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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

EXCELENCIA 2012 ASIGNATURA: GEOMETRÍA

Nº 06- POLÍGONOS

01. POLÍGONOS

B) SEGÚN LA FORMA DE SUS ELEMENTOS

Se denomina polígono a la figura geométrica formada por la unión de tres o más segmentos de rectas que tienen sus extremos comunes dos a dos. 1.1.

FECHA: 18 – 08 – 2012

-

POLÍGONO CONVEXO: Es aquel polígono cuyos ángulos interiores son convexos. Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.

ELEMENTOS

Recta secante 1

2

* Lados: * Vértices: * Ángulos Internos: Externos: * Diagonales: * Perímetro:

AB , BC ,... A, B,...

- POLÍGONO NO CONVEXO: Llamado también cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos cóncavos. Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos. B

, ... , ...

A

C

CE , DB 2p = AB + BC + … + EA

1

2 G

3

* OBSERVACIÓN: En todo polígono se cumple F

H

E 4

D

# Lados = # Vértices = # Ángulos 1.2.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS

- POLÍGONO EQUILÁTERO: Todos los lados del polígono equilátero son congruentes. Esto no implica que sus ángulos sean congruentes. B

A) SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS A

Los polígonos se nombran según el número de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos. NÚMERO DE LADOS 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados

NOMBRE DEL POLIGONO Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono





C





F





D

E

- POLÍGONO EQUIÁNGULO: Todos los ángulos interiores del polígono equiángulo son congruentes. Esto no implica que sus lados sean congruentes.

A

B  

F 

 E





C

D

- POLÍGONO REGULAR: Los lados y los ángulos interiores del polígono regular son congruentes.

b) Medida de un ángulo exterior

B A

 

e =

C

360 n



c) Medida de un ángulo central F 

 

c =

D

360 n

E

1.3.

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

IMPORTANTE: También debemos saber que la suma de los ángulos centrales es 360°.

Para un polígono de “n” lados se cumple que: a) En todo polígono, la suma de sus ángulos interiores está dado por la siguiente relación :

S Inter.= 180 (n - 2)

2. POLÍGONOS REGULARES Se llama polígono regular al polígono equiángulo y equilátero a la vez.

b) En todo polígono, la suma de sus ángulos exteriores es 360°.

S ext.= 360° c) En todo polígono, el número total de diagonales está dado por la siguiente relación:

N° D =

n (n  3) 2

d) Para calcular el número de diagonales desde un solo vértice se utilizará la siguiente relación: N° de diagonales = n – 3

e) En todo polígono, el número de diagonales medias está dado por la siguiente relación.

3. ELEMENTOS 1. 2.

Centro: O Lado: AB (AB  L n )

3.

Apotema: OH (OH  an )

4.

N° D.M. =

n ( n  1) 2

f) En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde “P” vértices consecutivos está dado por la siguiente relación.

N° d =

P 2

5. 6. 7.

360   Ángulo central: AOB  m  AOB  an   n   Inradio: OM Circundario: OA (OA  R) Triángulo elemental: AOB

2.1. CÁLCULO DEL POLÍGONO REGULAR

(2n – p - 3) – 1 B

Donde “P” = N° de vértices consecutivos.

H Ln

1.4.

APOTEMA

PROPIEDADES ADICIONALES

a) Medida de un ángulo interior

an

O

R

2

A

En el AHO: 2

i =

180(n  2) n

L  2 an 2   n   R 2  

an 

1 4R 2  L n 2 2

DE

UN

6. 2.2. ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES 1.

DODECÁGONO REGULAR

PRINCIPALES

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

L12  R 2  3

L12

O

B R 60º

60º

a3 

R

30º 30º

a3

A

R 2

POLÍGONOS

C

1. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono si al aumentar en siete su número de lados, su ángulo central es los tres décimos de su valor original?

CUADRADO

a) 2 d) 0

C

B

L4  R 2 O a4

a12

30º

120º

2.

R 2 3 2

L3  R 3

L3 O

a12 

a4 

L4

45º R

R 2 2

D

A 90º

b) 9 e) 14

c) 5

2. ¿Cuál es el polígono convexo en el que la suma de su número de diagonales y su número de lados es 435? Indicar el número de lados. a) 25 b) 15 c) 30 d) 29 e) 20 3. La medida del ángulo interior y exterior de un

3.

