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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”

EXCELENCAI 2012 ASIGNATURA: GEOMETRÍA

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

FECHA: 25– 08 – 2012

Nº 10– RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO Y CIRCUNFERENCIA A.

PROYECCIÓN ORTOGONAL La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. La proyección de un segmento (o cualquier figura) sobre una recta se obtiene al proyectar todos sus puntos sobre la recta.

B

P

Teoremas fundamentales

D

A

II.

F P’ A’

B’

C

D’ E’

1.

En la figura:

2.

c2 = b . m a2 = b . n c 2 + a2 = b 2

3.

h2 = m . n

4.

c.a=b.h

1.

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMAS DE LAS CUERDAS

F’

“P”: es la proyección de “P” sobre

B

L C

NOTACIÓN:

Asimismo

P´ Pr oyL P

A´B´; CD´; E´F´

P

son proyecciones.

D

A

Ejemplos:

B

AP .PB = CP . PD

B 2.

TEOREMA DE LAS SECANTES

D

P A

H

C

H

A

C

C B

AH : Pr oy AC AB HC : Pr oy AC BC I.

A

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

PA . PB = PC .PD

B

3.

c

TEOREMA DE LA TANGENTE

a

h

T P

H

A

C

m

n b

AH : Pr oyección de AC sobre AC HC : Pr oyección de BC sobre AC

B

A

III.

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

PRÁCTICA DE CLASE Triángulo rectángulo

1. TEOREMA DE EUCLIDES (I)

b

a

1. Si en un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se tiene que AB = 12 cm y la altura relativa a la

m

n

hipotenusa mide 4 cm, entonces el lado BC mide:

c

[CEPUNT – 97 – I] 2

2

2

b  a  c  2c . m

a) 3 2 cm

b) 13 cm

a 2  b 2  c 2  2c . n

d) 7 cm

e) 3 cm

c) 18 cm

2. La diferencia de los cuadrados de los catetos de un

2. TEOREMA DE EUCLIDES (II)

triángulo rectángulo es 721cm. Si la hipotenusa del a

b

triángulo mide 73cm, la suma de los dígitos del número que representa el perímetro del triángulo, es:

a c

m

a 2  b 2  c 2  2cm

TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)

Ceviana b

a

a) 09

b) 10

d) 12

e) 14

c) 11

3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y la altura relativa a ella mide 12 cm. La diferencia de

x

las medidas de los catetos es:

n

m

[CEPUNT – 98 – I]

c

[CEPUNT – 00 – II]

x 2c  b 2m  a 2n  mnc

TEOREMA DE LA MEDIANA

b) 5 cm

c) 7 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

4. La altura de un triángulo rectángulo con respecto a la hipotenusa mide 3 34 y los catetos están en la

b

a

a) 4 cm

relación 3:5. El cateto mayor mide:

x

[CEPUNT – 05 –II] c a 2  b 2  2x 2 

c2

a) 30

b) 32

d) 36

e) 40

c) 34

2

5. En un rectángulo ABCD; se ubica un punto F en el TEOREMA DE HERÓN:

a

lado b

H

BC,

BF  4m

c 2 c

modo

que

AFˆD  90º .

Si

FC  9m , el área del rectángulo es: [UNT – 2003]

a) 36 m

H

y

de

pp  a p  b p  c 

2

d) 78 m2

b) 52 m

2

e) 104 m2

c) 65 m2

6. Sea ABC un triángulo rectángulo cuyos catetos miden AB = 40 y BC = 30. Se traza la altura BD relativa a

la

hipotenusa.

