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Fase 5 Evaluación final

Probabilidad 551113_10

Elaborado por: Luz Adriana Rojas Trujillo código 36289674 José Carlos Borja código: 78759437 Ginna Marcela Montano código: 1.083.018.734 Arleth Cordero código: José Luis Buelvas código:

Presentado a: María Camila Gonzales

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias de la Educación Licenciatura en matemáticas Pitalito Huila 12 – 12 – 2018

Experimentos aleatorios

Luz Adriana Rojas Trujillo

Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando éste es ejecutado. Además, asumiendo que el experimento se puede repetir muchas veces bajo las mismas condiciones se pueden tratar de construir un modelo que represente el comportamiento del experimento. Conceptos básicos de probabilidades (s f). Experimento 1: Lanzar un dado y anotar el número que aparece en la cara superior. Experimento 2: Lanzar un par de monedas y anotar el resultado que aparece en cada una de ellas. Experimento 3: Un vendedor de la Enciclopedia Británica visita tres casas ofreciendo la colección y se anota V si vende o N si no vende en cada casa. Conceptos básicos de probabilidades (s f). Experimento 4: Se anota el número de boletos de lotería que hay que comprar hasta ganarse el premio mayor. Experimento 5: Se anota el tiempo que hay que esperar para ser atendidos en un Banco Conceptos básicos de probabilidades (s f).

Solución Espacio Muestral

Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Representaremos el espacio muestral por S y cada elemento de él es llamado un punto muestral. A continuación, daremos los espacios muestrales de cada uno de los experimentos anteriores. 𝑆1 = {1,2,3,4,5,6} 𝑆2 = {𝐶𝐶, 𝐶𝑋, 𝑋𝐶, 𝑋𝑋} 𝑆3 = {𝑉𝑉𝑉, 𝑉𝑉𝑁, 𝑉𝑁𝑉, 𝑁𝑉𝑉, 𝑉𝑁𝑁, 𝑁𝑁𝑉, 𝑁𝑉𝑁, 𝑁𝑁𝑁} 𝑆4 = {1,2,3,4,5,6 … } 𝑆5 = {𝑡: 𝑡 ≥ 0} ≡ [0, ∞} Los espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos son llamados espacios muestrales discretos y por lo general son subconjuntos de los números enteros. Algunos de estos espacios muestrales tienen un número finito de elementos y otros no. De los espacios muestrales mencionados anteriormente 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 son espacios muestrales discretos finitos, por tanto que 𝑆4 es un espacio muestral infinito.

Los espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones son llamados espacios muestrales continuos y por lo general son intervalos en la recta Real. 𝑆5 es un espacio muestral continuo. 1. Eventos Es el resultado particular de un experimento aleatorio, en términos de conjuntos. Entonces un evento es un subconjunto del espacio muestral.

A: Que salga un numero par al lanzar un dado 𝐴 = {2,4,6} B: Que salga por lo menos una cruz 𝐵 = {𝐶𝐶, 𝐶𝑋, 𝑋𝐶, 𝑋𝑋} C: Que el vendedor de enciclopedias venda a lo más una de ellas 𝐶 = {𝑉𝑉𝑉, 𝑉𝑉𝑁, 𝑉𝑁𝑉, 𝑁𝑉𝑉, 𝑉𝑁𝑁, 𝑁𝑁𝑉, 𝑁𝑉𝑁, 𝑁𝑁𝑁} D: Que se gane el premio mayor con menos de 9 boletos comprados 𝐷 = {1,2,3,4,5,6,7,8} E: Que haya que esperar más 10 minutos para ser atendido. 𝐸 = {𝑡: 𝑡 > 10} ≡ (10, ∞) Evento nulo: es aquel que no tiene elementos. Se representa por ∅ Ejercicio Modelos de probabilidad En una empresa impresora de libros de las máquinas A, B y C ejecutan el 50%, 30%y 20%, de la producción de un turno de trabajo respectivamente. La probabilidad de que un libro que se fabricó en la maquina A sea defectuoso es de 0,4%; la probabilidad de que un libro provenga de la máquina B sea defectuoso es de 0,6% y la probabilidad de que un libro que provenga de la máquina C resulte defectuoso es del 1,2%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un libro producido en esta empresa sea defectuoso?  Primer s identifican los eventos involucrados