HEXÁGONO REGULAR B

polígono regular son entre sí como 8 a 1. La medida

C

L6  R

L6 O

A

R

D

a6 

R 3 2

a6 F

E

OCTÁGONO REGULAR C D

B L8

L8  R 2  2

A

O

E

R

a8 

R 2 2 2

a8 H

b) 15º

d) 25º

e) 30º

[UNT – 10 – II] c) 20º

5. Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo que mide 36. a) 27 b) 35 c) 104 d) 170 e) 175

F G

5.

a) 10º

4. En un pentágono ABCDE, el lado AE es paralelo al lado BC , calcula la suma de los ángulos E, D y C. a) 180° b) 360° c) 324° d) 270° e) 540°

60º

4.

del ángulo exterior es:

45º

6. En un hexágono regular ABCDEF; se ubica el punto medio M de EF ; AC  BE  {N } y AB=4m. Calcule

DECÁGONO REGULAR

MN. L 10 

L10

O R

a10 

a10

36º

R 2

 5  1

R 10  2 5 4

a) 2 3 m

b) 2 2 m

d) 2 5 m

e) 2 6 m

c) 2 7 m

7. Si un polígono de “n” lados tuviera (n – 3) lados, tendría (n + 3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

8. Pedro dibuja un polígono convexo, luego elige dos vértices consecutivos y traza de ellos todas las diagonales, contando en total 20. El número total de diagonales que puede trazar Pedro en dicho polígono, es: [CEPUNT – 07 – II] a) 54 b) 65 c) 77 d) 90 e) 104 9. En un octágono equiángulo ABCDEFGH, la medida del ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED, es: [CEPUNT – 07 – II] a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 10. Si el menor ángulo interno de un polígono convexo es 120º y los otros ángulos forman con éste una progresión aritmética cuya razón es 5; entonces el número de diagonales medias que pueden trazarse desde 5 lados consecutivos es: [UNT – EXCEL – 06 – II] a) 70 b) 65 c) 60 d) 55 e) 50 11. En un polígono regular, al aumentar en 5° cada ángulo interior, resulta otro, polígono regular que tiene un lado más que el polígono original. El número de lados del polígono original es: [UNT – EXCEL – 02] a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13Si

POLÍGONOS REGULARES 15. Hallar “x”

x

6 a) 45° d) 90°

3

b) 60° e) 120°

c) 75°

16. La figura muestra un pentàgono regular y un hexàgono regular, halle « x »

a) 132º

b) 130º

d) 124º

e) 136º

c) 128º

17. En el octógono regular mostrado, calcular el valor de "x".

12. En un icosàgono regular ABCDE … halle la medida del ángulo formado por las mediatrices de los lados AB y CD. a) 30º

b) 36º

d) 45º

e) 60º

c) 40º

a) 75º

b) 60º

d) 30º

e) 53,5º

c) 37,5º

18. Calcular la altura del trapecio ABCD, si R  3  1 , BC = 13. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

14. En un polígono convexo el número de triángulo que se forman al trazar sus diagonales desde uno de sus vértices es al número de diagonales como 4 es a 9.

L6 y AD = L3 a) 3/5 b) 1 c)

3 /2

d)

3 1

e)

3 1

B

C

A

D R

19. Sobre una circunferencia se toman los puntos

Halle el número de lados del polígono,

consecutivos A, B, C y D tal que BC = L5, AD = L3.

a) 4

b) 5

Halle la medida del ángulo formado por las

d) 7

e) 8

c) 6

prolongaciones de las cuerdas AB y DC a) 20º

b) 22,5º

d) 25º

e) 27º

c) 24º

20. En una circunferencia se encuentra inscrito un

26. Se

triángulo equilátero. Hallar el lado del hexágono

b)

d) 4

3

e)

3

c) 3

3

3

27.

2

AC miden 2 y 3, y forman un ángulo que mide 60º. Calcule R a)

21 3

b)

21 4

d)

20 2

e)

20 5

c)

5-1

c)

5 +1

e) 2 2 - 1

23. En un heptágono regular ABCDEFG se cumple:

1 1 1   AC AD 7 El perímetro del heptágono es: [Cepunt – 11 – I] a) 11

b) 14

d) 49

e) 56

ABCDE

y

d) 24º

e) 27º

c) 20º

Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono ABMN…

están

ubicados

en

distintos

semiplanos respecto a AB Calcule: mMCB. a) 72º

b) 36º

d) 69º

e) 60º

c) 24º

Tarea domiciliaria

de la longitud de su apotema?

pentágono original. b) 2 2

regulares

1. ¿Cuál es el polígono regular, cuyo lado mide el doble

pentágono regular cuyo lado mide 1. Halle el lado del

d)

b) 45º

21 2

22. Se une los puntos medios de los lados de un

a) 2 2 + 1

a) 72º

regular

21. En una circunferencia de radio R, las cuerdas AB y

polígonos

a AB, Calcule: mUAE.

de la circunferencia es 6.