Entonces

la

diferencia

de

b) 24

d) 30

e) 48

b) 2 m

d) 2,8 m

e) 1, 4 m

c) 3 m

los

perímetros de los triángulos ADB y BDC, es: a) 20

a) 1 m

11. Por un punto exterior P a una circunferencia de 3 cm

[CEPUNT – 05 –II]

de radio se trazan las tangentes PA y PB (A y B

c) 26

puntos de contacto). Si la medida de PA es 4 cm, entonces la medida en cm de AB, es: [CEPUNT – 07 – II]

7. En un cuadrado ABCD, de 4 cm. de lado, se traza el

a) 4,8

b) 4,7

triángulo rectángulo AEF, recto en E, de modo que F

d) 4,5

e) 4,4,

c) 4,6

pertenece a BC. Si E es punto medio de CD, entonces 12. En una circunferencia de centro O y de radio r, el

AF mide: a) 4 5 cm

b) 5 3 cm

d) 5 5 cm

e) 6cm

[CEPUNT – 03 –I]

diámetro LM y una cuerda ST se interceptan en un

c) 5 cm

punto P. Si la medida de los arcos MS y LT miden 3 y  respectivamente, además LP =n, entonces la medida de la cuerda ST, es: [CEPUNT – 07 – II]

8. En la figura adjunta: a)

r2 rn

b)

r2 rn

d)

2n 2 r

e) r – n

c) 2r + n

13. Hallar “x” El valor de “x” es: [UNT – 10 – I] a) 6,2

b) 6,6

d) 7,0

e) 7,2

c) 6,8

9. En el triángulo PQR, recto en Q, se trazan la bisectriz interior PS y la altura QH que se intersecan en el punto E. Si (PS)(ES) =20 cm2, el valor de EQ , es:

a) 0,5

b) 0,75

d) 1,0

e) 1,2

c) 0,8

[Excel – 11 – II] 14. En el gráfico siguiente, halle R a)

6

b)

7

d)

10

e)

15

c)

8

Circunferencia

10. Dado un cuadrante AOB; se ubica el punto “M” en la prolongación de OB tal que AM intercepta al arco

a) 3u

b) 3,5u

AB en “N”; calcule “MN” si:

d) 4,5u

e) 5u

= 1 m.

OB = 3 m y MB

c) 4u

Triángulo obtusángulo

15. Si AB = BH = 4, calcular HC

20. Las bases de un trapecio miden 2m y 6m y los lados no paralelos miden 3m y 4m, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases

a) 0,5

b) 1

c) 1,5

d) 2

e) 2,5

a) 5

b) 3 3

d) 2 5

e) 4 2

21.

c)

5

Calcule la medida de la altura de un trapecio si las bases miden 6 y 8, las diagonales miden 13 y 15.

16. En la figura, AB = 2u; DE = 3u, halle GB

22.

a) 10

b) 11

d) 12

e) 10,5

c) 11,5

En un romboide ABCD se trazan las bisectrices de loa ángulos A y B, que se intersectan en “G”. Calcule GD si GC = 12 , AB =10 y BC = 14

a) 5

b) 3 3

d) 2 5

e) 4 2

c)

5

23.

17. Del gráfico, calcular “x” si: UN =4 y NT =5

a) 2 13

b) 2 15

d) 2 19

e) 2 21

c) 2 17

En la figura: ABCD es un cuadrado, AP =

3 y

PQ = 2. Calcule QD. C

B

a) 4,8

b) 5

d) 6

e) 6,4

P

c) 5,4

Q

A

18. Hallar “x”.

D

a) 3/2

a) 2

b) 1,5

b) 3R/5

d) 3

e) 1

c) 2,5

c) R/3 24.

d) R/2

Los radios de 2 circunferencias secantes miden 10 m y 17 m. Halle la longitud de la cuerda común sabiendo que

e) R/5

la distancia entre los centros es de 21 m

19. Se inscribe un triángulo equilátero ABC en

una

circunferencia y luego se traza una recta secante que contiene al punto medio D del arco AC, al punto

25.

a) 12

b) 13

d) 15

e) 16

c) 14

Exterior A un cuadrado ABCD de centro “O” se construye

medio M del lado BC y al punto N del arco BC. Si

el triángulo rectángulo AEB (recto en “E”); calcule

DM =14 cm, entonces la longitud en centímetros de

“EO”si:AE + EB = 6m.

MN es:

a) 4 m

b) 3 m

d) 6 2 m

e) 3 2 m

[CEPUNT – 11 – I] a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

c) 8

c) 6 m

26. En la figura mostrada calcule PB, si MN = 3m y PM =

03. En un triángulo ABC se traza la mediana

1m.

