sistema SI.:  = .

J

.

o bien  = .

m2. K.seg

W m2. K.

99

.

en el técnico:

= .

cal

.

m2 . °C . h

y en el c.g.s.

=.

cal

.

cm2.°C.seg

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS COEFICIENTES PELICULARES

Para calcular el valor de se puede proceder en forma teórica o experimental. En esta última forma, los resultados se deberán aplicar solamente a casos análogos a las experiencias realizadas. Las ecuaciones que sean utilizadas para determinar deberán incluir todas las propiedades del fluido en particular y las condiciones de su movimiento.

En forma teórica, uno de los métodos más útiles encontrados hasta ahora y que permite relacionar todos los factores que intervienen en la convección es el análisis dimensional, también llamados modelos de similitud. En este método, las variables se vinculan y ordenan en grupos adimensionales, o sea relaciones numéricas sin unidades o dimensiones.

Los grupos más importantes que se han determinado son:

Número de Grashof:

Gr = D3 2 g  t 2

Número de Nusselt:

Nu =  D 100



Número de Prandtl:

Pr = c  

Número de Reynolds:

Re = D   

Donde: es el coeficiente pelicular, D las dimensiones lineales del recinto (por ejemplo el diámetro o longitud de una cañería),  el coeficiente de conductibilidad, ω la velocidad lineal del fluido, su viscosidad, c el calor específico,  la densidad, g la aceleración de la gravedad, β el coeficiente de dilatación cúbica y ∆t , la diferencia de temperatura. El número de Reynolds contiene la velocidad del fluido, por lo tanto medirá su grado de turbulencia y será importante en el caso de la convección forzada cuando los fluidos posean movimiento turbulento. El número de Grashof incluye el coeficiente de dilatación y la fuerza ascensional provocada por la variación de temperatura, proporcional a g. β . ∆t; en consecuencia el Gr mide el grado de convección natural. Su valor en cambio es despreciable en la convección forzada. Por el contrario, el Re en la convección natural desaparece pues la turbulencia es pequeña debido a la baja velocidad. El número de Prandtl contiene únicamente las propiedades del fluido o sea que dependerá solamente de su naturaleza. En el caso de los gases, la viscosidad η es tan pequeña que Pr se puede considerar despreciable. Por lo tanto resumiendo:

En los gases

Convección natural: Nu, Gr Convección forzada: Nu, Re

Convección natural : Nu, Gr, Pr 101

Y en los líquidos Convección forzada: Nu, Re, Pr

En el caso más general, se encuentra que la ecuación que vincula los números adimensionales es de la forma:

Nu = f ( Re, Pr, Gr)

Aunque esta función puede tomar la forma de cualquiera de las conocidas, se simplifica suponiendo que cada número entra en la ecuación una sola vez y como función de potencia. Esta suposición se cumple aproximadamente en la mayoría de los casos prácticos. Podemos entonces escribir:

Nu = K Rea , Prb , Grc

donde K, a, b y c son constantes que se deben determinar experimentalmente.

Para ello se puede encontrar experimentalmente la variación del Nu con Re y Gr en cada caso en particular y luego trazar en un diagrama dicha variación tomando en ordenadas y en abscisas los logaritmos de los valores encontrados. En efecto, tomando logaritmos se cumple que:

log Nu = log K + a log Re + b log Pr + c log Gr El coeficiente angular de las rectas encontradas nos dará el exponente correspondiente a cada número. El término independiente corresponde al valor del long K. Una vez conocidas

102

las constantes, se puede calcular el coeficiente pelicular Nusselt:

despejándolo del número de

= Nu D

TRANSMISIÓN DEL CALOR POR CONDUCCIÓN Y CONVECCIÓN Uno de los casos más frecuentes en la práctica es la transmisión de calor entre sólidos y fluidos, o sea la transmisión mediante la conducción y convección combinadas. Consideraremos una pared sólida que separa dos fluidos, uno de los cuales calienta al otro trazamos en ordenadas el eje correspondiente a las caídas de temperaturas producidas en la pared y cada una de las películas. Llamaremos t1 la temperatura del fluido caliente y su coeficiente pelicular, t la temperatura del fluido frío y su coeficiente pelicular; es el coeficiente de conductibilidad del material de la pared y e su espesor ( t > t ). Cuando se ha alcanzado el estado térmico de régimen permanente, el flujo que atraviesa la película de coeficiente por unidad de superficie será:

Q =  S d dt

capa limite 1

 = 1 ( t1 - t’1) Ley de Newton

capa límite 2

t1

S

t’1



  =  ( t’1 – t’2) Ley de Fourier S

t’2

e

fluido caliente

 = 2 ( t’2 - t2 ) Ley de Newton

fluido frío t2

S

e

103

Sumando miembro a miembro

 ( 1 + e + 1 ) = ( t1 - t’1) + ( t’1 – t’2) + ( t’2 - t2 ) = (t1 – t2) S

1



= .

2

. S . (t1 – t2)

1

(1+e +1) 1

Si hacemos :



2

.

1

. = K

1+ e +1 1



2

 = K . S . t

El coeficiente K se denomina coeficiente de transmisión de calor total, y se lo puede definir como la cantidad de calor que en la unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie de pared interpuesta entre dos fluidos, cuando la diferencia de temperatura entre ambos fluidos es unitaria.

las unidades de K serán; K =

joule

ó

bien

K = W

m K seg

m.K

DIFERENCIA VARIABLE DE TEMPERATURAS

104

La ecuación anterior es aplicable cuando la diferencia de temperatura entre los fluidos permanece constante. Sin embargo, en los aparatos utilizados para intercambio de calor, la temperatura de los fluidos varía con la superficie de intercambio.

Tomemos por ejemplo el caso de un refrigerante de laboratorio. Es evidente que podemos hacer circular los fluidos en dos formas distintas. En el primer caso los dos fluidos penetran por el mismo extremo del intercambiador. Este caso se denomina de corrientes paralelas o equicorrientes. En el segundo caso, los fluidos penetran por los extremos opuestos del intercambiador y se denomina de contracorriente.

En el caso de corrientes paralelas, el fluido caliente se enfría desde t a t’ (ver diagrama y figura I), mientras que el fluido frío se calienta desde t a t’.

En el caso de contracorriente, en cambio, el fluido frío se calienta desde t’ a t (ver diagrama y figura II).

Se puede observar que el salto o diferencia de temperaturas t varía en ambos casos entre t y t’ a lo largo de la superficie de intercambio, en consecuencia podremos aplicar la ecuación de transmisión de calor total siempre que conozcamos la diferencia media de temperatura entre dichos límites. Se puede demostrar que la diferencia media de temperatura responde al promedio logarítmico dado por la ecuación:

Si t = cte. entre los fluidos

 = K . S . t

Si t  cte.

tm = t - t’

en consecuencia

 = K . S . tm 105

ln t t’

t

t

t1 t1 t

t’1 t

t’2 t’

t’1 t’

t2

t’2 t2

s

s

t’1 t’1

t1

t2

t1

t’2

t2

Corrientes paralelas o de igual sentido

t’2 Corriente de sentido contrario o

TRANSMISIÓN DE CALOR POR RADIACIÓN 106

Todos los cuerpos, cualquiera sea su temperatura, emiten energía en forma continua desde sus superficies. Esta energía se denomina energía radiante y es transportada por ondas electromagnéticas, por este motivo, la energía radiante puede transmitirse aún en el vacío. La emisión continua de energía radiante por un cuerpo se denomina radiación. Como consecuencia de este fenómeno, dos cuerpos colocados en el vacío que están a diferentes temperaturas alcanzan el equilibrio térmico debido a que el de menor temperatura recibe energía radiante del otro cuerpo de mayor temperatura. Cuando la energía radiante es absorbida por un cuerpo, se transforma en calor; no obstante la energía radiante también puede ser reflejada (difundida) o refractada (propagada) por los cuerpos. Trataremos únicamente la energía radiante emitida por los sólidos y los líquidos, pues la emitida por los gases obedece a leyes muy diferentes. Hemos dicho que la energía radiante se transmite por ondas electromagnéticas, por lo tanto su velocidad de propagación será la de la luz (300.000 km/seg en el vacío).

