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s ica Ma

m

át

Área de Figuras Planas

lc Ha Le br ij

io

Te

lo

ric ul ar C.E .I.

ro y

Proyecto Curricular Matemáticas. C.E.I.P. Ignacio Halcón. Lebrija

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

Proyecto Curricular Matemáticas Geometría. Tercer ciclo

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Área. Medida de la Superficie erfici

Para medir la superficie de una figura la compararemos araremos raremos con c otra que tomaremos como unidad . Medir una superficie es contar el número ero de unidades u que contiene. a superficie le llamaremos Área. Al número que expresa la medida de una

, ca calcula el área de los siguientes polígonos:

Polígono

Área

A B

Pr oy ec to

Tomando como unidad de medida a) (Escribe los resultados en la tabla)

C

D E F

G

H I

J K L

M 1

3

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

Proyecto Curricular Matemáticas Geometría. Tercer ciclo

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

, calcula el área de los siguientes

Área

Figura

Pr oy ec to

Tomando como unidad de medida polígonos: (Escribe la solución en la tabla)

A

B

C

D

E

F

G

1

2

H

I

J

K

L

M

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

Proyecto Curricular Matemáticas Geometría. Tercer ciclo

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Pr oy ec to

Tomando como unidad de área , dibuja, en cada caso, tres t figuras distintas des respectivamente. re que tengan como área: 4 unidades; 5; 6 y 8 unidades

Realiza Rea ae el mismo ejercicio anterior nt ior pero tomando como unidad a

3

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ij a lcó n

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Pr oy ec to

Averigua el área de las figuras A, B y C, utilizando, en los tres casos, las siguientes unidades

Ahora a averigua el área de las a figuras igur D y E siendo las unidades: ades:

UNIDAD UTILIZADA

A

B

UNIDAD UTILIZADA U IZAD

C

D

y

E

28

Escribe en cada uno de los recuadros el área de las figuras según la unidad utilizada.

4

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Tomando como unidad un cuadradito de la cuadrícula, la, calc calcula el área de cada una de las figuras. (Escribe el resultado en la tabla)) Figura

Área

A

B C

D E

4

F

Pr oy ec to

G

H I

J K L

Fijándote en los modelos anteriores dibuja, buja, en la cuadrícula, figuras con las áreas que se indican en la tabla. (Utiliza como unidad un un cuadradito) Figura Figu

Área 5 11 6 8 7 9 10

5

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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Teniendo en cuenta que un cuadrado de 1 centímetro ro de la lado ocupa una sum2 , d de cada uno de los perficie de 1 cm2 , calcula el área, expresada en cm siguientes polígonos. (Expresa los resultados en la tabla) bla)

Polígono

Área (cm2)

A

B C

Pr oy ec to

D E F

G

H I

J K L

M N Ñ

6

4

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á t ic br Ha as ija lcó n

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Perímetro

A la medida del contorno de un polígono le llamaremos mos PERÍM PERÍMETRO. Para hallar el perímetro de un polígono sólo tendremos dremos mos que sumar las longitudes de todos sus lados Averigua el perímetro de cada una de las figuras uras tomando toman como unidad de medida “r”. m. (Anota los lo resultados en la tabla) Calcula el valor del perímetro para r= 2 cm. Figura

R=2cm

A B C

Pr oy ec to

D E

10.r

20 cm

F

G

H I

J K

Polígono Polí

7

Perímetro

L

6.r

M

12.r

N

16.r

Ñ

8.r

O

10.r

P

2.r

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Averigua el área y el perímetro de cada una de los polígonos polígo tomando como unidades de medida :

y

Pr oy ec to

D

Polígono no

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Perímetro ímetr Área Ár

D Dibuja polígonos con el perímetro ím que se indica en la tabla tabla. E Escribe, en dicha tabla, el área de cada uno de esos polígonos.

Polígono

J

K

L

M

N

Ñ

O

Perímetro

12.S

9.S

6.S

13.S

10.S

11.S

8.S

Área 8

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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Tomando como unidades de medida y , averigua av el perímetro de cada polígono. Calcula el valor del perímetro para a = 2 cm y b = 2,8 cm

B

A

C

to

Polígono

D

E

P=4.a+2.b a+2.b

Perímetro ímetro si a=2 y b=2,8 b=

P=4.2+2.2,8 P=4.2+ =8+5,6=13,6 =8+ cm

Pr oy ec

Perímetro tro

F

G

H

I

Traza las figuras que correspondan espo a los perímetross indicados indicado en la tabla.

Figura

J

K

L

M

N

Ñ

Perímetro

P=2.a+3.b

P=6.a+2.b

P=8.a+3.b

P=14.a+4.b

P=10.a+6.b

P=6.a+3.b

9

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Utiliza el

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

como unidad de superficie y

y

como longitudes

ígono para averiguar el área y el perímetro de cada polígono.

Figura

Área

Perím.

A B C

D E

F

¿Cómo son las áreas eas de los polígonos?

Pr oy ec to

¿Cómo son los perímetros ímet de los polígonos?.

n las á io Fijándote en áreas y perímetros de los anteriores polígonos, escribe algunas conclusiones:

Dibuja en la siguiente trama Dib a seis se s o más polígonos distintos t s que ttengan un área equivalente a cuatro

Polígono

Perímetro

G

H I

J K L

¿Tienen todos los polígonos que has dibujado el mismo perímetro?. Todos los polígonos que has dibujado tienen la misma área, pero no el mismo perímetro, ¿qué conclusiones puedes sacar de ello?.

10

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Utiliza el

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

como unidad de superficie y

y

como longitudes

ígono para averiguar el área y el perímetro de cada polígono.

Figura

Área

Perím.

A B C

D E

F

cto

G

¿Qué tienen en en común c todos los polígonos?.

ye

¿Tienen n todos tod los polígonos la misma área?. a?.

