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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”

EXCELENCIA 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

ASIGNATURA: GEOMETRÍA

FECHA: 07 – 07 – 2012

Nº 04 - CUADRILÁTEROS 01.

DEFINICIÓN (CUADRILÁTERO): Es la figura geométrica plana determinada por la unión de cuatro puntos no colineales mediante segmentos de recta de modo que estos segmentos no se intersecan.

Cuadrilátero Convexo Convexo

Cuadrilátero

B

C

m M

n N

n

m

no

A

D

H

Si: BC // AD  ABCD: trapecio







 

 +  +  +  = 360º 02. CLASIFICACIÓN CONVEXOS

DE

LOS

AB y CD: lados laterales

BH: altura

MN: base media







BC y AD: Bases

A) Trapecio Escaleno

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros convexos se clasifican de acuerdo al paralelismo de sus lados en:

2.1. Trapezoides: Es aquel cuadrilátero convexo que no tiene lados opuestos paralelos; estos pueden ser trapezoides asimétricos y trapezoides simétricos o bisósceles.

Escaleno

B) Trapecio Isósceles

2.1.1. Trapezoide Asimétrico

C





B 

A

Isósceles

D Si: BC

AD y AB



CD

C) Trapecio Rectángulo

2.1.2. Trapezoide Simétrico

C b

a

B

 

m

 

m

a

D

b

Rectángulo

A Si: AB

CD y BC

Además: BD mediatriz de

AD

AC

2.2.2. Trapecio: Es aquel cuadrilátero convexo que presenta dos lados opuestos paralelos, los trapecios pueden ser escalenos o isósceles.

2.2. Paralelogramos: Es aquel cuadrilátero convexo que presenta sus lados opuestos respectivamente paralelos. Los paralelogramos pueden ser: romboides, rombos, rectángulos y cuadrados.

2.2.1. Romboide: Es un paralelogramo donde sus lados consecutivos no son congruentes.

a

x

B

C

ba 2

x

ba 2

b

b

A

x

x

D

a ADICIONALES

2.2.2. Rectángulo: Es un paralelogramo ángulos son todos rectos.

cuyos X = 90°

x

C

B

X = 90°

x

D

A

EN PARALELOGRAMOS B



2.2.3. Rombo: Es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí. Sus diagonales son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los vértices que unen.

C



AB = AE A

E

D

B

 x

x  90

C

A   D

2.2.4. Cuadrado: Es un paralelogramo equilátero y quiángulo. Es más el cuadrado es a un tiempo rectángulo y rombo.

B

x

C 45º 45º

b

45º

d 45º

c

a 45º

45º

A

D

03. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS: BASE MEDIA

a

b=a+c

SiAD//BC//MN N

MN  A

c

b

RELACION

C

M

a +d = b+c

45º

45º

B

x  90

BC  AD 2

d

b

D

c a

b–d=a+c

a

x b

SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES

x

ab 2

d b

RELACION

c

b–d=c

Práctica de clase

05. Del gráfico, calcular “x”

Cuadrado – rectángulo 01. En el cuadrilátero ABCD, AB = BC y el ángulo ABC mide 90º, además CD = 3 2 y la medida del ángulo CDA es 45º. Si se traza la altura

BH relativa

a AD (H en AD) y AH = 2, el valor de AD , es:

a) 30º

b) 37º

d) 53º

e) 60º

c) 45º

[UNT – 09 - I] a) 5

b) 7

d) 9

e) 10

06.

c) 8

En la figura ABCD es un cuadrado de lado igual a 12 cm, siendo M y N puntos medios. Halle OD

02. En un cuadrilátero ABCD,  A= C = 90º y  D=60º. Por el punto medio M de AB se traza MH, perpendicular a CD. Si CH = 4 3 y HD = 8 3 , la medida de MH, es: [UNT – 11 – II]

8 3 a) 3

b) 8

d) 3

4 3 c) 3

a) 7

b) 8

d) 9

e) 12

e) 1 07.

03.

c) 10

Del gráfico, calcular “x” si ABCD es un rectángulo.

