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• Pedro Trujillo

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DIBUJO Perspectiva cónica. Intersecciones.

30-15132-13

Figuras planas y sólidos.

Temario 1993

tema 53 dibujo

1. Intersecciones 1.1. Intersección de dos rectas 1.2. Intersección de planos 1.3. Intersección de rectas y planos

2. Cambio de sistema 2.1. Paso del sistema cónico al sistema diédrico 2.2. Paso del sistema diédrico al sistema cónico

3. Representación de figuras planas 4. Representación de sólidos

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INTRODUCCIÓN

Las reglas de representación de la perspectiva cónica fueron aplicadas y desarrolladas en el Quatrocento por los pintores renacentistas más importantes (Piero de la Francesca, Fra Angelico, Leonardo da Vinci, Canaletto...) y han regido el modo de representar la realidad hasta finales del siglo XIX, con la irrupción de las vanguardias. La perspectiva cónica es un sistema de representación que utiliza proyecciones cónicas o centrales sobre un plano del cuadro. De todos los sistemas de representación es la perspectiva cónica la que nos da una representación más próxima a la de la visión real. Hoy en día los campos de aplicación más frecuentes de la perspectiva cónica con la presentación de proyectos arquitectónicos; presentación de proyectos urbanísticos, en la presentación de proyectos de diseños de espacios interiores, de diseño escenográfico y de diseño de paisajes o jardines.

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1 Intersecciones

1.1. Intersección de dos rectas El método general en perspectiva cónica se simplifica al quedar determinado el punto por sus proyecciones directa y horizontal. La condición para que dos rectas se corten es que las intersecciones respectivas Ι’ e Ι’1 de sus perspectivas y de la proyección horizontal estén situados en una normal a t. En nuestro ejemplo tenemos que la recta r y s se cortan en α’ e β’1 al estar las proyecciones sobre la normal a t, lo que quiere decir que este punto pertenece a las dos rectas (Fig. 1).

1.2. Intersección de planos El procedimiento a seguir es el mismo que en el otro sistema de representación. Sean los planos α y β representados por sus trazas. El punto Ι2 es donde se cortan αc y βc y está contenido en el plano del cuadro y es la intersección buscada. Donde se cortan αg y βg es el punto N, perspec­tiva de la traza de la recta de intersección con el plano geometral, y por fin el punto de fuga de la recta buscada F es la intersección de αf y βf. La recta de intersección se defi­ne por los puntos Ι’2, N y F’ (Fig. 2).

XX Casos particulares

Figura 1.

Intersección de dos planos, uno oblicuo y otro perpendicular al geometral. Sea el plano α perpendicular al geometral y β el oblicuo. La intersec­ción de ambos es la recta i que tiene­ la característica de confundirse i’ con αg. La proyección directa pasa por Ι2, Ιg y F donde se cortan las trazas del mismo nombre de los planos (Fig. 3). Figura 2. Figura 3.

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Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

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Intersección de un plano oblicuo y otro que pasa por L.T. Sea α, que pasa por L.T., y β el oblicuo. El punto N pertenece al plano geometral y del cuadro; el punto F es la intersección de βf y αf. Uniendo­ los puntos como el caso anterior nos da la recta i buscada (Fig. 4).

„„

Intersección de dos planos paralelos a L.T. Se utiliza un plano auxiliar oblicuo ε. Este plano corta al α en la recta i2 y al b en i1 y estas rectas se cortan en Ι que es la intersección buscada, ya que sabemos que la recta será paralela a L.T., siendo la solución i (Fig 5.).

„„

Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo Sean los planos α y β, cuyas trazas αc y βc se cortan fuera de los límites del dibujo. Para ello se utiliza un plano auxiliar γ. En nuestra figura un punto conocido es A, donde se cortan αg y βg. Los planos α y γ se cortan en i1 y β y γ en i2; éstas se encuentran en B, punto de intersección, que unido con A nos da la recta de intersección i (Fig. 6).

1.3. Intersección de rectas y planos La intersección de una recta y un plano es un punto. En la figura 7 tenemos un plano α y una recta r. Se hace pasar por la recta r un plano cualquiera β; para ello basta que su traza βc con el cuadro pase por el punto T, traza de la recta r con el plano del cuadro y que su traza βg con el geometral pase por el punto G, traza de la recta con el plano geometral; ambas trazas se cortan en el punto 1 de la L.T. El plano α corta a β según una recta i, la cual corta a r en el punto Ι (Ι-Ι’) buscado .

