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• Juanda Buitrago Moreno

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Unidad 3: Fase 4 - Funciones

María Yolanda Moreno Velásquez Luisa Fernanda Gallego

Matemática básica (Lic. en matemáticas)

Presentado a:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de ciencias de la educación Noviembre -2019

Introducción

En este trabajo se van a desarrollar las temáticas siguientes con el fin de Desarrollar buenas bases para la introducción al cálculo:

Gráficas de Funciones. Funciones crecientes y decrecientes, tasa de promedio. Modelado de funciones.

Actividades a Desarrollar

1. Explique las diferencias entre una función y una relación. Dé

dos

ejemplos

con

gráficas

que

evidencien

estas

diferencias. Para entender los conceptos de relación y función es necesario explicar primero la noción de correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. Normalmente cuando decimos “en relación”, es equivalente a decir “corresponde a”,.

Ejemplo: En una tienda de ropa cada artículo está relacionado con su precio; o sea a cada artículo le corresponde su precio. En Matemáticas, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Rango. Por su parte un Función, es una relación a la cual se le añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Rango. También podemos agregar que toda ecuación es una relación, pero no toda ecuación es una función.

Ejemplo:

Ejemplo:

Donde d(t)=162 es la regla que define para hallar el tiempo que tarda caer un objeto al suelo, dependiendo de la variable t.

PROBLEMA 20

PROBLEMA 21 Cerca de alrededor de un campo Considere el siguiente problema: Un agricultor tiene 2400 pies de malla para cercar y desea cercar un campo rectangular que bordea un río recto. No necesita cerca a lo largo del río (vea la figura). ¿Cuáles son las dimensiones del campo de área máxima que él puede cercar?

a. Experimente con el problema, trazando varios diagramas que ilustren la situación. Calcule el área de cada configuración y use sus resultados para estimar las dimensiones del campo más grande posible.

b. Encuentre una función que modele el área del campo en términos de uno de sus lados. c. Use su modelo para resolver el problema, y compárelo con su respuesta a la parte (a).

Paso 1: Entender el problema La idea del ejercicio es cercar un campo sin cubrir un lado, ya que esta se encuentra al borde del río. Se necesita con esta cerca aprovechar el alcance máximo del área que se puede cercar mediante las dimensiones que se pueda establecer, cumpliendo la suma del perímetro. Tenemos como dato principal 2400 pies de malla, que es el perímetro para la cerca.

Paso 2: Configurar un Plan Una vez entendido el problema, procedemos a hacer diagramas como nos pide el ejercicio. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝑥 + 𝑦 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑥𝑦 Si vemos la imagen del ejercicio, observamos que el largo es más grande que el ancho. Por lo que podemos establecer que el valor de x es menor que y

Ancho 750 700 650

Largo 900 1000 1100

Área 675000 700000 715000

600 550 500 450

1200 1300 1400 1500

720000 715000 700000 675000

Después de hacer la tabla de valores, se analiza las diferentes sumatorias del perímetro, donde cada una muestra un resultado de área distinta a otra. Comparando los resultados, podemos ver que el área máxima la tiene las dimensiones de ancho 600 y largo 1200.

Paso 3: Ejecutar el plan Una vez entendido lo anterior, procedemos a encontrar una función que describa él área del campo en términos de uno de sus lados. Representando el perímetro dado: 𝑦 + 2𝑥 = 2400 Despejando y 𝑦 = 2400 − 2𝑥 Para encontrar el área, reemplazamos el valor de y en la ecuación del área del rectángulo 𝐴(𝑥) = 𝑥(2400 − 2𝑥) 𝐴(𝑥) = 2400𝑥 − 2𝑥 2 Hacemos una tabla de valores con la fórmula: 300 400 500 600 700 Paso 4: Mirar hacia atrás

A(x) 540000 640000 700000 720000 700000

Vemos que la solución cumple ya que, al comparar la tabla del primer punto con el último, vemos que los valores cumplen al llegar al mismo resultado, lo que concluye que satisface la solución que se le ha dado.