Hallar la m BEA, si: ABCD es un cuadrado y BF=3(AF)

a) 30°

b) 37°

d) 45°

e) 60°

c) 53° 08.

a) 30º

b) 37º

d) 53º

e) 60º

c) 45º

En el cuadrado ABCD. Hallar “x” si DF = 3FC.

04. En la figura EFGH es un cuadrado hallar el valor de x

a) 60°

b) 30°

d) 20°

e) 45°

c) 50°

a) 45º

b) 60º

d) 53º

e) 30º

c) 37º

09. Tenemos ABCD y EFGH congruentes, BE = EC; HP = 3;

EP toma su valor entero impar mínimo; halle

13. Si CD=6, BC=3 hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales, si ABCD es

“x”,

un trapecio. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 18º

b) 22,5º

d) 27º

e) 30º

c) 26,5º 14. Siendo ABCD un trapecio (BC//AD). Hallar m ADC

Trapecio

a) 37° b) 53°

10. Los lados no paralelos de un trapecio miden 5 y 7. Si

c) 90°

las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la

d) 30°

base menor se cortan en un punto de la base mayor,

e) 60°

la medida de la base mayor es: a) 7

b) 9

d) 12

e) 15

[UNT – 10 – I] c) 10

15. Si ABCD es un trapecio isósceles y CDE un triángulo isósceles, hallar “x”.

11. El plano de un colegio tiene la forma de un trapecio donde sus bases miden 16km y 20km; los lados no paralelos miden 6km y 9km. Si exteriormente al colegio hay un jardín formado por las prolongaciones

a) 50º

b) 60º

de los lados no paralelos del colegio, entonces el

d) 55º

e) 47º

c) 45º

perímetro de dicho jardín en km es: [UNT – 10 – II] a) 55

b) 66

d) 80

e) 90

c) 76

16.

En la figura:

BC // AD , BC = 5 y AD = 9.

Hallar BH.

12. En el siguiente trapecio se tiene que 3 AB  5CD y que AP  PB = 30 m.

Hallar: CP  PD  . [UNT – EXCEL – 95] a) 19 b) 18 c) 17 d) 16 e) 15

a) 1

b) 2

d) 7

e) 5

c) 4

17.

Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AEBF es un trapecio isósceles (EB // AF) . Calcule “x”.

21.

Si: ABCD es un romboide, hallar BF, sabiendo que: BC = 7 y CD = 5. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2,5

22.

c) 65°

a) 50°

b) 55°

d) 60°

e) 63°30’

Si ABCD es un rombo , hallar “x”

18. Sea ABCD trapecio, AC = 6 y BD = 8, halle “x”

a) 2 d) 2,5 a) 0,5 d) 2

b) 1

c) 1,5

23.

e) 2,5

b) 4 e) 1

c) 3

Si: ABCD es un romboide, calcular “x”.

Rombo – romboide

19. En un romboide ABCD se traza a

BH perpendicular

AC tal que: mABH = 2mDHC

Si BH=8m y HC=2AH, la longitud de

DH , en

metros es: a) 13

b) 14

d) 16

e) 18

[UNT – 11 – I] c) 15

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

24. Sea ABCD un romboide, PQ = 12, EF = 17. Halle EL.

20. ABCD: Paralelogramo. Calcula “x” a) 50º b) 30º c) 20º d) 10º e) 40º

a) 3,5 d) 6

b) 4 e) 6,5

c) 5

25. En un paralelogramo ABCD y los triángulos ABF y BEC son equiláteros. Halle la medida del ángulo FDE

TAREA DOMICILIARIA

01.