Pr o

Fijándote algunas conclusiones: ijándote en las áreas y perímetros r de e los anteriores polígonos, escribe be algu

Figuras ISOPERIMÉTRICAS son aquellas que tienen enen e el mismo perímetro. Dibuja cinco o más figuras isoperimétricas cuyo perímetro sea: P = 8.a + 4.b o per

¿Tienen todas las figuras que has dibujado la misma área? ¿A qué conclusión podemos llegar al comparar figuras isoperimétricas con sus áreas?

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Dibuja todos los rectángulos posibles que tengan como perímetro erímetr 24 unidades . Anota los resultados en la tabla, para ello escribe una letra identificativa para cada i cuatr lados iguales rectángulo . Recuerda que el cuadrado es un rectángulo con sus cuatro base altura Área

Pr oy ec to

Rectángulo

¿Tienen Tiene todos los rectángulos que ue has dibujado la misma área? ¿Cuál de ellos tiene el área ea mayor?. mayor? Conclusión: De todos loss rectán C rectángulos de igual perímetro, etro, el cuadrado cu es el

que tiene mayor área.

Dibuja en la cuadrícula todos los rectángulos que encue encuentres que tengan como área 36

¿Tienen todos los rectángulos que has dibujado el mismo perímetro? ¿Cuál de ellos tiene un perímetro menor?. Saca una conclusión en términos parecidos al ejercicio anterior Conclusión: De todos los rectángulos de igual área,

12

Ma tem át ic a s

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Longitud de la circunferencia encia

Prepara una cuerda y una regla, vas a medir la circunferencia rencia y el diámetro de distintos objetos circulares y anotar los resultados de ellos en la siguiente tabla. Para ello rodea si teriorm mide, con la regla, dicha loncon la cuerda la circunferencia del objeto y posteriormente gitud. Los objetos pueden ser: tapaderas, ruedas pe pequeñas,…. Longitud itud c circ.

Diámetro

rr icu la

r

Objeto

clo

lcó n

Ci

L

Diámetro

Ha

Longitud gitud circ. c

D

gn ac io

Objeto

Te rc er

Pr oy ec

to

Cu

Como puedes observarr en la tabla, a mayor diámetro del objeto medido le corresponde gitud de su circunferencia. una mayor longitud ¿Existirá alguna na relac relación entre la longitud de una circunferencia circunf y su diámetro?. Para dar una respuesta spue a esta pregunta vamoss a compl completar la tabla anterior anotando el do del cociente c circu resultado entre la longitud de la circunferencia de los objetos y su diámetro; ro; pa para que los resultados obtenidos os se sean lo más fiables posibles vamos mos a calcular edia de d dichos cocientes. la media

.I

Media aritmética de los s coci cocientes

L

Por lo tanto, siempre se cumple que:

D

Le

C.E

br

ija

.I.P

Si las mediciones que has realizado o han sido sid lo suficientemente cercanas a la realidad, la lación es e constante relación L/D te habrá dado un número un poco mayor que 3. Esta relación sea cual sea la circunferencia ia a medir y ya hace muchos años que se estableció estab en irracional que no tiene fin le llamaremos maremos a partir par de ahora 3,141592... . A este número irracion y con objeto de facilitar tar el cálculo cá le daremos como valor = 3,14 =

De igual manera y teniendo en cuenta que D = 2 x r, obtendríamos las siguientes relaciones:

L =

. D

L = 2. .r

D = 13

L

r =

L 2.

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Completa la siguiente tabla:

Para ello ten en cuenta las relaciones anteriores y que Longitud circunferencia

= 3 3,14

Diámetro iámetro

radio

6 cm

25cm

78,5 cm

0,45 mts.

2,8 dm

7,536 6 mts

62 cm

Pr oy ec to

15,7 dm

Doss rued ruedas iguales de 5 cm de radio adio giran g simultáneamente arrastradas rastra una correa. ¿Qué longitud tendrá la correa si la distancia entre los por un gitud tend ncia ent centros de las ruedas ess de 35 cm? ce

r

35 cm 3 m

14

s

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Ma tem át ica

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Problemas sobre longitud de la a circ circunferencia bo de 2O vueltas ha recorrido una 1- ¿Qué longitud tiene una rueda si al cabo distancia de 84 mts?

rr icu

la

r

a rrueda ed de 40 cm de radio al dar 32 vuel2- ¿Cuántos metros recorrerá una tas?. e una rue 3- ¿Cuál es el radio de rueda que en 850 vueltas recorre 3 km?.

clo

Cu

as dar m de ra 4- ¿Cuántas vueltas dará una rueda de 80 cm radio para recorrer 2 km?.

Ci

lcó

n

er

rc

ec

to

tie 45 mm de radio y da 60 vu 5- La rueda A tiene vueltas. La rueda B tiene una itud d Qué d longitud de 40 cm y da 56 vueltas. ¿Qué distancia ha recorrido cada da?. rueda?.

io

Ha

Te

Pr

oy

6- Miguel Mig o. El aro a de Miguel tiene 30 0 cm de radio y el y Gloria juegan al aro. alen del mismo sitio y aro de Gloria tiene 70 cm de diámetro. Si los dos salen q distancia está uno del el otro si s los dos le han en el mismo sentido, ¿ a qué dado 50 vueltas a su aro?.

.I

gn

ac

as de una bicicleta dan 243 7- De la Casa de Carmen a la de Eva las ruedas diáme vueltas. Si las ruedas tienen 50 cm de diámetro , ¿Cuántos metros hay de una casa a otra?.

C.E

br

ija

.I.P

8- Las ruedas de la bici de Luiss tienen tiene 4,6 4 6 dm d de diámetro y las ruedas de rren 5 la bici de Susana tienen 25 cm de radio . Si los dos recorren 58 hm, ?. ¿cuántas vueltas han dado las ruedas de cada bicicleta?.

