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CONTENIDO: GRAVITACIÓN MOVIMIENTO OSCILATORIO MOVIMIENTO ONDULATORIO MECÁNICA DE FLUIDOS TEMPERATURA DILATACIÓN Y CALOR

AUTOR:

MSc. RICARDO ROMERO LOAIZA

UNA - PUNO 2015 1

INDICE PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA GRAVITACIÓN Pág. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5.1 1.5.2

GRAVITACIÓN LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON MIDIENDO LA MASA DE LA TIERRA: EL EXPERIMENTO DE GAVENDISH MASA Y PESO INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (g) ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD LA SUPERFICIE DE UN PLANETA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD A UNA ALTURA “H” DE LA SUPERFICIE DEL PLANETA (g). 1.5.3 VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA 1.5.4 VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA TIERRA 1.5.5 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIO 1.5.6 LA GRAVEDAD COMO FUERZA FUNDAMENTAL 1.6 LEYES DE KEPLER 1.6.1 PRIMERA LEY: (Ley de las orbitas) 1.6.2 SEGUNDA LEY: (Ley de las áreas) 1.6.3 TERCERA LEY: (Ley delos periodos) 1.7 VELOCIDAD DE ESCAPE PROBLEMAS APLICATIVOS

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7.1 2.7.2

SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA MOVIMIENTO OSCILATORIO ELASTICIDAD Y LE DE HOOKE TENSIÓN Y COMPRESIÓN DEFORMACIÓN ESFUERZO O FATIGA LEY DE HOOKE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MAS ENERGÍA DEL OSCILADOR ASOCIACIÓN DE RESORTES PÉNDULO SIMPLE Y PÉDULO FÍSICO OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO OSCILACIONES FORZADAS PROBLEMAS APLICATIVOS

1 1 1 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 8 8 13

15 15 16 16 17 19 20 24 25 27 31 31 32 39

TERCERA UNIDAD DIDÁCTICA MOVIMIENTO ONDULATORIO 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

ONDAS MECÁNICAS ONDAS VIAJERAS MOVIMENTO ONDULATORIO ARMÓNICO ONDAS TRANSVERSALES ONDAS ESTACIONARIAS EXPLICACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA ONDAS LONGITUDINALES EN UNA BARRA ELÁSTICA ONDAS TRANSVERSALES EN UNA BARRA ONDAS LONGITUDINALES EN UN FLUIDO

43 46 47 49 50 51 52 54 55

2

3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17

ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO ONDAS LONGITUDINALES ARMÓNICAS DEL SONIDO ESPECTRO ACÚSTICO INTENSIDAD DEL SONIDO NIVEL DE INTENSIDAD SONORA CONTAMINACÍÓN ACÚSTICA Y CALIDAD DE VIDA APLICACIONES DE LOS ÚLTRAZONIDOS EFECTO DOPPLER EN ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PROBLEMAS APLICATIVOS

59 60 62 62 63 64 65 65 66

CUARTA UNIDAD DIDÁCTICA MECÁNICA DE FLUIDOS 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12

DEFINICIÓN DEL FLUIDO DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO PRESIÓN DE FLUIDOS Y VARIACIÓN DE PRESIÓN PRESIÓN BAROMÉTRICA Y MANOMÉTRICA EQUILIBRIO DE LOS LIQUIDOS NO MISCIBLES EN TUBOE EN “U” PRINCIPIO DE PASCAL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES FLOTACIÓN DE CUERPOS DINÁMICA DE FLUIDOS ECUACIÓN DE CONTINUIDAD ECUACIÓN DE BERNOULLI VISCOCIDAD PROBLEMAS APLICATIVOS

69 69 71 73 78 78 80 82 85 86 87 94 96

QUINTA UNIDAD DIDÁCTICA TEMPERATURA, DILATACIÓN Y CALOR 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

CONCEPTO DE TEMPERATURA ESCALAS DE TEMPERATURA CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECÍFICO DETERMINACIÓN DE CALOR ESPECÍFICO DE UN LÍQUIDO Y SÓLIDO EQUIVALENTE MECÁNICO DE CALOR CAMBIOS DE ESTADO EVAPORACIÓN DILATACIÓN FUNDAMENTOS BÁSICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR ABSORCIÓN DE LA RADIACIÓN SOLAR PROBLEMAS APLICATIVOS

96 97 98 99 102 103 105 109 112 122 127

3

PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA GRAVITACIÓN, ELASTICIDAD, FLUIDOS Y DENSIDAD. Gravedad viene del latín "gravis" que significa pesado. La gravitación es la fuerza de atracción mutua que experimentan los cuerpos por el hecho de tener una masa determinada. La existencia de dicha fuerza fue establecida por el matemático y físico inglés Isaac Newton en el siglo XVII, quien, además, desarrolló para su formulación el llamado cálculo de fluxiones (lo que en la actualidad se conoce como cálculo integral). La interacción gravitatoria es la responsable de los movimientos a gran escala en todo el Universo y hace, por ejemplo, que los planetas del Sistema Solar sigan órbitas predeterminadas alrededor del Sol. Isaac Newton fue la primera persona en darse cuenta de que la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleración constante en la Tierra y la fuerza que mantiene en movimiento los planetas y las estrellas es la misma, y a él se debe la primera teoría general de la gravitación, expuesta en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. 1.1

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON

La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

F12 = - G

m1m2 rˆ12 r2

Siendo rˆ12 el vector unitario que va de la partícula 1 a la 2, y donde G es la Constante de gravitación universal, siendo su valor 6,67 × 10-11 Nm²/kg² 1.2

MIDIENDO LA MASA DE LA TIERRA: EL EXPERIMENTO DE CAVENDISH

En 1797 y 1798, Henry Cavendish confirmó la teoría de Newton y determinó la constante de la proporcionalidad en la Ley de Gravedad Universal de Newton. Su ingenioso experimento, basado en el trabajo de John Michell, tuvo éxito en los dos aspectos. Para alcanzar esto, Cavendish creó la "balanza de torsión," que consistía en dos masas a cada lado de una barra que estaba suspendida del techo con un delgado cable (ver Figura).

La balanza de torsión, inventada por Michell y Cavendish para determinar la constante de la proporcionalidad en La Ley de Gravedad Universal de Newton.

Atado al cable, había un espejo sobre el cual se reflejaba un rayo de luz. Cavendish puso una tercera masa cerca de una de las masas en la balanza de torsión. A medida que la tercera masa atraía una de las extremidades de la balanza de torsión, el aparato entero, incluido el espejo, rotaba ligeramente y el rayo de luz se desviaba. A través de cuidadosas medidas del desvío angular del rayo de luz, Cavendish era capaz de determinar la magnitud con la que la masa conocida atraía la masa nueva. Cavendish no sólo confirmó la teoría de Newton, sino que también determinó el valor de la constante gravitacional con una exactitud de aproximadamente 1%.

4

2 G = 6.67×10-11 Nm

Kg 2

Cavendish se refirió a su investigación como “Midiendo la masa de la tierra.” Ya que él había determinado el valor de G, podía realizar simples cálculos para determinar la masa de la tierra. De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, la fuerza entre un objeto y la tierra es igual al producto de la aceleración (g) y la masa del objeto (m):

F = mg A principios de los años 1600, Galileo determinó que la aceleración de todos los objetos cerca de la superficie de la tierra, como g = 9.8 m/s2. Por consiguiente, poniendo esta ecuación igual a la Ley de la Gravitación Universal de Newton ya descrita, Cavendish encontró:

F  mg 

GmmE rE2

Donde m es la masa del objeto, mE es la masa de la tierra, y rE es el radio de la tierra. Resolviendo, la masa de la tierra tiene el siguiente resultado:

mE =

g.rE2 (9.8m/s 2 )(6.38×106 m)2 = G 6.67×10-11Nm2 /Kg 2

 mE =5.98×1024 Kg

Cavendish determinó la masa de la tierra con gran exactitud. También podemos usar esta relación para calcular la fuerza de atracción entre dos personas en extremos opuestos de un cuarto. Para hacer esto, simplemente necesitamos usar la Ley de Gravedad Universal de Newton con la constante gravitacional de Cavendish. Asuma que dos personas tienen un peso de 75 y 100 kilogramos, respectivamente, y que están separadas por cinco metros. La fuerza de gravedad entre ello es:

F=

Gm1m 2 r2

(6.67×10-11Nm2 /Kg 2 )(75Kg)(100Kg) F= (5m)2

F=2.00×10-8 N A pesar de que es pequeña ¡es una fuerza! 1.3

MASA Y PESO

La masa de un cuerpo es una propiedad característica del mismo, que está relacionada con el número y clase de las partículas que lo forman. Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras, onzas, etc. El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra y depende de la masa del mismo. Se mide en Newtons (N) y también en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza, etc. Si modelamos la tierra como un cuerpo esférico simétrico con radio RE y masa mE , el peso w de un cuerpo pequeño de masa m en la superficie (a una distancia RE del centro) es:

w  Fg 

GmE m , (Peso de un cuerpo de masa m en la superficie de la tierra) RE2

DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO Si a una persona cualquiera le preguntaran cuánto pesa, seguramente diría, yo peso 60 kg. Si le preguntaran cuanto pesaría en la Luna, y dicha persona supiera que la gravedad lunar es seis veces menor que la terrestre, contestaría sin dudar, pesaría 10 kg. Y si le preguntaran por la fuerza de empuje de los motores de un determinado avión, y

5

supiera la respuesta, diría que la fuerza de empuje es de 20 toneladas (por ejemplo). Y sin embargo, estas respuestas son incorrectas. No por las cifras, sino por las unidades. En la definición de masa mencionamos que los kilogramos, las toneladas y demás múltiplos y submúltiplos (gramos, miligramos, etc.) son unidades de masa, no de peso. ¿Y no es lo mismo? Pues no, ya que el peso es una fuerza, concretamente la fuerza con la que un objeto es atraído por la gravedad, y por tanto se mide en unidades de fuerza. La fuerza y la masa están relacionadas mediante la Segunda Ley de Newton. De hecho, una definición muy habitual de fuerza es la de todo aquello capaz de ejercer una aceleración sobre cuerpo, y matemáticamente se expresa como el producto entre la masa del cuerpo y la aceleración producida: F  ma ; por tanto el peso w  mg . MASA 

Cantidad de materia que posee un objeto.



Mide la tendencia que tienen los objetos a conservar su estado de movimiento o de reposo. Se mide con la balanza.



Su unidad en el S.I. es el Kg. Es una magnitud escalar.

PESO 

Es la fuerza con que la Tierra interacciona con los objetos.



Depende del lugar en el que está situado el objeto.



Se mide con el dinamómetro o sensor de fuerza.



Su unidad en el S.I. es el N.



Es una magnitud vectorial.

1.4

INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (g)

Es la aceleración que produce una masa generatriz (M) sobre una masa prueba (m) en virtud a la fuerza de atracción gravitacional. También es llamada aceleración de la gravedad.

g: aceleración de “m” debido a la atracción gravitacional de “M”. De la segunda ley de Newton:

 F  ma

 F  mg

GMm  mg  r2

g=

GM r2

Observe que “g” es independiente de “m”, por eso se dice que en la caída libre de los cuerpos caen con la misma aceleración. 1.4.1

ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE UN PLANETA ( g s )

gs 

GM R2

6

1.4.2

ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD A UNA ALTURA “H” DE LA SUPERFICIE DEL PLANETA (g)

g

1.4.3

GM ( R  H )2

VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA Dividiendo las dos fórmulas anteriores:

g R2  g s ( R  H )2 1.4.4

 R   g  gs    RH 

2

VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA TIERRA El punto P está en el interior de la esfera de radio R. (r=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial

28

E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S. En la simulación applet se observa cómo cambian los valores de la energía cinética y potencial a medida que se mueve la partícula a lo largo del eje X.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda. En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable. Ejemplo 2.4: Un automóvil que tiene una masa de 2500 kg se dirige hacia un muro de ladrillos en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de constante igual a 8 106 N / m y se comprime 5 cm cuando el auto se lleva al reposo. ¿Cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo que no se pierde energía durante el impacto con la pared?. Solución Por conservación de la energía, toda la energía cinética EK que poseía el automóvil antes de detenerse se convierte en energía potencial EP del parachoques que se comporta como resorte, por consiguiente,

EK  EP Como: EK 

1 2 1 mv y EP  Kx 2 2 2

Entonces igualando, se tiene:

1 2 1 2 mv  Kx  v  2 2

K x m

8 106 N / m (5 102 m)  v  2.83 m / s Remplazando valores, se tiene: v  2500kg 2.5

ASOCIACION DE RESORTES

Los resortes dan lugar al movimiento armónico simple, la ley para el resorte es la Ley de Hooke que dice: “La fuerza ejercida por un resorte cuando se deforma (Comprimiéndolo o estirándolo) es proporcional a dicha deformación”. El movimiento en una dimensión en el eje x, se escribe,

F   Kx Donde K es la llamada constante de elasticidad del resorte, cuyo valor depende del material que lo constituye. El signo menos de la ecuación hace que la fuerza sea fuerza de restauración. La segunda ley de Newton nos da la relación entre la fuerza y la aceleración,

F  Kx  ma

Donde m es la masa de la partícula sujeta al resorte y a su aceleración. Así, la aceleración de una masa en el extremo de un resorte es proporcional a su desplazamiento del punto de equilibrio,

a

K x m

Como ya vimos anteriormente la ecuación F   Kx , realiza un movimiento armónico simple, por lo tato los resortes originan este tipo de movimiento (si despreciamos la fricción).