En un triángulo ABC, el ángulo C mide 45º y AC = 12 u. sobre el lado AB se construye exteriormente el cuadrado ABDE. Halle la distancia del centro del cuadrado al lado AC

a) 30 d) 72

b) 45 e) 80

c) 60

a) 8 u

b) 6 u

d) 4 u

e) 3 u

c) 5 u

02. En un romboide ABCD se traza la bisectriz exterior en C que intersecta a la prolongación de AD en E. Halle la longitud del segmento que une los puntos medios

26. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo; AM=MN, BH=4 y AQ=9. Calcule MH.

de AC y BE, si AB = 6 m a) 8 u

b) 6 u

d) 4 u

e) 3 u

c) 5 u

03. En un cuadrilátero ABCD, A = 90º; B = C = 60º. Si AB = 5, BC = 7 , halle CD

a) 4

b) 2 5

d) 3 2

e) 8

c) 6

a) 2,5

b) 3

d) 4

e) 4,5

c) 3,5

04. En un cuadrilátero ABCD, los lados AB , BC y CD miden 14 u, 12 u

y

5 u respectivamente . Si el

ángulo A mide 60º y el ángulo C mide 90º, la longitud del lado AD es:

27. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo; [CEPUNT – 2008]

2(AB)=3(PC)=12. Calcule AC a) 1 + d) 3 22

22

b) 7 +

22

c) 7 22

e) 9 + 22

05. Si en un cuadrilátero ABCD se cumple que mABC = mBCD = 120 y AD = BC + CD, entonces la medida del ángulo ADC es: [CEPUNT – 09 – I] a) 6

b) 9

d) 13

e) 2 6

c) 12

a) 30°

b) 60°

d) 75°

e) 90°

c) 45°

06. La mediana del trapecio mostrado mide 10. Calcular AB.

a) 10

b) 20

d) 40

e) 50

10. Del gráfico, calcular “x” Si: cuadrados.

c) 30

07. En la figura ABCD es un rectángulo: calcular la medida del ángulo ABH, si la medida del ángulo

a) 53º d) 60º

11.

b) 90º e) 120º

LOMA y PASE son

c) 75º

Del gráfico, calcular m  DAB, si: AI = IC

BOC = 130.

08.

a) 20

b) 25

d) 35

e) 4

Calcular la mediana del trapecio ABCD, si: BC = 4u

a) 8 u d) 4 u 09.

b) 6 u e) 3 u

a) 108º d) 115º

c) 30

12.

El dibujo muestra un rectángulo. Si BP = 10 cm. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y PD

13.

b) 30º e) 60º

Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y PD P

d) 6cm

e) 12 cm

c) 5,5 cm

C

D

A

b) 5 cm

c) 45º

El dibujo muestra un rectángulo. Si BP = 10 cm.

B

a) 2,5 cm

c) 108º

Si AD = 6 cm y CH = 2 cm, halle α

a) 27º d) 53º

c) 5 u

b) 120º e) 135º

a) 2,5 cm

b) 5,0 cm

d) 10 cm

e) 12 cm

c) 5,5 cm

14.

Calcular la mediana del trapecio ABCD, si: BC = 4u

B



C

b) 6u e) 4u

a) 7 u d) 4,5 u

En la figura, RS es la mediana, el área de la región triangular CTS es

3 2 cm2 y el área de la región 2

triangular AR es 9 2 cm2. Determine el área del trapecio ABCD.



A

18.

D c) 5 u

15. En la figura: Calcular “x” si ABCD: cuadrado y CDE: triángulo equilátero. a) 84 2

b) 42 2

d) 42 2

e) 21

c) 21 2

19. En el gráfico, PBCD es un paralelogramo de centro O. Si AQ = 5 y QD = 3, calcule AB. a) 100°

b) 120°

d) 130°

e) 135°

c) 125°

16. En un cuadrilátero convexo ABCD; AB = BC = CD; halle la medida del menor ángulo que determinan la mediatriz y el lado AD a) 3 d) 5 20. Según el gráfico,

b) 4 e) 6

BC // AD // MN , CN = ND,

QD + BC = 10, AQ = 8 y a) 40 d) 75

b) 60 e) 80

c) 65

c) 4,5

MQ // AB . Calcule

MN.

17. Del gráfico mostrado, calcule , si: AC = AD, mACB = 30º y además:

mADB mDAC mBAC   7 4 3 a) 1,8 d) 1,5

a) 37º d) 30º

b) 42º e) 53º

c) 52º

b) 1 e) 3

c) 2,5