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PREPARATORIA “LA

Desarrollado Por: TURPO TURPO JOHN

ACADEMIA” p

III. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. TEMA: RELACIONES METRICAS

RELACIONES METRICAS TRIANGULO RECTANGULO.

EN

UN

c2  a

B

h

B H C c .

AH B  A

m

H b

C

n

m : p ro y e c c ió n d e A B so b re A C n : p ro y e c c ió n d e B C s o b re A C AH B 

BH C 

c m  b c



c2  b.m

a n  b a



a2  b .n

R

h2  m .n

a =A B bC . h

PROPIEDADES 1.

A

B r

R

AB

B r

A B  2 R .r

2.

B

"r ", "R " y "x " in ra d io B H C y A B C re sp e c

II. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.



2

V. La suma de los cuadrados de las inversas de los catetos es igual al cuadrado de la inversa de la altura relativa a la hipotenusa.

ABC

C I. Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección A sobre dicha hipotenusa.

h n  m h

 b

mIV. : p El r o yproducto e c c i ó n d e Ade B slos o b r ecatetos AC es igual al producto de la hipotenusa con la n : p altura r o y e c c i órelativa n d e B C as ola b r ehipotenusa. AC

a

c

2

x

r A

x

R

H

No somos una academia más… somos más que una academia… somos LA ACADEMIA

pág. 1

C

2



PREPARATORIA “LA

Desarrollado Por: TURPO TURPO JOHN

ACADEMIA” " r " , " R " y " x " i n r a d i o s d e l o s t r i á n g u lo s A H B , B H C y A B C r e s p e c t i v a m e n te . x

2

 r2  R

2

C PROBLEMAS PROPUESTOS

01.En el gráfico, B es punto de tangencia. AF = 6 dm y AC = 18 cm. Calcule "r".

B

a) 5 pulg b) 20 pulg c) 10 pulg d) 15 pulg e) 25 pulg 04.Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene una longitud igual a "L". Se traza una circunferencia que, pasando por los vértices B y C, es tangente al lado AD. Calcule la longitud del radio de la circunferencia. a) 4L/7 b) 5L/8 c) 3L/5 d) 2L/3 e) 8L/10 05.Calcule PD, si: BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm.

Q

B

r

P

A

C

F

a) 3 3 cm b) d) 3 cm

3 cm

A a) 20 cm b) 10 cm d) 8 cm

c) 6 cm e) 9 cm

02.En el gráfico, AE = 80 u y FN = 18 u. Calcule AP. E

P N F

A

C

O

B

06.En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "B", por el punto medio "M" de AC se traza MP perpendicular a BC. Calcule MP, si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u. a) 5 5 u d) 16 u

b)

5 u

c) 5 u e) 4 u

07.En el gráfico: AB = 6 cm y BC = 8 cm. Calcule la distancia de "O" a AC.

a) 100 u b) 18 26 u c) 92 u d) 15 33 u e) 82 u 03.El segmento perpendicular a un diámetro desde un punto de la circunferencia mide 12 pulgadas. Si uno de los segmentos que se determina, en el diámetro, mide 4 pulgadas. Calcule la longitud del radio de la circunferencia.

D c) 5 cm e) 9 cm

A B

C

O a) 3 33 cm c) 66 cm

b)

33

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cm

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ACADEMIA” d) 48 cm

e) 14 cm

11.En el gráfico, calcule BC. Si: AB = 5 u, AD = 13 u, AQ = QD. (C: punto de tangencia).

08.Calcule "AN", si: MN = MP.

C

B

N M

F A

A

H

b

Q

P

a

a) a2  b2 b) a2  b2 c) a.b d) a + b e) a – b 09.Calcule "x", si: R = 16 u y r = 4 u.

a) 4 2 u d) 7 2 u

D

O

b) 5 2 u

c) 6 2 u e) 8 2 u

12.Calcule BD, si: OA = OB y el producto de radios es 32m2.