Le

u bicic tros con 75 7 vueltas que den 9- Manolo dice que su bicicleta recorre 800 metros a verdad?. verd sus ruedas de 30 cm de radio. ¿Dice Manolo la Razona la respuesta.

15

s

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Ma tem

át ica

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10- Una rueda de 45 dm de longitud da 2 vueltas ueltas en 2 segundos. ¿Cuántos metros recorrerá en un cuarto de hora?. a?.

rr icu

la

r

ódrom durante 5 minutos. ¿Qué distan11Juan y Lidia corren en un velódromo as ruedas ru d de la bicicleta de Juan son de 38 cia ha recorrido cada uno si las eltas por po minuto , y las ruedas de la bicicleta de cm de radio y dan 80 vueltas dio y d Lidia son de 3 dm de radio dan 100 vueltas por minuto?.

clo

Cu

vue 12- Una rueda da 50 vueltas para recorrer 100 metros. ¿Cuántas vueltas o? tendrá que dar si le quitamos 1 cm al radio?.

Ci

n

er

ec

to

a cir tros de llongitud le quitamos 5 mts 13- Si a una circunferencia de 15 metros n cuánto cuánt hemos reducido su radio?. ? ,¿en

lcó

rc

Ha

Te

Pr

oy

e una rueda delantera con 8 dm m de diámetro 14- Un Una bicicleta de circo tiene yu n 25 cm de d radio .Al cabo de 5 minutos de dar una rueda trasera con vueltas por la pista. ¿Qué ru rueda ha recorrido máss espacio? espacio?, ¿por qué?.

gn

ac

io

e radio radi y da 15 vueltas a un 15- Un ciclista tiene una bicicleta de 30 cm de Qué es circuito circular de 250 mts de diámetro, ¿Qué espacio ha recorrido? ¿Cuántas vueltas han dado las ruedas de su bic bicicleta?.

ija

.I.P

.I

16- Una rueda A de 4 cm de radio da 60 vvueltas por segundo y otra rueda elt por or seg B de 9 cm de radio da 50 vueltas segundo. ¿Qué espacio recorre cada rueda en una vuelta?.

Le

C.E

br

nteras de un tractor tienen 30 0 cm de radio rad y las tras17- Las ruedas delanteras ntas vueltas vue edas más m pequeñas en eras 120 cm. ¿Cuántas más girarán las ruedas una distancia de 3,5 k km?.

16

át ic a s

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Longitud de un arco de circunferencia cunfer

Ma tem

Como sabes, un arco es una porción de curva limitada que ue se m mide por el número de grados, minutos y segundos comprendidos entre sus extremos. os Un arco de 90º recibe el nombre especial de cuad cuadrante, por eso, la circunferencia al tener una amplitud de 360º está formada por or cuatro cuadrantes

la r

2º 1º 2

rr icu

3º 4º

Teniendo esto en cuenta nta y ssabiendo que Longitud de una circunferencia es:

L = 2. .r

clo

Cu

podríamos calcular de un arco de circunferencia cular la longitud long ferencia de 1º de amplitud como sigue:

Ci

Longitud circunferencia nferen

Pr oy ec to

Longitud itud arco 1º=

2. .r

=

360º

lcó n

Te rc er

360º 60º

=

¿Cuál Cuál sería la longitud de un arco rco de 2º de amplitud?

.r

2º =

.r .r

Ha

Longitud arco de

x 2º =

90º 9

180º

gn ac io

¿Cuál sería la longitud de un arco de 15º de amplitud? plitud Longitud arco de 15º =

.I

¿Cuál sería la longitud de un arco de Nº de amplitud?

br ija

.I.P

Nº = cualquier amplitud desde desd 0º 0 a 360º

C.E

Longitud gitud arco de Nº =

Longitud del arco

Le

Completa la tabla:

Radio de la circ.

Amplitud del arco A

3 mts

45º

26 cm

82º

12 mts

125º

38 cm

270º

42,5 cm

315º

17

.r 180º

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ÁREA DEL RECTÁNGULO ULO

Observa los rectángulos y completa la tabla. Toma como unid unidad dad d de medida un cuadradito de la trama.

AP = 6 cm2

1 cm2

b

Rectángulo

P

Q

Área Perímetro

unidad

P

R

a

3 cm

2 cm 6 cm2

10 cm

Q R

S T

T

Pr oy ec to

S

U

Completa esta otra tabla sin ayuda de gráficos ficos Rectángulo gulo

b

a

Área Perímetro

H

7 cm 2 cm

I

9 cm 6 cm

J

3 cm 9 cm

¿Es imprescindible dibujar un rectángulo ulo para poder

K

5 cm 8 cm

calcular su área?

L

6 cm 4 cm

U

¿Qué necesitas conocer para ra calcula calcular el área de un rectángulo? ¿Cómo calcularías el área de un rectángulo?.

Escribe una fórmula para calcular el área de un rectángulo

A rectángulo

=

¿Cómo has calculado el perímetro de los rectángulos?

Escribe una fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo 18

Prectángulo

=

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Completa la tabla calculando la medida que falta por conocer conocer. Debes tener en A

cuenta que son medidas de un rectángulo y que A = b x a 5 cm 6 cm 8 cm 12 cm

24 cm

20 c cm

O,9 cm

54 cm2

40 cm2

12 cm2

1,2 cm2

36 cm2

40 cm2

2,4 cm

1,92 cm2

Pr oy ec to

6,8 cm

10 cm2

Calcula, cula, e en cada caso, el área de la superficie supe coloreada.

a = b = 1cm A = 1 cm2

(nota: ota: toma to como unidades las medidass de uno u de los cuadraditos

Figura A

B C

D E

19

14,28 cm2

Área

át ic a s

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clo

Cu rr ic

r

Ma tem

Sabiendo que el área del rectángulo del dibujo es de 36 m 2, calcula el perímetro y el valor de “h”.