Figura 7.

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XX Casos particulares „„

Figura 8.

Intersección de una recta con el plano bisector La recta se cruza perpendicularmente con L.T. porque F’ y V’’ coinciden, siendo F un punto cualquiera de la perpendicular a L.H. por V’’. El plano α es uno de los bisectores del diedro formado por el cuadro y geometral, ya que αc y αg están sobre la L.T. y αf es tangente al círculo de distancia (Fig. 8). El plano auxiliar β es paralelo a L.T. y contiene a r. La intersección de los planos α y β se halla en la figura con la ayuda auxiliar de γ obteniendo iα−β que corta a la recta dada en el punto Ι buscado.

„„

Intersección de una recta y un plano dado por dos rectas Sea el plano dado por las rectas r y s que se cortan en el punto P y la recta t (Fig. 9). El plano proyectante que contiene­ a la recta t es αg. Este plano corta­ al dado según la recta i que une los puntos A y B; la recta i determina­en t el punto Ι buscado (Fig. 9).

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Figura 9.

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2 Cambio de sistema

Figura 10.

2.1. Paso del sistema cónico al sistema diédrico Sea un sistema cónico con un ­plano oblicuo que contiene ABC (Fig. 10). El paso al sistema diédrico lo fijamos con la condición de que el plano del cuadro, que es vertical forme un ángulo β con el plano vertical del sistema diédrico por lo que sea un plano π1π2 proyectante horizontal, y la traza π1 formará un ángulo β con L1T1 en verdadera magnitud. Se dibuja en primer lugar π1 formando β grados con L1T1 y por el punto P’ se traza la perpendicular a L.T. y se sitúa V’ cuyo alejamiento es d; la proyección vertical V’’ tiene cota c. Las trazas del plano α1 y α2 se obtienen con ayuda de los segmentos a y b, el segmento a nos da el punto de fuga F’1-F1’’ de las horizontales del plano, basta trazar α1 paralela a V’F1’. Desde los puntos M y N con ayuda de los segmentos a4 y b obtenemos los puntos M’-M’’ y N’-N’’ y por tanto las proyecciones t’ y t’’ de la traza αc del plano en el sistema cónico. La traza α2 pasa por donde a1 corta L1T1 y el punto S’-S’’ y es convergente con π2 y t’’ en V1’’, ya que t’ es la proyección vertical de la intersección de los planos π y α. Una vez determinadas las trazas del plano las proyecciones de sus puntos, por ejemplo el A, fijamos la proyección horizontal de corte CA y en recta V’-1 nos da el punto A’ que se refiere en A’’; para hallar la recta V’1 se ha empleado la cota a1 del punto A (Fig .11). Figura 11.

Figura 12.

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2.2. Paso del sistema diédrico al sistema cónico Sea un sistema diédrico con un plano π que contiene una figura ABC. Consideremos que el plano del cuadro sobre del cual vamos a hallar la proyección cónica es el plano vertical primitivo, siendo V’V’’ el punto de vista (Fig. 12). La proyección cónica directa se obtiene determinando los puntos de intersección de los rayos proyec­tantes que pasa por V’’-V’ con el plano del cuadro. Estos puntos que son las trazas verticales A-A’1, B-B’1 y C- C’1 y se han de llevar sobre el sistema cónico representando en la figura 13 con los datos LH y PV’’ y D siendo la distancia V’ a LT igual a d = PD magnitudes reducidas en la figura. Tomamos las magnitudes de los puntos A, B y C de la figura 12 y se obtienen los puntos A, B y C de la figura 13. La traza αc se obtiene mediante los puntos M y N en que α2 corta a LH y LT. La horizontal del plano que pasa por V’-V’’ nos da el punto F’ en LH y con él llevado por su distancia a V’’ se obtiene la traza αf. La traza αg pasa por los puntos N y F’. La perspectiva o proyección ho­rizontal se obtiene trazando las horizontales del plano que pasan por A, B y C y que sabemos fugan en F’. Al estar la figura a proyectar entre­ el punto de vista y el plano del cuadro­ la proyección horizontal se obtiene por debajo de la L.T.

