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Sistemas Adaptativos

Sistemas Adaptativos Los sistemas o filtros adaptativos son sistemas variante temporales de forma que se adaptan a cambios en su entorno, optimizando su funcionamiento de acuerdo a una serie de algoritmos conocidos como algoritmos adaptativos. La finalidad del algoritmo adaptativo es modificar los parámetros que definen el funcionamiento del sistema adaptativo de forma que la señal de error sea mínima.

Fig. 1 Esquema de un sistema Adaptativo

En el esquema x(n) es la secuencia de entrada al sistema adaptativo e y(n) es la secuencia de salida que será comparada con la señal deseada d(n) para producir una señal de error e(n). Esta se emplea para ajustar los coeficientes del sistema adaptativo mediante un determinado algoritmo adaptativo.

Aplicaciones de los sistemas adaptativos Los sistemas adaptativos se pueden utilizar en una serie de estructuras.

Estructura directa En la estructura inversa se consigue minimizar el valor del error cuadrático medio u otra función monótona creciente del error cuando la señal de salida del filtro adaptativo sea igual a la señal de salida del sistema desconocido. Como los dos sistemas tienen la misma entrada y presentan la mima salida tenemos identificado el sistema desconocido; la función de transferencia del sistema desconocido es la del sistema adaptativo para dichas entradas.

Fig. 2 Estructura directa de un sistema adaptativo.

Estructura inversa La minimización del error cometido por dicho sistema ocurrirá cuando la señal de salida del filtro adaptativo y(n) sea igual a la señal deseada que, en esta estructura, es igual a x(n). El objetivo del sistema adaptativo es “deshacer” lo que hace el sistema desconocido. Una aplicación típica de esta estructura se encuentra en la ecualización de canales.

En cualquier comunicación se tiene un emisor, canal, receptor y, por supuesto, un mensaje. El mensaje se vería distorsionado por el canal de transmisión, y por tanto, el receptor tendrá que eliminar la actuación del canal sobre dicho mensaje para obtener el mensaje original. Por las características de muchos canales de transmisión esa función de transferencia cambia con el tiempo y, por tanto, se necesita un sistema que se adapte a dichos cambios. Un sistema adaptativo es ideal en este tipo de situaciones.

Fig. 3 Estructura inversa de un sistema adaptativo.

Predictor Esta estructura se utiliza en modelos de predicción

Fig. 4 Esquema de un sistema adaptativo usado como predictor

La salida del filtro adaptativo utiliza las muestras anteriores de la señal x(n) para determinar la salida y(n). Esto es: 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥(𝑛 − 𝑝), 𝑥(𝑛 − 𝑝 − 1), … ) … El objetivo del sistema adaptativo es hacer que 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) por lo que se tendrá entonces: 𝑥(𝑛) = 𝑓(𝑥(𝑛 − 𝑝), 𝑥(𝑛 − 𝑝 − 1), … ). Se trata de realizar una predicción del valor futuro, 𝑛0 de la señal 𝑥(𝑛0 ) en función de las muestras anteriores de dicha señal x(n) con 𝑛 < 𝑛0. Esta estructura tiene un uso directo en el diseño de sistemas de control debido q al tener la capacidad de predecir la magnitud a controlar se podrá modificarla para que muestre una serie de características deseadas.

Cancelador activo de ruido Los pasos a seguir a la hora de filtrar una señal contaminada con ruido aditivo son siempre los mismos. La señal que se tiene a nivel temporal, que es la suma de la señal que se quiere obtener y el ruido que la interfiere, se transforma de dominio. Se abandona el terreno temporal y se traslada la información a otro dominio, por ejemplo el frecuencial. En dicho dominio la señal y el ruido están separados y se puede aplicar un filtro quedando el ruido eliminado. Finalmente se vuelve al terreno temporal donde ahora solo se tiene la señal de interés. Este proceso tiene un problema: que ocurre si el contenido espectral del ruido y de la señal que se quiere obtener están solapados. En este caso la aplicación de filtros selectivos en frecuencia para eliminar el ruido no puede ser aplicado.

Fig. 5 Esquema de un filtrado selectivo en frecuencia.

Una de las alternativas para ser utilizadas en este caso es el cancelador activo de ruido (ANC)

Fig. 6 Esquema básico de un cancelador activo de ruido.

