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Física II

Seminario Huamaní José

Universidad Nacional Tecnológica del Cono Sur de Lima

Cuaderno Física II

-

Elasticidad Oscilaciones Ondas Fluidos Temperatura y calor 1era – 2da Ley de la Termodinámica Entropía Carga y Materia Campo eléctrico – Ley de Gauss

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

0

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ELASTICIDAD

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

1

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I) ELASTICIDAD 1.1) Introducción

Es la disposición de un material para recobrar sus dimensiones originales y su forma cuando cesan los esfuerzos que lo deformaron.

 Esfuerzo Elástico La experiencia muestra que la deformación no depende de la Fuerza (F) aplicada al cuerpo sino de la relación entre ésta fuerza F y el área S de la sección transversal en la que está aplicada la fuerza.

 Deformación Cuando las fuerzas causantes de la deformación se aplican normalmente sobre el área del sólido, se produce lo que se llama una deformación por tracción o compresión.

 Módulos elásticos  Y  módulo de Young   s  módulo de corte  B  módulo Volumétrico   Régimen elástico 1.2) Esfuerzo y deformación

Experimentalmente:

Li  L L

A

 F

A: Sección transversal

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 -F

 F L

 -F

L

 F

Se observa:



 Los L van a depender de las F y A



Los L dependen de L.

siempre en régimen elástico

Se define:

a) Esfuerzo (s): (Fuerza por unidad de área)

Esfuerzo  s 

F A

b) Deformación (e): (Deformación unitaria)

Deformación  e 

L L

Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las deformaciones.

Módulo elástico =

 1  E  M

D

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Esfuerzo Deformación

s  Me  M 

s e 3

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Actividad # 1 

¿Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica, plástica y de ruptura?

RELACION ESFUERZO-DEFORMACION DEL ACERO Sea una barra de acero al bajo carbono (A-514) sujeta a tensión con sección circular.

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

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¿Podría describir curvas s-e especiales? Curvas que representan diferentes tipos de Acero sujeto a tensión donde se puede apreciar tres fases: - Elástica - Plástica - Ruptura



Acero A -514



Acero A -572



Acero A -36

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1.3) Módulos elásticos

a) Modulo de Young (Y) El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

 F:fuerza  S :área    ΔL:variación de longitud  L0 :longitud inicial Y

F/S N/m2, Pa L / L0

b) Modulo de corte (S) Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte).

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Seminario Huamaní José A

 F

h f

 F

h

tg 

x

x h



f

Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una pequeña distancia x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza. La resistencia al desplazamiento x se describirá en base al modelo S:

S



S

Esfuerzo de corte F/A  Deformación de corte x / h

Fh Ax

c) Modulo volumétrico (B) Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas. Si el cuerpo se somete a iguales esfuerzos de tracción o compresión por todos los lados, entonces el cuerpo sufrirá deformación volumétrica. En este caso se define el módulo de compresiblidad.Tener presente que en una compresión el V es negativo, y en una tracción V es positivo.

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Seminario Huamaní José F

A

F

F

F

Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico está definido por:

B

Si esta presión p 

F/A F/A  V / V V / V

F se escribe como una variación de presión p : A B

p V / V

En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.

Compresión:

p > 0  V < 0 B > 0.

Dilatación o expansión:

p < 0  V > 0 B > 0.

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Actividad #2 

¿Existirán otros módulos elásticos? 

Módulo Elástico : Deformación por cizalladura Esta deformación se produce cuando se aplican fuerzas opuestas a dos caras contrarias del cuerpo, produciéndose un desplazamiento de planos paralelos en la dirección de la fuerza.



Módulo Elástico : Deformación lateral Cuando la muestra se estira, se observa que lateralmente sufre una contracción. Para medirla se usa el coeficiente de Poisson 

μ



Contracción lateral relativa Alargamiento longitudinal relativo

Módulo Elástico : Deformación por torsión Es una deformación por cizallamiento puro, pero no homogéneo. Se produce cuando se aplica un par de fuerzas un par de fuerzas (F en la parte superior de la barra y la sección interior de la barra está fija. Se demuestra que el torque aplicado es igual a:

τ

π η R4 θ 2.L0

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Ejercicios:

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Elasticidad – Separata # 1

P1)

barra L

2w

La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso = w, área transversal = A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformación de la barra considerando la deformación por peso propio.

SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso propio de la

barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x.

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por:

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 w  x  dx w( x)  dx  L  FL w  Y  d (L )    xdx AL AY AY LAY Para calcular la deformación total integramos para toda la barra:

L  

L

0

w wL xdx  L  L1  LAY 2 AY

Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la pesa 2w

L2 

(2 w) L 2 wL  AY AY

Con lo que la deformación total:

L  L1  L2 

wL 2wL  2 AY AY

L 

5wL 2 AY

P2)

w

Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos. Determine: a) La deformación producida en la barra b) En donde se produce el esfuerzo máximo

SOLUCION:

a)

dFcp  dF   dm w2 r  M  dr  L

dm  

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dF  r  

Mw2 rdr L

Mw2 2  dF  r   2L r  "dFcp "

 Mw2 2  r )dr  ( 2 L FL Mw2 2   Y Y   dL  r dr AL AdL 2 LAY L

 L   dL   0

L

0

Mw2 2 Mw2 L2 r dr  2 LAY 6 AY

Mw2 2 r F Mw2 2 , b) De 2 L s (r )    r A A 2 LA Por lo tanto, en r = L,

Mw2 L s ( L)  2A P3) Una barra cilíndrica homogénea de peso Q, longitud L 0, sección S, que cuelga de un extremo tiene módulo de Young E y coeficiente Poisson . Halle:

L0

s

  

Datos: Fuerza por peso = Q Longitud : L0 Área de la sección : S

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Física II 

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Módulo de Young = E

a) El esfuerzo en cualquier punto de la barra ()

 FS

Q S

b) La deformación longitudinal unitaria ()

ε

ΔL L0

Q.L 0 

E.S

L0



Q E.S

c) La variación de la sección recta (S)

S  (L).

S L0

Q

E

 V   V0 

d) El cambio relativo del volumen 

V  (L). .r 2 V0   .r 2 .L0 

V V0



Q E.S

e) La energía potencial de deformación o energía potencial elástica (U)

1

E p  0.5k .d 2 = .E.( L0 )2 2

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P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm 2 se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos. a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla? c) ¿Qué deformación sufre cada varilla? Módulo de Young: Cobre: 11 x 1010 Pa Acero: 20 x 1010 Pa SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama:

F

A1

L1

L

A2

F

a) Determinamos L de la condición L1  L2  L . Mostramos DCL de cada varilla en la dirección de interés y aplicamos la condición

F

L1 

L1

F

F

L

F

FL1 FL L AY  L2  L  L 1 2 2 AY A2Y2 AY 1 1 1 1







4 20  1010 L1 A2Y2  1, 40  1  10   1,27 Calculando, L  AY 2  104 11  1010 1 1



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



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L  1, 27

b) Calculando los esfuerzos

F F 6,00  104 s   s1    3  108  4 A A1 2,00  10

F 6,00  10 4 8 s2    6,00  10 A2 1,00  104

s1  3  108  s2  6  108 c) Calculando las deformaciones

Y

s s s sL    L  e L L Y L L 8 s1L1  3  10   1,40  L1    3,81  103 10 Y1 11  10 8 s2 L2  6  10   1, 27  L2    3,81  103 10 Y2 20  10

L1  L2  3,81  103 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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P8)

 m

Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un ángulo  en el vértice. a) Calcule la deformación del alambre b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre en dos veces el peso de la masa (Y acero = 21 x 10 10 Pa). SOLUCION:

DCL (m): T  m w Datos: m=1, l=2, d==10-4, Yacero = 21x 1010. Del equilibrio en la vertical,

T cos   mg  T  mg sec  ... Y de la dinámica circular,

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vt2 Fcp  Tsen  macp  m  R l ' sen , l ' l  l ... R De α y β,

vt2 mg tan   m ... l ' sen

a) Del módulo de Young

Y

FL Y  LA

Tl 

 d  l        2 

2

l  b) T (periodo) = ?, con la condición

 l 

4Tl  T  mg sec  Y 2d 2

4lmg sec  Y 2d 2

T  2mg   

T ( periodo) 

 ( T: tensión) 3

2 w

La frecuencia angular la obtenemos de :

Fcp  Tsen  2 m g sen  m l ' sen w2 w

2g  l ' l  l w l'

2g l  l

Con lo que el T queda:

T  2

l  l 2g

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usando l  0,0242  T  0,6

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P10)

d/2

D/2

F

F L

Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F, determinar la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza.

SOLUCION: Y b/2 d/2

A(x) D/2 L

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d/2 0

y

F

X

Ax

x L

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De

L 

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FL Fdx d  Dd  dL  , y  x 2 YA Y y 2 2L 

 

dL 





Fdx

 D  d  x Y   d  2  L0 

2

 2F  L dx 2 FL   L    0 2 Y   Y  dD  D  d  x  d      L   4 442 4  1 4 43  I 

I ?  D  d  x  L 

u  d   D  d du    dx  L 

I 

 I*  

 L 

L    Dd 



D

d

du L 2  u dD

I*

1 D  1 1    u d  d D

2FL0 Y  dD



L 2F  L Y  dD

P11) Un cable de acero de área transversal A = 3 cm 2 tiene una densidad  = 2,4 kg/m. Si se cuelga 300 m de cable sobre un acantilado vertical ¿Cuánto se alargará el cable por su propio peso? Eacero (módulo de Young) = 2 x 1011 Pa. Datos:   

S = 0.0003m2 Densidad lineal = 2.4kg/m Eacero

 2 x1011 Pa

SOLUCION:

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

masa longitud

 2.4kg / m

masa  720 kg

Fp  m.g  7063N Eacero

 2 x1011 Pa

 E acero 

F/S ΔL/L0

Eacero  2 x10 Pa  11

7063.2/0.0003 L /300

 L  0.0353m

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P12)

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Un alambre de 2,0 m de largo y área de sección transversal de 0,10 cm 2 soporta una carga de 102 kg. El alambre se alarga 0,22 cm. Encuentre el esfuerzo de tensión, el esfuerzo de deformación y el módulo de Young para el alambre.

SOLUCION: Datos:    

S = 0.00001m2 Longitud del cable : 2m Masa de la carga 102Kg Variación de la longitud del cable: 0.0022m

ΔL  0.0022m

S = 0.00001m2

E

Esfuerzo por tensión ΔL/L0

E

F/S ΔL/L 0

;pero Fp  1000,6N

a) Esfuerzo por tensión: F/S = 10006x104 Pa

b) Esfuerzo de deformación: ΔL/L 0 = 1.1x10-3 c) Módulo de Young  E 

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F/S ΔL/L0

7  9096.36 x10 Pa

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P13) Una esfera sólida de plomo de 0,50 m3 de volumen se sumerge en el océano a una profundidad donde la presión es igual a 2,0 x 10 7 N/m2. El módulo volumétrico del plomo es igual a 7,7 x 109 N/m2 ¿Cuál es el cambio en e l volumen de la esfera? Datos:  V = 0.5m3  Presión: 2x107 N/m2  Bplomo =7.7x109 N/m2  Cambio del volumen de la esfera ¿??

B

Variación de presiòn Deformacion unit.de volumen



Δp ΔV V0

2x107 9 7.7x10ΔV  1.3x10 m  ΔV 0.5

3

 ΔV  1.3x103 m 3

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3

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P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108, el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para: a) Cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) Hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor. SOLUCION:

a)

Determinación de la fuerza de corte, F

d

De la ecuación del esfuerzo de corte,

s

F 4F s d   F  F 2 A d 4 2





4  108   1  102 

2

4

F  31, 4 kN Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno. b)

Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,

w

d F

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s

F F   F  s d w A   d w

 F   4  108    1  102   0,5  10 2 

 F  62,8 kN

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Movimiento Armónico Simple

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2) Movimiento Armónico Simple Existen varias formas de expresar este movimiento: 

  

Es el movimiento que se produce debido a una fuerza elástica en ausencia de todo rozamiento. Cuando la aceleración es proporcional y opuesta al desplazamiento. La frecuencia de un MAS es independiente de la amplitud del movimiento. Cuando el MAS se puede expresar en función de senos y cosenos.

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica. Movimiento  Armónico: sen, cos Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas. Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

2.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.

i) Descripción Cinemática del M.A.S.    r , v, a :

Fenomenología del MAS =0

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Seminario Huamaní José PE

x-A

0

 x+A

x

Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x  0), la oscilación esta confinada para –A  x  A,

x  t   A sen  wt   

Donde, w: Frecuencia de oscilación natural del sistema. w = wk,m A y : Dependen de las condiciones iniciales del sistema. c.i. :x (0)  v (0)

Para la velocidad: v 

dx  A cos  t    dt v  t   Aw cos  wt   

Para la aceleración:

a

dv   Aw 2 sen  wt    dt a  t    Aw2 sen  wt   

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Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU). La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.

ii) Descripción Dinámica del M.A.S. La fuerza que caracteriza al M.A.S. es una RESTAURADORA posición, esto es:

que depende de la

F ( x)  cx , c: depende del sistema

F(x)

 -A

0

x

x A

Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS. F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR  ma

FR  F = -k x  m x m x +kx  0 x +

k x 0 m

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Física II & x&+ w2x  0,

Seminario Huamaní José k  w2 m

→ x  t   A sen  wt   

W: frecuencia angular  T ( periodo) 

 w

k m

2 1   ( frecuencia lineal )     2 w T

A,: dependen de las c.i. X: Posición A: Amplitud : Desfasaje 2.2) Casos especiales de M.A.S i)

Sistema m-k

PE m k

 =0

1)

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PE

2)

k d m PE’

PE PE’ k

o m d

o’ 

3)

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Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w 2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de O s en PE  PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m. Las Ec. del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).

ii)

Sistema l–g

O

O g t g



l wt PE



r w

n

PE : describe la posición

wt  w sen FRes  wt  -mg sen : pequeño sen  F  -mg, FRes  - cx FR,t  mat &  mg   m l&

& g   0  & l

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w2 

g l

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 (t)  m senwt + 

;

m  A, w 

g l

  

k  .  : desfasaje m

Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s  l,

s

 t   sm sen  wt   

; sm  As  l m , w 

g l

iii) Péndulo Físico Cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal, bajo la acción de la gravedad.

Es un CR pendular,

CR 0 0

r r C



PE PE

r w

r w produce un  restaurador que debe llevar al CR a la PE,

  - r w sen, w  mg

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: pequeño   = - r w   Sen   & O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),  rw  I&

dmg  dmg 2   0 , w  I  I 

&   &

 t  m sen wt + 

w

dmg 2 I T   T  2 I w dmg

iv) Péndulo de Torsión Cuando un cuerpo de masa m está suspendido de su centro de masa (C) por un alambre el cual se tuerce un ángulo  pequeño, aplicando un torque ( ) proporcional al

ángulo.