Ci

gn ac io

Ha

lcó

n

r ce

Pr oy ec to

Calcula el área ea del d rectángulo sabiendo o que e su perímetro es de 22 dm.

ija

br Le

CE

.I.P .I

Calcula el perímetro del rectángulo del gráfico gráf y construye otro similar que tenga: como área la mitad que la del rectángulo re del dibujo y como 2 base los de la base del mismo mo 3

20

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ÁREA DEL CUADRADO O

Observa los cuadrados y completa la tabla. Toma como unida unidad de medida un cuadradito de la trama 1 cm2

X

Z

V

Y

Pr oy ec to

COMPLETA SIN AYUDA DE DIBUJOS COMPLE

Cuadrado uadrado rado Lad Lado

Área Á

V

Perímetro

X

Y

Z

2 cm

0

P

Q

R

6 cm

S

11 cm

4 cm2

T 15 cm

49 cm m2

8 cm

40 cm m

100 cm

¿Qué necesitas conocer er para calcular el área de un cuadrado?. adrad

Si conocieras la longitud ong de un lado del cuadrado, rado,, ¿qué tend tendrías que hacer para calcular su área?.

Escribe una fórmula para calcular el área del d de cuadrado cuad

A cuadrado rado =

¿Cómo ómo has obtenido el perímetro tro de los cuadrados?. c

P cuadrado cua

Escribe una fórmula para E a calcular el e perímetro del cuadrado

=

Completa la siguiente e tabla tab referida a datos de cuadrados cuadrado Lado Área Perímetro

4,5 cm

0,5 m

169 dm2

400 m2 4,8 m

0,64 m2 9,2 dm

21

0,88 cm

Ma tem át ic a s

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Ci

Cu

clo

rr icu

4 cm2

la

r

Calcula el área coloreada de azul y el perímetro limitado mitad por los puntos e : BC B = IG = CD = GH = JG ABCDEFGJ. Para ello debes tener en cuenta que

n

r

lcó

ce .I.P

.I

gn

ac

io

Ha

Te r

Pr

oy ec to

Calcula el área áre del cuadrado ABCD teniendo ndo en cuenta que el perímetro del cuadrado ado EFGH E es de 10 metros.

Le

C.E

br

ija

Calcula el área del cuadrado A ABCD CD sabiendo que EF = 3 cm

22

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El dibujo representa a uno de los azulejos del suelo lo de mi cocina. Como puedes observar, cada azulejo está formado por muchos cuadraditos de colores azules, verdes y blancos. Teniendo en cuenta que el lado de cada cuadradito tiene una longitud de 3 cuadra cm, contesta a las siguientes preguntas: untas: ¿Qué superficie del azulejo está coloreada de verde?

Pr oy ec to

¿Q superficie del azulejo está ¿Qué coloreada de azul?

¿Qué superficie del azulejo está coloreada de blanco? o?

¿Cuál es el área total del azulejo?.

Suponiendo que tengo una a máquina perfecta para cortar los os azulejos, azule ¿cuánanterior tendré que comprarr para cubrir cubri totalmente tos azulejos, iguales al anterior, el suelo de mi cocina que tiene tien forma rectangular con n unas una medidas de 3,5 metros de larga y 3,2 met metros de ancha?

23

át ic a s

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Ma tem

Con los datos que aparecen en el dibujo, calcula el área del d cuadrado azul y el área total del dibujo.

r

Cu rr icu

la

12 m2

4 m2

Ci clo

a = b = c = 15 cm

d = 2.a

Ha

lcó

n

Te rc er

Pr oy ec

to

Sabiendo que la figura a ess sim simétrica y que el área coloreada de azul es de 2 2.250 cm , calcula ell área coloreada de rojo.

gn

ac

io

¿Cuántas baldosas cuadradas de 100 cm2 necesitaré para par embaldosar e una habitación cuadrada de 16 metros de perímetro?.

Le

C.E

br

ija

.I.P

.I

Mi amiga Irene dice que si un cuadrado ua o y un rectángulo tienen la misma área, y la altura del rectángulo es la mitad mit d que la del cuadrado, entonces, nce la base e el doble dob del lado del cuadrado. o ¿Cre del rectángulo tiene que ser ¿Crees que mi ert ? amiga Irene está en lo cierto?. m ión con varios ejemplos y encuentra, cuen Demuestra dicha afirmación también, ra os y rectángulos que alguna relación entre los perímetros de los cuadrados utilices para ello.

24

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ÁREA DEL ROMBOIDE E

Observa las transformaciones que hacemos con los romboides ides 11, 3 y 5. En los tres casos cortamos el triángulo formado en uno de sus extremos y lo pegamos pe en el otro extremo, dando lugar a los rectángulos 2, 4 y 6 respectivamente. mente.

Completa la tabla adjunta con las medidass de las bases, ba alturas y áreas de los ma como un romboides y rectángulos. Para ello toma unidades las medidas de un cuadradito de la cuadrícula. Figura

Base

Altura

Área

1

2 3

Pr oy ec to

4 5 6

¿Cómo son las bases y las alturas ¿Có turas de las l figuras 1 y 2? ¿Cómo son las áreas de esas mismas figuras?. ¿Ocurre lo mismo con las figuras 3 y 4?.

¿Y con las figuras 5 y 6?