Aquí s(n) es la señal deseada, 𝑟0 es el ruido que afecta a dicha señal y 𝑟1 es un ruido correlacionado con el anterior. De esta forma, el error cuadrático en el instante n cometido por el sistema adaptativo: 2

𝑒 2 (𝑛) = (𝑑(𝑛) − 𝑦(𝑛)) = (𝑠(𝑛) + 𝑟0 (𝑛) − 𝑓(𝑟1 (𝑛)))

2

Donde 𝑓(𝑟1 (𝑛)) es la salida del filtro adaptativo. Dada la nula correlación entre s(n) y 𝑟1 (𝑛), se puede decir que el sistema modela la señal de ruido 𝑟0 (𝑛) una vez minimizado este error cuadrático. En este caso, la señal de error es s(n) que es la señal que se quiere obtener.

Algoritmos adaptativos. Algoritmo LMS Entre los algoritmos adaptativos más extendidos se encuentra la de mínimos cuadrados, LMS (“Least Mean Square”). Estos algoritmos se obtienen usando la regla delta para la minimización iterativa de funciones. El funcionamiento de esta regla es muy intuitivo; se parte de unos valores de los parámetros de la función y, a partir de dichos valores, los parámetros del sistema se acercan a los óptimos correspondientes al mínimo de la función. El problema consiste en determinar la dirección de dicho mínimo. Para ello se echa mano de cálculo vectorial, donde la dirección del mínimo coincide con la opuesta del gradiente de la función. La razón estriba en que la dirección del gradiente apunta al máximo de la función. Según todo lo dicho, la regla delta para el ajuste de los parámetros del filtro a vendrá dada por la expresión 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 − 𝜇

𝜕𝐽 𝜕𝑎𝑛

Donde J es la función que define el comportamiento del sistema adaptativo, µ es un número real positivo, conocido como constante de adaptación, que controla el incremento de los parámetros 𝑎𝑛 en cada iteración del ajuste n. Lógicamente, si la constante µ es alta, el incremento seria alto y la velocidad de convergencia del sistema adaptativo hacia el sistema optimo aumentara. El problema radica en que un aumento en el valor de la constante de adaptación puede conllevar que el sistema se vuelva inestable. En el caso de la familia de algoritmos adaptativos LMS la función a minimizar es el error instantáneo al cuadrado, es decir: 𝐽 = 𝑒 2 (𝑛) Donde e(n) es el error cometido en el instante n y se define como la diferencia entre la señal deseada, d(n), y la salida del filtro adaptativo en el instante n, y(n), es decir: 𝐽 = (𝑑(𝑛) − 𝑦(𝑛))

2

Fig. 7 Esquema del descenso por gradiente sobre la superficie de la función de error

Las ecuaciones de actualización de un filtro adaptativo de tipo FIR. La salida del filtro adaptativo se determina convolucionando la respuesta impulsional del filtro adaptativo con la entrada: 𝐿−1

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑤𝑛 (𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0

Siendo 𝑤𝑛 (𝑘) el coeficiente k de la respuesta impulsional en el instante n y x(n) la entrada en dicho instante. Para mayor sencillez en las ecuaciones que se van a determinar se definen los vectores de pesos y entradas de la siguiente forma: 𝑤𝑛 = [𝑤𝑛 (0), 𝑤𝑛 (1), … , 𝑤𝑛 (𝐿 − 1)]𝑇 𝑥𝑛 = [𝑥(0), 𝑥(1), … , 𝑥(𝐿 − 1)]𝑇 Donde el superíndice T indica trasposición. De esta forma la salida del filtro queda definida: 𝑦(𝑛) = 𝑤𝑛 𝑇 . 𝑥𝑛 La función de coste desarrollada sería 𝐿−1

𝐽=

{𝑒 2 (𝑛)}

= 𝐸{(𝑑(𝑛)

− 𝑤𝑛 𝑇 . 𝑥𝑛 )2 }

2

= 𝐸 {(𝑑(𝑛) − ∑ 𝑤𝑛 (𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘)) } 𝑘=0

Para la actualización de los parámetros hay que aplicar la regla delta definida en este caso particular como: 𝑤𝑛+1 = 𝑤𝑛 − 𝜇