29

2.5.1 EN SERIE Un sistema de resortes esta en serie cuando la deformación del resorte equivalente es igual a la suma de las deformaciones de cada resorte.

x  x1  x2 F  K1 x1; F=K 2 x 2

(1)

La fuerza F se transmite por igual a ambos resortes

F F ; x2  K1 K2

x1 

Para el sistema equivalente tenemos: F  Kx Remplazando en (1):

F F F 1 1 1      K K1 K 2 K K1 K 2

2.5.2 EN PARALELO Un sistema de resortes esta en paralelo cuando ellos tienen la misma deformación

 Kx=K1x + K 2 x  K=K1 +K 2

Ejemplo 2.5: Calcular la frecuencia con la que oscilara el carrito de 1 kg de masa, considerando que todos lo resortes son iguales y de constante K  240 N / m , además la superficie es totalmente lisa.

Solución Datos. m=1 kg. K=240 N/m

De la figura K’ es el resultado de dos resortes en paralelo:

K '  K  K  240  240  480 N / m K '  K  K  240  240  480 N / m Después K” es el resultado de dos resortes en serie (figura, el lado derecho K’ y K)

30

K 'K 480  240   160 N / m  K  160 N / m K ' K 480  240 Por ultimo K y K están en paralelo: K 

Keq  K  K  160  240  400 N / m  Keq  400 N / m Por definición la frecuencia es: f 

2.6

1 2

Keq m



1 2

400 10  Hz 1 

PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO FÍSICO.

2.6.1 PÉNDULO SIMPLE Un péndulo es un sistema físico ideal constituido por un hilo inextensible y de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual en su extremo inferior que oscila libremente en el vacío. Algunas aplicaciones del péndulo son la medición de la gravedad, el metrónomo y la plomada. Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

Cuando se separa a un lado de la posición de equilibrio y se suelta el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de le gravedad. En el tiempo t, la cuerda forma un ángulo  con la vertical y el sistema de fuerzas aplicadas lo constituyen: el peso propio (mg) , y la tensión (T) de la cuerda. De la figura, el lugar de la masa en el arco de círculo esta expresado por: (1) S  l Para obtener la velocidad a lo largo del arco del círculo, diferenciamos S con respecto al tiempo (t), como l es constante, tenemos que:

v

dS d l dt dt

(2)

La aceleración tangencial, componente de la aceleración total a lo largo del arco del círculo:

dv d 2 a l 2 dt dt

(3)

FT  mgsen

(4)

En la figura, la fuerza tangencial esta expresad por: Aplicando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta la ecuación (3), se tiene:

FT  maT

mgsen  ml

d 2 dt 2

d 2 g   sen 2 dt l Si el ángulo  es pequeño (  2000 K); a pesar de ser poco común en la vida cotidiana, es el estado predominante de la materia en el universo. El Sol, las estrellas, el gas de la luz en un tubo fluorescente están en estado de plasma. Un sólido se comprime bajo la acción de fuerzas externas, pero si estas fuerzas dejan de actuar, tiende a retomar su forma y tamaño original, por esto se dice que tiene elasticidad. Según el tiempo de respuesta del cambio de la forma ante una fuerza externa o presión, la materia puede comportarse como un sólido, como un fluido u otro estado, por ejemplo plásticos, asfalto, grasa, miel, masilla, etc. FLUIDO: Se conoce como fluido, cualquier sustancia que no tiene forma propia y se adapta a la forma del recipiente que lo contiene. Son fluidos los gases y los líquidos. Son sustancias capaces de "fluir"; aún con sus grandes diferencias en su comportamiento se describen con las mismas ecuaciones básicas. La diferencia entre uno u otro está en su compresibilidad. Un fluido: - Cambia su forma según el envase. - Se deforma continuamente bajo fuerzas aplicadas. - La atmósfera y el océano son fluidos. - El 97% de nuestro cuerpo es fluido, el manto de la tierra, etc. Para cualquier sustancia el estado líquido existe a una temperatura mayor que la del estado sólido, tiene mayor agitación térmica y las fuerzas moleculares no son suficientes para mantener a las moléculas en posiciones fijas y se pueden mover en el líquido. Lo común que tiene con los sólidos es que si actúan fuerzas externas de compresión, surgen grandes fuerzas atómicas que se resisten a la compresión del líquido. En el estado gaseoso las moléculas tienen un continuo movimiento al azar y ejercen fuerzas muy débiles unas con otras; las separaciones promedios entre las moléculas de un gas son mucho más grandes que las dimensiones de las mismas. 4.2 DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso. Esto es debido a la relación w  mg existente entre masa y peso. No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la física ha introducido el concepto de peso específico Pe que se define como el cociente entre el peso w de un cuerpo y su volumen; en resumen: La densidad es la concentración de la masa por unidad de volumen que ocupa.



masa m  volumen V

La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m3, también se utiliza frecuentemente la unidad g/cm3 El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma sustancia considerada (Peso de la sustancia a la unidad de volumen), esta definición es considerada hoy en día como obsoleta y reprobable, siendo su denominación correcta la de densidad de peso.

Peso de la sustacia w   g volumen de dicha sustancia V La unidad del peso específico en el SI es N / m3 . Pe   

Ejemplo 4.1: El peso específico (densidad de peso) del agua es:

 H O  (1000Kg / m3 )(9.8m / s 2 )  9800 N / m3 2

71

Tabla 4.1 Densidad de sólidos y líquidos a (20ºC) Sustancia

Densidad (g/cm3)

Sustancia

Densidad (g/cm3)

Acero

7.7-7.9

Oro

19.31

Aluminio

2.7

Plata

10.5

Cinc

7.15

Platino

21.46

Cobre

8.93

Plomo

11.35

Cromo

7.15

Silicio

2.3

Estaño

7.29

Sodio

0.975

Hierro

7.88

Titanio

4.5

Níquel

8.9

Volframio

19.34

Sustancia

Densidad (g/cm3)

Sustancia

Densidad (g/cm3)

Aceite

0.8-0.9

Bromo

3.12

Ácido sulfúrico

1.83

Gasolina

0.68-0.72

Agua

1.0

Glicerina

1.26

Agua de mar

1.01-1.03

Mercurio

13.55

Equivalencias:, L = Litro, 1ml  1cm3 Ejemplo 4.2: Un frasco de 200ml esta lleno de agua a 4 ºC. Cuando el frasco se calienta a 80 ºC, se derraman 6 gramos de agua. ¿Cuál es la densidad del agua a 80 ºC?, (suponer que la dilatación del frasco es despreciable). Solución 1. Calcular la masa original de agua en el frasco a 4 ºC utilizando   1g / cm3

m  V  (1g / cm3 )(200cm3 )  200 g 2. Calcular la de agua remanente, m’ después de derramar 6 g.

m '  m  6 g  200 g  6 g  194g

3. Utilizar este valor de m’ para determinar la densidad del agua a 80 ºC.

'

m' 194 g   0.97 g / cm3 3 V 200cm

4.2.1 DENSIDAD RELATIVA Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya densidad a 4 ºC es igual a 1000 kg/m3. Para gases la sustancia de referencia la constituye con frecuencia el aire que a 0 ºC de temperatura y 1 atm de presión tiene una densidad de 1,293 kg/m3. Como toda magnitud relativa, que se obtiene como cociente entre dos magnitudes iguales, la densidad relativa carece de unidades físicas.

r 

 Densidad de la sus tan cia  C densidad del agua  H 2O

Ejemplo 4.3: Densidad relativa del agua r  1 Densidad relativa del aceite del algodón r  0.926 Como: r  0.926 

C  aceite  0.926  H O H O 2

2

aceite  0.926(1000Kg / m3 )  926Kg / m3

72

4.2.2 PRESIÓN DE FLUIDOS La presión es la magnitud que mide el efecto deformador de una fuerza sobre un sólido, a la vez es una magnitud escalar. La presión ejercida por una fuerza F sobre una superficie S es igual al cociente entre la intensidad componente normal de la fuerza y la superficie

P

Pn S

La unidad de medida recibe el nombre de pascal (Pa). La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo sumergido en cualquier punto es perpendicular a la superficie del cuerpo. En la figura, se muestran las fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido. En todos los casos, la fuerza es perpendicular a la superficie, su magnitud y el punto de aplicación se calculan a partir la ecuación fundamental de la estática de fluidos.

UNIDADES DE MEDIDA PRESIÓN Y SUS FACTORES DE CONVERSIÓN La presión atmosférica es de aproximadamente de 101325 pascales (101,3 KPa), a nivel de mar. Unidades de presión y sus factores de conversión Pascal 1 Pa (N/m²)=

Bar

N/mm²

kp/m²

kp/cm²

atm

Torr

1

10-5

10-6

0.102

0.102×10-4

0.987×10-5

0.0075

100000

1

0.1

10200

1.02

0.987

750

106

10

1

1.02×105

10.2

9.87

7500

1 kp/m² =

9.81

9.81×10-5

9.81×10-6

1

10-4

0.968×10-4

0.0736

1 kp/cm² =

98100

0.981

0.0981

10000

1

0.968

736

1 atm (760 Torr) =

101325

1.013

0.1013

10330

1.033

1

760

1 bar (daN/cm²) = 1 N/mm² =

1 Torr (mmHg) = 133 0.00133 1.33×10-4 13.6 0.00132 0.00132 También se utilizan los milímetros de columna de agua (mm c.d.a.): 1 mm c.d.a. = 10 Pa

1

4.3 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO

a) LIQUIDOS Consideremos una porción de fluido en equilibrio de altura dy y de sección S, situada a una profundidad y del recipiente que se toma como origen.

dw = (dm)g = ( (  dV ) g   gdV   gSdy

Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son las siguientes:

73

El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la intensidad de la gravedad, (  gSdy ).  La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior, PS  La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior, ( P  dP)S La condición de equilibrio establece que 

( P  dP)S  PS   gSdy  0 dP   g , cambio de presión es positivo (+), para dy positivo. dy

En consecuencia la presión aumenta al aumentar la profundidad



P

Po

y

dP   g  dy  P=Po   gy 0

Ejemplo 4.4: ¿Cuál es la presión a una profundidad, 1m, 10m, 100m, 273m en el lago Titicaca?, suponga que   1.03 103 Kg / m3 , como densidad del agua de lago Titicaca y que Po  0.6512 105 Pa es la presión atmosférica en la superficie del lago. Solución Por definición tenemos: P  Po   gy

P  0.6512 105 Pa  (1.03 103 Kg / m3 )(9.76m / s 2 )Y

P  0.6512 105 Pa  0.10053 105 Y Pa En: y  1m es P=0.752 105 Pa y  10m es P= 1.66 105 Pa . b) GASES (LA PRESIÓN ATMOSFERICA) Se procede de forma análoga y se obtiene:

dP   g dy  dP=- gdy Cambio de presión es negativo. Es decir la presión disminuye al aumentar la altura. Considerando que la densidad varía con la presión,  es proporcional a P, se considera que la temperatura no varía.

 P  o Po

  =(

o Po

) P  dP=-g(

o Po

) Pdy 

 dP  ( o ) gdy P Po

y

P 0 y o  dP   g dy  lnP   gy   Po P P0 0 Po Po  0 P

 P=Po e y donde  =

o Po

g y  =0.116/Km

Ejemplo 4.5: Calcular la presión atmosférica en la ciudad universitaria UNA y la densidad del aire que existe. Solución  y Por definición: P  Poe ,  =0.116/Km Ciudad universitaria se encuentra a 3814m snm, entonces y = 3.814 Km y Po  1.013 105 N / m2 Snm, por consiguiente PUNA  1.013 105 N / m2e

(

0.116 )(3.814 Km ) Km

PUNA  0.6425 105 Pa  64.25KPa Calculando la densidad de aire en la ciudad universitaria:

74

como

=

o P0

g  o 

PUNA  g

 o  0.764Kg / m3 NOTA: Resultado de una Tesis, podemos tomar también para calcular la presión atmosférica 4 P  e1.210 h P0

4.4

h(m)  h en metros.