3

los

ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto

regular inscrito en el triángulo equilátero. Si el radio

a) 2

tienen

c) 28

a) Octógono

b) Decágono

c) Cuadrado

d) Hexágono

e) Triángulo equilátero 2. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular si su ángulo interior es el triple de su ángulo central? a) 9 b) 14 c) 20 d) 27 e) 35 3. Si se quintuplica el número de lados de un polígono convexo la suma de las medidas de sus ángulos internos quedaría multiplicada por siete. ¿Cuál es el polígono? a) cuadrilátero b) pentágono c) hexágono d) octógono e) heptágono 4. Se tienen dos polígonos cuyo número de lados están en la razón de 5 a 3 y además la suma de sus

24. En un hexágono regular ABCDEF de lado a, las

números de diagonales es 117, calcular la diferencia

prolongaciones de AE y CD se cortan en el punto K.

del número de diagonales que se pueden trazar desde

halle KB.

un solo vértice en dichos polígonos.

a) a 11

b) a 12

d) a 14

e) a 15

c) a 13

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

5. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número 25. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AB = CD =

de diagonales excede en 18 a su número de vértices?

EF, BC = DE = AF, BF = 16. Halle la distancia del

a) 7

b) 8

vértice D a la diagonal BF.

d) 13

e) 15

a) 8 3

b) 9 3

d) 9

e) 4

c) 8

c) 9

6. Hallar el número de diagonales de un polígono, cuya suma de sus ángulos interiores es 900°. a) 13 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

7. Hallar el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo externo mide 40°. a) 18 b) 20 c) 27 d) 30 e) 32

14. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si AC  CE a) 540º b) 720º c) 1080º d) 1200º

8. La suma de los ángulos interiores de un polígono equivale a 56 ángulos rectos, cuántos lados tiene dicho polígono. a) 23 b) 28 c) 30 d) 32 e) 35 9. ABCDEF es un hexágono regular. ¿Cuánto vale la suma: mCAE + mCFE? a) 110° b) 115° c) 120° d) 125° e) 135°

e) 1260º

15. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. a) 190º b) 200º c) 220º d) 225º

e) 230º

16. Si ABCDE y ABP son polígonos regulares, halle mDPE

10. En un polígono regular de “n” lados ABCDE... las prolongaciones de AB y ED se cortan en “R”. Hallar “n”, si mBRD = 126°. a) 9º b) 14º c) 20º d) 27º e) 35º 11. En un polígono se cumple que el número de diagonales medias, menos el número de diagonales es a. ¿En cuánto debe disminuir el número de lados para que la diferencia anterior sea b? 2a  b a) 2

d)

ab 2

b) 3a – b

c) a – b

a) 60º d) 90º

b) 65º e) 94º

c) 84º

17. Sea el hexágono regular ABCDEF de lado 8, halle la

e) 2a – b

distancia de P al lado BD.

12. El polígono equiàngulo ABCDE … es de «n» lados y el polígono equiàngulo MNCDP … es de (n – 2) lados. Halle « n»

a) 10

b) 11

d) 14

e) 18

c) 12

13. En un polígono desde los (n – 4) primeros vértices se han trazado (3n – 3) diagonales, halle el número de lados del polígono. a) 1 b) 8 c) 9 d) 10

e) 11

a) 1,5

b)

d)

e) 2 2

3

2

c) 2

18. En un dodecágono equiángulo ABCDE…. halle el ángulo formado por las mediatrices de los lados AB y DE a) 60º

b) 72º

d) 98º

e) 100º

c) 90º

19. Halle el número de lados de un polígono, si de 4 vértices consecutivos se trazan 17 diagonales. a) 5

b) 6

d) 9

e) 9,5

c) 8

20. En un polígono equiángulo ABCD…. La suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual al triple de la suma de las medidas de sus ángulos exteriores. Halle AC, si AB = 6 2 y BC = 2. a) 9

b) 5 2

d) 4 3

e) 4 2

c) 10