A 0 P

0  P

PE

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PE

33

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Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a  (para pequeños s) de tal forma que:

restaurador    - k  k: constante de torsión (de la varilla) Analogía: k  k (resorte) FRes = - kx

   Re s  k  ext ,Re s    I  O: punto fijo. &    Re s   k  I& & k   0 ; I  Idisco 0 : punto fijo  &  var illa , I

(t)  m senwt + 

w

k I , T  2 I k

2.3) Energía en el MAS

i) Energía Cinética, Ek La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

m : Ek 

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1 m v2 2

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Si x(t)  A sen wt +  v(t)  x&(t)  Aw coswt + 

Ek 

1 mA2 w2 cos 2  wt    2

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

E p ,el 

1 2 kx ; x : posición  deformación , 2

E p ,el 

iii)

0  PE

1 2 2 kA sen  wt    2

Energía Mecánica, EM El Principio de conservación de la energía mecánica afirma que: La energía mecánica total permanece constante durante la oscilación. Em = Ec + Ep = cte EM = ½ K x2 + ½ m v

EM  Ek + Ep  cte

2

 sistemas MAS

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35

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EM 

Em 

1 2 kA 2

1 1 mA2 w2 cos 2  wt     kA2 sen 2  wt    mw2 = k 2 2

 En particular sistema m–k

Gráficos: 1) Ek (Energía cinética) Ek

1 2 kA 2

0

T

1 2 kA 2

-A

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t

Ek

0

+A

x

36

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ii) Ep (Energía potencial elástica)

iii) Em (Energía mecánica)

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37

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Observaciones:

En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la E M deberá considerarse, EM  Ek + Ep,el +Ep,g  PE EM  Ek + Ep,el

 PE’

2.4) Oscilaciones amortiguadas

Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de fricción f  a + bv + cv2 + …

0 x

 f (v)

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38

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Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley, & FR   {kx  bv {  mx& resorte

medio

& x&

k b x  x& 0 m m

 MAA

x& w2 x  0  MAS Comparaciones:  & k m

m – k : w

 l

l – g : w

PF : w 

mgd I

PT : w 

k I

1) Caso de interés: wb < wr

x  t   Ae



b t 2m

cos  wt   

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Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

39

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A  A(0)  amplitud inicial

k  b w   m  2m

2

: Frecuencia de oscilación

La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.

wr 

k m

 w del resorte,

wb 

b  “w” del medio 2m

2) Caso cuando wb  wr, Movimiento críticamente amortiguado,

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40

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3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,

Actividad # 3 El M.A.S. como proyección del M.C.U. sobre un eje coordenado :

El Movimiento Armónico Simple puede entenderse como la proyección sobre un eje coordenado (en este caso el eje “y”) de un Movimiento Circular Uniforme. Suponemos que un móvil se desplaza con Movimiento Circular Uniforme de período “T”, frecuencia “f”, velocidad angular “w”, y velocidad tangencial “V”. Tiene además aceleración centrípeta “aC”. Todas estas magnitudes son constantes en el M.C.U.

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41

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Si proyectamos en cada instante el móvil en M.C.U. sobre el eje “y” obtenemos otro móvil que se mueve con Movimiento Armónico Simple. De manera que proyectando la posición lineal “S” sobre el eje “y” llegamos a la elongación “y”. Proyectando la velocidad tangencial del M.C.U. sobre el mismo eje se obtiene la velocidad del M.A.S. y haciendo lo propio con la aceleración centrípeta se llega a la aceleración del M.A.S. Con ello se obtienen las tres ecuaciones horarias del M.A.S.

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42

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

 t

Sen 

v(t )

Cos 

V



  i t  ti

y (t ) R

    i  t 1 4 2 43

; R  A  y (t )  A.Sen(t ) ………. (1)

;V   A  v (t )  V .Cos (t )   ACos (t ) ….. (2)

2 Como aω c .R

Sen 

a (t ) ac

Sii  0    t

2 a ω c .A

 a (t )  ac .Sen( )  a (t )   2 . A.Sen(t ) … (3)

Signo “–” debido a que el vector a(t) tiene sentido opuesto al eje de posiciones y. Estas tres funciones [(1), (2), (3)] son las ecuaciones horarias del M.A.S. y como vemos son funciones sinusoidales del tiempo. A continuación se grafican las mismas.

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43

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La elongación “ y ” Varía según la función seno del ángulo “  ”, ángulo que recibe el nombre de “fase del movimiento”. Dicho ángulo de fase aparece en grados sexagesimales para mayor simplicidad en el análisis, pudiendo también expresarse en radianes. Los valores de “y” oscilan entre “+A” y “-A”.

La velocidad “ V(t) ” Varía según la función coseno de “  ”, oscilando sus valores entre :

“+wA” y “-wA”.

La aceleración “ a(t) ” Varía según la función “-seno”, que equivale a la función seno multiplicada por

(-1), y por lo tanto su gráfica corresponde a la de la

función seno rebatida con respecto al eje “x”. Se dice que esta gráfica está en “contrafase” con respecto a la función seno (en este caso a la “y(t)”). Sus valores oscilan entre “w2.A” y “-w2.A”.

Ángulo de fase Si en lugar de utilizar la función Seno para deducir la ecuación horaria hubiéramos utilizado la función coseno, la ecuación obtenida tendría la misma forma pero estaría desfasada 900 respecto de la anterior:

y (t )  ACos (t   ) 2

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44

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Ejercicios: Oscilaciones – Separata # 2

P1) Considere un oscilador amortiguado. Suponga que la masa es de 375 g. la constante de resorte igual a 100 N/m y b = 0,1 kg/s. a) Establezca la ED del MAA y soluciónelo b) ¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad de su valor inicial?

 m  0.375kg   k  100N/m  b  0.1kg/s 



d 2x dt

2

b dx  k    .   0 m  dt  m

 x. 

a) 

d 2x dt 2

 dx z. t (z=constante)   0 Proponemos como solución x  e dt  

 x.  267   0.27 

 z 2e z.t  267.e z.t  0.27 z.e z.t  0 ( Pero : e z .t  0 ) Entonces : z 2  267  0.27 z  0 Buscamos las raíces Z1 y Z2 de las cuales podemos obtener 2 casos: 

Si:Z  a  bi  x  e at ( A cos bt  Bsenbt ) por condiciones Iniciales B=0



Si son raíces reales  x  ( Ae z1t  Be z2t )

Para z 2  267  0.27 z  0 ; salen raíces imaginarias z= -0.135  16.35i

 x  t   Ae 0.135t cos  16.35t    ; por

cond. iniciales

 0

 x  t   Ae 0.135t cos  16.35t b)

¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad de su valor inicial?

x  t   Ae 0.135t cos  16.35t b 0.1

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k 100

m 0.375

45

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Wb 

b 2m



0.1 2(0.375)

 0.13 y W0 

k m



100 0.375

16.3

Wb  W0  M.armónico amortiguado débil

Solución X(t)=A/2 Reemplazando en:

x  t   Ae 0.135t cos  16.35t   

Considerando Φ=0 por las condiciones iniciales Entonces:

A / 2  Ae 0.135t cos  16.35t Reemplazar los valores:

= 16.35rad/s

1 / 2  e 0.13t cos  16.35t Resolviendo

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46

Física II

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P4) K + X= 0 m

-

En el sistema mostrado en la figura Obtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t. Si: X = A cos (w0 t + ) g: aceleración de la gravedad

SOLUCION:

PE 0 d PE’ 0’

x

x’ X, X’

En PE  : mg  kd Desde 0: x  d  x '

FR  mg  kx  mg  k  d  x ' & mx& &'  mg  kd  kx  0  kx '   kx '  mx&

& x&'

k x'  0 m

Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara M.A.S. de frecuencia w 

k m

Ahora, debido a que la fuerza resultante es FR  kx ' , cuando se escriba la EM desde 0’ solo se Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

47

Física II

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Considerará Epe , ello se deduce debido a que: Como la FR  kx ' , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica por lo tanto:

EM  EK  E pe

P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene  = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,

a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil? b) Determinar el valor  para el movimiento amortiguado débil. c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m. SOLUCION:

 = 0, 11 kg/s (=b) MAA k = 180 N/m m= 0, 31 kg Oscilador armónico amortiguado W b < w 0  wk Oscilador críticamente amortiguado W b  w0 Oscilador sobreamortiguado W b > w0

 x  t   Ae



b t 2m

k  b  cos   t    en donde    m  2m

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2

48

Física II a)  wb 

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b 2m b 0,11  2m 2  0,31

 wb  w 

b 0,11 k 180    24,1  0,18 ;  wk  w0  2m 2  0,31 m 0,31

 wb  w 

Como: wb < w0  wk : Oscilador Armónico Amortiguado

b)  wb  w0 

b k  ;b  ? 2m m  b    2 km  2 180  0,31  2 55,8 15

c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m.

x  t   Ae



b t 2m

cos  wt  

x(0) = 0,5 x  t   0,5 e



0,11 t 20,31

cos



581  0, 03 t



X A

e



b t 2m

t

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49

Física II

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P6)

k R M

En la figura mostrada halle la frecuencia angular w 0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M masa del disco, R  radio del disco y k  constante del resorte. SOLUCIÓN:

t M k 0

FR

P 0

o’

x pequeño  MAS , w0 = ? x = s = R

P’ // CM :  = I  3 MR 2 2

6 4 47 4 48  1  & 3 & k  R  R     kx  R   MR 2  MR 2 &  MR 2& 2 2   & 2k   0  w  2k  & 0 3M 3M

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50

Física II P9)

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Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia de 0,450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2,20 kg y el pivote se localiza a 0,350 m del centro de masa, determine el momento de inercia del péndulo.

SOLUCIÓN:

 m  2.2kg   f  0.45hz  d  0.35m 

w  2 . f  w  2 .(0.45)hz  2.82hz

Pero w 

I 

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m.g.d I

I

2.2(9.81)(0.35) 2.822

m.g .d w2

 0.95 N .m

51

Física II

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P10)

5,00 m

1,00 m

2,00 kg

Una cuerda uniforme tiene una masa de 0,300 kg y un longitud de 6,00 m. Calcule la velocidad de un pulso en esta cuerda. La tensión F en la cuerda es igual al peso de la masa suspendida de 2kg. SOLUCIÓN:

F  m.g  (2kg ).(9.81m / s 2 )  19.62N La masa por unidad de longitud es:



m



l

0.3kg 6m

 0.05Kg / m

Por lo tanto la velocidad de onda:

v

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F



 19.62

0.05

 19.81m / s

52

Física II

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P11) Una onda senoidal que viaja en la dirección x positiva tiene una amplitud de 15,0 cm, una longitud de onda de 40,0 cm y frecuencia de 8,00 Hz. El desplazamiento vertical del medio en t = 0 y x = 0 también es de 15,0 cm, como se ilustra en la figura. Encuentre: -

El número de onda angular

-

El periodo

= 0.125s

-

La frecuencia angular

= 50.3rad/s

-

La velocidad de la onda.

= 3.2m/s

SOLUCIÓN:

k

T

2

 1 f





2 rad 40cm

1 8s 1

 0.157 rad / cm

 0.125s

w  2 f  2 .8s 1  50.3 rad / s

v  f .  (8s 1 )(40cm)  320cm / s  3.2 m / s

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53

Física II

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P14) Un tren que se mueve con una velocidad de 40 m/s suena su silbato, el cual tiene una frecuencia de 500 Hz. Determine las frecuencias escuchadas por un observador estacionario a medida que el tren se aproxima a él y cuando pasa y se aleja del observador.

a) Frecuencia cuando el tren se aproxima: Utilizando el efecto Doppler:

 Vemisor  40m / s  V  sonido  340m / s 

 Vobservador  0m / s  f  500hz   f '1  ?

f '1 

Vsonido -Vobservador Vsonido -Vemisor

.f 

340  0 340  40

.500hz  566.7 hz

b) Frecuencia cuando el tren pasa al observador:

 Vemisor  40m / s  V  sonido  340 m / s 

 Vobservador  0m / s  f  500hz   f '1  ?

f '2 

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Vsonido -Vobservador Vsonido -Vemisor

.f 

340  0 340  40

.500hz  447.4hz

54

Física II

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P15) a) ¿En qué consiste el efecto Doppler? Es el aparente cambio de frecuencia de una onda producido por el movimiento relativo de la fuente respecto a su observador. Doppler propuso este efecto en 1842 en su tratado Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels (Sobre el color de la luz en estrellas binarias y otros astros). b) ¿Qué relación existe entre el efecto Doppler y la teoría de la expansión del universo? Entre las muchas aplicaciones del efecto Doppler mencionamos el papel destacado que jugó en la formulación en 1929 de la teoría del big bang y la expansión del Universo. La luz procedente otras galaxias que se recibe en observatorios astronómicos llega con una frecuencia menor (longitud de onda mayor) que la de emisión (se dice que está desplazada hacia el rojo). El astrónomo estadounidense Hubble (1889-1953) planteó en 1929 que este hecho debía deberse al efecto Doppler y lo interpretó como una evidencia de que dichas galaxias se están alejando de nosotros. Aplicando la ley del efecto Doppler comprobó que la velocidad de alejamiento de las galaxias es mayor cuanto más distantes estén de nosotros, lo que resulta coherente con la concepción de un Universo en expansión. c) Si una ambulancia se acerca a usted que está en reposo, a 50 km/h y

emite una frecuencia de 440 Hz. ¿Cuál es la frecuencia que usted percibe?

f' 

Vsonido -Vobservador Vsonido -Vemisor

.f 

340  0 340  13.88

.440hz

 Vemisor  13.88m / s  V  sonido  340m / s 

 Vobservador  0m / s  f  440hz   f '1  ?

d) Escribir la relación que usa:

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55

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Vsonido -Vobservador

f' 

Vsonido -Vemisor

.f

P16) Escriba las ecuaciones diferenciales para el M.A.S. y las soluciones finales para cada uno de los casos.

d 2x dt

2

 mgd z. t (z=constante)   0 Proponemos como solución x  e  I 

 x. 

 mgd   I 

 z 2e z.t  e z.t . 

Entonces : z 2 

mgd I

 0 ( Pero : e z.t  0 )

 0  z2  

mgd I

Buscamos las raíces Z1 y Z2 : 



Si:Z1  0    

mgd  i  x  e0.t ( B cos t  Asent ) por condiciones Iniciales B=0 I  

 x  t   A.Sen  t   A y  dependen de las condiciones iniciales entonces:

V  t   A..Cos  t    a  t    A. 2 .Sen  t   

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Ecuación de la velocidad en un M.A.S

Ecuación de la aceleración en un M.A.S

56

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P32) Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia  = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es s = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa? s B k P

SOLUCIÓN: a m Fres M 0

2  M  m  : a1MAX , MAS   A  4 4 2 4 43

M : aM 

FRES , MAX

 M  m

 FRES , MAX   M  m   2 A

FRES,MAX   S mg F FR FRES,MAX  f S  aM , MAX  R   M M M M

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57

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DCL (M):

a

fS,M  s mg

FRES FR  FRES -s mg

De las ecuaciones anteriores,

  2 AMAX 

FRES   S mg kAMAX   S mg 2   k =ω( M+m) M M

  2 AMAX M   2  M  m  AMAX   s mg

  s m g   2 m AMAX  AMAX 

s g 0,6 x10 6  2  AMAX  2   2 x1,5 9 2

P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle: a) b) c) d)

El desplazamiento en función del tiempo. La velocidad cuando x = +A/2. La aceleración cuando x = + A/2. ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = /15 s?

SOLUCIÓN: k  200  k 200   10  w m2  m 2  x  0   0, 05 m  v  0   0

c.i. 

a) x(t) = A sen (wt + ) v(t) = Aw cos (wt + ) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

x(0) = A sen (w(0) + )

= Asen()=+0,05

v(0) = Aw cos (w(0) + ) = Aw cos ()= 0 58

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De la última Ec  = /2 {la v (-) para t  0}  A=0,05  x(t) = 0,05 sen (10t + /2)  v(t) = 0,5 cos (10t + /2)  X (0)  0.05Sen(900 )  0.05 derecha del 0

si    / 2  

0  V(0)  0.5cos(90 )  0

 X (0)  0.05Sen(2700 )  0.05m izq.del 0

si   3 / 2  

0  V(0)  0.5cos(270 )  0

b) Recordando la relación v-x

 x  v      A  Aw 

2

2

2

2

 0,5 A  v      A   Aw  

1 1

2

v 3 3 3   v v m  x   4 4 4  0, 5

c) Recordando la relación a-x

a   w2 x Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

59

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 0, 05   a  2,5 m  x   2 

a  102 

d) FR= FRES  -kx= -k A sen (wt + )= -(200)(0,05) sen (10t + /2)=? t

 2 2     F (+)! veamos T  15 w w 5

FR (t=/15) = -10 sen (10{/15} + /2)  (-10) (-0, 5) = +5

P52)

Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte está suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente. a) ¿Con que amplitud oscila la partícula? b) ¿Cuál es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).