Las ondas electromagnéticas comprenden: radio ondas, ondas infrarrojas, luz visible, ondas ultravioletas y rayos X y γ; todas diferentes solamente en sus longitudes de ondas. Los cuerpos sólidos y líquidos emiten energía radiante que contiene ondas de todas las frecuencias, cuyas amplitudes dependen principalmente de la temperatura del cuerpo emisor y no del tipo de moléculas que lo formen.

En cambio, los gases, emiten energía radiante de relativamente pocas frecuencias, las cuales son características de las moléculas del gas.

Si la radiación emitida por un cuerpo se hace incidir sobre un prisma, se descompone en radiaciones monocromáticas cuyo conjunto se denomina “espectro”. Cada radiación monocromática corresponde a una determinada longitud de onda , que está relacionada con la velocidad de propagación c por la ecuación:  = c . T. D0onde T es el período correspondiente al fenómeno periódico al cual responde la radiación.

Por otra parte, T = 1 / ; siendo  la frecuencia.

El espectro se puede dividir en tres zonas: 107

1) zona infrarroja: constituida por radiaciones de longitud de onda superiores a 0,8 . 2) zona luminosa o visible, cuyas radiaciones poseen longitudes de onda comprendidas entre 0,4 y 0,8 . e impresionan la retina humana. 3) zona ultravioleta, cuyas longitudes de onda son inferiores a 0,4 .. La energía radiante es emitida por toda la materia del cuerpo, pero en general, en su interior la energía emitida por cada punto es nuevamente absorbida por eso solamente se libera la energía correspondiente a una delgada capa de la superficie del cuerpo. no solo depende de la temperatura de la superficie sino también de su naturaleza.

DISTRIBUCIÓN ESPECTRAL DE LA ENERGÍA RADIANTE

Lumer y Pringssheim, efectuaron una serie de experimentos en los cuales tomaban las radiaciones emitidas a una cierta temperatura y medían su energía a distintas longitudes de onda. Así encontraron que la energía en las distintas longitudes de onda no eran uniforme. Si E es la energía emitida con longitud de onda , la energía total a temperatura T está dada por: 

ET =  E . . d 0

Por lo tanto, el área encerrada por cada curva representa la energía total emitida a esa temperatura, será proporcional a la cantidad de calor transmitida por unidad de superficie y unidad de tiempo.

108

Se puede observar que a temperaturas bajas, la energía emitida corresponde a radiaciones de longitudes de onda ubicadas en la zona infrarroja. a medida que el cuerpo aumenta su temperatura, emite radiaciones de longitud de onda cada vez menores, alcanzando la zona roja de luz visible y posteriormente al cubrir todo el espectro visible, la luz blanca. Por este motivo, los cuerpos a temperaturas elevadas presentan color rojo y también blanco.

RADIACIÓN INCANDESCENCIA

Hemos visto anteriormente que la energía emitida por un cuerpo depende de su temperatura. La energía radiante recibida por un cuerpo, en general puede dividirse en tres partes:

a) la energía transmitida o programada por el cuerpo sin absorberla; b) la energía reflejada o difundida según las leyes de la óptica y c) la energía que el cuerpo absorbe La cantidad de energía transmitida, reflejada o absorbida por un cuerpo, depende de la naturaleza del material, de la superficie y de la longitud de onda de la radiación. En realidad no existen cuerpos totalmente permeables o impermeables. Por ejemplo, el vidrio es permeable a las radiaciones visibles pero absorbe las infrarrojas. Podemos imaginar la existencia de un cuerpo que sea absolutamente absorbente o sea un cuerpo que absorbiera todas las radiaciones que recibe. Un cuerpo teórico que cumple esta condición, se denomina cuerpo negro. Un cuerpo negro, se puede lograr casi perfectamente practicando un orificio pequeño, de superficie ∆S, en un recinto cerrado, opaco o recubierto de negro de humo, y mantenido a temperatura constante. La radiación absorbida o emitida por dicho sistema, es equivalente a la que correspondería a un cuerpo negro de superficie ∆S, a la misma temperatura. A unos 500 °C, la radiación que emite u cuerpo negro, comienza a tener radiaciones luminosas (rojo cereza). Midiendo la energía de dicha radiación, se puede medir la temperatura del cuerpo, procedimiento en que se basan los métodos ópticos de medición de temperatura en los hornos industriales.