PRESIÓN BAROMÉTRICA Y MANOMETRICA

4.4.1 EXPERIENCIA DE TORRICELLI Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo de 1 m de longitud, abierto por un extremo, lo llenó de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de mercurio. Comprobó que el mercurio bajó hasta una altura de 760 mm sobre el líquido de la cubeta. Puesto que el experimento se hizo al nivel del mar, decimos que la presión atmosférica normal es de 760 mm de Hg. La explicación de este resultado es que la atmósfera ejerce una presión que impide que todo el mercurio salga del tubo. Cuando la presión atmosférica iguala a la presión ejercida por la columna de mercurio, el mercurio ya no puede salir por el tubo. Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vacío P=0, y sabiendo la densidad del mercurio es 13.55 g/cm3 ó 13550 kg/m3 el valor de la presión atmosférica es

P   gh  (13550)(9.81)(0.76) Pa  101023 Pa  1.01105 Pa Si fuese el experimento en la UNA-Puno, entonces la altura h de mercurio es: De la definición: PUNA  P( vacio )   gh,  P(vacio)  0

PUNA 64.25KPa  3  g 13.6 10 Kg / m3 (9.76m / s 2 ) h  0.4840 m=48.40 cm=484.0 mmHg h

EXPERIENCIAS TOMADAS DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA El hecho de estar rodeados por una masa gaseosa (aire), y al tener este aire un peso actuando sobre la tierra, quiere decir que estamos sometidos a una presión (atmosférica), la presión ejercida por la atmósfera de la tierra, se mide normalmente por medio del barómetro (presión barométrica). Al nivel del mar el valor de la presión es cercano a 760 mmHg (101,35Kpa), disminuyendo estos valores con la altitud. Tabla 4.2 variación de presión con la altura H (m) 20,000 12,000 10,000 8,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,500 1,000 500 0

P (mmHg) 41.4 145.0 198.2 266.9 353.8 405.1 462.3 525.8 596.2 634.2 674.1 716.0 760.0

P (mbar)

T (ºC)

356 472 540 616 701 795 840 900 952 1013

-55 -55 -37 -24 -17.5 -11.0 -4.5 2.0 5.2 8.5 11.8 15.0

Humedad relativa

5% 10% 20% 30% 40% 60% 80%

75

4.4.2 PRESION MANOMETRICA O PRESION RELATIVA La presión absoluta es toda la presión que se aplica en una superficie. Se mide en pascales. Equivale a la presión atmosférica más la presión manométrica. Pabs  Po  Pman , Po presión atmosférica

MEDIDA DE LA PRESIÓN. MANÓMETRO Para medir la presión empleamos un dispositivo denominado manómetro. Como A y B están a la misma altura la presión en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presión en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presión en A es debida a la presión atmosférica más la presión debida a la diferencia de alturas del líquido manométrico.

PA  Po   gh  PB  Po   gh

4.4.3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta con la profundidad. Para calcular consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a una profundidad h como se muestra en la figura. La presión que ejerce la columna de líquido sobre la superficie S será:

P

w  gV  gSh     gh S S S

Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico (  g ) del líquido y de la distancia (h) a la superficie S. La diferencia entre las presiones de dos puntos de un mismo líquido es igual a: Como.    g  PB  PA   gh Siendo:

PB  Pr esión en el punto B PA  Pr esión en el punto A   Densidad del liquido

Este resultado constituye el teorema fundamental de la hidrostática.

76

4.4.4 LA PARADOJA HIDROSTÁTICA Si se ponen en comunicación varias vasijas de formas diferentes, se observa que el líquido alcanza el mismo nivel en todas ellas. A primera vista, debería ejercer mayor presión en su base aquel recipiente que contuviese mayor volumen de fluido. La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática. Como se ha demostrado, en el principio fundamental de la hidrostática, la presión solamente depende de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la misma y el sistema está en equilibrio. 4.5 EQUILIBRIO DE LOS LIQUIDOS NO MISCIBLES EN TUBOS EN “U” Una aplicación de la ecuación fundamental de la estática de fluidos es la determinación de la densidad de un líquido no miscible con agua mediante un tubo en forma de U, comparando las diferentes alturas de las columnas de fluido sobre la capa de separación. Fundamentos físicos En esta experiencia aplicamos la ecuación fundamental de la estática de fluidos Se comparan dos líquidos inmiscibles, el agua, cuya densidad es conocida (1.0 g/cm3).y un líquido de densidad desconocida. Dado que A y B están a la misma altura sus presiones deben ser iguales:  La presión en A es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura h2 de la columna de fluido cuya densidad  2 queremos determinar.

PÄ  Po  2 gh2

 La presión en B es debida a la presión atmosférica más la debida a la

altura h1 de la columna de agua cuya densidad conocemos

PB  Po  1 gh1

Igualando las presiones en A y B, PA  PB , obtenemos

1 h2   2 h1

Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U. 4.6 PRINCIPIO DE PASCAL (LA PRENSA HIDRÁULICA) La ecuación fundamental de la estática de fluidos afirma que la presión depende únicamente de la profundidad. El principio de Pascal afirma que cualquier aumento de presión en la superficie de un fluido se transmite a cualquier punto del fluido. Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica. Se tiene dos émbolos de sección circular de radio r1 a la izquierda y de radio r2 a la derecha, si ponemos pesas en uno de los émbolos este bajará y subirá el otro émbolo. Émbolos a la misma altura Se aplica una fuerza F1 a un pequeño émbolo de área S1. El resultado es una fuerza F2 mucho más grande en el émbolo de área S2. Debido a que la presión es la misma a la misma altura por ambos lados, se verifica que

P

S  F1 F2   F2   2  F1 S1 S2  S1 

S2 : Ventaja mecánica S1

77

Además si V es el volumen del líquido desplazado, entonces S Ve1  Ve2  S1e1  S2e2  e2  ( 1 )e1 S2 Para mantener a la misma altura los dos émbolos, tenemos que poner un número de pesas sobre cada émbolo de modo que se cumpla la relación dada en el apartado anterior.

Donde n1 y n2 es el número de pesas que se ponen en el émbolo izquierdo o derecho respectivamente, r1 y r2 son sus radios respectivos, m es la masa de cada pesa. Ejemplo 4.6: Si r2 es el doble de r1, el área S2 del émbolo de la derecha es cuatro veces mayor que el área S1 del émbolo de la izquierda. Para que los émbolos estén a la misma altura, a la derecha tenemos que poner cuatro veces más de pesas que a la izquierda. r2=2r1 entonces S2=4S1 luego, n2=4n1 Émbolos a distinta altura Un ejercicio interesante, es el de determinar la altura de ambas columnas de fluido cuando se ponen n1 pesas en el émbolo de la izquierda y n2 pesas en el émbolo de la derecha. Sean A y B dos puntos del fluido que están a la misma altura. El punto A una profundidad h1 por debajo del émbolo de área S1 y el B situado h2 por debajo del émbolo de área S2.

La presión en cada uno de dichos puntos es la suma de tres términos  La presión atmosférica  La presión debida a la columna de fluido  La presión debida a las pesas situadas sobre el émbolo

PA  P0   gh1 

n1mg n mg y PB  Po   gh2  2 2 2  r1  r2

Para determinar h1 y h2 en función de los datos n1 y n2, precisamos de dos ecuaciones La primera ecuación es PA  PB La segunda ecuación, nos indica que el fluido incomprensible pasa de un recipiente al otro, pero el volumen V de fluido permanece invariable. Por ejemplo, si h1 disminuye, h2 aumenta. Como consecuencia, el fluido pasa del recipiente izquierdo al derecho, hasta que se establece de nuevo el equilibrio.  r12 h1   r22 h2  ( r12   r22 )h0 , donde h0 es la altura inicial de equilibrio. Ejemplo 4.7: Ponemos tres pesas en el émbolo de la izquierda, y ninguna pesa en el émbolo de la derecha, n1=3, n2=0. El émbolo izquierdo baja y sube el émbolo derecho.  Sea el radio del émbolo de la izquierda r1=5 cm =0.05 m  El radio del émbolo de la derecha r2=10 cm =0.1 m  La altura inicial de equilibrio es h0=20 cm =0.2 m  La densidad del agua es ρ=1000 kg/m3  La masa m de cada una de las pesas es 250 g=0.25 kg.  La presión atmosférica P0 se simplifica en la primera ecuación Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 

Igualdad de presiones a la misma altura PA  PB

78

(3)(25) g  1000( gh2 )  (0.05)2



1000( gh1 ) 



El agua pasa del recipiente izquierdo al recipiente derecho, pero el volumen total de fluido permanece invariable

 (0.05)2 h1   (0.1)2 h2   (0.05)2   (0.1)2  (0.2) La solución es h1=0.124 m=12.4 cm y h2=0.219 m=21.9 cm

4.7

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad? Se sabe que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.

Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje. PRINCIPIO DE ARQUIMIDES El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

E  Wliquido desalojado

E   liqVS   gVS VS : volumen sumergido

FE : E: empuje hidrostatico Ejemplo 4.8: EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue la masa total corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo. En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25.3 cm3 . Por lo tanto, la densidad del oro es:

79

oro  500 g / 25.3 cm3  19.76 g / cm3 Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, de 2,5 kilogramos, debería haber sido:

Vcorona  2500 g /19.76 g / cm3  126.5 cm3 A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3 , o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su densidad. Como el volumen desplazado resultó 95.2 cm3 , se tiene que:

 plata  1000 g / 95.2 g / cm3  10.5 g / cm3 Sabemos que la masa total de la corona es 2500 g. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces: Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3

Vplata  166  Voro

mcorona=moro+mplata=2500 g. Si reescribimos la última ecuación en función de la densidad y el volumen, nos queda que:

19.76 g / cm3 (Voro )  10.5 g / cm3 (Vplata )  2500 g Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que:

19.76 g / cm3 (Voro )  10.5 g / cm3 (166cm3  Voro )  2500 g de donde se despeja la incógnita:

Voro  81.75 cm3 con lo que se deduce que:

moro  oroVoro  19.76 g / cm3 (81.75 cm3 )  1615.38 g mplata  mcorona  moro  2500 g  1615.38 g  884.62 g De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 884.62 g. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido. 4.8 FLOTACION DE CUERPOS Cuando un cuerpo se apoya o se sumerge en un líquido (o en un fluido) recibe de éste una fuerza vertical de abajo hacia arriba llamada empuje (E). El empuje puede ser mayor, menor o igual al peso del cuerpo; no depende del peso del cuerpo, no tiene nada que ver con el peso del cuerpo. ¿De qué depende el empuje? El empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo. Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido recibe de éste una fuerza hacia arriba llamada

E W

Liq empuje que es igual al peso del fluido desalojado. ( ). Se presentan básicamente tres posibilidades: que el cuerpo esté reposando en el fondo, que el cuerpo esté buceando y que el cuerpo esté flotando.

Luego, si el empuje es mayor que el peso del cuerpo extraño, el cuerpo ascenderá y terminará flotando. Si el empuje resulta menor que el peso del cuerpo extraño, entonces se irá al fondo. Cuerpo flotando en la superficie Cualquier canoa, cualquier cuerpo que flote, tiene un volumen propio al que podemos dividir mentalmente en dos: una parte sobre la línea de flotación y otra parte debajo de la línea de flotación. El volumen de la parte inferior, el que queda bajo la línea de flotación, no es otro que el volumen de líquido desalojado. Según el principio de Arquímedes, el empuje que recibe para poder flotar es igual al peso de ese líquido desalojado. No olvidarse, que la flotación es un equilibrio, por lo tanto

80

E  WLiq ( Peso Liquido desalojado) Ahora volvemos a la situación en la que el cuerpo estaba totalmente sumergido pero no sabemos cuál va a ser su destino. Y es así: si el empuje es mayor que el peso del cuerpo, entonces flotará; y si el empuje es menor que el peso del cuerpo, se hundirá.

E W

→

se hunde

E W

→

flota

Pero cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igual al del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambos miembros por el volumen y se obtiene  Liq  c → se hunde

 Liq  c

→

flota

Con lo cual arribamos a la conclusión de que la flotabilidad de los cuerpos depende exclusivamente de la densidad relativa entre el cuerpo y el líquido en el cual nada. Y eso vale para todos los cuerpos, sean sólidos o líquidos: el aceite flota en agua porque su densidad es menor. APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Un globo de goma tiene 8 g de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas de ciudad. Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg/m3 y la del gas de ciudad 0,53 kg/m3 determinar el volumen que, como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse. Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la del peso: E  W En virtud del principio de Arquímedes:

E  aire gV

En este caso el fluido desalojado es el aire. Por otra parte, el peso W será la suma del peso del globo más el peso del gas ciudad que corresponde al volumen V, es decir: W  8 103 kg ( g )   gas gV Entonces aplicado E  W

V aire g  8 103 kg ( g )  V  gas g  V ( aire   gas )  8 103 kg  V 

V

8 103 kg ( aire   gas )

8 103 kg  10.5 103 m3 3 (1.29  053)kg / m

El volumen minino será, por tanto, de 10.5 litros. EJERCICIOS 1. En la figura se muestra un pistón de masa despreciable de área A  1 m2 acoplado a un resorte de constante K  5 105 N / m . Si el recipiente contiene aceite y agua como se indica, determine la deformación, en cm, del resorte.  Aceite  800 Kg / m3 , g  10m / s 2 . Solución La presión hidrostática total sobre el pistón será:

P  (800Kg / m3 )(10m / s 2 )(2m)  (1000Kg / m3 )(10m / s 2 )(4m)

P  56000 N / m2 Pa F  PA  56000 N / m2  (1 m2 )  56000 N

81

F  Kx 56000  5 105 x x  11.2 cm 2. Determinar la densidad en g / cm3 del liquido x (  Hg  13.6 g / cm3 ). Solución

PA  PB

H O ghH O   x ghx  hg ghHg 2

2

 H2O hH2O   x hx  hg hHg 103  0.2   x (0.048)  13.6 103  (0.05) 200  0.048 x  680

 x  10000 Kg / m3  10 g / cm3 3. ¿Cuál debe ser el valor de F1 , en N, para frenar la faja que se mueve con velocidad v, si se debe desarrollar una fuerza de fricción de 100N sobre dicha faja. Se sabe que A2 / A1  10,   0.5. Solución

f  100 N   0.5 f  N  N 

f



 200 N

 F2  N  200 N Aplicando prensa hidráulica

F1 A1 A   F1  F2  1 F2 A2 A2 F1  200(1/10)  20 N 4. ¿Qué volumen de Agua en litros se debe añadir a un litro de lejía de cloro de densidad relativa al densidad del agua , 1.3; para que su densidad sea 1.2?. Solución

1  1.3 kg / dm3 (legia) 2  1 kg / dm3 (agua) m1  1V1 V1  1 litro(dm3 ) m2  2V2 V2  ?

m  V  =1.2 kg/dm3 m1  m2  m

1V1  2V2   (V1  V2 ) 1.3 1  1V2  1.2 1  1.2 V2 0.1  0.2V2  V2  0.5 litros

5. Un bloque de madera cuyas dimensiones son 20 cm, 10 cm y 6 cm, flota en el agua con su superficie mayor horizontal, si su densidad es 0.7 g / cm3 ¿Qué altura (en cm) emerge fuera del agua? Si flota

F  0

 E=W

liq gVs  c gVc 1 (20 10  x)  0.7  (20 10  6) x  4.2 cm Emerge: h=6cm-4.2cm=1.8 cm.