SOLUCIÓN:

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60

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t =0

X

g k v(0) m v(0)

x(0)=0

v(0)

Nos proporcionan directamente la w  2 , las condiciones iniciales son, t  0 : x(0)  0  v(0)  1,5 Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),

x  t   A sen  wt   

v  t   Aw cos  wt    a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,

A

 x  0 

2

 v  0     w

2

 1,5 Reemplazando datos, A   0     2 2

2

 0,75

b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),

x  t   0,75 sen  2t   

v  t   1,5 cos  2t    Para t=0 y vecindades,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

61

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x  0   0, 75 sen  2  0      0, 75 sen   

v  0   1,5 cos  2  0      1,5 cos   

Para satisfacer x(0)=0,   0 ,  , el valor correcto es    , con lo cual las ecuaciones quedan,

x  t   0,75 sen  2t     0,75 sen  2t

v  t   1,5 cos  2t     1,5 cos  2t

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Física II P33)

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Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo  y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema. k r 

SOLUCION:

P x P 0

O T

x X

kx

O’

 w

P’ P

) De la dinamica rotacional,

 O : kxr  Tr   I O Por la “rodadura”: x  r mr 2 & kr   Tr   & ...1  W  mg 2 2

De la dinámica traslacional, FR  T  kx  W  m  & x& & Usando nuevamente la rodadura, T  kr  W  mr&

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& xr : Tr  kr 2  Wr  mr 2& ...2 De 1 y 2, 2kr  W 

3 & mr& ...3 2

& & 2kr& Haciendo,   2kr  W  &  

3 mr 2

&  & 4k 4kg &    0 w   & 3m 3W  2k r

 ) 0  0 // 0  3 2 & mr  &  2 

 0' :  kx   2r   W  r    

….1

De la rodadura: x  r

….2

3 2 & 2 2)  1): 2kr   W r   mr & 2

….3

& 4k &    3 m r  & & 2kr& &  &  0 Sea   2kr  W  & 2 3m 2k r w

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4kg 3W

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4) FLUIDOS Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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4) FLUIDOS Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de ésta. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. Manteniendo constante la presión a baja temperatura los cuerpos se presentan en forma sólida y encuéntrense entrelazados formando generalmente estructuras cristalinas. Esto confiere al cuerpo la capacidad de soportar fuerzas sin deformación aparente. Son, por tanto, agregados generalmente rígidos, incompresibles (que no pueden ser comprimidos), duros y resistentes. Poseen volumen constante y no se difunden, ya que no pueden desplazarse. Estudiaremos algunas propiedades básicas de los sistemas asumidos continuos. Para lo cual primero los caracterizamos y a continuación definimos las CF necesarias para describirlos adecuadamente.

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4.1) Características i) No resisten la acción de las fuerzas tangenciales o de corte. Son fácilmente deformados por estas fuerzas.

ii) Adoptan la forma del recipiente que los contiene. Poseen poca cohesión intermolecular. Debido a su separación molecular y a la facultad de cambiar continuamente la posición relativa de sus moléculas, los fluidos no poseen una forma definida, por tanto no se puede calcular su volumen o densidad a simple vista; para esto se introduce el fluido en un recipiente en el cual toma su forma y así podemos calcular su volumen y densidad. Esto facilita su estudio.

iii) Son capaces de transmitir presiones. Las ondas de presión se propagan a través de ellos.

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iv) Son relativamente compresibles. Compresibilidad: Se le llama compresibilidad a la propiedad de los fluidos de disminuir su volumen a medida que son sometidos a presión constante. Difiere de la condensación, ya que ésta última es la facultad que poseen los cuerpos en disminuir su volumen pasando a temperaturas más bajas. A diferencia de los sólidos, los fluidos se deforman más fácilmente, aunque los líquidos son bastante difíciles de comprimir en comparación con los gases. Por esto último, se les conoce a los gases como fluidos elásticos; poseen además la propiedad de tener, todos, el mismo coeficiente de compresibilidad y dilatación.

v) Poseen viscosidad. La cual influye inversamente a su velocidad. Viscosidad: Se le conoce como viscosidad a la resistencia de los fluidos a fuerzas tangenciales que busquen su deformación. Esta resistencia o fuerza retardadora se ve motivada por el roce causado ya sea por el deslizamiento, otro fluido en contacto con él (las corrientes de aire sobre el mar). Todos los fluidos (incluyendo los gases) son viscosos, pero la viscosidad varía de acuerdo a la naturaleza de los fluidos y para un mismo fluido varía de acuerdo a su temperatura (cuando se eleva la temperatura para un gas la viscosidad aumenta, para un líquido la viscosidad disminuye). El coeficiente de viscosidad de un líquido puede medirse comparando su velocidad de vertido con la de otro cuerpo (el agua) mediante un viscosímetro.

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La viscosidad es un parámetro importante en los aceites lubricantes y según la aplicación debe tener la viscosidad adecuada. La viscosidad de un producto es afectada por la temperatura, a mayor temperatura menor viscosidad Por ejemplo la lubricación de una zona muy caliente de una máquina, necesita un aceite de alta viscosidad, dado que la temperatura al bajar la viscosidad no deja de lubricar. En cambio utilizando un aceite de baja viscosidad, con el aumento de la temperatura se puede llegar al rompimiento de la película de aceite y la consecuente soldadura de las partes que rozan. En cambio para lubricar una máquina muy fría, se debe utilizar un aceite de baja viscosidad. Por la misma razón si se usa uno de alta viscosidad, con el frío aumenta y puede llegar a generar mucho trabajo para efectuar el movimiento.

Aplicaciones tecnológicas de la viscosidad.  Las aplicaciones en ingeniería civil del laboratorio “Viscosidad de una solución. La finalidad del ensayo de viscosidad es determinar el estado de fluidez de los asfaltos a las temperaturas

que

se

emplean

durante

su

aplicación.

La viscosidad se mide en el ensayo de viscosidad Saybolt - Furol o en el ensayo de viscosidad cinemática. La viscosidad de un cemento asfáltico a las temperaturas usadas en el mezclado (normalmente 135 'C) se mide con viscosímetros capilares de flujo inverso o viscosímetros Saybolt; la viscosidad absoluta, a las temperaturas altas en servicio (60 'C), generalmente se mide con viscosímetros capilares de vidrio al vacío.

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 En la industria de los lubricantes, para analizar el comportamiento de una máquina bien sea de combustion interna o electrica se hacen constantes analisis de viscosidad a los lubricantes aplicados a las mismas.

 Los sistemas hidroneumaticos los cuales utilizan líquidos con propiedades viscosas bastantes particulares referidas al punto de elasticidad.

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4.2) Presión, p Es la CFE que describe la intensidad de la fuerza normal actuando por unidad de área. i) p media, pm Es la fuerza normal F actuando sobre el área A.

r F

F

F

 A A

p

A

F  pm , A

ii) p puntual, p Es la presión ejercida sobre área elemental. Se define a partir de la presión media,

pm 

u  p 

dF F  F   p  p puntual  lim   t 0 A A dA  

N = pascal = Pa m2

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4.3) Presión en Fluidos Presión sobre el Fondo

Todo líquido ejerce una presión sobre el fondo del recipiente que lo contiene. Esta presión es independiente de su área, solo depende de su altura, -distancia que hay desde el fondo a la superficie libre del líquido- y del peso específico del líquido (por Peso Específico se entiende el peso

correspondiente

a

su

unidad

de

volumen).

La presión que se origina en la superficie libre de los líquidos contenidos en tubos capilares, o en gotas líquidas se denomina presión capilar. Se produce debido a la tensión superficial. En una gota es inversamente proporcional a su radio, llegando a alcanzar valores considerables. Por ejemplo, en una gota de mercurio de una diezmilésima de milímetro de diámetro hay una presión capilar de 100 atmósferas. La presión hidrostática corresponde al cociente entre la fuerza normal F que actúa, en el seno de un fluido, sobre una cara de un cuerpo y que es independiente de la orientación de ésta. Depende únicamente de la profundidad a la que se encuentra situado el elemento considerado. La de un vapor, que se encuentra en equilibrio dinámico con un sólido o líquido a una temperatura cualquiera y que depende únicamente de dicha temperatura y no del volumen, se designa con el nombre de presión de vapor o saturación.

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La presión es tratada de forma diferente dependiendo del fluido. i) F Líquidos En estos fluidos (e incluso en algunos modelos para la atmósfera) la presión se establece por el peso de la columna de fluido. -

Están sometidos a fuerzas intermoleculares que los mantienen unidos de tal forma que su volumen es definido, pero su forma no.

-

Cuando se vierte un líquido dentro de un recipiente, ocupará dentro de éste un volumen igual al suyo propio; sin importar la forma del recipiente.

-

Los líquidos tienen superficie libre.

-

Su densidad varía poco con la temperatura o presión.

atm

pQ   gh : p dela columna h

h Q



pQ   gh  patm : p total en Q : Densidad del fluido

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ii) F Gaseosos Para estos fluidos la presión se encuentra asociada a los choques de las partículas del gas contra las paredes del recipiente. -

Consta de partículas en movimiento que chocan unas con otras y tratan de dispersarse de tal modo que un gas no tiene forma, ni volumen definido y llenará completamente cualquier recipiente en el cual se coloque.

-

Para un gas la Presión, Temperatura, y el Volumen que ocupa se relacionan por medio de la Ley de los gases, o sea la ecuación apropiada del estado del gas.

-

Los fluidos gaseosos son compresibles.

-

En los gases la viscosidad aumenta con la temperatura, a diferencia de los líquidos que disminuye con la temperatura.

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4.4) Principio de Pascal

El principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciadas por el físico y matemático francés Blas Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: "la presión aplicada en un punto a un fluido incompresible, contenido en un recipiente, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo".

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el embolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma presión.

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Los fluidos transmiten presiones. Toda presión aplicada a un fluido es transmitida por el (mediante mecanismo ONDA) en todas direcciones.

F p A Q



p = F/A

Sea Q cualquier punto del fluido, Si  : p0 = Q Si  : pf = Q + 

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Aplicaciones:

 Prensa hidráulica.

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La prensa hidráulica es una máquina que se basa en el principio de Pascal para transmitir una fuerza. Aprovechando que la presión es la misma, una pequeña fuerza sobre una superficie chica es equivalente a una fuerza grande sobre una superficie también grande, proporcionalmente iguales.

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P1 = P2

P1, P2 = Presiones en 1 y en 2 F1, F2 = Fuerzas 1 y 2 S1, S2 = Superficies 1 y 2

 Frenos de presión.

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4.5) Principio de Arquímedes

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El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: « Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja». Esta fuerza1 recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así:

Donde: -

E es el empuje ,

-

ρf es la densidad del fluido,

-

V el «volumen de fluido desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo,

-

g la aceleración de la gravedad y

-

m la masa. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la

gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y descrito de modo simplificado ) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo.

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Un cuerpo en el seno de un fluido experimenta una fuerza resultante de reacción del fluido (empuje) “E”, que por lo general trata de expulsarlo del fluido.



E

E W

fluido desalojado

  fluido VFD  g VFD

Aplicaciones: En

nuestra

vida

diaria

podemos

hacer

observaciones

como

las

siguientes:

1. Cuando nos sumergimos en una piscina o en el mar parece que somos más ligeros, decimos que pesamos menos. 2. Los globos que se venden para niños se elevan en el aire al soltarlos.

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3. Un trozo de hierro no flota, en general, sobre el agua, pero si le damos la forma adecuada, pensemos en un barco, vemos que flota. La explicación científica sobre estos hechos la encontró hace muchos siglos, siglo IV a.C., una persona de capacidad excepcional, ARQUÍMEDES.

"Todo cuerpo sumergido en un fluido (líquido o gas), experimenta una fuerza (empuje) vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desalojado"

 Transporte aéreo (globos aerostáticos) Hemos dicho que el principio de Arquímedes es válido tanto para los líquidos como para los gases. Y bien: los globos aerostáticos no son más que una aplicación de dicho principio. La navegación aérea en globos se basa, pues, en la relación entre el empuje que recibe el globo y su peso. Es completamente diferente a la navegación aérea en aeroplanos, cuerpos de mayor peso específico que el aire.

El

funcionamiento

de

un

globo

aerostático

se

principio de Arquímedes, el cual enuncia que un cuerpo

basa

en

total

el o

parcialmente sumergido en un fluido estático (En este caso el aire), será e m p u j a d o c o n u n a f u e r z a i g u a l a l peso del volumen de fluido desplazado por dicho objeto. Un globo de aire caliente, no vuela sino flota dentro del viento. B a s a m o s e s t a f o r m a d e v u e l o , c o m o n o s e n s e ñ a l a F í s i c a , en que el aire caliente pesa menos que

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aire

frío,

tendiendo

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por ello a subir. Generalmente el fluido insertado en el

globo

es

gas

propano, el cual es menos denso que el aire.

 Transporte marítimo (barcos – principio de Arquímedes) Si un bloque de madera está completamente sumergido en agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente —desplazando así menos agua— hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque. En el caso de las embarcaciones y agua de mar, el empuje que experimenta el casco hacia arriba (fuerza que lo mantiene a flote), es igual al peso del agua desplazada. Si la embarcación fuera totalmente maciza, la densidad del material debería ser inferior a la del agua para asegurar su flotación (por ejemplo, determinadas maderas). Sin embargo, la práctica totalidad de las embarcaciones son huecas por dentro (contienen aire, fluido casi 800 veces más liviano que el agua), con lo que desplazan un gran volumen de agua, siendo su peso mucho menor. De esta forma pueden construirse buques de acero (casi 8 veces más denso que el agua) sin que se hundan, salvo si se rompe el casco y su interior se llena de agua.

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 Industria química, vitivinícola… (Uso del densímetro) Es un instrumento que sirve para determinar la densidad relativa de los líquidos sin necesidad de calcular antes su masa y volumen. Normalmente, está hecho de vidrio y consiste en un cilindro hueco con un bulbo pesado en su extremo para que pueda flotar en posición vertical. El densímetro se utiliza también en la enología para saber en qué momento de maceración se encuentra el vino. Determinar la tensión superficial de líquidos en la industria es de suma importancia, ya que es indispensable conocer su valor en gran cantidad de procesos como la producción de jabones, artículos de limpieza, medicamentos, alimentos, recuperación y refinación de crudo.

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4.6) Fluido en movimiento

Líneas de Corriente P

Usaremos el formalismo de Euler.

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i) Fluido ideal Se llama fluido ideal, a un fluido de viscosidad nula, incompresible y deformable cuando es sometido a tensiones cortantes por muy pequeñas que éstas sean.

 Estable vp = cte  No viscoso:  fricción  Incompresibles: V no  0 

líneas de corriente

ii) Leyes de conservación Usando un tubo de corriente.

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A2 v2 y2 p2 A1

V de trabajo v1

y1 p1 0

j) Conservación de la masa

A1 v1 = A 2 v 2 = Av = cte

jj) Conservación de la energía

p1 

1 2 1  v1   g y1  p2   v22   gy2 2 2 1 p   v 2   gy  cte 2

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4.7) Viscosidad,  Es la fricción interna de un fluido, es decir, es interpretada como asociada a la fuerza de oposición al movimiento relativo dentro del fluido. Esta cantidad nos permitirá entender por que el agua fluye más rápido que la miel, por ejemplo, o por que podemos mover un bote en el agua, o por que los lubricantes son capaces de adherirse a las superficies internas de un motor. La viscosidad depende fuertemente de la temperatura, de tal forma que es un problema importante para la ingeniera liquida producir lubricantes cuya viscosidad no cambie demasiado con la temperatura. Definamos la viscosidad en base a la deformación que las fuerzas tangenciales dentro de un fluido son capaces de producir. En este caso, el esfuerzo de corte se modela proporcionalmente a la rapidez con que se produce la deformación, es decir, en cuanto a la deformación de corte ya x v dx , usamos , donde v  . En la figura siguiente, suponemos h h dt una capa de fluido entre dos placas, la inferior estacionaria y la superior moviéndose con v, estudiada, en vez de la cantidad

Fluido Agua Agua Aire Aceite de motor

T(ºC) 20 100 20 30

(Pa.s) 1,0 10-3 0,3 10-3 1,8 10-5 250 10-3

A

 F

h

r F  F

h

 tg 

v 

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'



v h

r F

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Por lo tanto  queda definida,

F Fh  A v Av h u   

Nm  Pa. s 2 m m s

Sin embargo, se usa la unidad histórica denominada poise,

1 poise  1

din . s  10 1 Pa. s 2 cm

Para la determinación de la distribución de velocidades para un fluido viscoso dentro de de un tubo cilíndrico largo de radio R, según figura, partimos de la ecuación de viscosidad, asumiendo fluido newtoniano, es decir,     v  , p1

p2 L

F  A

v h

Con esta ecuación,

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v r 

 p1  p2  4 L

R

2

 r2 

Ahora, para la determinación del flujo de fluido según una sección del tubo,

dV , relación dt

conocida como Ecuación de Poiseuille, tenemos,

dV   R 4     dt 8   

 p1  p2  L

 

Finalmente, la Ley de Stokes, describe la fuerza viscosa ejercida por un fluido viscoso laminar, sobre una esfera de radio r que se mueve con una velocidad v,

F  6 rv

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Número de Reynolds (Re) El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883.El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Dicho número o combinación adimensional aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el flujo pueda considerarse laminar (número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds grande). Desde un punto de vista matemático el número de Reynolds de un problema o situación concreta se define por medio de la siguiente fórmula:

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Además el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar en ciertos casos. Así por ejemplo en conductos si el número de Reynolds es menor de2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento. El mecanismo y muchas de las razones por las cuales un flujo es laminar o turbulento es todavía hoy objeto de especulación.