Escribe la fórmula para calcular el área de un rectángulo: gulo:

A rectángulo =

¿Qué datos te harían falta conocer para po0der calcular calcula el área de un romboide?

rea de un u romboide: Escribe la fórmula para calcular el área

A

romboide

=

Con los ejemplos anteriores hemos emos demos demostrado que el área de un romboide mboide e es la misma que

el área de un rectángulo que tenga su misma base y su misma altura . Como A

rectángulo

=bxa

A romboide = b x a

Calcula el área del romboide de la figura sabiendo que su base = 0,5 dm y que su altura = 2 cm

25

át ic a s

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Ma tem

Calcula el área del cuadrado sabiendo que el área del rromboide es de 72cm2 y que la altura del mismo es de 6 cm.

clo

Cu

rr icu

la

r

Aromboide = 72cm2

n lcó

rc

oy

ec

er

to

Ci

¿Cuál será el perímetro p ímet de un rectángulo con la mi misma área del cuadrado rojo de arriba y con c una altura de 8 cm?.

br

ija

.I.P

.I

gn

ac

io

Ha

Te

90 m2

Le

C.E

Pr

Y”. Pa uenta que el Calcula las medidas de “X” e “Y”. Para ello debes tener en cuenta 2 áre del rectángulo, que es de 90 m , tiene el mismo vvalor lor que la suma de área las áreas de los dos romboides.

26

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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ÁREA DEL TRIÁNGULO O

Como sabes, tanto el área de un rectángulo como la de un romboide rombo la obtenemos multiplicando la base por la altura. También sabemos, que tanto en un romboide como en un rectángulo si trazamos una de sus diagonales, éstos divididos en dos triánstos quedan qu as, vamos a calcular el área de un triángugulos iguales. Basándonos en esas dos premisas, lo cualquiera. Para ello observa atentamente figuras. te las figu

Pr oy ec to

br = base del rectángulo o romboide bt = base del triángulo ar = altura del rectángulo o romboide at = altura del triángulo Ar = Área del rectángulo o romboide At = área del triángulo En los tres casos se cu cumple que: ar = at br = bt Ar Ar = 2 . At At = 2

¿Cuántos triángulos iguales obtenemos de cada paralelogramo?. gramo?

Si conocieras el área del paralelogramo, ¿qué harías para ara ca calcular el área de cada uno de los dos triángulos que en él se forman?.

A

Como

rectángulo

=bxa

A triángulo =

y

A

romboide

=bxa

Completa la siguiente tabla refe referida a datos de triángulos: s:

base t

3 cm

9 dm

altura t

6 cm

4 dm

Área t

8 cm

0,5 dm 4 dm

28 cm2

12 cm2 27

42 cm

3,2 0,6 dm 900 cm2 19,2 cm2

4 dm 2 bt

át ic a s

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Ma tem

Calcula el área de la figura completa.

clo Ci n

er

ec

to

Cu rr icu

l

1 2cm2

lcó

rc

Ha

ficie los

Te

Pr

oy

Calcula ula cuántos c botes de pintura blanca blan necesitaré para pintarr la fa fachada e mi casa. Para ello debes tener ner en cuenta que la superficie cie de la puerta de y la ve ventana grande es la a misma, misma y que la ventana pequeña ueña tiene tien de super2 de la ventana grande. a 5

Le

C.E

br

ija

.I.P

.I

gn ac

io

indicaciones advierte que Nota: Cada bote de pintura es de 2 kg y en sus indica se puede pintar con un bote una superficie cie de 10 m2 .

28

át ic a s

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rr icu la

r

Ma tem

Calcula el área coloreada entre los dos triángulos. Las m medidas son reales.

clo Ci

Ig na cio

Ha

lcó

n

rc er

DE = EB

Te

Área a cuadrado ABC ABCD = Área cuadrado CDEF = 16 cm2 Triángulo Triá gulo ulo BFG e es rectángulo e isósceles

29

5

br ija

Áre triángulo AEH = Área

Área a triángulo BFG BF

Le

50 m2

CE = 2 . DE

C.E .I.P .

Pr

oy ec to

Cu

Calcula el área del triángulo tr án isósceles ABC.

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á t ic br Ha as ija lcó n

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Pr

oy

ec

to

El dibujo representa al TANGRAM , un conocido juego de origen chino. Con el dato que te aportamos del área de uno de los triángulos, triáng debes averiguar el área de cada uno de los polígonos que componen mponen el juego y el área total.

AA66 ==8 8cmcm m2 2

30

át ic a s

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rr icu la r

Ma tem

Calcula el área del cuadrilátero de la figura sabiendo do que sus diagonales miden 9 cm y 5 cm respectivamente y son perpendiculares. ndicul

clo

Ci lcó

n

er rc gn

ac

io

Ha

Te

Pr oy ec to

Cu

Calcula el área de la a superficie su coloreada sabiendo e que q el perímetro del cuadrado es de 24 c cm.

Le

C.E

br

ija

.I.P

.I

Calcula el área de la superficie coloreada. Todas T d las medidas del dibujo se To os. encuentran expresadas en centímetros.

31

át ic a s

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

clo Ci lcó

n

rc er

Ha

Te

Pr oy

ec

Cu rr ic u la

r

Ma tem

Sabiendo que el área del rombo coloreado de azul ess de 64 cm2, calcula el área de cada uno de los triángulos de colores y el área áre del triángulo ABC

Le

C.E

br

ija

.I.P

.I

gn

ac

io

Calcula el área coloreada de azul sabiendo que el área coloreada lo de amari2 llo es de 6 cm y que : AB = 1 cm CB = 6 cm

32

át ic a s

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

clo Ci lcó

n

er rc

br

ija

.I.P

.I

gn ac

io

Ha

Te

Le

C.E

Pr

oy

ec

to

Cu

rr icu

la

r

Ma tem

En un triángulo equilátero unimos los puntos medioss de c cada lado, formando otros triángulos equiláteros. Repetimos el proceso so d dos veces. Teniendo en cuenta que el perímetro del triángulo iángulo mayor es de 27,6 cm y la alcula: tura de dicho triángulo es de 8 cm, calcula: a) El área de la superficie colore coloreada de rojo. b) El área de la superficie de azul. ie coloreada l perfici coloreada de verde. c) El área de la superficie perfi d) El área de la superficie coloreada de amarillo. altur de cada uno de los triángulos de distintas áreas e) La base y la altura que se han n fo formado en la figura.