C

x

D

R

R

r

r A

a) 16/9 u b) 15/8 u d) 3/2 u

c) 2 u e) 8/3 u

a) 6 m d) 8 m

10.En el gráfico adjunto: EM = 8 u, MC = 25 u y AB = 18 u. EP//AD. Calcule PD.

M

B

b) 4 m

c) 9 m e) 7 m

13.En el gráfico, ABCD es un romboide, PB = 10u y PC = 8u. Calcular la longitud de la diagonal BD.

C

P

B

C

P

E

A A

B

O

O

a) 2 21u b) 12 u d) 11 u

D

D c) 2 29 u e) 3 15 u

a) 12 u d) 4 6 u

b) 8 2 u

c) 15 u e) 6 7 u

14.En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Calcule AO, si: DT = 3 m. (P y T punto de tangencia). No somos una academia más… somos más que una academia… somos LA ACADEMIA

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ACADEMIA”

C

D

P

T

a

b

 O

A

m

a

B

a) 3 m b) 4 m d) 5 2 m

c) 5 m e) 3 2

“dedico este aporte a todos los estudiantes que dentro de sus

2

c 2

 b

 c 2  2 cm

Observaciones: De aquí, se deduce la importante relación denominada "Ley de Cosenos", que es válida para todo triángulo.

ideales esta la justicia y el cambio”

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS OBLICUANGULOS. I. TEOREMA DE EUCLIDES Primer Caso (  90)

a

b 

a

2

c

 b

2

2

 c

 2 c b .C o s 

II. TEOREMA DE STEWART

a

b  m

a

b

c

x m

n

c 2

 b2  c

a

2

 2cm

x 2.a  b 2.n  c2.m  m na III. TEOREMA DE LA MEDIANA

Segundo Caso(  90) b

m

c a

a

2m

2 a



2

a 2

 b

2

 c2

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ACADEMIA” IV. CÁLCULO DE LA BISECTRIZ

* En todo triángulo

* Interior

  a

m

c

b

x

m

a

a

m

b

c

a

m x

n

2

m a

 a .b  m .n

 m  b

2 b 2

 m  c

2

2 c



3 4

PROBLEMAS

* Exterior

1. En un triángulo de lados 9 u, 10 u y 13 u. Calcule el valor entero de una de las medianas.

  a

y

b e t

y

2

 t.e  a .b

V. CÁLCULO DE LA ALTURA (Teorema de Herón

b

2 a 2

c

ha

a

a) 8 u d) 10 u

b) 9,0 u

c) 12 u e) 7,0 u

2. Los lados AB, BC y AC de un triángulo miden 8 u, 10 u y 12 u respectivamente. Por "B" se traza una ceviana BE que divide al lado AC en dos segmentos, AE = 9 u y EC = 3 u. Calcule BE. a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 7 u e) 8 u 3. En el gráfico: AO1 = 7u y el radio de la circunferencia pequeña mide 3 u. Calcule el radio del cuadrante AOB.

A

Semi perímetro: p

p ha 

a b c 2

2 . p (p  a )(p  b )(p  c ) a

Observaciones

O 1 O

B

a) 2 3 u b) 2 5 u d) 6 u

M c) 5 u e) 2,5 u

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ACADEMIA” 4. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior BD y la mediana BM, tal que: BD = DM. Calcule AC, si: AB. BC = 144 cm2. a) 18 cm b) 20 cm d) 28 cm

ceviana BQ tal que: AQ=6; QC=2 y BQ=3, calcule BC. A) 4 D)

c) 24 cm e) 30 cm

B) 6

C)

2 7

E) 2 2

10

10.Se tiene un cuadrilátero

5. En el gráfico, calcule "r", si: R = 4 u, r1 = 2 u.

ABCD

inscrito

tal que: AB=2; BC = CD

= 2 3 y AD es diámetro; calcule el radio.