Sean D: el libro es defectuoso; A: el libro es fabricado por la máquina A; B; el libro es fabrica por la máquina B; C: el libro es fabricado por la máquina C.  Se definen los valores de las probabilidades de cada uno de los eventos así:

𝑃(𝐴) = 0,5

𝑃(𝐵) = 0,3

𝑃(𝐶) = 0,2

Ahora lo que se busca es la probabilidad de 𝐷(𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙). En este caso, se elabora el diagrama de árbol que plantea una visión de cómo solucionar la pregunta planteada: 𝑃(𝐴) = 0,5

𝑃(𝐵) = 0,3

𝑃(𝐶) = 0,2

(0,004)

𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠

(0,996)

𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜

(0,006)

𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜

(0,994)

𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜

(0,012)

𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜

(0,988)

𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜

Para hallar la probabilidad de 𝐷 se suman las probabilidades de las ramas del diagrama que involucran al evento 𝐷; 𝐷 𝐷 𝐷 𝑃(𝐷) = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑃 ( ) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃 ( ) + 𝑃(𝐶) ∙ 𝑃 ( ) 𝐴 𝐵 𝐶 = 0,5 ∙ 0,004 + 0,3 ∙ 0,006 + 0,2 ∙ 0,012 = 0,0062 = 62% Así la probabilidad de que un libro sea defectuoso es del 62% b). ¿cuál es la probabilidad de que un libro sea defectuoso provenga de la máquina A?

para determinar la probabilidad de que el libro defectuoso provenga de la máquina A se debe 𝐴

utilizar el teorema de Bayes pues se busca 𝑃 (𝐷) , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐷 𝑃(𝐴)𝑃 ( 𝐴 ) 𝐴 0,0020 𝑃( ) = = = 0,32 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 0,0062 𝑃(𝐴)𝑃 ( 𝐴 ) + 𝑃(𝐵)𝑃 (𝐵 ) + 𝑃(𝐶)𝑃 ( 𝐶 ) Con la cual se puede concluir que la probabilidad de que un libro sea defectuoso haya sido fabricada en la máquina A es de 32% b) La probabilidad de que un libro de la máquina C sea defectuoso es del 0,12% Ejercicio modelos de probabilidad El 30% de un determinado corregimiento de Pitalito Huila ve un concurso de canto que hay en la televisión. Desde el concurso llaman por teléfono a 10 personas del corregimiento siendo elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, entre 10 personas estuvieran viendo el programa. a). Más de 8 personas b). Alguna de las 10 personas c). calcular la media y la desviación típica Solución Se trata de una distribución binomial con 𝑛 = 10 𝑦 𝑝 = 0,3 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑛 𝑏 = (10,0,3) = 𝑏(10, 𝑘, 0,3) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠: 𝑃(𝑋 = 𝐾) = ( ) ∙ 𝑃𝑘 ∙ 𝑞 𝑛−𝑘 𝑘 Llamando 𝑥 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑡𝑠á𝑛 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎

𝑎) 𝑃[𝑋 > 8] = 𝑃[𝑋 = 9] + 𝑃[𝑋 = 10] = [(

10 10 ) 0,39 ∙ 0,7] + [( ) 0,310 ∙ 0, 70 ] 9 10

= 10 ∙ 0,39 ∙ 0,7 + 0,310 = 0.000144 10 10! 10 ∙ 9! 10 ( )= = = = 10 𝑛 𝑛! 9 9! (10 − 1) 9! ∙ 1! 1 ( )= → 10 10! 1 1 𝑘 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! ( )= = = =1 { 10 10! (10 − 10)! 0! 1 10

b) 𝑃[𝑥 > 0] = 1 − 𝑃[𝑋 = 0] = 1 − ( 0 ) 0,30 ∙ 0,710 = 1 − 0,710 = 0,972 c) Media 𝜇 = 𝑛 ∙ 𝑝 = 10 ∙ 0,3 = 3 desviación típica 𝜎 = √𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞 = √10 ∙ 0,3 ∙ 0,7 = √21 = 1,45 Ginna Marcela Montano Evento aleatorio 1- Dos monedas de un peso y otra de cinco, se lanzan simultáneamente y el resultado de cada moneda se registra usando una notación de pares ordenados (moneda de un peso, moneda de cinco pesos).