Figura 13.

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3 Representación de figuras planas XX Perspectiva de un triángulo cualquiera en un plano Se abate el plano que contiene el triángulo, se dibuja la figura en verdadera magnitud y, por fin, se desabate. Entre la perspectiva directa y la figura abatida existe una relación homológica, siendo sus elementos los siguientes: a) Eje de homología: la traza αc del plano que contiene la figura­. b) Recta límite: la traza αf o recta de fuga del plano. c) Centro de homología: el punto de vista abatido sobre el plano del cuadro alrededor de la recta límite αf. «La recta AoCo corta el eje y una paralela a esta recta por Vo hasta que corte a RL», uniendo estos dos puntos será la recta que contienen A y C. Uniendo Ao y Co con Vo y cortando a la anterior recta nos dará A y C buscados. Figura 14.

Figura 15.

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La perspectiva sobre el plano geometral­ A’, B’, C’ se obtiene a partir de la perspectiva directa que es afín a ella, siendo el eje de afinidad la traza αg, el afín B B’ que se ha obtenido por medio de una horizontal h-h’ y L la dirección perpendicular a LH (Fig. 14).

Figura 16.

XX Perspectiva de un cuadrilátero en un plano El procedimiento es el mismo que en el caso anterior. Se abate el plano, se dibuja el cuadrilátero en verdade­ra magnitud, se halla la homológica para hallar la perspectiva directa y, por fin, la afinidad para hallar la proyección sobre el geometral (Fig. 15)

XX Perspectiva de una circunferencia en un plano cualquiera Tenemos el plano α que contiene la circunferencia de radio conocido. Se abate el plano y se sitúa dicha circunferencia, y obtenemos la perspectiva directa de la circunferencia, la cual es una elipse, que se resuelve por homología como los casos anteriores. En la figura se obtienen los ejes reales de la elipse determinando previamente sus direcciones homólogas con ayuda del conjugado armónico N del punto Po respecto de la circunferencia. Los ejes de la elipse AB y CD y sus homólogos son cuerdas AoBo y CoDo de la circunferencia (Fig. 16).

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4 Representación de sólidos En este apartado nos dedicaremos a representar una serie de ejemplos de algunos cuerpos, que nos servirán para realizar cualquier otro. Hay que tener en cuenta que si un cuerpo tiene puntos en el plano de desvanecimiento, la imagen de éstos estará en el infinito, es decir, que a puntos finitos les corresponde su proyección en el infinito. Según esto, a un cuerpo cerrado le puede corresponder como proyección un cuerpo abierto. Una vez representado el cuerpo, se deben fijar las partes vistas y ocultas del mismo, para lo que hay que recordar los criterios ya conocidos de otros sistemas de representación.

XX Pirámide de base rectangular conocida Sea la base rectangular (A), (B), (C) y (D) abatida y la altura de la pirámide h.

Figura 17.

Conocido el abatimiento de la base, fácilmente se halla su perspectiva, como ya se sabe, prolongando los lados y uniendo sus intersecciones Ta, Tb, Tc y Td con sus respectivos puntos de fuga F’1 y F’2, habiéndose obtenido éstos por medio de las paralelas (V)F’1 y (V)F’2 a (b) y (a), trazadas por (V). Las intersecciones de a’ y c’ con b’ y d’ nos dan los vértices A’, B’, C’ y D’. La perspectiva O’ del centro del rectángulo viene dada por la intersección de las diagonales A’C’ y B’D’. Como comprobación (O) y deben estar alineados con (V), lo mismo que los vértices, como (D) y D’. La altura O’H’ se ha hallado por medio de la horizontal h’-h’1 que pasa por O’ trazando primero la proyección Figura 18. horizontal h’1 y tomando sobre la vertical que pasa por T1r, la longitud TrT1r= h, que nos determina su perspectiva h’ y la H’ del vértice de la pirámide, en su intersección con la vertical que pasa por O’ (Fig. 17).

XX Proyección de un hexaedro de arista conocida, sabiendo que su diagonal es perpendicular al plano geometral A partir de la arista a hallamos la diagonal D del cubo. Dibu­ jamos las proyecciones diédricas del cuerpo, 1’2’3’4’5’6’7’8’-

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Figura 19.