82

6. ¿Cuál es la mínima área, en m 2 , que deberá tener un bloque de hielo de 50 cm de espesor para que una alumna de 500N de peso, no se moje los pies?, hielo  0.9 g / cm3 . Solución E = Peso total E  Walumna  Whielo , a la vez E   H2O gVs , Vs  Vol.sumergido

H O gVs  500  hielo gVhielo , Vs  Vhielo  A  h, h  0.5 m 2

Kg m Kg m (10 2 )( A)(0.5m)  500 N  900 3 (10 2 ) A(0.5m) 3 m s m s N N (5000 2 ) A  500 N  (4500 2 ) A m m 2 A 1 m

1000

7. Un cuerpo pesa 100 N en el aire, 80 N en el agua y 60 N en un liquido X. Calcular la densidad de X en el sistema internacional. Solución Datos: wa  100 N , wH2O  80 N , wx  60 N Calculando empuje: E1  100  80  20 N

E2  100  60  40 N Por definición: E   gV  H2O gV  20 N

(1)

  x gV  40 N Dividiendo las ecuaciones (1)  (2) , se tiene.

(2)

x  2, como  H O  1000 kg / m3 H O 2

2

 x  2000 kg / m3 8. Estudiantes de Agronomía para su aniversario preparan un globo aerostático llenado con 4 m3 de helio, además debe llevar banderola de la Escuela. ¿qué peso debe tener la banderola para que despegue el globo sin problemas?, helio  0.160kg / m3 . Solución 3 Datos: V  4 m , densidad de aire en la UNA aire  0.77kg / m3 De la figura. E-w globo  wx  0

 wx  E-w globo  wx  aire gVglobo  helio gVhelio  wx  gVhelio ( aire  helio )

 wx  9.76m / s 2 (4m3 )(077  0.160)kg / m3  wx  23.8 N  m  2.5 kg 4.9

DINÁMICA DE FLUIDOS

Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos: a) Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal. Por ejemplo el humo de cigarrillo justo después de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la velocidad del fluido permanece constante en el tiempo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento.

83

b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos. Por ejemplo el humo de cigarrillo en la parte superior alejada del cigarro es turbulento. El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está presente en los fluidos y surge cuando un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él desplaza a otra porción de fluido; se nota por ejemplo cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a moverse respecto a otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente de viscosidad η. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de un fluido real es muy complejo, consideraremos un modelo de fluido ideal con las siguientes restricciones: Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo Flujo estacionario, laminar. La velocidad en cada punto es constante. Rotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular 4.9.1 FLUJO Es la masa del fluido que atraviesa la sección recta en la unidad de tiempo. El flujo de fluidos puede ser permanente o no permanente, uniforme o no uniforme. 4.9.2 FLUJO PERMANENTE El flujo uniforme tiene lugar cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido. 4.9.3 TIPOS DE MOVIMIENTO 1) MOVIMIENTO O RÉGIMEN LAMINAR El flujo es uniforme, de tal manera que capas vecinas de fluido se deslizan entre sí suavemente. Cada partícula sigue una trayectoria lisa (LINEA DE CORRIENTE),de tal manera que las trayectorias de dos partículas son siempre paralelas entre sí y paralelas a la velocidad del fluido.

2) MOVIMIENTO O RÉGIMEN TURBULENTO Existen círculos erráticos (remolinos),llamados corrientes secundarias o parásitas, de tal manera que las líneas de corriente se cruzan entre sí. Estas corrientes secundarias absorben mucha energía y generan una mayor cantidad de fricción interna (rozamiento) que en el movimiento laminar. El movimiento del fluido es muy complicado y muy variable con el tiempo.

84

4.10

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

4.10.1 CAUDAL En dinámica de fluidos, caudal es el volumen de fluido que pasa por un área dada por una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula: Dónde:  Q: Caudal m3/s  A: Es el área m2  : Es la velocidad linear promedio m/s. Dada una sección de área A atravesada por un fluido con velocidad uniforme v , si esta velocidad forma con la perpendicular a la superficie A un ángulo θ, entonces el flujo se calcula como

  A  v cos

En el caso particular de que el flujo sea perpendicular al área A (por tanto θ = 0 y cosθ = 1) entonces el flujo vale

  Av

4.10.2 ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD Cuando una masa de un fluido ingresa por el extremo de un tubo debe salir por el otro. Por lo tanto, en una porción de tubo Fig. Si la masa del fluido que entra por A1 con velocidad v1 es: (1) m   (V )   ( A1v1t ) La masa que sale por

A2 con velocidad v2 es:

m   (V )   A2v2 t Entonces de la ecuación (1) y (2) tenemos:  A1v1t   A2v2 t  A1v1  A2v2  cte  Av  cte Ecuacion de continuidad

(2)

Esta ecuación expresa la conservación de la masa y nos indica que si la sección del tubo del flujo disminuye la velocidad del fluido aumenta. 4.11 ECUACIÓN DE BERNOULLI Fue descubierto por Daniel Bernoulli en 1783 y dice: “en un fluido perfecto (no viscoso) y en régimen estacionario, la suma de las energías, de Presión, Cinética, Potencial en cualquier punto del fluido es constante” (conservación de la Energía).

P

1 1  mv 2  mgh  cte , su equivalente es: P   v 2   gh  cte 2  2

m

Prueba del Teorema:

De la ecuación del movimiento Fx  max , se tiene:



 PdA-PdA-dPdA- g(dAdx)sen 

dw dv ( g dt )

85

PdA  ( P  dP)dA   g (dAdx)sen  max

dP   gdxsen   (

dx )dv dt

dx y dxsen =dy dt  -dP- gdy= vdv dP 1 Integrando:    vdv   dy  0 g g Como: v 

P v2   y  cte  g 2g 1  P   v 2   gy  cte 2

Conocido como ecuación de Bernoulli

1 1 P1   v12   gy1  P2   v22   gy2 2 2 PROBLEMAS 1)

El caudal de un fluido que circula por una tubería es de 18 litros/segundo; la velocidad y cuya sección transversal es de 200 cm2. ¿Cuál es la velocidad en m/s del fluido en un punto dado? Solución Por definición Q  Av

18 L 18 dm3 103 m3    18 103 m3 /s 3 s s dm 4 2 2 10 m A  200cm ( )  2 102 m2 2 cm Q 18 103 m3 / s Como: Q  av  v  v  v  0.9 m / s A 2 102 m2 Del problema Q 

2)

En una tubería Horizontal fluye agua con una velocidad de 4m/s bajo una presión de 4 105 Pa . La tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro. ¿Cuál es la presión, en KPa, del agua en este caso? Solución Por definición Av  cte  A1v1  A2v2



D12 A1  v2  v1  v2  4 v  v2  16 m / s, por que v1 =4 m/s  D1 2 1 A2 ( ) 4 2 Aplicando Bernoulli, para h1  h2  0 Nivel de referencia 1 1 1  P1   v12  P2   v22  P2  P1   (v12  v22 ) 2 2 2 1 P2  4 105 N / m2  (1000kg / m3 ) (4m / s) 2  (16m / s) 2  2 5 P2  2.8 10 Pa  280KPa 3)

La tubería de la figura tiene un diámetro de 8 cm en la sección 1 y de 4 cm en la sección 2. y la diferencia de alturas entre ambas secciones es de 60 m. Suponiendo que circula un fluido de peso específico 0.0098 N/cm3 , a razón de 0.2 m3 / s . Calcular la presión de bombeo en la sección 1.

86

Solución Por definición Q  Av  Q  A1v1  Q  A2v2

Q 0.2m3 / s 2000   m / s  39.79 m / s A1  (8 102 m) 2 16 4 Q 0.2m3 / s 2000 v2    m / s  159.15 m / s A2  (4 102 m) 2 4 4 1 1 Aplicando Bernoulli: P1   v12   gY1  P2   v22   gY2 , Y1  0( NR) 2 2 Considerando P2  65.12KPa , presión atmosférica a nivel del lago titicaca 1 P1  P2   (v22  v12 )   gy2 2 Como peso específico es:  g  0.0098N / cm3    1000kg / m3 1 kg kg P1  65.12 103 Pa  103 3 (159.15m / s)2  (39.79m / s)2   1000 3 (9.76m / s 2 )(60m) 2 m m P1  664.176KPa v1 

4)

Se desea bombear agua desde el Lago Titicaca hasta localidad de Cancharani a través de una tubería de 4” de diámetro. La diferencia de altura entre el Lago y Cancharani es 500m. a) ¿Cuál es la presión mínima con que debe bombearse el agua para que llegue hasta Cancharani? b) Si se bombea 4500 m3 diarios, ¿Cuál es la velocidad del agua en la tubería? c) ¿Cuál es la presión adicional necesaria para entregar este flujo? Solución Aplicando Bernoulli:

a) Pmin

1 1 P1   v12   gY1  P2   v22   gY2 , Y1  0( NR) 2 2 Ecuación de continuidad: A1  A2  v1  v2  P0 y   gY2 , Y2  500m, P0 y  P0Yanamayo

P0 y  61.44KPa, para Y  (3810m  500m)  Pmin  61.44KPa  (1000)(9.76)(500) Pa  4941.44KPa b) Ecuación de continuidad Q 

A





(0.10116)2  8.037 103 m2

4 0.052m3 / s v  6.47m / s  v  6.47m / s 8.037 103 m2 1 1 c) Pad   H 2O v 2  (1000)(6.47)2 Pa  20.93KPa 2 2 5)

4

d2 

V V 4500m3 h  Av   ( )  0.052m3 / s t t 24h 3600s

En la figura se representa un tubo de venturi para la medida del caudal, con el típico manómetro diferencial de mercurio. Hallar el gasto de agua sabiendo que la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 35 cm. Densidad de mercurio es 13.6g/cc. Solución Aplicando Bernoulli:

87

1 2 1  vA   gYA  PB   vB2   gYB 2 2 YA  YB  0( NR) 1 1 1 PA   vA2  PB   vB2  PA  PB   (vB2  vA2 ) 2 2 2 EC. De continuidad AAvA  AB vB PA 

2

d  1  15cm   d v  d v  vA   B  vB  vA    vB  vA  vB 4 4 4  30cm   dA  1 1 15 2 15 2  PA  PB   (vB2  vB2 )  vB  PA  PB  vB (*) 2 16 32 32



2 A A



2

2 B B

En la gráfica lectura del manómetro del Hg.

 PC  PD  PA   g (0.35m)  PB  Hg g (0.35m)

 PA  PB  g (0.35m)( Hg   )  9.76(0.35)(13600  1000) Pa  PA  PB  43041.6Pa (**) Ec. (**) Remplazando en (*) 15 2 43041.6 N / m2  vB  vB  303 m / s 32  Caudal Q=Av  Q= 6)



4

(0.15) 2 (303)m3 / s  Q  5.35 m3 / s

Un tanque cilíndrico de 30cm de altura y un área de 400 cm2 se encuentra lleno de agua. Cual es el tiempo que demora en quedar completamente vació por un orificio en el fondo del tanque de 1 cm2 de área. Solución

dV  S2v2  dV  S2v2 dt  S1dy  S2v2dt dt  S1dy  S2 2 gydt  S1dy  S2 2 gydt 0 dy t S dy S2   2 gdt     2 2 g  dt H 0 y S1 y S1

Def. de caudal

t

 S S 2 y   2 2 gt   2 H  2 2 gt H S1 S1 0 0

t 2 H( 7)

S1 1 400cm2 1 )( )  t  2 0.30m ( )( ) 2 S2 1cm 2g 2(9.76)m / s 2

Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la presión es de 200 KPa la velocidad es de 10 m/s. Calcular la presión en otro punto del conducto en el que la velocidad es de 20 m/s. Solución Aplicando Bernoulli a los puntos (1) y (2):

P1 

1 2 1  v1  P2   v22 2 2

200 103 Pa  0.5 103 100Pa  P2  0.5 103  400Pa  P2  50KPa.