r

R

A)3

r1 a) 1 u d) 2 u

b) 2/3 u

c) 3/2 u e) 1/2 u

6. En un triángulo ABC, sobre BC se marcan M y N, tal que: BM = MN = NC. Si: AB = 7 u, AC = 8 u y BC = 9u. Calcule: AM2 + AN2. a) 77 u2 d) 88 u2

b) 36 u2

c) 32 u2 e) 55 u2

7. Sobre el lado BC de un rombo ABCD se ubica el punto medio M, de tal manera que : AM2 + MD2 = 40 u2. Calcule el perímetro de la región rombal. a) 40 u d) 20 u

b) 32 u

c) 28 u e) 16 u

8. Calcule la altura de un trapecio ABCD de bases BC = 5u y AD = 26 u y cuyos lados no paralelos miden 13 u y 20 u. a) 8 u d) 5 u

b) 10 u

c) 12 u e) 9 u

9. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B en el cual se traza la

B) 2,2

C)

1,6 D) 2 2

E)

6

11.En un triángulo ABC; (AB=c; BC=a; AC=b y m∡ABC=54º); calcular la m∡BAC. Si: A) 84º

a2 - b2=bc. B) 36º

D) 45º

C) 42º E) 54º

12.En un trapecio ABCD ( BC // AD ) cuya base media mide 2; calcular DM si M es punto medio de AB y (CD)2 – 2(MC)2 = 2 A) 3

B) 2 2

D) 5

C) 3 6 E) 2

13.En un triángulo ABC se traza la mediana BM y en ella se ubica al punto D tal 2

que: DC = AB; (BC)

– (AD)2 = 18 y

MD = 4; calcule:

BD. A) 2 D)

2

B) 3

C) 1 E)

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ACADEMIA” 14.Se tiene un cuadrante AOB (AO = OB), en OB se ubica al punto N y se traza la semicircunferencia de diámetro ON que interseca a AN en H; si AH = 9 y HN = 4; calcule HB. A) 3 5 D) 5 3

B) 7

C) 6 2 E) 71

a n

B) 8

II.

TEOREMA DE LAS SECANTES B

C

F

C) 9 E) 6

16.Se tiene un triángulo ABC; (AB=14; AC=13 y BC = 15); con diámetro AB se traza una semicircunferencia en la región exterior, la cual interseca a la prolongación de la mediana CN en el punto Q; calcule la distancia de Q hacia AB

A C .A B = A F.A E

TEOREMA DE LA TANGENTE

x A B C

x B) 6

2

 A C .A B

C) PROBLEMAS

3 2

D) 4

A E

III.

42 37 A) 37

b a .b = m .m

15.En un triángulo ABC las medianas tienen por longitudes: 9, 12 y 15; calcule la longitud del lado menor de dicho triángulo. A) 10 D) 12

m

E)

12 5 5

01. Si: CD = DE = 3 u. Calcule AC.

E D

RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA. I.

TEOREMA DE CUERDAS

R A

a) 3 3 u d) 1,5 u

r b)

B

3 u

c) 6 u e) 3 u

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C

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ACADEMIA” 02. Si Q es punto de tangencia. MN = 9 u; MF = 16 u y 4EP = EF. Calcule: PQ.

Q

F

M

N

05. En la figura, calcule AB, si: PB = 3 u y BQ = 12 u. (O es centro y C punto de tangencia).

Q

C

O

E B

P a) 5 u d) 25 u

b) 10 u

c) 20 u e) 15 u

a) 2 u d) 6 u

03. En el gráfico, PM = 9 u, MQ = 4 u. Calcule AM.

P

P

A

b) 4 u

c) 5 u e) 8 u

06. En la figura, A es punto de tangencia. AF = BM = MB. Calcule AM, si: FL = 1 u, LG = 8 u. A

M Q

F

A a) 13 u d) 10u

b) 6,5 u

M

c) 6 u e) 9 u

G

04. Calcule PC, si: CD = 3 u y AB = 12 u. "P" es punto de tangencia.

P C

D

L

B

a) 2 u d) 5 u

b) 3 u

c) 4 u e) 6 u

07. En el gráfico, AB = 5 cm, BC = 4 cm. Calcule CD. B

C

D

A

B

A a) 12 u d) 6 u

b) 15 u

r

c) 10 u e) 7,5 u

No somos una academia más… somos más que una academia… somos LA ACADEMIA

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ACADEMIA”