33

s

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

át ica

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Ci

8 cm

to

20 cm

clo

Cu rr icu

la

r

Ma tem

Sabiendo que el área del cuadrado es de 1600 cm2, calcula cal el área de la superficie coloreada.

lcó

n

er

rc

gn

ac io

Ha

Te

br

ija

.I.P

.I

4 cm2

Le

C.E

Pr

oy ec

Calcula a el área á del cuadrado ABCD y la lo longitud aproximada del lado do EG. E bes ttener en cuenta que el área a del triángulo coloreado es de e 4 cm2. Debes

34

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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ÁREA DEL ROMBO

Para calcular el área de un rombo, transformaremos a éste te en un u paralelogramo que tenga: la misma superficie que el rombo, como base la diagon diagonal menor del mismo y como altura la mitad de la diagonal mayor. Como aclaración ón a es esto, observa los gráficos. base rromboide = diagonal menor del rombo altura romboide =

Diagonal mayor 2

Área rombo = Área romboide (ver transformación en el dibujo)

A

romboide

A

rombo

=

=bxa=dx

D 2

D x d 2

Pr oy ec to

Ahora haz tú lo mismo

Base rectángulo = Ba

Altura rectángulo =

Área rombo = Área a rectángulo rectángul A

rectángulo

A

rombo

=

=

=

Completa la tabla, para ello ten en cuenta que: e: D = diagonal mayor

d = diagonal menor

D

d Área

8 cm

12 dm

3 cm

0,8 m

8 cm m

4 dm m

3 32 dm2

20 cm2

7,6 m

2,8 dm

0,5 dm m

7,56 dm2

20 mm

0,3 m

17,86 m2 0,12 m2

¿Cuántos rombos distintos, de 24 cm2 de área, podemos dibujar con la condición de que la longitud de sus diagonales sean centímetros completos?.

35

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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Calcula el área de un rombo que tenga como diagonal mayor una longitud de 10 cm y como diagonal menor 6 cm menos.

ulo de igua ¿Cuál será el perímetro de un rectángulo igual área que el rombo del ejercicio anterior, si la base de dicho rectángulo es d de 5 cm?.

Pr

oy ec to

Calcula el área de la superficie coloreada color

Sabiendo que el área del rombo es la cuarta parte te del área del cuadrado, calcula el área de la figura completa

A = 64 cm2

36

s

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Ma tem át ica

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ÁREA DEL TRAPECIO

ar = altura rectángulo aT = altura trapecio br = base rectángulo BT = base mayor trapecio Bt = base menor trapecio ar = aT br = BT + bt

aT

ar

rr icu la r

br

bt

BT

Cu

Ci clo

El rectángulo 1 ha sido di dividido id do en dos partes, formándose dos trapecios rectángulos iguales 2 y 3.

=

A rectángulo 2

Pr

trapecio tr cio

trapecio 2

=

=A

trapecio 3

rec = A rectángulo1 2 (BT + bt) . at

br . ar 2

=

2

lcó n

A

A

((BT + bt) . at

A trapecio ecio =

2

Ha

oy

Efectivamente: ment

Te rc er

ec to

Si conociéramos mos el e área del rectángulo, ¿q ¿qué é har harías para calcular el área de uno de los o tra trapecios?.

br ija

br

aT

C.E .I.P .

ar

Ig na cio

Ahora haremos lo mismo pero con un romboide

BT

bt

Así que AT =

Ar 2

Le

El romboide lo hemos dividido id o en dos trapecios isósceles iguales, ales por p eso : ar = aT y br = B T + b t El área de cada trapecio será igual a la mitad del área del romboide ro Intenta demostrar que: A Trapecio =

37

(BT + bt) . at 2

s

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Ma tem át ic a

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Los datos que contiene la tabla están referidos a las medidas didas de trapecios. Complétala. Base mayor

8 cm

7m

150 cm

20 dm

6,5 m

12 cm

25 dm

5m

Base menor

5 cm

3m

12 dm

132 cm

3,1 m

8 cm

15 dm

204 cm

Altura

4 cm

5m

8 dm

1,2 m

2,8 m

Área

rr icu la r

50 cm2

2 m2

1408 cm2

10 cm 6 cm 4 cm

3 cm

30 cm2

21 cm2

Calcula el área de las siguientes es figu figuras planas:

1 c cm m

2 cm

Ha

Te

1 c cm m

rc

lcó

n

er

5 cm

clo

1 c cm m

1 c cm m

5 cm

Ci

Cu 7 cm

na

cio

1 cm

2 cm

Pr oy ec to

2 cm

5 cm

C.E 10 m

Le

a

br

d

.I.P .

c

ija

Ig

Calcula el área de la superficie coloreada ad sabiendo sab que el área del rectángulo 2 ABCD es de 160 m y que a = b = 3 mts y c =d

b

38

Ma tem át ic a s

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Calcular el área coloreada de naranja, de dos manerass difer diferentes, sabiendo que el perímetro del rectángulo ABCD es de 28 metros y que:

AB = 10 mts

Ci

clo

AE = FB = 3 MTS

lcó n

Te rc er

Pr oy ec to

Cu

rr icu la

r

BG = GC = AH = HD

ac gn .I Le

br

ija

CE .I.P

40 m2

io

100 m2

Ha

Teniendo do en cuenta los datos que aparecen rece en el dibujo, calcula el área del d rombo y trape del trapecio.