88

8)

Supongamos que se tiene un balde abierto y grande conteniendo agua de paredes verticales, el agua alcanza una altura de 1.20m. Además el balde descansa sobre una plataforma situada 2.40m por encima del suelo. Si se hace un orificio de 1 cm2 en una de las paredes laterales y justamente encima del fondo. ¿Donde golpea al suelo, el chorro de agua que sale del orificio? Solución 1 1 Por Bernoulli: P1   v12   gh1  P2   v22   gh2 2 2 Considerando: A1  A2  v1  0 Además tomando nivel de referencia en punto 2,  h2  0

v2  2 gh1  v2  2(9.76)(1.20)m / s  4.84 m / s Calculando alcance de chorro de agua al piso: Por definición: R  v2tv (*)

Como y 

1 2 2y 2(2.40) gtv  tv   s  tv  0.7 s 2 g 9.76

Remplazando los valores en (*), se tiene:

R  (4.84m / s)(0.7s)  3.388 m,  R  3.388 m

89

QUINTA UNIDAD DIDÁCTICA TEMPERATURA, DILATACIÓN Y CALOR 5.1 CONCEPTO DE TEMPERATURA La temperatura es la sensación física que nos produce un cuerpo cuando entramos en contacto con él. En la práctica, es una medida de que tan caliente o frío está un cuerpo. Desde un punto de vista microscópico, la temperatura se considera una representación de la energía cinética interna media de las moléculas que integran el cuerpo considerado. Esta energía cinética se manifiesta en forma de agitación térmica, que resulta de la colisión entre las moléculas del cuerpo y puede llegar a ser muy energética. En el plano macroscópico, el incremento de la temperatura produce diversos efectos perceptibles o mensurables, como un aumento del volumen del cuerpo, la disminución de la densidad, el cambio de estado o la modificación del color (por ejemplo, enrojecimiento). La temperatura se mide con termómetros y sensores de temperatura.

Pensemos en los termómetros que consisten en un pequeño depósito de mercurio que asciende por un capilar a medida que se incrementa la temperatura. Cuando un sistema de masa grande se pone en contacto con un sistema de masa pequeña que está a diferente temperatura, la temperatura de equilibrio resultante está próxima a la del sistema grande. 



EQUILIBRIO TÉRMICO

Cuando dos cuerpos A y B que tienen diferentes temperaturas se ponen en contacto térmico, las moléculas que se encuentran en la frontera entre ambos experimentan colisiones hasta que las temperaturas respectivas de los cuerpos se equiparan. Finalmente, se alcanza una situación de equilibrio térmico, en el sistema aislado térmicamente (no hay transferencia de calor hacia el ambiente) el resultado se denomina “Ley cero de la Termodinámica”.

CONCEPTO DE CALOR Energía producida por la vibración acelerada de las moléculas, que se manifiesta elevando la temperatura y dilatando los cuerpos y llega a fundir los sólidos y a evaporar los líquidos. Suponemos que la temperatura del cuerpo A es mayor que la del cuerpo B (TA>TB), el calor es una forma particular de transferencia de energía por virtud de una diferencia de temperatura y que se aplica en procesos dinámicos.

El concepto de calor ésta muy ligada al concepto de temperatura, sin embargo no es lo mismo, describen dos situaciones bastante diferentes. La temperatura mide la energía interna de un cuerpo o energía cinética molecular

90

media; mientras que el calor es la energía en tránsito de un cuerpo (es la energía transferida de un sistema a otro debido a una diferencia de temperaturas entre los sistemas). Si los cuerpos A y B son los dos componentes de un sistema aislado, el cuerpo que está a mayor temperatura transfiere calor al cuerpo que está a menos temperatura hasta que ambas se igualan Si TA>TB 

El cuerpo A cede calor: QA  CA  (T  TA ), entonces QA  0 .



El cuerpo B recibe calor: QB  CB  (T  TB ), entonces QB  0 .

Como: QA  QB  0 La temperatura de equilibrio, se obtiene mediante la media ponderada

T= 

CA TA + CBTB CA + CB UNIDADES DE CALOR Caloría Gramo: Se le llama también simplemente caloría (cal) y es la cantidad de calor que necesita para elevar la temperatura de 1 gramo de agua en 1ºC de 14.5 ºC a 15.5 ºC. 1 cal = 4.186 J, J = 0.24 cal Kcal = 1000 cal 1 BTU  1 Btu  252 cal  1.054 103 J . BTU: (Unidad Térmica Inglesa)

5.2 ESCALAS DE TEMPERATURA Los diferentes termómetros que existen se basaron en ideas con apariencia distinta, al usar diferentes puntos de partida en sus mediciones, pero como todos miden la agitación térmica de las moléculas, lo único que cambia es la escala empleada por cada uno de sus inventores. La temperatura se expresa en grados, por lo general en una de las dos escalas relativas: Centígrado (Celsius) Y Fahrenheit, o en una de las escalas absolutas: Kelvin y Ranking.

Se cumple:

º C º F  32 º K  273 º R  492    5 9 5 9

Una de las primeras escalas de temperatura, todavía empleada en los países anglosajones, fue diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmosférica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 °F, y su punto de ebullición es de 212 °F. La escala centígrada o Celsius, ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 °C al punto de congelación del agua y de 100 °C a su punto de ebullición. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin, inventada por el matemático y físico británico William Thomson , lord Kelvin. En esta escala, el cero absoluto, que está situado en -273,15 °C, corresponde a 0 K, y una diferencia de un kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada.

91



EFECTOS DE LA TEMPERATURA

La temperatura desempeña un papel importante para determinar las condiciones de supervivencia de los seres vivos. Así, las aves y los mamíferos necesitan un rango muy limitado de temperatura corporal para poder sobrevivir, y tienen que estar protegidos de temperaturas extremas. Las especies acuáticas sólo pueden existir dentro de un estrecho rango de temperaturas del agua, diferente según las especies. Por ejemplo, un aumento de sólo unos grados en la temperatura de un río como resultado del calor desprendido por una central eléctrica puede provocar la contaminación del agua y matar a la mayoría de los peces originarios. Los cambios de temperatura también afectan de forma importante a las propiedades de todos los materiales. A temperaturas árticas, por ejemplo, el acero se vuelve quebradizo y se rompe fácilmente, y los líquidos se solidifican o se hacen muy viscosos, ofreciendo una elevada resistencia por rozamiento al flujo. A temperaturas próximas al cero absoluto, muchos materiales presentan características sorprendentemente diferentes (véase Criogenia). A temperaturas elevadas, los materiales sólidos se licúan o se convierten en gases; los compuestos químicos se separan en sus componentes. La temperatura de la atmósfera se ve muy influida tanto por las zonas de tierra como de mar. En enero, por ejemplo, las grandes masas de tierra del hemisferio norte están mucho más frías que los océanos de la misma latitud, y en julio la situación es la contraria. A bajas alturas, la temperatura del aire está determinada en gran medida por la temperatura de la superficie terrestre. Los cambios periódicos de temperatura se deben básicamente al calentamiento por la radiación del sol de las zonas terrestres del planeta, que a su vez calientan el aire situado por encima. Como resultado de este fenómeno, la temperatura disminuye con la altura, desde un nivel de referencia de 15 °C en el nivel del mar (en latitudes templadas) hasta unos -55 °C a 11.000 m aproximadamente. Por encima de esta altura, la temperatura permanece casi constante hasta unos 34.000 m. 5.3

CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECIFICO

 CAPACIDAD CALORIFICA Decimos que una cantidad de calor Q se transfiere desde el sistema de mayor temperatura al sistema de menor temperatura.  La cantidad de calor transferida es proporcional al cambio de temperatura T .  La constante de proporcionalidad C se denomina capacidad calorífica del sistema.

Q  T  Q  CT dQ C , unidades: cal/ºC, cal/K, J/ºC, J/K dT

 CALOR ESPECIFICO (Ce  c) Si a dos cuerpos de igual masa pero de diferentes materiales se les suministra la misma cantidad de calor, la temperatura final de los dos cuerpos es diferente debido a una propiedad que caracteriza a cada material denominada Calor específico, denotado por c y se define como la cantidad de calor que se le debe entregar a 1 gramo de sustancia para aumentar su temperatura en 1 grado Celsius. Matemáticamente, la definición de calor específico se expresa como:

Ce  c 

dQ / dT dQ  , cal / g º C , J / kg º C , J / kgK m mdT

Ejm: Calor especifico del agua

cH2 0  1cal / g º C  4186 J / kg º C chielo  0.5cal / g º C  2093J / kg º C , a (-10 ºC).

cvapor  0.5cal / g º C  2093J / kg º C Tabla 5.1 Sustancia Acero Aluminio Cobre Estaño Hierro Mercurio

Calor específico (J/kg·K) 460 880 390 230 450 138

Sustancia Oro Plata Plomo Sodio Alcohol Alpaca

Calor específico (J/kg·K) 130 235 130 1300 2513 398

92

Aceite de oliva Carbón mineral Éter etílico

5.4

1675 1300 2261

Azufre Carbón vegetal Vidrio

750 840 838

DETERMINACIÓN DE CALOR ESPECÍFICO DE UN LÍQUIDO Y SÓLIDO.

El calorímetro es un instrumento que sirve para medir las cantidades de calor suministradas o recibidas por los cuerpos. Es decir, sirve para determinar el calor específico de un cuerpo, así como para medir las cantidades de calor que liberan o absorben los cuerpos. El tipo de calorímetro de uso más extendido consiste en un envase cerrado y perfectamente aislado con agua, un dispositivo para agitar y sensor de temperatura. Se coloca una fuente de calor en el calorímetro, se agita el agua hasta lograr el equilibrio, y el aumento de temperatura se registra con el sensor de temperatura. La fórmula para la transferencia de calor entre los cuerpos se expresa en términos de la masa m del calor específico c y del cambio de temperatura.

ΔQ = m.c.(Tf - Ti ) Donde T f es la temperatura final y Ti es la temperatura inicial. El calor específico de un objeto se puede medirse convenientemente calentando a una cierta temperatura conocida, y midiendo la temperatura final de equilibrio. Si el sistema esta aislado térmicamente en su totalidad de su entorno, el calor que sale del cuerpo tiene que ser igual al calor que entra en el agua y en el recipiente. Este procedimiento se denomina Calorimetría y el recipiente aislado que contiene el agua, calorímetro. Sea m la masa del cuerpo, c su calor especifico y Tio su temperatura inicial. Si Tf es la temperatura final del cuerpo dentro de su baño de agua, el calor que sale del cuerpo vale Qsale = mc(Tio - Tf ) Análogamente, si Tia es la temperatura inicial del agua y su recipiente, y T f su temperatura final (la temperatura final del cuerpo y del agua serán la misma, puesto que finalmente alcanzaran el equilibrio), el calor absorbido por el agua y el recipiente es Qentra  ma ca (T f  Tia )  mc cc (T f  Tia ) Igualando estas cantidades de calor, puede obtenerse el calor especifico c del objeto:

Qsale  Qentra

mc(Tio  Tf )  ma ca (Tf  Tia )  mc cc (T f  Tia ) Ejemplo 5.1: Para medir el calor especifico del plomo se caliente a 600g de perdigones de este metal a 100 ºC y se colocan en un calorímetro de aluminio de 200g de masa que contiene 500g de agua inicialmente a 17.3 ºC. El calor específico del aluminio del calorímetro es 0.900KJ/KgK. La temperatura final del sistema es 20 ºC. ¿Cuál es el calor específico del plomo?

93

Calor cedido por el plomo

Solución

QPb  mcPb (Tio  Tf )  (0.6Kg )cPb (100º C  20º C ) Calor absorbido por el agua

Qa  ma ca (Tf  Tia )  (0.5kg )(4.18KJ / Kg º C )(20º C 17.3º C ) Calor absorbido por el calorímetro

Qc  mc cc (Tf  Tia )  (0.2Kg )(0.900KJ / Kg º K )(20º C  17.3º C ) QPb  Qa  Qc 5.5

Rpta: c Pb  0.128 KJ / Kg º K .

EQUIVALENTE MECANICO DE CALOR

En el experimento de Joule se determina el equivalente mecánico del calor, es decir, la relación entre la unidad de energía joule (julio) y la unidad de calor caloría. Mediante esta experiencia simulada, se pretende poner de manifiesto la gran cantidad de energía que es necesario transformar en calor para elevar apreciablemente la temperatura de un volumen pequeño de agua. DESCRIPCIÓN. Un recipiente aislado térmicamente contiene una cierta cantidad de agua, con un termómetro para medir su temperatura, un eje con unas paletas que se ponen en movimiento por la acción de una pesa, tal como se muestra en la figura anterior. La pesa, que se mueve con velocidad prácticamente constante, pierde energía potencial, como consecuencia el agua agitada por las paletas se calienta debido a la fricción. Si el bloque de masa M desciende una altura h, la energía potencial disminuye en Mgh, y ésta es la energía que se utiliza para calentar el agua (se desprecian otras pérdidas). Joule encontró que la disminución de energía potencial es proporcional al incremento de temperatura del agua. La constante de proporcionalidad (el calor específico de agua) es igual a 4.186 J/(g ºC). Por tanto, 4.186 J de energía mecánica aumentan la temperatura de 1g de agua en 1º C. Se define la caloría como 4.186 J sin referencia a la sustancia que se está calentando.