PODER EMISIVO Y PODER ABSORBENTE

109

El poder emisivo o de emisión E, de un cuerpo, se define como la cantidad de calor emitida por unidad de superficie y por unidad de tiempo, en una dirección dad. El valor de E depende fundamentalmente del valor de  y de T. En general se expresa relacionándola con el poder emisivo del cuerpo negro ideal. Se denomina coeficiente de emisividad e a la relación entre el poder emisivo del cuerpo E, y el poder emisivo del cuerpo negro ES, en iguales condiciones. O sea:

e= E ES En la expresión anterior vemos que e debe ser un número, independiente de las unidades en que se mida el poder emisivo y cuyo valor está comprendido entre 0 y 1.

Por ejemplo, entre 20 y 200°C, los valores aproximados de e son:

MATERIAL

e

metal pulido

0,04 – 0,05

metal oxidado

0,80 - 0,90

madera lisa

0,80 - 0,90

material de construcción 0,90 vidrio liso

0,94

negro de humo

0,98

El poder absorbente o de absorción A, de un cuerpo, se define como la cantidad de calor absorbida por unidad de superficie y por unidad de tiempo. Su valor depende de  y T. Se denomina coeficiente de absorción a, a la relación entre el poder absorbente del cuerpo A y el poder absorbente correspondiente al cuerpo negro en las mismas condiciones AS.

110

a= A

valor comprendido entre 0 y 1

AS Se deduce entonces que tanto aS correspondientes al cuerpo negro ideal, deben valer 1. LEY DE KIRCHOFF Esta ley establece que la relación entre el poder emisivo y el coeficiente de absorción, es una constante para todas las superficies a valores de  y de T dados. Si llamamos E1 y E2 a los poder emisivos de dos cuerpos cuyos coeficientes de absorción son a1 y a2, se deberá cumplir que::

E1 = E2 también igual a ES a1

a2

para el cuerpo negro

aS

Como para el cuerpo negro, aS = 1; entonces el valor de la constante es igual a ES o sea el poder emisivo del cuerpo negro en las condiciones de  y de T dadas.

E1 = E2 a1

a2

=

ES

= ES

aS

Vemos entonces que todo cuerpo puede emitir radiación a una  y T dadas, según el valor de su coeficiente de absorción. La radiación será mayor cuanto mayor sea el valor de a, en consecuencia el cuerpo negro es el que mayor radiación emite en tales condiciones, pues su valor de a es máximo, igual a 1. Según la ley de Kirchoff, para un cuerpo cualquiera, cuyo poder emisivo es E y su coeficiente de absorción es a, se debe cumplir que:

E1 = E

donde ES = poder emisivo del cuerpo negro

a

111

Pero, según vimos antes, E = e; donde e es el coeficiente de emisividad del cuerpo, en consecuencia:

E1 = e . ES

donde

e = a

a Se deduce que para toda superficie, el coeficiente de emisividad es igual al coeficiente de absorción. Por tanto, si un cuerpo puede emitir una radiación  a temperatura T, el mismo cuerpo es también capaz de absorberla en las mismas condiciones. Este fenómeno se conoce como inversión del espectro. Resumiendo lo dicho, se puede establecer que la cantidad de calor transmitida por radiación y por unidad de tiempo, depende no solamente de la temperatura y de la naturaleza de la superficie del cuerpo sino también de las temperaturas y naturaleza de las superficies de los cuerpos circundantes. CUERPOS GRISES Son aquellos en los cuales el valor del coeficiente de emisividad e, permanece constante para todas las longitudes de onda y temperaturas. Como vimos que e = a, el coeficiente de absorción también debe ser constante. En la práctica no existen cuerpos grises, pues el valor de e no se mantiene constante, sin embargo, en la mayoría de los casos pueden considerarse grises a los cuerpos sin mucho error. El poder emisivo de un cuerpo gris será:

E = e . ES Esta ecuación se considera válida para todas las longitudes de onda y en un intervalo dado de temperatura.