Figura 20.

1’’2’’3’’4’’5’’6’’7’’8’’, sabiendo que una diagonal 1’8’-1’’8’’, es perpendicular al geometral por detrás del cuadro, es decir, en el segundo diedro. Desde V’-V’’, proyecciones diédricas del punto de vista, se dirigen visuales a los vértices del cubo, las cuales cortan al plano vertical diédrico, o plano del cuadro en el sistema cónico, en los puntos perspectivas de los vértices (Figura 18).

XX Representación de un prisma de base rectangular Representar un prisma cuyas dimensiones son 45, 15 y 130 milímetros en el sistema cónico, de forma que su eje, mayor dimensión, sea perpendicular al plano del cuadro, tenga 60 mm. de cota y el punto más próximo al cuadro diste 20 mm. de él. Colocar el cuerpo detrás del plano del cuadro y de modo que sus caras de mayor superficie formen ángulos de 45o con el plano geometral. El punto de vista tiene 120 mm. de alejamiento y 80 mm. de cota y su línea de referencia dista 140 mm. de la del eje de la pieza; este punto está situado delante del plano del cuadro (Figura 19). Se sitúa el prisma en proyec­ciones diédricas, siendo sus vértices 1’2’3’4’5’6’7’8’ y 1’’2’’3’’4’’5’’6’’7’’8’’; el eje de la pieza es e’-e’’. Con los datos del problema se sitúa el punto de vista V’-V’’ de coordenadas (140, 80, 120). Desde el punto de vista se dirigen visuales a los vértices del prisma en cuestión y se obtienen, como trazas con el plano del cuadro, los puntos 1-2-3-4-5-6-7-8, completándose el trazado.

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XX Pirámide regular de base un triángulo equilátero Pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 60 mm. de lado, situado en un plano α cuyas trazas αc y αf forman ángulos de 60o con una línea de horizonte, distando­entre sí 70 mm. Las distancias del punto de vista a los planos del cuadro­y geometral son de 30 y 80 mm, respec­tivamente, y su proyección sobre el cuadro dista 30 mm. de la traza αf medida sobre la línea de horizonte. El centro de la base de la pirámide está en el plano geometral, equidistando su proyección de la traza αc y αf y su vértice está en el plano del cuadro (Figura 20). Se sitúa el plano αc-αg-αf y el punto de vista V’’-O; abatimos este punto sobre el plano del cuadro alrededor de αc obteniendo el centro de homo­logía, Po-CH. El centro de la base es O-O’ sobre αg, a igual distancia de αc y αf; abatido este punto O, tenemos Oo; con centro en Oo construi­mos el triángulo equilátero Ao-Bo-Co, el cual, desabatido por homología nos da la perspectiva A-B-C de la base de la pirámide; para desabatir hemos empleado la recta límite R’-L’ y no la recta de fuga del plano, αf. Por el punto O-O’, centro de la base, trazamos la altura del cuerpo, que es la recta perpendicula­r al plano, para lo cual se halla previa­mente el punto de fuga F-F’ de todas­las perpendiculares al plano. Unimos­F-F’ con O-O’ y tenemos situada, en posición, la altura de la pirámide­. Según el enunciado, el vértice de la pirámide ha de estar en el plano del cuadro; por lo tanto, el punto E-E’ donde la altura p-p’ corta a dicho plano del cuadro, es el vértice. Uniendo E con A, B y C queda obtenida la proyección directa de la pirámide. Para la proyección horizontal, basta unir E’ con las proyecciones A’, B’, C’ de los vértices de la base.

XX Representación de una esfera conociendo el radio Determinar la proyección cónica de una esfera de la que se conoce su radio y su centro C-C’ en el segundo diedro, es decir, detrás del plano del cuadro. El punto de vista V está en el primer diedro (Figura 21). El centro de la esfera es C’-C’’ y V’-V’’ el punto de vista, situados ambos en el sistema diédrico. La perspectiva de la esfera es la traza con el plano del cuadro (que es la vertical del diedro), del cono circunscri­to a ella y de vértice V’-V’’; el eje de dicho cono es e’-e’’. Abatimos el eje e en eo tomando los alejamientos d y h; tenemos los puntos Co y Vo; desde Vo trazamos las tangentes a la circunferencia máxima de centro Co, las cuales determinan en e’’ los vértices A y B del eje mayor de la elipse­. Por el punto medio S de AB se traza la sección recta MN del cono, la cual, por ser perpendicular al eje eo, es la circunferencia de diámetro MN; la cuerda ST, paralela al eje eo, es el semieje menor de la elipse, el cual se toma según SG y SH.

