FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO TRABAJO COLABORATIVO C
Views 105 Downloads 0 File size 468KB
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
TRABAJO COLABORATIVO
CONSOLIDADO PRIMERA Y SEGUNDA SEMANA
CALCULO III
MOSCOSO CASAS ELDA VANESA-1810650383
INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO INGENIERÍA INDUSTRIAL
TABLA DE CONTENIDO
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
1. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………… 2. Objetivos ……………………………………………………………… 3. Desarrollo ……………………………………………………… 4. CONCLUSIONES...……………………………………………………………… 5. BIBLIOGRAFIA………………………………………………………
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
1. Introducción Este trabajo consiste en la profundización e investigación sobre las curvas SPIRA MIRABILES, permitiendo interpretar de manera geométrica y matemática las curvas, las cuales tienen una presencia importante en la naturaleza, donde la característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial.
2. Objetivos
Analizar el comportamiento natural de la espiral mediante conceptos de cálculo e interpretar de manera geométrica el concepto de una espiral.
Determinar con números y cálculos el tamaño de una espiral, su expansión y crecimiento.
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
3.
Desarrollo del trabajo 3.1 Muestre que la magnitud de la curva, ||𝑐(𝑡)|| es ||𝑐(𝑡)||= 𝑎𝑒 𝑏𝑡
‖𝑐(𝑡)‖𝑒𝑠||𝑐(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ||𝑐(𝑡)|| = √(𝑒𝑏𝑡 cos)2 + (𝑎𝑒𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡)2 Aplicando ||𝑐(𝑡)|| = √(𝑎𝑒𝑏𝑡 )2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝑡 2 𝑡) 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡=1
||𝑐(𝑡)|| = √(𝑒𝑎𝑏𝑡 )2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠𝑙𝑎√ 𝑐𝑜𝑛𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
||𝑐(𝑡)|| = 𝑎𝑒 𝑏𝑡
3.2 Muestre que el vector tangente a la curva es: 𝑐´(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − sin(𝑡))) 𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑗 Primero tenemos que hallar el vector tangenete de la curva 𝐶´´(𝑡) =
𝑑𝑐𝑥 𝑑𝑐𝑦 𝑖+ 𝑖 𝑑𝑐𝑦 𝑑𝑡
𝑑(𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡)) 𝑑(𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) 𝐶´´(𝑡) = 𝑖+ 𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑡
A continuación hacemos uso de a regla del producto paara derivads.
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
𝐶´´(𝑡) = (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖 Operamos y usamos factorización para términos comunes 𝐶´´(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡)))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡)))𝑖
3.3 De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo) Spira Mirabilis Esta fue descrita por Descartes en 1638 e investigada por Jakob Bernoulli quien fascinado por su belleza la llamó “espiral maravillosa”. Esta palabra procede del griego Speria, que indica una línea que se enrolla en forma de caracol, esta puede ser relacionada con diferentes formas que encontramos en la naturaleza, tales como las galaxias, las telarañas, arte, joyas, entre muchas más. La característica principal de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrica o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación. Esta depende mucho de los valores que pueda tomar a y b, si b toma el valor de cero la curva siempre va a tener su línea radial y tangencial formando un Angulo de 90 grados, esto indica que la espiral se convierte en un círculo cerrado, pero si el valor de b tiende a infinito estas dos líneas, la radial y la tangencial, nunca se tocaran, serán paralelas, lo que indica que su comportamiento se vuelve una línea recta, dejando de ser una curva.
3.4 La velocidad del sonido viajando a través del océano es una función de la temperatura, salinidad del agua y la presión. Ésta es modelada por la función 𝐶(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 1449.2 + 4.6𝑇 − 0.055𝑇 2 + 0.00029𝑇 3 + (1.34 − 0.01𝑇)(𝑆 − 35) + 0.016𝐷
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
Donde C es la velocidad del sonido (medida en metros por segundo), T es la temperatura (medida en grados Celsius), S es la salinidad (número de gramos de sal disueltas en un litro de agua, su medida es gramos por litro), y D es la profundidad debajo de la superficie (medida en metros). Evalúe 𝜕𝐶 𝜕𝐶 𝜕𝐶 , 𝑦 𝜕𝐷 𝜕𝑇 𝜕𝑆
cuando T=10ºC, S=35 g/l y D=100 m. Explique el significado de estas derivadas
parciales. T=Temperatura [𝑐 0 ] S=Salinidad [𝑔/1] D= Profundidad [𝑚] C=Velocidad del sonido [𝑚/𝑠]
Derivadas Parciales 1)
𝑎𝑐 𝑎𝑡
= 4.6 − [2 ∗ 0,055]𝑇 + [0,00029 ∗ 3]𝑇 2 + [(𝑆 − 35) ∗ 0,01]
𝑎𝑐 = 4.6 − 0.11𝑇 + 0.00087𝑇 2 − 0.01(𝑆 − 35) 𝑎𝑡 2)
𝑎𝑐 𝑎𝑠
= 4(1.34 − 0.01𝑇)
3)
𝑎𝑐 𝑎𝑑
= 0.016
3.5 Calcule la derivada direccional de la función𝐼(𝑇, ℎ) = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ en el punto (1,2) y en la 1 2
dirección 𝑢 ⃗ = (𝑖 + √3𝑗) 1 √3 𝑢 ⃗ = 𝑖+ 𝑗 2 2 1 2 √3 |𝑎| = √( ) + ( ) 2 2
2
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO
1 3 |𝑎| = √ + = √1 4 4 Magnitud=1
1 √3 𝑈´ = 𝑖 + 𝐽 2 2 Derivadas ⊥ 𝑇(𝑇, ℎ) = (3 − 4ℎ)𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ⊥ 𝑇(𝑇, ℎ) = (−4𝑇 − 5)𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ 1 √3 𝐷𝑢𝑓(𝑇, ℎ) = (3 − 4ℎ)𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ( 𝑖) + (−4𝑇 − 5)𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ( 𝑗) 2 2 1 √3 𝐷𝑢𝑓(1,2)(𝑇, ℎ) = (3 − 4(2))𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) ( 𝑖) + (−4(1) − 5)𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) ( 𝑗) 2 2 𝐷𝑢𝑓(1,2)(𝑇, ℎ) = (−7.647𝑥10−7 ) + (−3.37𝑥10−6 ) 𝐷𝑢𝑓(1,2)(𝑇, ℎ) = −4.1347𝑥10−6