Problema 22 Dividir un corral Un ranchero con 750 pies de malla para cercar desea encerrar un área rectangular, y luego dividirla en cuatro corrales con cercas paralelas a un lado del rectángulo. (Ver figura).

a. Encuentre una función que modele el área total de los cuatro corrales. b. Encuentre el área total máxima posible de los cuatro corrales. Paso 1: Entender el problema: El objetivo del ejercicio es encontrar una fórmula que represente el área de los cuatros locales, a través de lo aprendido en el tema de funciones y encontrar el espacio máximo que se pueda aprovechar en cada corral. Datos: 750 pies de malla. Antes de seguir al ejercicio siguiente, debemos también conocer el área de un rectángulo con el fin de poder trabajar el ejercicio. Recordemos que el área de un rectángulo es:

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Conocido el dato podemos seguir al paso siguiente.

Paso 2: Configurar un plan Una vez conocido los datos, hacemos un bosquejo de la figura.

Y X Á𝑟𝑒𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑋𝑌 Paso 3: Ejecutar el plan a. Encuentre una función que modele el área total de los cuatro corrales. P = 750 P = 5y + 2x A=x*y Sustituyendo P = 750 en P = 5y + 2x 750 = 5y + 2x Despejamos Y Y=

750−2𝑥 5

A=x*y Sustituimos el valor de Y A=(

750−2𝑥 5

)x

750𝑥−2𝑥 2

A=

5 750𝑥

A=

5

−

2𝑥 2 5

A =150 𝑥 −

2𝑥 2

esta es la función encontrada.

5

b. Encuentre el área total máxima posible de los cuatro corrales. Para hallar el área total máxima posible utilizaremos la derivada de la función e igualaremos a cero. A =150 𝑥 −

2𝑥 2 5

A´(x) = 150 −

4𝑥 5

Igualamos a cero 0 = 150 − 4𝑥 5

4𝑥 5

= 150 5

X = 150 (4) X = 187,5 pies Este es el valor de la base del corral. Luego el área total será máxima cuando la base sea x= 187,5 pies

Despejamos el valor de x en la ecuación. Y=

750−2𝑥

Y=

750−2(187,5)

Y=

750−2(187,5)

5

5

5

Y = 75 pies. Esta es la altura El área máxima será A= X*Y A= (75) (187,5) A= 14062,5 pies cuadrados El área máxima sería 14062,5 pies cuadrados.

Paso 4: Mirar hacia atrás

Podemos ver que se satisface la solución a la que queremos llegar, pues encontramos tanto la función como el valor máximo del área Problema 23 Cercar un terreno para jardín.

El dueño de una propiedad desea cercar un terreno para jardín adyacente a un camino, como se ve en la figura.

La cerca junto al camino debe ser más robusta y cuesta $5 por pie, pero la otra cerca cuesta sólo $3 por pie. El jardín ha de tener un área de 1200 pies2. a. Encuentre una función que modele el costo de cercar el jardín. b. Encuentre las dimensiones del jardín que reduzcan al mínimo el costo de cercar el jardín. c. Si el dueño tiene a lo sumo $600 para gastar en la cerca, encuentre el rango de longitudes que puede cercar a lo largo del camino. Paso 1: Entender el problema

El objetivo del ejercicio es encontrar una fórmula que describa el costo del jardín, basándose en los costos de cada lado de la cerca del jardín, encontrando también el mínimo costo para cercar el jardín y dado un presupuesto, encontrar esas medidas que no sobrepase del valor estipulado. De datos tenemos lo siguiente: X = 3$ por pie Y= 3$ por pie Y= 3$ por pie X cerca del camino = 5$ por pie Área del jardín = 1200 pies2 Presupuesto máximo para la cerca = 600$