Figura 21.

La elipse de ejes AB y HG es la perspectiva cónica directa de la esfera.

XX Representación de un cubo Se da un sistema cónico por su distancia d= 90 mm.; en él tenemos un plano α que forma 60o con el plano del cuadro; αc dista 120 mm. de P. En este plano tenemos apoyado un cubo por su base ABCD, de lado

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l = 70 mm. El vértice A viene dado por las coordenadas de la figura; la diagonal AC forma 50o con αc. El vértice A es el más cercano a αc. Se pide hallar la proyección cónica del cuerpo (Figura 22). Se traza una circunferencia de centro P y radio 90 mm. y a 120 mm. de P, se dibuja una recta que es αc. Para hallar αf se traza P(V) paralela­ a αc y por (V) se dibuja la recta (V) Q que forma 60o con PQ, siendo ésta perpendicular a αc. Por Q pasa αf. Efectuamos el abatimiento de V, alrededor de αf, obteniendo el punto S, centro de homología, definiendo así la homología por S, E y RL que relaciona el cuadrado, verdadera magnitud de la base del cubo, con el cuadrilátero proyección de éste.

Figura 22.

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A continuación, y con los datos del problema, se dibuja el cuadro AoBoCoDo, base del cubo. Desabatido este cuadrado, haciendo uso de la homología establecida, se obtiene el cuadrilátero ABCD. Se traza por el punto A la recta r perpendicular a α; para llevar sobre ella y a partir de A, la verdadera magnitud del lado, se abate dicha recta como contenida en el plano auxiliar ω; se obtiene así ρ y se lleva a partir A’o la longitud l, obteniendo (A1)o; desabatido este punto, nos da el punto A1, vértice de la base superior del cubo. Como los tres sistemas de generatrices del cubo son paralelos entre sí, tendremos tres puntos de fuga, siendo éstos F1, F2 y F3, que utilizamos para hallar los restantes vértices. Uniendo A1 con F2 y B con F1 obte­nemos B1 e igualmente se hallan los vértices C1 y D1 del cubo.

XX Representación de un cilindro Se da un sistema cónico por d= 90 mm. En él tenemos un plano α que forma 45o con el plano del cuadro. Se pide hallar la proyección cónica de un cilindro recto de revolución con una directriz en dicho plano. La otra directriz es tangente al plano de desvanecimiento. El punto de vista dista 80 mm. del plano α. El centro de la directriz dista horizontalmente del punto de vista 40 mm. La altura del cilindro es 65 mm (Figura 23). Empezamos situando los datos y lo hacemos según una vista de perfil de plano λ, trazando una recta (α) que forma 45o con λo; la recta δ, a 90 mm. de λc1 es el perfil del plano de desvanecimiento.

Figura 23.