1 Cal  4.186 J En la simulación de la experiencia de Joule, se desprecia el equivalente en agua del calorímetro, del termómetro, del eje y de las paletas, la pérdida de energía por las paredes aislantes del recipiente del calorímetro, y otras pérdidas debidas al rozamiento en las poleas, etc.

94



Sea M la masa del bloque que cuelga, y h su desplazamiento vertical



m la masa de agua del calorímetro



T0 la temperatura inicial del agua y T la temperatura final



g=9.8 m/s2 la aceleración de la gravedad.

La conversión de energía mecánica íntegramente en calor se expresa mediante la siguiente ecuación:

Mgh  mc(T  T0 ) Se despeja el calor específico del agua que estará expresado en J/(kg ºC).

c

Mgh m(T  T0 )

Como el calor especifico del agua es por definición 1 cal/(g ºC), obtenemos la equivalencia entre las unidades de calor y de trabajo o energía. Ejemplo 5.4: (APLET) 

Masa del bloque M=50 kg



Masa del agua en g, (o volumen del agua en ml), m=100 g=0.10 kg. Se apunta:



Altura h=1 m



Temperatura inicial T0=20ºC, y la temperatura final T=21.2ºC

c

Mgh 50  9.8 1 J   4083.3 m(T  T0 ) 0.10  (21.2  20) Kg º C

Tenemos aumentar la diferencia de temperaturas para obtener un mejor resultado. En la experiencia real se consigue haciendo caer varias veces el bloque. El trabajo total es nMgh, siendo n el número de veces que se suelta el bloque. En la experiencia simulada conseguimos el mismo efecto aumentando la masa M del bloque 5.6

CAMBIOS DE ESTADO

Normalmente, una sustancia experimenta un cambio de temperatura cuando absorbe o cede calor al ambiente que le rodea. Sin embargo, cuando una sustancia cambia de fase absorbe o cede calor sin que se produzca un cambio de su temperatura, se denomina Calor de transformación o calor latente L. El calor Q absorbido (o cedido) por una masa m durante el cambio de fase es: Q=mL Donde L se denomina calor latente de la sustancia y depende del tipo de cambio de fase. El calor Latente de fusión L f es la cantidad de calor necesaria para que la unidad de masa de una sustancia pase de la sólida a la fase liquida a temperatura y presión constantes. El calor Latente de vaporización Lv es la cantidad de calor que requiere la unidad de masa de la sustancia para pasar de la fase liquida a vapor. El calor latente de sublimación Ls es el calor absorbido por la unidad de masa de la sustancia para pasar de la fase sólida a la fase de vapor. Por ejemplo, para que el agua cambie de sólido (hielo) a líquido, a 0ºC se necesitan 334·103 J/kg. Para que cambie de líquido a vapor a 100 ºC se precisan 2260·103 J/kg. En la siguiente tabla, se proporcionan los datos referentes a los cambios de estado de algunas sustancias.

95

Tabla 5.3 Sustancia Hielo (agua) Alcohol etílico Acetona Benceno Aluminio Estaño Hierro Cobre Mercurio Plomo Potasio Sodio

T fusión ºC 0 -114 -94.3 5.5 658.7 231.9 1530 1083 -38.9 327.3 64 98

Lf ·103 (J/kg) 334 105 96 127 322-394 59 293 214 11.73 22.5 60.8 113

T ebullición ºC 100 78.3 56.2 80.2 2300 2270 3050 2360 356.7 1750 760 883

Lv ·103 (J/kg) 2260 846 524 396 9220 3020 6300 5410 285 880 2080 4220

Los cambios de estado se pueden explicar de forma cualitativa del siguiente modo: En un sólido los átomos y moléculas ocupan las posiciones fijas de los nudos de una red cristalina. Un sólido tiene en ausencia de fuerzas externas un volumen fijo y una forma determinada. Los átomos y moléculas vibran, alrededor de sus posiciones de equilibrio estable, cada vez con mayor amplitud a medida que se incrementa la temperatura. Llega un momento en el que vencen a las fuerzas de atracción que mantienen a los átomos en sus posiciones fijas y el sólido se convierte en líquido. Los átomos y moléculas siguen unidos por las fuerzas de atracción, pero pueden moverse unos respecto de los otros, lo que hace que los líquidos se adapten al recipiente que los contiene pero mantengan un volumen constante. Cuando se incrementa aún más la temperatura, se vencen las fuerzas de atracción que mantienen unidos a los átomos y moléculas en el líquido. Las moléculas están alejadas unas de las otras, se pueden mover por todo el recipiente que las contiene y solamente interaccionan cuando están muy próximas entre sí, en el momento en el que chocan. Un gas adopta la forma del recipiente que lo contiene y tiende a ocupar todo el volumen disponible. Ejemplo 5.5: Determinar el calor que hay que suministrar para convertir 10 gramos de hielo a -20 ºC en vapor a 85 ºC. Los datos son los siguientes: 1. Calor específico del hielo ch=2090 J/(kg K) 2. Calor de fusión del hielo Lf=334·103 J/kg , Lf=80 cal/g=80 kcal/kg 3. Calor específico del agua c=4180 J/(kg K) 4. Calor de vaporización del agua Lv=2260·103 J/kg, Lv=540 cal/g=540 kcal/kg

Etapas: 1.

Se eleva la temperatura de 10 g de hielo de -20ºC a 0ºC

Q1  mchielo (Tf  Ti )  (0.01)(2090) 0  (20)  418 J 2.

Se funde el hielo

96

Q2  mL f  (0.01)(334 103 )  3340 J 3.

Se eleva la temperatura del agua de 0º C a 85 ºC

Q3  mcH2 0 (Tf  Ti )  (0.01)(4180)(85  0)  3553 J 4.

Se convierte 10 g de agua a 85 ºC en vapor a la misma temperatura

Q4  mLv  (0.01)(2260 103  22600 J El calor total Q=Q1+Q2+Q3+Q4=29911 J. En la figura, se muestra cómo se va incrementando la temperatura a medida que se aporta calor al sistema. La vaporización del agua requiere de gran cantidad de calor como podemos observar en la gráfica (no está hecha a escala) y en los cálculos realizados en el ejemplo. En el proceso de intercambio de calor entre dos cuerpos en contacto y aislados térmicamente del medio, el calor cedido por el cuerpo más caliente es igual al absorbido por el más frió, así:

Q( perdido por un cuerpo )  Q( ganado por el otro cuerpo) Ejemplo 5.8: En una mezcla de 200 ml de agua a 70 ºC con 150 ml de alcohol (densidad del alcohol 0.79 g/ml), a 20 ºC. Calcular su temperatura T final suponiendo que no hay perdida de calor con el medio ambiente ni con el recipiente que contiene el agua. Solución La temperatura T de la mezcla no puede ser el promedio de las temperaturas de las dos sustancias. Puesto que sus masas y los calores específicos son diferentes. Como la energía se conserva:

Q(calor cedido por el agua )  Q( absorbido por el alcohol ) mH2O cH2O T T

H 2O

H 2O

 malc calc T alc

 (70º C  T ) , T alc  (T  20º C ) , cH 2O  1

cal , gº C

calc  0.6

cal gº C

Remplazando en la primera ecuación

cal cal )(70º C  T )  150 g (0.6 )(T  20º C ) gº C gº C 1400º C  20T  9T 180º C 1580º C T  54.6º C 29 200 g (1

En la práctica, T es inferior debido a las perdidas de calor hacia el ambiente. 5.7

DILATACION

La experiencia muestra que los sólidos se dilatan cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían. La dilatación y la contracción ocurren en tres (3) dimensiones: largo, ancho y alto. A la variación en las dimensiones de un sólido causada por calentamiento (se dilata) o enfriamiento (se contrae) se denomina Dilatación térmica. La dilatación de los sólidos con el aumento de la temperatura ocurre porque aumenta la energía térmica y esto hace que aumente las vibraciones de los átomos y moléculas que forman el cuerpo, haciendo que pase a posiciones de equilibrio más alejadas que las originales. Este alejamiento mayor de los átomos y de las moléculas del sólido produce su dilatación en todas las direcciones.

97

5.7.1 DILATACIÓN LINEAL La dilatación o contracción se producirá en las tres direcciones del espacio, pero para simplificar el problema en el caso de sólidos y suponiendo que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras dos, en muchas ocasiones se habla de dilatación únicamente en una dirección. En este caso se denomina dilatación lineal



L  L0 L0 (T  T0 )

Dónde:  se denomina coeficiente de dilatación lineal, L0 Longitud inicial, L longitud final,

T0 Temperatura inicial, T temperatura final.

Si L es pequeño comparado con L0  L  L0T , T  T  T0 Donde  se denomina coeficiente de dilatación lineal, ¡depende del material¡ Unidades S.I. de α: 1/K o bien 1/ºC Tabla 5.4:

Coeficientes de dilatación lineal a 20°C

Material

Coeficiente de dilatación lineal,

(º C ) Sólidos Aluminio Cuarzo Hierro o acero Hormigón Ladrillo Latón Mármol Plomo Vidrio (ordinario Vidrio (pirex)

y

1



Coeficiente de dilatación cúbica,

 (º C )1

25 106 0.4 106 12 106  12 106

75 10-6 110-6 35 10-6  36 10-6

19 106 1.4  3.5 106 29 106 9 106 3 106

56 10-6 4  10 10-6 87 10-6 27 10-6 9 10-6

Liquido Agua Alcohol etílico Gasolina Glicerina Mercurio Gases Aire

950 10-6 180 10-6 1100 10-6 500 10-6 210 10-6 3400 10-6

Ejemplo 5.10: Consideremos una viga de acero con una longitud de 200m a 20 °C. Si las temperaturas extremas a que puede estar expuesta son -30 °C y +40 °C. ¿Cuánto se contraerá o se dilatará en cada caso? El coeficiente de dilatación lineal del acero es   12 106 (º C )1 .

98

A 40 °C

L   L0 T  12 106 º C 1 (200m)(40º C  20º C )  4.8 102 m Un alargamiento de 4,8 cm A -30 °C

L   L0 T  12 106 º C 1 (200m)(30º C  20º C )  12 102 m Un acortamiento de 12 cm 5.7.2 ESFUERZOS TERMICOS

En algunos casos, los extremos de una barra o de un bloque de material están ligados rígidamente, con lo que se impide o dificulta la dilatación o la contracción. Por tanto, cuando varíe la temperatura, aparecerán esfuerzos de compresión o de tracción, llamados esfuerzos térmicos, por su origen térmico, que pueden no ser despreciables. La ley de Hooke nos relaciona esta deformación con la fuerza que la provoca

F L E A L0 E: Módulo de Young. Coeficiente que depende de la naturaleza del material

FL0 , por otro lado L   L0 T AE F  ET De donde, el esfuerzo interno F/A será: A  L 

Cuando el sólido se deforma por contracción o por dilatación debida a un cambio de temperatura, aparecerán esfuerzos térmicos (fuerzas por unidad de superficie) Unidades S.I.: Esfuerzo: N / m2 , Módulo de Young (E): N / m2 Tabla 5.5: Módulo de Young de algunos materiales Sustancia

E (1011 Pa)

Madera, en la dirección transversal a las fibras Madera, en dirección paralelas a las fibras Hielo Hormigón Plomo Vidrio Aluminio Cobre Hierro Acero Niquel Wolframio

0.005 – 0.01 0.1 – 0.17 0.1 0.14 – 0.22 0.16 0.55 0.17 1.1 1.9 2 2.1 3.6

Ejemplo 5.11: Se tienen bloques de hormigón de 10 m de longitud, dispuestos uno a continuación del otro, sin dejar separación entre ellos. Si la temperatura a la que fueron colocados fue de 10 °C ¿cuál será la fuerza de compresión generada cuando la temperatura sea de 40 °C?. El área de la superficie de contacto entre cada dos bloques es de 0.20 m2 y su módulo de Young E  20 109 N / m2 . ¿Se producirá fractura? Solución

99

F  ET  20 109 N / m2 (12 106 /º C )(30º C )  7.0 106 N / m2 A

Este valor no está muy alejado del esfuerzo de rotura por compresión y es superior a los de rotura por tracción y por cizalladura. Por tanto, si los bloques no están perfectamente alineados, parte de la fuerza será cortante y es probable la fractura. 5.7.3 DILATACION SUPERFICIAL Es la variación de la superficie o área de un cuerpo cuando varía su temperatura. Para superficie uniforme

a  a0T

b  b0T  a  a0 (1  T ) y b  b0 (1  T ) Luego: ab  a0b0 (1  T )2

 A=A0 (1  2T   2 T 2 ) Pero como:    2 (106  1012 ), entonces podemos despreciar  2 , luego: Pero como:    2 (106  1012 ), entonces podemos despreciar  2 , luego:

A  A0 (1  2T )  A  A0T ; donde   2 5.7.4

DILATACION CUBICA La variación de volumen, V  V  V0 de un material cuando experimenta un cambio de temperatura ΔT, viene dada por la expresión:

V  V0 T

La variación de volumen, Dónde: V0 es el volumen original,  es el coeficiente de dilatación cúbica En los sólidos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones) β≈3 α

 Carece de significado en líquidos y gases por no tener formas fijas. Sin embargo, para un líquido contenido en un recipiente de modo que pueda dilatarse o contraerse principalmente en una dirección, podemos tomar α=β/3 (por ejemplo, Hg o alcohol en un termómetro). Ejemplo 5.12: Se llena el depósito de gasolina de un coche, con capacidad para 70 litros, cuando la temperatura era de 20 °C. Se deja al sol y el depósito alcanza una temperatura de 50 °C. ¿Cuánta gasolina rebosaría si se dejara destapado?. Prescinde de la dilatación del depósito (su β es mucho menor que el de la gasolina). Coeficiente de dilatación cúbica de la gasolina  950 106 /º C Solución: V  V0 T  (950 106 /º C )(70litros)(30º C )  2.0 litros Dónde: V0 es el volumen original,  es el coeficiente de dilatación cúbica En los sólidos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones) β≈3 α

 Carece de significado en líquidos y gases por no tener formas fijas. Sin embargo, para un líquido contenido en un recipiente de modo que pueda dilatarse o contraerse principalmente en una dirección, podemos tomar α=β/3 (por ejemplo, Hg o alcohol en un termómetro).