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EJERCICIOS:

S2P7)

Dinamómetros

Un tanque lleno de agua descansa sobre un dinamómetro que lee 5 kgf. Una piedra es suspendida de otro dinamómetro que lee 2,5 kgf. Cuando la piedra es bajada e introducida completamente en el agua, el dinamómetro que sostiene a la piedra lee 2 kgf. Determine: a) El empuje hidrostático b) El volumen de la piedra c) La densidad de la piedra d) La lectura en el dinamómetro que soporta el tanque con agua. Dinamómetros (1 kgf = 9,8 N) Solución:

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a) E W

fluido desarrollado

E W

fluido desarrollado

  fluido VFD  g VFD

  fluido VFD   g VFD

E ?

Haciendo DCL de la piedra, DCL (m) FRES E w

De la primera Ley de Newton: FRES + E = w Asumiendo FRES = 20 N, w = 25 N  E = 5 b) Sea V el volumen de la piedra, V = ? De la Ec

E   g VFD  VFD  V  ? V 

E 5  3  5 104  g 10 x10

c) De la definición de densidad



m V piedra  V



2, 5  5 103 4 5 10

d) La acción del tanque sobre el dinamómetro es la “lectura” de dicho dinamómetro. La nueva lectura del dinamómetro del tanque será obtenida del DCL del tanque con agua, DCL (T-A),

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DCL (T-A) E

Wa

R De la primera LN, R = E + Wa (E reacción sobre el agua debido al empuje sobre la piedra)  R = 5 + 50 = 55 Por lo tanto la correspondiente acción que actúa sobre el dinamómetro será, A = R = 55

S2P11) Un gran tanque de almacenamiento se llena hasta una altura h0. Si el tanque se perfora a una altura h medida desde el fondo del tanque ¿A qué distancia del tanque cae la corriente? 1 2

h0 h d

Solución:

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De la Ec de Bernoulli aplicada a la superficie y al agujero,

p1 

1 2 1  v1   g y1  p2   v22   gy2 2 2

p1 

1 1  v12   g h0  p2   v22   gh  2 2

 g h0 

1 2  v2   gh  2

 g (h0  h) 

1  v22  v2  2 g (h0  h) 2

De la cinemática,

h

1 2 2h gt  t   2 g

d  v2t  d  2 g (h0  h)

2h  2 h (h0  h) g

d  2 h ( h0  h)

S2P18)

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Fluye agua continuamente de un tanque abierto como en la figura. La altura del punto 1 es de 10,0 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2,00 m. El área transversal en el punto 2 es de 0,0300 m2; en el punto 3 es de 0,0150 m2. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Si se aplica la ecuación de Bernoulli, calcule:

1

10 m

2 3 2,00 m

a) La rapidez de descarga en m3/s. b) La presión manométrica en el punto 2.

Solución:

Ec. de Bernoulli: 1-3

1 1 p1   v12   gy1  p3   v32   gy3 2 2 Como:

A1  A3  A1v1  A3v3   v1  0

1  p1   gy1  p3   v32   gy3 2

(1)

Ec. de Bernoulli: 1 – 2 Por simetría,

1  p1   gy1  p2   v22   gy2 2

(2)

Ec. De bernoulli: 2 – 3

1 1  p2   v22   gy2  p3   v32   gy3 , y2  y3 2 2 A3 1 1  p2   v22  p3   v32 ; v2 A2  v3 A3  v2  v3 A2 2 2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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A  1  1  p2    v2  3 v3   p3   v32 2  A2  2 a) De (1)

v3   2 g  y1  y3  

1/ 2

(3)

 12,6  p1 p3  patm

caudal : v3 A3  0,015 x 12,6  0,189 b) De (3) y a)

pman ,2  p2  p3   A3  1     1    2   A2  

Pman ,2

1   v32  v22   p3  patm 2 2

 A32 1 v    1  2 2 g  y1  y3  2  A2 2 3



A32   g  y1  y3   1  2  0,6  Pa  105  A2 

pman,2  0,6 ATM

S2P2)

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Con un tubo Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo es mercurio, densidad Hg = 13600 kg/m3 y h = 5,00 cm, encuentre la velocidad del flujo de aire. (Suponga que el aire está estancado en el punto A y considere aire = 1,25 kg/m3). ¿Cuál es la utilidad de este dispositivo?

Vaire B A h Mercurio

SOLUCIÓN: yA 1 1 p A   v A2   gy A  pB   vB2   g y B 2 2

 p A  pB    Hg g h 

1 aire vB2 2

1360 0  10  5  102 

1  1,25  vB2 2

vB  103m / s

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P1 P

2

1 2 V

2

S2P17) En el tubo mostrado se conoce que la diferencia de presiones P 1 – P2 = 10 Pa y el área transversal mayor es 40 cm2 y el área menor es 10 cm2 a) Deduce la ecuación de Bernoulli b) Deducir la relación que permite calcular la velocidad del fluido c) ¿Cuál es la velocidad del fluido en el punto 2? SOLUCION: a)

Si m es la porción de masa considerada,

v su velocidad, la altura sobre el nivel tomado como base, la presión y la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el Teorema trabajo-energía cinética:

Si ahora se divide a todos los términos de los dos miembros, entre la masa considerada, se obtendrá la ecuación de Bernoulli, que corresponde a la ley de la conservación de la energía por unidad de masa. Si el fluido es incompresible, como supondremos en lo sucesivo, donde

, la ecuación de Bernoulli adopta la forma:

Así como la estática de una partícula es un caso particular de la dinámica de la partícula, igualmente la estática de los fluidos es un caso especial de la dinámica de fluidos. Por lo tanto, la ecuación (6.10) debe contener a la ecuación (6.5) para la ley de la variación de presión con la altura para un fluido en reposo. En efecto, considerando un fluido en reposo, y reemplazando en la ecuación de Bernoulli, se obtiene: Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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b) … c) De la Ec de Bernoulli a 1 y 2,

1 1 p1   v12   gy1  p2   v22   gy2 2 2 Aplicando continuidad, 2

1  A  1 p1    2 v2   gy1  p2   v22   gy2  y1  y2 2  A1  2  A2  1  15 p1  p2    1       v22 2  32  A1    2

v2  0,15

S2P) Un rayo láser muy fino de alta densidad perfora un agujero cilíndrico en el casco de una nave espacial de la Federación; el agujero tiene 0.150 m de largo y 50,0 m de radio. Comienza a salir aire a 20 ºC en flujo laminar del interior (a 1 atm) al vacío exterior, a) ¿Que rapidez tiene el airee en el eje del cilindro, en el borde y a media distancia? b) ¿Cuántos días tardara en salir 1m3 de aire por el agujero? c) ¿En que factor cambian las respuestas en a) y b) si el radio del agujero se duplica? Solución: a) 23 m/s, 0, 17,5¿? b) 126 d ¿? c) 4, 1/16 ¿?

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5) Temperatura y Calor

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5) Temperatura y Calor, T y Q Estudiaremos sistemas físicos donde se transfieren energías térmicas, para lo cual será necesario establecer cuidadosamente las definiciones de temperatura y calor, conceptos estrechamente relacionados pero claramente diferenciados. Describiremos además algunas propiedades térmicas de los cuerpos y sustancias, para poder comprender los sistemas termodinámicos.

5.1) Definición de Temperatura Podemos definir la temperatura de los cuerpos de dos formas, una, usando la Ley cero de la Termodinámica, la otra, mediante el estado de movimiento molecular. Usemos la ley cero para establecer el concepto de equilibrio térmico, ET, y a partir de ahí definir temperatura. La temperatura es la CFE que nos indica cuando dos cuerpos (sistemas) se encuentran en ET. El ET caracteriza el estado de no transferencia de energía (calor) entre dos cuerpos.

5.2) Escalas termométricas Los termómetros son instrumentos que nos permiten cuantificar la temperatura. Están basados en diversos fenómenos como, dilatación, cambio de presión, volumen, resistencia eléctrica, color, etc. Para calibrar los termómetros se emplean estados de sustancias como el agua, considerando su punto de congelación y de ebullición, por ejemplo. En otros casos se emplean fenómenos de calibración generales como el cese de movimiento molecular, para independizar al termómetro de la sustancia. Los termómetros a gas a volumen constante permiten definir la escala absoluta. Es un termómetro que puede hacerse independiente del gas (para bajas presiones y temperaturas sobre el punto de licuación del gas) usándose la relación entre la presión y temperatura del gas a volumen constante para la calibración.

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p (Pa)

-273,15

0

100

T (°C)

Si se extrapola la curva p-T, se encuentra que la temperatura asociada a p = 0 es T= -273,15, este valor se usa para definir el 0 de la escala Kelvin de temperaturas, de tal forma que su relación con la centígrada es,

Tc  T  273,15 A la temperatura kelvin, T, se le conoce como temperatura absoluta, y según la ecuación precedente,

Tc  T Otra escala de temperaturas importante es la escala Fahrenheit, T F, la cual se vincula a la centígrada por,

9 TF  Tc  32 5 Análogamente, de esta ecuación se extrae, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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TF 

9 Tc 5

5.3) Calor, Q Forma de energía que intercambian los cuerpos en desequilibrio térmico.

Q , T1

T1 > T2

T2

Históricamente: uQ  cal, cantidad de calor que requiere 1 g de agua para pasar de 14,5 a 15,5 °C. SI: uQ  J, ¡energía! El calor siempre fue considerado una forma de energía?

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5.4) Dilatación de sólidos y líquidos La dilatación de los cuerpos es un fenómeno estrechamente vinculado a los cambios de temperatura. Por lo general, los cuerpos se dilatan cuando aumenta su temperatura y se contraen cuando disminuye. Estas variaciones en las dimensiones de los cuerpos tienen aplicaciones múltiples, termómetros, termostatos, uniones de estructuras, etc. Si se calentara un cuerpo desde una temperatura inicial T i hasta una temperatura final T, estos es, produciéndole una variación de temperaturas T, se observaría por lo general, que la correspondiente longitud inicial L i, aumentaría hasta una longitud final L, produciendo una variación en dicha dimensión L. Los experimentos muestran que, en primera aproximación (cuando los L no son comparables con Li),

L  Li T Se introduce , coeficiente térmico de dilatación lineal, para establecer la igualdad,

L   Li T   

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L , u     º C 1 Li T

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con lo que,

L  T   Li  1   T 

T Li

L

Los cambios superficiales y volumétricos se determinan con ecuaciones similares,

V   Vi T

S   Si T S  T   S i  1   T 



y

S Si T

V  T   Vi  1   T 



V Vi T

donde  y , son los coeficientes térmicos de dilatación superficial y volumétrica, respectivamente. Además,  y , se relacionan con , para temperaturas menores de 100 °C, mediante,

  2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

y

  3 110

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Casos anómalos especiales se presentan tanto en sólidos como en líquidos. La calcita (CaCO3), por ejemplo, tiene s negativos, lo que implica contracción en ciertas direcciones, y en el caso de los líquidos, el agua, tiene un comportamiento especial en torno a la temperatura de 4 °C. Veamos la curva de densidad contra temperatura para el agua, (kg/m3) 103 999

0123 4 5 6 7 8 9



T(°C)

A que se debe la disminución del V entre 0 – 4 °C.?

La densidad del agua es variable dependiendo de la temperatura y la presión. Densidad = masa/ volumen Normalmente cuando aumenta la temperatura la densidad disminuye pero no es el caso de el agua que entre 0 y 4 grados alcanza su valor máximo. Esto se debe a que en estado sólido (hielo) las moléculas de agua se encuentran perfectamente ordenadas unidas por puentes de hidrogeno entre si formando una estructura tridimensional que ocupa mayor volumen que el agua líquida. Al aumentar la temperatura

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algunos de los puentes de hidrogeno se rompen. Las moléculas siguen unidas entre sí pero por parejas o tríos de forma desordenada, lo que permite una organización más compacta, ocupando menos volumen.



Cómo influye este comportamiento en la cadena evolutiva.

Este proceso se vería afectado por el calentamiento global en el planeta tierra, al aumentar la temperatura las moléculas de agua seguirán unidas entre sí pero por parejas o tríos de forma desordenada, lo que permite una organización más compacta, ocupando menos volumen de agua en todo el planeta .

5.5) Cambios de fase o estado i) Definiciones previas j) Capacidad calorífica, C: Es la cantidad de calor que requiere la masa m de una sustancia para cambiar su temperatura en 1 °C,

C

Q T

, u C 

cal ºC

jj) Calor especifico, c: Es la cantidad de calor que requiere 1 g de una sustancia para cambiar su temperatura en 1 °C,

c

Ejemplo: cH 2 O  4186 J / kg º C

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Q C  mT m

, u  c 

cal g ºC

 1cal / g º C

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* Calor específico molar, c’: Es la cantidad de calor que requiere 1 mol de sustancia para cambiar su temperatura en 1 °C,

c 

una

C n

Ahora, las ecuaciones anteriores son para temperaturas donde c es una constante, o aproximadamente constante, sin embargo en general c  c (T, p, V, etc) y en esos casos se tendría, atendiendo solo a la T, T

Q  m  c  T  dT Ti

que, para c  constante, nos conduce a,

Q  mcT

, T  T  Ti

Tabla Nº 1 Calores Específicos, c Sustancia cal /g º C Aluminio 0,212 Cobre 0,093 Hierro 0,113 Mercurio 0,033 Plata 0,060 Latón 0,094 Agua de mar 0,945 Vidrio 0,199 Arena 0,20 Hielo 0,55 Agua 1,00 Alcohol 0,58 Lana de vidrio 0,00009 Aire 0,0000053

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

De que forma el alto calor específico del H2O influye en mejores condiciones de vida



¿Cómo se podrían medir los c?

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El método experimental clásico para medir el calor específico de un cuerpo es la calorimetría adiabática. Un calorímetro adiabático consiste en un recipiente aislado térmicamente del exterior, provisto de un termómetro con el que se mide la temperatura de los cuerpos situados en su interior. Nosotros utilizaremos el llamado método de las mezclas

jjj) Calor latente, L: Cantidad de calor que requiere la unidad de masa de una sustancia para cambiar de fase o estado. Estos cambios se realizan a temperatura constante,

L

Q m

solido  

,

Lf Ls

u  L 

 Líquido 

cal g Lv Lc

Gas

Ejemplos: L f , H 2O  3,33 105 J / kg

 80 cal / g

Lv , H 2O  2, 26  106 J / kg

 540 cal / g

ii) Cambios de estado o fase de las sustancias Como se acaba de mostrar, para producir que la temperatura de una masa m de sustancia cambie en T, se le podría, por ejemplo, agregar una cantidad de energía dada por Q  mcT y manteniendo la temperatura adecuada, producir su cambio de estado o fase agregándole una cantidad de energía dada por Q  mL . De todas las sustancias la más estudiada es el agua por su gran importancia para la vida y su muy variada

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aplicación industrial, contándose no solo con curvas Q-T sino con aquellas donde se vinculan p-V-T.



¿Cómo seria una curva Q-T para el agua?

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5.6) Procesos de transferencia de calor Cuando se degusta una taza de café caliente se pueden observar 3 hechos interesantes; la calidez de la taza, el calor que emana de ella y a medida que bebemos como el café superficial es mas caliente que el interno. Estas 3 sensaciones de calor son perfectamente explicadas por los mecanismos de transferencia denominados, conducción, radiación y convección, los cuales explicaremos a continuación, i) Conducción Es el proceso de transferencia de calor preponderante en sólidos metálicos y en menor medida es sólidos aislantes y gases. Supongamos que se coloca una barra conductora de cargo L y área transversal A, aislada adecuadamente, entre dos focos de temperaturas T 1 y T2, con T1 > T2,

L T1

T2 Q

T x 0

x

L

En estado estable, esto es cuando la temperatura es constante en todo x, la rapidez de transferencia de calor es constante y descrita por,

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H

dQ dT  kA dt dx

donde k, es la constante de conductividad térmica del material de la barra.