𝜕𝐽 𝜕𝑤𝑛

Se debe determinar en primer lugar el término de gradiente 𝜕𝐽 𝜕𝐸{𝑒 2 (𝑛)} 𝜕𝑒(𝑛) = = 2𝑒(𝑛) 𝜕𝑤𝑛 (𝑘) 𝜕𝑤𝑛 𝜕𝑤𝑛 Teniendo en cuenta que 𝜕𝑒(𝑛) 𝜕𝐸{𝑑(𝑛) − ∑𝐿−1 𝑠=0 𝑤𝑛 (𝑠)𝑥(𝑛 − 𝑘)} = = −𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝜕𝑤𝑛 𝜕𝑤𝑛 (𝑘) Se llega a 𝜕𝐽 𝜕𝐸{𝑒 2 (𝑛)} = ) − 2𝑒(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝜕𝑤𝑛 𝜕𝑤𝑛 (𝑘) Sustituyendo ahora en la expresión que define la regla delta, se tiene la regla de actualización de los coeficientes del filtro adaptativo regido por el LMS: 𝑤𝑛+1 (𝑘) = 𝑤𝑛 (𝑘) + 2𝜇𝑒(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑘), 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝐿 − 1 Utilizando notación vectorial se llega a: 𝑤𝑛+1 = 𝑤𝑛 + 2𝜇𝑒(𝑛)𝑥𝑛 Así pues, un filtro adaptativo de tipo FIR basado en el LMS tendría las siguientes etapas en su funcionamiento: 1. 2. 3. 4.

Inicialización de los coeficientes del filtro adaptativo. Determinación de la salida del filtro: 𝑦(𝑛) = 𝑤𝑛 𝑇 . 𝑥𝑛 Determinación del error del sistema: 𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑦(𝑛) Actualización de los coeficientes del filtro 𝑤𝑛+1 = 𝑤𝑛 + 𝛼𝑒(𝑛)𝑥𝑛

Donde se ha englobado el parámetro 2µ en el parámetro. El procedimiento desarrollado, regla delta, es totalmente general de forma que se puede utilizar en cualquier estructura donde se defina un índice de funcionamiento del sistema. [1]

Algoritmos estocásticos de gradiente En la literatura técnica se han propuesto diversas variantes del algoritmo de mínimos cuadrados (LMS) básico y se han implementado en aplicaciones de filtrado adaptativo. Una de estas variantes se obtiene promediando los vectores gradiente en varias iteraciones al ajustar los coeficientes del filtro. La operación de promediado reduce el ruido en el estimado del vector gradiente. Un método alternativo consiste en filtrar los vectores gradiente mediante un filtro paso bajo y utilizar la salida del filtro como un estimado del vector gradiente.

Algoritmos adaptativos. Algoritmo RLS La principal ventaja del algoritmo LMS está en su simplicidad de cálculo. Sin embargo, el precio que hay que pagar por esta simplicidad es una lenta convergencia, especialmente cuando los autovalores de la matriz de auto correlación presentan una dispersión grande, es decir, cuando λmax λmin

≫1

El algoritmo LMS sólo tiene un parámetro ajustable para controlar la velocidad de convergencia Δ. Puesto que Δ está limitado con propósitos de estabilidad para ser menor que el límite superior, los modos correspondientes a los autovalores menores convergen muy lentamente.

Algoritmos de factorización LDU y de raíz cuadrada El algoritmo recursivo de mínimos cuadrados es muy sensible al ruido de redondeo de una implementación del algoritmo cuando se emplea aritmética de precisión finita. Para remediar este problema, podemos realizar una descomposición de la matriz de correlación o de su inversa. Los algoritmos RLS obtenidos a partir de una descomposición LDU de RM(n) o de PM(n) se conocen como algoritmos RLS de raíz cuadrada.[2]

Bibliografía [1] E. Soria, M. Martínez, J. V. Francés y G. Camps, Tratamiento digital de señales. Problemas y ejercicios resueltos, Valencia: SinObraDerivada, 2003, pp. 425-431. [2] J. Proakis y D. Manolakis, Tratamiento digital de señales, Cuarta ed., Madrid: PEARSON EDUCACIÓN S.A, 2007, pp. 785-815.