Espacio muestral: Posibles resultados del experimento, teniendo en cuenta que cada moneda puede caer en cara (C) o en sello (S):

𝑆 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝑆), (𝑆, 𝑆), (𝑆, 𝐶)} En este caso, hay cuatro puntos muestrales.

Complemento de un evento 2- Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea por lo menos 3 (es decir, 3 o más)?

En vez de encontrar la probabilidad de cada una de las sumas cuyo resultado es 3 o más, es mucho más sencillo encontrar la probabilidad de que la suma sea 2 (menor que 3) y luego aplicar la formula 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴), dejando que “por lo menos 3” sea 𝐴̅.

𝑃(𝐴) =

1 36

𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴̅) =

1 36

35 36

Eventos mutuamente excluyentes 3- Se sabe que un grupo de 200 estudiantes universitarios consta de 140 alumnos de tiempo completo (80 mujeres y 60 hombres) y de 60 de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres). De este grupo se elegirá aleatoriamente un individuo.

200 ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS

Femenino

Tiempo Completo

Tiempo Parcial

Total

80

40

120

Masculino

60

20

80

Total

140

60

200

Se definen dos eventos relacionados con esta selección. Evento A: el estudiante seleccionado es de tiempo completo. Evento B: el estudiante seleccionado es hombre y estudia tiempo parcial.

Debido a que ningún alumno es a la vez “de tiempo completo” y “hombre y estudia tiempo parcial”, los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

Regla de la adición 4- Teniendo en cuenta, el caso anterior:

200 ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS Tiempo Completo

Tiempo Parcial

Total

Femenino

80

40

120

Masculino

60

20

80

Total

140

60

200

Encuentra la probabilidad de que el estudiante elegido sea de tiempo completo y mujer. Evento A: el estudiante seleccionado es de tiempo completo. Evento B: el estudiante seleccionado es mujer.

Es decir, 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵)

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵)

𝑃(𝐴) =

140 200

𝑃(𝐴) = 0.7

𝑃(𝐵) =

120 200

𝑃(𝐵) = 0.6

𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) =

80 200

𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 0.4

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) =

140 120 80 + − 200 200 200

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) =

260 80 − 200 200

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) =

180 200

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 0.9

La probabilidad de que el estudiante elegido sea mujer o de tiempo completo es de 0.9 o 90%.

Eventos independientes 5- En una muestra de 150 residentes, a cada persona se le preguntó si estaba a favor de la iniciativa de tener una sola agencia de policía en el municipio. Esta muestra está integrada por una gran ciudad y muchas poblaciones suburbanas.

OPINIÓN A FAVOR (𝑭)

̅) EN CONTRA (𝑭

Total

En la ciudad (𝑪)

80

40

120

̅) Fuera de la ciudad (𝑪

20

10

30

Total

100

50

150

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona esté a favor de la iniciativa?

𝑃(𝐹) =

𝑛(𝐹) 100 𝟐 = = 𝑛(𝑆) 150 𝟑

b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona esté a favor de la iniciativa si reside en la ciudad?

𝑃(𝐹|𝐶) =

𝑛(𝐹 ∩ 𝐶) 80 𝟐 = = 𝑛(𝐶) 120 𝟑

c) ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona esté a favor de la iniciativa si reside fuera de la ciudad?

𝑃(𝐹|𝐶̅ ) =

𝑛(𝐹 ∩ 𝐶̅ ) 20 𝟐 = = 30 𝟑 𝑛(𝐶̅ )

d) Los eventos 𝑭 (a favor de la iniciativa) y 𝑪 (reside en la ciudad), ¿Son independientes? 𝟐

Las tres probabilidades tienen el mismo valor, 𝟑. En consecuencia, puede afirmarse que los eventos F (a favor) y C (reside en la ciudad) son independientes. El sitio de residencia no afecta 𝑃(𝐹).

Eventos dependientes 6- Un estudiante es elegido aleatoriamente de un grupo de 200, distribuidos así:

200 ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS Tiempo Completo

Tiempo Parcial

Total

Femenino

80

40

120

Masculino

60

20

80

Total

140

60

200

a) ¿Son dependientes los eventos A (el estudiante seleccionado es de tiempo completo) y B (el estudiante seleccionado es mujer)?