100

5.8

FUNDAMENTOS BASICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Transferencia de calor, es un proceso por el que se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se transfiere mediante conducción, convección, radiación. Aunque estos tres procesos pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine sobre los otros dos. Por ejemplo, el calor se transmite a través de la pared de una casa fundamentalmente por conducción, el agua de una cacerola situada sobre un quemador de gas se calienta en gran medida por convección, y la Tierra recibe calor del Sol casi exclusivamente por radiación.

La conducción es la transferencia de calor a través de un objeto sólido: es lo que hace que la olla se calienta debido al calor de la estufa eléctrica. La convección transfiere calor por el intercambio de moléculas frías y calientes: es la causa de que el agua de una tetera se caliente uniformemente aunque sólo su parte inferior esté en contacto con la llama. La radiación es la transferencia de calor por radiación electromagnética (generalmente infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego calienta la habitación. 5.8.1 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION En la conducción el calor se transmite a través de un medio material y no hay transporte de materia. La velocidad a la que se transfiere el calor a través del material (dQ / dt ) se representa por la letra H, y se denomina flujo de calor. Pared adiabática para evitar las pérdidas de calor laterales

Por choques entre moléculas en la barra, el calor se va transfiriendo desde la base (foco caliente) al extremo superior (foco frió). Así, la temperatura en la barra va variando en posición y tiempo. Transcurrido cierto tiempo, la temperatura en cada sección de la barra no variará (estado térmico estacionario).

101

En estado estacionario, la cantidad de calor dQ que fluye por unidad de tiempo, a través de cualquier sección de la barra es constante. Intensidad de corriente térmica o flujo de calor: Cantidad de calor que fluye a través de una sección transversal, por unidad de tiempo: H 

dQ dt

Unidades (SI): J/s=watts; otras: cal/h, Kcal/h. Ley de Fourier: H  k

AT L

o

H k

AT x

Donde: k, que es la llamada conductividad térmica. La conductividad térmica expresa la capacidad de un material dado en conducir el calor, y es propia e inherente de cada material.

T1  T2 T dT la pendiente de la recta, llamado gradiente de la temperatura. o o L x dx La transferencia de calor por conducción es afectada por la geometría del cuerpo. Un caso interesante es el de un cilindro hueco:

H

2 kLT r ln( 2 ) r1

siendo r2  r1 ; Unidad en S.I.: w/(m K), Otras: kcal/(m h ºC)

Ejemplo 5.13: Determinar el flujo de calor a través de una ventana de vidrio de área A= 2m x 1,5m, grosor L = 3,2 mm, si la temperatura de la superficie interna, T1, es de 15 °C y la de la superficie externa, T2, es de 14 °C. El coeficiente de conductividad térmica del vidrio es de 0,84 w/m K (2·10-4kcal/m s K). Solución

H

T T dQ AT w 288K  287 K k  kA 1 2  0.84 (2m 1.5m)( )  790w  680 Kcal / h Quizás dt L L mK 3.2 103 m

sorprendan los valores de las temperaturas dadas, pero debe tenerse en cuenta que en la habitación la temperatura no tiene por qué ser de 15 °C, probablemente será superior y en el exterior la temperatura será probablemente inferior a los 14 °C. Ejemplo 5.14: Determinar la corriente térmica a través del aislante de poliestireno expandido de las paredes de un frigorífico. Datos, área A  4m2 , temperatura exterior, 25 °C, temperatura interior, 5 °C, grosor, L = 30 mm, k= 0,01 w/m K

H 

T T dQ AT w (298) K  (278) K k  kA 1 2  0.01 (4m2 )( )  30w dt L L mK 30 103 m

Conductores y Aislantes Térmicos

En la tabla, se observa que los metales normalmente son mejores conductores del calor que los líquidos y que el aire. La conductividad térmica es el parámetro fundamental que hay que considerar en la elección de materiales para la construcción de hornos, termos, quemadores, calderas, etc; o en la fabricación de elementos que de alguna manera estén en contacto directo con calor tales como soldadores, utensilios de cocina, disipadores de calor, entre otros. Dada la importancia que tiene hoy en día el manejo y el control de la temperatura, se han desarrollado materiales aislantes de conductividad térmica similar a la del aire como conglomerados de fibra de vidrio, poliuretanos de densidades diferentes y ladrillos refractados, utilizados para aislar tuberías , paredes laterales de invernaderos, hornos, refrigeradores, etc. El único “aislante perfecto” es el vació ya que carece de medio material para el transporte de calor por conducción.

102

Tabla 5.6: Conductividad térmica de algunos materiales. Material Ladrillo Hormigón Cobre Corcho Vidrio Hielo Agua

k (w/mK) 0.6 0.1 365.0 0.05 1.0 2.1 0.59

Material Hierro (fundido) Plata Madera Mercurio Aire (a 0ºC) Poliuretano Fibra de vidrio

k (w/mK) 72.0 418.0 0.15 8.0 0.024 0.026 0.034

5.8.2 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN La convección es el proceso por el cuál se transmite calor gracias al movimiento masivo de moléculas de un lugar a otro, provocado por cambios de densidad del fluido (gas o líquido) originado a su vez por cambios de temperatura. Los líquidos y los gases no suelen ser muy buenos conductores del calor, pero pueden transportarlo con relativa facilidad por convección. Cuando se calienta el agua del fondo, disminuye su densidad y sube (principio de Arquímedes), siendo reemplazada por agua más fría (más densa) que había encima y así sucesivamente. En la transferencia de calor libre o natural en la cual un fluido es más caliente o más frío y en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido. La transferencia de calor por convección se modela con la Ley del Enfriamiento de Newton:

H

dQ dQ  hAs (Ts  Tinf ) o H   hA(T2  T1 ) dt dt

Donde h es el coeficiente de convección (ó coeficiente de película), As es el área del cuerpo en contacto con el fluido, Ts es la temperatura en la superficie del cuerpo y

es la temperatura del fluido lejos del cuerpo.

J w , Unidades S.I.: 2 m sK m2 K Para el cuerpo humano, en aire en reposo, h  6 J / m2 sK ; si la velocidad del aire es de 1 m/s el valor anterior se duplica y si es de 5 m/s, dicho valor se multiplica por cinco. Empíricamente, se ha establecido que la constante convectiva del aire en reposo en contacto con una superficie lisa o bien pulida, es de 4.5w / m2 K , mientras que si el aire se mueve paralelamente a la superficie esta dada por la siguiente relación: H  (4.5  2.9v) velocidad del aire en m/s.

w ; v, m2 K

Para superficies rugosas como una pared de ladrillo o una carretera pavimentada, el valor de la constante convectiva se incrementa hasta en un 50%. Ejemplo 5.16: Calcular las pérdidas convectivas de calor por unidad de tiempo, de una persona desnuda que esté de pié en aire a 2 23 °C. Suponer que la temperatura de la piel es de 34 °C y que el área de la superficie del cuerpo es de 1.5 m .

H

dQ j  hAs (Ts  Tinf )  (6 2 )(1.5 m2 )(11 K )  100 J / s  100 w  90 Kcal / h dt m sK

103

Una persona que efectúe un trabajo moderado o pesado desarrolla unos 400 w; así pues, teniendo en cuenta lo anterior vemos que la refrigeración del cuerpo cuando se efectúe un trabajo moderado o pesado no podrá deberse solamente a la convección; la evaporación del sudor también es importante, así como la debida a la radiación. 5.8.3 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION En la transmisión del calor por radiación un cuerpo cede parte de su energía interna a través de la emisión de ondas electromagnéticas (que viajan a la velocidad de la luz y no necesita de un medio material para su propagación). Al absorberse estas ondas electromagnéticas por otros sólidos, su energía pasa de nuevo a un movimiento térmico de las moléculas y, por tanto, a un aumento de temperatura. Así, el proceso de intercambio de energía por radiación es un proceso de absorción y emisión posterior de energía en forma de fotones por parte de los átomos y moléculas de una sustancia. También se puede decir, que la radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura y depende además de una propiedad superficial denominada emitancia. Todo cuerpo emite radiación hacia su entorno y absorbe radiación de éste.  A mayor temperatura del cuerpo, mayor radiación de éste.  Todos los objetos emiten energía desde su superficie en forma de radiación electromagnética.  También todo objeto absorbe energía de sus alrededores. La energía que un cuerpo radia por unidad de tiempo (potencia) viene dada por la Ley de Stefan-Boltzmann:

Pr   AT 4 Pr : Potencia radiada

 : Emisividad del cuerpo: Valor entre 0 y 1, que depende de la naturaleza del cuerpo   5.67 108 w / m2 K 4 Constante de Stefan-Boltzmann A: área de la superficie del cuerpo T: temperatura absoluta de la superficie del cuerpo

Cuerpo negro. Ley de Kirchhoff Respecto de la emisividad del cuerpo  Las superficies muy negras tienen una emisividad próxima a 1.  Las superficies brillantes tienen una emisividad próxima a 0 La piel clara tiene   0.6 y la piel oscura   0.8 , que son valores bastante elevados. Todo cuerpo además de emitir radiación, absorbe la energía irradiada por otros cuerpos.

Pa   AT04 Pa: Potencia absorbida T0: Temperatura del entorno La potencia neta radiada será

Pneta  Pr  Pa   A(T 4  T04 ) Se emplea la misma emisividad (  ), tanto para la emisión como para la absorción. Esto debe ser así para dar cuenta del hecho experimental de que se alcanza el equilibrio entre el cuerpo y su entorno cuando alcanzan la misma temperatura, es decir Pneta  0 , cuando T = To, y para ello, las dos emisividades de las expresiones de Pr y Pa deben ser iguales. Las superficies negras o muy oscuras son las mejores absorbentes (parecen negras porque absorben casi toda la luz que les llega) y también son las mejores emisoras de radiación térmica. Los cuerpos negros o muy oscuros absorben casi toda la radiación que sobre ellos incide (por ello en verano es preferible la ropa clara a la oscura) y reflejan muy poca de la radiación que les llega.

104

Las superficies brillantes son poco absorbentes, reflejan la mayor parte de la radiación que les llega y también son malas emisoras. Las superficies brillantes no sólo emiten menos radiación sino que también absorben una pequeña parte de la radiación que sobre ellas incide (la mayor parte se refleja). Si Pr  Pa  Pneta  0 → El cuerpo se enfría, el entorno se calienta Si Pr  Pa  Pneta  0 → El cuerpo se calienta, el entorno se enfría Si Pr  Pa (T  T0 , equilibrio térmico) → Ni se enfría, ni se calienta Cuerpo negro (modelo ideal): Aquel que absorbe toda la radiación que incide sobre él, e = 1. Ejemplo 5.17: Una persona desnuda está sentada en una habitación cuyas paredes están a la temperatura de 15 °C. Calcular la pérdida de calor por radiación suponiendo que la piel tiene una temperatura de 34 °C y que   0.7 . Considerar que la superficie del cuerpo que no está en contacto con la silla es de 1.5m2 .