B

a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm 08. Según el gráfico: AB = 15 cm, CD = 8 cm. Calcule BC. A C

D

F

G

A

B

a) 3 u d) 6 u D

a) 11 cm b) 13 cm d) 17 cm

b) 4 u

E

c) 5 u e) 8 u

12. En el gráfico, calcule AB, si: AL = 5 u y LC = 4 u. (A y D son puntos de tangencia).

c) 15 cm e) 19 cm

B

09.En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior BD y la mediana BM, tal que: BD = DM. Calcule AC, si: AB. BC = 144 cm2. a) 18 cm b) 20 cm d) 28 cm

A C

L O

c) 24 cm e) 30 cm

D

10.En el gráfico, calcule "r". a) 18 u d) 30 u

r

b) 20 u

13. En el gráfico: P y Q son puntos de tangencia. Si: AB = 6 u, BQ = 2 u, BC = 3 u, calcule EB.

5u 3u a) 2 u 33 d) u 15

120 b) u 49

c) 25 u e) 35 u

c)

5u

e)

6u

11. En el gráfico, D es punto de tangencia, DE = 4 u y BF = 2 u. Calcule FG.

P

E

Q B

A C

a) 0,5 u d) 2 u

b) 1 u

c) 1,5 u e) 1,2 u

14. Del gráfico: AO = OB; CD = 3 u; GD= 4 u y FD = 1u. Calcule DE. No somos una academia más… somos más que una academia… somos LA ACADEMIA

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ACADEMIA” A

G

C

F

E

a) 2 u d) 3,5 u

B

O

b) 2,4 u

A) 9 D)

c) 2,5 u e) 3 u

B) 6 5

C) 4 E)

3 2

15. Calcule : AT, si ): m ABH = m ) ACB y AB = 8. (T es punto de tangencia).

18.

Si: QD = 1; TB = 2 y ND = CB; calcule AD (D y T son puntos de tangencia).

B

H

A

C

T a) 4 u d) 12 u

b) 6 u

c) 8 u e) 16 u

16. En la figura B y C son puntos de tangencia. Si: AE = 8 u, EC = 4 u. Calcule CD.

B

A

A) 3 D)

B) 5 4

C) 2 5 E)

2 3

19.

Si O es el centro del cuadrado ABCD; PQ = 2 y QC = 3; calcule AB.

60º E

C D

a) 1 u d) 4 u

b) 2 u

c) 3 u e) 5 u

A) 5 D) 4

B) 10

C) 15 E) 3 6

17. Si: AB = 9; 2(BC)=3(CD), calcule DE. No somos una academia más… somos más que una academia… somos LA ACADEMIA

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ACADEMIA” 20. En el lado AC de un triángulo equilátero ABC se ubica al punto P; luego se traza una circunferencia tangente a AC en P y que pasa por B; además interseca a AB y BC en R y T; calcule RT si AP=6 y PC=3. A) 6 D) 6 2

B) 5 3

C) 7 E) 4 5

25. En el gráfico: NP = 10 u, NO = 15 u, AM = MB = 7 u. Calcule MT, si T es un punto de tangencia.

B Q

A 

 O1

O a) 4 u d) 8 u

b) 5 u

c) 6 u e) 9 u

B

M

A

28. En el gráfico, B es punto tangencia. AB = 6u y AP = 4u. Calcule PQ.

T

P

N

a) 5 u d) 15 u

E

F

O

b) 10 u

c) 12 u e) 16 u

26. En un triángulo inscrito en una circunferencia, las sagitas correspondientes a cada lado mide 1 u, 2 u y 3 u. Calcule la medida del menor lado del triángulo. a) 5 u d) 8 u

b) 6 u

c) 7 u e) 9 u

27. En el grafico calcule MD, si: ME = 6 u y 2(AM) = 3(CM). C D

M A

a) 1 u d) 6 u

O

b) 2 u

B

E

c) 3 u e) 4 u

No somos una academia más… somos más que una academia… somos LA ACADEMIA

pág. 11

de