Paso 2: Configurar un plan Una vez entendido lo anterior, procedemos a encontrar una función que modele el costo de la cerca del jardín, basándonos en los costos: 𝑃 = 3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑦 + 5𝑥 𝑃 = 8𝑥 + 6𝑦 En términos de área, podemos decir que para cercar un área de 1200 pies2 se representa por la ecuación: 1200 = 𝑥𝑦 Paso 3: Ejecutar el plan Para hallar dimensiones con el mínimo costo, hacemos una tabla comparativa y reemplazamos los valores en la ecuación, cumpliendo la igualdad del área.

x 400 240 200 120 80 60 48 40 30 25 20 15

y 3 5 6 10 15 20 25 30 40 48 60 80

8x + 6y 3218 1950 1636 1020 730 600 534 500 480 488 520 600

Al comparar los valores, vemos que el mínimo costo para cercar está en las dimensiones de x=30 y y=40

En el caso de que se tenga un presupuesto de 600$, podemos ver en la tabla que los rangos de longitudes son: x 400 240 200 120 80 60 48 40 30 25 20 15

y 3 5 6 10 15 20 25 30 40 48 60 80

8x + 6y 3218 1950 1636 1020 730 600 534 500 480 488 520 600

X = 60 Y = 20 X = 15 Y = 80 Si desconociéramos de la tabla, se haría lo siguiente: Igualamos la función al valor del costo dado. 8𝑥 + 6𝑦 = 600 Del área, despejamos y 1200 =𝑦 𝑥 Reemplazamos en la fórmula del costo: 8𝑥 + 6 (

1200 ) = 600 𝑥

Resolvemos:

8𝑥 +

7200 = 600 𝑥

8𝑥 2 + 7200 = 600 𝑥

8𝑥 2 + 7200 = 600𝑥 8𝑥 2 − 600𝑥 + 7200 4(𝑥 − 15)(𝑥 − 60) 𝑥 = 15 ó 𝑥 = 60

Reemplazamos los valores en la ecuación principal

8(15) + 6𝑦 = 600

8(60) + 6𝑦 = 600

Resolvemos 120 + 6𝑦 = 600

480 + 6𝑦 = 600

6𝑦 = 480

6𝑦 = 120

𝑦 = 80

𝑦 = 20

Reemplazando en la variable que representa la cerca en el camino, podemos decir que el rango va de 15 a 60. Paso 4: Mirar hacia atrás Después de hacerse el ejercicio, podemos ver que se satisface con lo que se hizo, porque se llega al resultado que se pide en el ejercicio. Sin embargo, en el punto b se pudo haber hecho de una manera más sencilla ya que por medio de la derivación, se puede llegar al resultado deseado en el menor tiempo y evitando hacer una lista larga. Sin embargo, no se usó este método ya que es un tema que aún no se ha llegado explicarse y no está incluido en el tema de funciones. PROBLEMA 24

Maximizar un área Un alambre de 10 cm de largo se corta en dos partes, una de longitud x y la otra de longitud 10-x, como se ve en la figura.

Cada pieza se dobla en forma de cuadrado. (a) Encuentre una función que modele el área total encerrada por los dos cuadrados. (b) Encuentre el valor de x que reduzca al mínimo el área total de los dos cuadrados. Paso 1: Entender el problema La idea del ejercicio es encontrar una fórmula que represente el área total de los dos cuadrados y el área mínima de los cuadrados. Datos: Alambre de 10 cms Alambre de 10 – x cms

Área del cuadrado: X2 Paso 2: Configurar un plan Una vez entendido el problema con los datos, procedemos a representar las figuras:

Dada la longitud de cada cuadrado, al representar respectivamente los lados de cada cuadrado, lo hacemos de la siguiente manera:

Cuadrado 1:

𝑥 4

Cuadrado 2:

Paso 3: Ejecutar el plan

10−𝑥 4

Para el cuadrado 1, su área es: 𝑥

( 4 )2 =

𝑥2 16

Para el cuadrado 2:

(

10−𝑥 2 ) 4

=

(𝑥 2 −20𝑥+100) 16

La función del área total es:

𝑥2

+ 16

(𝑥 2 −20𝑥+100) 16

=

2𝑥 2 −20𝑥+50 16

=

𝑥 2 −10𝑥+50 8

Para encontrar el valor de x que reduzca al mínimo el área total de los dos cuadrados, hacemos lo siguiente:

Procedemos a hallar la abscisa del vértice:

𝑉𝑥 = −

𝑏 2𝑎

10 − 8 𝑉𝑥 = − 1 2(8)

𝑉𝑥 = 5 Luego la ordenada:

𝑉(𝑥) =

𝑉(5) =

𝑥 2 − 10𝑥 + 50 8

(5)2 − 10(5) + 50 8

𝑉(5) =

25 8

Cinco es el área máxima al que se puede reducir

Luego hacemos la gráfica

Dominio: Todos los reales 25

Rango: −( 8 , ∞)

Paso 4: Mirar hacia atrás

Dado a la solución de cada punto basándose en los procedimientos, se satisface para lo que se busca en cada punto.

PROBLEMA 25 Luz de ventana Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo rematado por un semicírculo como se muestra en la siguiente figura:

Se ha de construir una ventana normanda con perímetro de 30 pies. a. Encuentre una función que modele el área de la ventana. b. Encuentre las dimensiones de la ventana que deje pasar la máxima cantidad de luz.

Paso 1: Entender el problema. La idea de este problema es que, dado el perímetro, se pueda hallar una fórmula que describa el área de la ventana y dado los datos del área y del perímetro, encontrar medidas que dejen pasar la mayor cantidad de luz en la ventana. Los datos que nos suministran en este ejercicio son: 

Perímetro de la ventana igual a treinta.

Sin embargo, este dato no es suficiente, pues tenemos que decir que fórmula describe tanto el perímetro como el área de la ventana. Si

detallamos bien la ventana, vemos que se compone de un rectángulo y un semicírculo. Entonces la ventana se conforma por el área y perímetro de un rectángulo más el área y perímetro de un semicírculo. Sin embargo, como se pretende a aprovechar la máxima cantidad de luz en la ventana, se elimina un lado del rectángulo, que, a su vez, es el diámetro del semicírculo, quedando sólo la semicircunferencia. Por lo tanto, sus fórmulas cambian. En el siguiente paso se verá el cambio.

Paso 2: Configurar un plan.

Una vez entendido el ejercicio, procedemos a describir las siguientes fórmulas. Área y perímetro del rectángulo de la ventana:

𝑃 = 𝑥 + 2𝑦 𝐴 = 𝑥𝑦

Área y perímetro del semicírculo de la ventana:

𝑃 = 𝑟𝜋 𝐴=

𝜋𝑟 2 2

Una vez conocidas las fórmulas procedemos a decir que el perímetro (que es igual a 30) de la ventana normanda está dado por la siguiente fórmula:

30 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑟

Y que el área de la ventana es:

𝐴 = 𝑥𝑦 +

𝜋𝑟 2 2

Si analizamos las medidas, vemos que la medida recta del semicírculo es la misma que uno de los lados del rectángulo. Entonces, de ahí podemos decir el radio es la mitad del lado del rectángulo. Es decir:

𝑟=

𝑥 2

O también 2𝑟 = 𝑥

Con esto podemos operar en mismos términos la ecuación que satisface tanto el perímetro como el área del rectángulo y encontrar una máxima medida de luz que atraviese la ventana.

Paso 3: Ejecutar el plan

a. Teniendo las fórmulas entendidas procedemos a solucionar el problema:

Área del semicírculo:

𝐴=

𝜋𝑟 2 2

Reemplazando el equivalente del radio por el lado del rectángulo:

𝐴=

𝑥 𝜋(2)2

𝐴=

2 𝑥2 𝜋4 2

𝐴 = 𝑥2

𝜋 8

Ahora para calcular el área de la ventana, unimos las fórmulas:

𝐴 = 𝑥𝑦 + 𝑥 2

𝜋 8

b. Obtenemos la fórmula del perímetro de la ventana que, como sabemos es igual a 30.