LEY DE STEFAN BOLTZMANN

Establece que la cantidad total de calor emitida (en todas las longitudes de onda), por unidad de tiempo y por unidad de superficie del cuerpo negro, es proporcional a la cuarta potencia 112

de la temperatura absoluta del cuerpo. (Según lo visto antes, la cantidad de calor total emitida es proporcional al área encerrada por la curva de radiación: E  = f().

Esta ley se puede expresar matemáticamente:

Donde es el coeficiente de radiación total del cuerpo negro, que se puede definir como la radiación integral, para todas las direcciones y longitudes de onda transmitida por unidad de superficie del cuerpo negro, en la unidad de tiempo y por °K de temperatura. Es una constante universal. Par los cuerpos grises podemos aceptar que:

Q = s S d T4

Q = e s S d T4

 = e s

para un cuerpo gris :

o

.  . = e s T4 S d

Donde s = 4,96 x 10-8 Kcal / m2 h ºK4

CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN

Supongamos que un cuerpo 1 a temperatura T1 y de superficie S1 transmite calor a otro cuerpo 2 de temperatura T2 y superficie S2, considerando además que el medio que lo rodea no es absorbente. La cantidad de calor transmitida será igual a la cantidad de calor emitida por el cuerpo 1 a temperatura T1 menos la cantidad de calor reflejada por el cuerpo 2 y menos la cantidad de calor emitida por dicho cuerpo a T2 y absorbida por 1. Si el cuerpo 1 fuera gris y el 2 negro y rodeara totalmente a 1, las cantidades de calor serían:

113

Ejemplo:

1

t1

t2

2

cuerpo negro no refleja

medio no S1

absorbente

S2

1 = e1 s S1 T14

 Calor emitido por 1  El cuerpo 2 por ser negro no refleja radiación

2 = e1 s S1 T24

 El cuerpo 1 absorbe de 2

Calor transmitido:  = 1 - 2 = e1 s S1 ( T14 - T24 )

Si t = T – 273,15

 = r S1 ( t1 - t2 )

Donde r = ( T14 - T24 ) e1 s t1 - t2

r

= se denomina coeficiente de radiación.

CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN Y CONVECCIÓN

114

Si un cuerpo de temperatura t1 y superficie S1se encuentra dentro de un fluido a temperatura t2, siendo t1 > t2, transmite calor por convección y radiación. (Si estuviera apoyado, también transmitiría calor por conducción a través de los apoyos). El flujo total, transmitido por convección y radiación, según las ecuaciones ya vistas será:

 =

. S1 (t1 - t2) +

donde

 = (

r

. S (t1 - t2)

= coeficiente de convección

+

r

) . S1 (t1 - t2)

CAMPO ELÉCTRICO. EL CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su influencia sobre otras, de ahí que las fuerzas eléctricas sean consideradas fuerzas de acción a distancia.

Vemos en las figuras, la acción de estas fuerzas, sin entrar en contacto ambos cuerpos. Cuando en la naturaleza se da una situación de este estilo, se recurre a la idea de campo para facilitar la descripción en términos físicos de la influencia que uno o más cuerpos ejercen sobre el espacio que les rodea. La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado de propiedades medibles. En el caso de que se trate de un campo de fuerzas éste viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea la Tierra se hace visible cuando en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y se mide su peso, es decir, la fuerza con que la Tierra lo atrae. Dicha influencia gravitatoria se 115

conoce como campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo la física introduce la noción de campo magnético y también la de campo eléctrico o electrostático.

EJERCICIO (Guía- Propagación de calor) K= 0,6 W/km

H= 18 W/ Km2 a) 50°C

K 𝑇

30°C

b) h

h

15 CM 𝑅 𝑅

116 𝑅

𝑥 𝐾

𝐴

0

C)

EJERCICIO a

Las F se repelen +

+ 𝑎

q

SI

a a

O (N) p Y +

𝐹

+

𝐹 a

X

EJERCICIO

𝐹

dl

𝐹

θ

R

dfx

θ X

∫

df 117

∫

√

(

)

∫

⁄

(

√

)

P/0 2πR

⁄

(

)