Pneta  Pr  Pa   A(T 4  T04 )  0.7(5.67 108 w / m2 K 4 )(1.5 m2 ) (307)4  (288)4  K 4

Pneta  120 w  100 Kcal / h Se estima que la radiación constituye, aproximadamente, un 50% de las pérdidas de calor de una persona sedentaria en una habitación normal. Si las paredes o el suelo están fríos, tendrá lugar la emisión de radiación hacia ellos, independientemente de lo cálido que esté el aire. Las habitaciones tienen el mayor confort cuando las paredes y el suelo estén cálidos y el aire no lo esté tanto. Las ventanas contribuyen en gran medida a las pérdidas de calor, no sólo por lo que se pierde por conducción, sino que también, por la noche, cuando la temperatura exterior es baja, tiene lugar la emisión de una considerable cantidad de radiación, desde nuestro cuerpo hacia el exterior. Corriendo las cortinas, por la noche, se reducen ambos tipos de pérdidas. Ejemplo 5.18: La temperatura de la Tierra Podemos calcular la temperatura de la Tierra Te igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura Ts . A la distancia de la Tierra ao (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio ao . Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura Te con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello: 4

 Te  1  rs       4  a0   Ts 

2

Donde

es el radio del Sol. Por ello

Te  Ts

  rs 696 106 m  5780 K    278 K 9  2 149  59787066 10 m  2a0  

Resulta una temperatura de 5°C. La temperatura real es de 15 °C.

105

PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un termómetro “A” las lecturas 160º y 0º equivalente a 140º y (-10º) del termómetro “B”. Determinar cuanto indicará “B” para 40º de “A”. Solución

TA T  10º  B , Pr egunta : TA  40º  TB  ? 160º 160º 40 TB  10 600   =TB  10 16 15 16  TB  27.5º

2. Se vierten 4 litros de agua a 60 ºC en una vasija de 3Kg de masa la cual se encuentra a 10 ºC. si la temperatura final del conjunto agua y vasija es 53 ºC, halle el calor específico de la vasija. Además determinar la Energía para llevar el agua desde 53 ºC hasta 85 ºC. Solución Datos: mH2O  4kg  4000 g , mvas  3kg  3000 g , TiH2O  60º C, Tivas  10º C, T f  53º C. Por definición: Qcalor perdido por el agua  Qcalor ganado por el recipiente

 mH2O cH2O T

H 2O

 mvas cvas T vas

J 60º C  53º C  3000 g  cvas 53º C  10º C gº C J J  0.91  910 g ºC kg º C

 4000 g  4.186

 cvas

b) La energía para llevar el agua desde 53 ºC hasta 85 ºC , la formula a utilizar será: Q  Calor absorbido por la vasija + Calor absorbido por el agua

 Q  mvas cvas T vas  mH2O cH2O T

H 2O

J J 85º C  53º C  4 103 g  4.186 85º C  53º C g ºC gº C  Q  623186 J  623.186KJ  Q  3 103 g  0.91

3. Dentro de un calorímetro de capacidad térmica despreciable se encuentra 300g de hielo. Al calorímetro se hace llenar de vapor de agua a 100 ºC hasta que la temperatura del sistema sea 50 ºC. ¿Cuál es la cantidad de agua existente en ese momento? Solución Datos: mh  300 g , Tvapor  100º C, TE  50º C, L f  80Kcal / kg , Lv  540Kcal / kg.

Fusióndehielo  Q1  mL f  300 g (80cal / g )  Q1  24000cal Calentamientodeagua : Q2  cmT  1cal / g  (300 g )(50º C  0º C)  Q2  15000cal Condensación de vapor: Q3  mv Lv  mv (540cal / g )  Q3  540mv cal Enfriamiento de agua: Q4  cmx T  (1)mx (50-100)  Q4  50mx cal Equilibrio: Q1  Q2  Q3  Q4  0  mx  66.1 g

 masa total del agua : m  300g  66.1  366.1g. 4. Tres kilogramos de hielo 20 ºC se vierten sobre un depósito de capacidad calorífica despreciable que contiene 12 kg. de agua a 86 ºC. ¿Cuál será la energía intercambiada entre el hielo y el agua? Solución Datos: Th  20 º C, mH O  12kg , TH2O  86 º C, Q  ? 2

106

Por definición: Qganado  Qperdido  Qg ( hielo )  Qp ( agua )

mh ceh th  mhQL f  mhceH2O T '  mH2OceH2O T ''

 3(0.5)(20)  3(80)  3(1)T  12 1 (86  T )  30  240  3T  1032 12T  T  50.8 º C  Q  mH 2O ceH 2O T ''  Q  12(86  50.8)  Q  422.4 Kcal 5. ¿Desde que altura debe caer un bloque de hielo de 1 kg. para fundirse completamente si se encuentra a 0 ºC? Solución Datos:  mh  1 kg , Tfusión  0, QLf  80 cal / g Como: EP  Q y EP  mgh

 Q  mQLf  1000 g  80cal / g  80000 cal.  EP  80000 cal  4.180 J / cal  334880 J .

(*)

 mgh  1kg (9.76 m / s )h  9.76 h

(*)

2

Igualando las dos (*) y (**), se tiene: h  34.3 Km 6. Un estudiante emocionado por haber aprobado curso de Física, cayó desde la parte superior de su pabellón de 100 metros de altura. Cuando fueron a recoger, en su cuerpo encontraron pequeñas quemaduras. ¿Cuál es el incremento de temperatura que sufrió el estudiante?, su masa es de 40 Kg y su calor especifico 0.09 cal/g ºC. Solución Datos: h  100m, m  40kg , ce  0.09cal / g º C, t  ? Por definición: EP  Q

cal )  EP  9364.548cal 4,186 J  Q  mce T  40000 g (0.09cal / g º C )T  Q  (3600cal )T Igualando los dos resultados: 3600cal T  9364.548cal  T  2.6 º C  EP  mgh  40kg (9.8m / s 2 )(100m)  EP  39200 J (

7. El aire en el interior de un invernadero se encuentra a 35 ºC cuando la temperatura externa es de 15 ºC. Si el área efectiva de la cubierta de vidrio es de 100m2 y su espesor es de 3 mm, determine el ritmo con el cual se pierde calor por conducción. Solución Datos: Ti  35 º C, Ta  15 º C, A  100 m2 , x  L  3mm, Kc =1.0w/mK, H  ?

AT (100m2 )(35º C  15º C ) Por Definición: H  Kc  H  (1.0w / mK ) L 3 103 m  H  666.66Kw 8. La superficie del Sol tiene una temperatura de aproximadamente 6000 ºK. si se toma el radio del sol como 6.96 108 m , calcule la energía total radiada por el sol diariamente. (suponga   1 ). Solución Datos: T  6000K , R  6.96 10 m,   5.67 108 w / m2 K 4 ,   1, P  ?, I  ?. 8

P , además P   AT 4 , A  4 r 2 A  A  4 (6.96 108 )2 m2  193.766 1016 m2

Por definición: I 

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 P  1 (5.67 108 w / m2 K 4 )(193.766 1016 m2 )(6 103 K )4

 P  1 (5.67 108 w / m2 K 4 )(193.766 1016 m2 )(6 103 K )4  1423854.57 1020 w.  I   T 4  1 (5.67 108 w / m2 K 4 )(6 103 K )4  7348.32 104 w / m2 9. Sobre la cubierta plástica del invernadero circula aire paralelamente con una velocidad de 2 m/s y a la temperatura ambiente de 16 ºC, el plástico de la cubierta tiene una temperatura de 26 ºC. Calcularr la pérdida conectiva de calor en la cubierta. Solución Datos: v  2m / s, Ta  16º C, Ti  26º C, H  ?

w w w  h  (4.5  2.9(2)) 2  10.3 2 2 mK mK mK 2 La perdida convectiva de calor en la cubierta por m es: w H  hA(TS  Ta )  10.3 2 1m2 (299 K  289 K )  H  100.3w. mK Por definición: h  (4.5  2.9v)

10. Los estudiantes de Física, realizan un experimento en la superficie del Lago Titicaca para saber cuánto tiempo tardara en formarse una capa de hielo de 2 cm de espesor; cuando la temperatura del aire en el mes de Junio es -4 ºC, sobre el lago. Para lo cual se sabe el coeficiente de conductividad térmica del hielo es K  4 103 cal / s.cm.º C y la densidad del hielo   0.9 g / cm3 . Temperatura del Lago Titicaca en dicho mes es 0 ºC. ¿Cuál es su resultado? Solución Datos: Capa x  2cm, Ta  4º C, K  4 103 cal / s.cm.º C, h  0.9 g / cm3 , TH2O  0º C.

 TH O  Ta  dQ AT k  kA  2 (*)  dt x  x   Espesor de hielo x  dx , dm su masa  dm   Adx , A  área de la superficie de la Por definición: H 

capa, el calor de transformación de esta capa pasa de agua a 0 ºC a hielo a 0 ºC será: dQ  dmL  (  Adx)(80cal / g ) , remplazando en (*) se tiene.

80  Adx 4 80  xdx  0º C  (4º C )  80  Adx  kA    kA  dt   dt x0 dt x 4K  

80  2 80  80cal / g (0.9 g / cm3 ) xdx  t  (2)  t  (2) 0 4 K 0 4K 4º C (4 103 cal / scmº C ) min  t  9 103 s  9 103 s( )  150 min  T  2h con 30 min. 60s t

  dt 

3.9 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA 3.9.1 DEFINICIONES: Sistema: cualquier grupo de átomos, moléculas, partículas u objetos en estudio termodinámico. Por ejemplo el agua dentro de un envase, el cuerpo de un ser vivo o la atmósfera. Un esquema se muestra en la figura 5.1. Ambiente: todo lo que no pertenece al sistema, es lo que rodea al sistema, sus alrededores. Por ejemplo el exterior al envase donde está el agua, o el espacio que rodea a la atmósfera (puede ser todo el Universo). Entre el sistema y el ambiente puede haber intercambio de calor y de energía y se puede realizar trabajo (figura 5.1). Sistema cerrado: sistema en el cual no entra ni sale masa, pero que puede intercambiar calor y energía con el ambiente.

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Sistema abierto: sistema que puede tener variación de masa, como por ejemplo intercambio de gases o líquidos, o de alimentos en los seres vivos. Sistema cerrado aislado: sistema en el cual no se produce ningún intercambio de calor o energía con el ambiente a través de sus fronteras.

3.9.2 TRABAJO EN LOS PROCESOS TERMODINÁMICOS Para un gas contenido en un envase cilíndrico ajustado con un émbolo móvil, como se muestra en la figura 13.4, si el gas está en equilibrio térmico ocupa un volumen V y produce una presión constante P sobre las paredes del cilindro y sobre el émbolo, de área A. La fuerza ejercida por la presión del gas sobre el émbolo es F = PA. Si el gas se expande desde el volumen V hasta el volumen V+dV lo suficientemente lento, el sistema permanecerá en equilibrio termodinámico. Por efecto de la expansión, el émbolo de desplazará verticalmente hacia arriba una distancia dy, y el trabajo realizado por el gas sobre el émbolo, será:

dW  Fdy  PAdy

Como Ady es el aumento de volumen dV del gas, se puede escribir el trabajo realizado como: dW = PdV. Si el gas se expande, entonces dV es positivo y el trabajo realizado por el gas es positivo, por el contrario, si el gas se comprime, dV es negativo y el trabajo realizado por el gas es negativo, en este caso se interpreta como el trabajo realizado sobre el sistema. Si no cambia el volumen, no se realiza trabajo. Para obtener el trabajo total realizado por el gas cuando la variación de presión hace cambiar el volumen desde un valor Vi hasta un valor Vf, se debe integrar la ecuación anterior, de la forma:

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Vf

W   PdV Vi

Para evaluar esta integral, se debe saber cómo varía la presión durante el proceso. En general la presión no es constante, depende del volumen y de la temperatura. Si se conoce la presión y el volumen durante el proceso, los estados del gas se pueden representar por una curva en un diagrama PV, como la que se muestra en la figura 13.5. De este gráfico, se obtiene que el trabajo realizado por un gas al expandirse o comprimirse desde un estado inicial Vi hasta un estado final Vf es igual al área bajo la curva de un diagrama PV.

Este trabajo depende de la trayectoria seguida para realizar el proceso entre los estados iniciales y final, como se ilustra con la figura 3.16. Si el proceso que se realiza es a volumen constante Vi disminuyendo la presión desde Pi hasta Pf, seguida de un proceso a presión constante Pf aumentando el volumen desde Vi hasta Vf (figura 3.16a), el valor del trabajo es diferente al que se obtiene en un proceso donde primero se produce una expansión desde Vi hasta Vf a presión constante Pi y después se disminuye la presión desde Pi hasta Pf, manteniendo caso, tienen un valor diferente, es mayor en la figura 3.16b. Por lo tanto, el trabajo realizado por un sistema depende del proceso por el cual el sistema cambia desde un estado inicial a otro final. De manera similar se encuentra que el calor transferido hacia adentro o hacia fuera del sistema, depende del proceso. Tanto el calor como el trabajo dependen de los estados inicial, final e intermedios del sistema. Como estas dos cantidades dependen de la trayectoria, ninguna de las dos se conserva en los procesos termodinámicos.

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Ejemplo 3.16 Un gas se expande desde i hasta f por tres trayectorias posibles, como se indica en la figura 3.17. Calcular el trabajo realizado por el gas a lo largo de las trayectorias iAf, if y iBf. Considerar los valores dados en la figura.

Solución: se calcula el área bajo la curva en cada proceso. De la figura 3.17, se tienen los datos:

Pi  4atm  4.05 105 Pa , Pf  1atm  1.013 105 Pa , Vi  2L  0.002m3  VB ,

VA  4L  0.004m3  V f .

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