30 = 𝑥 + 2𝑦 +

𝑥𝜋 2

𝜋 30 = 𝑥 (1 + ) + 2𝑦 2

Dado a que como nos piden hallar las dimensiones de la ventana que deje pasar la

máxima cantidad de luz, hacemos una

tabla de valores donde se reemplace en la fórmula del perímetro los valores y cumpla la igualdad.

Es importante tener en cuenta que el valor de y es mayor que el valor de x como se muestra en la figura.

x

π 30 = x (1 + ) 2

y

A = xy + x 2

+ 2y

4 5

20.28

26.28

5 6

24.85

39.81

6 7

29.42

56.13

7 8

34

75.24

5 7

26.85

44.81

3 6

19.71

21.53

5 8

28.85

49.81

π 8

4 10 30.28

46.28

Si detallamos la tabla, vemos que los valores que cumple la igualdad del perímetro es 6 y 7 y vemos el alcance máximo de área que deja pasar. Si aproximamos los valores a decimales, nos podremos acercarnos más al resultado del perímetro y, por ende, un valor más grande del área.

X=6.13 Y=7.12

x

y

Área

Perímetro

58.40

6.13 7.12 29.99

Ahora bien, si halláramos en términos de una función, se haría de la siguiente manera:

30 = 𝑥 + 2𝑦 +

𝑥𝜋 2

Para hallar la función del área de la ventana, es necesario dejar la ecuación en términos de una sola variable, por lo que despejaremos y de la fórmula. 𝑥 𝑥𝜋 𝑦=− − + 15 2 4

Reemplazamos en la ecuación del área: 𝑥 𝑥𝜋 𝜋 𝐴 = 𝑥(− − + 15) + 𝑥 2 2 4 8

Resolvemos: 𝑥 𝑥𝜋 𝜋 𝐴 = 𝑥(− − + 15) + 𝑥 2 2 4 8

𝐴=−

𝑥2 𝑥2𝜋 𝜋 − + 15𝑥 + 𝑥 2 2 4 8

1 𝜋 𝜋 𝐴 = 𝑥 2 (− − + ) + 15𝑥 2 4 8 1 𝜋 𝐴 = 𝑥 2 (− − ) + 15𝑥 2 8 En términos de función

1 𝜋 𝑓(𝑥) = (− − )𝑥 2 + 15𝑥 2 8 Luego procedemos a graficar:

Vemos que el alcance de la gráfica es 63, por lo que se puede decir que el valor máximo del área de la ventana. Paso 4: Mirar hacia atrás

Si bien miramos a la hora de hallar el máximo alcance de luz que atraviesa la ventana, vemos que, tanto en la tabla de valores como en la gráfica, obtenemos valores distintos. Dado a que el punto b nos pide hallar las dimensiones, al hacer un proceso de tanteo, obtenemos los valores para la igualdad del perímetro y reemplazando esos valores en la fórmula del área, obtenemos el valor del área máxima que se alcanza y, por tanto, se cumpliría lo que pide exactamente ese punto.

Conclusiones

Se aprende el concepto función y relación con ejemplos. Se

aprende

el

concepto

de

dominio

y

rango,

conceptos

fundamentales en las funciones que describen los resultados. Se logra hacer la diferenciación de los tipos de gráficas según su grado Se logra el objetivo de cómo sacar asíntotas horizontales, verticales y diagonales para la representación de diferentes funciones. Gracias a la resolución de problemas por medio de la estrategia de Polya, se puede lograr un mejor entendimiento paso a paso para resolver los problemas que se presenta, aplicando los conceptos vistos.

Referencias Bibliografía

Stewart, J. (2012). Precálculo Matemáticas para el cálculo. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unad/reader.action?ppg =29&docID=10561129&tm=1487003967604

Soler, F., Rojas, L. & Rojas, L. (2012). Matemáticas. Conceptos previos al cálculo: aplicaciones a ingeniería y ciencias económicas. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?p pg=31&docID=10664690&tm=1485806727154