Ejemplo: kCu  397

W mº C

Ahora, de ser H constante, se podría escribir,

H  kA

 T1  T2  L

la cual permitirá hallar T  T  x  ,

H  kA

 T1  T2  L

k A

 T T  dt  1 2 x  c% T , c% T1 dx L

T  T  x   T1 

 T1  T2  x L

Observación: Valor R del material, útil para describir aislamientos,

R

L k

Ejemplo: R (espacio de aire de 8,9 cm de espesor)  1,01

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pie2 º Fh BTU

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ii) Convección Es el mecanismo de conducción propio de los fluidos. Los modelos de descripción son de especial complicación matemática.



Como influye la convección en la dinámica atmosférica. La convección en la atmósfera terrestre involucra la transferencia de enormes cantidades del calor absorbido por el agua. Forma nubes de gran desarrollo vertical Estas nubes son las típicas portadoras de tormentas eléctricas y de grandes chaparrones. Al alcanzar una altura muy grande (por ejemplo, unos 12 ó 14 km) y enfriarse violentamente, pueden producir tormentas de granizo, ya que las gotas de lluvia se van congelando al ascender violentamente y luego se precipitan al suelo ya en estado sólido. El proceso que origina la convección en el seno de la atmósfera es sumamente importante y genera una serie de fenómenos fundamentales en la explicación de los vientos y en la formación de nubes, vaguadas, ciclones, anticiclones, precipitaciones, etc. Todos los procesos y mecanismos de convección del calor atmosférico obedecen a las leyes físicas de la Termodinámica. De estos procesos es fundamental el que explica el ciclo del agua en la Naturaleza o ciclo hidrológico. Casi todos los fenómenos antes nombrados, tienen que ver con este último mecanismo.



La convección esta vinculada a los huracanes. Sí, debido a que los huracanes se forman precisamente porque el aire caliente sube por convección provocando una baja presión relativa que el aire circundante tiende a llenar formando un remolino por efecto Coriolis.

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iii) Radiación Todo cuerpo es capaz de emitir energía radiante dependiendo de su temperatura y de sus características constitutivas. Consideremos un cuerpo que exhibe una área A y se encuentra a la temperatura absoluta T, entonces, la potencia con la cual radia esta dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann,

P   A T 4 Donde,

 :constante de Stefan-Boltzmann W   5,7  10-8 2 4 mK  : emisividad , varia de 0-1

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La emisividad, , depende de la naturaleza de la superficie A, la cual puede comportarse como un emisor perfecto con =1 o absorbente perfecto con =0. Este mecanismo de transferencia de energía es extremadamente importante si tenemos en cuenta que nuestra querida Tierra se provee de tal desde el Sol. Las tecnologías para poder aprovechar esta energía “gratuita” se desarrollan intensamente y se espera una galopante campaña de auspicio para poder dotarnos de esta forma de energía, energía que en la Tierra es cada vez más escasa y por consiguiente cara.



De que formas aprovechamos la energía radiante del Sol.

Las formas que obtenemos energía del Sol son las siguientes:

-

Térmicos: Es la forma más simple de aprovechar el Sol; se trata de paneles metálicos recorridos por

pequeñas tuberías de agua. Su utilidad es la obtención de agua caliente, principalmente para usos domésticos. La mayoría de los paneles que vemos en los tejados de las casas son de este tipo. -

Fotovoltaica: Se trata de paneles que, aprovechando el llamado efecto fotoeléctrico, generan

energía eléctrica. Estos paneles están hechos de Silicio dopado (como los chips de ordenador), pero esta tecnología tiene el inconveniente de que es muy cara, lo que ha motivado la búsqueda de fórmulas alternativas. -

Termoeléctricos: Se pueden considerar una variante de los térmicos. En este caso, el calor del Sol

se utiliza para hacer funcionar un motor Stirling que acciona un generador eléctrico. -

Fotoquímicos: Es el último miembro de la familia. Se trata de paneles hechos de algún material

fotoactivo (normalmente dióxido de Titanio), que actúa como catalizador en las reacciones de Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

121

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disociación de las moléculas de agua y CO2, reacciones que generan el llamado “gas de síntesis” (una mezcla de monóxido de carbono e hidrógeno) que sirve de base para producir hidrocarburos.



Como se transforma la energía del Sol al llegar a la Tierra.

La recogida directa de energía solar requiere dispositivos artificiales llamados colectores solares, diseñados para recoger energía, a veces después de concentrar los rayos del Sol. La energía, una vez recogida, se emplea en procesos térmicos o fotoeléctricos, o fotovoltaicos. En los procesos térmicos, la energía solar se utiliza para calentar un gas o un líquido que luego se almacena o se distribuye. En los procesos fotovoltaicos, la energía solar se convierte en energía eléctrica sin ningún dispositivo mecánico intermedio. Los colectores solares pueden ser de dos tipos principales: los de placa plana y los de concentración. 

Como la radiación de energía produce bienestar.

Las culturas antiguas consideraban que los baños de sol son benéficos para la salud. Actualmente se reconoce que la exposición sana al sol proporciona diversos beneficios, como son: -

Mejora en la respuesta muscular

-

Mejora la resistencia en pruebas de tolerancia

-

Disminuye la presión sanguínea

-

Incrementa la respuesta inmunológica

-

Reduce la incidencia de infecciones respiratorias

-

Baja el colesterol de la sangre

-

Incrementa la hemoglobina de la sangre

-

Mejora la capacidad de trabajo cardiovascular

-

Estimula las terminaciones nerviosas

-

Mejora la respiración, especialmente en asmáticos

-

Promueve la síntesis de vitamina D para calcificar huesos

-

La falta de vitamina D, calcio y sales fosfatadas en la dieta, además de la falta de exposición a la luz del sol, está asociada con casos de raquitismo. La tuberculosis de la piel o lopus vulgaris es otra enfermedad asociada a falta de exposición al sol y es común en poblaciones del norte de Europa, donde luz del sol es débil durante largos períodos de tiempo.



Conoce la tecnología fotovoltaica.

Sí; la energía solar fotovoltaica se basa en la captación de energía solar y su transformación en energía eléctrica por medio de celdas fotovoltaicas.

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

Que fuentes de energía renovables conoce.

-

Energía hidráulica

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Las centrales hidroeléctricas aprovechan la energía de los ríos para poner en funcionamiento unas turbinas que mueven un generador eléctrico. Uno de los recursos más importantes cuantitativamente en la estructura de las energías renovables es la procedente de las instalaciones hidroeléctricas; una fuente energética limpia y autóctona pero para la que se necesita construir infraestructuras necesarias que permitan aprovechar el potencial disponible con un coste nulo de combustible. El problema de este tipo de energía es que depende de las condiciones climatológicas. -

Energía solar térmica Se trata de recoger la energía del sol a través de paneles solares y convertirla en calor el cual puede destinarse a satisfacer numerosas necesidades.

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Energía eólica La energía eólica es la energía obtenida de la fuerza del viento, es decir, mediante la utilización de la energía cinética generada por las corrientes de aire. Se obtiene a través de una turbinas eólicas son las que convierten la energía cinética del viento en electricidad por medio de aspas o hélices que hacen girar un eje central conectado, a través de una serie engranajes (la transmisión) a un generador eléctrico.

-

Energía geotérmica La energía geotérmica es aquella energía que puede ser obtenida por el hombre mediante el aprovechamiento del calor del interior de la Tierra.

-

Energía marina La energía marina o energía de los mares (también denominada a veces energía de los océanos o energía oceánica) se refiere a la energía renovable producida por las olas del mar, las mareas, la salinidad y las diferencias de temperatura del océano.

-

Energía de las olas, olamotriz o undimotriz.

-

Energía de las mareas o energía mareomotriz.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS (TEMPERATURA Y CALOR): 1) Ejercicio: Un termómetro de gas a volumen constante se calibra en hielo seco (que es dióxido de carbono en estado sólido y tiene una temperatura de -80,0 ºC) y en el punto de ebullición del alcohol etílico (78,0 ºC). Las dos presiones son 0,900 atm y 1,635 atm, a) ¿Qué valor de cero absoluto produce la calibración?, b) ¿Cuál es la presión en: i)

el punto de congelación del agua, y

ii)

el punto de ebullición del agua?

Solucion: Según la calibración tendríamos la siguiente grafica p-T,

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Cuya ecuación la obtenemos de la ecuación de la pendiente,

m

p  0,900 1, 635  0,900  T  (80, 0) 78, 0  (80, 0)

Resultando:

p(T )  4, 652 x103 T  1, 272 a) Para p = 0, T= -273,43 ºC b) i) Para T=0ºC corresponde un valor de p= 1,272 atm ii) Para T=100ºC corresponde un valor de p= 1,737 atm

2) Ejercicio: Una barra de acero de 4,0 x 10-2 m de diámetro se calienta de modo que su temperatura aumenta en 70 ºC, y después se fija entre dos soportes rígidos. Se deja que la barra se enfríe hasta su temperatura original. Suponiendo que el modulo de Young para el acero es 20,6x1010 N/m2 y que su coeficiente promedio de expansión lineal es 11x10 -6 ºC-1, calcule la tensión en la barra.

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3) Ejercicio: A 20 ºC, un anillo de aluminio tiene un diámetro interior de 5,000 cm, y una barra de latón tiene un diámetro de 5,050 cm, a) ¿Hasta que temperatura debe calentarse el anillo de modo que se deslice apenas sobre la barra?, b) ¿A que temperatura deben calentarse ambos de manera que el anillo apenas deslice sobre la barra? ¿El ultimo proceso funcionaria?

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4) Ejercicio: El elemento activo de cierto láser esta hecho de una barra de vidrio de 30,0 cm de largo por 1,5 cm de diámetro. Si la temperatura de la barra aumenta en 65 ºC encuentre el aumento en, a) su longitud, b) su diámetro y c) su volumen. (Considere  = 9,0x10-6 ºC-1)

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5) Ejercicio: Un tanque lleno de oxigeno (O 2) contiene 12,0 kg de oxigeno bajo una presión manométrica de 40,0 atm. Determine la masa de oxigeno que se ha extraído del tanque cuando la lectura de presión es e 25,0 atm. Suponga que la temperatura del tanque permanece constante.

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6) Ejercicio: La masa de un globo aerostático y su cargamento (sin incluir el aire interior) es de 200 kg. El aire exterior esta a 10 ºC y 101 kPa. El volumen del globo es de 400 m 3, ¿A que temperatura debe calentarse el aire en el globo antes de que este empiece a ascender? (La densidad del aire a 10 ºC es de 1,25 kg/m 3) Solución:

Inicio Vai  400m3  Vg pai  101x103 Pa Ti  283K

mai  ...

m  200kg

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a   a ,10ºC  1, 25kg / m3

Final

Va f  Vg

pa f  pai

T f  ¿? ma f  ...

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De la ecuación de los gases ideales:

pV  nRT 

w m RT  RT M M

pV M  cte  mT R

se obtiene: miTi  m f T f ...( ) Ahora, para que empiece a ascender, del DCL del sistema (globo(g) y aire(a)), r E

r W

E W

 a gVg  wg  waf

 a gVg  mg g  maf g

 aVg  mg  maf

Usamos la ecuación () para reemplazar la maf ,

m T  aVg  mg  ai i Tf

 aVg  mg 

(  aVg )Ti Tf

Tf 

Ti m (1  g )  aVg

Calculando, T f  472 K

7) Ejercicio: La llanta de un automóvil se infla usando aire originalmente a 10 ºC y pre sión atmosférica normal. Durante el proceso, el aire se comprime hasta 28 % de su volumen original y la temperatura aumente a 40 ºC, a) ¿Cuál es la presión de la llanta?, b) Después que la llanta se maneja a alta velocidad, la temperatura del aire dentro de la misma se eleva a 85 ºC y su volumen interior aumenta en 2%, ¿Cual es la nueva presión (absoluta) de la llanta en pascales?

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8) Ejercicio: Una ventana de cristal térmico de 6,0 m 2 de área está constituido con dos hojas de vidrio, cada una de 4,0 mm de espesor separadas por un espacio de aire de 5,0mm. Si el interior está a 20ºC y el exterior a -30ºC, ¿Cuál es la pérdida de calor a través de la ventana?

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Solución: 1.34 kW

9) Ejercicio: Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata de la misma longitud y área (fig.). Un extremo de la barra compuesta se mantiene a 80,0ºC mientras que el extremo opuesto está a 30,0ºC. Cuando el flujo 80,0ºC

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Au

Ag

Aislación

30,0ºC

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de calor alcanza el estado estable, encuentre la temperatura en la unión. Considere k Au= 314 W/mºC y kAg= 427 W/mºC.

Solución: El estado estable implica una transferencia de calor homogénea y uniforme a lo largo de toda la barra, en particular en el punto de unión Au-Ag (interfase). Llamemos a la temperatura de dicho punto de interfase T i, por lo tanto, debe satisfacerse la siguiente condición,

H interfase  k Au AAu

 Ti  T1  LAu

  k Ag AAg

 T2  Ti  LAg

Donde T1=80 ºC y T2=30 ºC. Considerando las aéreas y longitudes de las barras de Au y Ag iguales, la Ti resulta:

Ti 

k AuT1  k AgT2 k Au  k Ag

 Ti  51, 2º C

11) Ejercicio: El muro de ladrillos (k = 0,80 W/m.ºC) de un edificio tiene dimensiones de 4, m x 10,0 m y su espesor es de 15 cm. ¿Cuanto calor (en joules) fluye a través del muro en un periodo de 12 h cuando las temperaturas promedio interior y exterior son, respectivamente, 20ºC y 5ºC?.

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12) Ejercicio: Una caja con un área de superficie total de 1,20 m 2 y una pared de 4,00 cm de espesor está hecha con una material aislante. Un calefactor eléctrico de 10,0 W dentro de la caja mantiene la temperatura interior en 15,0ºC arriba de la temperatura exterior. Encuentre la conductividad térmica k del material aislante.

14) Ejercicio: Calcule el valor R de a) una ventana hecha con un solo cristal de 1/8 pulg de espesor, y b) una ventana de cristal térmico formada con dos cristales individuales, cada uno de 1/8 pulg de espesor y separados por un espacio de aire de ¼ pulg. C) ¿En qué factor se reduce la pérdida de calor si se utiliza la ventana térmica en lugar de la ventana de un solo cristal?

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6) Conservación de la energía, 1ra Ley de la Termodinámica

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6) Conservación de la energía, 1ra Ley de la Termodinámica Experimentaremos

como

en

un

sistema

físico

se

pueden

producir

diversas

transformaciones de energía que involucren calor, energía térmica, energía interna, energía mecánica o, como es posible virtud al calor, bajo determinadas condiciones, hacer que un sistema realice trabajo, esto es, como un sistema es capaz de hacer trabajo. En todos los casos es posible plantear la conservación de la energía, que en termodinámica constituye su 1ra Ley.

6.1) Calor y Energía térmica en sistemas termodinámicos Un sistema termodinámico será un sistema físico que podrá especificarse usando ciertas variables macro o microscópicas, usaremos en general, las variables macroscópicas (p, V, T, U) para describir el estado de estos sistemas. En el contexto energético, las energías asociadas a los sistemas termodinámicos son, i) Energía interna, es la energía propia del sistema asumido estacionario. ii) Energía térmica, parte de la energía interna que depende de la T. iii)Calor, energía térmica transferida por diferencia de Ts. En cuanto a que en diversos procesos se ha observado conversión de E M en Q (energía térmica), es adecuado contar con una relación adecuada que permita hacer la conversión, esa expresión la obtuvo James Joule con su notable experimento, halló lo que actualmente se conoce como equivalente mecánico de la caloría,

1 cal  4,186 J

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137

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Describa el experimento de James Joule.