Si

⁄

Si ⁄

EJERCICIO

∫

c.v

∫ ∫

2rdr=du ∫

∫ ∫

√

( -

√

EJERCICIO DATOS m= 10g= 0,01g q=1µc= G= 10m/2

√

)

)

V=0

A

𝑞 𝑞 r

118

B

∑ N-w-F=mxa…….1 (

(

))

N=4N

√ EJERCICIO θ F T

Formula Placa= ∑

W

∑ ….2 ½ PARA F F=Exq

4 3n 3

EJERCICIO CONDENSADRO (ELEC) CILINDRO L

119

V

̅ ̅̅̅

( ) ( )

EL CAMPO ELÉCTRICO El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga 120

unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido. La expresión del módulo de la intensidad de campo E puede obtenerse fácilmente para el caso sencillo del campo eléctrico creado por una carga puntual Q sin más que combinar la ley de Coulomb con la definición de E.

Puesto que se trata de una fuerza electrostática aplicada en P, dirigida a lo largo de la recta que une la carga central q y el punto genérico P, en donde se sitúa la carga unidad, y su sentido será atractivo o repulsivo según q sea negativa o positiva respectivamente. La unidad de intensidad de campo E es el cociente entre la unidad de fuerza y la unidad de carga; en el SI equivale, por tanto, al newton (N)/ coulomb (C)

1.- Determinar la intensidad de campo eléctrico en un punto P situado a una distancia de 0,4 m de una carga puntual Q = 1,6.10 – 6 C.

2.- Dos cargas puntuales q 2 = q 3 = 1 C están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo (ver figura). Calcula el campo eléctrico resultante en el punto P.

121

POTENCIAL ELÉCTRICO (O VOLTAJE) El concepto de voltaje o potencial en electricidad es similar al concepto de altura en la gravedad. Las fuerzas eléctricas conciernen a la interacción de una distribución de carga con otra carga. La energía potencial eléctrica es la energía de la distribución de la carga junto con la de una segunda carga. El potencial eléctrico tiene la misma relación con el campo eléctrico que la que tiene la energía potencial con la fuerza. La descarga de los rayos es una impresionante demostración de que hay energía en los campos eléctricos. Existe una gran diferencia de potencial entre la Tierra y las nubes, o entre nubes distintas, que provoca el rayo.

Energía Potencial Eléctrica El concepto de energía de posición o energía potencial es extremadamente útil. Se sabe que una masa m a una altura h (mucho menor que el radio de la Tierra) sobre la superficie terrestre tiene una energía potencial que se puede representar por EPG = mgh. Esa energía potencial se puede convertir en energía cinética de acuerdo a la conservación de la energía mecánica.

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De manera análoga, un objeto cargado puede tener energía potencial en virtud de su posición en un campo eléctrico.

Existe una relación entre el trabajo y la energía potencial: al levantar un objeto se realiza trabajo sobre él y se incrementa su energía potencial gravitacional.

También se requiere trabajo para desplazar una partícula cargada contra el campo eléctrico de un cuerpo con carga. La energía potencial eléctrica de una partícula cargada aumenta cuando se realiza trabajo sobre ella para moverla contra el campo eléctrico de algún otro objeto cargado.

Al representar un campo eléctrico no uniforme originado por una carga fuente puntual + q. Si dentro del campo originado por esa carga se coloca una carga de prueba positiva + qo, sobre dicha carga actúa, en cada punto donde se sitúe, una fuerza eléctrica cuyo módulo viene dada por la ley de Coulomb.

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Como la fuerza eléctrica no es constante, para obtener una expresión que permita medir la energía potencial eléctrica. En la posición A la carga de prueba + qo está sometida a una fuerza eléctrica e y un agente externo debe aplicar una fuerza del mismo módulo que e pero de sentido opuesto para equilibrarla. Si la carga + qo se aproxima a la carga + q, la fuerza e aumenta por lo que también debe aumentar para lograr el equilibrio de la carga + qo. En consecuencia para mover la carga de prueba + qo con rapidez constante desde la posición A hasta la posición B, un agente externo debe aplicar, en cada instante que considere, una fuerza diferente. Utilizando procedimientos matemáticos se demuestra que el trabajo WAB viene dado por la siguiente ecuación: Este trabajo se almacena en forma de energía de posición o energía potencial eléctrica ∆Epe en el sistema formado por las cargas Q y qo:

Vemos que cuando la distancia dA es muy grande, la energía potencial eléctrica en A es nula y la variación de energía potencial eléctrica entre A y B, es la energía potencial eléctrica EpeB: Así, la energía potencial eléctrica (Epe) del sistema formado por una carga fuente puntual (Q) y una carga de prueba positiva (+ qo) situada a la distancia (d) de Q es una magnitud que se mide por el trabajo que debe realizar un agente externo para desplazar la carga de prueba + qo con rapidez constante desde una distancia infinita hasta la distancia d de Q: El potencial eléctrico (V) en un punto de un campo eléctrico es una magnitud escalar que se mide por el cociente del trabajo W que debe realizar un agente externo para desplazar una carga de prueba + qo con rapidez constante desde el infinito hasta el punto considerado y el valor de dicha carga: es decir la energía potencial eléctrica por unidad de carga.

Cuando se tiene una distribución de cargas fuentes puntuales q1, q2, q3 fijas en el 124

espacio y se quiere determinar el potencial resultante en un punto debido a esta distribución de cargas, se calcula separadamente los potenciales V1,V2, V3 que cada una de las cargas fuentes origina en el punto y se efectúa la suma algebraica de los potenciales obtenidos considerando como positivos los potenciales creados por cargas positivas y como negativos los creados por las cargas negativas. Designando por V el potencial resultante se obtiene: V = V1+ V2 + V3...

La unidad del Sistema Internacional que mide el potencial eléctrico es el Voltio, así llamado en honor del físico italiano Alejandro Volta (1745-1827). El símbolo del voltio es V.

Como el potencial eléctrico se mide en voltios, se le suele llamar voltaje. Se puede hablar de los voltajes en distintas posiciones de un campo eléctrico, haya o no haya cargas en dichas posiciones. Si te frotas un globo en el cabello, el globo adquiere una carga negativa que produce un potencial de, quizá, varios miles de voltios. Aunque el voltaje del globo cargado es elevado, la energía potencial eléctrica es baja debido a que la cantidad de carga es pequeña. Este ejemplo resalta la diferencia entre la energía potencial eléctrica y el potencial eléctrico.

El potencial eléctrico, al igual que el campo eléctrico, sólo es una propiedad de la carga, o cargas que lo produce (Q), y no de la carga de prueba qo DIFERENCIA DE POTENCIAL (∆V = VB – VA) Se ha establecido que si una carga de prueba + q0 está situada en el campo eléctrico de una carga fuente puntual + q0, el trabajo WAB que realiza un agente externo para desplazar la carga de + q0 con rapidez constante desde una distancia dA hasta otra distancia dB con relación a la carga Q viene dado por: dividiendo por q0 se tiene: 125

La ∆V es independiente de la trayectoria seguida por la carga de prueba q0, dependiendo únicamente de la posición inicial y la posición final.

Circuito eléctrico . Conceptos básicos . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1

Conductor eléctrico. Corriente eléctrica. Intensidad de la corriente Resistencia eléctrica. Efectos de la corriente. Generador de corriente. Ley de Ohm. Circuito de corriente continua.

Conductor eléctrico.

Es un cuerpo que , por su estructura , deja que los electrones se muevan por él con gran facilidad . Ej : los metales .

Un aislante se caracteriza por la escasa movilidad de las cargas citadas . Ej : El vidrio . Para caracterizarlos resistividad.

hablaremos

de

conductividad

y

2 Corriente eléctrica . En general , la corriente eléctrica no es más que el movimiento de cargas eléctricas debido a una diferencia de potencial .

126

En los conductores metálicos , es el movimiento ordenado de los electrones entre dos puntos con distinto potencial ( de - a + ) . En algunos semiconductores la corriente se debe al movimiento de cargas positivas y en los electrolitos y gases ionizados al de ambos tipos de cargas .