𝑃(𝐴) =

𝑛(𝐴) 140 = = 𝟎. 𝟕 𝑛(𝑆) 200

𝑃(𝐶) =

𝑛(𝐶) 120 = = 𝟎. 𝟔 𝑛(𝑆) 200

𝑃(𝐶|𝐴) =

𝑛(𝐶 ∩ 𝐴) 80 = = 𝟎. 𝟓𝟕 𝑛(𝐴) 140

A y C son eventos dependientes, ya que 𝑃(𝐶) ≠ 𝑃(𝐶|𝐴)

Unidad 2 1- Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Una moneda se lanza tres veces. Sea la variable x el “número de caras” que ocurren en estos tres lanzamientos de la variable aleatoria. Encuentre la media, la varianza y la desviación estándar de x.

Espacio muestral:

𝑆 = {(𝐶, 𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐶, 𝑆), (𝐶, 𝑆, 𝐶), (𝐶, 𝑆, 𝑆), (𝑆, 𝐶, 𝐶), (𝑆, 𝐶, 𝑆), (𝑆, 𝑆, 𝐶), (𝑆, 𝑆, 𝑆)}

En este caso, hay ocho puntos muestrales.

Uno es 𝑥 = 0, tres son 𝑥 = 1, tres son 𝑥 = 2 o uno es 𝑥 = 3. En consecuencia, las 1 3 3

1

probabilidades para esta variable aleatoria son 8, 8, 8 o 8. La distribución de probabilidad asociada con este experimento se observan a continuación:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 3/8

2/5

3/8

1/3 2/7 1/4 1/5 1/7

1/8

1/8

0 0 0 x 0

1

2

La media se encuentra así: 𝜇 = ∑[𝑥𝑃(𝑥)] 𝜇 = 1.5

3

La varianza se halla así: 𝜎 2 = ∑[𝑥 2 𝑃(𝑥)] − 𝜇2

𝜎 2 = 3.0 − (1.5)2 𝜎 2 = 3.0 − 2.25 𝜎 2 = 0.75

La desviación estándar se obtiene así: 𝜎 = √𝜎 2

𝜎 = √0.75 𝜎 = 0.866 Jose Carlos Borja A. Una situación o problema donde se aplique (1) una distribución de probabilidad en un campo de las ciencias o en la vida cotidiana Aleatorio 1 Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando éste es ejecutado. Tenemos cartas que están enumeradas de 1 al 9 ¿Cuál será la probabilidad de que salga la carta 9? La probabilidad de que salga la carta 9 está dada por 𝒑(𝒙 = 𝟏) = (𝟏/𝟗)𝟏 (𝟖/𝟗)𝟎 = 𝟏/𝟗 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏

La probabilidad de que no salga la carta 9. 𝒑(𝒙 = 𝟎) = (𝟏/𝟗)𝟎 (𝟖/𝟗)𝟏 = 𝟖/𝟗 = 𝟎, 𝟖𝟖𝟖 Arleth Cordero En una bolsa hay 10 bolas enumeradas del 11 a la 20idénticos, salvo en el color, ya que unas son rojas y las otras verdes. Si sacamos sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? Se sabe que la probabilidad de sacar bola verde es de 3/5 ¿Cuántas bolas de color hay de otro color? Pizarro (2008). Espacio muestral El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y se suele representar como E Suceso ¿Cuáles son todos los posibles resultados? Nos referimos a los números de las bolas, que son los números del 11 al 20. Nuestro espacio muestral tiene 10 elementos: E = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} Y el suceso por el que nos preguntan es “obtener un número primo”. Ahora, ¿cómo calculamos la probabilidad de este suceso?