39

Ma tem át ic a s

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Calcula el área coloreada de verde, de dos maneras difere diferentes, para ello debes tener en cuenta que: Perímetro Perím metro cuadrado grande = 20 cm

Lado cuadrado azul = base menor trapecio =

clo

altura de cada triángulo

Ci

oy ec to

Cu

rr icu

la r

Á rea re a cuadrado azul = 1 cm2 Área

al có n

Te rc er

Área total de la figura a = 224 224 dm dm2 X = Y = 2 dm

H HK = IJ = 8 dm

K=3 2d m2 Área HIJK 32 dm Área Área a BCED D=Á rea DEFG

ija Le

br

.I.P .

Base m mayor = doble de base Bas ayo or trapecio t a menor

C.E

Pr

Calcula laa altura altu total de la figura teniendo niendo en cuenta que:

40

s

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Ma tem át ica

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r

4 m

Calcula el área de cada polígono y el área total de la figura. figura

clo

19 m

Ci n Ha

lcó

rc er

Ar = 24 m2

Te

Pr

oy

2 m

ec to

Cu

rr icu la

Ac = 36 m2

C.E

br

ij

.I.P

.I

gn ac io

E área coloreada de azul es de 116 cm2. Calcula el área del trapecio El trap y de los otros dos triángulos.

41

2 cm

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES GULA

Como sabes, en un polígono regular todos sus lados tienen la misma longitud. Además si unimos, mediante un segmento recto, el centro del polígono con el centro de cada uno políg de los lados obtenemos una línea que denominaremos aremos APOTEMA. Como todos los lados de un polígono regular gular tienen tiene la misma longitud, el perímetro del mismo será: Perímetro = número de lado lados x Longitud del lado

Vamos a calcular el área de un heptá heptágono:

Une el centro del heptágono con cada uno de sus vértices. Utiliza una regla para ello. ¿Qué has obtenido?.

¿Cómo son los triángulos?. ángulos

to

ujar uno d de esos siete triángulos iguales. Vamos a dibujar

Pr

oy ec

¿Cuál es la base del triángulo?. ¿Y su altu altura?.

Como o sabe sabes, para obtener el área de e un trián triángulo

ap = apotema L = lado

podemos la fórmula pod

A

Triángulo ángulo

=

b x a 2

¿Cuál es el área del triángulo de la figura? (observa su altu altura y su base) A

Triángulo

=

Efectivamente, el área de dicho triángulo ulo es: es

A

Triángulo

=

Lado x apotema 2

¿Cuántos triángulos iguales al dell dibujo dib contiene ti el heptágono?.

gono será: será Por eso, el área del heptágono A

Heptágono

= 7 x Área Á del Triángulo

A

Heptágono

=7x

Lado x apotema 2

Como el perímetro de un heptágono regular es = 7 x Lado A

Heptágono

=

Perímetro x apotema 2

42

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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Vamos a calcular, de manera similar a la del heptágono, el área de d un hexágono regular : Une el centro del hexágono ono con co cada uno de sus vértices. ¿Qué has obtenido?..

¿Cuál es el perímetro del hexágono?. Perímetro tro hexágono =

Dibuja uno de los triángulos indicando cando su base y su altura

Escribe la fórmula que te ayudará a calcular el área del Escrib

ttriángulo que has dibujado: A Triángulo =

¿Cuántos triángulos gul s igua iguales al que has dibujado contiene ne el hexágono? ____________

Pr oy ec to

Por tanto:

A

A

Hexágono

Hexágono

= 6xA

Triángulo

=

Como Pe Co Perímetro del hexágono o = 6 x Lado L

A

Hexágono =

Ahora inténtalo tú solo/a con un pentágono regular u r

A PPolígono o íg ol go regular =

Polígono

Hexágono

Lado

4 cm

perímetro apotema Área

3,46 cm

Perímetro x apotema otema tema 2

Octógono Pentágono

6 cm

Heptágono Pentágono Heptág

30 dm m

36 cm

128 cm

5 cm

15 cm

25 cm

240 dm 45 dm

42,5 cm2

43

1,2 cm

4 cm 20 cm

1,4 cm

52 cm 78 dm2

27,5 cm2

Cu rr C.E i cu T er .I.P la ce r .I M r gn at Ci clo em ac io Le á tic br Ha as ija lcó n

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Teniendo en cuenta los datos de la figura, calcula las as longitudes lon de : a, b, c, d, e y ap, así como las áreas del rectángulo, trapecio apecio y rombo.

4 cm cm2

10,2 cm2

4 cm2

3 cm2

10 cm2

a=2.b

Pr

oy

ec

to

ap

44

s

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Ma tem át ic a

Proyecto Curricular Matemáticas Geometría. Tercer ciclo

clo Ci

Datos

b=3m e = 1,2 m h = 2,7 2,75 m m = 2,6 m S = 28,8 m

c=4m f = 5,6 m j = 4,6 m Q = 16,56 m2

br

ija

.I.P

.I

gn

ac io

Ha

a=6m d = 1,8 m g=4m k = 1,2 m R = 18 m

lcó

n

r Te rc e

Le

C.E

Pr oy ec to

Cu rr icu la

r

En mi pueblo, blo, como c en muchos otros, existen unos bonitos jardines; una parte en uno de ellos está representado en el dibujo. e partes verdes representan a unos Las pa amplios setos con distintas formas: am trapecios (todos iguales), pentágono y rombo. Dentro de ellos hay flores que hemos representado con color rojizo; todo lo demás, está recubierto de una arena amarillenta, que se da mucho en mi tierra, llamada albero. Con las medidas que te doy a continuación n y teniendo ten en cuenta que la anchura de todos los setos es de 1 metro, me gustaría que me ayudases a calcular la superficie de arena, setos y flores que upe ha hay en este trozo de jardín.