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A 80 mm. de (α) se traza la paralela α’ que corta a δ en el punto V, con lo cual queda ya definido el sistema. Pasando a la proyección, tenemos ya αc-αf y el punto P, centro de la circunferencia principal de 90 mm. de radio. Siguiendo en la misma vista de perfil, por J’ se traza la perpendicular a (α), que es una generatriz del cilindro. Trazando la paralela a (α) y a 65 mm. obtenemos (β), plano paralelo al (α), en el que se encuentra la otra directriz, y en su intersección con δ nos da L’, punto de arranque de otra generatriz del cilindro. Así queda definido el perfil del cilindro por I’J’-K’L’; cumpliendo las condiciones de ser tangente a π y a δ en los puntos J’ y L’. El diámetro de la directriz del cilindro resulta ser I’J’=L’K’. Pasando ya a la proyección, obte­nemos αc y αf, así como el punto P y la circunferencia principal. También­obtenemos βc y βf ≡ αf, plano en el que está la directriz superior del cilindro­. Podemos deducir que las dos directrices del cilindro tienen por respectivas imágenes una elipse y una parábola. Para obtener la elipse abatimos P alrededor de αf y obtenemos el punto S. La homología queda definida por S, E ≡ αc y RL. Deshaciendo el abatimiento previo del perfil, obtenemos el punto O’1, que lo situamos a 40 mm. de PH según pide el enunciado. Trazamos la circunferencia de diámetro I’J’ y centro O’1. Hallada su homóloga mediante la homóloga indicada, se obtiene la elipse de ejes 1-2 y 3-4. Para hallar la parábola imagen de la directriz superior, abatimos P alrededor de βf ≡ αf resultando el mismo punto S. Podemos ya deducir otra homología por S, E’ ≡ β y RL’, observando que las dos homólogas tienen el mismo centro pero diferente eje y recta límite. Deshaciendo el abatimiento previo del perfil, obtenemos el punto O’2, centro de la otra directriz abatida y del mismo diámetro que la anterior, que resulta tangente a la recta límite, por lo que su homóloga es la parábola de la figura. De esta forma ya queda definido el cilindro, pero si queremos determi­nar su altura, lo que tenemos que ­hacer es trazar por O1 la recta h perpen­dicular a α y llevar sobre ella la longitud h = 65 mm. Para ello nos auxiliamos del plano ωc-ωf y así nos resulta­ el segmento O1-O2 que es la proyección de la altura del cilindro. Todas las generatrices del cilindro fugan en Fg. En la figura se han indicado en línea gruesa las dos generatrices­de contorno aparente, siendo ambas­tangentes a las dos curvas.

XX Representación de un cono En un sistema cónico d= 40 mm., tenemos un plano α perpendicular al plano del cuadro y que dista del punto de vista l = 80 mm. En este plano tenemos apoyado por su direc­triz un cono recto de revolución de radio r = 100 mm., siendo esta direc­triz tangente al plano del cuadro. El centro de la directriz dista horizontalmente del punto principal 50 mm. La altura del cono es de 240 mm. Hallar su proyección estando el cuerpo detrás del plano del cuadro (Figura 24). Se traza la circunferencia de centro P y radio 40 mm. y la recta αc que dista de P, l = 80 mm. La traza αf tiene que pasar por P. Así tenemos definido el sistema y el plano α en el que está apoyado el cono. Abatiendo el punto V alrededor de αf, tenemos el punto S, quedando definida la homóloga que relaciona la proyección con la verdadera magnitud, por S, E y RL. A continuación trazamos la circunferencia de radio r = 100 mm. y tangente a αc en el punto To, de tal forma que desde To a la recta PS haya una distancia de 50 mm.; tenemos, así, la circunferencia de centro Oo. La homóloga de esta circunferencia, o lo que es lo mismo, su desabatimiento, es la elipse de ejes AB y CD. Esta elipse es la proyección de la directriz del cono. El punto homólogo del Oo es el punto O y por él trazamos la recta h perpendicular a αc, que resulta ser la proyección de la altura del cono, es decir, la perpendicular por O al plano α. Por último, se lleva sobre la recta h y a partir de O, los 240 mm. que es la verdadera magnitud de la altura del cono. Para ello, nos auxiliamos de un plano β que contiene a la

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altura; abatimos la recta h como contenida en dicho plano y obtenemos h’o: a partir de O’o se lleva la altura, 240 mm., obteniendo W’o. Uniendo este punto con S’, centro de homología en el abatimiento del plano β, nos da en h el punto W proyección del vértice del cono. Las tangentes desde W a la directriz completan la proyección del cuerpo. También se ha obtenido el punto W haciendo uso del punto métrico o medidor M, llevando sobre βf y a partir de R2, los 240 mm. de la altura; obtenemos así Wo, que unido con M, nos da sobre h el vértice W del cono.

Figura 24.