3

Intensidad de la corriente . Es la cantidad de carga que pasa por la sección de un conductor, en una unidad de tiempo

. I = DQ / Dt

Se mide en Amperios

Una corriente continua que transporta una carga eléctrica de un columbio en un segundo se dice que tiene una intensidad de 1 Amperio . Si la intensidad es constante durante todo el tiempo , la corriente es continua , en caso contrario se llama variable . Si no se produce almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del conductor la corriente es estacionaria . Se mide con un galvanómetro que , calibrado en Amperios , se llama - amperímetro - y en el circuito se coloca en serie con el conductor cuya intensidad se desea medir . 4

Resistencia eléctrica .

Todos los conductores no dejan pasar la corriente eléctrica con igual facilidad . Se llama resistencia eléctrica a la dificultad que presenta un conductor al paso de la corriente . Depende de varios factores : 

Naturaleza del material con el que está hecho el conductor .



Su geometría .

Para conductores rectilíneos de sección uniforme : Resistencia = resistividad x longitud / sección R = r L/S Se mide en ohmios - W - . Las resistencias se pueden asociar en Serie

127

R.equiv. = S R i

Paralelo

1/R.equiv. = S 1/R i

En la práctica , muchas resistencias son aparatos que transforman la energía eléctrica en otra diferente . Ej : lavadoras , máquinilla de afeitar , plancha , hornillos etc... 5

Efectos de la corriente.

El más conocido es el efecto calorífico . De acuerdo con la ley de Joule , la energía calorífica que se desprende en un conductor de resistencia -R- , entre cuyos extremos hay una diferencia de potencial VA-V B , cuando durante un tiempo -t- circula una corriente de intensidad -I- ,

vale : Q = I2 . R . t

( Julios )

Su potencia será la energía producida en una unidad de tiempo P = Q / t = I 2. R

( J/s = watio)

Al pasar las cargas por la resistencia , su energía disminuye y aparece en forma de energía calorífica ; puesto que la energía de la corriente disminuye , para mantenerla es necesario suministrar la energía perdida y de ello se encarga el 6

Generador de corriente .

Es el aparato que establece y mantiene la diferencia de potencial entre dos puntos . Ej : Las pilas eléctricas , las dinamos ...

128

Pueden generar corriente alterna o continua . Se caracterizan por su Fuerza electromotriz - f.e.m.- que es la energía que le comunican a cada unidad de carga que los atraviesa . Energía / Carga --> Julio/Culombio = Voltio Poseen una resistencia interna -ri- en la que se disipa energía . 7

Ley de Ohm.

Para un conductor :

VA-V B = I . Rt

Para un generador :

VA-V B = E - r. I

Para un circuito :

I=E/R+r

Ley de Ohm generalizada :

I = S E / S (R + r)

8

Circuito de corriente continua .

El conjunto formado por un generador de corriente y los conductores y resistencias que unen sus extremos es un circuito cerrado .

129

Símbolos de los componentes de un Circuito .

Sus nombres Generador de corriente continua

Interruptor

Resistencia

Generador de corriente alterna

Nudo

Voltímetro

Bombilla

Amperímetro

Toma de tierra

Condensador

Y su colocación

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Generadores : Asociados en   

serie oposición paralelo

Resistencias en :   

serie paralelo asociación mixta

Aparatos de medida : Amperímetro : En serie con el conductor cuya intensidad se desea medir . Voltímetro : Es un galvanómetro , con una gran resistencia conectada en serie y calibrado en Voltios . En el circuito , se coloca en paralelo con la rama que contiene los puntos entre los que se desea medir la diferencia de potencial .

131

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA ZEMANSKY, MARK W.- CALOR Y TERMODINÁMICA. EDIT. AGUILAR S.A 1979 SEARS, FRANCIS W.- TERMODINÁMICA. EDITORIAL REVERTÉ, S.A. 1969 WILSON, JERRY D.- PHYSICS. EDIT.HEAT. SEGUNDA EDICIÓN, 1983 RESNICK Y HALLIDAY.- FISICA, EDITORIAL CECSA, PARTE I, 1990 CEIT, UTN FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES.- APUNTE FISICA II B, CALOR Y TERMODINÁMICA, 1995

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FERNÁNDEZ AIRES.1980

Y

GALLONI.-

FISICA

ELEMENTAL.

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EDITORIAL

NIGAR.

BUENOS