El experimento clásico de Joule fue diseñado para determinar la cantidad de trabajo que se requiere para producir una determinada cantidad de calor, es decir la cantidad de trabajo que es necesario realizar para elevar la temperatura de 1 gramo (g) de agua en 1 grado Celsius ( ºC). El instrumento de Joule consistía de un recipiente con agua (el sistema), en el que estaba sumergido un agitador de unas paletas giratorias cuyo giro estaba accionado por un mecanismo que dependía de la bajada de un peso. El agua estaba en un contenedor de paredes adiabáticas (paredes que no permiten el paso del calor), de forma que los alrededores (ambiente) no pudiera influir en la temperatura por conducción de calor. Las pesas caían a velocidad constante, y al caer permiten que al agitador diera vueltas dentro del agua, esto es se producía trabajo sobre el agua. Despreciando la energía que se pierde en los rozamientos, el trabajo mecánico realizado sobre el agua es igual a la pérdida de energía mecánica de las pesas que caen. La pérdida de energía potencial puede medirse fácilmente determinando la distancia que descienden las pesas. Si las pesas (de masa m) caen desde una distancia h, la perdida de energía potencial es igual a mgh. Esta energía causa el incremento en la temperatura del agua (medida con un termómetro). El experimento de Joule e infinidad de experimentos realizados posteriormente indican que hace falta aproximadamente 4,18 unidades de trabajo mecánico o Julios (J, en honor a Joule se dio su nombre a la unidad de energía del sistema internacional, SI) para elevar la temperatura de 1 g de agua en 1 ºC. Una vez establecida la equivalencia experimental entre energía y calor, se puede describir la experiencia de Joule como la determinación del valor de la caloría en unidades normales de energía. Este resultado nos dice que 4.18 J de energía mecánica son equivalente a 1 caloría de energía térmica, y se conoce por razones históricas con el nombre de equivalente mecánico del calor. Medidas más precisas hechas posteriormente han determinado que 4,186 J/g ºC cuando la temperatura del agua se incrementa de 14.5 ºC a 15.5 ºC. Tradicionalmente se ha seguido expresando la energía térmica en calorías para luego convertirlas utilizando el equivalente mecánico del calor en las unidades estándar de energía mecánica. Hoy en día todas las formas de energía se expresan normalmente en Julios. Como resultado de los experimentos de Joule y de otros experimentos posteriores, se interpreta que el calor no es una sustancia, ni una forma de energía, sino más bien como una forma de transferencia de energía, cuando el “calor” fluye de una objeto frío a otro caliente, es la energía la que está siendo transferida desde el frío al caliente. Así el calor es energía que es transferida desde un cuerpo a otro debido a su diferencia de temperatura.

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6.2) Trabajo y Calor en procesos termodinámicos. Especificar el estado de los sistemas termodinámicos puede depender de diversas consideraciones, por ejemplo, de la naturaleza del sistema. Usaremos mayoritariamente un sistema gas constituido por un solo tipo de molécula (gas ideal), que además se encuentre en equilibrio térmico interno, es decir, que cada punto del sistema se encuentre a los mismos valores de p y T. Un proceso termodinámico es una secuencia continua de estados, por los que atraviesa el sistema, para transformarse de un estado inicial a otro final.

GAS

T 1 (p1,V1,T1) Proceso V p

2(p2, V2, T2)

i) Trabajo, W Supongamos un gas contenido en un cilindro con émbolo móvil, en equilibrio, con valores de presión y volumen, p y V, respectivamente. Si se añade calor al gas de tal manera que se expanda lentamente, esto es, cuasiestáticamente, para garantizar el equilibrio termodinámico del gas, entonces, el trabajo efectuado por el gas sobre el émbolo será,

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A Fg

Fe x

x

dW  Fdx  Fg dx  Fg  pA, A: Area del embolo dW  pAdx  pdV  dV  Adx, dV : Cambio de V debido a la expansión  W

vf

v

i

pdV  p p  V 

Por lo tanto, para calcular el W hecho por el gas (qué será asumido +) se deberá conocer p  p  V  . Una grafica p-V nos muestra al W hecho por el gas mediante el área bajo la curva,

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140

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pf

f W V vi

vf

Ahora, un detalle importante en cuanto a la realización del W hecho por el gas, es que este depende solo del proceso, más no de los estados i – f. Se muestra a continuación 2 curvas p-V entre los estados i-f que corroboran este hecho,

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p

pi

p

i

pi f

i

pf

w2

f

pf wi vi

vf

V

vi

vf

V

ii) Calor, Q El calor, forma de energía térmica, puede darse o extraerse de diversas formas para que el sistema evolucione del estado inicial al final, esto es, una vez más, esta CFE no es una función de los estados i-f, si no, del “camino” (proceso) para pasar de if. Por ejemplo, un gas ideal puede expandirse desde un Vi hasta un V f, a T  cte , absorbiendo calor, pero, se puede lograr lo mismo con un gas ideal haciendo que su energía interna cambie sin recibir Q.

6.3) 1ra Ley de la Termodinámica, Conservación de la Energía. Según lo observado para W y Q, cada una de ellas dependen de la forma como se realice la transformación del sistema entre los estados i  f; la cantidad de calor (energía térmica) que se agrega a un sistema se puede transformar en trabajo hecho por el sistema y cambios en su energía interna, de igual modo ocurre con el trabajo realizado por (o sobre) el sistema. Esto es, si se considerara la energía Q-W sobre un sistema, de observarían 2 hechos importantísimos, j) Sólo dependen de los estados inicial-final del sistema. jj) Provocan cambios de la energía interna del sistema, U, haciendo que U sólo dependa de los estados i-f.

De tal manera que, de acuerdo a la conservación de la energía, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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Q  W  U

Q  U  W

o

En esta ecuación, como ya se indicó, la energía U esta vinculada al estado del sistema, esto es, podría usarse para caracterizarlo. U es una propiedad del sistema, lo define; más aún, no es tanto U si no U la cantidad energética importante. U es por lo tanto una función de estado.

6.4) Procesos térmicos importantes. Describimos como un sistema termodinámico especial (gas ideal) se transforma del estado inicial al estado final, mediante la 1ra 2Ley de la termodinámica. i) PT con sistema aislado Q  0 y W  0  U  0  Ui  Uf



ii) PT cíclico Estado i  Estado f: U  0  Q  W



iii)PT Adiabático Q  0  U  -W



Caso especial: Expansión libre adiabática, W  0. iv) PT Isotérmico : U  0  Q  W  nRT ln 

Gas ideal

: pV  nRT

 V f  expansión  Vi

T  constante



v) PT isobárico p  constante

: W  pV, V  Vf - Vi



vi) PT isovolumétrico o isocoro V  constante: W  0  Q  U Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

 143

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Observaciones: j) Los Ws serán +s si los realiza el sistema sobre los exteriores y los Qs serán +s cuando se entregan al sistema. Por consiguiente, cuando W es hecho sobre el sistema o Q sale del sistema se habrán de considerar –s. jj) ¡Las ecuaciones  y  hacen indistinguibles a Q y W! Esto es, nunca se podrá distinguir microscópicamente si U fue producida por Q o W.

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EJERCICIOS - SOLUCIONARIO P(atm) I

A

4 3 2 1

B

F V(l)

0

1

2

3

4

12.- Un gas se expande de I a F a lo largo de tres posibles trayectorias, como se indica en la figura. Calcule el trabajo en joules realizado por el gas a lo largo de las trayectorias IAF, IF e IBF.

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13.- Un gas ideal está encerrado en un cilindro que tiene un émbolo móvil en la parte superior. El émbolo tiene una masa de 8000 g y un área de 5,0 cm 2, y se puede mover libremente hacia arriba y hacia abajo, manteniendo constante la presión del gas, ¿Cuánto trabajo se hace cuando la temperatura de 0,20 moles del gas se eleva de 20º a 300ºC?

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146

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15.- Una muestra de gas ideal se expande al doble de su 3

volumen original de 1,0 m en un proceso cuasi

p b

estático para el cual p = V2, con  = 5,0 atm/m6, como gue hecho por el gas en expansión?

P = V2 a V(m3) 0

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1,0

2,0

147

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16.- Un mol de un gas ideal realiza 3000 J de trabajo sobre los alrededores conforme se expande isotérmicamente hasta una presión final de 1 atm y un volumen de 25 L. Determine a) El volumen inicial. b) La temperatura del gas.

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148

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18.- Un gas es comprimido a una presión constante de 0,80 atm de 9,0 L a 2,0 L. En el proceso 400 J de energía térmica salen del gas. a) ¿Cuál es el trabajo efectuado por el gas? b) ¿Cuál es el cambio en su energía interna?

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21.- Cinco moles de un gas ideal se expanden isotérmicamente a 127ºC hasta cuatro veces su volumen inicial. Encuentre a) El trabajo hecho por el gas, b) La energía térmica transferida al sistema, ambos en joules.

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150

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22.- Se calienta helio a presión constante de 273 k a 373 k. si el gas realiza 20,0 J de trabajo durante el proceso, ¿Cuál es la masa del helio?

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23.- Un gas ideal inicialmente a 300 k se somete a una expansión isobárica a 2,50 kPa. Si el volumen aumenta de 1,00 m 3 a 3,00 m3, y se transfieren al gas 12,5 kJ de energía térmica, calcule a) El cambio en su energía interna b) Su temperatura final

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24.- Un mol de vapor de agua a 373 k se enfría a 283 k. El calor entregado por el vapor del agua que se enfría lo absorben 10 moles de un gas ideal, y esta absorción de calor ocasiona que el gas se expanda a una temperatura constante de 273 k. Si el volumen final del gas ideal es 20,0 L, determine su volumen inicial.

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25.- Durante una expansión controlada, la presión de un gas es: P  12e  bv atm, b 

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1 12m3

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Donde el volumen está en m3. Determine el trabajo efectuado cuando el gas se expande de 12 m3 a 36 m3.

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7) 2da Ley de la Termodinámica. Entropía

7) 2da Ley de la Termodinámica. Entropía La 1ra Ley muestra la conservación de la energía; la equivalencia entre W y Q para cambiar U, o sea, son indistinguibles, en ese sentido para un observador dentro del sistema. Sin embargo, el conocimiento de W y Q demanda MAS, por ejemplo, la 2da Ley de la Termodinámica nos indicará que no será siempre posible convertir todo el Q en W, siendo esto un comportamiento natural de nuestro universo. Definiremos la función de estado S, entropía, para describir la 2da Ley de la Termodinámica.

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7,1) Máquinas Térmicas y la 2da Ley de la Termodinámica Una máquina térmica, MT, es un dispositivo capaz de convertir energía térmica (calor) en otras formas de energía: Energía eléctrica o mecánica, por ejemplo. Podemos esquematizar una MT de la siguiente forma,

Tc Qc

U  O

En un ciclo:  W  Qneto

Qn W

 W  Qc - Qf

MT

Qf Tf

Como indica la figura, la MT toma energía del foco caliente, Q c, en un ciclo realiza trabajo W, entregando energía al foco frío Q f, esto es, recibe por ciclo la cantidad de energía Q n  Qc – Qf realizando W. La eficiencia, , de la MT se define de la siguiente forma,



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Qf W Qc  Q f   1 Qc Qc Qc

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De la 2da ley se desprende que, debido a que Q f  Qc, entonces,  < 1, esto es, no todo el Q se puede transformar en W. Esta es la llamada forma de Kelvin – Planck para la 2 da Ley.

7,2) Procesos Reversibles e Irreversibles Un proceso es reversible cuando un sistema termodinámico y los exteriores retornan a sus condiciones iniciales al final del proceso. Un proceso irreversible es lo contrario, esto es, una vez terminado el proceso el sistema o los exteriores no seguirán en sus condiciones iniciales. En la naturaleza todos los procesos son irreversibles.

7,3) La máquina de Carnot Es una MT ideal basada en un ciclo reversible ideal de tal forma que su eficiencia delimita la eficiencia de una MT real, trabajando entre los mismos focos de temperatura,

 c :  de la MT de Carnot     c  :  de la MT real  El ciclo reversible ideal que usa la MT de Carnot se denomina ciclo de Carnot y está constituido por 2 procesos adiabáticos y 2 isotérmicos, tal como la representa el diagrama p-V siguiente,

p

A

Qc B

Tc

D C

Qf

Tf V

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La eficiencia de la máquina de Carnot es,

c  1

Tf Tc

7,4) Entropía, S Es la función de estado termodinámico que describe el grado de desorden del sistema. Debido a que es una función de estado los cambios de entropía, S  Sf – Si, sólo dependerán de los estados inicial- final. La definición de Clausius del cambio infinitesimal de la entropía, cuando un sistema termodinámico desarrolla un proceso infinitesimal, siguiendo una trayectoria reversible a la temperatura T, transfiriéndole una cantidad de energía dQ r es,

dS 

dQr T

Esta definición conduce a dos resultados interesantes: primero, en los sistemas aislados la entropía aumenta, esto es, el desorden del sistema aumenta (mecánica estadística) y, como veremos, la entropía del universo aumenta en todos los procesos. Segundo, ahora, un cambio macroscópico de la entropía, finito, resulta,

f

S   ds   i

i

f

dQr T

Esto conduce a que S  O, en procesos cíclicos,

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S  

i

f i

dQr 0 T

Caso especial: Ciclo de Carnot S  0.



Determine la eficiencia de diversas MT, motor de auto, diesel, OTTO, STIRLING, etc. -

Motor de auto: Un motor de combustión interna, motor a explosión o motor a pistón, es un tipo de máquina que obtiene energía mecánica directamente de la energía química de un combustible que arde dentro de una cámara de combustión. Su nombre se debe, a que dicha combustión se produce dentro de la máquina en sí misma.

-

Motor Diesel: La eficiencia o rendimiento (proporción de la energía del combustible que se transforma en trabajo y no se pierde como calor) de los motores diésel dependen, de los mismos factores que los motores Otto, es decir de las presiones (y por tanto de las temperaturas) inicial y final de la fase de compresión. Por lo tanto es mayor que en los motores de gasolina, llegando a superar el 40%. en los grandes motores de dos tiempos de propulsión naval. Este valor se logra con un grado de compresión de 20 a 1 aproximadamente,

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contra 9 a 1 en los Otto. Por ello es necesaria una mayor robustez, y los motores diésel son, por lo general, más pesados que los motores Otto. Esta desventaja se compensa con el mayor rendimiento y el hecho de utilizar combustibles más baratos.

-

Motor Otto:

La eficiencia o rendimiento medio de un buen motor Otto es de un 20 a un 25%: sólo la cuarta parte de la energía calorífica se transforma en energía mecánica.

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-

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Motor Stirling:

El motor Stirling es el único capaz de aproximarse (teóricamente lo alcanza) al rendimiento máximo teórico conocido como rendimiento de Carnot, por lo que, en lo que a rendimiento de motores térmicos se refiere, es la mejor opción. Conviene advertir que no serviría como motor de coche, porque aunque su rendimiento es superior, su potencia es inferior (a igualdad de peso) y el rendimiento óptimo sólo se alcanza a velocidades bajas. El ciclo teórico Stirling es inalcanzable en la práctica, y el ciclo Stirling real tendría un rendimiento intrínsecamente inferior al del ciclo Otto, además el rendimiento del ciclo es sensible a la temperatura exterior, por lo que su eficiencia es mayor en climas fríos como el invierno en los países nórdicos, mientras tendría menos interés en climas como los de los países de habla hispana, conservando siempre la ventaja de los motores de combustión externa de las mínimas emisiones de gases contaminantes, y la posibilidad de aceptar fuentes de calor sin combustión.

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

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Que variedad de MT existen.

Una máquina térmica es un conjunto de elementos mecánicos que permite intercambiar energía, generalmente a través de un eje, mediante la variación de energía de un fluido que varía su densidad significativamente al atravesar la máquina. Se trata de una máquina de fluido en la que varía el volumen específico del fluido en tal magnitud que los efectos mecánicos y los efectos térmicos son interdependientes.

Clasificación 

Según el sentido de transferencia de energía Las máquinas térmicas pueden clasificarse, según el sentido de transferencia de energía, en: -

Máquinas térmicas motoras, en las cuales la energía del fluido disminuye al atravesar la máquina, obteniéndose energía mecánica en el eje.

-



Máquinas térmicas generadoras, en las cuales la energía del fluido aumenta al atravesar la máquina, precisándose energía mecánica en el eje.