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BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA REFERIDA GONZÁLEZ MONSALVE, M. Y PALENCIA, J.: Geometría descriptiva. Ed. Palencia Pérez. Sevilla, 1991. IZQUIERDO ASENSI, F.: Ejercicios de Geometría descriptiva. Ed. Dossat. Madrid, 1987. IZQUIERDO ASENSI, F.: Geometría descriptiva. Ed. Dossat. Madrid, 1997. RODRÍGUEZ DE ABAJO, F.J.: Geometría descriptiva. Tomo V. Sistema cónico. Ed. Donostiarra. San Sebastián, 2002. RODRÍGUEZ DE ABAJO, F.J. y ÁLVAREZ BENGOA, V.: Dibujo Técnico I. 1º Bachillerato. Ed. Donostiarra. San Sebastián, 2003. RODRÍGUEZ DE ABAJO, F.J. y ÁLVAREZ BENGOA, V.: Dibujo Técnico II. 2º Bachillerato. Ed. Donostiarra. San Sebastián, 2003. SANDOVAL GUERRA, A.: Dibujo Técnico 1. Ediciones Sandoval. Santander, 2002. SANDOVAL GUERRA, A.: Dibujo Técnico 2. Ediciones Sandoval. Santander, 2003.

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RESUMEN Perspectiva cónica. Intersecciones. Figuras planas y sólidos. La perspectiva cónica es un sistema de representación que utiliza proyecciones cónicas o centrales sobre un plano del cuadro. De todos los sistemas de representación nos da una representación más próxima a la de la visión real.

1. Intersecciones 1.1. Intersección de dos rectas El método general en perspectiva cónica se simplifica al quedar determinado el punto por sus proyecciones directa y horizontal.

1.2. Intersección de planos El procedimiento a seguir es el mismo que en el otro sistema de representación. XXCasos particulares „„ Intersección de un plano oblicuo y otro que pasa por L.T. „„ Intersección de dos planos paralelos a L.T. „„ Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.

1.3. Intersección de rectas y planos La intersección de una recta y un plano es un punto. XXCasos particulares „„ Intersección de una recta con el plano bisector.

2.2. Paso del sistema diédrico al sistema cónico Sea un sistema diédrico con un plano π que contiene una figura ABC. Consideremos que el plano del cuadro sobre del cual vamos a hallar la proyección cónica es el plano vertical primitivo, siendo V’V’’ el punto de vista. La proyección cónica directa se obtiene determinando los puntos de intersección de los rayos proyec­tantes que pasa por V’’-V’ con el plano del cuadro.

3. Representación de figuras planas XXPerspectiva de un triángulo cualquiera en un

plano Se abate el plano que contiene el triángulo, se dibuja la figura en verdadera magnitud y, por fin, se desabate. XXPerspectiva de un cuadrilátero en un plano El procedimiento es el mismo que en el caso anterior. XXPerspectiva de una circunferencia en un plano

cualquiera Tenemos el plano α que contiene la circunferencia de radio conocido. Se abate el plano y se sitúa dicha circunferencia, y obtenemos la perspectiva directa de la circunferencia, la cual es una elipse, que se resuelve por homología como los casos anteriores.

„„ Intersección de una recta y un plano dado por dos rectas.

4. Representación de sólidos 2. Cambio de sistema

Ejemplos de algunos cuerpos, que nos servirán para realizar cualquier otro.

2.1. Paso del sistema cónico al sistema diédrico

Si un cuerpo tiene puntos en el plano de desvanecimiento, la imagen de éstos estará en el infinito. Según esto, a un cuerpo cerrado le puede corresponder como proyección un cuerpo abierto.

Sea un sistema cónico con un ­plano oblicuo que contiene ABC. El paso al sistema diédrico lo fijamos con la condición de que el plano del cuadro, que es vertical forme un ángulo β con el plano vertical del sistema diédrico por lo que sea un plano π1π2 proyectante horizontal, y la traza π1 formará un ángulo β con L1T1 en verdadera magnitud.

XXPirámide de base rectangular conocida Procedimiento XXProyección de un hexaedro de arista conocida,

sabiendo que su diagonal es perpendicular al plano geometral Procedimiento.

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XXRepresentación de un prisma de base rectangular Procedimiento. XXPirámide regular de base un triángulo equilátero Procedimiento. XXRepresentación de una esfera conociendo el radio Procedimiento.

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XXRepresentación de un cubo Procedimiento. XXRepresentación de un cilindro Procedimiento. XXRepresentación de un cono Procedimiento.