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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA y a DISTANCIA ZONA CENTRO BOGOTÁ – CUNDINAMARCA CEAD JOSÉ ACEVEDO y GÓMEZ ESCUELA Ciencias Básicas, Tecnologías e Ingenierías - ECBTI

ESTATICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES

UNIDAD 1 – FASE 3 ESTATICA

PRESENTADO POR:

PRESENTADO A: JHON ERICKSON BARBOSA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD INGENIERIA INDUSTRIAL Julio 2017

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DESARROLLO DE EJERCICIOS Ejercicio 2.13 Determinar los ángulos ∅, 𝜌, 𝛼 que se forman entre los cables. a. OA y OB b. OB y OC c. OA y OC

Primero, se determinan los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 = 5 𝑚 𝑖̂ − 15 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 7 𝑚 𝑖̂ + 20 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −10 𝑚 𝑖̂ + 3 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂ 𝑂𝐶 Resolvemos por el producto escalar para obtener el ángulo OA y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ∗ |𝑶𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 ∅ ⃗𝑹 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑨 ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑩 = |𝑶𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 𝑚 𝑖̂ − 15 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂) ∗ (7 𝑚 𝑖̂ + 20 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂) 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 35 − 300 + 1225 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 960 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(5)2 + (−15)2 + (−35)2 = 38.41 |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(7)2 + (20)2 + (−35)2 = 40.92 |𝑂𝐵

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⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∅ = |38.41| |40.92| cos ∅ |𝑂𝐴 960 = 1571.74 cos ∅ 960 ∅ = cos −1 ( ) 1471.71 ∅ = cos −1 0.6108 ∅ = 𝟓𝟐. 𝟑𝟓° Resolvemos por el producto escalar para obtener el ángulo OB y OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ∗ |𝑶𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝝆 ⃗𝑹 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑩 ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑪 = |𝑶𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 𝑚 𝑖̂ − 15 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂ ) ∗ (−10 𝑚 𝑖̂ + 3 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂ ) 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = −50 + 60 + 1225 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1215 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(7)2 + (20)2 + (−35)2 = 40.92 |𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−10)2 + (3)2 + (−35)2 = 36.52 |𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos 𝜌 = |40.92||36.52| cos 𝜌 |𝑂𝐵 1215 = 1494.40𝜌 1215 𝜌 = cos −1 ( ) 1494.40 𝜌 = cos −1 0.8130 𝝆 = 𝟑𝟓. 𝟔𝟎° Resolvemos por el producto escalar para obtener el ángulo OA y OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑶𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ∗ |𝑶𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑹 𝑶𝑨 ∗ 𝑶𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 𝑚 𝑖̂ − 15 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂ ) ∗ (−10 𝑚 𝑖̂ + 3 𝑚 𝑗̂ − 35 𝑚 𝑘̂) 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = −50 − 45 + 1225 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1130 𝑂𝐴 ∗ 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(5)2 + (−15)2 + (−35)2 = 38.41 |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−10)2 + (3)2 + (−35)2 = 36.52 |𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos 𝛼 = |38.41||36.52| cos 𝛼 |𝑂𝐴 1130 = 1402.73𝛼

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1130 𝛼 = cos −1 ( ) 1402.73 𝛼 = cos −1 0.8055 𝜶 = 𝟑𝟔. 𝟑𝟒° Ejercicio 2.19 Una fuerza de 𝐹 = 85 𝑁 𝑖̂ + 64 𝑁 𝑗̂ − 36 𝑁 𝑘̂ actúa sobre una ménsula. Determinar el momento de la fuerza con respecto al punto O.