BM . Si AM =

BC, mABM = 45 y AB = 18, halle BM. a) 4

3

b) 6

d) 5

2

e) 6

c) 6

2

3

04. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, M es punto medio de

AC es I es el incentro. Si AC = 12 y mMIA =

90º, calcule IM.

a) 2

b) 1,5

d) 3

e) 1

c) 2,5

a)

5 5 6

b)

3 5 2

d)

4 5 5

e)

5

6 5 5

c)

27. Halle “x”, si se cumple que 2.AP = 3.PB; AB = 10m 05. En la figura ABCD es un cuadrado con lados de la longitud L. Si EM = MD, calcule OM.

B

C E



O a) 26/19

b) 27/19

d) 29/19

e) 30/19

A

c) 28/19

D

a)

L 2 3

b)

L 2 2

d)

L 2 5

e)

L 2 6

TAREA DOMICILIARIA

01.

M

c)

L 2 4

En la figura AC y AD so diámetros de las circunferencias. Si BM = MH y AH.CD = 27,entonces el valor 06. En la figura BC2 – AB2 = 144, AM = MC. Calcule Qm.

de BH es:

B

Q (UNI – 00 – I) a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

A

c) 5

02. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, las

H

a) 12

b) 9

d) 8

e) 10

07.

M

C c) 6

Dos circunferencias de radios R y r (R > r) y centros en

proyecciones de los lados AB y BC sobre el diámetro BF miden 6 m y 9 m, respectivamente. Calcule la altura en m,

A y B son tangentes exteriormente. Con diámetro AB se

relativa al lado AC .

en el triángulo curvilíneo formado por arcos de las dos (UNI – 07 – II)

a)

6

d) 4 6

b) 2 6

c) 3 6

traza una semicircunferencia y se inscribe una circunferencia circunferencias y de la semicircunferencia. Halla su radio. a) R - r

b)

r2 Rr

e)

Rr Rr

e) 5 6 d)

Rr Rr

c)

Rr 2R  r 

08.

En un triángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los tres lados es 36m2 y el circunradio mide

a) 8u d) 12u

b) 10u e) 16u

c) 12u

8m . Halle la distancia del circuncentro al baricentro en m. a) 1

b) 1,5

d) 2,5

e)

09.

En la figura

c) 2

13. Se tiene el cuadrado ABCD, con centro en A y radio

3

AC y AB son diámetros, calcule x,

siendo AC = 2R y AB = 2r.

AC se traza la semicircunferencia de diámetro MN , M en la prolongación de AB y N en la prolongación de BA luego se traza la cuerda EDN que intercepta a la semicircunferencia de diámetro AN en F, si DF = a, entonces ED es:

a 3 3 d) a 4 a)

 A

x

B

a)

Rr Rr

b)

Rr

d)

Rr 2

e)

Rr  r Rr  r

10. Sea el cuadrilátero circunferencia

ABCD

C

c)

a 2 3 e) a 2 b)

c) a



4Rr R  r 

R  r 2

inscrito

en

14. O es centro de la circunferencia AC  L , M es punto de tangencia DF = 4a, FC = 3a. Hallar : CM

una

AP x PC PD x PB 1 b) c) 1 6 1 e) 4

AC  BD : P. Halle 1 8 1 d) 2 a)

a)

a 7 c) a 14

11. En una circunferencia de centro O, se traza una cuerda AB , sea M un punto de AB ; siendo : MA.MB + MO2 = k. Halle el radio de la circunferencia.

k 4 d) 2k a)

k 2 e) 2 k b)

c)

k

12. En la figura DE y DF son tangentes ; AB= 5u y BC = 3u. Calcule CD.

b) a

c) a

3

21

d) 2a

15. Desde A un punto exterior a dos circunferencias tangentes exteriores en T de centros O 1 y O2 se trazan una tangente

AM y la secante ABP respectivamente tal que O2  BP mPAM = 90. Si BP = a, AB = b y T  MP . Halle la longitud de la tangente trazada desde P a la circunferencia de centro O 1. a)

a(a  b)

b)

a(2a  b)

c)

a(a  b)

d)

a(a  2b)

e)

a(a  2b)