45

s

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Ma tem át ic a

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Teniendo en cuenta que el perímetro del hexágono no mayor may es de 18 cm y que el área de cada uno de los triángulos coloreadoss de naranja es de 1,3 cm2, calcula a) El áre área de la estrella amarilla.

rr icu la r

b) E El área del hexágono mayor.

c) El área del hexágono menor. d) El perímetro de la estrella.

clo br

ija

.I.P

.I

gn

ac

io

Ha

Te

rc

lcó

n

er

Ci

res. gulares.

Le

C.E

Pr

oy

ec

to

Cu

xá Nota: Los dos hexágonos de la figura son re-

46

Ma tem át ic a s

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Área del CÍRCULO

rr icu la r

Vamos a dibujar varios polígonos regulares inscritos en una m misma circunferencia. Fíjate en sus medidas: perímetro y apotema.

clo

¿Tienen todos los polígonos nos la misma apotema?. ______________________________

Cu

e a la a apo ¿Qué le ocurre apotema cuando aumentamos el número de lados del polígono?

cto

Ci

_________________________________________________________________ _ __ __ ___

n

er

¿Qué le ocurre a los perímetros?. ________________________________________ _

lcó

rc

Pr oy e

Imagínate gínate que pudiésemos dibujar un polígono lígo de miles de lados, en ese caso: ca o:

Te

garía a ser igual al _______ de la ac rcunf * La apotema de ese polígono llegaría circunferencia.

Ha

c inc dir con la _________________ de lla circunferencia. * El perímetro llegaría a coincidir e í x Apotema A polígono regular = PPerímetro

ac io

Como sabe, el área de un polígono regular es:

2

En nuestro polígono especial de miles de lados podemoss decir de que:

gn

perímetro del polígono = longitud de la circun circunferencia donde está inscrito

.I

a circunferencia cir apotema del polígono = radio de la donde está inscrito

ija

.I.P

Este polígono, tiende a ocupar la misma sma superficie p f que el círculo donde está inscrito, por ello podemos decir que el área del el círculo c ul coincidirá con la de un polígono ígono regular re de miles

C.E

br

de lados donde éstos se confundirán fund án con los puntos de la circunferencia u rencia y por tanto, la apo-

Le

ir con on el radio de la circunferencia y el perímetro p con la longitud tema del polígono coincidirá de la misma.

A círculo = A polígono con infinitos lados

L = longitud de la circunferencia r = radio de la circunferencia

A círculo = P x Ap = 2

=

Lxr 2

=

2xΠxrxr 2

47

=

2 x Π x r2 2

A círculo = Π x r2

Ma tem át ic a s

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Calcula el área del círculo y la longitud de la circunferencia ferencia sabiendo que el radio es de 6 cm

Cu rr icu la r

.

clo

Ci lcó

n

Te rc er

5 cm

Ha

oy ec to

Calcula el área y el perímetro perím de la figura.

br ija

.I.P

.I

gn

ac

io

Pr

Calcula el área de la parte coloreada Ca lo sabiendo que el perímetro erímetr del cuadrado es de 16 cm

Le

C.E

Calcula el área y el perímetro o de e la superficie s coloreada sabiendo endo q que el 2 ie de 25 2 cm cuadrado tiene una superficie

48

s

C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Ma tem át ic a

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clo

Ci lcó

n

er rc gn a

cio

Ha

Te

Pr

oy

ec

to

Cu

rr icu la r

Calcula, en cada caso, el área de la superficie coloreada. ada. D Debes tener en cuenta que en todos los ejercicios el lado del cuadrado es de 4 cm

.I

Calcula la longitud del arco rojo. Para ello llo debes deb tener en cuenta que:

1 BC 2

EC = 2 EF

Le

C.E

EC =

br ija

.I.P

Perímetro del cuadrado ABCD = 4 cm

49

F FG =

1 EC 4

Ma tem át ic a s

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Calcula el área y el perímetro de cada una de las superficies rficie coloreadas. Para ello debes tener en cuenta que, en todos los casos, el lado d del cuadrado es de 4 cm.

lcó n

er

Ci

clo

rr icu l Cu

rc

.

.I

gn

ac io

Ha

Te

.

Le br ija

.I.P

.

C.E

oy ec to

Pr

.

.

ar

.

50

Ma tem át ic a s

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Cu rr icu

la

r

Calcula el área de la superficie coloreada sabiendo que el triángulo de la figura es rectángulo e isósceles y que la longitud del cateto es de 4 cm.

clo Ci gn ac io

Ha

lcó

n

r Te rc e

Pr

oy ec to

El cuadrado grande tiene e un p perímetro de 24 cm. Calcula el área de la superficie: a) coloreada de azul b)) coloreada col de naranja c) de rojo

200 cm

Le

C.E

br

ija

.I.P

.I

Calcula el área del arco de medio punto sabiendo o que entre las dos columnas rectangulares ocupan una superficie de 16.000 cm2.

51

Ma tem át ic a s

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras: ras:

clo n

na cio

Ha

lcó

rc Te

br ija

.P

Ig

3 cm

Le

C.

Pr

oy

ec

er

to

Ci

Cu

rr icu la

r

3 mts

6 mts

52

Ma tem át ic a s

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C.E C.E.I.P. Ignacio Halcón Lebrija

Cu rr icu la r

Calcula el área de la parte coloreada y el perímetro o de la figura teniendo en cuenta que el triángulo, que es equilátero, tiene perímetro de 12 centímetros e un p

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Altura A ura triángulo = 3,46 cm

C.E

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Calcula el área de e la superficie s coloreada y ell perímetro perím exterior de la figura e el e perímetro per int rior es de 16 centímetros. sabiendo que del cuadrado interior

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