Analizando a) Sacamos sin mirar una bola, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo? Empezamos calculando el número de casos favorables y el número de casos posibles. Número de casos favorables = número de primos = hay 4 números primos dentro de los resultados posibles en la serie (11, 13, 17 y 19) Número de casos posibles = 10 (los números del 11 al 20) La probabilidad de sacar un número primo entre las 10 bolas, es de 4/10, simplificando es 2/5. Solución: P (número primo) =2/5 b) ¿Cuántas bolas hay de cada color? Entonces la probabilidad de que salga verde es 3/5. El número de bolas que pueden salir, sigue siendo 10. Entonces: 3/5 es equivalente a 6/10 P (sacar una bola verde) = N° de casos favorables = 6 N° de casos posibles

10

Por lo tanto, hay 6 bolas verdes en la bolsa, y así podemos deducir que el resto, 4, son bolas rojas. Solución: Hay 6 bolas verdes y 4 bolas rojas

Jose luis Buelvas En una población de mujeres, las puntuaciones de un test de ansiedad-riesgo siguen una distribución normal N (25,10) . Al clasificar la población en cuatro grupos de igual tamaño, ¿cuáles serán las puntuaciones que delimiten estos grupos? Solución: Siendo la variable aleatoria X = "puntuaciones en un test de ansiedad-riesgo" Las puntuaciones que delimitan estos cuatro grupos serán el primer 𝑄1 , segundo 𝑄2 y tercer cuartil 𝑄3 de la distribución. 𝑃(𝑋 ≤ 𝑄1 ) = 0,25 → 𝑃 (

𝑋−25 10

≤

𝑄1 −25

𝑄1 −25

10

10

) = 𝑃 (𝑍 ≤

)=

0,25

𝑃(𝑍 ≤ −0,67) = 0,25 𝑃(𝑍 ≥ 0,67) = 0,25 𝑄1 − 25 = −0,67 → 𝑄1 = 25 − 0,67 𝑥 10 = 18,3 10 En la distribución normal a la media y la mediana son iguales 𝜇 = 𝑀𝑒 = 𝑄2 = 25 𝑋 − 25 𝑄3 − 25 𝑄3 − 25 𝑄3 − 25 𝑃(𝑋 ≤ 𝑄3 ) = 0,75 → 𝑃 ( ≤ ) = (𝑧 ≤ ) = 0,75 → 𝑃 (𝑧 ≥ ) 10 10 10 10 = 0,25 𝑄3 − 25 = 0,67 → 𝑄3 = 25 + 0,67 𝑥 10 = 31,7 10

Por consiguiente, el primer grupo serían las mujeres con puntuaciones inferiores o iguales a 18,3. El segundo grupos son aquellas mujeres con puntuaciones entre 18,3 y 25. El tercer grupo son las mujeres con puntuaciones entre 25 y 31,7. El cuarto grupo son mujeres que tengan puntuaciones superiores a 31,7. Fernández (s f)

Conclusiones  Por medio del desarrollo de ejercicios trabajados de manera grupal se hace posible compartir los conocimientos de manera significativa y eficaz.

 El estudio de la probabilidad deja en evidencia que no es una disciplina subjetiva, sino que contiene una serie de procesos, algoritmos, propiedades, entre otros; que permiten hallar porcentajes de probabilidad y tomar decisiones en situaciones reales a partir de los cálculos realizados.  Es importante resaltar que en la vida cotidiana la probabilidad es muy utilizada ya que permite conocer los diferentes valores aproximando realidades y problemas del contexto.  Se aclara que, aunque algunos compañeros no participaron con los dos ejercicios se cumple y se entrega lo solicitado por la guía.

Referencias Bibliográficas Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos. Ed. MacGraw-Hill. Recuperado de https://estadisticaunicaes.files.wordpress.com/2012/05/george-c-canavosprobabilidad-y-estadc3adstica-aplicaciones-y-mc3a9todos.pdf Capítulo 4 conceptos básicos de probabilidad (s f). Recuperado de https://docplayer.es/2900872-Capitulo4-conceptos-basicos-de-probabilidades.html

Pizarro, (2008). 3° E.S.O Problemas C.D.I Tema: Función a fin y función cuadrática. Recuperado de. http://ficus.pntic.mec.es/apis0004/3ESO/PRUEBASCDI/TEMAPROBABILIDADsol.pdf Fernández (s f). Ejercicios resueltos distribuciones de probabilidad. Recuperado de. http://www.estadistica.net/Aeronautica2016/ejercicios-distribuciones.pdf

Woolfson, M. (2012). Everyday Probability And Statistics: Health, Elections, Gambling And War (2nd Edition). London, UK: Imperial College Press. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=478 649&lang=es&site=eds-live&ebv=EB&ppid=pp_33 Kuby, P. y Johnson, R. (1999). Estadística Elemental. Lo esencial. Buenas Aires, Argentina: International Thomson Editores.