Determinamos el vector que une al punto O del vector ⃗𝑭 𝑑 = 𝑑𝑥 𝑖̂ + 𝑑𝑘 𝑗̂ 𝑑 = 3.5 𝑚𝑗̂ + 5.5 𝑚𝑘̂ ⃗⃑ 𝐹⃑ = 85𝑁 𝑖⃑ + 64𝑁𝑗⃑ − 36𝑁𝑘 Calculamos el momento de la fuerza F con respecto al punto O. 𝑀𝑜 = 𝑑 ∗ 𝐹 𝑖̂ 𝑀𝑜 = ( 0 85

𝑗̂ 𝑘̂ 3.5 5.5 ) 64 −36

𝑀𝑜 = (−36 ∗ 3.5 − 64 ∗ 5.5)𝑖̂ − (0 ∗ −36 − 85 ∗ 5.5)𝑗̂ + (0 ∗ 64 − 85 ∗ 3.5)𝑘̂ 𝑀𝑜 = (−126𝑁𝑚 − 352𝑁𝑚)𝑖̂ − (−467.5𝑁𝑚)𝑗̂ + (−297.5𝑁𝑚)𝑘̂

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𝑀𝑜 = (−478𝑁𝑚)𝑖̂ + (467.5𝑁𝑚)𝑗̂ + (−297.5𝑁𝑚)𝑘̂ Ejercicio 2.30 Para la viga que representa la figura 2.47. Calcular: a. El sistema de fuerzas equivalentes en el punto A. b. El sistema de fuerzas equivalentes en el punto B. c. Las reacciones en los apoyos A y B.

a. Sistema de fuerzas punto A. Tomamos como pivote el punto A y se aplican las condiciones de equilibrio ∑ 𝐹𝑥 = ∑ 𝐹𝑦 = −3.5𝑁 + 1.8𝑁 = −1.7𝑁 ∑ 𝑀𝐴 = −3.5(4) + 18(6) ∑ 𝑀𝐴 = −14𝑁𝑚 + 10.8𝑁𝑚 ∑ 𝑀𝐴 = −3.2𝑁𝑚

El sistema de fuerzas par equivalente es:

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-1.7N 𝑴𝑨 = −𝟑. 𝟐𝑵𝒎 b. Sistema de fuerzas punto B. Tomamos como pivote el punto A y se aplican las condiciones de equilibrio ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = −3.5𝑁 + 1.8𝑁 = −1.7𝑁 ∑ 𝑀𝐵 = −3.5(2) ∑ 𝑀𝐵 = 7𝑁𝑚

El sistema de fuerzas par equivalente es: 1.7N 𝑴𝑩 = 𝟕𝑵𝒎 c. Reacciones en A Y B ∑ 𝐹𝑦 = 0

− 3.5𝑁 + 1.8𝑁 + 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = −1.7𝑁

Sumamos los momentos de A, para hallar la reacción de B.

∑ 𝑀𝐴 = −3.5(4) + 1.8(6) + 𝑅𝐵 (6) = 0 Despejamos RB 𝑅𝐵 =

3.5(4) + 1.8(6) 6

𝑅𝐵 =

14 + 1.8(6) 6

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𝑅𝐵 = 0.53

Reemplazamos el valor de RB en la ecuación para hallar RA. 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 1.7𝑁 𝑅𝐴 = 1.7𝑁 − 𝑅𝐵 𝑅𝐴 = 1.7𝑁 − 0.53𝑁 𝑹𝑨 = 𝟏. 𝟏𝟔 𝑵

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Ejercicio 2.45 Una losa de cimentación rectangular soporta la carga de las columnas de un edificio a través de los dados (véase figura 2.62). Determinar: a. El sistema de fuerza-par en el origen b. La magnitud y el punto de aplicación de la resultante.

a. El sistema de fuerza-par en el origen Para calcular el sistema de fuerza-par en el origen, primero definimos los vectores ⃗ que van desde el origen “O” hasta el centro de cada dado y los vectores distancia 𝝆 fuerza 𝐹 que están aplicados sobre cada uno de los dados. ⃗ 𝝆 (m) 0 𝟒𝒎 𝒋̂ 𝟒. 𝟓𝒎 𝒊̂ + 𝟒𝒎 𝒋̂ 𝟖𝒎 𝒊̂ + 𝟒𝒎 𝒋̂ 𝟖𝒎 𝒊̂ + 𝟏. 𝟓𝒎 𝒋̂ 𝟖𝒎 𝒊̂