Según el principio de funcionamiento Atendiendo al principio de funcionamiento, las máquinas térmicas se clasifican en: -

Máquinas volumétricas o máquinas de desplazamiento positivo, cuyo funcionamiento está basado en principios mecánicos e hidrostáticos, de manera que el fluido en algún instante está

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contenido en un volumen limitado por los elementos de la máquina. En este tipo de máquinas el flujo es pulsatorio. Se dividen a su vez en dos tipos según el movimiento del órgano propulsor: alternativas, cuyo movimiento es rectilíneo; y rotativas, cuyo movimiento es circular. -

Turbomáquinas, cuyo funcionamiento está basado en el intercambio de cantidad de movimiento entre el fluido y un rodete. En estas máquinas el flujo es continuo. Teniendo en cuenta lo anterior, podemos clasificar las máquinas térmicas tal como se recoge en el cuadro siguiente.



Cuál es el enunciado de R. Clausius de la 2da Ley. Existen diferentes formas de enunciar la segunda ley de la termodinámica, pero en su versión más simple, establece que “el calor jamás fluye espontáneamente de un objeto frío a un objeto caliente”. Resulta deseable construir un refrigerador que pueda realizar su proceso con el mínimo de trabajo. Si se pudiera construir uno donde el proceso de refrigeración se realice sin ningún trabajo, se tendría un refrigerador perfecto. Esto es imposible, porque se violaría la segunda ley de la termodinámica, que es el enunciado de Clausius de la segunda ley (Rudolf Clausius, alemán, 1822-1888): “es imposible construir una máquina cíclica, que no tenga otro efecto que transferir calor continuamente de un cuerpo hacia otro, que se encuentre a una temperatura más elevada”.

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En términos sencillos, el calor no puede fluir espontáneamente de un objeto frío a otro cálido. Este enunciado de la segunda ley establece la dirección del flujo de calor entre dos objetos a diferentes temperaturas. El calor sólo fluirá del cuerpo más frío al más cálido si se hace trabajo sobre el sistema. Aparentemente los enunciados de Kelvin – Planck y de Clausius de la segunda ley no están relacionados, pero son equivalentes en todos sus aspectos. 

Porqué la naturaleza permite procesos irreversibles. En termodinámica, el concepto de irreversibilidad se aplica a aquellos procesos que, como la entropía, no son reversibles en el tiempo. Desde esta perspectiva termodinámica, todos los procesos naturales son irreversibles. El fenómeno de la irreversibilidad resulta del hecho de que si un sistema termodinámico de moléculas interactivas es trasladado de un estado termodinámico a otro, ello dará como resultado que la configuración o distribución de átomos y moléculas en el seno de dicho sistema variará. Cierta cantidad de "energía de transformación" se activará cuando las moléculas del "cuerpo de trabajo" interaccionen entre sí al cambiar de un estado a otro. Durante esta transformación, habrá cierta pérdida o disipación de energía calorífica, atribuible al rozamiento intermolecular y a las colisiones. Lo importante es que dicha energía no será recuperable si el proceso se invierte.

Los procesos reversibles en realidad no ocurren en la naturaleza, solo son idealizaciones de procesos reales. Los reversibles se pueden aproximar mediante dispositivos reales, pero nunca se puede lograr; es decir, todos los procesos que ocurren en la naturaleza son irreversibles. Entonces, quizá se pregunte porque preocuparse de esta clase de procesos ficticios. Hay dos razones: una es que son fáciles de analizar, puesto que un sistema pasa por una serie de estados de equilibrio durante un proceso reversible; y otra es que sirven como modelos idealizados con los que es posible comparar los procesos reales. 

Conoce algunos procesos aproximadamente reversibles. En la realidad, las transformaciones reversibles no existen, ya que no es posible eliminar por completo efectos disipativos, como la fricción, que produzcan calor o efectos que tiendan a perturbar el equilibrio, como la conducción de calor por diferencias de temperatura. Por lo tanto no debe sorprender que los procesos en la naturaleza sean irreversibles. El concepto de proceso reversible es de especial importancia para establecer el límite teórico de la eficiencia de las máquinas térmicas



En las MT los procesos son reversibles o irreversibles? Las máquinas térmicas pueden ser reversibles o irreversibles; siendo solo la máquina de Carnot (como ideal - ciclo reversible >> por tanto la máquina que opere según dicho ciclo es una máquina reversible.)

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

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Los procesos reversibles no cambian la entropía del universo?. La entropía total del universo, en un proceso reversible (aunque realmente no se dan porque son procesos ideales) la entropía del universo se mantiene constante.



Los procesos irreversibles sí cambian la entropía del universo.? La entropía total del universo SIEMPRE crece cuando se dan procesos irreversibles la entropía siempre crece.



A que se denomina muerte térmica del universo. Todo fenómeno termodinámico tiene una pérdida de energía característica llamada entropía. No existe el proceso termodinámico sin pérdida de energía, y bajo ese principio se cree que todo el universo también se rige, de forma tal que siempre hay una pérdida de energía bajo el fenómeno de la entropía que llevará poco a poco a la extinción del universo (muerte térmica del Universo).

La Segunda Ley no es más que una observación cotidiana elevada al rango de ley fundamental: el calor pasa de los cuerpos calientes a los fríos. Esta, en apariencia, inofensiva ley tiene como consecuencia la llamada muerte térmica, un estado final del universo predicho por primera vez por el alemán Hermann von Helmholtz en 1854 y avanzado por William Thomson dos años antes. Dicho de manera sencilla: El destino final del universo es una situación donde la temperatura será la misma en todos los lugares. En estas condiciones toda la energía del universo estará en forma degradada, inútil, y el destino de toda forma de vida es la muerte sin posibilidad alguna de redención. La idea de la muerte térmica, un final nada atractivo para toda existencia, tuvo una repercusión tremenda sobre la filosofía de finales del siglo XIX y principios del XX y sumió en el pesimismo a muchas grandes mentes



En que consiste la 3ra Ley de la Termodinámica.

El tercer principio de la termodinámica o tercera ley de la termodinámica afirma que no se puede alcanzar el cero absoluto en un número finito de etapas. Sucintamente, puede definirse como: -

Al llegar al cero absoluto, 0 K, cualquier proceso de un sistema físico se detiene.

-

Al llegar al cero absoluto la entropía alcanza un valor mínimo y constante.

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En términos simples, la tercera ley indica que la entropía de una sustancia pura y cristalina en el cero absoluto es nula. Por consiguiente, la tercera ley provee de un punto de referencia absoluto para la determinación de la entropía. La entropía relativa a este punto es la entropía absoluta.

Un caso especial se produce en los sistemas con un único estado fundamental, como una estructura cristalina. La entropía de un cristal perfecto definida por el teorema de Nernst es cero (dado que el

). Sin embargo, esto desestima el hecho de que los cristales reales

deben crecer en una temperatura finita y poseer una concentración de equilibrio por defecto. Cuando se enfrían generalmente son incapaces de alcanzar la perfección completa. Esto, por supuesto, se mantiene en la línea de que la entropía tiende siempre a aumentar dado que ningún proceso real es reversible.



Como se puede mostrar que la MT ideal de Carnot corresponde al caso ideal de máquina térmica.

1. No puede existir una máquina térmica que funcionando entre dos fuentes térmicas dadas tenga mayor rendimiento que una de Carnot que funcione entre esas mismas fuentes térmicas. Para demostrarlo supondremos que no se cumple el teorema, y se verá que el no cumplimiento transgrede la segunda ley de la termodinámica. Tenemos pues dos máquinas, una llamada X y otra, de Carnot, R, operando entre las mismas fuentes térmicas y absorbiendo el mismo calor de la caliente. 2. Dos máquinas reversibles operando entre las mismas fuentes térmicas tienen el mismo rendimiento. Igual que antes, suponemos que no se cumple el teorema y veremos que se violará el segundo principio. Sean R1 y R2 dos máquinas reversibles, operando entre las mismas fuentes térmicas y absorbiendo el mismo calor de la caliente, con distintos rendimientos



Mejora el rendimiento de una máquina térmica si se aumenta la diferencia entre temperaturas de sus focos caliente y frío?

El rendimiento es proporcional a la diferencia de temperaturas entre los focos:

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167

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Por tanto el rendimiento de una máquina térmica puede mejorarse si se consigue aumentar la diferencia entre las temperaturas de sus focos caliente y frío. 29.- Una máquina térmica absorbe 360 J de energía térmica y realiza 25 J de trabajo en cada ciclo. Encuentre

a) La eficiencia de la máquina m

th



Wn Qa



25 360

 6.94%

b) La energía térmica liberada en cada ciclo. Qa  Qb  360 J  25 J  335 J

30.- El calor que absorbe una máquina es tres veces mayor que el trabajo que realiza. a) ¿Cuál es su eficiencia térmica?

m

t h



Wn Qa



x 3x

 33.3%

b) ¿Qué fracción del calor absorbido es liberado hacia el depósito frío?  Qb  2 x  Qa  3 x

Wn  Qa  Qb  3x  Qb  x  

 .(3 x)  (2 x)    2 3

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168

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32.- Una máquina absorbe 1600 J de un depósito caliente y expulsa 1000 J hacia un depósito frío en cada ciclo. a) ¿Cuál es la eficiencia de la máquina?



Q2  Q1 Q2



1600  1000 1600

 37.5%

b) ¿Cuánto trabajo se efectúa en cada ciclo? W  Q2  Q1  1600 J  1000 J  600 J c) ¿Cuál es la salida de potencia de la máquina si cada ciclo dura 0,30 s? P

Q2  Q1 t



1600 J  1000 J 0.3 s

 2000 W



1J  1watt   s 

34.- Se ha propuesto una central eléctrica que aprovecharía el gradiente de temperatura del océano. El sistema operará entre 20ºC (temperatura del agua superficial) y 5ºC (temperatura del agua a una profundidad cercana a 1 km) a) ¿Cuál es la eficiencia máxima de un sistema con esas características?

  1

T1 T2

 1

278.15 293.15

 5.1%

b) Si la salida de potencia de la planta es 75 MW, ¿Cuánta energía térmica se absorbe por hora?



P2 

W Q2

75 0.051



P P2

 37.5% o sea la potencia absorbida es :

6 12 MW= 1470 MW  En una hora 1470 x 3600 x 10 J = 5.29 x 10 J

c) ¿Qué factor compensatorio hace interesante esta propuesta a pesar del valor calculado en a)? Al ser solo 5.1% eficiente no sería un buen proyecto; pero al no gastar dinero por la energía que se usa ya que es una energía renovable compensa la poca eficiencia de dicho sistema.

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36.- La eficiencia de una central nucleoeléctrica de 1000 MW es 33%; esto es, 2000 MW de calor se liberan al ambiente por cada 1000 MW de energía eléctrica producida. Si se utilizara un río de 106 kg/s de tasa de flujo para transportar el exceso de energía térmica, ¿Cuál sería el aumento de la temperatura promedio del río?

P  1000 MW P  2000MW 1

 = 0.33

Esto es se esta entregando al rio : 2 x109 W  2 x0.24 x109 cals 1 y el agua fluye a razon de :106 Kg s 1  109 g s 1

Osea : T =

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Q mc



2 x 0.24 x109 109

 0.48º C

170

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8) CARGA Y MATERIA

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171

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8) CARGA Y MATERIA La carga eléctrica Es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos. Masa: Es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo

+ Modelo de Partícula:

q

-

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172

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8.1) CARGA ELECTRICA Es la propiedad de la materia responsable de la interacción eléctrica (IE). q  IE

8.2) CARACTERISTICAS DE LA CARGA

i) Polarización

q

+ , q positiva - , q negativa

q+ -----> protón q - ------>electrón

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Fenomenología

173

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ii) Cuantización La carga eléctrica no es continua, o sea, no es posible que tome valores arbitrarios, sino que los valores que puede adquirir son múltiplos enteros de una cierta carga eléctrica mínima. Esta propiedad se conoce como cuantización de la carga .

La propiedad carga es discreta.

q   q   1,6  1019 C

, C : Coulomb

m p  , m: entero, p+: q del protón

Q Q=

n e  , n : entero, e-:q del electrón

Observaciones:

j) Formas de electrizar los cuerpos: Q:

Frotación, Contacto, Inducción. Laser, RX, : etc

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174

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jj) Prueba experimental

Experiencia de la “GOTA DE ACEITE” de Robert Millikan.

El experimento de la gota de aceite fue un experimento realizado por Robert Millikan y Harvey Fletcher en 1909 para medir la carga elemental (la carga del electrón). Este experimento implicaba equilibrar la fuerza gravitatoria hacia abajo con la flotabilidad hacia arriba y las fuerzas eléctricas en las minúsculas gotas de aceite cargadas suspendidas entre dos electrodos metálicos. Dado que la densidad del petróleo era conocida, las masas de las “gotas ", y por lo tanto sus fuerzas gravitatorias y de flotación, podrían determinarse a partir de sus radios observados. Usando un campo eléctrico conocido, Millikan y Fletcher pudieron determinar la carga en las gotas de aceite en equilibrio mecánico. Repitiendo el experimento para muchas gotas, confirmaron que las cargas eran todas múltiplos de un valor fundamental, y calcularon que es 1,5924|(17).10 -19 C, dentro de un uno por ciento de error del valor actualmente aceptado de 1,602176487|(40).10 -19 C. Propusieron que ésta era la carga de un único electrón. Su experimento mide la intensidad de fuerza eléctrica contra la fuerza de atracción gravitatoria en las minúsculas gotas de aceite, cargadas por rozamiento, suspendidas entre dos electrodos metálicos. Conociendo el campo eléctrico, se determina la carga en la gota. Repitiendo el experimento para muchas gotas, Millikan demostró que los resultados podían ser explicados como múltiplos enteros de un valor común 1,592x10-19 C, la carga de un único electrón. La llamada carga elemental e es una de las constantes físicas fundamentales y su valor exacto es de gran importancia. En 1923, Millikan, ganó el Premio Nobel de física, en parte debido a este experimento. Aparte de la medición, la belleza del experimento de la gota de aceite reside en que es una simple y elegante demostración práctica de que la carga está en realidad cuantizada. Thomas Edison, quien había considerado la carga como una variable continua, se convenció después de trabajar con el aparato de Millikan y Fletcher. Este experimento ha sido repetido por generaciones de estudiantes de física, aunque es bastante caro y difícil de hacer correctamente.

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Procedimiento: El aparato de Robert Millikan incorpora un par de placas metálicas paralelas horizontales. Al aplicar una diferencia de potencial entre las placas, se crea un campo eléctrico uniforme en el espacio entre ellas. Se utilizó un anillo de material aislante para mantener las placas separadas. Cuatro agujeros se cortaron en el anillo, tres para la iluminación con una luz brillante, y otra para permitir la visualización a través de un microscopio. Una fina niebla de gotas de aceite se roció a una cámara por encima de las placas. El aceite era de un tipo utilizado normalmente en aparatos de vacío y fue elegido porque tenía una presión de vapor extremadamente baja. El aceite ordinario se evaporaría bajo el calor de la fuente de luz causando que la masa de la gota de aceite cambiara durante el transcurso del experimento. Algunas gotas de aceite se cargaban eléctricamente a través de la fricción con la boquilla cuando fueron rociadas, mientras otras se descargaban hasta hacerse cationes y otras se volvían neutras. Como alternativa, la carga podría llevarse a cabo mediante la inclusión de una fuente de radiación ionizante (como un tubo de rayos X).