⃗𝑭 (N) −7.5𝑁 𝑘̂ 3.5 𝑁 𝑘̂ −8𝑁 𝑘̂ 9𝑁 𝑘̂ −6𝑁 𝑘̂ 5.5𝑁 𝑘̂

𝑴𝟎 = ⃗𝝆 ∗ ⃗𝑭 (N-M) 0 0 𝑖̂ + 14 𝑗̂ 36 𝑖̂ − 32 𝑗̂ −72 𝑖̂ + 36 𝑗̂ 48 𝑖̂ − 9 𝑗̂ −44 𝑖̂

∑𝑭 =

−3.5𝑁 𝑘̂

9 𝑖̂ − 32 𝑗̂

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Así, el sistema equivalente queda: ̂ ⃗ = −𝟑. 𝟓𝑵 𝒌 𝑭

⃗ = 𝟗 𝑵𝒎 𝒊̂ − 𝟑𝟐 𝑵𝒎 𝒋̂ ⃗ ∗𝑭 𝑴𝟎 = 𝝆

b. La magnitud y el punto de aplicación de la resultante. 𝑀0 = 𝜌 ∗ 𝐹 𝑀0 = 9 𝑁𝑚𝑖̂ − 32 𝑁𝑚 𝑗̂ 𝐹 = −3.5𝑁 𝑘̂ 𝜌 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ Las componentes de 𝑥𝑖̂ 𝑦 𝑦𝑗̂ representan la posición que tiene la resultante Resolvemos la ecuación anterior, se obtiene: 9 𝑁𝑚𝑖̂ − 32 𝑁𝑚 𝑗̂ = (𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂) 𝑥 − 3.5𝑁 𝑘̂ 𝑖̂ 𝑀𝑜 = ( 𝑥 0

𝑗̂ 𝑦 0

𝑘̂ 0 ) −3.5

𝑀𝑜 = (−3.5𝑦 − 0)𝑖̂ − (−3.5𝑥 − 0)𝑗̂ + (0 − 0)𝑘̂ 𝑀𝑜 = 3.5𝑦 𝑁𝑖̂ + 3.5𝑥 𝑁𝑗̂ Al igualar las ecuaciones, se tiene:

9 𝑁𝑚𝑖̂ − 32 𝑁𝑚 𝑗̂ = −3.5𝑦 𝑖̂ + 3.5𝑥 𝑗̂ 9 𝑖̂ = 3.5𝑦 𝑖̂ −32 𝑗̂ = 3.5𝑦 𝑖̂ 𝑦=

9 𝑁𝑚 = −2.57 𝑚 −3.5𝑁

𝑥=

−32 𝑁𝑚 = 9.14 𝑚 −3.5𝑁

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La magnitud de posición de la resultante es: ̂ ⃗ = −𝟑. 𝟓𝑵 𝒌 𝑭 𝒚 = −𝟐. 𝟓𝟕 𝒎 𝒊̂ 𝒙 = 𝟗. 𝟏𝟒 𝒎 𝒋̂ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS  Unidad I Estática – Recuperado de, http://dsc.itpn.mx/recursosisc/3semestre/fisicageneral/Unidad%20I.pdf  Conceptos y Principios fundamentales, Estatica de partículas, Recuperado de, http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/nayive/mr10_web/TemaI_archivos/clase1. pdf  Algunas aplicaciones de los vectores geométricos a la física. Recuperado de, http://docencia.udea.edu.co/cen/vectorfisico/html/  Estática en la particula. Recuperado de, http://www.gayatlacomulco.com/tutorials/fisica1/unidad1.htm  Rodríguez, A. J. (2014). Estática. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria (pp. 27-52). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=110 13170&p00=est%C3%A1tica  Rodríguez, A. J. (2014). Estática. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria (pp. 73-81). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=110 13170&p00=est%C3%A1tica   Beer, F., Johnston, E. R., De Wolf, J. T. & Mazurek, D. F. (2013). Mecánica de Materiales. México D. F.: Mc. Graw Hilll (pp. 26-63). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/?il=272