Fraude científico – Acusaciones de fraude

Existe cierta controversia planteada por el historiador Gerald Holton sobre el uso de la selectividad en los resultados de Millikan de su segundo experimento para la medición de la carga del electrón. Holton (1978) señaló que Millikan descartó un gran conjunto de las gotas de aceite obtenidas en sus experimentos sin razón aparente. Allan Franklin, un antiguo investigador en alta energía y actual filósofo de la ciencia en la Universidad de Colorado ha tratado de rebatir este punto de Holton. Franklin afirma que las exclusiones de Millikan de datos no afectan el valor final de la e que Millikan obtuvo, pero admite que hubo una sustancial "cirugía estética" que realizó Millikan y que tuvo el efecto

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176

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de reducir el error estadístico en e. Esto permitió a Millikan citar que había calculado e con un error menor que una media del uno por ciento, de hecho, si Millikan hubiese incluido todos los datos que obtuvo, habría sido del 2%. Aunque todo esto podría haberse traducido en que Millikan había medido el valor de e, mejor que nadie en ese momento, la incertidumbre de un poco más grande podría haber permitido un mayor desacuerdo con sus resultados en la comunidad de físicos. David Goodstein cuenta que Millikan establece claramente que solamente incluyó las gotas que se habían sometido a "una serie completa de observaciones" y no excluyó ninguna gota de este grupo

iii) Conservación En todo proceso observado en la naturaleza la q se conserva. j) ++ Vidrio jj) jjj) jv)

--

Tela

  e  e NaCl  Na   Cl 

p  n  e  

8.3) FENOMENOLOGIA: Ley de Coulomb La ley de Coulomb puede expresarse como: La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Q q: Partícula de carga q

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r r F  Fe

* Matematización:

r Fe  q1q2 r 1 2 Fe d 

Fe  k

q1q2 d2

k : cte de Coulomb 1 k  9  109 4 0

 0 : permitividad electrica del vacio, informa acerca de las Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo propiedades electricas del vacio.  0  8.85  1012

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Generalizando: q1

r

r r1

r

 r2  r1 

q2

r F21

r r r r kq1q2  r2  r1   F12  F21  r r3 r2  r1

r r2

ADAPTACIÓN DE LA ECUACION A DIVERSAS DISTRBUCIONES DE CARGA

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K) D DISCRETAS, n q

r r r kqqi  r  ri  Fe,q  r r 3 r  ri

qi q1

qn

r Fe

r ri

r r r in r kqqi  r  ri  F   Fi   r r 3 r  ri i 1 i

r r

kk) D CONTINUAS, “n” 

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181

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182

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l) D Volumétrica,

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

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carga r    r ' volumen 183

dq   dV

dV

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r r'

q

r dF

r r

r r dF : Fe de dq sobre q r kqdq  rr  rr  dF  r r3 r  r r r F  Fe sobre q debido a  r r r r r kq   r   dv '  r  r   F   dF   r r3  r  r 

ll) D Superficial:



carga r    r  superficie

r rr r kq  r  ds '  r-r   F   rr 3 r-r

lll) D. Lineal:



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carga r    r longitud 184

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r rr r kq  r  dl '  r-r  F   rr 3 r-r

Aplicaciones: S5P13) Dos cargas eléctricas iguales a q están separadas una distancia 2a, determine: a) La sobre una carga Q colocada en un punto de la mediatriz del segmento que las une. b) Calcule el valor máximo de esta fuerza. Solución: Solución:

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1 Q x



q 2

r r r kq1q2  r2  r1  F21  r r3 r2  r1

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186

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r r a ) Fe1  Fe 2  F r kQq Fe  2 F cos iˆ , donde : F  d2 cos 

x x2  a2

Con lo que : r Fe  2

kQq x  2 {x  a } x2  a2



2



12

iˆ

b) x  ?  extremar 

d   dx 

 



x

x

2

x

a



 f  x  0



2 3 2

a 2



...?

S5P23) Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2L, que va desde y=-L hasta y=+L,(ver figura) se coloca la carga q en el eje x, en x=D, a) b) c) d) e)

¿Qué dirección tiene la fuerza sobre q, si q y Q tiene el mismo signo? ¿Cuál es la carga sobre un segmento de la varilla de longitud dy? ¿Cuál es el vector fuerza sobre la carga q debido a la carga en dy? Deduzca una integral que describa la fuera total en la dirección x. Calcule dicha integral.

Solución: Solución:

Y L Q q 0 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

-L

r r

r Fe r dFe

X 187

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 Q  dy  2 L r r r r r  D iˆ , r '  y ˆj :  r  r    D iˆ  y ˆj r r3  r  r  D2  y2 dl  dy  dq   dy  

r Fe 

L



L





kq dy D iˆ  y ˆj



D2  y2

L r Fex  kq D 

L

L r Fey   Kq 

L



32

  Fr

r ˆ ˆ ex i  Fey j

dy

D

2

y



2 32

ydy

D

2

y

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2





32

32

 2kq 0

188

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S5P46) Dos masas m de cobre cargadas con q C se cuelgan de hilos en un punto P, luego se observa que ellos se separan una distancia x. Si el   es pequeño, demostrar que:



lq 2  x  2  mg 0  

1/ 3

SOLUCION: P



l

q

q x/2 x

Para probar x debemos partir del equilibrio de q,

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189

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r T 

w



T

Fe Fe w

kqq 2 Fe x tg   w mg 2

 

kq  x 2 mg

  pequeño  tg  

 x / 2 l



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x  2l

 q2 x3 lq 2    x  4  0 mg 2 l  2 0 mg

1/ 3

2

190

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9) CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS

9.1) Definición de campo eléctrico,

r E

El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor sufre los efectos de una fuerza eléctrica

dada por la siguiente ecuación:

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191

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Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.

r El vector E describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.

r r Fe E q0

r Fe

q0

P

r E

P 

q

Donde: q0 : Carga de prueba , q0   q0  0

Campo eléctrico: eléctrico:

“Las interacciones del campo no son instantáneas”

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192

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“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”

r E

Ecuaciones de E i) q

q

P r E (qrr )

r r r r

rq E ( rr ) 

r r kqq0  r  r   r r3 r  r q0

r kqr r r  r 3 , si r   0 r

En general : r r kq  rr  rr  Eq (r )  r r 3 r  r

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193

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ii) Distribuciones Discretas, DD

qi qi

P r E (qrri )

r r ri  r '

r r

r r in r i  n kq r  r r DD r   r E  r    E qi  r    ri r 3 i r  ri i 1 i 1

iii) Distribuciones continuas: continuas: j) Volumétrica

r r r k  dv  r  r   E  rr    r r 3 , v : representa el volumen r  r 

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194

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jj) Superficial

r r r k da  r  r   E  rr    r r 3 , a o s : representa el área r  r  jjj) Lineal

r r r k  dl   r  r   E  rr    r r 3 , l : representa la longitud r  r  “Las distribuciones de carga crean el campo”

Observaciones

j)

r u  E  N C

r r Fe jj) E  : definición operacional q0

r r Fe  q0 E , jjj) r jv) El E

r Fe : Fuerza " sentida " por q0 . r E : creado por cierta distribución de cargas en la posición de q0 .

es usado intensivamente en las ecuaciones.

9.2) Lineas de fuerza, LF Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

195

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 rr 

P

r r r r

r r r r k   r  dv  r  r   E  rr    r r3 r  r  r  , E se obtiene por definicion

→ LEY DE GAUSS: ρ de alta simetría . r → Útil sólo para  de alta simetría: E “fácil” de calcular. → LF / LF=simetría  .

Definición de lineas de fuerza r r Son las trayectorias descritas por las q0 debido a la Fe  qE



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

generada por cierta  .

196

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r Fe r   r '

q0

LF “La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”

LF para diversas distribuciones de carga i)   q

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197

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q

r Fe

q0

q

ii)  : q1  q2

 g|q|   g+ gd 

Caso especial:

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198

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 q1 q2 q 

 q1     q2  

 d  " pequeña " 

Dipolo eléctrico: Modelo más simple para describir sistemas cargados (cuando d se aprox. a 0)

d

q

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-q

199

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iii)    

O



iv)   

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200

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



O

v)    0    r 

Q    dv

Q

Características q0

j)

r E

r E tg LF

jj)



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

201

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jjj) No se cruzan jv) Distribución de LF: k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad. kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.

9.3) Ley de Gauss Establece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficie cerrada, llamada gausiana y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.

Johann Carl Friedrich Gauss, El príncipe de las matemáticas.

Definición del flujo eléctrico, Er

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202

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r Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa la superficie.

r r r r ES  Er   E.ds   E.da ,

r E

S

S

r r ds  da : vector de area elemental

r da da SA

r r  da da da  r   da  da Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

203

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Ley de Gauss

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204

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205

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206

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SG

r r Er ,SG  Ñ E  .da 

qNE

SG

r r qNE SG E.da   0 Ñ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

207

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qNE 

  dV

SG

Para simplificar los cálculos ver que:

r r r E da  E da cos r r r r 1º   0    E da  E da r r r r r 2º E  cte  E da  E da E sale dela 





*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}

-

Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.

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208

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Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente y completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Juventud Johann Carl Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777, en una familia muy pobre: Su abuelo era allí un humilde jardinero y repartidor. Nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió. De pequeño, Gauss fue respetuoso y obediente y, en su edad adulta, nunca criticó a su padre por haber sido tan rudo y violento, que murió poco después de que Gauss cumpliera 30 años. Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la aritmética desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó en la escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el profesor propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética. Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros. El matemático Martin Bartels era asistente de Büttner en la escuela de Brunswick y desde que Gauss lo conoció se aceleraron sus progresos en Matemáticas. Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años se empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, que caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron, como Newton, Euler, Lagrange y otros más.

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209

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A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los 16 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría. A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían dejado a medias sus predecesores en materia de teoría de números. Así descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que para él «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick Ferdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por su modestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss para asegurar que su educación llegara a buen fin. Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum para continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tres años en el Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las matemáticas o a la filología. En esta época ya había descubierto su ley de los mínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss por la teoría de errores de observación y su distribución.

Madurez En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y compás. Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra(disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembertanteriormente. En 1801 publicó el libro Disquisitiones Arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de lasmatemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita de Ceresaproximando parámetros por mínimos cuadrados. En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales ysecciones cónicas. Gauss murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.

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210

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-

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Que otros flujos se usan en la Física.

La palabra flujo se puede referir a varios conceptos de diversos campos: En física: -

Flujo eléctrico:

-

Flujo magnético: medida de la cantidad de magnetismo.

-

Flujo radiante: energía emitida en la unidad de tiempo por una fuente de radiación electromagnética.

-

Flujo luminoso: energía emitida en la unidad de tiempo por una fuente luminosa, ponderada por la sensibilidad del ojo humano a las diferentes longitudes de onda.

-

Flujo calórico: calor suministrado por unidad de tiempo.

Ejemplo

Z



dl  dz dq   dz

r r X

r E

Y

r r

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211

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1º Por la definición de

r E

r r r k  dl   r  r   E  rr    r r3 r  r  r r E  r  



 

k  dz rjˆ  zkˆ

r



Ey  kr 





2

 z2



32

dz



r 2  z2



Ez   k  



r r  rjˆ r r   zkˆ

r

z

y

r r



 ¿?



32

 0, por simetria

2

r r

r 2  z2

ˆj  E z kˆ

32

zdz 2

 E

 r  r    rjˆ  zkˆ   r  r  

2º   alta simetría  Gauss

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212

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



r

r

H

r E

H

r r da

r E

O

SG=SCL+STS+STI

r r E Ñ  da  

SG



SCL

STS

6 7 8r r da || E 



STI



qNE 0

6 7 8r r da  E



r r qNE E da  0  0  , SG : E  cte 0

SCL

r  E

r  H d a  E 2  r H      0  SCL 

r  E 

 2 r 0

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213

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S5P22) a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero. b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo resultante. c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje X. Solución: Q

q-

q+

E- P E+

S x

d1

0

a) Para el punto S:

d0

d

E  E  

k q d2



x

k q

 d0  d 

2



2q d2



 1   d  d  2  5d 2  4 

5q  1    d  2 

2

2

3d 2  2d 

1  0  d1,2 2

 1 2  4  4  3    2  10  2   d1   0,9 23 6

Igual en Q:

E 

 

k 2q 

1 d   1  2 

3d12  5d1 

2

 E 

   2d

k 5q

5  0  d11,2  4

d12

2 1

 5d12  5d1 

5  25  4  3  23

5 4



5 4

5  10  0,3; 1,4 6 b)

-

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+

x

214

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c) Para el punto S:



 r k  2q ˆ k  5q ˆ  ET  i  i  kq  2 2 x 1     x   2   



2  1 x   2

2

 5 ˆ  2 i  ET iˆ x 



 

ET  kq 

2   x  1    2

2

 5 1  2  x ,L x 2 

hay que especificar para cada región

Ey

ET

E+

0,9 0 E+

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0,5

x E+

215

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R0

0

centro de la circunferencia q0

R0/2

d

S5P7) En la distribución mostrada 0 es constante y q0 es una carga puntual. Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.

Solución:

0

0’

q r

R0/2

d

R0 0

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216

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Por superposición:

Q

Q’

0

0’ 

+

r

-0 0

r r r  kQ kQ '  ˆ Eq0  EQq0  EQ ' q0   2   i; d d  R / 2     0 4 4  R Q   0  R03 , Q '    0   0 3 3  2

3



Q 8





  r 4 3  1 1  ˆ Eq0  k 0 R0  2  i  Eq0 iˆ 2 3 d R   8  d  0   2   

Si d  R0 

R0  1{ despreciando los cuadrados} d

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217

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

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1 R d  1  0 2d  2



2

R 1   2  1  0 d  2d

2

2

R     R  1  0  1  0 2 d    d

Usando la aproximación del Binomio de Newton:

(1  x) n  1  nx cuando x  1

 1  R0 / d   4  R03   Eq0  k 0 1    8  3 d2  1 4 42 4 43 R03  R  4 1 Eq0   k 0 2  1   1  0 3 d  8 d  R03  R 1 Eq0   k 0 2  7  0 6 d  d Ahora, usando

r r F  q0 E

r R03  R 1 Fq0   q0 k 0 2  7  0 iˆ 6 d  d

S5P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal ()= 0 cos, donde 0 es una constante positiva y  el ángulo azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico? Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

218

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Z P zd  0

y 

x

R dq

a) En el centro del anillo b) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresión obtenida para d >> R.

a)

r r r k  ( )dl  r  r ' E  0   r r 3 r r' 

r r r r  0, r '  R cos  iˆ  Rsen ˆj r   r  r '   R cos  iˆ  Rsen ˆj r r 3 r  r 1  R 3 ; dl  Rd

r k 0  E  0   R 



2

0

  1 ˆ ˆ  cos {  d i  2 sen { 2 d j     

2

1  1  cos 2  2 r r k 0 ˆ k  E  0  i  E  0  0 R R b)

r r r  zkˆ , r '  R cos  iˆ  Rsen ˆj

r r   r  r '    R cos  iˆ  Rsen ˆj  zkˆ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

219

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r r 3 r  r '  R2  z 2



r  E  z 





3/ 2

; dq   R d 

k 0 R 2 R z 2

2



3/ 2







2

0

  1 z ˆ ˆ ˆ  cos {  d i  2 sen { 2 d j  R cos {  d k     

2

r r  k 0 R 2 ˆ k 0 R 2 E  z  i  E  z  , 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 R z R z









r k 0 R 2 lim E  z   z  R z3

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220

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S5P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco. Solución: A) Usando coordenadas polares ( coordenadas cilíndricas en el plano)

z

r r



rr r'

y

x

y da=(rd)dr dr d

r x 

r r r r r kdq  r  r ' E  r    r r 3  k I r r' 

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221

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dq   da    rd dr  r r   0,0, z  r r '   r cos , rsen ,0  r k   rd dr   r cos ,  rsen , z  I  3/ 2 s r2  z2





 



0

cos d

r 2 R I   0



0

r



=0

0

0

2

0

rzdrd 2

2

  

2

R

z



2 3/ 2



0



0

2

   2  z  0 2 2  r  z 



=0

2

 z2





3/ 2



(por evaluarse en sus periodos)

kˆ

2



 kˆ 

3/ 2





rdr

R

r

zrdr

R

 r cos , rsen , z  rd dr

sen d

d     r z 



2





 kˆ 

3/ 2



r  z z  ˆ E  z   k  2     k 2 2 z R  z  

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222

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r z ˆ  k  2  kˆ E  z   k  2  k   z   k  2  kˆ r   1 E  z   k  2     2     4 0  2 0

: El E de un plano! (verifíquelo usando

LG)

B) Usando anillos de =dr z

r r



rr r'

y

x

b)

r r r  zkˆ , r '  r cos  iˆ  rsen ˆj

r r   r  r '    r cos  iˆ  rsen ˆj  zkˆ r r 3 r  r '  r2  z2





3/ 2

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; dq   rd

223

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r  dE   z  

r



k rdr 2

z

2



3/ 2







2

0

  ˆ ˆ ˆ  r cos  d  i  rsen  d  j  zd  k  14 2 43  {      

R r r k (2 ) zrdr ˆ k (2 ) zrdr ˆ dE  z   k  E  z   k 3/ 2 3/ 2 2 2 2 2 r z 0 r  z









r  z z  ˆ E  z   k  2     k 2 2 z R  z  

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